两条直线位置关系平行与相交
两条直线的位置关系及曲线和方程
两条直线的位置关系及曲线和方程知识要点：1、两条直线的位置关系: 平行、相交、重合有两种判断方法。
一是几何方法——l 1、l 2的倾斜角ααπ122=≠, 即K 1 = K 2且纵截距b b 12≠时l 1∥l 2; l 1、l 2的倾斜角ααπ122==且横截距a a 12≠时l 1∥l 2。
l 1、l 2的倾斜角αα12≠, 即K K 12≠或K 1,K 2中一个存在一个不存在时, l 1与l 2相交。
l 1、l 2的倾斜角ααπ122=≠, 即K 1 = K 2且纵截距b 1 = b 2时, l 1与l 2重合; l 1、l 2的倾斜角ααπ122==且横截距a 1 = a 2时, l 1与l 2重合。
另一种是代数方法,()()l A x B y C A B l A x B y C A B 11111212222222220000::++=+≠++=+≠、通过方程组A xB yC A x B y C 11122200++=++=⎧⎨⎩解的情况判断两条直线的位置关系, 即: A 2、B 2、C 2均不为零时:A AB BC C 121212=≠有l 1∥l 2;A AB B 1212≠有l 1与l 2相交;A AB BC C 121212==有l 1与l 2重合。
若A 2、B 2、C 2有为零时, 可以更容易判断。
另外, 将上述分式变形一下便可得出更普通的结论。
A 1B 2 = A 2B 1且A C A C 1221≠时l 1∥l 2;A B A B A C A C 12211221==且时l 1与l 2重合;A B A B 1221≠时l 1与l 2相交。
2、两条直线的平行与垂直:①斜率互为负倒数⇒两条直线互相垂直; ②两条直线互相垂直斜率互为负倒数;③两条有斜率的直线互相垂直⇔斜率互为负倒数;④A B A B 12210+=⇔两条直线A 1x + B 1y + C 1 = 0, A 2x + B 2y + C 2 = 0互直垂直。
《两直线的位置关系》课件
CHAPTER 04
两直线的关系应用
解析几何中的应用
解析几何的基本概念
01
解析几何是研究图形与坐标之间的关系，通过代数方法解决几
何问题。两直线的位置关系是解析几何中的基本问题。
直线的方程
02
在二维坐标系中，直线可以用一个或两个方程来表示。例如，
通过两点式、点斜式、截距式等可以求出直线的方程。
两直线的交点
两直线的斜率与截距
斜率的定义与计算
总结词
斜率是直线在平面上的一个重要属性，它表示直线相对于x轴 的倾斜程度。
详细描述
斜率是直线方程y=kx+b中k的值，它表示直线在y轴上的单 位长度内，x轴的变化量。如果k为正数，则直线向右上方倾 斜；如果k为负数，则直线向右下方倾斜。
截距的定义与计算
总结词
截距是直线与y轴和x轴相交的点，表示直线在坐标轴上的位置。
判断方法
斜率法
若两直线斜率相等且截距不等，则两 直线平行；若斜率不存在且截距相等 ，则两直线平行。
交点法
若两直线无公共点，则两直线平行或 重合；若两直线有且仅有一个公共点 ，则两直线相交；若两直线有无数个 公共点，则两直线重合。
平行与垂直的性质
平行性质
平行直线间的距离是固定的，且与两直线的方向向量或斜率有关。
03
两直线相交于一点，这个点是两直线的交点。求两直线的交点
可以通过联立两直线的方程来求解。
三角函数图象中的应用
01
三角函数的图象与性质
三角函数（如正弦、余弦、正切等）的图象是周期性的，这些图象在某
些部分表现出直线性。
02
三角函数与直线的交点
在三角函数的图象中，求直线与三角函数的交点可以通过将直线的方程
《两条直线的位置关系》平行线与相交线PPT课件教学课件
• 答案：A
• 类型一 两条直线的平行与垂直
• 解题准备：不重合的两条直线，当两直线的斜 率均不存在时，两直线平行；当一条直线的斜 率不存在，另一条直线的斜率为0时，两直线垂 直；当一条直线的斜率不存在，另一条直线的 斜率是非零实数时，则两直线相交但不垂直．
• 【典例1】 已知直线l1：mx＋8y＋n＝0和直线 l2：2x＋my－1＝0，分别根据下列情况求实数 m与n的取值．
(7)点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0 的对称点为 P(x0，y0)，
则
P
是 方 程 组 xAy00×－－xab0·＋2－aAB＋＝B×－y10＋2 b＋C＝0
的解，即
Pa－2AAAa2＋＋BBb2＋C
，b－
2BAa＋Bb＋C
A2＋B2
.
