谈谈对函数性质教学的认识
“三角函数的图象与性质”教学设计、反思与点评
一、内容和内容解析1.内容（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，包括正弦函数、余弦函数、正切函数图象的画法.（2）正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性、奇偶性、单调性和最大（小）值.2.内容解析内容的本质：三角函数的图象与性质的本质是周期现象的直观表示与代数表示，也是函数图象与性质研究的延续.蕴涵的思想和方法：三角函数是刻画周期现象的重要模型，函数的图象是周期现象的直观体现，函数的性质是周期变化规律的代数表现，所以模型思想、数形结合思想是学习三角函数的图象与性质中的重要思想方法.同时，由局部的正弦曲线得到完整的正弦曲线、由正弦曲线得到余弦曲线的过程中也蕴涵了换元转换的思想方法.知识的上、下位关系：三角函数是特殊的函数，是研究度量几何的基础，作为函数的下位知识，基本遵从函数的图象与性质的研究路径：现实背景—函数概念—图象—性质—应用.由于三角函数自身的特殊性，要充分借助单位圆及圆周运动的特性去研究三角函数的图象与性质.因此，研究正弦函数的图象与性质是根据定义借助单位圆直接画出函数的图象，再利用图象直观研究函数的性质；而研究正切函数的图象与性质是以定义为岀发点，先研究函数的部分性质，再结合定义和这些性质研究函数的图象，然后借助观察图象进一步获得函数的其他性质.育人价值：用三角函数来刻画圆周运动时角度与点的“位置”间的对应关系，这种思想方法帮助人们在观察客观事物的运动变化时，能建立起不同要素之间的联系，并用这种联系去研究、发现事物的运动变化规律，对提升人们的认识水平有重要意义和价值.因此，学习三角函数的图象与性质很有必要.一方面，帮助学生进一步熟悉函数的图象与性质的研究路径；另一方面，引导学生感受周而复始运动现象的变化规律及相应性质，培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等素养.教学重点：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象及主要性质，包括周期性、奇偶性、单调性、最大（小）值；研究函数图象与性质的一般思路和方法.“三角函数的图象与性质”教学设计、反思与点评陈智猛摘要：本节课教学的核心是画出正弦函数图象上的任意点T()x0，sin x0，经历观察角α与sinα的变化、教师示范、计算机演示、学生用“手工细线缠绕”法实践操作四个步骤．诱导公式是反映圆周运动中运动变化规律的代数式，它在简化函数图象的研究过程、由正弦曲线得到余弦曲线等方面都发挥着作用，使得数与形的联系得到充分体现．关键词：正弦函数；图象与性质；诱导公式；教学设计收稿日期：2020-12-29作者简介：陈智猛（1963—），男，中学高级教师，主要从事高中数学教育教学研究.··11二、目标和目标解析1.目标（1）能画出三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大（小）值.（2）建立三角函数定义（单位圆）与三角函数图象的联系，明确三角函数图象与性质的研究方法. 2.单元目标解析（1）研究正弦函数、余弦函数的图象与性质是先画函数图象后研究函数的性质.画正弦函数的图象有别于以往研究的函数图象，关键是画出图象上任意一点T()x0，sin x0；画余弦函数的图象主要是根据正弦函数、余弦函数的密切联系，利用图象变换得到余弦函数的图象.“五点（作图）法”是在精度要求不高、需反映曲线“波浪起伏”特点时画简图使用.（2）画正切函数的图象前要先研究正切函数的部分性质.根据函数性质知道，只需画出函数y=tan x，x∈éëöø0，π2的图象.画函数图象的关键是画出图象上的任意一点T()x0，tan x0.（3）函数的性质与图象相辅相成，不是一成不变的.本节课的学习既经历由函数图象到函数性质的研究过程，也经历由函数性质到函数图象再到函数性质的研究过程，全方位理解三角函数的图象与性质.（4）画余弦函数的图象也可以用描点的方法.本节课利用图象变换由正弦曲线得到余弦曲线，其目的是要体现正弦函数与余弦函数的密切关联，也给出得到函数图象的新方法.三、教学问题诊断分析学生之前有绘制函数图象的经验，但是利用定义、几何意义绘制函数图象是第一次，在思维习惯上存在障碍.对准确绘制岀函数的图象和正弦函数的图象及正切函数图象上任意一点的理解存在困难；在选定一个点的横坐标x0，如何从几何角度找到sin x0和tan x0的操作上难度较大.要在圆周运动中体会随着角x0的变化sin x0和tan x0的变化及意义.由于一个角的正切值是这个角的终边与单位圆交点的坐标的比值，难以直接利用正切值的几何意义对正切函数进行几何作图，在理解正切函数图象与函数定义的内在联系上有一定的难度.要注意从几何角度进行变形，化“动”为“定”.教学难点：画出正弦函数、正切函数的图象.四、教学支持条件分析（1）学生初步掌握了研究函数的路径，已利用三角函数定义和单位圆模型得到同角三角函数基本关系式与诱导公式.教学中要回顾函数的图象与性质的研究路径，并在圆周运动和三角函数定义的基础上发现三角函数的独特性，为准确绘制函数图象提供依据.（2）本节课需要投影仪、多媒体、几何画板软件、自制教具等支持条件.在图象平移、画出正弦函数图象上任意一点T()x0，tan x0时用计算机操作演示，准确、直观，让学生有更多的时间去观察、思考，体会画图方法的本质与思想内涵.同时，让学生使用自制教具经历用“手工细线缠绕”法准确绘制图象上任意一点T()x0，tan x0的过程.学生动手操作，亲身体验，提升认识，积累活动经验.五、课时教学设计1.课时教学内容第1课时：正弦函数、余弦函数的图象.（1）通过正弦函数定义得到正弦函数的图象，会用五点（作图）法作出简图.（2）通过图象变换得到余弦函数的图象.2.课时教学目标（1）了解三角函数周而复始的特性，简化函数图象与性质的研究过程.（2）能利用正弦函数定义确定正弦函数值sin x0，能画出正弦函数图象上任意一点T()x0，sin x0，能画出正弦函数的图象.（3）能利用图象变换画出余弦函数的图象.（4）了解运用五点（作图）法绘制函数y=sin x，x∈[]0，2π和y=cos x，x∈[]-π，π的简图.3.教学重点与难点教学重点：画出正弦函数、余弦函数的图象.教学难点：画出正弦函数的图象上的任意一点T()x0，sin x0，利用图象变换画出余弦函数的图象.··124.教学过程设计（1）回顾单元，凸显主题.引导语：我们学习了三角函数的定义，类比已经学过的基本初等函数，接下来我们要学习什么内容？师生活动：教师引导学生回忆幂函数、指数函数和对数函数的学习过程，明确研究函数图象与性质的路径：现实背景—函数概念—图象—性质—运用.学生类比并结合已经学过的三角函数的定义，明确本节课的学习主线：从定义出发，得到函数图象.【设计意图】作为函数的下位概念，通过类比已经学过的函数回忆研究函数的一般路径，明确本节课的重点内容是研究正弦函数y =sin x ，x ∈R 的图象，也为后续由图象研究函数的性质做准备.（2）周而复始，简化过程.问题1：从图象直观上看，点B 每旋转一周就回到原来的位置，体现了三角函数周而复始的特性.从函数角度来看，自变量每增加或减少2π个单位长度，函数值将重复出现.你能用公式表示这一特性吗？这个特性对我们研究正弦函数的图象有什么帮助？师生活动：学生观察点B 在单位圆上的旋转变化，体会三角函数值周而复始的变化情况；并运用诱导公式sin ()α±2π=sin α表示这一特性；简化函数y =sin x ，x ∈R 的图象的研究过程，从研究函数y =sin x ，x ∈[]0，2π的图象开始.【设计意图】让学生回忆三角函数的定义，既体现三角函数定义的重要性，又为画点原理的认知提供铺垫.突出三角函数周而复始的特性，目的是让学生明确对于具有周而复始特性（周期性）的函数的研究，可以从研究函数在一个周期内的图象与性质开始，简化研究过程.（3）利用定义，画任意点.问题2：我们知道，图象的基本要素是点，利用正弦函数的定义，在[]0，2π上任取一值x 0，能否确定函数值sin x 0，画出点T ()x 0，sin x 0？