高数教学中的有限与无限问题
例谈学习中学数学中的“有限”与“无限”
例谈学习中学数学中的“有限”与“无限”湖州二中陆丽滨日常生活中，我们常常和有限、无限打交道：天空有边吗？星星有多少？两面镜子对照，镜子中有镜子，…，一共有多少面？文学作品中，如王之涣的“欲穷千里目，更上一层楼”；李白的“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”；中国古代的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等等，都是一种有限与无限的结合．在数学教育界也有两个尴尬的故事：一件是有一天《参考消息》译载美报刊上的“新闻”说：“美一位中学生找到了圆周率π的末位小数”，π是无理数，怎么有末位小数呢？这是个常识性错误，却经编辑与千百个人之手被广泛传播．另一件是关于0.91=对吗？其中绝大多数师生认为“这是近似等式”，虽然最后结论是精确等式，却仍有千千万万的人“不服”．又是一个涉及无限观的常识性问题．在今天的中学数学中，也有很多关于有限和无限的数学知识．美籍德国数学家魏尔说：“数学是关于无限的科学．”其中有限的方面叫人感觉具体、形象，便于教师教与学生学；而无限的方面使学生充满想象，让人对数学更多一份理性的思考．有限建立在无限基础之上，无限是有限的延伸．魏尔又指出：无限在数学中占有十分重要的地位，甚至可以说它是整个数学的基础．在新课标教学中，笔者发现从必修1集合中的元素个数比较到必修3新增内容古典概型、几何概型等等，无不体现中学数学的“有限”与“无限”．下文浅谈一些中学数学中的“有限”与“无限”．一、比较两个集合的元素个数人民教育出版社高中数学A版《必修1》第14页（2007年1月第2版，2008年5月浙江第6次印刷）阅读材料——“有限集合中元素的个数，可以一一数出来，而对于元素个数无限的集合，例如：{1,2,,,}A n =,{2,4,,2,}B n =，我们无法数出集合中的元素个数，但可以比较这两个集合的元素个数的多少．你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？”笔者不妨再问：“集合B 是集合A 的真子集吗？”我们都知道在有限集中，整体必定大于部分．但是无限集中呢？ 其实，无限集与有限集中的“全部大于部分”是相矛盾的，而这也正是康托尔认为的无限集的特征之一．实际上，康托尔把正整数集的势（元素个数）称之为“阿列夫零”个，计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数．康托尔把集合的元素个数叫做基数，有限集合的基数是自然数，无限集合的基数叫超限数．康托尔进一步论证了无理数集、实数集是不可数集，但它们之间存在着一一对应关系，也就是说有比自然数集合更大的集合，有更大的超限数．康托尔还发现，任一线段上的点能与全直线上的点，与正方形内的点，与立方体内的点构成一一对应．他甚至证明，一条直线上的点能与n 维空间的点构成一一对应．这与我们关于大小的观念相矛盾，是按数学常识根本无法想象的，康托尔还证明了比实数集合更大的集合．今天，集合论已经成为整个数学的基础，以至于希尔伯特动情地说：“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去”，“康托尔的超限算数是数学思想的最惊人的产物，是在纯粹理性的范畴中，人类活动最美的表现之一．”为此，有如下定理：（1）两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数．（2）有限集合不和其任何真子集等势．（3）无限集合可以和其真子集等势．二、 割圆术，化直为曲刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时，从内接正六边形（“六觚”）开始割圆，依次得到内接正十二边形（“十二觚”）、正二十四边形（“二十四觚”）、……，“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．这种处理是比较符合直观的．从6边形到12边形、到24边形、……，在这样越来越接近圆面积的趋势中，圆以多边形代替，所失的面积会越来越少，这样他就很自然的会觉得多边形和圆会越来越接近重合．刘徼的割圆术是他成功应用无穷小分割思想和极限思想的光辉典范，架起了通向微积分的桥梁．正是在这种思想的指引下，刘徽与阿基米德已经有了极限的思想．后继者们在他们开辟的道路上继续前进．德国的开普勒发明了“同维无穷小法”求体积，法国的费马研究了切线、极值等问题，而英国的巴罗则引入了微分三角形．这一切为两个划时代人物的到来拉开了帷幕：牛顿和莱布尼茨．两人各自独立地创立了微积分．这种“化直为曲无限化”的数学思想，是学生学习从“有限”到“无限”一种飞跃！也为其学习定积分建立良好的数学思想基础．三、 数式中的有限与无限3.1 （定）积分看看牛顿和莱布尼茨发展的积分，它们均来源于求曲多边形的面积．方法大致为：分割、近似求和、取极限．这里的分割是一种动态无限的过程．在保证最大区间长度趋于零的条件下，分割而成的区间数目趋于无穷．从有限个矩形到无限块和，利用积分可以计算不规则图形面积．例如：求由函数()f x ，直线,,0x a x b y ===所围成的曲边梯形的面积． 步骤如下：将区间[,]a b 分成n 个小区间1[,]i i x x -(1)i n ≤≤，每个区间上任取一点i ξ，以()i f ξ作为矩形的高，求出n 个矩形的面积并求和：11lim lim [()()]()b n n i i i n n i a S S f x x f x dx ξ-→∞→∞===⋅-=∑⎰3.2 数列极限的公式数列极限是极限的重要基础知识，其运算法则只适用于有限个计算．例如：111lim()n n n n n→∞+++个如何计算？按照有限的计算法则，11lim()n n nn →∞++个11lim lim0n n n n n →∞→∞=++=个，显然是不对的！不能用有限个的运算法则来替代无限的运算．此处有限和无限是无法统一于一个运算法则中．数学极限公式中蕴含的无限思想，体现了无限是有限的延伸，但有限到无限是引起“质变”的！3.3 球表面积、体积公式的推导球的表面积、体积公式推导也是一种无线分割思想的运用！如图1所示，)i r i n =≤≤21122()n n i i i i R V V r n π====⋅∑∑322321(1)42lim[()]3n R n n R n n ππ→∞++-=-=．如图2所示，将球分割成n 份三棱锥，其体积11111333nn i i i i V S R R S R S ===⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅∑∑，由上述球的体积公式，得：24S Rπ=． 3.4 结合律和分配律的使用大家都知道()()a b c a b c ++=++，这在有限相加的世界里似乎没什么问题．然而在无限相加的世界里，若把这种结合律再看成是正确的，那你就会铸成大错！不妨看下式如何计算：图2图11(1)1(1)1z=+-++-++，如果你认为数的加法可以任意结合，那么z=+-++=+1[(1)1]10++=，好像不错吧！注意到还可以这样用结合律：01，也没有问题吧！这时推出的结论z=+-++-+=++[1(1)][1(1)]0z==就有大问题了！原因何在呢？01解释并不困难：结合律和分配律并不像人们通常认为的那样永远正确，它们在有限数学中的确是正确的，但在无限数学中就不是没有任何条件的正确无误．所以说，有限到无限毕竟是引起了“质变”！四、切线：割线的极限位置中学阶段对切线的认识，是逐步深入的．平面几何中，直线和圆与一个交点叫做相切；而在后来的圆锥曲线中，双曲线学习时便会出现新的问题，而在微分学中所研究的曲线不都是二次曲线，切线与曲线的交点不止一个，因此不能用交点个数来定义，而是用割线的极限位置来定义曲线的切线．如图3所示，直线与圆相切的情形在同学们的大脑中已根深蒂固，受此负迁移的影响，不少学生对切线问题产生错误的想法，导致错解时常发生，因此要加强概念性知识的理解．于是，割线“无限化”之后，才有了较为科学的切图3线定义，避开从交点的个数来定义，方便得解决了切线的概念问题．五、古典概型与几何概型中的概率加法公式大家知道，必修3中的古典概型是一种离散型的等可能性概型，而几何概型是一种连续性的等可能性概型．恰恰因为正是这种“离散”到“连续”，也就是“有限”到“无限”，使得学生学习概率加法公式有很大的难度．概率加法公式：()()()1P A B P A P B +=+=如图4，古典概型中，概率加法公式体现事件A 、B 必定是一对互斥事件，这是离散、有限决定的，也是学生易理解的；如图5，我们也可以看到其实概率加法公式体现的事件A 、B 就不一定是互斥事件，这是连续、无限所凸显的．如图5所示，譬如：在区间[0,2]内投点，记落在区间[0,1]内为事件A ，落在区间[1,2]内为事件B ，显然概率论加法公式()()()1P A B P A P B +=+=在几何概型中也是成立的，事件A 、B 不互斥！另一方面，有限的古典概型和无限的几何概型又是相容相通的． 问题：甲、乙、丙三人相约7点到8点之间在某处会面，一起乘车去游玩，已知该车站每隔30分钟有一班车，发车时间为7点30，8点，若3人约定在车站就乘，求3人乘同一班车的概率．分析：设甲、乙、丙三人分别在7点到8点之间的x 分、y 分、z 分到达，则所有可能的结果表示的区域为棱长60的正方体．记事件A 表示三人乘同一班车，要使得事件A 发生，只需三人同一个30分钟内达到即可．解法（1）：事件A 表示的可能结果（如图6所示）： AB 图 4 图50303060(,,)03030600303060x x A x y z y or y z z ⎧≤≤<≤⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪=≤≤<≤⎨⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎪≤≤<≤⎩⎩⎩⎭，表示的空间区域为2个棱长为30的正方体，由几何概型的公式可得：332301()604A V P A V Ω⨯===．解法（2）：因为三人乘坐哪一班车是随机的，且等可能的，若以三人的一种乘车方式作为一个基本事件，则基本事件的总数为2228⨯⨯=种，而三人同乘一班车包含2个基本事件，因此概率为2184=．古典概型与几何概型的本质是对于基本事件个数有限还是无限的一种区分，有些问题中，不同角度理解基本事件，“有限”、“无限”的问题还能相互转化．六、 希尔伯特旅馆有一个故事据说出自杰出的数学家大卫.希尔伯特之口，上述引语就是他说的．一天夜里已经很晚了，一个人走进一家旅馆想要一个房阿．店主回答说：“对不起，我们没有任何空房间了，但是让我们看一看，或许我最终能为您找到一个房间．”然后店主离开了他的桌子，很不情愿地叫醒了他的房客，并且请他们换一换房间：1号房间图6的房客搬到了2号房间，2号房间的房客搬到了3号房间……以此类推，直到每一位房客都从一个房间搬到了下一个房间为止．令这位迟来者感到十分吃惊的是，i号房间竟然被腾了出来．他很高兴地搬了进去，然后安顿下来过夜．但是，一个百思不得其解的问题使他无法入睡：为什么仅仅通过让房客从一个房间搬到另一个房间，第一个房间就能腾出来呢?（要知道，他来时所有的房间都住人了）这所旅馆一定是希尔伯特的旅馆，它是城里一个据认为无数个房间的旅馆！这是一个关于无限的趣味故事，从这里也让学生深深知道：从“有限”到“无限”是很容易产生质变的！也让教师的教与学更上层楼！七、中学生“有限”、“无限”教育观念的认识在我国中学的课程设置中，数学作为一门主课，被赋予大量的课时．但是在数学教学中，过于注重按部就班地讲述教科书现有的数学定义和数学命题，介绍各种计算题和证明题的解题方法，让学生做大量的习题，却忽视了与数学有关的一些根本性问题的说明和讨论，特别是有关数学基础和数学哲学的问题．在数学上有限与无限是相互联系的．无限是由有限构成的．无限又要通过有限来表现，加以掌握．例如，自然数集是无限的，但它是由无数个具体的有限数组成的；周期函数的图像长度是无限的，但刻画它的最小正周期却是有限的；直线的长度是无限的，而线段作为构成直线的部分，其长度却是有限的；向量空间所含向量个数是无限的，而表达该向量空间的基底（向量）个数却是有限的；数学归纳法表达的是关于无限的推理过程，而它的证明步骤却只有两步．反之，有限中存在着无限．例如，0到1的单位线段上就有无限多个有理数点，也有无限多个无理数点．在“整除”关系中，约数是有限的，而倍数的个数是无限的；有理数、无理数值都是有限数，而它们的级数表达式既体现了无穷小，又体现了无穷多．总之在中学数学教学中，应向学生普及一些与数学基础和数学哲学有关的知识，破除数学确定性的神性观念，重建数学批判的人文观念．也许这样会使中学生更喜欢数学，更能深刻认识像“无限”这一类涉及数学基础和数学哲学等概念的博大内涵．参考文献：[1]叶飞.再谈对中学生数学“无限”观念的教育.数学教育学报[J].2007,11[2]王仲英.郝样晖.数学中的有限与无限.高等数学研究[J].2007,1[3]杨之.王雪芹.无限性与数学教育.中学数学月刊[J].2006,7[4]林革.趣谈数学中的有限与无限.数学通讯[J].2001,7[5]刘薇.对一个课本问题的思考.中学数学杂志[J].2009,3。