5．线线对称：设 l：Ax＋By＋C＝0，则 (1)l 关于点 A(a，b)的对称直线方程是 Ax＋By－2aA－2bB－C ＝0； (2)l 关于 x 轴的对称直线方程是 Ax＋B(－y)＋C＝0； (3)l 关于 y 轴的对称直线方程是 A(－x)＋By＋C＝0； (4)l 关于 y＝x 的对称直线方程是 Bx＋Ay＋C＝0； (5)l 关于 y＝x＋b 的对称直线方程是 B(x＋b)＋A(y－b)＋C＝ 0； (6)l 关于 y＝－x 的对称直线方程是 A(－y)＋B(－x)＋C＝0； (7)l 关于 y＝－x＋b 的对称直线方程是 B(b－x)＋A(b－y)＋C
• (3)AB边上的高所在直线的方程．
解析：(1)由已知 kAB＝43，kBC＝0，
∠B 是直线 BA 到 BC 的角，
∴tan∠B＝1k＋BCk－BCk·kBBAA ＝1＋0－0×43 43
＝－43，
第二章平行线与相交线(两条直线的位置关系)
第二章平行线与相交线 (两条直线的位置关系)一、1、同一平面内两条直线的位置关系有相交和平行两种．（1）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．这个公共点叫做交点．（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．注意：互相重合的直线通常看做一条直线．二、(一)如图，∠1和∠3，∠2和∠4有一个公共顶点，且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，叫做对顶角．对顶角性质: 对顶角相等例1：1、下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形（）A、B、 C、D、2、下列四个图中，∠1和∠2是对顶角的图的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个3．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC= 120°，求∠BOD，∠AOE的度数．4．找出图2中∠AOE，∠BOD的对顶角。
∠AOE的对顶角是；∠BOD的对顶角是5．说出图3中的对顶角.图3中对顶角有：(图2) （图3）5、平面内两条直线交于一点对顶角的对数：_____；三条直线交于一点对顶角的对数：_____；四条直线交于一点对顶角的对数：_____；n条直线交于一点对顶角的对数：_____；（注：不含平角）。
(二)、1、如果两个角的和等于90o （直角），我们就说这两个角互为余角，（简称：互余）。
即其中一个角是另一个角的余角．例如，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．同样，如果两个角的和等于180o (平角），就说这两个角互为补角，（简称：互补）。
即其中一个角是另一个角的补角。
⑵符号语言：若∠1+∠2= 90o ，那么∠1与∠2互余。
若∠3+∠4=180o ，那么∠3与∠4互补。
注：互余以及互补的角，主要反映了角的数量关系，而不是角的位置关系，区分互为补角和互为余角，区别在于两角的和是180°还是90°。
练习：（1）填表：一个角30O 70O90o-∠这个角的余角180o-∠这个角的补角（2）60O32’的余角是______，补角是_____。
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系:平行和相交。
两种。
分析过程如下:在同一平面内，两条直线之间有两种位置关系:平行和相交。
空间中两条直线的位置关系有三种:平行、相交、面外。
扩展资料：
假设两条直线不平行，它们一定相交。
这样，这两条不平行的线就和第三条线形成了一个三角形。
等腰角中的一个成为三角形的外角。
因为三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，即其中一个全等角等于另一个全等角和不相邻内角之和。
因此，其中一个全等角不等于另一个全等角。
即两条直线不平行且同角不相等，反之亦然。
平行线的性质：
1、平行于同一直线的直线互相平行；
2、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等；
3、两平行直线被第三条直线所截，内错角相等；
4.两条平行的直线被第三条直线切割，第三条直线与侧角和内角互补。
两直线的位置关系公式
两直线的位置关系公式两直线的位置关系公式是指用数学公式来描述两条直线之间的位置关系。
在平面几何中，直线是最基本的图形，研究直线之间的位置关系对于解决很多几何问题具有重要意义。
下面将介绍两条直线的四种位置关系及其对应的公式。
1. 平行关系：当两条直线之间没有交点且始终保持相同的方向时，它们是平行的。
此时，可以使用斜率来判断两条直线是否平行。
如果两条直线的斜率相等但截距不相等，那么它们是平行的。
用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距≠ 直线2的截距2. 垂直关系：当两条直线之间的夹角为90度时，它们是垂直的。
在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。
用数学公式表示为：直线1的斜率× 直线2的斜率 = -13. 相交关系：当两条直线在平面上有一个公共的交点时，它们是相交的。
相交的情况有两种：交点为有限点和交点为无穷远点。
直线相交的条件是它们的斜率不相等。
用数学公式表示为：直线1的斜率≠ 直线2的斜率4. 重合关系：当两条直线完全重合时，它们是重合的。
重合的直线有无穷多个交点，它们的斜率和截距相等。
用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距 = 直线2的截距两条直线的位置关系可以通过斜率、截距等数学公式来判断。
这些公式可以帮助我们在解决几何问题时确定直线之间的位置关系，从而得出准确的结论。
在实际应用中，我们可以通过计算斜率和截距，或者观察直线的图形来判断它们的位置关系，进而解决相关问题。
直线的位置关系公式是平面几何中的重要概念，对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。
两直线的位置关系
两直线的位置关系
两直线的位置关系是指两条直线所占据的空间上的关系。
它可以概括为两直线的位置的具体描述，通常用来描述一条直线如何与另一条直线相对立。
一般来说，两直线的位置关系有六种：相交，平行，重合，相离，垂直，截距。
1.相交意味着两条直线相遇，它们有一个公共点，这个点可以使两条直线成为一条新的直线。
2.平行意味着两条直线一直是看着彼此，而没有公共点，也没有交叉点，因此对任意一点而言，这两条直线之间的距离保持不变。
3.重合意味着两条直线完全重合，即它们位于同一条直线上，有无穷多个交点，一旦给出一个点，就可以推断两条直线交于此点。
4.相离意味着这两条直线分别位于间隔较远的两个不同平面上，彼此不再任何关系，不存在公共点，也不能以任何方式成为一条表示其他直线的新直线。
5.垂直意味着这两条直线虽然是共点，但是它们的斜率垂直，一直不会相遇，也不可能在某一点有公共点，但是它们一直都可以在同一个垂线上。
6.截距意味着这两条直线没有公共点，但是它们都跟同一垂线有一个公共截距，也就是说这两条直线有满足某些条件时会碰到它们的截距。
以上就是关于两直线的位置关系的六中情况的介绍，每种情况都有特定的描述，以便给出解决满足条件的特定解决方案。
高考数学知识点：两直线的位置关系
