高二数学 教案 1.1.3 导数的几何意义导学案人教版_选修2-2
人教版高中数学选修2-2学案：1.1.3导数的几何意义
1.1.3 导数的几何意义【学习目标】1.认识导函数的观点；2.经过函数图象直观地理解导数的几何意义；3.会求曲线y f (x) 在某点处的切线方程．【新知自学】知识回首：1.若直线 l 过点P（x0，y0），且直线的斜率为k，则直线 l 的方程为_________________________.2. 函数y f ( x) 在点x x0处的导数是：_____________________，记作f / ( x0 )或 y / |x x0，即 f / ( x0 ) lim y_____________________ ．x0 x新知梳理：1.由以下图，我们发现，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确立的地点，这个确立的地点的直线 PT 称为点 P 处的________．注意：曲线的切线与曲线的公共点可能有多个．2.导数的几何意义：函数在 f (x) 在 x x0处的导数就是函数图象在点( x0 , f (x0 )) 处的切线 PT 的斜率k，即k____________________________.3.曲线y f (x) 上在 x x0处的切线方程为_________________________ ．4.若关于函数y f ( x)定义域内的每一个自变量值x ，都对应一个确立的导数值 f / ( x) ，则在 f (x) 定义域内，f/( x) 组成一个新的函数，这个函数称为函数y f (x) 的___________（简称_________），记作 ______或 ____，即 ______________________.感悟：（ 1）设切线的倾斜角为,那么当x→ 0 时 ,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率；（ 2）导数的定义供给了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;（3）切线斜率的实质—函数在x x0处的导数；（4）曲线在某点处的切线与该点的地点相关.对点练习：1.已知函数y f (x) 在点 x 0处的导数分别为以下状况：（1） f / (x) ＝０；（2） f / ( x) ＝１；（3）f/( x)＝－１．试求函数图象在对应点处的切线的倾斜角．2.甲、乙二人跑步的行程与时间关系以及百米赛跑行程和时间关系分别如图①②，试问：（ 1）甲、乙二人哪一个跑得快？（2）甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？3.建议后置以下说法正确的选项是（ A. 若 f ′(x0)不存在，则曲线）y = f (x)在点 (x0 , f(x0)) 处就没有切线B. 若曲线y = f (x)在点 (x0, f (x0))处有切线，则 f ′(x0)必存在C.若 f ′(x0)不存在，则曲线y = f (x)在点 (x0 , f (x0)) 处的切线斜率不存在D. 若曲线 y = f (x)在点 (x0, f (x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线4.若曲线 y = f (x)在点 ( x0, f (x0)) 处的切线方程是y=-2x-7, 则f (x0) =________________.【合作研究】典例精析：例 1. 求曲线y x21在点 P(1,2) 处的切线方程.变式练习：求曲线 y3x 2在点 (1,3) 处的切线方程.例 2.在曲线y=x2上过哪一点的切线平行于直线y=4x-5 ？变式练习：已知抛物线y=2x 2+1，求其上哪一点处的切线垂直于直线x+8y-3=0 ？规律总结 :一般地，设曲线C 是函数 y=f(x) 的图象， P(x0,y0)是曲线 C 上的定点，由导数的几何意义知直线的斜率 k= f/( x0)ylim f x0f xx ，既而由点和斜率可得点斜式方limx 0 x x 0x程，化简得切线方程 .【讲堂小结】【当堂达标】1.函数y f (x) 在 x x0处的导数 f / ( x0 ) 的几何意义是（）A. 在点x0处的斜率B. 在点(x0, f ( x0))处的切线与x 轴所夹的锐角的正切值C.曲线y f (x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率D. 点( x0, f ( x0))与点（０，０）连线的斜率2.假如曲线y f (x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为x 2 y 3 0 ，那么（）A. f/(x0)＞０B. f/( x0)＜０C. f/(x0)＝０D. f/( x0)不存在3.若函数y f (x)的图像上点P(x0 , y0 )处的导数 f / ( x0 ) ＜０，则说明函数在点P 邻近_________________（填单一递加或单一递减）．4.已知函数y=2x 2图象上一点A(2,8) ，求点 A 处的切线方程 .【课时作业】1.在曲线 f ( x) x 2上的切线倾斜角为的切点为（）4A. （０，０）B. （２，４）C.（1,1） D.（1,1）416242．曲线y x 22x 3 在点 A(1,6) 处的切线方程是_______________．3．如图，函数y=f(x) 的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8 ，则 f(5)+ f ( 5)=_________.应当标出点P 的横坐标54.在抛物线.y x 2上求一点，使过此点的切线：（1）平行于直线y 4 x15 ；（2）垂直于直线 2 x 6 y 50 ．5.已知抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 P（1,1）、Q（ 2， -1），且在点 Q 处与直线 y=x-3 相切，务实数 a,b,c 的值 .。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二
1．1.3 导数的几何意义1.理解曲线的切线的含义．2.理解导数的几何意义．3.会求曲线在某点处的切线方程．4．理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数．1．导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P 处的切线．(2)导数的几何意义当点P n无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率．因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.1．此处切线定义与以前所学过的切线定义的比较(1)初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一的公共点时，称直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，直线叫做圆的切线．但因为圆是一种特殊的曲线，所以圆的切线定义不适用于一般的曲线．如图中的曲线C ，直线l 1与曲线C 有唯一的公共点M ，但l 1不是曲线C 的切线；l 2虽然与曲线C 有不止一个公共点，但l 2是曲线C 在点N 处的切线．(2)此处是通过逼近方法，将割线趋近于确定的位置的直线定义为切线，适用于各种曲线．所以这种定义才真正反映了切线的本质．2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)、导函数f ′(x )之间的区别与联系区别：(1)f ′(x 0)是在x ＝x 0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量．(2)f ′(x )是函数f (x )的导数，是对某一区间内任意x 而言的，即如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每点处都有导数，此时对于每一个x ∈(a ，b )，都对应着一个确定的导数f ′(x )，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x )．联系：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．这也是求函数在x ＝x 0处的导数的方法之一．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数．( )(2)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．( )(3)函数f (x )＝0没有导数．( )(4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f ′(4)＝( ) A. 12 B ．3 C ．4D ．5解析：选A.根据导数的几何意义知f ′(4)是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线的斜率k ，注意到k ＝5－34－0＝12，所以f ′(4)＝12.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B.由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选 B.曲线y ＝－2x 2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是________． 解析：因为Δy ＝－2(Δx )2，所以Δy Δx ＝－2Δx ，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(－2Δx )＝0，由导数的几何意义知切线的斜率为0.答案：0探究点1 求曲线在定点处的切线方程求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线方程． 【解】 因为y ′＝lim Δx →02（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x3Δx＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.所以y ′|x ＝－1＝2－3(－1)2＝2－3＝－1.所以切线方程为y －(－1)＝－[x －(－1)]， 即x ＋y ＋2＝0.求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．