第二章第三节有限与无限问题
2、“有无限个房间”的旅馆
有限和无穷的这个特点可以从下面的小故事反映出来，这个故事据说是希尔伯特说的。
某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，4，……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合(1，2，3，4，…)，称为可数无穷集。
[该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。
1）两分法
向着一个目的地运动的物体，首先要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2如此类推，以至无穷，永远不能到达终点。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。
2）阿基里斯(Achilles)悖论：阿基里斯追不上乌龟。
3）飞矢不动悖论
一支飞行的箭是静止的：
由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。
2.说谎者悖论——自指引发的悖论
“我正在说谎”
有克利特人中的一个本地中先知说：“克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒”(《圣经·提多书》第一章)
3.“说谎者循环”
A说：“下面是句谎话。
B说：“上面是句真话。”
（1）、芝诺悖论---由无限引出的
芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。
数学中的“有限与无限”的思想
数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求 极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1.在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+，*n N ∈,其中,a b 为常数，则lim n n n nn a b a b →∞-+的值是 . 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)nn q q →∞=∈)来解决新的极限问题.【答案】由542n a n =-知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1)422n n n a a a n -++=+⋅ 2an bn =+，解得2a =，12b =-，从而11()1()4lim lim lim 111()1()4n n n nn n n n n n nb a b a b a b a →∞→∞→∞---===+++. 2. 已知数列{}n a 满足1a a =,111n na a +=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1a =时，得到无穷数列：;.,35,23,2,1 当21-=a 时,得到有穷数列：0,1,21--. （Ⅰ）求当a 为何值时40a =；（Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =-, 11()1n n n N b b ++=∈-，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围. 【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个n b 都可以得到一个有穷数列{a n }的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个n 都成立的结果，通过有限次分析获得解决.【答案】（Ⅰ）11211111,1,11,n n a a a a a a a a a++==+∴=+=+=34231211321,1.121a a a a a a a a ++=+==+=++ 420.3a a =-=故当时 (Ⅱ) 解法一：11-=b ,11,1111+=-=++n n n n b b b b , 当1b a =时,01112=+=b a , 当2b a =时,111112-==+=b b a ,03=∴a , 当3b a =时,23211b b a =+=,111111223-==+=+=∴b b a a 04=∴a . 一般地, 当n b a =时,,01=+n a 可得一个含有1+n 项的有穷数列121,.,+n a a a . 下面用数学归纳法证明.当1=n 时, 1b a =,显然01112=+=b a ,可得一个含有2项的有穷数列.,21a a 假设当k n =时,k b a =,得到一个含有1+k 项的有穷数列121,.,+k a a a ,其中01=+k a ,则1+=k n 时,1+=k b a ,k k b b a =+=∴+1211,由假设可知, 得到一个含有1+k 项的有穷数列232,,,+k a a a ,其中02=+k a .所以,当1+=k n 时, 可以得到一个含有2+k 项的有穷数列1a ,232,,,+k a a a ,其中02=+k a 由(1),(2)知,对一切+∈N n ,命题都成立. 解法二：11111,, 1.1n n n n b b b b b b ++=-=∴=+- 21132211112{}.11,11,1111,...1111 1.0.n n n n nn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a b ---+-==∴=+=+=∴=+=+=∴=+=+==-∴=取数列中的任一个数不妨设故a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .（Ⅲ）)4(223≥<<n a n 即211231<+<-n a ,211<<∴-n a 所以要使)4(223≥<<n a n ,当且仅当它的前一项1-n a 满足211<<-n a .由于()2,12,23⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以只须当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,23k a 时,都有⎪⎭⎫⎝⎛∈2,23n a ()5≥n由12234++=a a a ,得2122323<++<a a , 解得0>a . 3．在数列||n a ，||nb 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）.（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…． 【解析】第（Ⅰ）问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项（有限项） ，可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，,所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．（Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭...... 111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭. 综上，原不等式成立． 三、名校试题1.数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,...n =) ，且321.8a a -=（1）求c 的值；（2）① 证明：1n na a +<；② 猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项23a a 、后可得c 的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出{}n a 的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得2n a <.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（Ⅰ）依题意，222211322111111.222222a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由3218a a -=，得21111122228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）.（Ⅱ）① 证明：因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=.因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,...n =).② 数列{}n a 有极限,且 lim 2n n a →∞=.（Ⅲ）由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，从而111122n n n a a a +=---. 因为11a =，所以 1111111111111.22222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++⎛⎫=-=-=- ⎪-----⎝⎭∑∑ 所以21111111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nn n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑因为11a =，由（Ⅱ）① 得 1n a ≥ (*n ∈N ). （*）下面用数学归纳法证明：对于任意*n ∈N ，有2n a <成立.当1n =时，由11a =，显然结论成立. 假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a < 因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增， 所以2113(21)222k a +<-+=.即当1n k =+时，结论也成立. 于是，当*n ∈N 时，有2n a <成立. （**）根据（*）及（**）得 12n a ≤<.由11a = 及21122n n n a a a +=-+， 经计算可得23313.28a a ==， 所以，当1n =时，2114039a a <；当2n =时，312114039a a a +=； 当3n ≥时，由11328n a +<<，得11111(53)(813)1400 , 3939(2)nn n n k kn a a a a a +++=++--=>⋅-∑ 所以1114039nn k ka a +=>∑. 2．数列{}n a 的首项1a =1，前n 项和为n S 满足12(1)n n k S a +=-（常数0k >，*N n ∈）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列.（2）设数列{}n a 的公比为()f k ，作数列{}n b ，使13b =，11()n n b f b -=（n =2，3，4，…） 求数列{}n b 的通项公式；（3）设2n n c b =-，若存在*N m ∈，且m n <；使lim n →∞（112m m m m c c c c +++++…1n n c c ++）1<2007，试求m 的最小值．【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m 的最小值.【答案】 解：（1）12(1)n n k S a +=- ①当2n ≥时， 12(1)n n k S a -=-②①—②得，12()n n n a k a a +=-即121n n ka k a +=+（2）由①, 1112a k =+，∴1211122n na k k k a ++==+， 又21112a a k =+符合上式，∴{}n a 是以1为首项，112k+为公比的等比数列． （2）由（1）知()f k =112k+，∴1111()12n n n b f b b --==+（2n ≥）， ∴112(2)2n n b b --=-.