高考数学知识点：两直线的位置关系一、两条直线的位置关系典型例题1：典型例题2：二、两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．典型例题3：三、几种距离4、在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．5、在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．典型例题4：四、对称问题主要包括中心对称和轴对称②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．典型例题5：典型例题6：1、点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．2、点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：(1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.(2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.3、充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．4、(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x ＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.【作者：吴国平】。
解析几何中的直线与直线的位置关系
解析几何中的直线与直线的位置关系解析几何中，直线与直线间的位置关系是一个重要的研究课题。
直线的位置关系可以分为三种基本情况：平行、相交和重合。
在本文中，我们将深入探讨这三种情况，并给出相应的例子和证明。
1. 平行的直线在解析几何中，如果两条直线的斜率相等且不相交，我们称它们为平行直线。
平行直线永远不会相交，它们在平面内或空间中始终保持相同的距离。
下面我们举个例子来说明平行直线的情况。
例1：已知直线L1的方程为y = 2x + 3，直线L2的方程为y = 2x + 5，证明L1与L2平行。
解：我们需要比较L1和L2的斜率以判断它们的位置关系。
可以观察到L1和L2的斜率都是2，且不相等。
因此，根据定义，L1与L2是平行的。
2. 相交的直线相交的直线是指两条直线在平面内或空间中有一个公共点。
相交的直线可以进一步分为两种情况：相交于一点和相交于一条直线。
2.1 相交于一点如果两条直线在平面内或空间中有且仅有一个公共点，我们称它们为相交于一点的直线。
下面我们给出一个例子。
例2：已知直线L3的方程为y = 2x + 3，直线L4的方程为y = -x + 5，证明L3与L4相交于一点。
解：为了证明L3与L4相交于一点，我们需要找到它们的交点。
将L3和L4的方程联立解方程组：2x + 3 = -x + 53x = 2x = 2/3将x的值代入L3或L4的方程中，可以求得y的值：y = 2(2/3) + 3y = 8/3因此，L3与L4相交于点(2/3, 8/3)。
2.2 相交于一条直线有时候，两条直线有无数个公共点，我们称它们为相交于一条直线的直线。
这种情况经常出现在平面解析几何中，例如两条直线分别表示平面上的两个边界。
例3：已知直线L5的方程为y = 2x + 3，直线L6的方程为y = 2x - 1，证明L5与L6相交于一条直线。
解：我们可以观察到L5和L6的方程中，它们的斜率相等。
因此，直线L5和L6的斜率相等且不相交，根据定义，它们相交于一条直线。
平行与相交教案(精品7篇)
平行与相交教案(精品7篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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两条直线的平行与相交（包括垂直）的位置关系
两条直线的平行与相交（包括垂直）的位置关系30、两条直线的平行与相交（包括垂直）的位置关系教学目标：1、结合具体情境，了解平面内两条直线的平行与相交（包括垂直）的位置关系，能正确判断互相平行和互相垂直。
2、在探索活动中，培养观察、操作、想像等能力，发展初步的空间观念。
3、结合具体情境，体会数学与日常生活的联系。
教学重难、点：理解两条直线互相垂直和互相平行的位置关系。
教具学具：多媒体课件、直尺、三角板、长方形纸等。
教学过程：一、创设情境，认识相交与平行1、（出示课本情境图）师：上节课我们借这幅画面学习了线的有关知识，并画出了一张大桥的设计图，谁愿意把你画的图拿上来展示一下？（一生展示下图并说出画图的顺序：先画两条直线表示桥面，再画两条竖线表示柱梁，最后画几条斜线表示拉索）2、由桥面的画法引入相交师：是不是任意画两条直线就能表示桥面呢？师：（出示反例）看屏幕，想一想，用这样的两条直线表示桥面行吗？生：如果这样，桥面越来越窄，到窄的地方来不及刹车容易追尾。
生：宽窄不一样，如果有两辆车从宽的地方进去，到窄的地方就容易撞车，会发生交通堵塞。
师：如果把这两条直线延长，它们会怎样？生：会越来越窄。
生：两条线会形成一个锐角，这是一个死角，车子就开不了。
生：会连在一起。
师：您能上来画一画吗？［一生上台把两条直线延长］两条直线连（交叉）在一起，我们就说这两条线直线相交,相连（交叉）的这一点叫做交点。
（板书：相交）3、小组交流理解互相平行。
师：这两条线平行吗？（不行）那应该怎么样，才行啊？生：应该是直直的两条线。
生：两条线应该画成平行的。
生：两条直线之间的距离应该是一样的，也就是说宽度一样。
4、结合学生互动与交流总结互相平行的概念。
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说两条直线互相平行。
（板书：在同一平面内平行线互相平行）师：互相平行是什么意思啊？你能用自己的话说一说吗？生：两条直线之间的宽窄是一样的。
生：两条直线之间有一定的空间，有一定距离。
四年级数学上册四交通中的线__平行与相交知识归纳青岛版六三制
第四单元相交和平行
相交与平行是同一平面内两条直线的位置关系，内容属于空间与图形的知识，比较抽象,孩子理解比较困难，本单元有几个知识点需要特别注意：
1、线段、射线、直线：线段和射线都是直线的一部分;两点确定一条直线；过一点可以画无数条直线。
2、平行和相交：在同一平面内，两条直线的位置关系除了相交就是平行。
垂直是相交的特殊情况。
在同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。
两条直线相交成直角时，两条直线互相垂直,它们的交点叫做垂足.
注意：平行线和垂线不能独立存在,只能说直线a是直线b 的平行线（垂线）。
3、画垂线和平行线：借助三角板上的两条直角边,具体方法可以参考课本57页。
过直线上一点只能画已知直线的垂线；过直线外一点既可以画已知直线的垂线，也可以画平行线。
需要注意的是：看明白是画哪条直线的平行线或垂线.具体练习题可以参看《行知天下》第2期8、9页内容。
4、信息窗2介绍了两个最短：
两点之间线段最短;从直线外一点到这条直线的垂直线段最短。
这两条规律主要用在解决实际问题的画图中。
如果是点与点之间的关系，就用第一个最短解释;如果是点与直线的关系，就用第二个最短解释。
如：课本62页第5题：从蘑菇房到小木屋最近的路，这是两点的关系，直接把蘑菇房和小木屋连接起来即可，理由就是两点之间线段最短;从蘑菇房通向小河最近的路，则是点与直线的关系,蘑菇房就相当于小河外一点，过这一点作小河的垂线段就可，理由就是从直线外一点到这条直线的垂直线段最短。
5、平行线间的距离都相等。
参看课本63页第8题。
青岛版四年级数学上册 期末复习：四 交通中的线——平行与相交【新版】
同一平面内两条直线的位置关系有平行和相交两
平
其中一
只能画出一条直线与已知直从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短,
三角板的一条直角边与已知直线重合;
将三角板沿着已知直线的方向向已知
与已知直
)
将三角板沿着直尺的方向向已知点平
所画的直
再测
正方形。
根据生活实际画点到点的最短的路及点到直线的
平行线间的垂直线段处处相等。
原理是:两点之间线段最短;点到线的距离,垂直线段最短。
画垂线的方法一合,二移,三画,四标。
画平行线的方法一合,二靠,三移,四画。
必须用直尺和三角板画。
平行线间的两条垂直线段长度相等。
4.
