2017学年数学必修三：3.1.1 随机事件的概率2

【变式训练】 在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有40个, 除颜色外其他完全相同,小明通过多次摸球试验后,发现其中摸 到红色球、黑色球频率稳定在15%和45%,则布袋中白色球的个 数可能是 个.
【解析】因为摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%, 所以摸到白色球的频率约为1-15%-45%=40%,故布袋中白球的个
二、频率与概率的关系
探究1：根据频率概念及掷硬币试验结果,思考下列问题： (1)在相同条件下,事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是 否一定相等?事件A在先后两次试验中发生的概率P(A)是否一定 相等? 提示：频率具有随机性,做同样次数的重复试验,事件A发生的 频率可能不相同;概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次 试验无关.
1.(2014·长春高一检测)某人将一枚硬币连掷了10次,正面朝 上的情形出现了6次,若用A表示正面朝上这一事件,则A的( A.概率为 3
5
)
B.频率为 3
5
C.频率为6
D.概率接近0.6
2.某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表
(结果保留两位有效数字)：
时间范围
新生婴 儿数 男婴数 男婴出 生频率
【探究总结】判定事件类型的角度 (1)看条件： 在事件阐述过程中,一定要重点强调“在条件S下”,因为三种 事件都是相对于一定条件而言的.随着条件的变化,结果也可能 会发生相应的改变. (2)看结果： 事件是按照事件发生与否为标准分类的.结果一定发生的是必 然事件;不一定发生的是随机事件;一定不发生的是不可能事件.
【规律总结】 1.随机试验满足的三个条件 (1)试验是在相同的条件下重复进行的. (2)试验的所有结果是明确可知的,但不止一个.
(3)每次试验的结果只有一个,但在试验之前,不能确定试验会
出现其中的哪一个结果.
2.明确事件发生的条件 随机事件的结果是相对于条件而言的,要弄清楚某一随机事件 的结果,首先必须明确事件发生的条件,在给定的条件下根据定 义进行判断.否则,随着条件的变化,结果也可能会发生相应的 改变. 提醒：在根据随机试验的条件写试验结果时,要按照一定的顺
1年内
5544 2716
2年内
9013 4597
3年内
13520 6812
4年内
17191 8590
(1)填写表中的男婴出生频率. (2)这一地区男婴出生的概率约是 .
【解题指南】1.根据频率的计算公式求解. 2.由频率计算公式,求出每个时间段的频率,根据频率的近似值, 得出概率.
【自主解答】1.选B.抛掷一次即进行一次试验,抛掷10次,正面 向上6次,即事件A的频数为6, 所以A的频率为 6 3，所以选B. 2.(1)1年内男婴的出生频率为 2 716 ≈0.49,
1.下面语句可称为事件的是(
)
A.抛一支钢笔
C.买彩票
B.中靶
D.数学测试,某同学两次都是优秀
【解析】选D.构成事件既要有条件又要有结果.A、C少结果,B 少条件.
2.下列事件是随机事件的是(
)
A.连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面朝上 B.冰水混合物的温度是1℃ C.三角形的内角和为180° D.不共线的三点能确定一个平面 【解析】选A.这一事件可能发生,也可能不发生,而B项中冰水 混合物的温度是1℃是不可能事件,C,D均为必然事件.
(2)随着试验次数的增加,频率的变化会有什么样的规律?趋近
的常数称为什么?重复试验次数越多,估计的概率越准确吗?
提示：随着试验次数的增加,频率会稳定于某个常数并在其附
近摆动.这个常数就是概率.一般情况下,重复试验次数足够多 后,试验结果的频率就很接近或等于理论上的概率.但不能简单 地认为重复试验次数越多,估计的概率越准确,即投掷1 000次 硬币其中正面向上的频率不一定比投掷900次硬币其中正面向 上的频率更接近0.5,但通常情况下,投掷1 000次硬币其中正面 向上的频率比投掷900次硬币其中正面向上的频率更接近0.5.
2.频率与概率的关系
类型一
事件结果和类型的判断
1.12个同类产品中含有2个次品,现从中任意抽出3个,必然事件 是( ) B.至少有一个是次品 D.至少有一个是正品
A.3个都是正品 C.3个都是次品
2.一次掷出质地均匀的硬币三枚,写出可能出现的所有结果.
【解题指南】 1.根据事件的定义及题目中正品和次品的个数进行判断. 2.观察所给事件的条件,按顺序写出所有结果.
第三章 概
率
3.1 随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率
1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念,能根据概念
对事件的类型进行判断.
