相似三角形的判定(二)

3.3 相似三角形的判定（二）

一、教学目标

1．掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”、“两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似”的判定定理．

2．经历探索两个三角形相似条件的过程，体验画图操作、类比猜想、分析归纳得出数学结论的过程；

3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题；

4．通过问题的探索过程，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣。

二、重点、难点

1．重点：掌握两种判定定理，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．

2．难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；

（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．

三、教学过程

（一）复习已学过的知识

问题：(1) 判断两个三角形相似，你有哪些方法？

方法1：通过定义(不常用)

方法2：通过平行线（条件特殊，使用起来有局限性）

(2) 思考:有没有其它简单的办法判断两个三角形相似？

(3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？

设计意图：

引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知的欲望。

（二）类比联想、猜想相似三角形的判定方法。

（1）问题：判定一般三角形全等有哪些判定方法？

（2）由全等三角形是相似三角形的特例，启发我们类比全等三角形的判定方法猜想相

设计意图：

回顾三角形全等条件，用类比展开思维，按顺序展开探究。三、证明猜想，形成定理

1．猜想一：类比三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条对应边的比相等，那么能否判定这两个三角形相似呢？

2．带领学生画图探究：

（1）任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？

（2）教师借助几何画板对两个三角形三组对应角进行度量，对猜想结论得到数据准确的验证，初步形成结论。

（3）学生口述命题：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。3．怎样证明这个命题是正确的呢？

（命题是否正确，需要理论严谨的证明，教师带领学生探求证明方法）

如图，在ABC

∆和'

'

'C

B

A

∆中，

'

'

'

'

'

'C

A

AC

C

B

BC

B

A

AB

=

=，

求证：ABC

∆∽'

'

'C

B

A

∆

分析：（1）要证两个三角形相似，目前只有两个途径。一个是三角形相似的定义（显然条件不具备）；二个是上节课学习的利用平行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？

（2）学生会想到把小的三角形移动到大的三角形上，然而如何实现平移呢？

（3）引导学生整理证明思路，教师板书证明过程。

证明：在线段'

'B

A（或它的延长线）上截取AB

D

A=

'，过点D作DE∥'

'C

B，交'

'C

A

于点E，根据前面的定理可得DE

A'

∆∽'

'

'C

B

A

∆．

'

'

'

'

'

'

'

'

C

A

E

A

C

B

DE

B

A

D

A

=

=

∴．

,

'

'

'

'

'

'

'

AB

D

A

C

A

AC

C

B

BC

B

A

AB

=

=

=，

又

.

'

'

'

'

'

C

A

AC

C

A

E

A

=

∴

.

'AC

E

A=

∴

同理

DE=BC.

DE

A'

∆

∴≌ABC

∆.

ABC

∆

∴∽'

''C

B

A

∆.

4．命题改成定理

三角形相似的判定方法 1 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．

5．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：

类比三角形全等的SAS 判定方法，由学生自主展开探究活动，由学生完成猜想和论证过程。

三角形相似的判定方法 2 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 6．小结

（1）类比探究，可以为探索新问题指明方向，是一种认识新事物的方法； （2）在定理的论证过程中，体会转化思想在几何中的作用；

（3）在定理的证明过程中，运用比例中两个比后项相等得到比的前项相等，为我们证明线段相等又积累了一种新的方法。

设计意图：

（1）让学生感悟类比的教学方法；

（2）通过探究过程，让学生积累数学活动经验，感受数学思维过程的条理性，进一步提高数学思维能力和推理论证能力。

（3）运用转化的方法，培养学生转化的数学思维和方法； （4）通过猜想、自主论证激发学生学习数学的兴趣；

（5）及时总结归纳“证明线段等”的方法，让学生头脑中的知识系统（知识块）进一步得到完善。

四、简单应用

例1．根据下列条件，判断两个三角形是否相似，并说明理由。 （1）在'''C B A ABC ∆∆和中， cm AC A 5,34=︒=∠，cm AB 4=，

cm B A cm C A A 6.1'',2'',34'==︒=∠。

（2）DEF ABC ∆∆和在中，6,3,4===AC BC AB ； 6.1,2.1,4.2===FD EF DE

解：略

小结：要找准对应边、对应角。

例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=2

1

7

，求AD 的长． 分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出

AC

CD

CD AB =

，结合∠B=∠ACD ，证明△ABC ∽△DCA ，再利用相似三角形的定义得出关于AD 的比例式AD AC

AC CD =

，从而求出AD 的长． 解：略（AD=4

25

）

小结：推理书写过程要规范.

设计意图：

（1）能够运用所学的判定方法解决简单问题；

（2）通过数、形两个例题的设置，让学生体会两种判定方法；

五、课堂练习

课本习题 1----3

五、课堂总结

1．归纳目前为止所学过的判定两个三角形相似的全部方法； 2．本节课都渗透了哪些数学思想与方法；

课后反思：

本节课课堂设计流畅，注重对学生思维能力的形成和提高。其中定理探究过程设计比较到位，学生论证过程很顺利。由于课堂思维容量比较大，后面的练习和例题展开不够充分，考虑到时间问题，可以把课堂练习变为作业部分。