《平面与平面垂直的判定》教学设计(优质课)
《平面与平面垂直的判定定理》教学设计
《平面与平面垂直的判定定理》教学设计一、本节内容分析本节内容按照直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的研究过程展开.对于直线与直线的垂直,首先定义异面直线所成的角,两条直线垂直包括共面垂直与异面垂直对于直线与平面的垂直、平面与平面的垂直主要研究它们的判定定理和性质定理.直线与平面垂直的判定定理是指一条直线与构成该平面的基本元素—直线满足什么条件才能使此直线与该平面垂直,而平面与平面垂直的判定定理是指构成其中一个平面的直线与另平面或这个平面内的直线具备什么条件才能使两个平面垂直,实际上是在寻找平面与平面垂直的充分条件.性质是指直线与平面垂直、平面与平面垂直时,其基本构成要素具有怎样的确定不变的关系,实际上是必要条件,性质和判定之间具有互逆的关系,这也是我们研究问题的一个自然的起点.本节内容的处理继续遵循“直观感知—操作确认—思辨论证”的认识过程展开.通过本节课的学习与研究,可进步完善学生的知识结构,更好地培养学生观察记忆、空间想象及推测解释能力,使其体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想,提升直观想象、数学运算和逻辑推理核心素养.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析上一节,我们研究了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,本节在上一节基础上研究空间直线、平面间的另一特殊位置关系——垂直.由于学生的知识积累、解决问题的方法都已较为丰富,所以本节内容的学习既要继续加强从“一般观念”上的引导,让学生明确“什么是空间直线、平面的垂直”以及“空间直线、平面垂直时,其要素(直线、平面)有什么确定的不变关系”;又要充分类比对空间直线、平面平行关系的研究方式,引导学生研究空间直线、平面之间的垂直关系.研究的对象尽量由学生去提出,研究的内容要学生去确定,研究的方法启发学生去寻找.学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备【任务专题设计】1.平面与平面垂直【教学目标设计】1.通过实例直观感知“二面角”概念的形成过程,理解二面角的概念,掌握二面角的作法,理解并掌握两个平面互相垂直的概念,两个平面垂直的判定定理及其应用方法.2.发展学生的推测解释能力、观察记忆能力和空间想象力,培养学生的质疑思辨、创新的精神.【教学策略设计】1.在平面与平面垂直的实际教学中,建议采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法,使学生形成“直观感知—操作确认—数学抽象—归纳猜想—严谨证明—灵活应用”的探究式学习方法,从而达到以学生为主体、教师为主导、师生共同发展的课堂教学效果.【教学方法建议】启发教学法、探究教学法、情境教学法,还有________________________________【教学重点难点】重点1.直观感知、操作确认,概括出平面与平面垂直的判定定理难点3.平面与平面垂直的判定定理的应用.【教学材料准备】1.常用材料:多媒体课件、计算机、实物模型、__________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入探究1 平面与平面垂直的判定定理师:在工程建设中,建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直,如果系有铅锤的细线紧贴墙面,则确定墙面与地面垂直,否则不垂直.为什么线要紧贴墙面?生:为了说明细线在墙面内,细线与地面垂直,墙面就和地面垂直.师:满足什么条件的时候,才能使平面与平面互相垂直?【师生活动】教师组织学生思考、讨论,归纳出下面的结论.生:如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面,则这两个平面垂直.师:如何用图形语言和符号语言描述平面与平面垂直的判定定理.【师生活动】教师指导学生画出图形并将文字语言转化成符号语言,并出示多媒体.【推测解释能力】通过对实际问题观察和理解,使学生形成面面垂直的判定定理,通过学生交流讨论,把实际问题抽象成数学符号的表达方式,培养学生严谨的数学思维习惯【要点知识】平面与平面垂直的判定定理⊥⎫lα【教师总结】这个定理说明,可以由直线与平面垂直,证明平面与平面垂直.师:门所在平面与地面始终垂直吗?大家将课本打开,直立放在桌面上,每页纸张与桌面是否垂直?为什么?【师生活动】教师组织学生讨论、交流,用面面垂直判定定理来解释现象.师:下面请看如何利用平面与平面垂直的判定定理来解决实际问题.【活动学习】通过用判定定理解释生活中的常见现象,让学生意识到数学来源于生活,服务于生活,也体现了从特殊到一般,再到特殊的知识认知过程,促进学生数学思想方法的形成,引导学生确实掌握“降维”的转化与化归的数学思想方法【说明论证能力】通过学生尝试用定理解决问题,从而加强对面面垂直判定定理的理解和掌握,巩固所学知识,进一步体会由证明面面垂直转化为证明线面垂直,提升学生的逻辑思维和分析问题、解决问題的说明论证能力【典型例题】平面与平面垂直的判定定理的应用例1 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面A'BD⊥平面ACC'A'【师生活动】教师出示多媒体并读题,引导学生分析题意,梳理解题思路,得到要用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直,关键是找到一个平面内有一条直线垂直于另一个平面.学生独立完成例题证明,教师巡视课堂,并适时给予学生指导,教师出示规范解答.【典例解析】平面与平面垂直的判定定理的应用分析:要证平面A'BD ⊥平面ACC'A',根据两个平面垂直的判定定理,只需证明平面A'BD 经过平面ACC'A'的一条垂线即可.