复数与复平面 ppt课件
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复数与复平面ppt课件
来表 . 示 y zxiy
y
P(x,y)
z r
o
x
x
复数的模(或绝对值): 向量的长 z的 度模 称或 为,绝对值
记z为 rx2y2.
.
25
模的性质
x z, y z, zxy, zzz2z2. 三角不等式 (1 )z1 z2z1 z2;(2 )z1 z2z1z2. 复数的辐角:
在z0的情,况 以下 正实轴, 以 为表 始示 边
.
5
复变函数起源简介
在复数域内考虑问题往往比较方便, 例如, 一元 n 次方程a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x +a_n=0(a_0≠0), 其中a_0、a_1、⋯a_n 都是 复数, 在复数域内恒有解。这就是著名的代数 学基本定理, 它用复变函数来解决是非常简洁 的。又如, 在实数域内负数的对数无意义, 而在 复数域内我们就可以定义负数的对数。
z的向O量 P 为终边的角称 的为 弧 z的度 辐 ,数 角 记作Azrg. 当 z0时 , z0,而辐角 . 不
任何一 z0有 个无 复穷 数 . 多个辐
如果 1是其中一个 , 那 辐么 z角 的全部辐角
Ar zg12kπ(k为任意 ). 整数
.
26
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0
.
11
复变函数已成为我校的精品课程，其网址是：
:8070/fbhs/ 或 http://202.116.0.180/xjjpkc/2010/fbhs/
.
12
第一章 复数与复平面 第二章 复变函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数
第五章 留数 第六章 保形映射
复数的概念及复数的几何意义ppt课件
几何意义
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
复变函数入门 1ppt课件
3. 两复数的商:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
注解：
➢ 复数的减法运算是加法运算的逆运算
➢ 复数的除法运算是乘法运算的逆运算
➢ 复数的四则运算与实数的四则运算保持一致
7
定理: 全体复数关于上述运算做成一个数域.
称为复数域，用C表示.即
复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 z1 z2 z2 z1 ②加法结合律 z1 (z2 z3) (z1 z2 ) z3 ③乘法交换律 z1 z2 z2 z1 ④乘法结合律 z1 (z2 z3) (z1 z2 ) z3 ⑤乘法对加法的分配律
面上的点向量oz 表示.
o
x
x
18
结论:
两个复数的加减法运算与相应的向量的 加减法运算一致.
y
z2
z1 z2
y
z2
z1
o
z1
x
o
x
z1 z2
z2
19
附录： 向Hamilton 学习
Hamilton.William Rowan（威廉.罗万.哈 密儿顿，1805——1865）爵士，无 疑是使爱尔兰人在数学领域中享有 盛益的最伟大的人物，同时也是有 名望的物理学家和天文学家。他 1805年生于都柏林，除了短时间外 出访问外，一生都是在这里度过 的。他才一岁时，被委托给一位叔 叔教育，这位叔叔的热心在于给他 侧重语言上的教育，不久之后，他 就成了孤儿。Hamilton是个神童，3 岁时能阅读英文，5岁时能阅读、
以上各式证明略.
10
例3 将下列复数表示为 x iy 的形式.
2022-2023学年人教A版必修第二册 7-1-2 复数的几何意义 课件(31张)
(2)位于虚轴上;
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
新教材2023版高中数学新人教B版必修第四册：复数的几何意义课件
跟踪训练2 在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数为2＋i. (1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数； (2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．
∴ቊx
− y
2==1，3x，解得ቊx
= −1， y = 1.
4．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为 坐标原点，则|AB|＝____2____．
解析：因为复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA和OB，所以向量OA＝(1，1)，OB ＝(1，3)，
所以AB＝OB − OA＝(0，2)，所以|AB|＝2.
向量OZ的长度叫做复数z＝a＋bi的模，记作__|z_|_或__|_a＋__b_i_| _，且|a
＋bi|＝ a2 + b2.
知识点二 共轭复数 1．定义 如果两个复数的实部___相__等___，而虚部_互__为__相_反__数__，则这两个复数 叫做互为共轭复数． 2．表示 复数z的共轭复数用zത表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，则zത＝a－bi.
跟踪训练1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对 应点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m 的值或取值范围．
解析：复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m
＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(3)复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|.( × )
解析：错误．两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小．
2．(多选)复数z＝cos
θ＋isin
θ(i为虚数单位)其中θ∈
第五章复数的几何意义【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
坐标为(x,y),
由 = ,得(x-1,y-3)=(2,2),
即 x-1=2,y-3=2,解得 x=3,y=5,
故点 D(3,5),其对应的复数为 3+5i.