师生活动：学生回忆正弦函数的定义，在单位圆中，观察随着角α的变化函数值sin α的变化情况，教师提醒学生函数值sin α就是角α的终边与单位圆的交点B 的纵坐标.在x 轴上任取一值x 0，使x 0∈[]0，2π，在单位圆中，作出大小为x 0的角（始边在x 轴的正半轴）的终边，其终边与单位圆交点的纵坐标就是sin x 0.教师示范：在x 轴上任取一值x 0，使x 0∈[]0，2π，用“手工细线缠绕”的方法找到弧长为x 0的弧所对的圆心角x 0，确定函数值sin x 0，画出T ()x 0，sin x 0.学生动手操作：在[]0，2π上任取一值x 0，用“手工细线缠绕”的方法找到弧长为x 0的弧所对的圆心角x 0，确定函数值sin x 0，画出T ()x 0，sin x 0，通过实践体会画任意点T ()x 0，sin x 0的原理.【设计意图】从图象到点、从点到点坐标的确定，利用定义实现画出正弦函数图象上任意一点，从而得到函数的图象，体现点与图象的辩证统一.也说明了正弦函数的定义在函数图象的构造和认识过程中不可替代的作用.合作交流、实践操作是画点原理物化的重要方法，通过亲手操作、具身体验，熟悉并理解画点方法，为接下来的取特殊值、画特殊点提供支持.画出任意点T ()x 0，sin x 0，经历教师示范、学生实践操作，让学生在体验的过程中思考和理解，从而突破教学难点.（4）定若干点，描点作图.问题3：我们已掌握了画点原理，现在在[]0，2π上取若干值进行描点，画出函数y =sin x ，x ∈[]0，2π的图象，你打算描出哪些点？师生活动：取值0，π2，π，32π，2π，描出五个点.追问：仅描出五个点，能体现函数y =sin x ，x ∈[]0，2π的图象的形状吗？要让正弦函数的图象更精确，我们该如何做？师生活动：取更多的点，显然在éëùû0，π2上还要取其他值，不妨取特殊的π6和π3，其他区间也类似取特殊值，相当于把区间[]0，2π十二等分，对应的角所在的终边与单位圆的交点也把整个圆周十二等分，描画出13个点.学生实践活动：根据画点T ()x 0，sin x 0的方法，得到自变量取这些值时对应的函数图象上的13个点.利用信息技术取足够多的值，画出足够多的点，形成函数y =sin x ，x ∈[]0，2π的图象.【设计意图】取图象上足够多的特殊点有助于直观把握正弦函数图象的形状，并为利用五点法作简图提供基础.同时，让学生形成两点意识：确定函数图象的形状时往往要抓住图象上的关键点；足够多的特殊点能更好地反映函数图象的形状，体现十二等分[]0，2π画图象的必要性.明确信息技术代替人进行重··13复工作是在掌握画点原理的基础上进行辅助操作；让学生明白所画的点越多图象越精确.（5）补全整图，五点简图.问题4：可以得到完整的正弦函数y=sin x，x∈R 的图象吗？师生活动：引导学生通过直观想象得到函数y= sin x，x∈R的图象，再从逻辑推理的角度说明其正确性.通过PPT动画实现y=sin x，x∈R的图象上任意一点的平移，启发学生通过所有点的平移思考整个图象的平移，说明函数y=sin x，x∈[]2π，4π的图象与函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象的形状完全一致，用公式sin()2kπ+x=sin x可以说明.将函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象不断平移（每次移动2π个单位长度），得到函数y=sin x，x∈R的图象.追问1：正弦函数y=sin x，x∈R的图象是一条曲线，我们称为正弦曲线，该曲线有何特点？师生活动：观察图象，发现图象的形状是“波浪起伏”的连续光滑曲线，有波峰和波谷.追问2：我们要画正弦曲线，在精度要求不高时，有什么简便画法？师生活动：以画函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象为例，找到波峰和波谷及图象与x轴的交点等五个关键点()0，0，æèöøπ2，1，()π，0，æèöø3π2，-1，()2π，0，基本上可以呈现出“波浪起伏”的特点，这种作图法称为“五点（作图）法”.【设计意图】利用三角函数周而复始的特性和诱导公式，分别从几何与代数两个角度理解函数y=sin x，x∈R 的图象的形状是“波浪起伏”的连续光滑曲线.从图象上的点的平移到图象的平移，借助诱导公式说明函数y=sin x，x∈[]2π，4π的图象与函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象形状完全一致.同时，表明函数图象可以通过平移变换得到，为后面画出余弦函数的图象提供铺垫.从精确图象到五点简图，体现认识事物的过程与特点——全局与局部、抓主要矛盾.正弦函数图象的形状是“波浪起伏”的连续光滑曲线，抓住五个关键点足以体现.这也是在精确度要求不高时，可以用五点（作图）法画出正弦函数简图的依据.（6）图象变换，余弦曲线.问题5：下面我们要研究余弦函数y=cos x，x∈R 的图象.由三角函数的定义知，正弦函数与余弦函数是一对密切关联的函数，我们可以借助这种关联画出余弦函数的图象吗？师生活动：教师引导学生从定义出发理解，用诱导公式体现出正弦函数与余弦函数的密切关联；引导学生思考这种关联从几何角度理解呈现出什么现象.从图形变换（几何角度）角度，通过平移得到余弦函数的图象.根据诱导公式cos x=sinæèöøπ2+x，知函数y= cos x，x∈R的图象即为函数y=sinæèöøπ2+x，x∈R的图象，只需将函数y=sin x，x∈R的图象向左平移π2个单位长度，即可以得到函数y=sinæèöøπ2+x，x∈R的图象，即函数y=cos x，x∈R的图象.余弦函数的图象叫做余弦曲线，余弦曲线通过平移可以与正弦曲线完全重合，其曲线的形状也是“波浪起伏”的连续光滑曲线.可以用五点（作图）法画出余弦函数的简图.例如，画函数y=cos x，x∈[]-π，π的简图时，找到的五个关键点是()-π，-1，æèöø-π2，0，()0，1，æèöøπ2，0，()π，-1.【设计意图】让学生体会诱导公式是图象变换的代数依据.通过图象变换得到余弦曲线，更好地体现余弦函数与正弦函数的密切关联.（7）巧借诱导，简化作图.问题6：如何画出函数y=cos x，x∈[]0，2π的简图？师生活动：回顾图象构造和认识过程，发现函数y= -cos x，x∈[]0，2π的图象与函数y=cos x，x∈[]0，2π的图象关于x轴对称，曲线形状也是“波浪起伏”的连续光滑曲线，同样可以找到五个关键点用“五点（作图）法”画简图.先用“五点（作图）法”画出函数y=cos x，x∈[]0，2π的简图，再作其关于x轴对称的图象.引导学生关注诱导公式，由-cos x=cos()π+x知，画出函数y=-cos x，x∈R的图象即画出函数y= cos()π+x，x∈R的图象，只需将函数y=cos x，x∈R 的图象向左平移π个单位长度即可.追问1：利用诱导公式-cos x=cos()π-x，是否可以由函数y=cos x，x∈R的图象画出函数y=-cos x，x∈R 的图象？追问2：利用诱导公式实现图象变换来作图，类比上述问题，你能提出新的问题吗？【设计意图】诱导公式是三角函数的图象和性质的代数表现，诱导公式cos x=sinæèöøπ2-x，sin x=sin()π-x，··14sin x=-sin()2π-x，sin x=-sin()π+x等都能在正弦曲线和余弦曲线的作图过程中发挥作用.例如，sin x= -sin()2π-x，若画函数y=sin x，x∈[]π，2π的图象，即画函数y=-sin()2π-x，x∈[]π，2π的图象，只需作出函数y=sin x，x∈[]0，π的图象关于点()π，0中心对称后的图象即可.学生不一定能建立所有诱导公式与图象变换之间的联系，更不易准确通过诱导公式描述图象变换.教师引导学生多从诱导公式的角度出发认识正弦函数和余弦函数的图象，并形成意识，有助于培养学生的数学抽象和直观想象素养.（8）回顾所学，小结提升.问题7：我们怎样得到正弦函数的图象？经历怎样的过程？怎样得到余弦函数的图象？利用了什么公式？下节课，我们将学习三角函数的什么内容？师生活动：引导学生从基本技能和基本活动经验角度总结本节课的学习收获，引导学生将本节课的内容嵌入整个三角函数的知识体系中.