这需要利用AC,BD 是正方形ABCD 的对角线.证明:ABCD-A'B'C'D'是正方体,AA'⊥平面ABCD ,AA'BD ⊥又BD AC ⊥,AA'AC=A ⋂，∴BD ⊥平面ACC'A',又BD ⊂平面A'BD ,平面A'BD ⊥平面ACC'A'.师:请看下一道例题.【意义学习】通过教师对证明过程进行规范、完整的板书,引导学生注意证明过程的规范性和严谨性,帮助学生养成良好的学习习惯【典型例题】平面与平面垂直的判定定理的应用例2 如图,AB 是O 的直径,PA 垂直于O 所在的平面,C 是圆周上不同于,A B 的任意一点.求证:平面PAC ⊥平面PBC .【师生活动】教师引导学生分析解题思路,鼓励学生交流、讨论,并请学生做板演,教师对学生的解答过程做评价,随后教师给出规范性解答.【典例解析】平面与平面垂直的判定定理的应用分析:要证明两个平面垂直,根据两个平面垂直的判定定理,只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面,而由直线和平面垂直的判定定理,还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中,由题意可知BC AC ⊥,,BC PA AC PA A ⊥⋂=,从而BC ⊥平面PAC ,进而平面PAC ⊥平面PBC .证明:∵PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面,ABC PA BC ∴⊥.∵点C 是圆周上不同于,A B 的任意一点,AB 是O 的直径,∴90BCA ∠=︒,即BC AC ⊥. 又∵,PA AC A PA ⋂=⊂平面,PAC AC ⊂平面,PAC BC ∴⊥平面PAC .又∵BC ⊂平面,PBC ∴平面PAC ⊥平面PBC .【深度学习】通过教师引导学生分析解题思路,使学生掌握判断面面垂直有两种方法:一种是定义法(证二面角的平面角是直角),一种是判定定理法(证一个平面过另个平面的一条垂线),深化学生对两种方法的掌握能力【说明论证能力】通过例题巩固所学知识,使学生能够熟练应用知识解决说明论证的问题【教师总结】从本节的讨论可以看到,由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直;由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直;而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直,这进一步揭示了直线平面之间的位置关系可以相互转化.师:通过这节课的学习,同学们都学到了哪些知识?【师生活动】教师引导学生归纳总结、完善本节课所学知识.【整体学习】引导学生学习直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系,进一步体会空间中直线与平面的位置关系之间的相互转化,培养学生对转化与化归数学思想方法的理解,发展学生的逻辑推理学科核心素养【课堂小结】平面与平面垂直1.判定平面与平面垂直的方法有哪些?判定平面与平面垂直的方法体现了什么数学思想?2.平面与平面垂直的判定定理是什么?能够解决哪些问题?3.如何实现空间垂直关系的相互转化?请指出下面图中空间垂直关系转化的依据.【设计意图】通过理解和掌握面面垂直的判定和性质,能够证明面面垂直和线面垂直,培养学生的推测解释、说明论证能力,提升逻辑推理核心素养【课后作业】教材P235练习3、4题教学评价垂直关系的相互转化:线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的,能够相互转化,转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理在解决问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论探求所需的关系,从而架起条件与结论的桥梁.空间平行、垂直关系之间的转化:【设计意图】引导学生对线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质探究分析,帮助学生体会知识的生成、发展、完善的过程.通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、推理解释、说明论证、猜想探究等)分析问题、解决问题,从而达到直观想象、逻辑推理、数学抽象核心素养目标要求【以学定教】根据学情,因材施教,以人为本,以生为本,根据学生逐步掌握的知识点和定理,依据生活实例和模型,采取不同探究式教学法,让学生逐步掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直的知识教学反思本节的知识(直线与直线的垂直关系、直线与平面的垂直关系、平面与平面的垂直关系)与学生学习的生活联系密切,教师一方面引导学生从生活实际出发,把知识与周围的事物联系起来;另一方面,教师引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程,注重探索空间图形位置关系的判定与性质的过程本节课教师特别注重数学中的文字语言与符号语言的相互转化,将空间问题向平面问题转化,有效地体现了转化与化归的数学思想.在判定定理的教学中,遵循了“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程,学生通过观察分析、自主探究,在教师的引导下,进行适当推理而归纳出判定定理关于判定和性质定理的应用,教师没有简单直接讲解,而是由学生先行自主探究,教师适时点拨,以增强学生自主学习的意识,再通过实物投影,来规范学生的解答过程,提高学生数学表达能力.【以学论教】对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果使学生通过观察分析、自主探究学习和掌握空间线面的垂直关系。