(2)因为 B(0,-1),C(2,1),
所以直线 BC 的方程为 x-y-1=0,
|1-3-1|
所以点 A 到直线 BC 的距离 d=
上,故选ABC.
答案ABC
微练习2
若x-2+yi和3x-i(x,y∈R)互为共轭复数,则x=
,y=
.
解析由题意,可得
答案-1
1
-2 = 3,
= -1,
故
= 1,
= 1.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
复数与点的对应关系
例1求实数a分别取何值时,复数
下列条件:
(1)在复平面的第二象限内.
=(3,10),而=(0,-3),于是 D(3,7).
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的向量
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得
.
=(a,b).
3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对
激趣诱思
知识点拨
例1求实数a分别取何值时,复数
四、共轭复数
+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件:
复数z=a+bi(a,b∈R)用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内点Z的坐标是(a,b),而非(a,bi).
这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴.
由 = ,得(x-1,y-3)=(2,2),
即 x-1=2,y-3=2,解得 x=3,y=5,
故点 D(3,5),其对应的复数为 3+5i.
(2)因为 B(0,-1),C(2,1),
所以直线 BC 的方程为 x-y-1=0,
|1-3-1|
所以点 A 到直线 BC 的距离 d=
上,故选ABC.
答案ABC
微练习2
若x-2+yi和3x-i(x,y∈R)互为共轭复数,则x=
,y=
.
解析由题意,可得
答案-1
1
-2 = 3,
= -1,
故
= 1,
= 1.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
复数与点的对应关系
例1求实数a分别取何值时,复数
下列条件:
(1)在复平面的第二象限内.
=(3,10),而=(0,-3),于是 D(3,7).
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的向量
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得
.
=(a,b).
3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对
激趣诱思
知识点拨
例1求实数a分别取何值时,复数
四、共轭复数
+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件:
复数z=a+bi(a,b∈R)用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内点Z的坐标是(a,b),而非(a,bi).
这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴.
7-1-2复数的几何意义课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
例4 复数z＝3－4i的共轭复数对应的点在
√A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析 z＝3－4i 的共轭复数为 z ＝3＋4i，可知其对应的点在第一象限.
反思感悟
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴 对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合， 且在实轴上.
1234
在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B， 若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是__2_＋__4_i __.
解析
因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B， 所以A(6,5)，B(－2,3)， 又C为线段AB的中点， 所以C(2,4)，所以点C对应的复数是2＋4i.
解析 由|z1|>|z2|，得x4＋x2＋1>(x2＋a)2. 则(1－2a)x2＋(1－a2)>0对x∈R恒成立.
当 1－2a＝0，即 a＝12时，不等式34>0 成立. 当 1－2a≠0，即 a≠12时，1－－421a－>02，a1－a2<0， 解得－1<a<12.
4
共轭复数
知识梳理
1.定义：一般地当两个复数的实部 相等 ，虚部 互为相反数 时， 这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫 做 共轭虚数 . 2.表示：复数z的共轭复数用 z 表示， 即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么 z ＝ a－bi .
② 1≤|z|≤2.
解 不等式 1≤|z|≤2 可以转化为不等式组||zz||≤ ≥21.， 不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合. 不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合. 这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合， 如图中的阴影部分，故所求点的集合是以O为圆心， 以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.
2024届新高考一轮复习北师大版 第5章 第4节 复数 课件(50张)
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第五章 平面向量、复数 第四节 复 数
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用 点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表 示.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几 何意义．
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内容
意义
复数 a＋bi(a，b∈R) 复数的
分类
复数相 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b， 等 c，d∈R)
备注
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内容
意义
若两个复数的实部_相__等_，而虚部互
共轭复 为相__反__数__，则称这两个复数互为共
数 轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表
示．
备注
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2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii ＝i；11－ ＋ii ＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi).
－ (3)z·z
＝|z|2＝|－z
|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，zz12
＝||zz12||
任意两个复数 a＋bi 和 c＋di(a，b，c，d∈R)，(a＋bi)(c＋di)＝ _______(a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i_________．
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5．复数的除法 对任意的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数 z2＝c＋di(c，d∈R)，则zz12 ＝ac＋＋dbii ＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝acc2＋＋db2d ＋bcc2＋－da2d i.
第五章 平面向量、复数 第四节 复 数
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用 点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表 示.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几 何意义．
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内容
意义
复数 a＋bi(a，b∈R) 复数的
分类
复数相 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b， 等 c，d∈R)
备注
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内容
意义
若两个复数的实部_相__等_，而虚部互
共轭复 为相__反__数__，则称这两个复数互为共
数 轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表
示．
备注
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2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii ＝i；11－ ＋ii ＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi).