【设计意图】通过课堂小结让学生明确本节课内容的重点与难点，明确本节课在知识、方法、能力等方面的目标，体现合作交流、主动学习.回到主题单元教学，让学生明确下节课内容的重点——函数的性质，确定研究性质的两条路径，即通过图象直观得到性质和将定义结合单位圆来推导性质.六、教学反思教材是最重要、最准确的教学资源，理解教材的意图，根据学生的情况恰当设计是教学成功的基础.新教材中正弦函数和余弦函数的图象内容不同以往，没有采用三角函数线，而是紧扣函数研究路径和单位圆，利用正弦函数的定义认识正弦函数的图象. 1.思效本节课以学生为中心，明确教材意图，把握教学重点，通过有效活动突破教学难点，培养学生的数学思想和数学能力.（1）从学生认知出发，巩固基础知识.学习效果是教学最关注的问题，从学生认知出发，准确把握本节课的重点，分解教学难点，通过高效教学活动巩固基础知识.知识回顾时，将正弦函数的定义放在突出位置，特别是对自变量α和函数值sinα（终边与单位圆交点的纵坐标）的意义理解，突出教学重点.明确自变量x既是图象上一点的横坐标，也是单位圆中弧长为x的弧所对的圆心角，关键是如何通过x，利用正弦函数的定义确定函数值sin x，突破教学难点.同样，通过定义明确正弦函数和余弦函数是一对密切关联的函数，可以利用诱导公式和图象平移得到余弦函数的图象，这样就将本节课的教学重点和教学难点牢牢集中在利用定义得到函数图象这条教学主线上.（2）把握教材逻辑，培养基本思想.认识数学问题，我们较熟悉的路径是从几何直观到逻辑推理.这在教材中有多处体现：①类比已有研究方法，得到先画出图象后研究性质；②体现周而复始的特性，对单位圆上点的运动变化进行几何观察，再用sin()x±2π=sin x进行代数表示；③由函数y= sin x，x∈[]0，2π的图象到函数y=sin x，x∈R的图象，先让学生直观想象，再利用诱导公式说明. 2.思得本节课采用多种教学方法，重视问题链的设置，通过具体实践活动，提升学生的画图技能，形成研究函数图象的活动经验.（1）重视实践活动，提升基本技能.活动即学习，合作交流、实践操作能够有效提升学生的基本技能.画点技能的形成一般要经历了解、体会、理解、掌握等过程.教学过程中需要设置不同的实践活动：PPT动画了解、教师实践展示、合作动手操作、多次综合运用.这四个环节让原理清晰化，让技能熟练化，让学生大胆尝试，并有时间去具体实践.（2）设置问题情境，形成基本活动经验.问题是数学的心脏，也是教学最基本的起点.问题明确化、思维清晰化.针对学生思维发生点和思维障碍点设问，让学生懂得思考什么.例如，在x轴上任取值x0∈[]0，2π，能否从几何角度表示出函数值sin x0学生聚焦如何从几何角度表示sin x0，自然联想到定义和单位圆.问题层次化、思维深度化.有层次的问题链，帮助学生从几何直观、代数推理等多个方面认识数学问题.例如，描点画出函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象，你打算描出哪些点？这些点有何特殊性？这些点够吗？为了图象形状的准确，还需要增加点吗？增加哪些点？为什么？学生通过问题链，构建了点与函数图象之间的联系，为五点（作图）法打下了基础.··153.思改以“思”促“改”，教学改进、提升自我永远在路上.（1）信息技术与手持技术融入教学，生动形象，交互反馈，结构紧凑，高容、高效，带动教学方式的改变.本节课的教学离不开信息技术的支持，画点原理的形成、正弦函数图象的构造与认识、图象的平移变换等都离不开PPT动画、视频动画的直观呈现.数学实验和动手实践相结合，学生借助相应工具参与作图原理的发现与探究，有助于提升学生几何作图的认知深度，培养他们的创新能力.（2）“诱导公式能简化作图过程”这一内容的教学，虽然经历了简化研究区间、平移得到余弦函数的图象，以及函数y=-cos x，x∈[]0，2π的图象的研究等过程，但是还应该设计出有层次、有目标、有深度的问题，引导学生去分析和思考诱导公式这个代数关系式与几何图形的联系.总之，以学生为本，重视教材，挖掘教材意图，教学精准、高效.数学知识通过教材设计呈现，数学思维通过教材逻辑体现，数学活动通过教材意图设置.七、点评数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）指出，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.具体到一节课的教学，我们要怎么做呢？《标准》的基本理念中强调要凸显数学的内在逻辑和思想方法；要创设教学情境，启发思考，把握本质；要培育学生的科学精神和创新意识，关注核心素养的形成和发展.因此，理解数学、教学、学生，再加上技术，就是我们思考“三角函数的图象与性质”这节课的基点.本节课是“三角函数的图象与性质”这个单元的第一课时，在单元教学的视角下，本节课承上启下，既延续以往研究函数的图象与性质的方法路径，又有新的创新，丰富了函数的图象与性质的研究方法，沟通了函数的图象与性质的内在关联，使“数”与“形”的融合再次得到体现.1.理解数学，尊重教材正弦函数和余弦函数的图象这节课，初看很不起眼，因为我们已经经历了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数的图象研究，无非描出几个特殊点（描点法作图），然后用光滑的曲线连接即可.本节课还是这样吗？这就需要我们去理解三角函数的独特性.首先，根据单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，公式sin()x±2π=sin x，cos()x±2π= cos x表示自变量每增加（减少）2π，正弦函数值和余弦函数值将重复出现（从几何特点到代数关系），利用这个特性，将正弦函数的图象研究范围由R简化到[]0，2π.这是在前面的学习中没有经历过的.其次，利用单位圆定义三角函数赋予三角函数几何属性.因此，三角函数的图象的研究有别于以往的函数图象的研究，指数函数、对数函数和幂函数的图象的描点都是代数运算的结果，而三角函数的图象的描点是几何描点，即利用三角函数的定义借助单位圆作出函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象上的任意一点T()x0，sin x0.准确描绘出图象上的“任意一点”，这还是前面的学习所没有经历的.再次，观察发现，正弦函数和余弦函数的图象是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，通过抓住关键点把握图象的形状，这也是前面的学习中所没有经历的.最后，函数y=cos x，x∈R的图象是根据诱导公式cos x=sinæèöøx+π2，通过将正弦函数y=sin x，x∈R的图象向左平移π2个单位长度得到的.这在前面的学习中较少经历.历数种种，在理解数学和教材编写意图的基础上，我们才有可能恰当地设计问题，启发、引导学生思考并解决问题.2.理解教学，突破难点对于画出函数的图象，学生的学习基础（画指数函数、对数函数和幂函数的图象）是描点法.那么，画正弦函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象的教学起点在哪里？借助单位圆，直接要求利用三角函数的定义作出正弦函数y=sin x，x∈[]0，2π的图象上的任意一点T()x0，sin x0是否比较突兀？学生是否会全无头绪？该难点如何突破？这些问题都是展开教学时需要思考的.首先，在单位圆上的任意一点在圆周上旋转一周回到原来的位置的运动变化过程中，要有意识地引导··16。
函数的性质教案
函数的性质教案函数的性质教案1一、教学内容：正比例函数的图象和性质二、教学目标：（一）知识与能力1、进一步巩固正比例函数的概念，会画正比例函数的图象，进一步熟悉函数图象作图步骤。
2、能根据正比例函数图象观察、发现归纳出它的性质，并会简单运用。
（二）过程与方法1、通过实例函数图象画法的学习，发现并总结正比例函数图象的常用画法。
2、通过观察、探究、分析、引导学生发现正比例函数的性质。
3、培养学生善于观察问题发现结论，了解数形结合及由一般到特殊的数学思想。
（三）情感态度及价值观培养学生积极参与数学活动，勇于探究，发现数学的现象和规律，培养学生的数学交流能力和团队协作精神。
三、教学重点：正比例函数图象的画法及性质的探索。
四、教学难点：发现、归纳正比例函数的性质。