解：y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →02（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x 3Δx ＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0，2x 0－x 30)，则切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)． 因为切线过点(－1，－2)，所以－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)·(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝－32.所以切点坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38. 当切点坐标为(0，0)时，切线斜率k ＝－2－0－1－0＝2，切线方程为y ＝2x ；当切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时，切线斜率k ＝38－（－2）－32－（－1）＝－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0.解决曲线的切线问题的思路(1)求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程，即点P 的坐标既满足曲线方程，又满足切线方程时，若点P 处的切线斜率存在，则点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)；若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线斜率不存在(此时切线平行于y 轴)，则点P 处的切线方程为x ＝x 0.(2)若切点未知，则需设出切点坐标，再根据题意列出关于切点横坐标的方程，最后求出切点纵坐标及切线的方程，此时求出的切线方程往往不止一个．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1，1)． Δy Δx ＝（1＋Δx ）3－13Δx ＝3Δx ＋3（Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1，1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1，1)外，还有点(－2，－8)． 探究点2 求切点坐标在曲线y ＝x 2上取一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．【解】 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2－x2Δx ＝limΔx →0(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为点P 处的切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2，4)．(2)因为点P 处的切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94. (3)因为点P 处的切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为tan 135°＝－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)． (2)求导函数f ′(x )． (3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0.(5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．1.已知曲线y ＝x 24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝12x ＝12， 所以x ＝1，所以切点的横坐标为 1.2．已知曲线f (x )＝x 2＋6在点P 处的切线平行于直线4x －y －3＝0，求点P 的坐标． 解：设切点P 坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2＋6－（x 2＋6）Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .所以点P 在(x 0，y 0)处的切线的斜率为2x 0. 因为切线与直线4x －y －3＝0平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10，即切点为(2，10)． 探究点3 导数几何意义的应用我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T 内完成预期的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )【解析】 从函数图象上看，要求图象在[0，T ]上越来越陡峭，在各选项中，只有B 项中的切线斜率在不断增大，也即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．【答案】 B(1)曲线f (x )在x 0附近的变化情况可通过x 0处的切线刻画．f ′(x 0)>0说明曲线在x 0处的切线的斜率为正值，从而得出在x 0附近曲线是上升的；f ′(x 0)<0说明在x 0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．1.已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选B.从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f ′(3)<f ′(2)，过此两点的割线的斜率f （3）－f （2）3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小，比f (x )在x ＝3处的斜率大，所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选B.2．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h 是关于时间t 的函数h (t )，则函数h (t )的图象可能是( )解析：选B.由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B 中的图象符合题意.1．下列说法中正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线解析：选C.f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率，切线斜率不存在，但其切线方程可以为x ＝x 0，所以A ，B ，D 错误．2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：选B.由题意可知，f ′(x 0)＝－12.3．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于________．解析：易得切点P (5，3)， 所以f (5)＝3，k ＝－1， 即f ′(5)＝－1.所以f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2 4．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. (1)求曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)求曲线在点P ，Q 处的切线方程． 解：将点P (2，－1)代入y ＝1t －x， 得t ＝1，所以y ＝11－x.y ′＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →011－（x ＋Δx ）－11－x Δx＝limΔx →0Δx[1－（x ＋Δx ）]（1－x ）Δx＝limΔx →01（1－x －Δx ）（1－x ）＝1（1－x ）2，(1)曲线在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝2＝1（1－2）2＝1；曲线在点Q 处的切线斜率为y ′|x ＝－1＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2， 即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.知识结构深化拓展导数与函数图象的关系在x ＝x 0附近各切线的斜率反映切线的升降变化情况，导数f ′(x 0)反映函数在x ＝x 0附近的增减情况，而在x ＝x 0处的切线斜率k ＝f ′(x 0)，所以反映在图形上它们的变化情况是一致的，如图．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：曲线f (x )在x ＝x 0附近切线的斜率k切线的倾斜角 f ′(x 0)>0上升k >0 锐角f ′(x 0)<0下降k <0 钝角 f ′(x 0)＝0k ＝0零角(切线与x 轴平行)[注意] 导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢.[A 基础达标]1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1，2)，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：选B.因为二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1，2)，所以过点(1，2)的切线平行于x 轴，即切线的斜率为0，所以f ′(1)＝0，选B.2．曲线f (x )＝9x在点(3，3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析：选C.f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝9lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝－9limΔx →01（x ＋Δx ）x＝－9x2，所以f ′(3)＝－1.