又13b =，即121b -=，1122n n b b -=-， ∴数列{}2n b -是为1首项，12为公比的等比数列． ∴112()2n n b --=，∴112()2n n b -=+．（3）由（2）知112()2n n n c b -=-=，则2111()2n n n c c -+⋅=.∴112lim(m m m m n c c c c +++→∞++…1n n c c ++）=111111lim ...222m m n -+-→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦222n （）（）（） =1111141122lim 132200714m m n --→∞-=<-22n+2（）（）（）， ∴3112669m -<2（），∴9669m ->22. ∵5126691024<<，∴2310m -≥， 6.5m ≥. 又∵*N m ∈，∴m 的最小值为7.四、考点预测(一)考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.(二)考点预测题1．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．【解析】本题设出首项，表示出通项和前n 和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识lim 0n a n →∞=和2lim 0n an→∞=，其中a 为常数.【答案】设首项为1a ，则112(1)21n n n a a a =+-=+-，1(1)22n n n n S a -=+⨯21(1)n n a =+-，2222111112222(21)34(1)(1)lim lim lim (1)(1)n n n n n n n n n a n S n n n n a a a a a →∞→∞→∞+--+-+--∴==+-+- 111224(1)(1)3lim3(1)1n nn na a a →∞--++=-+.2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a．．．．．．记表中的第一列数1247,...a a a a ，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 【解析】第（Ⅰ）问从无穷数列{}n a 中抽出它的一个无穷的子数列，由n S 与n b 的递推关系式消去n b ，从而证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷的等差数列. 第（Ⅱ）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和. 【答案】（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-， 又12n n S b b b =+++，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--， 即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=， 又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列． 由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++．因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++==，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==-．又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k k k k b q S k q k k k k --==-=--+-+≥（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
有限与无限思想在高考数学解题中的应用-最新教育文档
有限与无限思想在高考数学解题中的应用有限与无限思想方法就是把有限问题转化为无限问题，把无限问题转化为有限问题，并利用二者间的转化来解决问题。
高考试题中运用有限与无限思想来解题的有很多，比如说极限、导数、数学归纳法等这些都是典型的有限与无限思想方法的应用。
下面结合高考例题谈谈有限与无限思想在高考数学解题中的具体应用。
一、在极限中的应用近几年，高考对数列和函数极限的考查有所加重，题型主要以选择填空为主，难度在中等以下。
数列极限主要以■型为主，或是在解答题中与数列问题相结合。
函数极限主要考查四则运算和函数连续性的概念，或是与导数问题结合出现在解答题中。
例1：（2011年重庆卷理科3题）已知■(■+■)=2，则a=( )。
A.-6B.2C.3D.6分析：本题考察的是函数极限的概念及运算，已知当x→∞时函数的极限值求a，属于简单题。
例2：（2010年湖北卷理科7题）在半径为r的圆内做内接正六边形，再做内接正六边形的内接圆，又在此内接圆内做内接正六边形，如此无限继续下去。
设Sn为前n个圆的面积之和，则■Sn=( )。
A.2πr2 B.■πr2 C.4πr2 D.6πr2分析：先求出这n个圆各自的半径rn=(■)n-1r，得到圆的面积Sn关于rn的表达式Sn=π[(■)n-1r]2，我们知道Sn是随着n的变化而变化的，n的变化是无限的。
各个圆的面积Sn组成了一个无穷递缩等比数列，此题研究的是n无穷大时数列极限的问题，它将圆的面积之和转化为当n→∞时Sn的极限值，是有限与无限思想的典型应用。
极限研究的是数列和函数在无限过程中的变化趋势，从无限回归到有限或将有限化为无限是解决这类问题的指导思想。
二、在导数中的应用导数是高考必考的知识，对导数的运算及其实际意义和几何意义的考查主要以选择填空为主，难度适中。
解答题的难度一般在中等以上，主要考查导数在函数的极值、最值和单调性中的应用，常与不等式、三角函数、解析几何、平面向量等内容相结合。
例谈中学数学中的“有限”与“无限”
例谈中学数学中的“有限”与“无限”作者：陆丽滨沈恒李云来源：《中学数学杂志(高中版)》2010年第02期日常生活中,我们常常和有限、无限打交道:天空有边吗?星星有多少?两面镜子对照,镜子中有镜子,…,一共有多少面?文学作品中,如王之涣的“欲穷千里目,更上一层楼”;李白的“孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流”;中国古代的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”等等,都是一种有限与无限的结合.在数学教育界也有两个尴尬的故事:一件是有一天《参考消息》译载美报刊上的“新闻”说:“美一位中学生找到了圆周率π的末位小数”,π是无理数,怎么有末位小数呢?这是个常识性错误,却经编辑与千百个人之手被广泛传播.另一件是关于0.9[DD(]•[DD)]=1对吗?其中绝大多数师生认为“这是近似等式”,虽然最后结论是精确等式,却仍有千千万万的人“不服”.又是一个涉及无限观的常识性问题.在今天的中学数学中,也有很多关于有限和无限的数学知识.美籍德国数学家魏尔说:“数学是关于无限的科学.”其中有限的方面叫人感觉具体、形象,便于教师教与学生学;而无限的方面使学生充满想象,让人对数学更多一份理性的思考.有限建立在无限基础之上,无限是有限的延伸.魏尔又指出:无限在数学中占有十分重要的地位,甚至可以说它是整个数学的基础.在新课标教学中,笔者发现从必修1集合中的元素个数比较到必修3新增内容古典概型、几何概型等等,无不体现中学数学的“有限”与“无限”.下文浅谈一些中学数学中的“有限”与“无限”.1 比较两个集合的元素个数人民教育出版社高中数学A版《必修1》第14页(2007年1月第2版,2008年5月浙江第6次印刷)阅读材料——“有限集合中元素的个数,可以一一数出来,而对于元素个数无限的集合,例如:A={1,2,…,n,…},B={2,4,…,2n,…},我们无法数出集合中的元素个数,但可以比较这两个集合的元素个数的多少.你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗?”笔者不妨再问:“集合B是集合A的真子集吗?”我们都知道在有限集中,整体必定大于部分.但是无限集中呢?其实,无限集与有限集中的“全部大于部分”是相矛盾的,而这也正是康托尔认为的无限集的特征之一.实际上,康托尔把正整数集的势(元素个数)称之为“阿列夫零”个,计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数.康托尔把集合的元素个数叫做基数,有限集合的基数是自然数,无限集合的基数叫超限数.康托尔进一步论证了无理数集、实数集是不可数集,但它们之间存在着一一对应关系,也就是说有比自然数集合更大的集合,有更大的超限数.康托尔还发现,任一线段上的点能与全直线上的点,与正方形内的点,与立方体内的点构成一一对应.他甚至证明,一条直线上的点能与n维空间的点构成一一对应.这与我们关于大小的观念相矛盾,是按数学常识根本无法想象的,康托尔还证明了比实数集合更大的集合.今天,集合论已经成为整个数学的基础,以至于希尔伯特动情地说:“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去”,“康托尔的超限算数是数学思想的最惊人的产物,是在纯粹理性的范畴中,人类活动最美的表现之一.”为此,有如下定理:(1)两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数.(2)有限集合不和其任何真子集等势.(3)无限集合可以和其真子集等势.2 割圆术,化直为曲刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时,从内接正六边形(“六觚”)开始割圆,依次得到内接正十二边形(“十二觚”)、正二十四边形(“二十四觚”)、……,“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”这种处理是比较符合直观的.从6边形到12边形、到24边形、……,在这样越来越接近圆面积的趋势中,圆以多边形代替,所失的面积会越来越少,这样他就很自然的会觉得多边形和圆会越来越接近重合.刘徼的割圆术是他成功应用无穷小分割思想和极限思想的光辉典范,架起了通向微积分的桥梁.正是在这种思想的指引下,刘徽与阿基米德已经有了极限的思想.后继者们在他们开辟的道路上继续前进.德国的开普勒发明了“同维无穷小法”求体积,法国的费马研究了切线、极值等问题,而英国的巴罗则引入了微分三角形.这一切为两个划时代人物的到来拉开了帷幕:牛顿和莱布尼茨.两人各自独立地创立了微积分.这种“化直为曲无限化”的数学思想,是学生学习从“有限”到“无限”的一种飞跃!也为其学习定积分建立良好的数学思想基础.3 数式中的有限与无限3.1 (定)积分看看牛顿和莱布尼茨发展的积分,它们均来源于求曲多边形的面积.方法大致为:分割、近似求和、取极限.这里的分割是一种动态无限的过程.在保证最大区间长度趋于零的条件下,分割而成的区间数目趋于无穷.从有限个矩形到无限块和,利用积分可以计算不规则图形面积.例如:求由函数f(x),直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积.。
有限及无限
• 第一部分 由芝诺悖论反映出的“无穷观” • 第二部分 由微积分看数学家们的“无穷观” • 第三部分 康托集合论中的“无穷观”
第一部分 芝诺悖论的反映出“无穷观”
• 一、如何理解悖论？悖论中的“无穷观” • 二、希腊人的“无穷观”
观点：古希腊人对无穷的认识已经很深刻了，从阿基米 德的工作看，他们离微积分只有“一步之遥”，但是，由于 没有先进的符号系统，由于占领者罗马人的务实（造化弄 人），这一步人类化了近２０００年！
y Q
o
x
P
解，设飞行员的重力为Q，飞行员对座椅的压力为P，则
如图,受力分析 F Q P,
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F mv 2 .
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
MQ x dx,QP dy,
dL(弧微分）= MN 弦MN 切线长MP(观点）.
这里的无穷体现在两个方面： 第一，曲线长是折线长的无穷和（极限）； 第二， dx,dy应理解成无穷小量.