五、教法与学法教法：本节课选用引导学生观察，发现法和探索实践归纳法。
本节课的难点是发现正比例函数性质，因此我通过教师引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多活动（画、图、交流、展示）、多观察（图象），主动参与到整个教学活动中来，最后发现其性质。
学法指导：教师引导学生观察、发现、归纳的学习方法。
六、教具：三角板、多媒体。
七、教学过程。
教学过程：（1）温故知新，引入课题。
1、下列函数哪些是正比例函数？（1）y=－3x （2）y= x + 3 （3） y= 4x （4）y= x22、（学生回答完上述问题后提问概念）一般地，形如y= kx（K≠0）的函数，叫正比例函数，其中K叫做比例系数。
3、画函数图象的一般步骤（1）列表（2）描点（3）连线学生回答后：教师引导：现在我们已经知道正比例函数的意义及画图象的步骤，那么正比例函数的图象有什么特征呢？出示课题（二）探究正比例函数的图象和性质例1、画出下列正比例函数的图象。
（1）y=2x（2）y=－2x解（1）函数y=2x中x 可取任意实数，列表如下：描点连线(2)学生练习画出函数y=－2x的图象。
(3)提出问题师：观察上面的函数图象，它们的形状相同吗？是什么？一定经过哪些象限和特殊点？生甲：一条直线生乙：过原点的直线，y=2x的图象过一、三象限，y=－2x 的图象过二、四象限。
《二次函数的图像和性质》教学设计与反思
《二次函数的图像和性质》教学设计与反思课题：二次函数的图像和性质科目：数学提供者：XXX教学对象：九年级单位：XXX课时：第一课时一、教学内容分析（1）函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一.二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一,更为高中研究一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。
在历届淮安市中考试题中，二次函数都是不可缺少的内容。
（2）二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。
（3）二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会二、教学目标一、知识技能目标1.学生会用描点法画出y ax2的图象；2.掌握二次函数y ax2的性质。
二、过程方法目标1.学生类比前面所学的函数图像的画法，用描点法画二次函数y ax2的图像；2.学生经历观察、考虑、探索二次函数y ax2图象性质的过程，结合解析式特性、图像特性，感知二次函数y ax2的性质。
三、情感立场方针使学生体会数形结合思想，培养学生观察、思考、归纳的良好思维惯三、研究者特性分析我本期才接手的两个班级，大部分学生数学基础不够扎实，理解能力，运算能力，思维能力等方面都还有所欠缺；研究积极性不高。
针对这种情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和研究积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的研究惯。
并逐步学会独立提出问题、解决问题。
引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。
四、讲授策略挑选与设计1.探究引导策略：商量式研究；教师开导引导。
2.自主合作探究式研究策略：相互讨论、交流、合作的课堂氛围。
五、教学重点及难点讲授重点:会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，探索二次函数性质教学难点:探索二次函数性质学生活动设计意图教师引导学生回顾：先画出一次函数的图象，然后创设问题情观察、分析、归纳得到一境，让学生通过一、情境引入可以用研类比学过的知识一次函数的性质是如何研究的?我们能否类次函数的性质。
正弦函数和余弦函数的性质教学与反思
的增函数或减函数袁但是其存在增区间
蓘 蓡 和减区间袁比如
原仔袁仔 22
就是函数的一
个增区间袁结合周期性我们可以判断y=
蓘 蓡 sinx 的 增 区 间 是
原 仔 +2k仔袁 仔 +2k仔
2
2
蓘 蓡 渊k沂Z冤袁减区间为 仔 +2k仔袁 3仔 +2k仔
2
2
渊k沂Z冤援 渊4冤函数图像的最高点和最低点反
映出函数所能取得的最大值和最小值袁 因此由图可以发现正弦函数的最大值 为1袁最小值为-1援
（教师补充问题：能否根据sinx=1袁即
数学教学通讯
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> 教学反思
确定x= 仔 援 就这个问题，教师一方面可以 2
引导学生将正弦函数与二次函数比较，
从而发现正弦函数取最大值时，其对应
的 自 变 量 并 不 唯 一；另 一 方 面 ，教 师 还
可以引导学生从周期性发现玄机援） 渊5冤正弦函数围绕着原点形成中心对
称袁据此可以发现它应该是一个奇函数援
（教师继续要求学生以代数方法对
该 结 论 进 行 证 明 ：假 设 f 渊x冤 =sinx，因 为
sin渊原x冤=原sinx，即f渊原x冤=原f渊x冤，结合函数
> 教学反思
数学教学通讯
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正弦函数和余弦函数的性质教学与反思
邹丹 南京师范大学第二附属高级中学 211900
［摘 要］ 本文以正弦函数和余弦函数的性质教学为例袁介绍了如何引导学生将函数基本性质的认识以及函数 图像运用到研究过程之中袁并进行了教学反思援
高一数学上册《函数的基本性质》教案、教学设计
3.学生在小组合作学习中的参与度有待提高。教师应关注学生的个体差异，调动每个学生的积极性，使他们在合作交流中发挥自己的优势，共同进步。
4.学生对于数学知识在实际生活中的应用认识不足，教师可通过引入实际问题，让学生体会数学知识的价值，激发学生学习数学的兴趣。
6.教学评价，关注成长
在教学过程中，教师应关注学生的成长和发展，采用多元化的评价方式，如课堂表现、作业完成情况、小组合作交流等，全面评估学生的学习效果。
7.创设互动氛围，激发学生学习兴趣
8.融入信息技术，提高教学质量
利用多媒体、网络等信息技术手段，丰富教学资源，提高教学质量。如通过数学软件绘制函数图像，让学生更直观地感受函数性质。
3.结合所学函数性质，尝试解决以下拓展性问题：
（1）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，判断其奇偶性，并求单调区间。
（2）已知函数g(x) = 3cos(2x) + 4sin(x)，求最小正周期及一个周期内的单调区间。
4.请同学们预习下一节课内容，了解函数的极值及其在实际问题中的应用。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，勇于表达自己的观点，培养学生自信、勇敢的品质。
4.通过解决实际问题，让学生认识到数学知识在生活中的重要作用，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的社会责任感。
在本章节的教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。通过讲解、示范、讨论等多种教学手段，使学生在掌握函数基本性质的基础上，提高自身的数学素养和综合素质。同时，注重培养学生的团队合作精神，使其在合作交流中相互学习、共同成长。
《函数的基本性质》 教学反思
【提示】我还有哪些方面的反思？
教学设计很有必要从以下几个方面进行改进:在新授课上,应从学生的已有知识和生活经验出发,围绕知识目标展开新知识出现的情境,适当推迟新知识得出时间,丰富学生的情感体验,在知识目标得到有效落实的同时,达成能力目标.在习题课上,应以能力培养为核心,注重在知识网络的交汇点设计问题,突出基础知识的应用和基本技能的运用,强化知识目标,广泛建立知识之间的联系,培养学生学习数学的情感,在知识应用课上,应强调数学走向生活,解决具有现实意义的生活问题,培养学生的数学建模能力.