－ (3)z·z
＝|z|2＝|－z
|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，zz12
＝||zz12||
任意两个复数 a＋bi 和 c＋di(a，b，c，d∈R)，(a＋bi)(c＋di)＝ _______(a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i_________．
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5．复数的除法 对任意的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数 z2＝c＋di(c，d∈R)，则zz12 ＝ac＋＋dbii ＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝acc2＋＋db2d ＋bcc2＋－da2d i.
复变函数课件
第一章 复数与复平面
1. 复数域
目录
2. 复平面
3.复球面及无穷大
§1 复数及其几何表示
1、复数域
(1)复数的概念 形如 z x iy 的数称为复数 复数
或
z x yi
如果两个复数z1和z2的实部和虚部分别相等，那么 称这两个复数为相等。
x及y分别称为z的实部和虚部，分别记作 y Im z x Re z 及
o
r
1
z1
r1
2
r2
z2
x
结论：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
即先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 2 , 再把它的模扩大到 r2 倍, 就得到z1 z2 .
由除法定义，我们还有
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 ) z2 | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | (cos 2 Argz2 sin 2 Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | z1 | z1 | Arg z1 Argz Argz , 1 2 z z2 | z2 | 2
1. 复数域
目录
2. 复平面
3.复球面及无穷大
§1 复数及其几何表示
1、复数域
(1)复数的概念 形如 z x iy 的数称为复数 复数
或
z x yi
如果两个复数z1和z2的实部和虚部分别相等，那么 称这两个复数为相等。
x及y分别称为z的实部和虚部，分别记作 y Im z x Re z 及
o
r
1
z1
r1
2
r2
z2
x
结论：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
即先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 2 , 再把它的模扩大到 r2 倍, 就得到z1 z2 .
由除法定义，我们还有
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 ) z2 | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | (cos 2 Argz2 sin 2 Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | z1 | z1 | Arg z1 Argz Argz , 1 2 z z2 | z2 | 2
第一章 复数及复平面
x yi 2i x yi 2 , 化简后得
y x.
( 3) Im( i z ) 4 i z x (1 y )i ,
设 z x iy,
Im( i z ) 1 y 4,
所求曲线方程为 y 3.
(4) Re(iz) 3
复变函数论
Complex Function
2013.2.25
课程背景
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实 数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复 数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又 得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数 看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪， J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等 人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了 复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体 力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接 受，复变函数论才能顺利建立和发展。
L z1 z
过两点 zj=xj+iyj (j=1,2) 的直线； o 解
z2
x
通过两点 ( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) 的直线的方程
x x1 t ( x2 x1 ) 参数 t ( , ), y y1 t ( y2 y1 )
所以它的复数形式的参数方程为
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以 为终边的角的 向量OP 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y (z)
模： | z || OP | r 辐角 : Arg z
记作
复数的几何表示ppt课件
指数表示式为
z
3 i
e10 .
内容小结
1.复数的模、辐角、幅角主值; 2.复数的各种表示法.
各种表示法可相互转化,
思考题
1.是否任意复数都有辐角?
它的模为零而辐角不确定.
作业
习题一: 1(2)(4)、2、4(1)(6) 7,8(3)(4)(5)
例4 将通过两点z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直 线用复数形式的方程来表示.
2.用复平面上的向量表示复数
向量 OP与复数 z 一x 一iy对应，故用它表示复数.
y
P
z x iy
z
o
x
注意： 复数 z，点 z，向量 z 可视为同一个概念。
y
z 与 z 在复平面上关于实轴对称. y r
z x yi
O
x
x
z x yi
二、复数的模和幅角
复数z 的模：向量 OP的长度， 记作
由于z 位于第三象限，
arg z arctan ( 1 ) π 3
arctan
1 3
π .
y
3
x
1
arctan y
x
arctan y
x
arctan y x
arctan y x
例2 证明复平面上的三角不等式
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
证 两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，
6
6
5π i
z 4e 6 . 习惯上取主辐角
例5 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
z sin i cos ;
5
5
解 r z 1,
sin
高中数学必修二课件：复数的几何意义
【解析】 |z|＝ （1＋cos α）2＋sin2α＝ 2＋2cos α， ∵π<α<2π，∴－1<cos α<1. ∴0<2＋2cos α<4，∴|z|∈(0，2)．
探究3 (1)求复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，只需代入定义式|z|＝ a2＋b2 即 可，注意复数的模往往和其他章节的内容相联系．
【讲评】 点P(x，y)关于x轴对称点为(x，－y)． 点P(x，y)关于y轴对称点为(－x，y)． 点P(x，y)关于原点对称点为(－x，－y)． 点P(x，y)关于y＝x对称点为(y，x)． 点P(x，y)关于y＝－x对称点为(－y，－x)．
探究2 复数与平面向量的对应关系 (1)当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复 数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数 对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一 一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
B．2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
【解析】 ∵O→A＝－1－2i，∴A(－1，－2)． ∴B(－1，2)，∴O→B＝－1＋2i.故选D.