平行与垂直的应用。
正方形有2组对边互相平行,相邻的两条边互相垂直。
长方形有2组对边互相平行,相邻的两条边互相垂直。
三、典例讲解 A 、B 两村位于河的两岸(如图),两村决定修建一座桥,为了使从A 村到B 村的路程最短,桥应修在何处?请画图表示出来。
思路分析:根据“两点之间线段最短”,将点A 沿垂直河流的方向平移(平移的距离等于河宽)到C 点,连接BC ,交A 点的河岸于E 点,过E 点画一条垂直于河岸的线段就可以了。
答案:
用垂直的知识直尺进行画图。
直线与直线的位置关系
直线与直线的位置关系在数学中，直线是一种无限延伸的几何图形，它由一系列相邻的点组成。
直线可以与其他直线相交、平行或重合。
本文将探讨直线与直线之间的几种位置关系。
1. 直线相交当两条直线有一个交点时，它们被称为相交。
相交是最一般的直线位置关系，也是我们日常生活中最常见的情况之一。
两条相交的直线可以有不同的夹角，如锐角、直角或钝角。
例如，在笛卡尔坐标系中，直线y = 2x + 1和直线y = -x + 3相交于点(1,3)。
2. 直线平行当两条直线永远不会相交时，它们被称为平行。
平行直线具有相同的斜率，但它们的截距不同。
平行直线可以在笛卡尔坐标系中以不同的方式表示，如y = 2x + 1和y = 2x - 3。
这两条直线具有相同的斜率2，但截距不同。
3. 直线重合当两条直线完全重合时，它们被称为重合。
这意味着两条直线是同一条直线，它们的方程式相同。
例如，直线y = 2x + 1和直线2y = 4x + 2是重合的，因为它们的方程式可以写为相同的形式。
4. 直线相互垂直当两条直线的斜率的乘积为-1时，它们被称为相互垂直。
例如，直线y = 2x + 1和直线y = -1/2x + 3是相互垂直的，因为它们的斜率分别为2和-1/2，它们的乘积为-1。
5. 直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与x轴的夹角。
根据直线的斜率可以确定倾斜角的正切值。
例如，对于直线y = 2x + 1，其斜率为2，因此倾斜角为tan(2) = 63.4度。
综上所述，直线与直线之间有几种不同的位置关系，包括相交、平行、重合和相互垂直。
直线的位置关系可以通过斜率、截距和倾斜角来确定。
理解直线之间的位置关系对于解决几何问题和解析几何中的直线相关的计算非常重要。
空间几何中的直线与直线的位置关系
空间几何中的直线与直线的位置关系在空间几何中，直线与直线的位置关系是一个非常重要的概念。
它可以用来描述和确定两条直线之间的相对位置，以及它们是否相交、平行或重合。
在本文中，我们将详细探讨直线与直线的位置关系，并介绍一些常见的情况和性质。
一、直线与直线的基本位置关系在空间几何中，两条直线的位置关系可以分为以下几种情况：1.相交：当两条直线有一个公共点时，我们称它们为相交的直线。
这个公共点可以是直线的一个交点，也可以是直线的一部分。
相交的直线可以在不同的角度相遇，形成各种不同的关系。
2.平行：如果两条直线在平面上永远不相交，我们称它们为平行的直线。
平行的直线具有相同的方向，但它们之间的距离可以不同。
在三维空间中，平行的直线可以位于不同的平面上。
3.重合：如果两条直线的所有点都重合在一起，我们称它们为重合的直线。
重合的直线完全重合，它们没有任何区别。
二、直线与直线的其他位置关系除了基本的相交、平行和重合关系之外，直线与直线还可能存在一些特殊的位置关系，下面我们将介绍一些常见的情况：1.相交于一点的直线：当两条直线有且只有一个交点时，我们称它们为相交于一点的直线。
这个交点是两条直线的唯一公共点。
相交于一点的直线可以形成一个锐角、直角、或钝角。
2.相交于一条线的直线：当两条直线有且只有一条公共直线时，我们称它们为相交于一条线的直线。
这个公共直线是两条直线的一个子集，可以是它们的一部分或完全重合。
3.相交于一平面的直线：如果两条直线和一个平面有且只有一个公共点时，我们称它们为相交于一平面的直线。
这个公共点可以是直线的一个交点，也可以是直线的一部分。
相交于一平面的直线可以在平面上形成各种不同的角度。
4.异面直线：如果两条直线在空间中不在同一个平面上，且永远不相交，则它们被称为异面直线。
异面直线不能形成任何角，因为它们始终保持在不同的平面上。
三、直线与直线位置关系的应用直线与直线的位置关系在实际生活和工作中有着广泛的应用。
青岛版四年级数学上册第四单元 交通中的线——平行与相交 知识点
四交通中的线——平行与相交
平行线间的垂直
线段处处相等。
原理是:两点之间
线段最短;点到线的距
离,垂直线段最短。
画垂线的方法一
合,二移,三画,四标。
3. 画图的题型。
(1)过直线上一点画已知直线的垂线。
(2)过直线外一点画已知直线的垂线和平行线。
(3)量一量点到直线的距离——先画出垂直线段,再测量长度。
(4)根据平行线的画法画平行四边形、长方形、正方形。
(5)根据生活实际画点到点的最短的路及点到直线的最近的路。
4. 平行与垂直的应用。
正方形有2组对边互相平行,相邻的两条边互相垂直。
长方形有2组对边互相平行,相邻的两条边互相垂直。
三、典例讲解
A、B两村位于河的两岸(如图),两村决定修建一座桥,为了使从A村到B村的路程最短,桥应修在何处?请画图表示出来。
思路分析:根据“两点之间线段最短”,将点A沿垂直河流的方向平移(平移的距离等于河宽)到C点,连接BC,交A点的河岸于E点,过E点画一条垂直于河岸的线段就可以了。
答案:。
两条直线的位置关系(基础)知识讲解
两条直线的位置关系（基础）知识讲解【学习目标】1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线；2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题；3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.【要点梳理】要点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.要点诠释：（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点.两条直线相交只有一个交点.要点二、对顶角、补角、余角1.余角与补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点诠释：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角.（2）性质：对顶角相等．要点三、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定90AOCCD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1.如图，在正方体中：（1）与线段AB平行的线段_________；（2）与线段AB相交的线段______；（3）与线段AB既不平行也不相交的线段______．【答案】（1）CD、A1B1、C1D1；（2）BC、B B1、A1A、AD；（2）A1D1、D1D、B1C1、CC1．