教学反思表单
我的教学反思
重难点解决是否得当
【提示】我的教学是否聚焦重难点？
如果重新再来，在聚焦重难点方面，我是否还需改进？
函数单调性定义产生是本节课的难点，难在：如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言。为了使学生从知识上、能力上、思想上得到尽可能大的发展，我采取发现法、多媒体辅助教学。首先创设情境、激发兴趣。研究实际生活中上下楼梯的问题，充分调动学生积极性，营造亲切活跃的课堂氛围；渗透建模思想，培养学生应用数学的意识，通过实例使学生感受单调性的内涵，缩短心理距离，降低理解难度。
检测评价是否恰当
【提示】我用的测验题或作业题可以检测到学生是否突破了重难点？
如果重新设计测验题或作业题，我要做哪些修改？
实际上，在学习函数这部份知识中，函数概念是最重要的，也就是最难的地方，突破了它后面的学习就容易了。现行的数学教材，其主要内容表现的都是数学知识的技术形式。函数的概念亦是如此，不管是传统定义也好，还是近代定义也好，表现出来的都是抽象数学形式，在数学的教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。对数学知识的教学要返璞归真，努力揭示数学概念、法则，结论发展过程和本质。对越是抽象的数学概念，越是如此。所以函数概念的教学更忌照本宣科，要注意对知识进行重组。努力去提示函数概念的本质，使学生真正理解它，觉得它有用，而乐于学习它。
高中数学_函数的图象及性质教学设计学情分析教材分析课后反思
函数的图象与性质一、教学目标1．知识与技能(1)掌握图象的两种作图方法:描点法和图象变换法．(2)利用函数的图象和性质解决相关问题．2．过程与方法通过归纳总结形成知识体系，通过小组交流合作探究，提升解决函数问题的能力。
3．情感、态度与价值观体会数学数形结合思想，培养学生的数学的直观想象素养二、教学重难点函数图像的变换，利用函数性质识图，数形结合用图三、教学过程（一).回顾高考1.函数()2e ex xf xx--=的图象大致为（）A.B． C． D．2.函数422y x x=-++的图像大致（）3.函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（）A B C D4.函数y =1+x +2sin xx 的部分图像大致为（ ）A B C D5.函数sin21cos x y x=-的部分图像大致为（ ）（二）.知识回顾1.基本初等函数的图象① ② ③ ④(.0)y kx b A k =+≠ log (0).1x a B y a a =>≠且2(.0)y ax bx c a C =++≠0.(1)x y a a D a =>≠且⑤ ⑥ ⑦ ⑧c .os E y x = .F y x α= s .in G y x = (.0)k y x x H =≠2.图象变换（1）对称变换①y ＝f(x)--------- →y ＝－f(x)； ②y ＝f(x)---------→ y ＝f(－x)；③y ＝f(x)---------→ y ＝－f(－x)；④y ＝f(x)---------→ y ＝|f(x)|.⑤y ＝f(x)---------→ y ＝f(|x|)（2）平移变换（3）伸缩变换①y ＝f(x) ―――――――――――――――――――――→a>1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0<a<1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变 y ＝ _____ ②y ＝f(x)―――――――――――――――――――→a>1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a<1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝_____ （三）．题型总结题型一 函数图象的辨识【例1】（2018年全国Ⅲ卷）函数422y x x =-++的图像大致（ ）小结：【试一试】（3）（4）见回顾高考题型二 函数图象及性质的应用【例2】 (1)函数f(x)＝2ln x 的图象与函数g(x)＝x 2－4x ＋3的图象的交点个数为( )A ．3 B ．2 C ．1 D ．0小结：【试一试】（1）已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有 ( )A．10个 B．9个 C．8个D．7个（2）方程x2－2|x|－3＝a有四个不同的实数解，则a的取值范围是_____小结：【例3】函数1 1yx=-的图象与函数2siny xπ=（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于______（四）．巩固练习1.函数f(x)＝sin xln(x＋2)的图象可能是()2.已知函数f (x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()（2题图）（4题图）A．f(x)＝ln|x|x B．f(x)＝e xx C．f(x)＝1x2－1 D．f(x)＝x－1x3.设f(x)＝|lg(x－1)|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是________．4.已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．5.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m，x2－2mx＋4m，x>m，其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．6.已知f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．四．板书设计五．作业：函数的图象导学案六．教学反思由于本班学生的学习基础比较薄弱，在讲题的过程中还是有点过多干预学生，在以后的教学中，我会掌握好生生合作、师生合作的度，引导学生后放手给学生，结合学生实际，灵活处理课堂。
函数的性质教案
函数的性质教案一、目的要求1．使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。
2．结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。
3．在学习一次函数的图象和性质的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。
二、内容分析1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。
从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。
关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。
2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习13．3节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，则只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进行严格的论证，对于学生，只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。
三、教学过程复习提问：1．什么是一次函数？什么是正比例函数？2．在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：y=2x y=2x—1 y=2x+1新课讲解：1．我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数（也是正比例函数），它的图象是一条直线。