高中数学必修二《平面与平面垂直的判定》优秀教学设计
课 题：平面与平面垂直的判定【学情分析】平面与平面垂直的判定是立体几何中点、线、面的位置关系最后一节内容，在此之前，学生已经研究过线面、面面平行的判定和性质以及线面垂直的判定，能够较熟练地运用相关定理对线线、线面、面面的平行的判定和性质、线面垂直的判定进行研究与论证。
【教学目标】知识技能目标1．结合实际问题使学生了解二面角及二面角的平面角的定义； 2．学生通过具体情境分析、探索平面与平面垂直的判定定理；3．利用判定定理判定或证明简单的平面与平面垂直问题，初步掌握平面与平面垂直的判定方法。
能力目标1．结合情境，通过自主探究逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，着重培养学生的认知能力；2．引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力。
【教学重点、难点】 判定定理的证明及应用． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】一、复习旧知，温故知新师:初中我们学过角的概念是什么？生：由一点引两条射线所组成的几何图形叫做角。
记作：AOB ∠师:什么是斜线与平面所成的角？生：斜线与斜线在平面内的射影所成的角。
师: 也就是说将线面角转化为线线角。
BAO〖设计意图〗复习旧知识，为新知识学习埋下伏笔。
二、创设情境，引入新课师:取一张纸，任意一折，这样一个平面就变成两个…… 生：相交平面师:此时这两个平面就成一定的…… 生：角度师:为此，我们需要引进二面角的概念，研究两个平面所成的角。
〖设计意图〗从现实生活中，学生所熟悉的简单直观的实际问题引入，使学生易于接受。
三、类比知新，了解概念师:如何定义两个平面所成的角呢？（引导学生类比初中学的角的定义） 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。
记作：二面角βα--l 、二面角βα--AB 或者二面角D BC A -- 师:生活中有许多的二面角，你能举出一些实例吗？ 生：折纸，书打开，门打开等。
平面与平面垂直的判定》教学设计(优质课)
平面与平面垂直的判定》教学设计(优质课)叫做二面角的平面角，记作∠POQ。
二面角的大小等于其平面角的大小，即二面角的大小为∠POQ.二、两个平面互相垂直的判定1．判定定理两个平面互相垂直的充分必要条件是它们的法线互相垂直.2．应用举例1）判定两个平面垂直的方法：求出两个平面的法向量，判断法向量是否垂直即可.2）应用：在空间直角坐标系中，判定两个平面是否垂直，可以通过求出两个平面的法向量，然后判断法向量是否垂直来确定.3．注意事项1）两个平面垂直不一定相交；2）两个平面相交不一定垂直.三、教学反思本节课主要介绍了平面与平面垂直的判定，以及二面角的概念和求法.在教学过程中，我采用了实物观察、类比归纳、语言表达等多种教学方法，让学生通过实例感知概念的形成过程，通过类比已学知识，归纳出二面角的度量方法及两个平面垂直的判定定理.同时，也通过实验等方式激发学生的研究兴趣和探索意识，培养学生的观察、分析、解决问题能力.在教学中，我还注意到了两个平面垂直不一定相交，两个平面相交不一定垂直的注意事项，让学生在实际问题中更好地应用所学知识.P-AB-Q，若棱记作l，则二面角大小等于棱l的大小。
记作α-l-β或P-AB-Q。
若改变点O的位置，l-Q，则二面角的大小不变。
二面角的平面角定义为在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。
该平面角的大小与O点位置无关，范围为[0.180°]，平面角为直角的二面角叫做直二面角。
平面与平面垂直的定义是，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直。
一般地，两个互相垂直的平面通常画成一个平面过另一个平面的垂线。
平面α与β垂直，记作α⊥β。
两个平面互相垂直的判定定理是，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
例如，在图中，平面PAC⊥平面PBC，因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，且AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC。
平面与平面垂直的判定的教案
平面与平面垂直的判定的教案
本教案旨在介绍平面与平面垂直的判定方法，通过理论讲解和实例演练，帮助学生掌握该知识点。
首先，教师将介绍平面与平面垂直的定义和
特征，以及相关的数学概念和定理。
然后，教师
将详细解释具体的判定方法，包括利用向量、斜率、坡角等几种常见的方法。
教师在讲解过程中
可以使用图示和实例，以便学生更好地理解。
二、实例演练
接下来，学生将进行实例演练，通过给定的几道题目来判定平
面与平面是否垂直。
教师可以设计不同难度的题目，逐步引导学生
掌握解题方法。
在演练过程中，教师可以与学生进行互动，解答学
生的疑问，并及时纠正他们的错误。
三、巩固与拓展
最后，学生将进行一些巩固练，巩固所学的知识。
教师可以提
供一些额外的拓展题目，以便对能力较强的学生进行挑战。
同时，
教师还可以引导学生思考实际生活中平面与平面垂直的应用情景，
培养学生的应用能力和创造力。
最后，学生将进行一些巩固练习，巩固所学的知识。
教师可以
提供一些额外的拓展题目，以便对能力较强的学生进行挑战。
同时，教师还可以引导学生思考实际生活中平面与平面垂直的应用情景，
培养学生的应用能力和创造力。
《平面与平面垂直的判定》教学设计 (2)