【解析】（1）与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行．（2）与线段AB相交的线段的种类为：①交于B点的线段，②交于A点的线段．（3）用排除法，在正方体中除了线段AB外还有11条棱，在这11条棱中排除（1）（2）中的线段，便得到与线段AB既不平行也不相交的线段．【总结升华】考查平行线与相交线的定义．类型二、对顶角、补角、余角2．如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数．【思路点拨】观察图形可以得到一些角的和差关系．【答案与解析】解：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠3＝∠1＝65°，同理，∠4＝∠2＝115°．综上得，∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角．举一反三：【变式】如图所示，两直线相交，已知∠l与∠2的度数之比为3:2，求∠1与∠2的度数．【答案】解：设∠1与∠2的度数分别为3x和2x．根据题意，得3x+2x＝180°．解这个方程得x＝36°，所以3x＝108°，2x＝72°．答：这两个角的度数分别是108°，72°．类型三、垂线3．下列语句中，正确的有()①一条直线的垂线只有一条．②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．③两直线相交，则交点叫垂足．④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C4. (山东济宁)如图所示，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠COE＝55°．则∠BOD的度数为().A．40°B．45°C．30°D．35°【答案】D【解析】要求∠BOD，只要求出其对顶角∠AOC的度数即可．为此要寻找∠AOC与∠COE 的数量关系．因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°，所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－55°＝35°，所以∠BOD＝AOC＝35°．【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质.举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．5.如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来，并说明原因．【思路点拨】两点之间线段最短，而点线之间垂线段最短．【答案与解析】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．【总结升华】“如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。
中职数学基础模块下册《两条直线的位置关系》课件
在其他学科中的应用
物理学
在物理学中，利用两条直线的位置关系可以解释一些物理现象， 如光的反射和折射、力的合成与分解等。
化学
在化学中，利用两条直线的位置关系可以解释一些化学反应的原 理，如酸碱中和反应、氧化还原反应等。
经济学
在经济学中，利用两条直线的位置关系可以分析一些经济现象， 如供需关系、成本与收益分析等。
在几何图形中的应用
确定几何图形的形状和大小
通过两条直线的位置关系，可以确定几何图形的形状和大小，如 平行四边形、矩形、菱形等。
解决几何问题
利用两条直线的位置关系，可以解决一些几何问题，如求角度、求 距离等。
证明几何定理
通过两条直线的位置关系，可以证明一些几何定理，如平行线的性 质定理、垂直平分线的性质定理等。
相交直线
相交直线的定义
相交直线
两条直线在同一平面内只有一个公共点时，这两条直线称为相交直线。
平行直线
两条直线在同一平面内没有公共点时，这两条直线称为平行直线。
相交直线的性质
唯一性
两条相交直线只有一个交 点。
不平行性
两条相交直线不能是平行 的。
对称性
两条相交直线关于它们的 交点对称。
相交直线的交点与方程
交点坐标
求解方法
两条直线的交点坐标可以通过联立两 直线的方程求解得到。
解方程组的方法包括代入法、加减法 、消元法等。
方程联立
通过将两条直线的方程联立，可以消 去一个变量，从而求解出交点的坐标 。
CHAPTER 04
重合直线
重合直线的定义
重合直线的定义
两条直线在同一平面内，没有其他公共点，则这两条直线重合。
中职数学基础模块下 册《两条直线的位置 关系》
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(i )对于两条不重合的直线l i 、12,假设其斜率分别为k i 、k 2,那么有li//l 2?k i = k 2.(ii)当直线l i 、12不重合且斜率都不存在时,1i//12.②两条直线垂直：(i )如果两条直线l i 、l 2的斜率存在,设为k i 、k 2,那么有l i Xl 2?k i k 2=—i.(ii)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,li,l 2.(2)两条直线的交点直线l i: A i x+B i y+C i = 0, l 2： A 2x+B 2y+C 2= 0,那么l i 与l 2的交点坐标就是方程组 A i x+ B i y+ C i = 0, ■= Ax+ B 2y+ C 2= 02.几种距离⑴两点 P i (x i, y i ), P 2(x 2, y 2)之间的距离 |P i P 2| = M 取2 — x i 彳 + 力2 — y i ?2. ⑵点P 0(x 0, y 0)到直线l: Ax+ By+ C = 0的距离：d= (3)两条平行线Ax+By + C i = 0与Ax+By+C 2=0(其中C/C ?间的距离~=赛福. 选择题:设 aC R,那么 “a=i 〞 是“直线 li ：ax+ 2y —1 = 0与直线 l2：x+ (a+i)y+ 4=0平行〞的( )A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 充分性：当a=i 时,直线li ： x+ 2y —i=0与直线l2： x+ 2y+4 = 0平行; 必要性：当直线li: ax+ 2y —i = 0与直线l 2： x+(a+i)y+ 4= 0平行时有a= — 2或i ； 所以“a=i 〞是“直线li: ax+2y —1=0与直线l 2： x+(a+i)y+4= 0平行〞的充分不必 要条件点(a,2)(a>0)到直线l: x-y+3 = 0的距离为i,那么a 等于()的解.Ax 0+By 0+C|'A 2+ B 2|a- 2+3|解析 依题意得一］ ------- =1,解得 a= — 1 + 42或 a= - 1 —42,a>0, a=- 1 + \2.W+i直线11： (3+m)x+ 4y=5 —3m, I2: 2x+ (5+m)y=8平行,那么实数 m 的值为( ).