再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。
一般地，一次函数的图象是一条直线。
前面我们在画一次函数的图象时，采用先列表、描点，再连续的方法．现在，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。
《对数函数的性质》教学反思[精选][修改版]
![《对数函数的性质》教学反思[精选][修改版]](https://img.taocdn.com/s3/m/5328b907f90f76c660371af4.png)
第一篇：《对数函数的性质》教学反思[精选]一、教材分析。
本节课是《普通高中课程标准实验教科书？数学1（必修）》（人教A版）第二章第2节第二课《对数函数及其性质》。
本节课的内容在教材中起到了承上启下的关键作用。
一方面，对数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上，进行研究的第一个重要的基本初等函数。
作为基本初等函数，它是继指数函数之后对高中函数概念及性质的又一次应用；另一方面，对数函数是后续学习幂函数的基础，对于研究幂函数及其他基本初等函数，在研究方法上起到示范作用。
二、学生分析。
从学生的知识上看，学生已经学习了函数的定义、图像、性质，对函数的性质和图像的关系已经有了一定的认识。
学生已经熟悉研究函数的一般过程和方法，会用此来研究对数函数。
从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与理解，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，初步具备了抽象、概括的能力。
通过教师启发式引导，学生能自主探究完成本节课的学习，会进行多媒体的基本操作。
三、教学目标。
1、知识与技能目标：①通过具体实例了解对数函数模型的实际背景。
②初步理解对数函数的概念、图像和性质。
2、过程与方法目标：①借助课件绘制对数函数图像，加深对定义的认识，增强对对数函数图像的直观感知。
②学生观察对数函数图像，通过代表发言等活动，探究对数函数性质。
③通过对对数函数的研究，体会数形结合、由具体到一般及类比思想。
3、情感态度与价值观目标：通过小组讨论、代表发言活动，培养合作交流意识。
四、教学环境与准备。
多媒体网络教室、课件。
五、教学过程。
1、探究新知。
（1）归纳定义。
设计意图：通过对函数解析式的分析，突出对底数取值的认识，引导学生把解析式概括为的形式，为形成对数函数定义作铺垫。
对数函数的定义：一般地，形如（且）的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域为。
师生共同分析定义要点：①定义域为。
②对数函数是形式化的定义。
正弦函数的图象及性质教学反思范文
正弦函数的图象及性质教学反思正弦函数的图象及性质教学反思范文身为一位到岗不久的教师，我们要在课堂教学中快速成长，教学反思能很好的记录下我们的课堂经验，那么你有了解过教学反思吗？下面是小编为大家收集的正弦函数的图象及性质教学反思，仅供参考，希望能够帮助到大家。
本节课分为“正弦函数的图象”和“性质（一）”两部分，在教学中充分发挥学生的主体性，循序渐进地引导学生发现问题——探索问题——解决问题。
职高学生的数学基础差，理解能力不强，因此对教师提出了新的要求，要达到良好的教学效果，就必须采取更形象、更具体的教学模式，引导学生积极地投入到课堂学习中去，真正体会到学习数学的乐趣。
本节课利用FLASH课件更能体现出直观、形象、生动的特点。
具体情况如下：一、对教学设计的反思。
教学设计过程中真正考虑学生的实际情况，对教材的内容及教学顺序进行了大胆地调整，真正做到因材施教。
同时征求科组老师的意见，探讨教学设计的合理性以及实用性。
但通过实际的教学发现自己对教材知识整体感知把握不够，设计上存在一些不足，比如：知识的有效性建构方面有待提高；设计中，没有考虑对学生知识的实际应用和学生口语交际能力的培养，在以后的教学设计中应渗入“小组合作学习”的模式，注重课堂知识的生成和学生表达能力的培养，与新课标接轨。
二、对教学过程的反思。
1、课堂导入中，教师与学生共同探讨生活中的波浪现象，让学生对正弦曲线产生感性上的认识，体现出数学来源于生活，服务于生活的理念。
基于学生的生活经验不足，自信心不足，导致在导入时占用较长的时间，教师没有能真正与学生互动起来，因此，日后应多培养学生用数学语言表达的能力。
2、概念、图象部分。
学生通过自学概念后，教师列举几种函数模型，检查学生是否对概念有正确地理解，如：xx ，xx ，xx 等。
这样通过反例，学生的`思维受到一定冲击，激发他们去探索、思考。
另外，教师引导学生观察正弦函数的特征，让他们理解得更深入。
当学生理解完概念后，教师暗示学生本节课的重难点，认识函数的图象和能根据图象归纳出其性质，考虑到学生的数学基础薄弱，对于作出的图象利用正弦线法和五个关键点作图，教师选择了五个关键点作图法，这样学生理解起来更容易，（强调学生一定要用圆滑的曲线把5个关键点连接起来）。
高中数学函数性质的教案
高中数学函数性质的教案
教学内容：函数的性质
教学目标：
1.了解函数的定义，了解函数的性质；
2.能够判断一个函数是奇函数还是偶函数；
3.能够判断一个函数的周期性。
教学重点：
1.函数的定义；
2.奇函数与偶函数的判断；
3.函数的周期性。
教学难点：
1.如何判断函数的奇偶性；
2.如何判断函数的周期性。
教学过程：
一、引入：通过实景图片或实例引入函数的概念，让学生了解函数的定义及其作用。
二、理解：讲解函数的定义及性质，让学生对函数有一个全面的认识。
三、实例分析：通过几个具体的函数实例，让学生判断这些函数是奇函数还是偶函数，同时判断这些函数的周期性。
四、练习：让学生自行解答几道函数性质相关的题目，巩固所学知识。
五、总结：总结本课内容，强调函数的性质对数学问题的解决的重要性。
六、作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固所学内容。
七、反馈：下节课进行作业批改及学生问题解答，及时纠正学生的错误认识。
教学工具：投影仪、实例图片、幻灯片、黑板白板等。
教学评估：
1.学生能够准确判断函数的奇偶性；
2.学生能够准确判断函数的周期性；
3.学生能够解决相关的函数性质问题。
对函数连续性教学的一点体会
对函数连续性教学的一点体会
函数连续性是数学分析中重要的概念，它是连续函数的认识和推广，也是非常核心的知识点，也是大多数学科的重要课题。
正确的认识和
掌握函数连续性对学习学科中的重要概念有着极大的帮助。
如果要教授函数连续性，我们首先要讲解连续函数的概念和性质，也
就是需要明确什么是连续函数，连续函数有什么特性，有什么运算规
则及其在实际应用中的重要性。
然后，要引出函数连续性，讲解在一定条件下，函数的连续性是有把
握性的；比如对于一个有界数列的函数，函数的连续性就是确定的；
除此之外，要强调连续函数的定义，以及满足函数连续性条件的性质。
最后，要结合具体的例子，让学生能够实际应用函数连续性去解出具
体的数学问题；还要分析焦点类型，把握连续函数的性质等。
总之，教授函数连续性要注意把握步骤，全面深入，让学生能够掌握
函数连续性，利用连续函数解决数学问题，这样才能发挥函数连续性
的作用。
《对数函数--概念、图象、性质》教案
《对数函数--概念、图象、性质》教案《对数函数－－概念、图象、性质》教案教学课题：对数函数－－概念、图象、性质【⼈教版⾼中（必修）数学第⼀册第⼆章“对数函数”第⼀节】教学⽬标：（1）理解指数函数与对数函数的内在关系；（2）掌握对数函数的概念、图象和性质；（3）培养学⽣⽤类⽐⽅法探索研究数学问题的素养；（4）提⾼学⽣信息检查和整合能⼒；（5）学习辩证唯物主义观点。
教学重点：对数函数的概念、图象与性质。
教学难点：指数函数与对数函数的内在的关系。
教学过程与教学内容：《对数函数－－概念、图象、性质》说课稿花都区秀全中学胡晓燕（2004.5）【本节教材选⾃⼈教版⾼中（必修）数学第⼀册第⼆章“对数函数”第⼀节】⼀、说教材1、地位和作⽤本章学习是在学⽣完成函数的第⼀阶段学习（初中）的基础上，进⾏第⼆阶段的函数学习。