又切线的倾斜角的范围为[0°，180°)，所以所求倾斜角为135°.3．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B. 12 C ．－12D ．－1解析：选A.因为y ′|x ＝1＝lim Δx →0a （1＋Δx ）2－a ×12Δx＝lim Δx →02a Δx ＋a （Δx ）2Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ，所以2a ＝2， 所以a ＝1.4．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.设切点为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2－x2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，所以x 0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：选A.因为点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，所以b ＝1.又y ′＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a ，所以过点(0，b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.6．已知函数y ＝f (x )在点(2，1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2＝________．解析：因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3. 答案：37．已知f (x )＝x 2＋ax ，f ′(1)＝4，曲线f (x )在x ＝1处的切线在y 轴上的截距为－1，则实数a 的值为________．解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4.又切线在y 轴上的截距为－1，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝4x －1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f (1)＝1＋a ＝3，即a ＝2.答案：28．设f (x )存在导函数，且满足lim Δx →0f （1）－f （1－2Δx ）2Δx ＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为________．解析：limΔx →0f （1）－f （1－2Δx ）2Δx＝lim Δx →0f （1－2Δx ）－f （1）－2Δx＝f ′(x )＝－1. 答案：－19．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，求： (1)曲线在点P 处的切线方程； (2)过点P 的曲线的切线方程．解：(1)因为函数y ＝13x 3的导函数为y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →013（x ＋Δx ）3－13x 3Δx ＝13lim Δx →03x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝13lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2， 所以y ′|x ＝2＝22＝4.所以曲线在点P 处的切线的斜率等于4.故曲线在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.(2)设切点为(x 0，y 0)，由(1)知y ′＝x 2，则点(x 0，y 0)处的切线斜率k ＝x 20，切线方程为y －y 0＝x 20(x －x 0)．又切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，且(x 0，y 0)在曲线y ＝13x 3上，所以⎩⎪⎨⎪⎧83－y 0＝x 2（2－x 0），y 0＝13x 30，整理得x 30－3x 20＋4＝0，即(x 0－2)2(x 0＋1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝－1.当x 0＝2时，y 0＝83，切线斜率k ＝4，切线方程为12x －3y －16＝0；当x 0＝－1时，y 0＝－13，切线斜率k ＝1，切线方程为3x －3y ＋2＝0.故过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0.10．已知曲线f (x )＝ax－x 在x ＝4处的切线方程为5x ＋16y ＋b ＝0，求实数a 与b 的值．解：因为直线5x ＋16y ＋b ＝0的斜率k ＝－516，所以f ′(4)＝－516.而f ′(4)＝lim Δx →0（a 4＋Δx －4＋Δx ）－（a4－4）Δx＝limΔx →0（a 4＋Δx －a4）－（4＋Δx －2）Δx＝lim Δx →0[－a 4（4＋Δx ）－14＋Δx ＋2]＝－a ＋416，所以－a ＋416＝－516，解得a ＝1. 所以f (x )＝1x －x ，所以f (4)＝14－4＝－74，即切点为(4，－74)．因为(4，－74)在切线5x ＋16y ＋b ＝0上，所以5×4＋16×(－74)＋b ＝0，即b ＝8，从而a ＝1，b ＝8.[B 能力提升]11．曲线y ＝x ＋1x上任意一点P 处的切线斜率为k ，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选C.y ＝x ＋1x上任意一点P (x 0，y 0)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0（x 0＋Δx ）＋1x 0＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0Δx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20＋x 0Δx ＝1－1x 20<1.即k <1.12．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，在点P 处的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________．解析：y ′＝limΔx →0ΔyΔx ＝2x －1，在点P 处切线的斜率为2×(－2)－1＝－5.因为点P 的横坐标是－2，所以点P 的纵坐标是6＋c ，故直线OP 的斜率为－6＋c 2，根据题意有－6＋c2＝－5，解得c ＝4.答案：413．已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， 因为f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）3－2（x ＋Δx ）2＋3－（x 3－2x 2＋3）Δx＝3x 2－4x ， 由题意可知k ＝4， 即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，所以切点的坐标为(－23，4927)或(2，3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127.当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ，a ＝－5.所以当a ＝12127时，切点为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点为(2，3)．14．(选做题)已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，试分别求出这两条平行的切线方程．解：对于曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0[（x 0＋Δx ）2－1]－（x 20－1）Δx＝lim Δx →02x 0·Δx ＋（Δx ）2Δx＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0.对于曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0[1－（x 0＋Δx ）3]－（1－x 30）Δx＝lim Δx →0－3x 20Δx －3x 0（Δx ）2－（Δx ）3Δx＝lim Δx →0[－3x 20－3x 0·Δx －(Δx )2]＝－3x 20，又y ＝1－x 3与y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线互相平行， 所以2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或x 0＝－23.(1)当x 0＝0时，两条切线的斜率k ＝0， 曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为(0，－1)， 切线方程为y ＝－1，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为(0，1)，切线方程为y ＝1. 但直线y ＝1并不是曲线的切线，不符合题意． (2)当x 0＝－23时，两条切线的斜率k ＝－43，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－59，切线方程为y ＋59＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即12x ＋9y＋13＝0，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3527，切线方程为y －3527＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即36x ＋27y－11＝0.综上，两曲线的切线方程分别是12x＋9y＋13＝0，36x＋27y－11＝0.。
高中数学选修2-2教学设计4：1.1.3 导数的几何意义教案
导数的几何意义【教学目标】知识与技能目标：本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。