意义即微元素法.例：
1)L =
b
b
dL=
dx 2 dy2；
a
a
2)dy QP QN ydx
安蒂丰（ Antiphon ,B.C480-B.C411)
“根据自然，我们大家在各方面都是平等的，并且无论是蛮族人，还 是希腊人，都是如此。在这里，应当适时地注意，所有人自然需求都是 一样的。”
高中数学解题思想方法-有限与无限思想
从感性到理性、从具体到抽象————谈谈有限与无限思想导语：有限与无限思想揭示了变量与常量,有限与无限的对立统一的关系。
借助有限与无限思想,人们可以从有限认识无限,从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确。
在初等微积分的学习中应抓住基本概念,突出内在的联系,贯穿基本思想方法。
具体说来,以数列极限为基础,突出微分、积分及其内在联系。
极限、微分、积分概念、极限方法、运动辩证思想和数学观念的培养,贯穿了微积分的全部内容。
从进入高二阶段学习的学生的认知水平上来看,已开始摆脱具体事物的形式,进入抽象、概括、分析、综合、演绎、归纳等一般化理论思维阶段,开始向更高级的思维——辩证思维形式发展。
其本质问题是对无限的认识,让学生从感性材料中去感受和体验。
提炼和概括,逐步上升到理性认识,感受抽象思维的过程和辩证思维的体现。
《新课标》倡导数学课程“强调本质,注意适度形式化”。
高中数学课程的讲授应注意数学概念、法则、结论的发展过程和本质,由于极限概念本身牵涉到“无穷大”、“任意小”、“无限逼近”等数学术语,这些词语都比较抽象。
因此在极限的概念教学过程中,我们应该注意从实际问题引入将抽象具体化从而使学生更好地理解极限。
内容：微积分的很多方法在中学数学的很多问题上能够以简驭繁,尤其在证明不等式、恒等式及恒等变形；求极值；研究函数的变化上,可以使解法简化,并能使问题的研究更为深入全面。
以下重点阐述不等式的证明中有限与无限思想：在研究变化过程变量之间相互制约关系时,更多的是对不等式的研究,从某种意义上来说,不等式的证明方法多种多样,没有较为统一的方法,初等数学中经常通过恒等变形、数学归纳法、二次型等方法解决,或运用已有的基本不等式来证明,往往需要恒等变形,而运用微积分的知识和方法,如函数单调性、极值判定法,可以简化不等式的证明过程,降低技巧性。
例题已知函数1()ln 1x f x x+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时,3()2()3x f x x >+； （Ⅲ）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立,求k 的最大值． 分析：本题主要考查对数函数的性质和导数公式,复合函数的求导法则,考查导数的几何意义,导数的正负和函数单调性的关系。
高等数学教学有限与无限过程的划分
高等数学教学有限与无限过程的划分[摘要] 高等数学教学中有限与无限量的变化规律及有联系又有区别,在教学中要时刻注意区分,这样才不致于出现把有限量的法则,规律用于无限量.[关键词] 教学;有限;无限;区分.高等数学是由极限的思想和理论产生发展起来的,并以极限为工具刻划了微分和积分以及无穷级数等无限过程的概念.通过有限到无限变化过程的描述,把直与曲,方与圆,变与不变等矛盾从代数与几何的双重角度分析,归纳使之化为辩证的统一.那么有限与无限过程是如何演变的,在教学中又如何区分呢,下面举例说明.一. 圆的面积.三国时代我国著名数学家刘徽创造了”割圆术”,从而解决了求圆面积的问题他首先做圆内接正六边形 ,再做正12边形,正24边形……一直做下去,虽然边数越来越多,但是无论是正几边形,哪怕是成千上万边形,它都不是圆,仍然是正多边形,只有当边数无限增大时,这个无限就成为转折点把有限过程转化为无限过程,从而发生了质的变化,直边演变成了曲边,内接正多边形演变成了圆,从而得到正多边形面积当边数无限增大时的极限就是圆的面积.这个过程经过了若干年,这样随着圆面积的求法产生了极限的概念,这是无限过程的硕果,这个发明充分的体现出人类无限的想象力和非凡的创造力.经过极限这个无限过程,使正多边形发生了质的变化,演变成一个圆.使几何上直线与曲线得到辩证统一.其实在解析几何里直线本来就是曲线的特例,化直为曲这是无限过程的非凡作用.是有限过程做不到的.同时以直代曲也是重要的数学思想.有限到无限是数学发展的一个飞跃.标志着数学发展到一个高级阶段.二. 有限集,无限集.我们每个人都知道整体大于部分这个事实,但在集合论中整体大于部分这条古老的公理却发生了矛盾.众所周知当两个集合的元素有一一对应关系时,其元素个数相等,比如集合A={1,2,3,4}和B={}4,3,2,12222它们可建立一一对应关系,所以它们的元素个数相等.但是对于自然数集N={1,2,3,4…}和其平方数集M={...}4,3,2,12222就不那么简单了,显然M 是N 的部分元素构成的集合,比如2N ∈但2M ∉,然而N 与M 两个集合的元素也可建立一一对应关系,因此它们的元素个数应该相等.这使我们很难理解,整体既然大于部分,它怎么又等于部分呢?这是否具有普遍性呢?经过分析,在有限集中整体总大于部分,看来是无限集惹得祸,确实在无限集中整体大于部分就失灵了,我们不能简单的说两个无限集的元素谁多谁少.这个事实提醒我们在教学中有限集和无限集的理论不能混为一谈,有限集的有些理论,法则,公理不能直接用到无限集.三. 定积分的概念我们知道定积分⎰badx x f )(是一个积和式的极限.由于=⎰b a dx x f )(in i i x f ∆∑=→)(10lim ξλ,所以定积分可理解为无限多个无穷小的代数和,这个无限项代数和与有限项代数和有什么区别和联系呢,关于有限项的和对我们来说并不陌生,比如在极限里学过有限多个无穷小的代数和为无穷小,在微分里,有限个函数代数和的导数等于函数导数的代数和,在积分里,有限个函数代数和的积分等于函数积分的代数和等等,都特别强调了有限项.对于定积分来说它是无限项的和,能否沿用有限项和的性质与法则呢?如果用有限个无穷小的代数和为无穷小的性质,定积分是无穷小和的极限其值为零,这显然是错误的.否则就没有必要研究定积分的计算了,通过对定积分的研究发现其值可能是常数也可能不存在,这就是说有限项和与无限项和是有区别的,对于有限项代数和的法规,性质等 ,不能直接用到无限项上去,这说明有限项与无限项和的法则不通用,这也是我们在讲极限,微分,积分运算法则时强调有限项的必要性.要时刻注意区分有限与无限这两个概念不能混淆.四. 无穷级数的和众所周知有限项的代数和满足交换律,结合律在我们头脑中以是根深蒂固,但 对于无限项和是否满足交换律和结合律呢,我们还是以实例来说明吧,例如无穷级 数X=1-1+1-1+1-…求和时.由于(a) X=1-1+1-1+…=(1-1)+(1-1)+…=0+0+…=0.所以X=0.(b)X=1-1+1-1+1-…=1-(1-1)-(1-1)-…=1-0-0-…=1.所以X=1.(c)X=1-1+1-1+1…=1-(1-1+1-1+1…)=1-X. 2X=1.所以X=21 综上所述0=21=1.两端同乘以任何数得,0=任何数.这显然是不正确的,错误的原因是什么呢,我们很难发现,那么也只能归结为无限项和的原因,分析上述三种算法都用到了加法的结合律,而对于无穷级数来说不一定满足加法结合律.其实该级数是发散的.对于上述错误都是由于把加法的结合律搬到了无限项和上去,因此区分有限与无限项的和就显得非常重要.加法的结合律只是满足有限项的和,当我们把加法的项数推广到无限项的时候,同时失去了加法结合律.在进行代数和运算时要特别加以重视,不然我们就会犯类似错误.五. 无穷大的运算我们学过两个无穷小的比较,有高阶,低阶,同阶和等价之分.对于无穷大其实我们也可用无穷小阶的定义方法,用其商的极限进行比较,来定义无穷大的阶数,但对于两无穷大的代数和是什么,又如何进行运算呢?由于无穷大不是具体的数它描述的是变量的一个无限变化趋势是不确定的,因此两无穷大的和也不确定,特别是∞-∞它可能是无穷大也可能不是,但是它不一定是零,因为两无穷大的变化速度不一定相同,因此无穷大的代数和的运算,只能用极限方法先变形在计算,因此我们在遇到无穷大的运算时要给予足够的重视它不是具体数而是一变化过程,因此不能代数运算法则进行运算.总之在进行高等数学教学中,要时刻注意变量的有限与无限的变化过程,要注意它们及有区别又有联系和它们对立的统一,有的量经过无限变化过程可以发生质的变化.使原来的面目全非,而有限量的运算规律不一定适合无限量,特别是我们熟悉的四则运算有限项适用对无限项就不一定适用,然而无限过程又是由有限过程演变,抽象而来.就是这种从特殊到一般,从具体到抽象的变化过程把我们认为可以推广的理论确不能推广,表面上看可以归纳猜想的理论却是错误的,就是因为无限变化过程与有限变化过程存在着本质区别.如果我们准确的理解掌握并时刻注意有限与无限过程的联系与区别,那么高等数学中变量的无限的变化规律就在我们掌握之中,使有限与无限产生的矛盾得到解决,成为一个辩证的统一体.[参考文献][1]同济大学数学教研室主编[高等数学][2]王庚著[数学文化与数学教育]。
数学中的有限和无限
数学中的有限和无限庄清清摘要本文主要总结了数学中有限与无限的关系，通过实例讨论了无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，并讨论了它们的质的区别以及相互关系，为更好的理解有限和无限的关系提供了一些参考.关键词有限，无限关系1 引言“数学是讲述无限的科学.”这句话是代表20世纪数学界辉煌发展的著名数学家、美国普林斯顿高级研究所魏尔教授的至理名言.怎么听起来，这话让人感觉有些奇特而难以捉摸，但事实上数学中的无限的确蕴含着许多令人不可思议奥秘的东西.然而，以前人们都认为数学是有限的，直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后，人们才清醒地意识到数学是从有限向无限发展的.这一个发现，结束了初等数学年代而进入了变量数学年代.美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位，甚至可以说，没有无限的延伸，就没有现代的科学数学.在我们的日常生活当中，我们一般都习惯了数学领域的有限性，因为我们所接触的东西大多数都可以摁摁手指或者脚趾就可以数得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盘子等等，于是无限的领域就像个无底洞，让我们觉得高深莫测了，但是当我们仔细地想一想，就会清楚地发现数学中，无限其实是由有限构成，而有限又包含着无限，两者相互交叉，相互联系，就例如我们生活中最常见的一条绳子，你就可以将它剪成无数的小段一样，另外我们大家所熟悉的自然数序列“1，2，3，4，5，6，7，8，9， ,n , ”，当你一个个数字的去数，你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列，这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域，然而，它又恰恰是由一个个有限的单位组成的.无限是如此的神秘，“自古以来，没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神.同时，也没有别的概念像它这 ”1.它引发了三次数学危机：第一次危机发生在公元前580～568样迫切需要澄清年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾.这三次数学危机都使人们深刻地认识到无限的重要性.下面我们观察一下几个式子再如著名的康托（Cantor）集的构造6即我们所谓的三分点集构造：一段长度为一米的直线段，做以下处理 第一次 我们挖去一个，其长度31，而余下2个，长度31； 第二次 我们挖去两个，其长度91，而余下22个，长度21193；第n 次 我们挖去n 12个，其长度n 31，而余下n 2个，长度n 31； 显然，如此继续下去，直到无穷次后，由于在不断地分割舍弃的过程中，所形成的线段数目越来越多，而长度相对越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，而这个点集就是一个无限集.显然，这构造理论再次说明了有限是由无限组成的.再如，我们所有人都认识的两个简单的自然数0和1，然而在它们之间，我们却可以找得到无数个类似0.5，0.05，，0.1，0.01 这样的数字.另外，随意画出一个正三角形或者正方形或者圆，在其里面，我们可以做出无数个与之相似的正三角形或者正方形或者同心圆，这就是人们常说的无限封闭在有限里面（如下图）1.人们对数学中有限与无限的普遍认识都是，无限怎么都比有限广，比有限大，而无限由有限组成，但是站在不同的角度上面去看待这个问题，我们就会发现有限其实也是由无限组成，这一观点首先是由数学家们提出来的.我们说无限包含有限是无限存在于有限当中.恩格斯说:“无限纯粹是有限组成的，这一近视矛盾，可事情就是这样.” 7无限性是一个摸不着的、虚拟的东西，无限要通过有限展示出来，宇宙中的万物都是无数具体有限的事物构成.其次无限就是内在于有限当中的元素 ，辩证地思考无限，就不能仅仅停留在“无限的有限就构成无限”这一点上，我们必须进一步充分地认识它.从社会哲学的角度上看，任何事物本身就是一个矛盾体，所以任何事物都包含着突破自己.由此可见，离开有限，无限将不再存在.有限中包含着无限是说任何有限的东西都可以无限地分割，从原子向粒子的无限分割,事物会由于自身的矛盾推动而处于不安分的状态当中，于是不停地向比自己更小的事物转变.有限中存在着无限，在0到1的单位长度上存在着无数个有理数点，也存在着无数个无理数点.在整除的关系中约数是有限的，而倍数的个数是无限的，这就是我们说的有限由无限组成.5.无限是有限的延伸说到无限是有限的延伸，那么首先我们要说的就是大家都熟识的数学归纳法了.数|1时，→lim n 7.2 有限转化为无限和二项式定理，那我们能走多远呢？”7数学中的有限与无限就像是一对连体的婴儿，密切相连着，对立却又统一，谁都离不开谁.