2017学年数学必修三：3.1.1 随机事件的概率2

一、事件的概念与分类 根据必然事件、不可能事件及随机事件概念,思考下列问题： 探究1：判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件 的关键是什么? 提示：关键是判断在一定的条件下所出现的某种结果是一定发 生、一定不发生、还是不一定发生.
探究2：随机事件概念中的“在条件S下”能否去掉?你能举例 说明吗? 提示：不能.因为在不同的条件下试验结果往往 是不一样的,当条件改变时,事件的性质要改变, 如常温下水是液态的.改变条件：在-10℃,水是 液态的就是不可能事件.
n
必然 事件的频率为1. 频率为0;_____
3.概率 (1)含义:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事 P(A) 件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作_____, 概率 用概率来度量事件A发生的_____________. 可能性的大小 称为事件A的_____. (2)求法:由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定于 概率 因此,可用_____ 频率 来估计概率. _____,
二、频率与概率的关系
探究1：根据频率概念及掷硬币试验结果,思考下列问题： (1)在相同条件下,事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是 否一定相等?事件A在先后两次试验中发生的概率P(A)是否一定 相等? 提示：频率具有随机性,做同样次数的重复试验,事件A发生的 频率可能不相同;概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次 试验无关.
1.(2014·长春高一检测)某人将一枚硬币连掷了10次,正面朝 上的情形出现了6次,若用A表示正面朝上这一事件,则A的( A.概率为 3
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
B.频率为 3
5
C.频率为6
D.概率接近0.6
2.某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表
(结果保留两位有效数字)：
时间范围
新生婴 儿数 男婴数 男婴出 生频率
探究2：根据对概率的正确理解,思考下面的问题：
有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5,那么连续两
次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝
上,你认为这种说法正确吗?
提示：这种说法是错误的,抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5, 它是大量试验得出的一种规律性结果,对具体的几次试验来讲 不一定能体现出这种规律性,在连续抛掷一枚硬币两次的试验 中,可能两次均正面向上,也可能两次均反面向上,也可能一次 正面向上,一次反面向上.
(2)随着试验次数的增加,频率的变化会有什么样的规律?趋近
的常数称为什么?重复试验次数越多,估计的概率越准确吗?
提示：随着试验次数的增加,频率会稳定于某个常数并在其附
近摆动.这个常数就是概率.一般情况下,重复试验次数足够多 后,试验结果的频率就很接近或等于理论上的概率.但不能简单 地认为重复试验次数越多,估计的概率越准确,即投掷1 000次 硬币其中正面向上的频率不一定比投掷900次硬币其中正面向 上的频率更接近0.5,但通常情况下,投掷1 000次硬币其中正面 向上的频率比投掷900次硬币其中正面向上的频率更接近0.5.
【探究总结】判定事件类型的角度 (1)看条件： 在事件阐述过程中,一定要重点强调“在条件S下”,因为三种 事件都是相对于一定条件而言的.随着条件的变化,结果也可能 会发生相应的改变. (2)看结果： 事件是按照事件发生与否为标准分类的.结果一定发生的是必 然事件;不一定发生的是随机事件;一定不发生的是不可能事件.
1.下面语句可称为事件的是(
)
A.抛一支钢笔
C.买彩票
B.中靶
D.数学测试,某同学两次都是优秀
【解析】选D.构成事件既要有条件又要有结果.A、C少结果,B 少条件.
2.下列事件是随机事件的是(
)
A.连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面朝上 B.冰水混合物的温度是1℃ C.三角形的内角和为180° D.不共线的三点能确定一个平面 【解析】选A.这一事件可能发生,也可能不发生,而B项中冰水 混合物的温度是1℃是不可能事件,C,D均为必然事件.
【解析】(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”, 试验的可能结果有4个：(正,反),(正,正),(反,反),(反,正). (2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素”,试验的可能 结果共有4个：{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}.
类型二
随机事件的频率和概率
序,采用列举法写出全部结果,注意不能重复也不能遗漏.
【变式训练】
下列随机事件中,一次试验各指什么?试写出试验的所有结果.
(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次.
(2)从集合A={a,b,c,d}中任取三个元素构成集合A的子集. 【解题指南】根据一次试验就是将事件的条件实现一次,从而 写出所有的试验结果.
【规律总结】 1.随机试验满足的三个条件 (1)试验是在相同的条件下重复进行的. (2)试验的所有结果是明确可知的,但不止一个.
(3)每次试验的结果只有一个,但在试验之前,不能确定试验会
出现其中的哪一个结果.