《平面与平面垂直的判定》教学设计1.教学任务分析：通过教学活动，(1)使学生了解、感受二面角的概念，感受到生活中处处有数学、数学用途广泛,增强学数学的兴趣.(2)在二面角的概念教学中，让学生体会以下几点：a.二面角的大小是用平面角来度量的.b.二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯一确定.c.平面角的两边分别在二面角的两个平面内，且两边都与二面角的棱垂直，由这个角所确定的平面和二面角的棱垂直.(3)了解平面与平面垂直的定义,通过探究掌握平面与平面垂直的判定定理.(4)通过例题教学,探究确定二面角的平面角的方法,会求特殊二面角的大小.2.教学难点、重点：(1)重点：确定二面角，面面垂直判定定理的应用.(2)难点：各种情景下确定二面角的平面角.3.教学方式与手段：采用“启发式”、“探究式”、“讲练结合”法.借助多媒体电脑平台.4.教学基本流程(总体设计)：从生活实例让学生感性认识二面角↓二面角的概念↓二面角的平面角↓定义两平面垂直↓面面垂直的判定↓应用、探究↓课堂小结、作业5.页面设计(相应内容逐步演示):课题:平面与平面垂直的判定1.二面角概念2.确定二面角的平面角的方法αβl O BA3.平面与平面垂直的定义4.平面与平面垂直的判定定理5.应用举例6.小结与作业 6.教学情景设计:引言:通过前面的学习,同学们已经知道:空间几何问题一般从两方面去研究:(1)从“形”去研究，即图形中点、线、面位置关系;(2)从“数量”去研究位置关系，即空间角与距离.这节课我们从“数”去研究两平面的位置关系.课题:平面与平面垂直的判定(电脑屏幕显示课题)问题 设计意图 师生活动1．利用课本“修筑水坝、发射人造卫星”两个实例，实际是两个平面相交，它们的相对位置可由两个平面所成的“角”确定.(借助多媒体动态演示) 1.从实际背景出发，增加学生对二面角的感性认识. 2.让学生感受生活中处处有数学,数学用途广泛,增强学数学的兴趣. 教师通过结合问题1的两个例子，实际上就是水坝面与水平面所成的角，卫星轨道平面与地球赤道平面所成的角.给我们两个平面成一个“角”的形象，让学生在此基础上再举一些平面成角的例子.如教室的门在打开的过程中与墙面成一定的角度；书本翻开的过程中，两张纸面呈一定的角度等.如何定义“二面角”，组织学生思考、讨论，注意引导学生从实际背景“两个面相交成一定角度”出发来分析、归纳“二面角”,顺便得到“半平面”和棱的概念.2．二面角反映了两个平面相交的位置关系，如何度量二面角的大小呢？让学生回忆定义两条异面直线所成角的做法得到启发，能否用“平面角”来度量“二面角”?说明“唯一性”时,利用多媒体动态演示,必须使OA ,OB 垂直棱l .拖动点O ,说明AOB ∠的大小与棱上点O 的位置无关.引导学生用“平面化”的思想来思考问题.教师通过提问的方式引导学生讨论： ① 前面学的两条异面直线所成的角的定义，角的顶点位置的选择是否影响到角的大小（即考虑“唯一性”）？ ② 当我们选择某种方式度量一个量时，必须考虑“唯一性”问题.用什么样的平面角来度量才能保证唯一性呢？如果在二面角的棱上任找一点，从这点出发分别在两个半平面内任作一条射线，虽然它们可构成一个平面角，但这样的角的大小会由于所作的射线的位置不同而改变，因而不具有“唯一性”.③ 那么，从二面角的棱上任一点出发分别在两个半平面内作一条射线，射线与棱如何时，所作的“平面角”才具有“唯一性”？（垂直具有唯一性）3.如何定义二面角的平面角? 学生数学表达、归纳能力. 由学生归纳出二面角的平面角的定义:在二面角l αβ--的棱上任取一点O ,以点O 为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱lβαβαOPA BC的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的AOB∠叫做二面角的平面角.4.观察教室里相邻两个墙面与地面可以构成几个二面角?指出其中一个二面角的面、棱、平面角及其度数. ①认识实际情景中二面角的面、棱、平面角、直二面角.②为了引出平面与平面垂直的定义.学生合作、讨论、交流后,由学生代表发言,教师归纳,引出平面与平面垂直的定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.两个平面垂直的画法如下：5.如何判定两个平面垂直? ①如何用定义判定平面与平面垂直.②为了引出平面与平面垂直的判定定理.在教师指导下,学生合作、讨论、探究：①定义法：即要证明两个平面所成的二面角是直二面角——作平面角——求证平面角是90——需知平面角所在的三角形的几何量的数据或边角的大小关系，否则难以判定.②教师引导学生观察教室的相邻两块墙面的位置关系.③让学生动手:将书脊所在直线固定与桌面垂直,把书本打开,观察每页书所在的平面与桌面的关系(或课室门的转动,门所在的平面与底面的位置关系).由学生小结,教师讲解时抓住“线(书脊)与面(桌面)垂直固定,每页书所在的平面与桌面垂直”,引出面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个垂直.这个定理说明,可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直,即“线面垂直”→“面面垂直”.6.例题教学(启发式、讲授结合)(应用判定定理解决数学内部问题,及探究确定二面角的平面角的方法) 例3.如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点.求证:平面PAC⊥平面PBC.分析:(1)目标:面面垂直,关键是找什么?(线面垂直)(2)在其中一个平面找另一个平面的垂线,图中哪条直线?(3)如何证明此直线于平面垂直?(逐步由学生回答,教师纠正)证明:设在⊙O所在平面为α,由已知条件,PAα⊥,BC在α中,所以PA BC⊥.因为C是圆周上不同于A,B的任意一点,AB是⊙O的直径, 所以BCA∠是直角,即BC AC⊥.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线,所以,BC ⊥平面PAC , 又因为BC 在平面PBC 内, 所以, 平面PAC ⊥平面PBC .