无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，它们之间矛盾地存在着，这就需要我们用辩证的思维去理解它，去认识它，它所能给我们带来的就是不断地去深思和探究.参考文献：[1]郭华.数学中的有限与无限[N].安阳工程学院学报，2009（1）.[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001，23-24.[3]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社，2001，2-54.[4]葛军，涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏：江苏教育出版社，2009，165-168.[5]张永康.试论数学中的有限与无限[N].工程兵工程学院学报，1989（1）.[6]王仲英，郝祥辉.数学中的有限和无限[J].高等数学研究，2007，10（1）：77-82.[7]刘大椿.自然辩证法概论[M].北京：中国人民大学出版社，2008，100-250.[8]李浙生.论数学中的有限与无限[N].辽宁教育学院学报，1994（4）.[9]仲田纪夫[日]著.丁树深译.无穷的奥秘及其演变[M].北京：科学出版社，2001，32-54.Mathematics of finite and infiniteZhuang QingqingAbstract：This paper mainly summarizes the relationship between finite and infinite in mathematics, by an example to discuss the infinite is the basis of finite, infinite is composed of a finite, finite is composed of an infinite, unlimited extension is finite, and discusses the difference and relation of the matter, and provides some referencesfor a better understanding of the finite and the infinite relationship Keywords:finite, infinite11。
数学中的有限和无限
数学中的有限和无限庄清清摘要本文主要总结了数学中有限与无限的关系，通过实例讨论了无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，并讨论了它们的质的区别以及相互关系，为更好的理解有限和无限的关系提供了一些参考.关键词有限，无限关系1 引言“数学是讲述无限的科学.”这句话是代表20世纪数学界辉煌发展的著名数学家、美国普林斯顿高级研究所魏尔教授的至理名言.怎么听起来，这话让人感觉有些奇特而难以捉摸，但事实上数学中的无限的确蕴含着许多令人不可思议奥秘的东西.然而，以前人们都认为数学是有限的，直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后，人们才清醒地意识到数学是从有限向无限发展的.这一个发现，结束了初等数学年代而进入了变量数学年代.美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位，甚至可以说，没有无限的延伸，就没有现代的科学数学.在我们的日常生活当中，我们一般都习惯了数学领域的有限性，因为我们所接触的东西大多数都可以摁摁手指或者脚趾就可以数得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盘子等等，于是无限的领域就像个无底洞，让我们觉得高深莫测了，但是当我们仔细地想一想，就会清楚地发现数学中，无限其实是由有限构成，而有限又包含着无限，两者相互交叉，相互联系，就例如我们生活中最常见的一条绳子，你就可以将它剪成无数的小段一样，另外我们大家所熟悉的自然数序列“1，2，3，4，5，6，7，8，9，Λ,n,Λ”，当你一个个数字的去数，你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列，这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域，然而，它又恰恰是由一个个有限的单位组成的.无限是如此的神秘，“自古以来，没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神.同时，也没有别的概念像它Λ”[]1.它引发了三次数学危机：第一次危机发生在公元前580～这样迫切需要澄清Λ568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾.这三次数学危机都使人们深刻地认识到无限的重要性.下面我们观察一下几个式子π=++++=+++=+++=+++=+++ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ001.004.01.03;91101101101;71818181;41515151;31003.003.03.0323232 我们可以得到无限个数的和可以是个有限数，另外我们还学过微积分，由此我们都知道任何积分都是一个趋于无限过程的结果，各种不同的积分有不同的趋于无限过程与结果.数学中的无限只有在与有限的辩证统一中去考虑，才能被理解，才能被运用，而在数学上，有限与无限的转化条件是：运用分析运算，微积分，极限等等手段来进行的，数学中的有限与无限是那么的复杂，那么下面我们就来探讨数学中有限与无限的区别与联系.2.无限是有限的基础3. 无限是由有限构成的有这样的一个故事，它是出自杰出的数学家大卫希尔伯特之口.一天夜里已经很晚了，一个人走进一家旅店想要住店.店主回答说：“对不起，我们没有任何空房间，但是让我看一下，或许我们能为你找到一个房间”.然后店主离开他的桌子，他不情愿地叫醒他的每位房客，并且请他们换一房间：一号房间的房客搬到二号房间，二号房间的房客搬到三号房间，三号房间的房客搬到四号房间，ΛΛ,如此依此类推下去，直到每个房客都搬到下一个房间为止.这时，另这个房客吃惊的是一号房间竟然被空出来了.如是他还高兴的搬了进去，然后安顿下来过了一夜.但是，有一个问题让他百思不得其解：为什么让每个房客搬到下一个房间就会把第一个房间空出来了呢因为这所旅店就是希尔伯特的旅店，它是城里一个据认为有无数房间的旅馆. []64 有限由无限组成公元前5世纪古希腊时代，在意大利半岛南部的埃利亚有一位叫芝诺的哲学家就留下一个很有意思的“二分说”论——为了从自己现处位置A，走向门的位置B，必须通过AB的中点.从A到AB的中点，其中间还有中点……[]9如此考虑下去，从A到B得有无穷个这类中点.由此可见，有限的AB段即使是很短很短的一段线段也是由无数个类似的中点组成的.最近在书上看到这样的一句话，我觉得引用来这里是一个很好的例子说明有限是由无限组成“一尺之锤，日取其半，万世不竭”[]2.说的就是一尺之长的短棍，今天取其中的一半，明天取其中的一半的一半，后天再取其中的一半的一半的一半，……依次类推下去，你就会发现这仅仅一尺之长的短棍竟然取不尽. 一尺之长的短棍本是一个有限的物体，但它却可以无限地分割下去.这就给我们讲明了其实有限和无限是统一，有限之中有无限，有限是由无限组成的.用数学的语言去表示，那就更加的一目了然.再如著名的康托（Cantor）集的构造[]6即我们所谓的三分点集构造：第一次 我们挖去一个，其长度31，而余下2个，长度31； 第二次 我们挖去两个，其长度91，而余下22个，长度21193=； ΛΛΛΛ 第n 次 我们挖去n 12-个，其长度n 31，而余下n 2个，长度n 31； 显然，如此继续下去，直到无穷次后，由于在不断地分割舍弃的过程中，所形成的线这个点集就是一个无限集.显然，这构造理论再次说明了有限是由无限组成的.再如，我们所有人都认识的两个简单的自然数0和1，然而在它们之间，我们却可以找得到无数个类似，，，，ΛΛ这样的数字.另外，随意画出一个正三角形或者正方形或者圆，在其里面，我们可以做出无数个与之相似的正三角形或者正方形或者同心圆，这就是人们常说的无限封闭在有限里面（如下图）[]1.人们对数学中有限与无限的普遍认识都是，无限怎么都比有限广，比有限大，而无限由有限组成，但是站在不同的角度上面去看待这个问题，我们就会发现有限其实也是由无限组成，这一观点首先是由数学家们提出来的.我们说无限包含有限是无限存在于有限当中.恩格斯说:“无限纯粹是有限组成的，这一近视矛盾，可事情就是这样.”[]7无限性是一个摸不着的、虚拟的东西，无限要通过有限展示出来，宇宙中的万物都是无数具体有限的事物构成.其次无限就是内在于有限当中的元素 ，辩证地思考无限，就不能仅仅停留在“无限的有限就构成无限”这一点上，我们必须进一步充分地认识它.从社会哲学的角度上看，任何事物本身就是一个矛盾体，所以任何事物都包含着突破自己.由此可见，离开有限，无限将不再存在.有限中包含着无限是说任何有限的东西都可以无限地分割，从原子向粒子的无限分割,事物会由于自身的矛盾推动而处于不安分的状态当中，于是不停地向比自己更小的事物转变.有限中存在着无限，在0到1的单位长度上存在着无数个有理数点，也存在着无数个无理数点.在整除的关系中约数是有限的，而倍数的个数是无限的，这就是我们说的有限由无限组成.5.无限是有限的延伸说到无限是有限的延伸，那么首先我们要说的就是大家都熟识的数学归纳法了.数学归纳法是高等数学中一种有关于证明k n =的方法.数学归纳法在中学以及大学中应用得都比较广泛，它是通过有限的步骤推出无限的结果.在数学归纳法中我们一般假定当1n =和k n =时命题成立，然后推导出当1k n +=时命题也成立时，该等式命题就成立，否则不成立，下面我们来举个例子说明一下：用[]4数学归纳法证明在自然数的序ΛΛΛΛ287654321216543211554321104321632132111=++++++=+++++=++++=+++=++=+= 在这里我们看到对于上面的每个等式都有总和∑=（首项+末项）⨯项数÷2，但这只是()()()()()()()()()[]21k 1k 12k 2k 121k 2k k 11k 2k k 11k k 54321++⨯+=+⨯+=+⨯+⨯+=++⨯+=++++++++Λ今天的天气情况的，彭加勒说：“在这样的情况下我们不能凭借单一的直接直觉洞察算术的普遍真理,为了获得最普遍的定理,我们不得不借助于递归推理,因为这是能使我们从有穷通向无穷的工具” []8.看到上述的数学归纳法，或许直到现在都还会有很多人误以为是“经验归纳法”，但数学归纳法和经验归纳法却有着本质的区别， 即使从名义上看它们都是归纳法的一种.经验归纳法是根据事物有限步伐内的发展情况直接按照人的主观思维推导出一般的规律，无论怎么样，这个规律都是没有被严格数学思维证明成立的，而数学归纳法是一个演绎推理的过程，它是通过用数学的方法来严格证明所得的普遍的定理，因而它能被我们所有人接受.6.有限与无限有着质的区别有限与无限是对立统一的，它们有着质的区别，但在一定条件下又可以互相化，只有用辩证法才能准确理解和认识有限与无限问题的区别.[]7恩格斯说：“数学只要引入无限大和无限小，它就会引入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的质的对立.”任何一个有限集里面都有这最大值与最小值，但是在无限集中却找不到，像()+∞∞-,中就不存在所谓的最大值和最小值.空间中两条铅垂线，当我们考虑的长度比较短时，那么可以认为它们是平行的，但从无限空间领域来考虑这两条铅垂线，它们却是相交于地心这一点的.在有限的范围内我们还看一下数学中常用的结合律显然成立，例如：767117151513131171515131311=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-但是在无限多项的求和定律中就不能运用这些求和定律了，例如：()()()1747453533232174535332321n ,1n 21-n 21751531311=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞∈+++⨯+⨯+⨯ΛΛΛΛΛΛ 在上面式子当中，第三步其实是错误的，是不允许这样做的.事实上,正确的算式应该如下：()()()()()()()()21n ,n121n ,12n n n ,12n 1n 1n ,12n 1n 1-2n n 1-2n n 7474535332321n ,12n 1n 1-2n n 74535332321n ,1n 21-n 21751531311=∞∈+=∞∈+=∞∈++-=∞∈++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞∈+++⨯+⨯+⨯ΛΛΛΛΛΛ 另外，再举一个例子()()()()()()()()21s 12s s-1s s 11111-1s 31s 0-1s 011111-1s 200001-11-11-1s 111111111s ===-+-+-==-+-+-==+++=+++=+-+-+-+-=所以那么，，所以上式中的因为右端括号内的值为为所以答案，故上式由上可知右端括号内为的种种答案ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 从上面我们可以看得出一个式子既可以得到三个答案，不过只可惜这三个答案都是错误的，其产生的原因正是计算无限领域时，不能像计算有限数字那样，随意运用结合律和分配律，由里往外一层层脱掉括号来得出答案s.在有限的集合中，整体大于部分是天经地义的，不容置疑的，但是在无限集合中就成了谬论，因为在无限集合当中，整体跟部分是可以相等，可以一一对应的.对于两个有限集合，如果我们不利用计算集合中元素个数的方法，那么我们怎样知道两个集合哪个包含哪个呢[]5有人举了一个十分通俗易懂的例子：假如房间中有若干凳子，相当于元素，让人们去坐凳子，每个人只可以坐一张凳子，相等的人数，假如有人坐不到凳子那么这个集合中的元素比人少，相反假如大家都找到凳子,那么凳子数和人数一样多.