复数与复平面 ppt课件

§1 复数及其代数运算
哈 尔
1. 复数的概念
滨
工 程
对 任 意 两 实 数 x 、 y, 称 z x iy 或 z x y i
大
学 为 复 数 。 其 中 i2 1 , i称 为 虚 单 位 。
复
变 函
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y .
数
与 积
(real part) (imaginary part)
变 函 数
(z2 0)
与
积 分
复数的运算满足加法交换律、结合律；
变
换
乘法交换律、结合律和分配律。
3. 共轭复数
哈 尔
定义
若zx + iy , 称zx iy 为z 的共轭复数.
滨
工 程 大
• 共轭复数的性质
(conjugate)
学 复 变 函
1)(z1z2)z1z2,(z1z2)z1z2,
( z1 z2
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复变函数的应用
1、系统分析、信号分析； 2、流体力学； 3、反常积分； 4、量子力学； 5、相对论； 6、应用数学。
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第一章 复数与复变函数
哈
尔 滨
第一讲 复数及复平面
工
程
大
学
学习要点
复
变
函 数
掌握复数的意义及代数运算
与
积
分 变
掌握复平面与复数的表示方法
换
掌握复数的乘幂与方根
函 数 与
z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
积
分 变
•
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
换
• z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
哈
z1 x1 iy1
尔 滨
z2 x2 iy2
工
程 大 学 复
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 x22 y22
分
变
换 复 数 的 模 ： |z|x 2 y 2 0
复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 ,
哈 尔
其中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2
滨 工
z 0 R e ( z ) I m ( z ) 0
程
大 学
一般, 任意两个复数不能比较大小。
复 变
2. 四则运算
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复变函数的起源
3、数系中发现一颗新星——虚数，于 是引起了数学界的一片困惑，很多大数 学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼 茨在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精 微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚 妄两界中的两栖物”。
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复变函数的起源
4、瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说； “一切形如，√-1，√-2的数学式子都是不可 能有的，想象的数，因为它们所表示的是 负数的平方根。对于这类数，我们只能断 言，它们既不是什么都不是，也不比什么 都不是多些什么，更不比什么都不是少些 什么，它们纯属虚幻。”
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4
复变函数的起源
2、给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡 尔，他在《几何学》（1637年发表）中使“虚 的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传 开来。
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复变函数的起源
2、给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡 尔，他在《几何学》（1637年发表）中使“虚 的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传 开来。
)
z1 z2
,
z2
0
数 与
2)
zz
积
分 变
3)
zz Re(z)2 Im(z)2 x2 y2
换
4 )z z 2 R e ( z ) , z z 2 i I m ( z )
哈
例 1
设z155i,z2
34i,求z1,(z1) z2 z2
尔 滨
及它们的实部, 虚部.
工
程
大 学 复 变
例2 求
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进 的。为使负数开方有意义，需要再一次扩 大数系，使实数域扩大到复数域。
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复变函数的起源
1、16世纪意大利米兰学者Cardan在1545年 发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次 方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。 他是第一个把负数的平方根写到公式中的数 学家。
1i 4 1i
函
数
与
积 分
例 3 已 知 x i y ( 2 x 1 ) y 2 i , 求 z x i y .
变
换
§2 复数的几何表示
哈 1. 点的表示 z x iy 复平面上的点P( x，y)
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复变函数的起源
5、法国数学家达朗贝尔在1747年指出，如 果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运 算，那么它的结果总是a+ib的形式（a、b都 是实数。 6、法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730 年发现公式了，这就是著名的棣莫佛定理。
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复变函数的起源
7、欧拉在1748年发现了有名的关系式，并 且是他在《微分公式》（1777年）一文中第 一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作 为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来 的，而它是确实存在的。
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复变函数的起源
经过许多数学家长期不懈的努力，深刻 探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域 游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的 面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚 呵。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实 数集才扩充到了复数集。
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复变函数的起源
随着科学和技术的进步，复数理论已越来越 显出它的重要性，它不但对于数学本身的发 展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上 升力的基本定理起到了重要作用，并在解决 堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建 立巨大水电站提供了重要的理论依据。
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复变函数的起源
8、挪威的测量学家成塞尔在1779年试图给于 这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作 法，然而没有得到学术界的重视。
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复变函数的起源
9、德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的 图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示， 同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。由 各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又 称“阿甘得平面”。
《复变函数与积分变换》
N P
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z
－理学院工科数学基地－ 1
研究对象
Fra Baidu bibliotek
以复数作为自变量和因变量的函数就 叫做复变函数，而与之相关的理论就 是复变函数论。解析函数是复变函数 中一类具有解析性质的函数，复变函 数论主要就研究复数域上的解析函数， 因此通常也称复变函数论为解析函数 论。
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复变函数的起源