(2) 借助两个类比的动画，从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。
(3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数)(x f 在0x x =处的导数0()f x '的几何意义，使学生认识到导数0()f x '就是函数)(x f 的图象在0x x =处的切线的斜率。
即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim 0000/＝曲线在0x x =处切线的斜率 在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。
在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。
过程与方法目标：(1) 学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。
(2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。
(3) 结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知。
情感、态度、价值观：(1) 通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。
在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
数学：1.1.3《导数的几何意义》教案（新人教A版选修2-2）
§教学目标1．了解平均转变率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一．创设情景（一）平均转变率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数咱们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时转变率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的转变情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 二．新课教学（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的转变趋势是什么？们发现,当点n P 沿咱着曲线无穷接近点P 即0时,割线n PP 趋Δx →近于肯定的位置，这个肯定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线. ⑴割线n PP 的斜问题：率nk 与切线PT 的斜率k 有什么关系？⑵切线PT 的斜率k 为多少？图3.1-2容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无穷接近点P 时，n k 无穷趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方式; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要按照割线是不是有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并非必然与曲线只有一个交点,可以有多个,乃至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的大体步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的转变率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，取得曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的进程可以看到,那时,0()f x ' 是一个肯定的数，那么,当x 转变时,即是x 的一个函数,咱们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
人教A版选修2-2第一章1.1.3导数的几何意义教学设计
导数的几何意义［教学目标］1•了解割线的斜率与平均变化率的关系；2 •对曲线切线的概念了解；3•通过几何画板认识图像的几何意义，并利用导数的几何意义解题［教学重点难点］重点：曲线的切线概念以及切线的斜率难点：导数的几何意义［教法、学法］小组讨论，自主探究［教具］PPT课件、几何画板［教学过程］1 / 3更能激发学生参与合作的信心.题：⑴割线PR的斜率k n与切线PT学以致用的斜率k有什么关系？⑵切线PT的斜率k为多少？例1：求曲线y=f(x)二？？ + 1在点P(2,1)处的切线方程？1.求函数y=3x2在(1,2 )处的导数..我们当一次小老师，同桌之间相互批改教学生上黑板板演，其他在草稿上完成，讲解时，同桌之间相互批改自己当小老师，增加本节课的趣味性，有利于学生的行为和情感都参1. 求曲线y x在这点(2,4 )处的切线方程是什么？2. 曲线y = x2在点P处切线的斜率为三名学生上黑板完成，加强对导数的几何意义的应用，尤其在解切线方程时掌握与进来，在批改过程中又可以巩固知识，认识自己的不足这里的第二题和第三题完成能够取2 / 3反馈：导数的几何意义相对学生来说，是比较简单的课.在这节课中，通过以上告诉我们无论什么课型，我们都要实现充分备课，认真设计教学活动环节，给学生时间去发掘规律和思考，可能是课本中的难点，易错点，学生动手实践等等，必须要让学生本人去探索去思考去参与，通过这些过程让学生学会数学感受数学会学数学，将教学中的重点融入到情景中，会起到良好参与效果，一节课下来收获良好的成效•3 / 3。
【整合】人教a版高二数学选修2-2第一章第一节113导数的几何意义(同步教案).doc
§1.1.3 导数的几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过两数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题。
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程设计（一入情景引入，激发兴趣。
【教师引入】我们知道，导数表示幣数在尸乩处的瞬时变化率，反映了函数y=fU在尸心附近的变化情况，导数/'（忑）的儿何意义是什么呢？（二）、探究新知，揭示概念1曲线的切线及切线的斜率：如图1.1-2,当人（£,/（£））5 = 1,2,3,4）沿着曲线/（兀）趋近于点卩（兀0，/（心））时，割线户冋的变化趋势是什么？图1.1-2我们发现，当点人沿着曲线无限接近点P即A L O时,割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线P代的斜率心与切线刃的斜率R有什么关系？⑵切线的斜率P为多少？容易知道，割线户巳的斜率是他=/心一心），当点巴沿着曲线无限接近点P吋，心无限趋近于切£一兀0线〃的斜率即k = lim / % +心）_ /缶）=fg&TO Ax说明：（1）设切线的倾斜角为5那么当A x-0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的本质一函数在% = x0处的导数.（2）曲线在某点处的切线：1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置來判断与求解.如有极限,则在此点有切线，且切线是唯-的；如不存在，则在此点处无切线;3）曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.（三）、分析归纳，抽象概括2导数的几何意义：函数尸fd）在尸‘°处的导数等于在该点（x0,/（x0））处的切线的斜率，即厂（和=向丿3+山）一/心以° z 心说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：①求出”点的坐标；②求出函数在点兀0处的变化率畑）=lim』（兀+心）二/血=k ,得到曲线在点（兀0，广（兀0））的切心T°Ar线的斜率；③利用点斜式求切线方稈.3导函数：由函数在尸必处求导数的过程可以看到，当时，广（无）是一个确定的数，那么，当/变化时，便是/的一个函数，我们叫它为fd）的导函数•记作：广（兀）或）即：门兀）*=向・心+心）7⑴ 心TO A r注：在不致发生混淆吋，导函数也简称导数.函数/（劝在点兀0处的导数广（兀0）、导函数f\x）＞导数之间的区别与联系。
2021年高中数学1.1.3导数的几何意义教学案新人教A版选修
2021年高中数学 1.1.3导数的几何意义教学案新人教A版选修2-2一．预习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题。
二．预习内容1.曲线的切线及切线的斜率P x f x n 沿着曲线趋近于点时,（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为 .（2）割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,无限趋近于切线的斜率,即= =2.导数的几何意义函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,即= .三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题二．学习过程（一）。
复习回顾1．平均变化率、割线的斜率2。
瞬时速度、导数（二）。
提出问题，展示目标我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？（三）、合作探究1.曲线的切线及切线的斜率P x f x n 沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n么？（2）如何定义曲线在点处的切线？(3)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？(4)切线的斜率为多少？说明: (1)当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.2.导数的几何意义（1）函数在处的导数的几何意义是什么？（2）将上述意义用数学式表达出来。
最新人教A版选修2-2高二数学1.3 导数的几何意义公开课教学设计
§3．1．3 导数的几何意义
【学情分析】：
上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。
【教学目标】：
1.