这种方法推广到无限集中呢正偶数集是正态数集的真子集，两个子集之间可以找到这样的一一的对应关系：2n n ,,63,42,21↔↔↔↔ΛΛ.任意两个集合只要能建立一一对应关系，就认为它们的数目一样多.后来康托提出了一个新的概念来表示无穷集合的大小，这就是我们在初等数学研究中学习的“基数”，在有限集中基数等于元素的个数，在无限集中，如果能建立一一对应的关系那么它们的基数就相等.我们都知道有限个连续函数之和还是连续函数，但是这个有限和的性质对于无限级数是不成立的.在我们学习过的知识里面我们还能举出无限个例子来说明有限和无限之间有着质的区别，在这里就不多说了.7.有限与无限之间相互转化无限转化为有限在数学中我们一般通过有限项之和的极限来定义无限项之和，通过有限维空间来研究无限维空间，这就是由无限转化为有限.例如：要证2n n n 28642+=+++++ΛΛ对于一切自然数都成立的话，那么要我们一一验证是不可能的，我们毫不犹豫地就要用到数学归纳法，在前面我们已经说过数学归纳法，现在就不再举例子说明.数学归纳法运用的原来是把无限步的推理过程转化为有限步，从而得到结果.在数学分析中我们计算函数的极限也是同样的道理，例如：计算数项级数()ΛΛΛΛ++++⨯+⨯+⨯1n n 1431321211 解：级数的第n 个部分和 ()1n 111n 1n 131212111n n 1431321211n +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++⨯+⨯+⨯=ΛΛΛΛs 由于11n 11lim lim n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→∞→s .还有在无限项的等比数列中求和，我们可以首先算出[]3有限项之和 qq a aq aq a s --=+++=11.n1-n n ΛΛ 当||1q <时，qa q q a s -=--=∞→∞→111.lim lim n n n n 有限转化为无限在初等数学研究中我们习惯于把有限的任一初等函数转化为无穷级数.例如：[]3()()ΛΛΛΛΛΛΛΛ++++++=+-+++-=-+n 4321n 21n 5321212121211!1-n 21!5!3sin x x x x x在《自然辩证法》恩格斯指出：“数学把某个确定的数，例如二项式，作无穷级数，即化作某种不定的东西，从人的常识来说，这是荒谬的举动，但是，如果没有无穷级数和二项式定理，那我们能走多远呢”[]7数学中的有限与无限就像是一对连体的婴儿，密切相连着，对立却又统一，谁都离不开谁.无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，它们之间矛盾地存在着，这就需要我们用辩证的思维去理解它，去认识它，它所能给我们带来的就是不断地去深思和探究.参考文献：[1]郭华.数学中的有限与无限[N].安阳工程学院学报，2009（1）.[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001，23-24.[3]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社，2001，2-54.[4]葛军，涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏：江苏教育出版社，2009，165-168.[5]张永康.试论数学中的有限与无限[N].工程兵工程学院学报，1989（1）.[6]王仲英，郝祥辉.数学中的有限和无限[J].高等数学研究，2007，10（1）：77-82.[7]刘大椿.自然辩证法概论[M].北京：中国人民大学出版社，2008，100-250.[8]李浙生.论数学中的有限与无限[N].辽宁教育学院学报，1994（4）.[9]仲田纪夫[日]著.丁树深译.无穷的奥秘及其演变[M].北京：科学出版社，2001，32-54.Mathematics of finite and infiniteZhuang QingqingAbstract：This paper mainly summarizes the relationship between finite and infinite in mathematics, by an example to discuss the infinite is the basis of finite, infinite is composed of a finite, finite is composed of an infinite, unlimited extension is finite, and discusses the difference and relation of the matter, and provides some references for a better understanding of the finite and the infinite relationshipKeywords:finite, infinite。
数学中的有限与无限
话， 那么数字计算的整个系统 —— 我们熟悉的算术规则 ， 将会像一个用纸牌搭成 的房子那样倒塌． 设 想一 下 如果 确实 存在 这种 数 ， 如 １ ００那 么 ， 例 ００ ， 我们 不但 得忽 略 比 １００大 的任 何 东 西 ， 且结 ００ 而
果 超 过 １０ ０ ０ ０ 的所 有计 算 （ 例如 ９ ９ ＋２ ３０ ＋８０ ） ９９ 或 ００ ００ 都将 变得 “ 不合 法 ”换 句话 说 ， 常 的计算 ， 通 技巧 必须 抛弃 ， 幸 的是情 况并 非如 此． 所 我们 总是把 计 数数 的 无 限性 当作 一 个 公 理 ， 就 是 说 当作 也
在几何学中十分重要的“ 直线” 概念 ， 也是 以类似假定为基础的 ： 我们能够在两个方 向上无 限
地延 长一条 直线 —— 至少 在原 理上 如此． 同一平 面 内两条 直线平 行 ， 在 我们是 说 它们永 远 不相交 ， 没有交 点 ； 两条 直线 相交 ， 是说它 们有 且仅有 一个 交点 ． 平行”和“ 交”没 有 无 限作 基 础 ， 难 说 “ 相 很 清楚 ， 更难 理解 ． 甚 至 在像概 率 这样 看起 来 “ 限 的”数 学分 支 中 ， 限的概 念 也起 着 一种 微妙 的作 用 ： 有 无 当我 们
摘 要 数学 中有限和无 限的关 系体现 了哲学 中的辩证 关系 ： 有限建立在无 限基础之 上 ， 限由无限组成 － 有 无
限 是 有 限 的 延 伸 ， 限 和 无 限又 毫 无 关 系． 有
关键词 有限 ｌ 限 ｝ 无 可数 Ｉ 数 ｌ 限数 基 超
中圈分类号
０１ ４ １ ４ ．
一
个 其实 效性 可被 认为 理所 当然 的语 句 ， 如果 以一种 更 正规 的方 式叙 述 ， 公理 可 表 述 为 ： 个 自 该 每 有 限的运算是建 立在无 限的保证基础之 上 ， 无限就象一 个个无孔 不入的微 尘充满 在 大气 中， 论 不
【高考数学二轮复习思想方法与解题技巧】有限与无限之间的转化与变换与多元与一元的转化与变换-原卷+解析
第39讲 有限与无限之间的转化与变换有限与无限的思想方法，也是一种思维方法，一种解决数学问题的方法，考试中心对考试大纲的解读中指出:“高考中对有限与无限的思想的考查才刚刚起步，并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想。
比如，在使用由特殊到一 般的归纳思想时，含有有限与无限的思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问 题，体现的是有限与无限的思想等等。
"中学数学中占有重要地位的极限思想，从中学数学教学角度看， 着重从直观上考查无穷运动，从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变，形象地展现了有限与无限之间的转化与变换。
典型例题【例1】在正 n 棱雉中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）。
A ． 1,n n ππ-⎛⎫⎪⎝⎭B. 2,n n ππ-⎛⎫⎪⎝⎭C.()0,2πD.21,n n n n ππ--⎛⎫⎪⎝⎭【例 2】对任何 ()1,x a ∈, 都有（ ）成立. A. ()()22log log log log a a a a x x x <<B. ()()22log log log log a a a a x x x <<C. ()()22log log log log a a a a x x x <<D. ()()22log log log log a a a a x x x <<【例 3】 已知抛物线方程 22(0)y px p =>, 试问:在x 轴正方向上是否必存在一点M , 使得对于抛物线上任意一条过M 的弦 PQ 均有 2211MP MQ + 为定值。
【例 4】 设数列 {}n a 的前 n 项的和 14122,1,2,3,333n n n S a n +=-⨯+=.(1) 求首项 1a 与通项 n a ;(2) 设 2,1,2,3,nn nT n S ==, 证明 132ni i T =∑<.第40讲 多元与一元的转化与变换在一个数学问题中有多个字母或末知数会给解题带来困难,解决问题的方法是想办法消去过多的字母, 从而使问题变得简单, 消元思想就是由一些元素间的已知等量关系, 通过有限次的变换消去其中某些元素, 从而得出其他一些元素之间的等量关系的解题思想,通常用代人、加减,乘除、代换等方法消元, 三角换元法在多元向一元的转化与变换中显示出其特有的功能.典型例题【例 1 】已知 0,1a a >≠, 试求使方程 ()()222log log a a x ak x a-=- 有解的 k 的取值范围.【例 2】 已知 221x xy y -+=, 求 22x y - 的取值范围.【例 3】 设 ,x y ∈R 且 22326x y x +=, 求 22x y + 的取值范围.【例 4 】(1) 已知实数,x y 满足方程 22(2)1x y ++=, 求12y x -- 的最小值; (2) 若实数 ,x y 满足方程 222410x y x y +--+=, 求代数式2yx + 的取值范围.第39讲 有限与无限之间的转化与变换有限与无限的思想方法，也是一种思维方法，一种解决数学问题的方法，考试中心对考试大纲的解读中指出:“高考中对有限与无限的思想的考查才刚刚起步，并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想。
数学中的“有限与无限”的思想
数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求 极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1.在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+ ，*n N ∈,其中,a b 为常数，则li m n nnnn a b a b →∞-+的值是 . 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)nn q q →∞=∈)来解决新的极限问题.【答案】由542n a n =-知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1)422n n n a a a n -++=+⋅ 2an bn =+，解得2a =，12b =-，从而11()1()4lim lim lim 111()1()4n n n nn n n n n n nb a b a b a b a →∞→∞→∞---===+++. 2. 已知数列{}n a 满足1a a =,111n na a +=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1a =时，得到无穷数列：;.,35,23,2,1 当21-=a 时,得到有穷数列：0,1,21--. （Ⅰ）求当a 为何值时40a =； （Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =-, 11()1n n n N b b ++=∈-，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围. 【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个n b 都可以得到一个有穷数列{a n }的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个n 都成立的结果，通过有限次分析获得解决.【答案】（Ⅰ）11211111,1,11,n n a a a a a a a a a++==+∴=+=+=34231211321,1.121a a a a a a a a ++=+==+=++ 420.3a a =-=故当时(Ⅱ) 解法一：11-=b ,11,1111+=-=++n n n n b b b b ,当1b a =时,01112=+=b a ,当2b a =时,111112-==+=b b a ,03=∴a ,当3b a =时,23211b b a =+=,111111223-==+=+=∴b b a a 04=∴a .一般地, 当n b a =时,,01=+n a 可得一个含有1+n 项的有穷数列121,.,+n a a a .下面用数学归纳法证明. 当1=n 时, 1b a =,显然01112=+=b a ,可得一个含有2项的有穷数列.,21a a 假设当k n =时,k b a =,得到一个含有1+k 项的有穷数列121,.,+k a a a ,其中01=+k a ,则1+=k n 时,1+=k b a ,k k b b a =+=∴+1211,由假设可知, 得到一个含有1+k 项的有穷数列232,,,+k a a a ,其中02=+k a .