解题方法小结(师生共同完成):①明确目标(即化归为何种问题);②面面垂直转化为线面垂直,关键是证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直. 引伸探究:(1)若E 在PB 上,AE PB ⊥,F 在PC 上,AF PC ⊥.证明面PBC ⊥面AEF .(2)若2PA AC ==,4AB =,求二面角A PB C --的正弦值和二面角P BC A --的大小.(3)证明P ,A ,B ,C 四点在同一球面上.7．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考： （1） 请归纳确定二面角的平面角的方法.（2）平面与平面垂直的判定定理体现的数学思想是什么？应用定理的关键是找什么？师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结，让学生充分发表自己的意见. 8．作业：课本77P 习题2.3A 组：2、3、6题.。
教学设计——平面与平面垂直的判定(全国优质课比赛)
教学设计——2.3.2平面与平面垂直的判定山东省青岛市黄岛区第一中学姜世彩一、教学内容解析：1.教材的地位与作用：本节课是人教A版必修2第2章第3节的第2课时，是在前面学习了线面垂直的判定、线面角的基础上按照直观感知、操作确认的方式得出二面角及其平面角的概念、面面垂直的定义、画法及判定定理，是为解决空间中证明面面垂直的问题而设置的，为后面研究面面垂直的性质奠定了基础.2.教学重点、难点：重点：平面与平面垂直的判定定理及应用.难点：(1)二面角的大小的度量.(2)平面的垂线的确定.二、教学目标设置：1.知识与技能：通过生活实例直观感知、理解二面角及其平面角.通过观察和思考归纳面面垂直的判定定理，明确面面垂直与线面垂直联系.2.过程与方法：通过例题及探究掌握并灵活应用面面垂直的判定定理,培养学生的空间想象能力,体会化归思想.3.情感态度价值观：通过小组交流，合作探究，提高学生学习的主动性和团队合作意识.通过定理及其应用培养学生严谨规范的学习品质.该目标贯穿于整节课的教学,并根据该目标给学生设计了课堂自我评价表格，引导学生进行自主评价，自主反思.三、学生学情分析：1.学生课前已经预习了课本内容.2.个别同学存在一些小问题:例如，张涛、王红、李向阳同学的空间想象能力不够好，立体几何作图时经常虚实不分；陈冲、王伟明、赵小龙、刘玉同学在寻找立体几何证明思路时有困难，思维及书写步骤不规范，经常漏掉应用定理所必需的条件. 采取我课下单独辅导、纠正及小组成员互帮互助两个策略帮助他们尽快弥补自身的不足.3.大部分同学已经具备了学习本节内容的知识基础，并且具备了很好的空间想象能力、立体几何解题技巧及思维、书写的规范性.因此，本节课的教学重点定位在引导学生小组合作，主动探究二面角及面面垂直的判定定理，以导学案为载体，采用发现问题、解决问题、加深理解、学以致用的方式帮助学生掌握学习立体几何的方法.4.经过高一一年的小组合作模式学习，绝大多数同学能够积极主动地参与到课堂探究、讨论活动中.在知识建构的过程中，各小组能够很快形成自己的看法并主动推选出代表发言.小组间既有竞争又有合作，能够实现“生本愉悦课堂”，保证课堂的高效.四、教学策略分析：我采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法，使学生形成“自主探究—归纳总结—灵活应用”的探究式学习方法，从而达到以学生为主体，教师为主导，师生共同发展的课堂教学效果.为充分实现我的想法，我采用了如下手段：1.导学案——引领学生展开课堂探究，保证学生学习的规范性，达成课堂的高效.2.实物投影——现场投影学生作答，及时发现问题、解决问题，充分体现问题来自于学生、解决于学生，最终提高了学生.3.教具——自制教具、现场演示书本、门，尊重学生由直观到抽象的认知规律，充分体现数学源于生活又高于生活.4.各种制图软件的综合利用——巧妙地将几何画板及录屏软件结合使用，实现二面角的动态转动效果及面面垂直时其中一个面的转动效果，既满足了学生直观感知的需要，又保证了立体几何图形的严谨规范.五、教学过程：（二）探究新知——二面角.附：学案高中数学◆学案◆必修2 有志者事竟成2.3.2 平面与平面垂直的判定班级：___________ 姓名：__________ 学习目标1. 通过生活实例,直观感知二面角及其平面角.通过观察、思考，归纳面面垂直的判定定理，明确面面垂直与线面垂直联系.2. 通过例题及探究,掌握并灵活应用面面垂直的判定定理,培养空间想象能力,体会化归思想.3. 通过小组交流、合作探究，提高学习的主动性和团队合作意识.通过定理及其应用，培养严谨规范的学习品质.学习重点平面与平面垂直的判定定理及其应用.学习/反思/笔记探究新知一．二面角及其平面角【直观感知】生活中有哪些与二面角有关的实例?【概念生成】1.半平面、二面角的定义是什么?请指出图中二面角的棱、面.2.练习：二面角指的是（）A．从一条直线出发的两个半平面所夹的角度.B．过棱上一点和棱垂直的两射线所成的角.C．两个平面相交时，两个平面所夹的锐角.D．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.【观察画图】1.你能画出下列各图所体现的二面角吗?2.反思：画二面角的时候应该注意什么问题?【学会表示】1二面角的表示：___________ ____________ ___________高中数学◆学案◆必修2 有志者事竟成2.练习:图中的二面角可以如何表示?【如何刻画】1.二面角的平面角的定义：______________________________________________________________________________________________________________________________________.2.二面角的平面角的特征：(1)___________.