2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．
3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程
【教学重点】：
理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法. 【教学难点】：
发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.
【教学过程设计】：
图3.1-2
例4．（课本例3）如图 3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()
=(单位：
c f t
mg mL)随时间t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6
t=
/
时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()
f t在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()
f t在此点处的切线的斜率．
t0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度的。
人教新课标版-数学-高二(人教B版)选修2-2学案 1.1.3 导数的几何意义
1.1.3导数的几何意义学习目标 1.理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．思考1割线PP n的斜率k n是多少？思考2当点P n无限趋近于点P时，割线PP n与在点P处的切线PT有什么关系？思考3当P n无限趋近于点P时，k n与切线PT的斜率k有什么关系？梳理 (1)曲线的切线设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线．由此割线的斜率是ΔyΔx ＝________________，可知曲线割线的斜率就是函数的____________．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．(2)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义①几何意义：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率等于________； ②曲线在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率为 lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； ③相应的切线方程为________________．类型一 求切线方程命题角度1 曲线在某点处的切线方程例1 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程．反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 命题角度2 曲线过某点的切线方程例2 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))． (2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，由x 0，y 0，及k, 从而写出切线方程． 跟踪训练2 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．类型二 求切点坐标例3 已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，求x 0的值． 引申探究1．若本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x 0的值．2．若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程．反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)．(2)求导函数f′(x)．(3)求切线的斜率f′(x0)．(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．跟踪训练3已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．类型三导数几何意义的应用例4已知函数f(x)在区间上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)反思与感悟导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．跟踪训练4若函数y＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y＝f(x)在区间上的图象可能是()1．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－12.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于()A．－4 B．3C．－2 D．14．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________．5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学 知识点思考1 割线PP n 的斜率k n ＝Δy n Δx n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0. 思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 趋近于在点P 处的切线PT . 思考3 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k .梳理 (1)f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 平均变化率 (2)①f ′(x 0) ③y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)题型探究例1 解 将x ＝2代入曲线C 的方程， 得y ＝4，∴切点坐标为P (2,4)． 又y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx ＝lim Δx →0＝4， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 跟踪训练1 －3 解析 ∵y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx ＝lim Δx →0 (4＋Δx )＝4， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3. ∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例2 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 20)，∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 14(x 0＋Δx )2－14x 20Δx ＝lim Δx →0(12x 0＋14Δx )＝12x 0， ∴14x 20－74x 0－4＝12x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1， 即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14)，故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12(x －1)，化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0，即所求的切线方程为14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0. 跟踪训练2 解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)， 则切线的斜率为k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝2x 0＋1. 又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过点(－1,0)的切线方程为y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过点(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0. 例3 解 对于曲线y ＝x 2－1， k 1＝y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0ΔyΔx＝2x 0. 对于曲线y ＝1－x 3， k 2＝y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 1－(x 0＋Δx )3－(1－x 30)Δx ＝－3x 20. 由题意得2x 0＝－3x 20， 解得x 0＝0或x 0＝－23.引申探究1．解 ∵k 1＝0|x x y ='＝2x 0，k 2＝0|x x y ='＝－3x 20.又曲线y ＝x 2－1与y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴2x 0·(－3x 20)＝－1，解得x 0＝3366. 2．解 由例3知x 0＝0或－23.当x 0＝0时，两条平行的切线方程为y ＝－1或y ＝1. 当x 0＝－23时，曲线y ＝x 2－1的切线方程为12x ＋9y ＋13＝0.曲线y ＝1－x 3的切线方程为36x ＋27y －11＝0.∴所求两条平行的切线方程为y ＝－1与y ＝1或12x ＋9y ＋13＝0与36x ＋27y －11＝0. 跟踪训练3 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)．∵f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x .由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点坐标为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，∴a ＝12127.当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)．例4 k 1>k 3>k 2 跟踪训练4 A 当堂训练 1．A 2.B 3.D 4．(3,30)5．解 ∵抛物线过点P ，∴a ＋b ＋c ＝1，①又y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )＋c －(ax 2＋bx ＋c )Δx ＝2ax ＋b ，∴y ′|x ＝2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1.② 又抛物线过点Q ，∴4a ＋2b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.。