所以,当1+=k n 时, 可以得到一个含有2+k 项的有穷数列1a ,232,,,+k a a a ,其中02=+k a 由(1),(2)知,对一切+∈N n ,命题都成立. 解法二：11111,, 1.1n n n n b b b b b b ++=-=∴=+- 21132211112{}.11,11,1111,...1111 1.0.n n n n nn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a b ---+-==∴=+=+=∴=+=+=∴=+=+==-∴= 取数列中的任一个数不妨设故a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .（Ⅲ）)4(223≥<<n a n 即211231<+<-n a ,211<<∴-n a 所以要使)4(223≥<<n a n ,当且仅当它的前一项1-n a 满足211<<-n a .由于()2,12,23⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以只须当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,23k a 时,都有⎪⎭⎫⎝⎛∈2,23n a ()5≥n由12234++=a a a ,得2122323<++<a a , 解得0>a . 3．在数列||n a ，||nb 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）.（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…．可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得 2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，,所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立． （Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭……111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭. 综上，原不等式成立． 三、名校试题1.数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,...n =) ，且321.8a a -=（1）求c 的值；（2）① 证明：1n na a +<；② 猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项23a a 、后可得c 的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出{}n a 的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得2n a <.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（Ⅰ）依题意，222211322111111.222222a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由3218a a -=，得21111122228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）.（Ⅱ）① 证明：因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=.因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,...n =).② 数列{}n a 有极限,且 lim 2n n a →∞=.（Ⅲ）由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，从而111122n n n a a a +=---. 因为1a =，所以 111111 1.nn⎛⎫=-=-=- ⎪∑∑所以21111111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nn n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑因为11a =，由（Ⅱ）① 得 1n a ≥ (*n ∈N ). （*）下面用数学归纳法证明：对于任意*n ∈N ，有2n a <成立. 当1n =时，由11a =，显然结论成立. 假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a <因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增，所以2113(21)222k a +<-+=.即当1n k =+时，结论也成立. 于是，当*n ∈N 时，有2n a <成立. （**）根据（*）及（**）得 12n a ≤<. 由11a = 及21122n n n a a a +=-+， 经计算可得23313.28a a ==，所以，当1n =时，2114039a a <；当2n =时，312114039a a a +=； 当3n ≥时，由11328n a +<<，得11111(53)(813)1400 , 3939(2)nn n n k kn a a a a a +++=++--=>⋅-∑ 所以1114039nn k ka a +=>∑. 2．数列{}n a 的首项1a =1，前n 项和为n S 满足12(1)n n k S a +=-（常数0k >，*N n ∈）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列.（2）设数列{}n a 的公比为()f k ，作数列{}n b ，使13b =，11()n n b f b -=（n =2，3，4，…） 求数列{}n b 的通项公式；（3）设2n n c b =-，若存在*N m ∈，且m n <；使l i mn →∞（112m m m m c c c c +++++…1n n c c ++）1<2007，试求m 的最小值．【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m 的最小值.【答案】 解：（1）12(1)n n k S a +=- ①当2n ≥时， 12(1)n n k S a -=-②①—②得，12()n n n a k a a +=-即121n n ka k a +=+（2）由①, 1112a k =+，∴1211122n na k k k a ++==+，又21112a a k=+符合上式，∴{}n a 是以1为首项，112k +为公比的等比数列． （2）由（1）知()f k =112k +，∴1111()12n n n b f b b --==+（2n ≥）， ∴112(2)2n n b b --=-.又13b =，即121b -=，1122n n b b -=-， ∴数列{}2n b -是为1首项，12为公比的等比数列． ∴112()2n n b --=，∴112()2n n b -=+．（3）由（2）知112()2n n n c b -=-=，则2111()2n n n c c -+⋅=.∴112lim(m m m m n c c c c +++→∞++…1n n c c ++）=111111lim ...222m m n -+-→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦222n （）（）（） =1111141122lim 132200714m m n --→∞-=<-22n+2（）（）（）， ∴3112669m -<2（），∴9669m ->22. ∵5126691024<<，∴2310m -≥， 6.5m ≥. 又∵*N m ∈，∴m 的最小值为7.四、考点预测(一)考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.(二)考点预测题1．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．【解析】本题设出首项，表示出通项和前n 和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识lim 0n a n →∞=和2lim 0n an→∞=，其中a 为常数.【答案】设首项为1a ，则112(1)21n n n a a a =+-=+-，1(1)22n n n n S a -=+⨯ 21(1)n n a =+-，2222111112222(21)34(1)(1)lim lim lim (1)(1)nn n n n n n n n a n S n n n n a a a a a →∞→∞→∞+--+-+--∴==+-+- 111224(1)(1)3lim3(1)1n n n na a a →∞--++=-+.2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a．．．．．．记表中的第一列数1247,...a a a a ，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 【解析】第（Ⅰ）问从无穷数列{}n a 中抽出它的一个无穷的子数列，由n S 与n b 的递推关系式消去n b ，从而证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷的等差数列. 第（Ⅱ）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和. 【答案】（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-， 又12n n S b b b =+++ ，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--， 即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=，又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++== ，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==-． 2b =-2q =记表中第(3)k k≥行所有项的和为S，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k kk kb qS kq k k k k--==-=--+-+≥教你如何用WORD文档(2012-06-27 192246)转载▼标签：杂谈1. 问：WORD 里边怎样设置每页不同的页眉？如何使不同的章节显示的页眉不同？答：分节，每节可以设置不同的页眉。
数学中的“有限与无限”的思想
数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1.在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+L ，*n N ∈,其中,a b 为常数，则lim n n n nn a b a b →∞-+的值是 . 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)nn q q →∞=∈)来解决新的极限问题.【答案】由542n a n =-知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1)422n n n a a a n -++=+⋅L 2an bn =+，解得2a =，12b =-，从而11()1()4lim lim lim 111()1()4n n n nn n n n n n nb a b a b a b a →∞→∞→∞---===+++. 2. 已知数列{}n a 满足1a a =,111n na a +=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1a =时，得到无穷数列：;.,35,23,2,1K 当21-=a 时,得到有穷数列：0,1,21--. （Ⅰ）求当a 为何值时40a =； （Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =-, 11()1n n n N b b ++=∈-，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围. 【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个n b 都可以得到一个有穷数列{a n }的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个n 都成立的结果，通过有限次分析获得解决.【答案】（Ⅰ）11211111,1,11,n n a a a a a a a a a++==+∴=+=+=Q34231211321,1.121a a a a a a a a ++=+==+=++ 420.3a a =-=故当时 (Ⅱ) 解法一：11-=b Θ,11,1111+=-=++n n n n b b b b , 当1b a =时,01112=+=b a , 当2b a =时,111112-==+=b b a ,03=∴a , 当3b a =时,23211b b a =+=,111111223-==+=+=∴b b a a 04=∴a . 一般地, 当n b a =时,,01=+n a 可得一个含有1+n 项的有穷数列121,.,+n a a a Λ. 