题型三 复数的模 例3 (1)已知复数－z 的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是___±__3___．
【解析】 ∵ －z 的实部为1，∴z的实部为1，又|z|＝2，∴可设z＝1＋bi(b∈ R)．则b2＝3，b＝± 3，即复数z的虚部是± 3.
1．如何理解复数与复平面内的点的一一对应关系？
答：(1)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复平面 内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
(2)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0， b)(b≠0)都表示纯虚数．
探究3 (1)求复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，只需代入定义式|z|＝ a2＋b2 即 可，注意复数的模往往和其他章节的内容相联系．
【讲评】 点P(x，y)关于x轴对称点为(x，－y)． 点P(x，y)关于y轴对称点为(－x，y)． 点P(x，y)关于原点对称点为(－x，－y)． 点P(x，y)关于y＝x对称点为(y，x)． 点P(x，y)关于y＝－x对称点为(－y，－x)．
探究2 复数与平面向量的对应关系 (1)当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复 数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数 对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一 一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
B．2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
【解析】 ∵O→A＝－1－2i，∴A(－1，－2)． ∴B(－1，2)，∴O→B＝－1＋2i.故选D.
题型三 复数的模 例3 (1)已知复数－z 的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是___±__3___．
【解析】 ∵ －z 的实部为1，∴z的实部为1，又|z|＝2，∴可设z＝1＋bi(b∈ R)．则b2＝3，b＝± 3，即复数z的虚部是± 3.
1．如何理解复数与复平面内的点的一一对应关系？
答：(1)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复平面 内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
(2)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0， b)(b≠0)都表示纯虚数．
新人教版高中数学必修第二册复数全套PPT课件
C．－3i
D．3
解析：由复数的几何意义可知
―→ OZ
对应的复数为
－3i.故选C.
答案：C
3．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1
B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0
D．a＝0
解析：由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故选C.
答案：C
4．若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则
∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11， 或xy＝＝－－11.， (2)设方程的实数根为x＝m， 则3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
解得a＝11或a＝－751.
复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等， 虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题， 为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思 想的体现． (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能 比较大小的．
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：易知①正确，②③错误，故选A.
答案：A
()
2．在2＋
7
，
2 7
i,8＋5i，(1－
3 )i,0.68这几个数中，纯虚数的
个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由纯虚数的定义可知27i, (1－ 3)i是纯虚数．故选C.
答案：C
[思考发现]
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为
复数的几何意义课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
高中数学 必修第二册 RJ·A
典例剖析
一、 复数与复平面内的点对应
例1 已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a的值(或取值范围). (1)Z在实轴上；
解 因为z＝(a2－4)＋(2a－3)i， 所以复数z在复平面内对应的点Z的坐标为(a2－4,2a－3). 若点Z在实轴上，则有2a－3＝0， 解得 a＝32.
∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限.
高中数学 必修第二册 RJ·A
→ 3.在复平面内，O 为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点 A 关于直线
→ y＝－x 的对称点为 B，则向量OB对应的复数为
A.－2－i C.1＋2i
B.－2＋i D.－1＋2i
B解析 ∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)， →
高中数学 必修第二册 RJ·A
(2)若复数z＝(m＋1)＋(m－2)i，其中m∈R，则复数z对应的点不可能位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B解析 复数z对应的点为(m＋1，m－2).因为m＋1>m－2， 所以点(m＋1，m－2)不可能位于第二象限.
高中数学 必修第二册 RJ·A
0＋2 x0＝32， 若设 D(x0，y0)，则有
－32＋y0＝2，
x0＝3，
解得
故 D(3,7).
y0＝7，
→
→
→
方法二 由已知得OA＝(1,4)，OB＝(0，－3)，OC＝(2,0)，
→
→
所以BA＝(1,7)，BC＝(2,3)，
→→→
→
由平行四边形的性质得BD＝BA＋BC＝(3,10)，而OB＝(0，－3)，于是 D(3,7).
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函 数 与
z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
积
分 变
•
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
换
• z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
哈
z1 x1 iy1
尔 滨
z2 x2 iy2
工
程 大 学 复
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 x22 y22
1i 4 1i
函
数
与
积 分
例 3 已 知 x i y ( 2 x 1 ) y 2 i , 求 z x i y .