人教A版选修2-2 1.1.3导数的几何意义 学案
1. 1.3导数的几何意义课前预习学案一． 预习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题。
二． 预习内容1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时, 即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为 . （2）割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时,n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即k = =2.导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0()f x '= .三．提出疑惑课内探究学案一． 学习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题二． 学习过程（一）。
复习回顾1．平均变化率、割线的斜率 2。
瞬时速度、导数 （二）。
提出问题，展示目标我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？（三）、合作探究1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？ （2）如何定义曲线在点P 处的切线？(3)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ (4)切线PT 的斜率k 为多少？说明: (1)当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义（1）函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义是什么？ （2）将上述意义用数学式表达出来。
高中数学人教B版选修2—2第一章1.1.3《导数的几何意义》优秀教案
1.1.3 《导数的几何意义》教案教学目的：理解函数的导数的几何意义，会求已知切点的切线方程. 重点难点：已知函数图象上某点的坐标，求切线方程.学科素养：用所学探索未知，通过数学定义的教学，体会数学研究的手段方法. 一、引入与新课： 【提出问题】已知函数f (x )=x 2,求x =2时的导数。
解：因为22(2)(2)(2)2(4)y y x y x x x ∆=+∆-=+∆-=+∆∆所以4yx x∆=+∆∆ 因为00limlim(4)4x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆所以x =2时的导数为4。
我们知道，从数量上，函数在一点x 0的导数是函数在x 0处函数的瞬时变化率。
那么，从图形上看，一般函数()f x 在点x 0的导数有怎样的几何意义呢？ 【抽象概括】设函数y =f (x )的图像如下图：AB 是过点A （x 0 ，f (x 0)），B （x 0+⊿x ，f (x 0+⊿x )）的割线， AB 的斜率是：00()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ 就是函数y =f (x )的平均变化率。
【获得新知】当点B 沿着曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置是直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 的切线。
由此可见，当⊿x 趋近于0时，割线AB 的斜率趋近于在点A 的切线AD 的斜率。
即切线AD 的斜率=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆【解决问题】由导数意义可知，曲线y =f (x )在点（x 0 ，f (x 0)）的切线的斜率等于f ′(x 0)即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 【概念领悟】1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，这时切线的斜率不存在，即f (x )在这点的导数也不存在。
人教A版选修2-2第一章1.1.3导数的几何意义教学设计
人教A版选修2-2第一章1.1.3导数的几何意义教学设计导数的几何意义[教学目标]1．了解割线的斜率与平均变化率的关系；2．对曲线切线的概念了解；3．通过几何画板认识图像的几何意义，并利用导数的几何意义解题.[教学重点难点]重点：曲线的切线概念以及切线的斜率难点：导数的几何意义[教法、学法]小组讨论，自主探究[教具]PPT课件、几何画板[教学过程]教学环节教师活动学生活动设计意图情境导入由上节课我们知道，函数在x=x0处的舒适变化率表示的是该函数y=f(x)在x=x0处的附近变化情况，请问同学们导数f′(x0)的几何意义是什么呢?下面带着这个问题预习课本并完成导学案的预习先知的填空题学生迅速自主的展开课本预习，并完成导学案的填空题课前知识储备，为学生接下来探究参与做好准备课堂小结在这节课中你学到了什么内容？1.函数切线的定义，函数导数的几何意义2.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x处的变化率‘得到曲线在点(x,f(x))的切线的斜率.（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即y−y0=k(x-x0)学生自主思考，举手回答，分享自己的成果，互相评价和个人评价，参与总结教师引导学生，一方面可以让学生都参与进来，一方面又可以锻炼学生的积极性，通过集体评价和自我评价，相互合作学习，让学生乐于参与，并且在参与中受益反馈：导数的几何意义相对学生来说，是比较简单的课.在这节课中，通过以上告诉我们无论什么课型，我们都要实现充分备课，认真设计教学活动环节，给学生时间去发掘规律和思考，可能是课本中的难点，易错点，学生动手实践等等，必须要让学生本人去探索去思考去参与，通过这些过程让学生学会数学感受数学会学数学，将教学中的重点融入到情景中，会起到良好参与效果，一节课下来收获良好的成效.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 1.1.3 导数的几何意义》1
1.1.3 导数的几何意义教学目标：1、知识与技能 : 理解导数的几何意义；2、过程与方法：经历导数几何意义的学习过程，体会用导数的几何意义分析图象上点的变化情况的方法。
3、情感态度与价值观：体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展理性思维能力。
教学重点：理解导数的几何意义； 教学难点：理解函数的导数就是在某点处的切线的斜率。
教具准备：多媒体课件，。
三．教学过程： （一）【知识链接回顾】 1函数的平均变化率是什么？ ＝f 在＝0处导数的定义是什么？1 错误!2 f ′0＝错误! 错误! （二）【提出问题，展示目标】我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 1、创设情境：问题：平面几何中我们怎样判断直线是否是圆的切线？学生回答：与圆只有一个公共点的直线就叫做圆的切线 教师提问：能否将它推广为一般的曲线的切线定义？教师引导学生举出反例如下：因此，对于一般曲线，必须重新寻求曲线的切线定义。
（三）【合作探究】1曲线的切线及切线的斜率设函数＝f 的图象如图所示．AB 是过点A 0，f 0与点B 0＋Δ，f 0＋Δ的一条割线，当点B 沿曲线向A 移动时，Δ→0，割线逐渐变化，最终变为切线AD我们如何确定切线的方程？由直线方程的点斜式知，已知一点坐标，只需求切线的斜率。
那如何求切线的斜率呢？在此过程中割线AB 斜率错误!＝错误!最终变为切线AD 斜率，即错误! 错误!＝AD ，由导数的意义知，曲线在点0，f 0的切线斜率为f ′0．A说明: 1当0→∆x 时,割线AB 的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数2曲线在某点处的切线: 2导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率,即0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程 （四）【例题精析】例1 求曲线2)(x x f y ==在点)1,1(P 处的切线斜率解: 222100[(1)1](11)2|lim lim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆ f ′1＝错误! 错误!＝错误! 错误!＝错误! 2＋Δ＝2所以,所求切线的斜率为2课堂练习1： 1．求曲线）的切线方程。
高二数学1.1.3导数的几何意义学案新人教A版选修2-2
11 － ，－
28
∴ y′＝
（x＋Δ x）3－x3 Δx
（Δ x） 3＋ 3x（Δ x） 2＋ 3x2·Δ x
＝
Δx
＝
(( Δ x) 2＋ 3x·Δ x＋ 3x2) ＝ 3x2.