(2)___________.(3)__________.【学会度量】二面角的大小可以用其__________来度量,二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是_______的二面角叫做直二面角.二、平面与平面垂直的判定定理【定义】两个平面互相垂直：_______________________________________________画法：记作：___________【直观感知】1.你身边有哪些面面垂直的例子？2.观察教具及动画演示.【归纳定理】两个平面垂直的判定定理：____________________________________________________________________________________________________.符号语言：讨论：定理的本质和关键是什么?【加深理解】练习：（1）如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β. （2）如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β. 学习/反思/笔记αβl高中数学◆学案◆必修2 有志者事竟成（3）如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线, 则α⊥β. （4）若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β. 【学以致用】例题：如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于A ,B 的任意一点, 求证:平面PAC ⊥平面PBC .小结：线线垂直 线面垂直 面面垂直 探究：已知AB ⊥平面BCD ,BC CD ⊥ （1）有哪些线线垂直关系? （2）有哪些线面垂直关系? （3）有哪些面面垂直关系?巩固训练.1111111BD A A ACC D C B A ABCD 平面中，求证：平面在正方体⊥-学习/反思/笔记DCBA高中数学◆学案◆必修2 有志者事竟成课堂总结课堂评价学习目标分值目标达成优秀良好合格1. 通过生活实例,直观感知二面角及其平面角.通过观察、思考，归纳面面垂直的判定定理，明确面面垂直与线面垂直的联系.10 8 62. 通过例题及探究，掌握并灵活应用面面垂直的判定定理,培养空间想象能力,体会转化思想.10 8 63. 通过小组交流、合作探究，提高学习的主动性和团队合作意识.通过定理及其应用，培养严谨规范的学习品质.10 8 6课后作业必做：完成练习1，习题A组1. 2 选做：习题B组1。
《平面与平面垂直的性质》教学设计（5篇范文）
《平面与平面垂直的性质》教学设计（5篇范文）第一篇：《平面与平面垂直的性质》教学设计《平面与平面垂直的性质》教学设计一、教材分析：直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
二、学情分析：1.学生思维活跃，参与意识和自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学方法；通过一系列的问题及层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究。
帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现。
2.学生抽象概括能力和空间想象能力有待提高，故采用多媒体辅助教学。
让学生在认知过程中，着重掌握原认知过程，使学生把独立思考与多向交流相结合。
三、根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,确定了以下教学目标:（1）知识与技能目标：①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.（2）过程与方法目标：①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.②通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力。
③发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.（3）情感、态度与价值观目标：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.四、教学重点与难点：（1）教学重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。
（2）教学难点：运用性质定理解决实际问题。
五、教学设计思路：1、复习导入：（1）线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.（2）面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.2、探究发现：（1）创设情境：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！设计说明：感知在相邻的两个相互垂直的平面内，有哪些特殊的直线和平面关系，然后通过操作，确定两个平面垂直的性质定理的合理性，引导学生通过模型观察，讨论在两个平面相互垂直的情况下，能够推出一些什么样的结论。
平面与平面垂直的判定优秀教案