变
换
§2 复数的几何表示
哈 1. 点的表示 z x iy 复平面上的点P( x，y)
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16
复变函数的应用
1、系统分析、信号分析； 2、流体力学； 3、反常积分； 4、量子力学； 5、相对论； 6、应用数学。
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17
第一章 复数与复变函数
哈
尔 滨
第一讲 复数及复平面
工
程
大
学
学习要点
复
变
函 数
掌握复数的意义及代数运算
与
积
分 变
掌握复平面与复数的表示方法
换
掌握复数的乘幂与方根
《复变函数与积分变换》
N P
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z
－理学院工科数学基地－ 1
研究对象
以复数作为自变量和因变量的函数就 叫做复变函数，而与之相关的理论就 是复变函数论。解析函数是复变函数 中一类具有解析性质的函数，复变函 数论主要就研究复数域上的解析函数， 因此通常也称复变函数论为解析函数 论。
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2
复变函数的起源
分
变
换 复 数 的 模 ： |z|x 2 y 2 0
复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 ,
哈 尔
其中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2
滨 工
z 0 R e ( z ) I m ( z ) 0
程
大 学
一般, 任意两个复数不能比较大小。
复 变
2. 四则运算
§1 复数及其代数运算
哈 尔
1. 复数的概念
滨
工 程
对 任 意 两 实 数 x 、 y, 称 z x iy 或 z x y i
大
学 为 复 数 。 其 中 i2 1 , i称 为 虚 单 位 。
复
变 函
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y .
数
与 积
(real part) (imaginary part)
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6
复变函数的起源
3、数系中发现一颗新星——虚数，于 是引起了数学界的一片困惑，很多大数 学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼 茨在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精 微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚 妄两界中的两栖物”。
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7
复变函数的起源
4、瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说； “一切形如，√-1，√-2的数学式子都是不可 能有的，想象的数，因为它们所表示的是 负数的平方根。对于这类数，我们只能断 言，它们既不是什么都不是，也不比什么 都不是多些什么，更不比什么都不是少些 什么，它们纯属虚幻。”
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8
复变函数的起源
5、法国数学家达朗贝尔在1747年指出，如 果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运 算，那么它的结果总是a+ib的形式（a、b都 是实数。 6、法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730 年发现公式了，这就是著名的棣莫佛定理。
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9
复变函数的起源
7、欧拉在1748年发现了有名的关系式，并 且是他在《微分公式》（1777年）一文中第 一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作 为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来 的，而它是确实存在的。
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12
复变函数的起源
经过许多数学家长期不懈的努力，深刻 探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域 游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的 面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚 呵。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实 数集才扩充到了复数集。
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15
复变函数的起源
随着科学和技术的进步，复数理论已越来越 显出它的重要性，它不但对于数学本身的发 展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上 升力的基本定理起到了重要作用，并在解决 堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建 立巨大水电站提供了重要的理论依据。
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进 的。为使负数开方有意义，需要再一次扩 大数系，使实数域扩大到复数域。
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3
复变函数的起源
1、16世纪意大利米兰学者Cardan在1545年 发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次 方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。 他是第一个把负数的平方根写到公式中的数 学家。
)
z1 z2
,
z2
0
数 与
2)
zz
积
分 变
3)
zz Re(z)2 Im(z)2 x2 y2
换
4 )z z 2 R e ( z ) , z z 2 i I m ( z )
哈
例 1
设z155i,z2
34i,求z1,(z1) z2 z2
尔 滨
及它们的实部, 虚部.
工
程
大 学 复 变
例2 求
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4
复变函数的起源
2、给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡 尔，他在《几何学》（1637年发表）中使“虚 的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传 开来。
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5
复变函数的起源
2、给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡 尔，他在《几何学》（1637年发表）中使“虚 的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传 开来。
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10
复变函数的起源
8、挪威的测量学家成塞尔在1779年试图给于 这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作 法，然而没有得到学术界的重视。
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11
复变函数的起源
9、德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的 图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示， 同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。由 各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又 称“阿甘得平面”。
变 函 数
(z2 0)
与
积 分
复数的运算满足加法交换律、结合律；
变
换
乘法交换律、结合律和分配律。
3. 共轭复数
哈 尔
定义
若zx + iy , 称zx iy 为z 的共轭复数.
滨
工 程 大
• 共轭复数的性质
(conjugate)
学 复 变 函
1)(z1z2)z1z2,(z1z2)z1z2,
( z1 z2