令 3x2＝ 3，得 x＝± 1，
∴点 P的坐标为 (1 ， 1) ，( － 1，－ 1) ．故选 B.
基础巩固
1．已知曲线 y＝ f ( x) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线方程为 2x－ y＋ 2＝ 0，则 f ′(1) ＝ ( D)
f （ 1＋Δ x）－ f （ 1）
Δx
＝
1
1
－ 1＋Δ x－ －1
Δx
＝
1 1＋Δ x＝ 1. 故选 B.
3．曲线 y＝ x3 在点 P 处的切线斜率为 3，则点 P 的坐标为 ( B)
A． ( －2，－ 8)
B
．(1 ， 1) ，( － 1，－ 1)
C． (2 ， 8)
D.
解析： ∵ y＝ x3，
在其他地方可能还有公共点．
2．函数的导数 当 x＝x0 时，f ′( x0) 是一个确定的数， 则当 x 变化时， f ′ ( x) 是 x 的一个函数， 称 f ′（x) 是 f ( x) 的导函数 ( 简称导数 ) ． f ′（x) 也记作 y′，即
f ′ ( x) ＝ y′＝ 想一想：函数 f ( x) ＝ x2 的导函数是 ___________________ ．
A． 4 B ．－ 4 C ．－ 2 D ． 2 解析： 由导数的几何意义知 f ′(1) ＝ 2，故选 D.
2 2．已知曲线 f ( x) ＝－ x和点 M(1 ，－ 2) ，则曲线在点 M处的切线方程为 ( C)
高二数学(人教版)选修2-2导学案设计：1.1.3 导数的几何意义(无答案)
编号：gswhsxxx2-2-0103文华高中高二数学选修2--2第一章《导数及其应用》§1.1.3 导数的几何意义导学案学习目标1.通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，2.理解导数的概念并会运用概念求导数.3.通过对导数的认识，感受数学科学的无穷魅力，培养学习数学的浓厚兴趣。
重点、难点形成导数的概念，了解导数的内涵。
学习方法了解并掌握导数的概念及求法。
学习过程自主学习（预习教材P 6~ P 9，找出疑惑之处） 导数的几何意义新知：已知函数()y f x =上的两点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =00(,())P x f x ，（1）当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =（2）当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k = =0()f x ' 新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆导函数如果函开区间(,)a b 内的每一数()f x 在开区间(,)a b 内的每一点都可导，就说()f x 在开区间(,)a b 内可导。
这时，对于开区间(,)a b 内的每一个确定的值x,都对应一个确定的导数 ，这样在(,)a b 内构成一个新函数，这个函数叫做()f x 在开区间(,)a b 内的导函数，记作 或 。
二、典型例题题型一求切线方程例1 求双曲线1yx在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程.变式：函数y=-2x2+x在x=2处的切线的斜率是题型二求曲线上点（或切点）的坐标例2.求在曲线y=x2上过哪一点的切线平行于直线y=4x-5变式：求在曲线y=x 2上过哪一点的切线垂直于直线2x-6y+5=0三、课堂小结：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆其切线方程为本节课我最大的收获是:我存在的疑惑有:《导数的几何意义》节节过关达标检测班级 组名 学生姓名1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ） A ．41y x =-- B ．47y x =-- C ．41y x =- D ．47y x =+3. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为4. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆=5.已知曲线C:y=x 3求过曲线C 上横坐标为1的点P 的切线方程，。
人教版高中数学选修2-2：1.1.3导数的几何意义讲案(教师用)
课题： 1.1.3导数的几何意义 课时：第1课时【学习目标】(1)了解导数的几何意义．(2)会利用导数的几何意义解决有关问题。
第一环节：导入学习知识点1 导数的几何意义设函数y ＝f (x )的图象如图1所示．AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .可见曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率趋向于过点A 的切线AD 的斜率，即错误!未指定书签。
f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线y ＝f (x )过点(x 0，f (x 0))的切线的斜率等于f ′(x 0)．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地切线方程为：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．注意：∵函数在某点处的导数值就是曲线在该点处切线的斜率，∴当导数大于零时，则说明在该点处的切线斜率大于0，在该点附近，曲线是上升的；当导数等于0时，则说明在该点处的切线斜率等于0，在该点附近曲线比较平滑，几乎没有升降；当导数小于零时，则说明在该点处的切线斜率小于0，在该点附近曲线是下降的．知识点2 利用导数求曲线的切线方程利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 知识点3 导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每点处都有导数，此时，对于每一个x ∈(a ，b )，都对应着一个确定的导数f ′(x )，从而构成一个新的函数f ′(x )，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝错误!未指定书签。
高中数学选修2-2教学设计6：1.1.3 导数的几何意义教案
1.1.3 导数的几何意义教学目标1.了解导函数的概念以及导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念以及导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的思想方法.知识链接如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？ 答 设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线.于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 教学导引1.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0).相应地，切线方程为y －f (x 0) ＝f ′(x 0)(x －x 0).2.函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数).f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx. 课堂讲解要点一 过曲线上一点的切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值.解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3ax Δx ＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎨⎧ a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322. 规律方法 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程.跟踪演练1 求曲线y ＝1x在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程. 解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0. 要点二 求过曲线外一点的切线方程例2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?(2)曲线过点P (3,9)的切线方程.解 y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx ＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x . (1)设切点为(x 0，y 0)，则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5，∴切点坐标为(1，－5).(2)由于点P (3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0).将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0).解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.跟踪演练2 已知曲线y ＝13x 3＋43，求曲线过点P (2,4)的切线方程. 解 设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率k ＝y ′|0x=x ＝x 20，∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， 即x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.要点三 求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角.解 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点. (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点.(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点. (3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14， 即P ⎝⎛⎭⎫－12，14是满足条件的点. 