2.正确理解概率的概念,明确事件A发生的频率fn(A)与事件A发
生的概率P(A)的区别与联系.
1.事件的概念及分类
一定不会发生 一定会发生 可能发生也可能不发生
数可能是40×40%=16(个).
答案：16
【解析】选C.因为男婴的出生概率约为0.50,所以新生儿出生 人数为21 090时,男婴的人数最可能为10 事件概率的步骤
(1)利用频率的计算公式fn(A)= n A ,计算出频率值.
n
(2)根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率 .
2.求频率的稳定值的方法
根据频数和重复试验的次数计算频率,可直接观察频率稳定在 哪个常数附近,用它来估计概率值,也可在坐标系内描出各点 (横坐标为次数,纵坐标为频率),观察频率值在哪个常数附近波 动,则这个常数就可作为概率的近似值.
2.频数与频率 (1)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A
频数 是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的_____,
称事件A出现的比例fn(A)= n A 为事件A出现的频率. 0≤fn(A)≤1 不可能 事件的 (2)频率的范围:频率的取值范围是___________,_______
5 544 10 5
同理可求得2年内、3年内、4年内男婴的出生频率分别为 0.51,0.50,0.50. (2)因为男婴的出生频率在0.49～0.51之间,故男婴的出生概率 约为0.50. 答案：(1)0.49 0.51 0.50 0.50 (2)0.50
【延伸探究】题2条件不变,若5年内新生儿的出生人数为 21 090,则男婴的人数最有可能为( A.14 040 B.15 000 C.10 545 ) D.9 000
【自主解答】1.选D.A,B都是随机事件,因为只有2个次品,所以 “抽出的三个全是次品”是不可能事件,“至少有一个是正品” 是必然事件. 2.每枚硬币都有正面向上,反面向上两种结果,一共有8种可能 结果.(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,
反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).
【探究总结】 1.随机事件的两个特征 (1)结果的随机性：即在相同的条件下做重复的试验时 ,如果试 验的结果不止一个,则在试验前无法预料哪一种结果将发生. (2)频率的稳定性：即大量重复试验时,任意结果(事件)出现的 频率尽管是随机的,却“稳定”在某一个常数附近,试验的次数 越多,频率与这一常数的偏差大的可能性越小 .这一常数就成为 该事件的概率.
序,采用列举法写出全部结果,注意不能重复也不能遗漏.
【变式训练】
下列随机事件中,一次试验各指什么?试写出试验的所有结果.
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次.
(2)从集合A={a,b,c,d}中任取三个元素构成集合A的子集. 【解题指南】根据一次试验就是将事件的条件实现一次,从而 写出所有的试验结果.
4.某人抛掷一枚硬币40次,结果正面朝上有28次,设正面朝上 为事件A,则事件A出现的频数为 为 . ,事件A出现的频率
【解析】根据频率计算公式代入即可. 答案:28 0.7
5.已知随机事件A发生的频率是0.02,事件A出现了10次,那么 共进行了 次试验.
n
【解析】设进行了n次试验,则有 10 =0.02,得n=500. 答案:500
n
必然 事件的频率为1. 频率为0;_____
3.概率 (1)含义:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事 P(A) 件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作_____, 概率 用概率来度量事件A发生的_____________. 可能性的大小 称为事件A的_____. (2)求法:由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定于 概率 因此,可用_____ 频率 来估计概率. _____,
【解析】(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”, 试验的可能结果有4个：(正,反),(正,正),(反,反),(反,正). (2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素”,试验的可能 结果共有4个：{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}.
类型二
随机事件的频率和概率
探究2：根据对概率的正确理解,思考下面的问题：
有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5,那么连续两
次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝
上,你认为这种说法正确吗?
提示：这种说法是错误的,抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5, 它是大量试验得出的一种规律性结果,对具体的几次试验来讲 不一定能体现出这种规律性,在连续抛掷一枚硬币两次的试验 中,可能两次均正面向上,也可能两次均反面向上,也可能一次 正面向上,一次反面向上.
一、事件的概念与分类 根据必然事件、不可能事件及随机事件概念,思考下列问题： 探究1：判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件 的关键是什么? 提示：关键是判断在一定的条件下所出现的某种结果是一定发 生、一定不发生、还是不一定发生.
探究2：随机事件概念中的“在条件S下”能否去掉?你能举例 说明吗? 提示：不能.因为在不同的条件下试验结果往往 是不一样的,当条件改变时,事件的性质要改变, 如常温下水是液态的.改变条件：在-10℃,水是 液态的就是不可能事件.