2．3.2 平面与平面垂直的判定教材分析在空间，平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范．空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点．使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神．教材目标1．探究平面与平面垂直的判定定理，二面角的定义及应用，培养学生的归纳能力．2．掌握平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生的空间想象能力．3．引导学生总结求二面角的方法，培养学生归纳问题的能力．重点难点教学重点：平面与平面垂直的判定．教学难点：平面与平面垂直的判定和求二面角．教学过程复习两平面的位置关系：(1)如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β＝∅，则α∥β.(2)如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β＝AB，则α与β相交．两平面平行与相交的图形表示如图1.图1导入新课思路1.(情境导入)为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度．为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角．思路2.(直接导入)前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题．推进新课新知探究提出问题①二面角的有关概念暍画法及表示方法.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的定义.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理棳并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里?讨论结果：①二面角的有关概念．二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面．二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2(教师和学生共同动手)．直立式：平卧式：图2二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角αAB β.有时为了方便也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角PABQ.教材P51 练习学生独立完成后教师检查、指导（三）归纳整理、整体认识（四）作业1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。
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平面与平面垂直的判定
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.
2．过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.
3．情态、态度与价值观
通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.
（二）教学重点、难点
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小.
（三）教学方法
实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课导入问题1：平面几何中“角”是怎样定
义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所
学生自由发言，教师
小结，并投影两个平
面所成角的实际例
复习巩固，以旧
导新
成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？子：公路上的表面与水平面，打开的门与门椎所在平面等，怎样定义两个平面所成的角呢？
探索新知一、二面角
1．二面角
（1）半平面
平面内的一条直线把平面分成两部
分，这两部分通常称为半平面.
（2）二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形叫做二面角（dihedral
angle）.这条直线叫做二面角的棱，
这两个半平面叫做二面角的面.
（3）二面角的求
法与画法
棱为AB、面分
别为α、β的二面角记作二面角
AB
αβ
--. 有时为了方便，也可在
,αβ内(棱以外的半平面部分)分别
取点P、Q，将这个二面角记作二面角
P–AB –Q.如果棱记作l，那么这
个二面角记作二面角l
αβ
--或P–
教师结合二面角模
型，类比以上几个问
题，归纳出二面角的
概念及记法表示（可
将角与二面角从图
形、定义、构成、表
示进行列表对比）.
师生共同实验(折纸)
思考二面角的大小与
哪一个角的大小相
同？这个角的边与二
面角的棱有什么关
系？
生：过二面角棱上一
点O在二面角的面上
分别作射线与二面角
的棱垂直，得到的角
与二面角大小相等.
师：改变O的位置，
通过模型教学，
培养学生几何直
观能力，通过类
比教学，加深学
生对知识的理
解.
通过实验，培养
学生学习兴趣和
探索意识，加深
对知识的理解与
掌握.
l–Q.
2．二面角的平面角
如图（1）在二面角c
αβ
--的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.
（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.
（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]
（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角. 这个角的大小变不变.
生：由等角定理知不变.
探索新知二、平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的定义，记法与画
法.