下面用数学归纳法证明.当1=n 时, 1b a =,显然01112=+=b a ,可得一个含有2项的有穷数列.,21a a 假设当k n =时,k b a =,得到一个含有1+k 项的有穷数列121,.,+k a a a Λ,其中01=+k a ,则1+=k n 时,1+=k b a ,k k b b a =+=∴+1211,由假设可知, 得到一个含有1+k 项的有穷数列232,,,+k a a a Λ,其中02=+k a .所以,当1+=k n 时, 可以得到一个含有2+k 项的有穷数列1a ,232,,,+k a a a Λ,其中02=+k a 由(1),(2)知,对一切+∈N n ,命题都成立. 解法二：11111,, 1.1n n n n b b b b b b ++=-=∴=+-Q 21132211112{}.11,11,1111,...1111 1.0.n n n n nn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a b ---+-==∴=+=+=∴=+=+=∴=+=+==-∴=Q 取数列中的任一个数不妨设故a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .（Ⅲ）)4(223≥<<n a n 即211231<+<-n a ,211<<∴-n a 所以要使)4(223≥<<n a n ,当且仅当它的前一项1-n a 满足211<<-n a .由于()2,12,23⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以只须当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,23k a 时,都有⎪⎭⎫⎝⎛∈2,23n a ()5≥n由12234++=a a a ,得2122323<++<a a , 解得0>a .3．在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）.（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…． 【解析】第（Ⅰ）问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项（有限项） ，可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，,所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．（Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭...... 111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭. 综上，原不等式成立． 三、名校试题1.数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,...n =) ，且321.8a a -=（1）求c 的值；（2）① 证明：1n na a +<；② 猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项23a a 、后可得c 的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出{}n a 的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得2n a <.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（Ⅰ）依题意，222211322111111.222222a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由3218a a -=，得21111122228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）.（Ⅱ）① 证明：因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=.因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,...n =).② 数列{}n a 有极限,且 lim 2n n a →∞=.（Ⅲ）由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，从而111122n n n a a a +=---. 因为11a =，所以 111111111111 1.22222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++⎛⎫=-=-=- ⎪-----⎝⎭∑∑所以21111111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nn n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑因为11a =，由（Ⅱ）① 得 1n a ≥ (*n ∈N ). （*）下面用数学归纳法证明：对于任意*n ∈N ，有2n a <成立.当1n =时，由11a =，显然结论成立. 假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a < 因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增， 所以2113(21)222k a +<-+=.即当1n k =+时，结论也成立. 于是，当*n ∈N 时，有2n a <成立. （**） 根据（*）及（**）得 12n a ≤<.由11a = 及21122n n n a a a +=-+， 经计算可得23313.28a a ==，所以，当1n =时，2114039a a <；当2n =时，312114039a a a +=； 当3n ≥时，由11328n a +<<，得11111(53)(813)1400 , 3939(2)nn n n k kn a a a a a +++=++--=>⋅-∑ 所以1114039nn k ka a+=>∑. 2．数列{}n a 的首项1a =1，前n 项和为n S 满足12(1)n n k S a +=-（常数0k >，*N n ∈）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列.（2）设数列{}n a 的公比为()f k ，作数列{}n b ，使13b =，11()n n b f b -=（n =2，3，4，…） 求数列{}n b 的通项公式；（3）设2n n c b =-，若存在*N m ∈，且m n <；使lim n →∞（112m m m m c c c c +++++…1n n c c ++）1<2007，试求m 的最小值．【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m 的最小值.【答案】 解：（1）12(1)n n k S a +=- ①当2n ≥时， 12(1)n n k S a -=-②①—②得，12()n n n a k a a +=-即121n n ka k a +=+（2）由①, 1112a k =+，∴1211122n na k k k a ++==+，又21112a a k =+符合上式，∴{}n a 是以1为首项，112k+为公比的等比数列． （2）由（1）知()f k =112k+，∴1111()12n n n b f b b --==+（2n ≥）， ∴112(2)2n n b b --=-.又13b =，即121b -=，1122n n b b -=-， ∴数列{}2n b -是为1首项，12为公比的等比数列． ∴112()2n n b --=，∴112()2n n b -=+．（3）由（2）知112()2n n n c b -=-=，则2111()2n n n c c -+⋅=.∴112lim(m m m m n c c c c +++→∞++…1n n c c ++）=111111lim ...222m m n -+-→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦222n （）（）（） =1111141122lim 132200714m m n --→∞-=<-22n+2（）（）（）， ∴3112669m -<2（），∴9669m ->22. ∵5126691024<<，∴2310m -≥， 6.5m ≥. 又∵*N m ∈，∴m 的最小值为7.四、考点预测(一)考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.(二)考点预测题1．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．【解析】本题设出首项，表示出通项和前n 和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识lim 0n a n →∞=和2lim 0n an→∞=，其中a 为常数.【答案】设首项为1a ，则112(1)21n n n a a a =+-=+-，1(1)22n n n n S a -=+⨯ 21(1)n n a =+-，2222111112222(21)34(1)(1)lim lim lim (1)(1)nn n n n n n n n a n S n n n n a a a a a →∞→∞→∞+--+-+--∴==+-+- 111224(1)(1)3lim3(1)1n n n na a a →∞--++=-+.2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a．．．．．．记表中的第一列数1247,...a a a a ，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 【解析】第（Ⅰ）问从无穷数列{}n a 中抽出它的一个无穷的子数列，由n S 与n b 的递推关系式消去n b ，从而证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷的等差数列. 第（Ⅱ）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和. 【答案】（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-， 又12n n S b b b =+++L ，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--， 即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=， 又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++==L ，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==-g ．又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k≥行所有项的和为S，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k kk kb qS kq k k k k--==-=--+-+g≥。
数学文化--数学中的有限与无限
伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）， 意大利物理学家、天 文学家和哲学家，近 代实验科学的先驱者。
7
2.） “有限”时成立的许多命题，对“无 限”不再成立 （1）实数加法的结合律 在“有限”的情况下，加法结合律 成立:
(a+b)+c = a+(b+c) ， a，b， c
3）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的
结果，如
4）递推公式
1 i
i1 2
1
an an1 d ,
a1 = *
12
3. 数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的）
2）锉刀锉一个光滑零件： 每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
5
当初的伽利略悖论，就是因为没有看到 “无限”的这一个特点而产生的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n … ↕↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 … n2 …
[ 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的 元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推 出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。]
8
在“无限”的情况下，加法结合律不 再成立。如
1 (1) 1 (1) 1 (1) [1 (1)] [1 (1)] [1 (1)] 0 1 [(1) 1] [(1) 1] [(1) 1] 1
9
（2）有限级数一定有“和”。 √
n
ai 是个确定的数
i 1
无穷级数一定有“和”。 ×
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3） 不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的