⽽对数函数作为这⼀阶段的重要的基本初等函数之⼀，在已学习对数、反函数以及指数函数的基础上以类⽐的⽅法进⾏学习，这有利于学⽣加深学⽣对函数、反函数认识及函数性质的理解；同时对数函数作为常⽤数学模型在解决社会⽣活中的实例有⼴泛的应⽤，本节课的学习为学⽣进⼀步学习、参加⽣产和实际⽣活提供必要的基础知识。
2、教学⽬标教学⽬标是教学的出发点和归宿，《数学教学⼤纲》除了要求使学⽣掌握必要的数学基础知识外，还要求对学⽣进⾏能⼒培养和思想教育。
根据⼤纲要求，结合教材和学⽣的⽔平状况。
我确定了以下教学⽬标：（1）理解指数函数与对数函数的内在关系；（2）掌握对数函数的概念、图象和性质；（3）培养学⽣⽤类⽐⽅法探索研究数学问题的素养；（4）提⾼学⽣信息检查和整合能⼒；（5）学习辩证唯物主义观点。
3、重点和难点：重点：对数函数的概念、图象与性质。
难点：指数函数与对数函数的内在的关系。
⼆、说教法教法的好坏，直接影响课堂教学的质量。
选择教学⽅法的原则，概括起来有三点：要服务于教学⽬标，要适合于学⽣学习，要充分利⽤环境条件和学校设备。
正弦函数和余弦函数的性质教学与反思
正弦函数和余弦函数的性质教学与反思作者：邹丹来源：《数学教学通讯·高中版》2017年第10期[摘要] 本文以正弦函数和余弦函数的性质教学为例，介绍了如何引导学生将函数基本性质的认识以及函数图像运用到研究过程之中，并进行了教学反思.[关键词] 正弦函数；余弦函数；教学过程；教学反思正弦函数和余弦函数是高中数学的教学重点，在学生已经认识过一般函数的基本性质之后，如何将其运用到正弦、余弦函数性质的探索之中呢？笔者认为，教师在教学中要引导学生重视函数图像在性质研究中的地位，同时要凸显学生探究的主体性.以下是笔者对教学过程的介绍和反思.教学过程呈现1. 通过复习函数性质来导入新课师：如果要研究函数的性质，你认为可以从哪些方面着手？生：应该从定义域、最值、值域、单调性、奇偶性以及周期性等方面来研究.师：那我们就来简要回顾一下函数的单调性、奇偶性以及周期性.（教师通过PPT引导学生回顾函数上述三种性质的基本定义，并针对某些具体的函数，让学生对相关性质进行阐述.）师：通过上述问题的研究，你有怎样一些启发？生：通过函数的图像，我们能够更加直接地发现函数的性质，这就是高中数学常用的“数形结合”的思维方法.师：你们讲得很好，图像是函数最为直观的一种模型，函数很多性质都能够在图像中得到最为直接的体现，你们能讲得更加具体一点吗？生：函数的定义域就是图像在x轴上的投影；函数的值域就是图像在y轴上的投影，而函数奇偶性则反映为图像上某种对称特点，单调性则体现为图像呈现为上升趋势或下降趋势，这些都可以成为研究函数性质的重要工具.2. 对正弦函数的基本性质进行探索师：通过上节课的学习，我们已经初步认识了正弦函数和余弦函数的图像，今天我们就结合图像来研究它们的性质.（教师通过课件呈现出正弦函数y=sinx的图像，为了便于学生进行观察和比较，图像不妨多画几个周期，如图1所示，并示意学生观察、思考、讨论正弦函数的性质.）5. 总结回顾，提炼方法师：通过今天这节课，你学到了什么知识？生：我们结合图像研究了正弦函数和余弦函数的基本性质.师：除了对本节的知识形成直接认识之外，你还有其他收获吗？生：通过对正弦函数和余弦函数的探索，我们对以往的函数知识也有了新的理解. 例如sin （α+2π）=sinα，以往我们只是将其视为一个诱导公式，现在还发现它是对函数周期性最直接的反映. 而且通过对比我们还发现，正是由于函数具有周期性，正弦函数和余弦函数才有了这么多特殊的性质. 当然我们的收获不局限于知识层面，在研究的过程中，我们发现数形结合以及类比法的应用，对数学问题的处理有很大用处.设计思路与反思本课的设计思路如下，先对函数基本性质进行复习，在此基础上引导学生探索正弦函数的性质，再通过类比来研究余弦函数的性质，并通过对比来提升学生的认识，最后让学生通过总结回顾来归纳课堂所学，提炼研究方法.上完本课之后，笔者有这样的感觉：学生的潜能是无限的，而这些潜能正有待于我们的发掘.客观地讲，学生都有勤于思考的意识和习惯，关键还是要看教师如何引导和启发，同时教师还要给予学生充分的时间和空间，让学生自由发挥.教与学的方式本来就是多姿多彩的，对此教师切不可过分地压制学生，切不可强迫学生在哪一种固定的模式中展开研究和探索，这样我们的课堂才能彰显生机与活力.笔者在构思本节课时，将教材上的素材以及本来由教师讲解和分析的内容全部交由学生进行探索和讨论，这样的处理充分尊重了学生的主体意识，为课堂赋予了探索性和自主性. 在笔者的引导下，学生主动地观察、猜想、讨论、分析和总结，最终理解了问题的提出过程、概念的形成过程，以及结论的归纳过程，这样的处理有助于学生兴趣的激发，有助于课堂效率的提升.。
《对数函数及其性质》教学反思
《对数函数及其性质》教学反思（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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对高中数学新教材第二章《函数》的认识解读
对高中数学新教材第二章《函数》的认识一、 函数函数是中学数学最重要的基本概念之一，它不仅是学习中学数学后继内容的基础， 而且也是进一步学习高等数学的基础，同时，函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方 法也广泛地渗透到中学数学的全过程和其它学科之中。
因此，对本章内容力求学习得更 好一些。
函数这一章的内容可分为三个单元。
第一单元：函数， 主要介绍函数、函数的单调性、反函数及互为反函数的函数图 象间的关系。
这部分是学习本章内容的基础。
第二单元：指数与指数函数 第三单元：对数与对数函数本章最后一节安排了函数应用举例，为全章知识的综合运用，是近年高考的热点。
2.1 函数 关于函数的定义设在某个变化过程中有两个变量 x 和y ，如果对于x 在某一范围内的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量•函数的三大要素是：定义•域、值域、对应法则。
判断两个函数是否为同一函数，必须三个要素完全一致。
2.2函数的表示方法： ① 解析法：两个变量用一个等式表示，这个等式叫做解析式； ② 列表法； ③图象法。
分段函数是一个函数，只不过在不同子区间对应法则不同而矣。
甚至函数图象处 处不连续，也可看作分段函数。
如何确定常见函数的定义域？(1 )当f(x)是整式时，定义域是实数集R ；(2 )当f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的x 取值的集合(R 的子集)；(3 )当f(x)是二次根式(偶次根式)时，定义域是使被开方式取非负值的x 取值的集合(R 的子集)；(4 )当f(x)是由几个数学式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x 取值的集合(R 的子集)；(5 )当f(x)表示实际问题中的函数关系时， 应考虑在这实际问题中 x 取值的意义。
例 1. 已知 f(x+1)= x 2 6x 2,求 f(0)，f(x).D(x)= ；1(x 为有理数)，、、0(x 为无理数)解：当x= — 1 时，x+仁0 , f(0)= f( —1+1)= ( —1)2+6( —1)+2=—3.法一：变量代换令X+仁t ，则x=t — 1 ,2f(t)=( t — 1) +6(t — 1)+22=t +4 t — 32f(x) = x +4 x — 3. f(0) = — 3.法二：配凑法2f(x+1) =( x +2x+1)+(4 x+4)+2 — 5=(x+1)2+4(x+1) — 32f(x) = x +4 x — 3.例2己知函数f(x)的定义域为〔0, 1〕，求函数f(2x)和f(x+1)的定义域.11解：0? 2x? 1= 0? x? ,••• f(2x)的定义域为〔0,〕.220? x+1 ? 1= — 1? x? 0, •f(x+1)的定义域•为〔—1, 0〕.例3求函数y = x - . 1 - 2x 的值域•2.3 函数的单调性什么叫做函数的单调性？设给定区间B 上的函数f(x)，对任x 1, X 2€ B (x 1< x 2),如果都有f(xj < f(X 2)，那么称函数f(x)在间B 上是增函数， 如果都有f(Xj > f(X 2)，那么称函数f(x)在间B 上是减函数. 可以表述为：(X 1 — X 2)〔 f(x 1) — f(X 2)〕> 0为增函数，(X 1 — X 2)〔 f(x 1)— f(X 2)〕< 0 为减函数，如果函数f(x)在某区间B 上是增函数或减函数，那么称f(x)在区间B 上具有俨格的)单调性，并把区间 B 叫做f(x)的单调区间.函数的单调性是函数的整体性之一1 2 1 X t+(t? 0).22y 二-1 1 —t E(t 1)21 (t? 0)22 2 故值域为〔 ——1〕.2求值域的方法：观察、配方、换兀、"法等。