2.明确事件发生的条件 随机事件的结果是相对于条件而言的,要弄清楚某一随机事件 的结果,首先必须明确事件发生的条件,在给定的条件下根据定 义进行判断.否则,随着条件的变化,结果也可能会发生相应的 改变. 提醒：在根据随机试验的条件写试验结果时,要按照一定的顺
2.频率与概率的关系
类型一
事件结果和类型的判断
1.12个同类产品中含有2个次品,现从中任意抽出3个,必然事件 是( ) B.至少有一个是次品 D.至少有一个是正品
A.3个都是正品 C.3个都是次品
2.一次掷出质地均匀的硬币三枚,写出可能出现的所有结果.
【解题指南】 1.根据事件的定义及题目中正品和次品的个数进行判断. 2.观察所给事件的条件,按顺序写出所有结果.
【探究总结】 1.随机事件的两个特征 (1)结果的随机性：即在相同的条件下做重复的试验时 ,如果试 验的结果不止一个,则在试验前无法预料哪一种结果将发生. (2)频率的稳定性：即大量重复试验时,任意结果(事件)出现的 频率尽管是随机的,却“稳定”在某一个常数附近,试验的次数 越多,频率与这一常数的偏差大的可能性越小 .这一常数就成为 该事件的概率.
第三章 概
率
3.1 随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率
1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念,能根据概念
对事件的类型进行判断.
2.正确理解概率的概念,明确事件A发生的频率fn(A)与事件A发
生的概率P(A)的区别与联系.
1.事件的概念及分类
一定不会发生 一定会发生 可能发生也可能不发生
【解析】选C.因为男婴的出生概率约为0.50,所以新生儿出生 人数为21 090时,男婴的人数最可能为10 545.
【规律总结】
1.根据频率求随机事件概率的步骤
(1)利用频率的计算公式fn(A)= n A ,计算出频率值.
n
(2)根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率 .
2.求频率的稳定值的方法
根据频数和重复试验的次数计算频率,可直接观察频率稳定在 哪个常数附近,用它来估计概率值,也可在坐标系内描出各点 (横坐标为次数,纵坐标为频率),观察频率值在哪个常数附近波 动,则这个常数就可作为概率的近似值.
【变式训练】 在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有40个, 除颜色外其他完全相同,小明通过多次摸球试验后,发现其中摸 到红色球、黑色球频率稳定在15%和45%,则布袋中白色球的个 数可能是 个.
【解析】因为摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%, 所以摸到白色球的频率约为1-15%-45%=40%,故布袋中白球的个
【自主解答】1.选D.A,B都是随机事件,因为只有2个次品,所以 “抽出的三个全是次品”是不可能事件,“至少有一个是正品” 是必然事件. 2.每枚硬币都有正面向上,反面向上两种结果,一共有8种可能 结果.(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,
反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).
2.频数与频率 (1)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A
频数 是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的_____,
称事件A出现的比例fn(A)= n A 为事件A出现的频率. 0≤fn(A)≤1 不可能 事件的 (2)频率的范围:频率的取值范围是___________,_______
5 544 10 5
同理可求得2年内、3年内、4年内男婴的出生频率分别为 0.51,0.50,0.50. (2)因为男婴的出生频率在0.49～0.51之间,故男婴的出生概率 约为0.50. 答案：(1)0.49 0.51 0.50 0.50 (2)0.50
【延伸探究】题2条件不变,若5年内新生儿的出生人数为 21 090,则男婴的人数最有可能为( A.14 040 B.15 000 C.10 545 ) D.9 000
数可能是40×40%=16(个).
答案：16
4.某人抛掷一枚硬币40次,结果正面朝上有28次,设正面朝上 为事件A,则事件A出现的频数为 为 . ,事件A出现的频率
【解析】根据频率计算公式代入即可. 答案:28 0.7
5.已知随机事件A发生的频率是0.02,事件A出现了10次,那么 共进行了 次试验.
n
【解析】设进行了n次试验,则有 10 =0.02,得n=500. 答案:500
1年内
5544 2716
2年内
9013 4597
3年内
13520 6812
4年内
17191 8590
(1)填写表中的男婴出生频率. (2)这一地区男婴出生的概率约是 .
【解题指南】1.根据频率的计算公式求解. 2.由频率计算公式,求出每个时间段的频率,根据频率的近似值, 得出概率.
【自主解答】1.选B.抛掷一次即进行一次试验,抛掷10次,正面 向上6次,即事件A的频数为6, 所以A的频率为 6 3，所以选B. 2.(1)1年内男婴的出生频率为 2 716 ≈0.49,