、13 A. —7B. -1C. — 1 或一7D.W33+ m 5- 3m 21I 的斜率为一,在y 轴上的截距为 —T~, l 2的斜率为― --------- ,在y 轴上的截445+m=—4,符合题意两条直线1I : (a —1)x+2y+1=0, b: x+ay+ 3 = 0平行,那么a 等于( )A. — 1B, 2C. 0 或—2D. — 1 或 2解析 假设a = 0,两直线方程为—x+ 2y+1=0和x= —3,此时两直线相交,不平行,所以 a — 1 2 1aw0.当aw0时,假设两直线平行,那么有 ^1=1W3,解得a= —1或a = 2,选D. 1 a 3 点O(0, 0), A(0, b), B(a, a 3).假设AOAB 为直角三角形,那么必有( )A . b=a^B. b= a 3+ aC. (b —a 3)〞—a 3—： i= 0D. |b-a 3|+|b -a 3-1| = 0解析 假设以O 为直角顶点,那么B 在x 轴上,那么a 必为0,止匕时O, B 重合,不符合题意； 假设/A=；, 那么b=a 3w0,假设/B = ：,根据垂直关系可知a 2aj = —1,所以a(a 3—b) = —2 2 a 1,即b —a 3—1 = 0,以上两种情况皆有可能,故只有 C 满足条件. a过点A(m+1, 0), B(-5, m)的直线与过点C(-4, 3), D(0, 5)的直线平行,那么 m 的 值为()A. 2B. 2 — 72C. 2-1D. . 2+ 1解析 距为85+ m 又 = 1I // l 2, 3+ m 2 2由一 z — —d, m + 8m+7=0,得1 m — — 1 或一7. 45+mm= — 1 时,5 -3m 8= =5+ m2, 1I 与l 2重合,故不符合题意 m= — 7 时,5-3m 13/ 8A. — 1B. -2C. 2 D, 1m- 0 m 5 - 3 i解析由题意得：k AB= = , k cD= .由于AB//CD, 即k AB—5 — ?m +17 — 6 — m 0 —? — 4?一m 1 一所以 3— = 2",所以m= —26- m 2- 1一当0<k<2时,直线11：kx—y= k—1与直线12：ky—x=2k的父点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限kx- y= k —1, । k 2k_ 1 1解析解方程组彳得两直线的交点坐标为一, -------- ,由于0V k<1I ky- x= 2k 卜—1 k— 1)2k 2—1……厂所以——< 0, ——>0,故交点在第二象限.k-1 k-1假设直线11：y= k(x—4)与直线12关于点(2, 1)对称,那么直线12经过定点( )A. (0, 4)B. (0, 2)C. ( — 2, 4)D. (4, -2)解析直线11：y=k(x —4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线11：y= k(x —4)与直线12关于点(2,1)对称,故直线12经过定点(0,2).从点(2, 3)射出的光线沿与向量a=(8, 4)平行的直线射到y轴上,那么反射光线所在的直线方程为()A. x+ 2y —4 = 0 B, 2x+y—1=0 C, x+6y— 16 = 0 D, 6x+ y — 8=01 ............ ...... .解析由直线与向量a= (8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k= 2,所以直线的方程为y 1—3= 2(x- 2),其与y轴的父点坐标为(0,2),又点(2,3)关于y轴的对称点为(一2,3),所以反射光线过点(一2,3)与(0,2),由两点式知A正确.填空题：a, b 为正数,且直线ax+ by —6 = 0与直线2x+ (b —3)y+5=0互相平行,那么2a+3b 的最小值为 解析 由于直线ax+by —6 = 0与直线2x+(b —3)y+5=0互相平行,所以a(b —3)=2b,即 2 3 2 3 -+r= 1(a, b 均为正数),所以 2a+ 3b=(2a+3b) ；+7 = a b a bb a25(当且仅当g=萨 即a=b=5时取等号) 假设直线(3a+2)x+(1 —4a)y+8=0 与(5a —2)x+ (a + 4)y — 7 = 0 垂直,那么 a=解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a —2) + (1—4a)(a+4)=0,解得2=0或2 = 1. 两直线方程分别为l1: x+ y=1, l2： ax+ 2y= 0,假设l1,l2,那么a=,,2-4k ------- >0, 2k+1直线l 过点P(-1, 2)且到点A(2, 3)和点B(-4, 5)的距离相等,那么直线l 的方程为 解析 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k(x+ 1),即kx-y+k+2 = 0.13+靖+#13+6*2患=解析.l 1±l2, ..klk2=— 1, 1 - - a- 2 u直线y=kx+ 2k+1与直线y=1 ................ ......................................................... ___-2x+2的交点位于第一象限,那么实数 k 的取值范围是[y=kx+ 2k+1,解析由方程组1 1(y = 一尹2,解得2-4k6k+ 1直线平行),,交点坐标为必k+1 2k+ 1 2-4kx二 ,6k+1 V=2k+1_ _ 1 … (假设 2k+1=0,即 k= -2,那么两又•••交点位于第一象限,解得一6k+1------ >0,12k+16<k<2.门口 1,即 |3k — 1|=|—3k —3|, . .k= — %31 一. .直线 l 的方程为 y — 2= —a 〔x+ 1〕,即 x+3y — 5 = 0. 3 当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x= —1,也符合题意.过点P(0, 1)作直线1,使它被直线11： 2x+ y-8=0和12： x —3y+ 10=0截得的线段被点P 平分,那么直线1的方程为解析 设11与1的交点为A(a,8-2a),那么由题意知,点A 关于点P 的对称点B(-a,2a-6) 在12上,代入12的方程得—a-3(2a-6)+10 = 0,解得a = 4,即点A(4,0)在直线1上,所 以直线1的方程为x+ 4y —4 = 0与直线11： 3x+2y — 6= 0和直线12： 6x+ 4y —3 = 0等距离的直线方程是3解析12： 6x+4y — 3=0化为3x+2y — ]=0,所以11与12平行,设与11, 12等距离的直线1 3 15的万程为3x+ 2y+c=0,那么：|c+ 6|=|c+]|,解得c=- -,所以1的万程为12x+ 8y-15 =0.两直线1I : ax —by+ 4 = 0和12： (a —1)x+ y+ b=0,假设1I //12,且坐标原点到这两条直 线的距离相等,那么a+b =[a +b ?a —1 ?