必修四平面向量基本定理

平面向量基本定理[学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一 平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .答案 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2，HG →＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1.知识点二 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC →的夹角为60°； ②AB →与CA →的夹角为120°； ③BA →与CA →的夹角为60°； ④AB →与BA →的夹角为180°.题型一 对向量的基底认识例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)答案 ①②④解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2 ＝－2(e 1－2e 2)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量例2 如图所示，已知▱ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a 、b 为基底表示DE →、BF →.解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →，∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a .∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a .跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .题型三 向量夹角问题例3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.解 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°， 以OA 、OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BC →＝OA →＝a .因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形， 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ， 即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形， 所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°， 即a ＋b 与a 的夹角α＝30°， 所以α＋β＝90°.跟踪训练3 若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．解 由向量运算的几何意义知a ＋b ，a －b 是以a 、b 为邻边的平行四边形两条对角线．如图，∵|a |＝|b |＝|a －b |， ∴∠BOA ＝60°.又∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中， 对角线OC 平分∠BOA ， ∴a 与a ＋b 的夹角是30°. 题型四 平面向量基本定理的应用例4 如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，点M 是AB 上靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 上靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP →. 解 OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13a ＋23b ，因为OP →与OM →共线，故可设OP →＝tOM →＝t 3a ＋2t3b .又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，OP →＝ON →＋sNB →＝34OA →＋s (OB →－ON →)＝34(1－s )a ＋s b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧341－s ＝t3，s ＝23t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝910，s ＝35.所以OP →＝310a ＋35b .跟踪训练4 如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用基底a ，b 表示向量AE →.解 易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线，设存在实数m ，满足AE →＝mAN →＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C ，E ，M 三点共线，设存在实数n 满足：AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b .所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ，由于a ，b 为基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45，所以AE →＝25a ＋15b .向量夹角概念不清致误例5 已知OA →＝2a ，OB →＝2b ，OC →＝－a ＋3b ，求向量BA →与BC →的夹角．错解 由已知得，BA →＝OA →－OB →＝2a －2b ，BC →＝OC →－OB →＝(－a ＋3b )－2b ＝－a ＋b ，显然BA →＝－2BC →，可见BA →与BC →共线，故BA →与BC →的夹角为0°.错因分析 两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，当两个向量同向共线时，其夹角为0°，当两个向量反向共线时，其夹角为180°.上面的解答没有注意到这个问题，导致出错．正解 由已知得，BA →＝OA →－OB →＝2a －2b ，BC →＝OC →－OB →＝(－a ＋3b )－2b ＝－a ＋b .显然BA →＝－2BC →，可见BA →与BC →共线，且是反向共线，故BA →与BC →的夹角为180°.1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 22．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( )A ．a ＋34b a ＋34ba ＋14b a ＋14b3．在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝30°，则AC →与BA →的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°4．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________.5．如图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →、BC →、EF →.一、选择题1．下列关于基底的说法正确的是( )①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A ．① B ．② C ．①③ D ．②③ 2．如图所示，矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )(5e 1＋3e 2) (5e 1－3e 2) (3e 2－5e 1)(5e 2－3e 1)3．如图，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a 、b 表示AG →等于( )a ＋14ba ＋13ba －14b a ＋34b4．设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为( )A ．3B ．4C ．－14D ．－345．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )二、填空题6．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a 、b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．7．如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用a 和b 表示)．8．若|a |＝|b |＝|a －b |＝r (r >0)，则a 与b 的夹角为________．9．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．三、解答题11．判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a 、b 、c 、d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d ；(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来．12．如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ、μ∈R )，求λ＋μ的值．13．已知单位圆O 上的两点A 、B 及单位圆所在平面上的一点P ，OA →与OB →不共线．(1)在△OAB 中，点P 在AB 上，且AP →＝2PB →，若AP →＝rOB →＋sOA →，求r ＋s 的值；(2)P 满足OP →＝mOA →＋OB →(m 为常数)，若四边形OABP 为平行四边形，求m 的值．当堂检测答案1．答案 B解析 B 中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底．2．答案 B解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b . 3．答案 D解析 由向量夹角定义知，AC →、BA →的夹角为150°.4．答案 －74m ＋138n 解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－74，y ＝138.5．解 连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，∴DC 綊FB .∴四边形DCBF 为平行四边形．依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ， BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB → ＝a －12b ， EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC → ＝－(a －12b )－12×12b ＝14b －a .课时精练答案一、选择题1．答案 C解析 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．2．答案 A解析 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(5e 1＋3e 2)． 3．答案 D解析 易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →.设CG →＝λCA →，则由平行四边形法则可得CG →＝λ(CB →＋CD →)＝2λCE →＋2λCF →，由于E ，G 、F 三点共线，则2λ＋2λ＝1，即λ＝14，从而CG →＝14CA →，从而AG →＝34AC →＝34(a ＋b )．4．答案 B解析 因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故选B.5．答案 C解析 ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.二、填空题6．答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)解析 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b 即得λ≠4.7．答案 23a ＋13b 解析 设AO →＝λAC →，则AO →＝λ(AD →＋DC →)＝λ(AD →＋12AB →)＝λAD →＋12λAB →. 因为D ，O ，B 三点共线，所以λ＋12λ＝1，所以λ＝23， 所以AO →＝23AD →＋13AB →＝23a ＋13b . 8．答案 60°解析 作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，∠AOB 为a 与b 的夹角，由|a |＝|b |＝|a －b |知△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝60°.9．答案 43解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ， 又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 10．答案 12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →. 所以λ1＋λ2＝12.三、解答题11．解 (1)错，当e 1与e 2共线时，结论不一定成立．(2)正确，假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2.因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e 1与e 2共线，这与e 1与e 2不共线矛盾． 所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来．12．解 如图，以OC 为对角线作▱OMCN ，使得M 在直线OA 上，N 在直线OB 上，则存在λ、μ，使OM →＝λOA →，ON →＝μOB →，即OC →＝OM →＋ON →＝λOA →＋μOB →.在Rt△COM 中，|OC →|＝23，∠COM ＝30°，∠OCM ＝90°，∴|OM →|＝4，∴OM →＝4OA →.又|ON →|＝|MC →|＝2，∴ON →＝2OB →，∴OC →＝4OA →＋2OB →，即λ＝4，μ＝2.∴λ＋μ＝6.13．解 (1)∵AP →＝2PB →，∴AP →＝23AB →， ∴AP →＝23(OB →－OA →)＝23OB →－23OA →， 又∵AP →＝rOB →＋sOA →，∴r ＝23，∴s ＝－23，∴r ＋s 的值为0. (2)∵四边形OABP 为平行四边形， ∴OB →＝OP →＋OA →，又∵OP →＝mOA →＋OB →，∴OB →＝OB →＋(m ＋1)OA →，依题意OA →、OB →是非零向量且不共线， ∴m ＋1＝0，解得m ＝－1.。