规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意[解析]几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，例如平行，垂直等.跟踪演练3 已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标.解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x ，∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0.由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2， ∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3). 当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ， 解得a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3).当堂检测1.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( )A.4B.16C.8D.2[答案]C[解析]f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－8Δx ＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 2.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A.a ＝1，b ＝1B.a ＝－1，b ＝1C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－1 [答案]A[解析]由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3.已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.135°D.165°[答案]B[解析]∵y ＝12x 2－2， ∴y ′＝lim Δx →012(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx ＝lim Δx →012(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 4.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________.[答案](3,30)[解析]设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30).。
高中数学 1.1.3 导数的几何意义导学案 新人教A版选修2-2
青海师范大学附属第二中学高中数学 1.1.3 导数的几何意义导学案 新人教A版选修2-2[学习要求]1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义．2．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．[学法指导] 前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲.1．导数的几何意义(1)割线斜率与切线斜率设函数y ＝f(x)的图象如图所示，AB 是过点A(x 0，f(x 0))与点B(x 0＋Δx ，f(x 0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝错误!当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的____．于是，当Δx→0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD的斜率k ，即k ＝______＝______________(2)导数的几何意义 函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f (x 0))处的切线的____．也就是说，曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率是_______．相应地，切线方程为______________．2．函数的导数当x ＝x 0时，f′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f′(x)是x 的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝____________________.探究点一 导数的几何意义问题1 如图，当点P n (x n ，f(x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x 0，f(x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？问题2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？例1如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t 0，t 1，t 2附近的变化情况．跟踪训练1(1)根据例1图象，描述函数h(t)在t 3和t 4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象可能是探究点二求切线的方程问题1 怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？问题2 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？例2 已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．跟踪训练2 已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．跟踪训练3 若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．[达标检测]1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为 ( )A．4 B．16 C．8 D．22．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－13．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．[小结]1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0 f x 0＋Δx－f x0＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．Δx。
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第03课时
1.1.3 导数的几何意义
学习目标
1．能灵活运用导数的定义及导函数的定义求解导数.
2．了解导数的几何意义，会求函数在某点处的切线的斜率，进而求过此点的切线方程.
学习过程
一、学前准备
◆复习：函数2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数 等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P 6～P 9，找出疑惑之处） 问题1：我们知道，导数0()f x '表示函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率，反映了函数()f x 在0x x =附近的变化情况。
那么导数0()f x '的几何意义是什么呢？
问题2：如图，当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线
()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？
◆应用示例
例1．（课本P7例2）如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象。
根据图象，请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况。
例2．（课本P8例3）如图，它表示人体血管中药物浓度()c f t =（t 的单位：min,c 的单位：mg/mL ）随时间t 变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8min 时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）.
◆反馈练习
1. （课本P8练习）如例1图，描述函数()h t 在3t 和4t 附近增（减）以及增（减）快慢的情况.
2.（课本P 11B1）在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度（单位：m ）是
2() 4.9 6.510h t t t =-++.高度h 关于时间t 的导数是速度
v
，速度v 关于时间t 的导数是什么？
学习评价
1.已知曲线22y x =上一点(2,8)A ，则点A 处的切 线斜率为（ ）
A ．4
B ．16
C ．8
D ．12 2．曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ）
A ．74y x =+
B ．72y x =+
C ．4y x =-
D ．2y x =- 3. （课本P 10A6）已知函数()f x 的图像，试画出其导函数()f x '图像的大致形状.
课后作业
1. （课本P11B2）根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状.
（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；
(2) 汽车在笔直的公路上不断加速行驶；
(3) 汽车在笔直的公路上不断减速行驶；
2. （课本P11B3）根据下列条件，分别画出函数图像在这点附近的大致形状：
（1）(1)5,(1)1
f f'
=-=-;
(2) (5)10,(5)15
f f'
==;
(3) (10)20,(10)0
f f'
==。
3．（课本P10 A5）如图，试描述函数()
f x在5,
x=-4,2,0,1
--附近的变化情况.。