= 0,解析 由题意得44 _|b|“a 2+ ?二 b?,?a -1y+18种情况均符合题意,- -a+b 的值为0或33...................... ,… ,一,… ……一,一•兀 一 • 直线1I : ax+ y- 1=0,直线12： x —y —3=0,右直线1I 的倾斜角为'那么a=; 假设1I 112,那么a=;假设1I // 12,那么两平行直线间的距离为解析 假设直线11的倾斜角为*那么一a=k=tan45 = 1,故a= — 1;假设11L2,那么ax 1+1 x (—|1-7-3?|1)=0,故a=1;假设1I //12,那么a= — 1, 1I : x — y+1=0,两平行直线间的距离 d= tV 1 + 1由题意知|2k- 3+ k+2| |-4k- 5+ k+ 2|a = 2, 解得b= 一2经检验,两I b = 2= 2 2.直线l:2x —3y+1=0,点A(—1, —2),那么点A 关于直线l 的对称点A'的坐标为(1)11 // 12； (2)11 ±12.解(1)当sin - 0时,直线11的斜率不存在,12的斜率为0, — ― 1 ... ........................ .. 当 sinaw0 时,k 1 = -—, k 2= —2sina,要使 11//12,需一 sin a / /所以a= k ：t^, k€Z,此时两直线的斜率相等.故当 后kJ, k€ Z 时,11//12.(2)由于 A 1A 2+ B 1B 2= 0 是 11 X12 的充要条件,所以 2sin a+ sin a= 0,即 sin a= 0,所以 a= k 九, kCZ. 故当 a= k TT , kC Z 时,11X12.如图,设一直线过点(一1,1),它被两平行直线11： x+ 2y —1 = 0, 12： x+ 2y —3=0所截的线 段的中点在直线13： x —y — 1 = 0上,求其方程.解 与11、12平行且距离相等的直线方程为 x+2y — 2 = 0.设所求直线方程为(x+2y — 2)+ Xx —y —1) = 0,即(1 +姒+(2—?y — 2-入=0.又直线过(一 1,1),1 ................. .... ..•.(1+ 2)(—1)+(2— ) 1—2—入 =0,解得 仁—%..••所求直线方程为 2x+7y- 5=0.3正方形的中央为点C(—1,0), 一条边所在的直线方程是x+ 3y —5 = 0,求其他三边所在直线 的方程解析设33 13'解做题 两直线y +2 2—X3=T,, ,一一x+ 1 3A' (x, y),由得?x 一 1 y 一 233—而解得£ L y —13,11： x+ysina —1=0 和 12： 2x sin a+ y+1=0,求a的值,使得:显然11不平行于12.sin2=一 2sin a,即 sin a= iz^. 2| — 1 — 5| 3A /10解 点C 到直线x+3y — 5 = 0的距离d=,—— —1 + 95设与x+ 3y — 5= 0平行的一边所在直线的方程是 x+ 3y+ m= 0(m w — 5),|— 1 + m| 3^/10那么点C 到直线x+ 3y+m=0的距离d=—/ --------- = * ,解得m= — 5(舍去)或m=7,A/1 + 95所以与x+ 3y- 5=0平行的边所在直线的方程是 x+3y+ 7 = 0. 设与x+3y — 5= 0垂直的边所在直线的方程是 3x —y+n = 0,所以与x+3y — 5=0垂直的两边所在直线的方程分别是 3x-y —3 = 0和3x- y+9 = 0. 直线l: 2x-3y+ 1 = 0,求直线m ： 3x-2y —6 = 0关于直线l 的对称直线m'的方程 解 在直线m 上任取一点,如M(2,0),那么M(2,0)关于直线l 的对称点M'必在直线m'上•・M '袅[2x — 3y+1 = 0,设直线m 与直线l 的交点为N,那么由S得N(4,3).[3x-2y-6 = 0,又 经过点N(4,3). .•・由两点式得直线 m'的方程为9x-46y+ 102=0. 求与直线3x+ 4y+ 1 = 0平行且过点(1, 2)的直线l 的方程. 解 依题意,设所求直线方程为3x+ 4y+c= 0 (cw1), 又由于直线过点(1, 2),所以3X1+4X2+c=0,解得c= -11. 因此,所求直线方程为3x + 4y —11 = 0.求经过两直线l1： x-2y + 4 = 0和l2： x+y —2=0的交点P,且与直线l3： 3x-4y+ 5= 0那么点C 至IJ 直线3x —y+n = 0的距离d = I —3+n| 3月,解得n= — 3或n = 9,2Xa+2-3Xb+0+ 1=0,设对称点M' (a , b),那么L 八b —0 a =13.L a-22X3=T,解得 ? 的30 1b =13垂直的直线l的方程.x- 2y+4 = 0,解解方程组i 得P(0, 2).Ix+ y- 2=0,由于13的斜率为3,且U13,所以直线l的斜率为一4,由斜截式可知1的方程为y= —Q X+ 2,即4x+ 3y—6 = 0. 34ABC的顶点A(5, 1), AB边上的中线CM所在直线方程为2x- y- 5=0, AC边上的高BH所在直线方程为x- 2y-5=0,求直线BC的方程.解依题意知：k AC= —2, A(5, 1), ；1AC为2x+ y- 11 = 0,2x+ y—11 = 0,联立1AC、1CM 得 5 ,C(4, 3).2x— y —5 = 0,X0 + 5 y0 + 1设B(x0, y0), AB 的中点M 为(~下一,—2―),(2x0—y0— 1 = 0,代入2x—y—5= 0,得2x0 —y0—1 = 0, •. S .^(-1, —3),1x0- 2y0- 5= 0,6 6；k BC = 5,「.直线BC 的万程为y—3=5(x —4),即6x—5y —9 = 0.直线1经过直线11：2x+ y- 5=0与12：x —2y=0的交点.⑴假设点A(5, 0)到1的距离为3,求1的方程；(2)求点A(5, 0)到1的距离的最大值.解(1)易知1不可能为12,可设经过两直线交点的直线系方程为(2x+ y-5)+ Xx-2y) =0,即(2+ ；)x+(1 —22)y—5 = 0,|10+ 5 b 5|•・•点A(5,0)到1的距离为3,二3,-?2+产+力―2产2 1即2攵—5计2 = 0,「•仁2,或仁2, ..1的万程为x= 2或4x— 3y —5 = 0.2x+ y — 5 = 0,⑵由i 解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,x- 2y=0,那么d& PA(当l,PA时等号成立).•・ dmax= PA=｛巧-2(+ R-11=回.专项水平提升假设点(m, n)在直线4x+ 3y—10=0上,那么m2+n2的最小值是( )A. 2B. 2或C. 4D. 273解析由于点(m, n)在直线4x+ 3y—10=0上,所以4m+3n—10= 0.欲求m2+n2的最小值可先求d,m—07+m―0y的最小值,而■［,加―0*+ ?n —0,?2表示4m+ 3n—10=0上的点(m, n)到原点的距离,如图.当过原点的直线与直线4m+3n—10= 0 垂直时,原点到点(m, n)的距离最小为2.所以m2+n2的最小值为4.直线l: y= 1x-1,⑴求点P(3,4)关于l对称的点Q;⑵求l关于点(2,3)对称的直线方程.r y0 —4I ^=-2,x.一3 一1解(1)设Q(x°, y°),由于PQ±l,且PQ中点在l上,有? 解得y0 + 4 1 x0+ 3-2- = 2 2—— 1,29 x0= 5, y0=-5,⑵在l上任取一点,如M(0, —1),那么M关于点(2,3)对称的点为N(4,7).二.当对称点不在直线上时,关于点对称的两直线必平行, 「•所求直线过点N且与l平行,_ _____ ___ _ 1 …所求万程为y—7 = 2〔x —4〕,即为x-2y+10=0.。