初中数学教学课例《一次函数的图像和性质》教学设计及总结反思
画图，对一次函数的图像的形状有了感性认识。 （三）引导学生观察正比例函数 y=-6x 与一次函数
y=-6x+5 图象的相同点与不同点。（教材思考题）引导 学生可以通过平移得到一次函数 y=-6x-5 的图像。 （设计意图：引导学生过观察与比较，让学生体验两个 图像之间的位置关系：函数 y=-6x+5 的图像实际上是由 函数 y=-6x 的图像进行了平移的结果。） （四）猜想
初中数学教学课例《一次函数的图像和性质》教学设计及总 结反思
学科
初中数学
教学课例名
《一次函数的图像和性质》
称
函数是中学数学中非常重要的内容，是刻画和研究
现实世界变化规律的重要模型。它贯穿于整个初中阶段
的始终，同时也是历年中考的内容之一。初二数学中的 教材分析
函数又是中学函数知识的开端，是学生正式从常量世界
讲练结合，引导学生正确理解一次函数的性质及其 教学策略选
对应关系；教学学生学会观察探索函数图像，最后由性 择与设计
质又回归函数关系式。
(一)温故知新：
教学过程
1、复习一次函数的解析式。 2、复习正比例函数的图像和性质。
（设计意图：复习正比例函数的图像及性质，为类比、
探究一次函数的图像及性质做好铺垫。） （二）学生作图 引导学生画函数 y=2x+1,y=2x-1 的图像 设计意图：培养学生动脑动手的能力，通过描点法
质，并会加以运用。逐步培养学生从特殊到一般、数形
结合等数学思想。
教学难点:
一次函数性质的探索、语言的准确描述、归纳总结
及应用。
本人所教的（3）班是整个年级中成绩最优秀,学习
学生学习能 能力最强的一个班级，具备进行新学习所需的知识和技
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谈谈对函数性质教学的认识
1抓住函数概念核心，加强概念形成的教学
理解概念是一切数学活动的基础，学生的概念理解不清就无法进一步学习相关内容。
对于函数概念教学的重要性要有充分的认识，要舍得花时间、花力气
函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型，反映的是什么样的规律呢？这也就是函数概念的核心的问题。
纵观300年来函数概念的发展，从早期几何观念下的函数，到十八世纪代数观念下的函数，到十九世纪对应关系下的函数，再到现代的集合论下的函数，众多数学家从几何、代数、直至对应、集合的角度，不断赋予函数概念以新的思想，逐渐形成了现代函数的定义形式。
而在初中学段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，用“变量”来描述函数：“在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称x为自变量，y为x的函数”。
分析这个定义对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了近代函数定义中的“对应”，并且明确了“y对x是单值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求，但是没有从“集合”角度描述函数。
因此可以认为，初中数学中的函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系。
这主要包括了两层含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。
函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点。
学生初次接触函数概念时，涉及到很多复杂的层次，包括：（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）两个变量存在“单值对应”的关系。
这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。
另外，学生在学习函数概念之前，接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。
而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。
因此，函数概念形成中的抽象与概括以及对“单值对应”的理解也就成为函数概念教学的难点。
2、加强研究函数的一般方法的引导
概念教学的几个基本环节：
概念的引入（从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入）
概念的形成（提供典型丰富的具体例证，概括其本质属性）
概念的明确（准确的数学语言描述概念的内涵与外延）
概念的表示（用数学符号表示，这是数学概念的特色）
概念的巩固和应用（以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义，应用概念作判断）。
实际上，相关的函数概念的教学都要经历这样的几个过程。
因此在教学过程中，适时地给他们一些“先行组织者”，加以研究方法的引导，对于学生理解相关概念是大有裨益的，可以起到事半功倍的效果。
再如，对于几种特殊函数性质的讨论，也有很多研究方法的联系。
无论是对于正比例函数，还是一次函数、反比例函数、二次函数，都要研究以下问题：
研究的内容：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性等；
研究的方法：“三步曲”——画函数图象，观察归纳特征，数学语言描述性质；
相关的问题：图象与坐标轴的交点、何时函数值大于零或小于零等。
这些内容，反映了我们研究函数问题的“基本套路”。
在开始对特殊函数的研究中，需要教师遵循这个套路，并能适时归纳和总结。
在后续对其他函数的研究中，这个先行组织者就能起到“导游图”的作用，为将要学习的内容提供了一个框架或线索，使学生对学习进程心中有数，
有助于学生完成后续内容的学习。
3．注意函数思想的渗透，用函数观点统领相关内容
客观世界的事物是运动变化的、相互制约的，相互之间既有联系又有矛盾，从而推动着事物向前发展。
这种关系在数学中集中反映在函数和函数思想上。
在中学阶段的数学教学要突出函数的内容，是数学家们长期实践后得出的结论。
克莱因在为中学数学教学起草的《米兰大纲》（1905）中明确提出：“应将养成函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础”；在其著作《高观点下的初等数学》中，他进一步强调用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容。
函数描写运动，刻画一个变量随着另一个变量的变化，给出一个数集到另一个数集的对应关系。
变化与对应是函数思想的核心内容，而变量思想是函数思想的基础。
在数学思维的发展过程中，由“常量”到“变量”是一个质的转变，发展学生对变量概念的理解需要一个较长的过程。
这就要求教师在教学中要挖掘知识中蕴含的函数思想，有意识、有计划、有目的地进行函数思想方法的培养，潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的函数思想方法。
最后，还要借助几何画版和多媒体教学。
这样，既注重知识的形成、发展过程，又使学生主动将知识融入已构建的知识结构。