一般地，两个平面相交，如果它们所
成的二面角是直二面角，就说这两个
平面互相垂直.
两个互相垂直的平面通常画成此图的
样子，此时，把直立平面的竖边画成
与水平平面的横边垂直.平面α与β
学生自学，教师点拔
一下注意事项.
师：以教室的门为例，
由于门框木柱与地面
垂直，那么经过木柱
的门无论转到什么位
置都有门面垂直于地
面，即αβ
⊥，请同学
给出面面垂直的判定
培养学生自学能
力,通过实验，培
养学生观察能
力，归纳能力，
语言表达能力.
垂直，记作α⊥β.
2．两个平面互相垂直的判定定理，一
个平面过另一个平面的垂线，则这两
个平面垂直.
定理.
典例分析例3 如图，AB
是⊙O的直径，
PA垂直于⊙O
所在的平面，C
是圆周上不同于A、B的任意一点，求
证：平面PAC⊥平面PBC.
证明：设⊙O所在平面为α，由已知
条件，
PA⊥α，BC在α内，
所以PA⊥BC.
因为点C是圆周上不同于A、B的任意
一点，AB是⊙O的直径，
所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.
又因为PA与AC是△PAC所在平面内
的两条直线.
所以BC⊥平面PAC.
又因为BC在平面PBC内，
所以，平面PAC⊥平面PBC.
师：平面与平面垂直
的判定方法有面面垂
直的定义和面面垂直
的判定定理，而本题
二面角A –PC–B
的平面角不好找，故
应选择判定定理，而
应用判定定理正面面
垂直的关键是在其中
一个平面内找(作)
一条直线与另一平面
垂直，在已有图形中
BC符合解题要求，为
什么？
学生分析，教师板书
巩固所学知识，
培养学生观察能
力，空间想象能
力，书写表达能
力.
随堂练习1．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分
别是G1G2，G2G3的中
点，D是EF的中点，
现在沿SE，SF及EF
把这个正方形折
成一个四面体，使G1，G2，G3三点重
合，重合后的点记为G，则在四面体S
–EFG中必有（ A ）
A．SG⊥EFG所在平面
B．SD⊥EFG所在平面
C．GF⊥SEF所在平面
D．GD⊥SEF所在平面
2．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，
你能发现哪些平面互相垂直，为什
么？
答：面ABC⊥面BCD
面ABD⊥面BCD
面ACD⊥面ABC.
学生独立完成
巩固知识
提升能力
归纳总结1．二面角的定义画法与记法.
2．二面角的平面角定义与范围.
3．面面垂直的判定方法.
学生总结、教师补充
完善
回顾、反思、归
纳知训提高自我
整合知识的能力
4．转化思想. 课后作业
2.3 第二课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备选例题
例1 如图，平面角为锐角的二面角EF αβ--，A ∈EF ，AG α⊂，∠GAE = 45°若AG 与β所成角为30°，求二面角EF αβ--的平面角.
【分析】首先在图形中作出有关的量，AG 与β所成的角(过G 到β的垂线段GH ，连AH ，∠GAH = 30°)，二面角EF αβ--的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH 建立联系，抓住
GH ⊥β这一特殊条件，作HB ⊥EF ，连接GB ，利用相关关系即可解决问题.
【解析】作GH ⊥β于H ，作HB ⊥EF 于B ，连结GB ， 则CB ⊥EF ，∠GBH 是二面角的平面角. 又∠GAH 是AG 与β所成的角， 设AG = a ，则21,22
GB a GH a ==，2
sin 2GH GBH GB ∠=
=. 所以∠GBH = 45°
反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系.
例2 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ，E 是S A 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD ．
【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需 要寻找已知条件“SC ⊥平面ABCD ”与需证结论 “平面EDB ⊥平面ABCD ”之间的桥梁． 【证明】连结AC 、BD ，交点为F ，连结EF ， ∴EF 是△SAC 的中位线，∴EF ∥SC ． ∵SC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ．
B
S C
又EF ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABCD ．
【评析】将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键． 例3 如图，四棱锥P – ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥
面ABCD ．
证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大
于90°．
【分析】由△PAD ≌ △PCD ，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可．
【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形．作AE ⊥DP ,垂足为E ，连接EC ，则△ADE ≌△CDE ．
∴AE = CE ，∠CED = 90°．故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角．设AC 与BD 相交于点O ．连接EO ，则EO ⊥AC ．
∴
2
2
a OA AE AD a =<<=， 在△AEC 中，
222
(2)cos 2AE EC OA AEC AE EC
+-∠=
⋅ =
2
(2)(2)
0AE OA AE OA AE +-<，
∴∠AEC ＞ 90°．
所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°． 【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答．。