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两条直线的位置关系——平行与相交
教学内容:青岛版小学数学四年级上册第55页至58页信息窗1第2课时教学目标
1结合具体情境，感知平面上两条直线的平行与相交的位置关系，能正确判断互相平行和互相垂直。
2. 在探索活动中，培养观察、操作想象能力，发展初步的空间观念；初步了解生活里的平行与相交的现象，产生学习图形位置关系的兴趣。
3.结合具体情境，体会数学与日常生活的密切关系。
教学重难点
教学重点：理解在同一平面内两条直线互相平行与互相垂直的位置关系。
教学难点：理解在同一平面内两条直线互相平行与互相垂直的位置关系。
教具、学具
教师准备：三角板、直尺、多媒体课件。
教学过程
一、拟定导学提纲，自主预习
1．创情板题
师：小明的爸爸是一位优秀的桥梁设计师，参与了许多大桥的设计。
想不想欣赏一下他的作品？（课件播放）最近他又设计一座斜拉索大桥。
小明也跟爸
爸学起了设计。
（出示小明作品一）你认
为他这样设计行吗？
生1：桥面画斜了，一边宽，一边窄，
容易出交通事故。
生2：柱梁画歪桥就不稳固了。
师：看来设计斜拉桥里面有很大的学
问，表示桥面的两条线，还有表示柱梁和桥面的这两条线，它们之间要有一定的位置关系，是怎样的位置关系呢？这节课咱们就来研究两条直线的位置关系。
（板书课题）
2．出示学习目标
（1）结合具体情境，感知平面上两条直线的平行与相交的位置关系，能正确判断互相平行和互相垂直。
（2）在探索活动中，培养观察、操作想象能力，发展初步的空间观念；初步了解生活里的平行与相交的现象，产生学习图形位置关系的兴趣。
3．出示自学指导
过渡：目标明确了，有没有信心达到？
学生：有
师：要达到本节课的学习目标，还需要同学们的共同努力，下面请看自学指导。
认真看课本56页红点内容，思考：
(1)两条直线的位置关系有哪几种情况？
（2）平行线有哪些特点？垂线呢？
3分钟后，比一比谁汇报得最清楚。
二、汇报交流，评价质疑
（一）相交和平行
1. 师生共同欣赏有代表性的几种情
况，标上序号。
2．全班交流分类情况。
预案：学生可能会忽略直线可无限延长
的特点，出现
a 分为两类：交叉的一类，不交叉的一
类。
b 分为三类：交叉的一类，快要交叉的一类，不交叉的一类。
c 分为四类：交叉的一类，快要交叉的一类，不交叉的一类，交叉成直角的一类。
3．教师点拨，引导学生进行第二次正确分类。
a . 在老师的点拨下（2）组这两条直线延长后变成下图。
（课件演示将两条直线延长）
b. 根据延长后的情况小组再次进行分类，并说出正确分类的理由。
c.教师根据分类总结：同一平面内两条直线的位置关系分为相交和不相交两种情况。
3．介绍平行。
教师介绍:像④⑥这样，延长之后也不会相交的——平行。
课件展示：在同一平面内两条直线不相交，我们就说这两条直线平行。
结论：平面内两条直线的位置关系：相交或平行。
（二）垂直和不垂直
课件出示：下面左图中的两条直线是相交吗？（相交）
讲解：当两条直线相交成直角时，这两条直线叫相互垂直，交点叫垂足。
（讲解并出示右图）
问题质疑：
1.我们怎么判断两条直线是否垂直呢？
预设学生回答：可以借助手中的三角板。
（如图）
2.我们能把一条直线叫做平行线或垂线吗？
小组讨论。
（不能）
结论：平行是相对的，是同一平面内，一条直线与另一条直线的相对位置
关系。
所以我们说：其中一条直线是另一条直线的平行线。
（垂直也一样）
3.两条直线不相交，就一定平行吗？（如图）还需强调什么吗？
预设：需特别强调——在同一个平面内的两条直线。
（此时可以用物品展示）
三、抽象概括，总结提升
师生共同回顾、讨论、交流
1.在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。
其中一条直线是另一条直线的平行线。
2.理解“同一平面”和“不同平面”。
教师出示一个长方体纸盒，在同一平面和不同平面画不相交的直线，让学生理解平行线的含义。
3. a和b相交成直角，我们就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线是另一条直线的垂线，交点叫垂足。
4.我们快用学到的知识帮帮小明，表示桥面的两条线必须怎样？（平行）表示柱梁和桥面的这两条线必须怎样？（垂直）看，他又画了一幅设计图。
（课件播放）你觉得他这次设计得怎么样？
四、巩固应用，拓展提高
1.
2.
3.
4.小小设计师：
利用平行与垂直的知识设计一幅作品，
下节课我们进行作品展示。
在同学们设计前
老师先出示几副作品供同学们欣赏和借鉴。
（教师展示课件上准备的作品，给学生以引
导。
）
板书设计：
不垂直
相交
同一平面内互相垂直
两直线关系互相平行
使用说明：
1.教学反思：回顾整个教学过程，我感觉本节课有以下亮点：
（1）关注新知的生长点，体现新知动态的生成过程。
在教学中，我紧紧抓住“以分类为主线”展开探究活动，提出“在无限大的平面上同学们想象的两条直线的样子画下来？”“能不能把这几种情况进行分
分类？”这样有思考价值的问题，学生通过想一想、分一分、说一说等多种活动进行观察、思考，逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况。
这样教学不仅符合学生的认知规律，而且通过分类，分层理解，既符合学生的认知规律，又有利于提高学生生活实际，让学生从自己的身边发现数学知识，进一步培养学生观察的能力，发现相交与平行现象。
⑵媒体运用恰到好处。
学生通过对直观教具的观察，教学课件的展示，对平行与相交形成了比较明显的印象，概念明确，思维清晰。
如：动态延长两条直线来观察它们是否平行或相交；还有“两条直线不相交就一定平行吗？”通过媒体动态展示，加强了学生对这些问题的理解。
（3）精心设计的练习，把握了新知的训练点和拓展点。
除了从几何图形中找，我还让学生从生活中找平行的现象。
生动的实例伴随着教师的介绍，让学生真切感受到所学知识在生活中的应用，让学生真切感受到所学知识在生活中的应用，从而增强了学生的民族自豪感。
通过这些练习形式，让学生进一步加深对平行概念的理解，拓展了知识面，使学生克服了在数学学习中容易产生的枯燥感。
2.使用建议。
尽量让学生在有限的时间和空间里多动手、多思考、多探究。
3.需破解的问题。
面直线的直观演示（不是同一平面），有的学生还是不能理解，怎么办呢？。