分组分解法解

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因式分解之四大基本解法

因式分解之四大基本解法知识锦囊经典例题【必会考点1】提取公因式1．因式分解：2281012x y xy --【解答】解：原式222(456)x y xy =--2(43)(2)xy xy =+-．2．因式分解：324824m m m -+-．【解答】解：32248244(26)m m m m m m -+-=--+．3．因式分解：325()10()x y y x -+-．【解答】解：325()10()x y y x -+-325()10()x y x y =-+-25()[()2]x y x y =--+25()(2)x y x y =--+．4．因式分解：3()3()a x y b y x ---．【解答】解：3()3()a x y b y x ---3()3()a x y b x y =-+-3()()x y a b =-+．【必会考点2】公式法1．因式分解：（1）22169x y - （2）22222()4x y x y +-．【解答】解：（1）原式22(4)(3)(43)(43)x y x y x y =-=+-；（2）原式222222(2)(2)()()x y xy x y xy x y x y =+++-=+-．2．分解因式：22(23)m m -+．【解答】解：原式(23)(23)m m m m =++--(33)(3)m m =+--3(1)(3)m m =-++．3．因式分解：2()6()9x y y x -+-+【解答】解：2()6()9x y y x -+-+2()6()9x y x y =---+2(3)x y =--．【必会考点3】提取公因式与公式法综合1．因式分解：（1）2x xy -；（2）329189x x x -+；【解答】解：（1）22(1)(1)(1)x xy x y x y y -=-=+-；（2）322291899(21)9(1)x x x x x x x x -+=-+=-；2．因式分解：（1）244am am a -+；（2）22()()a x y b y x -+-．【解答】解：（1）22242(44)(2)am am a a m m a m -+=-+=-；（2）2222()()()()()()()a x y b y x x y a b x y a b a b -+-=--=-+-．【必会考点3】分组分解法1．因式分解：2m my mx yx -+- 【解答】解：（3）2m my mx yx -+-2()()m my mx yx =-+-()()m m y x m y =-+-()()m y m x =-+.2．因式分解：2221b bc c -+-【解答】解：2221b bc c -+-2()1b c =--(1)(1)b c b c =-+--．【必会考点4】十字相乘法1．因式分解：（1）256x x +- （2）2234a ab b -- 【解答】解：（1）256(1)(6)x x x x +-=-+（2）2234a ab b --(4)()a b a b =-+．2．分解因式：2231x x -+【解答】解：2231(1)(21)x x x x -+=--.巩固练习1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---；（2）2282()x x y --．2．分解因式：（1）()()x x a y a x -+- （2）321025x y x y xy -+3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +-4．分解因式：222(4)16m m +-．5．分解因式（1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--．6．因式分解：22436x xy x y -+-7．因式分解：22144a ab b -+-8．分解因式（1）2249x y - （2）2221x y y -+-9．分解因式：22221x y x y -+-．10．分解因式①226x x -- ②332x x -+11．分解因式：2228x xy y --．12．十字相乘法因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x --（3）2231x x -+ （4）2656x x +-．13．因式分解：（1）23a b b -；（2）1n m mn -+-；（3）2221x x y -+-；（4）2()()()x y x y x y -++-14．把下列各式分解因式：（1）225x -；（2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+；（4）3222a a b ab -+-．15．因式分解：（1）236x xy x -+；（2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．巩固练习解析1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---；（2）2282()x x y --．【解答】解：（1）2()3()m a b n b a --- 2()3()m a b n a b =-+- ()(23)a b m n =-+；（2）2282()x x y --222[4()]x x y =-- 2(3)()x y x y =-+．2．（1）分解因式()()x x a y a x -+- （2）分解因式321025x y x y xy -+ 【解答】（1）解：()()x x a y a x -+- (x =x a -)(y -x a -) (=x a -)(x y -)；（2）解：321025x y x y xy -+ (xy =21025)x x -+ (xy =25)x -．3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +- 【解答】解：原式322(57)a bc a b c ab =+-； 4．分解因式：222(4)16m m +-．【解答】解：222(4)16m m +-22(44)(44)m m m m =+++- 22(2)(2)m m =+-．5．分解因式（1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--．【解答】解：（1）222(1)4a a +-22(12)(12)a a a a =+++- 2(1)a =+2(1)a -；（2）229()25()a b a b +--[3()5()][3()5()]a b a b a b a b +=+--+- .4(4)(4)a b b a =--．6．因式分解：22436x xy x y -+- 【解答】解：原式2(2)3(2)x x y x y =-+- (2)(23)x y x =-+．7．22144a ab b -+-【解答】解：22144a ab b -+-221(44)a ab b =--+ 21(2)a b =--(12)(12)a b a b =+--+．8．分解因式（1）2249x y - （2）2221x y y -+-【解答】解：（1）原式(23)(23)x y x y =-+；（2）原式22(21)x y y =--+22(1)x y =--(1)(1)x y x y =+--+．9．分解因式：22221x y x y -+-．【解答】解：原式222222(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x y y y x y y x =-+-=-+=+-+． 10．分解因式 ①226x x -- ②332x x -+【解答】解：①226(23)(2)x x x x --=+-； ②332x x -+ 342x x x =-++ (2)(2)(2)x x x x =+-++2(2)(21)x x x =+-+ 2(2)(1)x x =+-．11．分解因式：2228x xy y --．【解答】解：2228x xy y -- (4)(2)x y x y =-+．12．十字相乘法因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x -- （3）2231x x -+ （4）2656x x +-．【解答】解：（1）原式(2)(3)x x =++；（2）原式(6)(1)x x =-+；（3）原式(21)(1)x x =--；（4）原式(23)(32)x x =+-． 13．因式分解：（1）23a b b -；（2）1n m mn -+-；（3）2221x x y -+-；（4）2()()()x y x y x y -++-【解答】解：（1）原式22()()()b a b b a b a b =-=-+；（2）原式(1)()(1)(1)(1)(1)n m mn n m n m n =-+-=-+-=+-；（3）原式2222(21)(1)(1)(1)x x y x y x y x y =-+-=--=---+；（4）原式()()2()x y x y x y x x y =--++=-．14．把下列各式分解因式：（1）225x -；（2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+；（4）3222a a b ab -+-．【解答】解：（1）原式(5)(5)x x =+-；（2）原式2(4)a =-；（3）原式2()(9)x y x =+-()(3)(3)x y x x =++-；（4）原式22(2)a a ab b =--+2()a a b =--．15．因式分解：（1）236x xy x -+；（2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．【解答】解：（1）236(361)x xy x x x y -+=-+；（2）322416284(47)m m m m m m -+-=--+；（3）23218()12()6()(322)a b b a a b a b ---=-+-．。

八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第三课时：分组分解法及分解因式的方法》课件

解：(1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)． (2)原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1) ＝(x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
知1－讲
例2 分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符合完全平方式，再与“1”又组成平方差公式.
ìïïíïïî
4x－4 y＝96， x2－y2＝960，
但直接解方程组很烦琐，可利用平方差公式分解
因式：x2－y2＝(x＋y)(x－y)，再利用整体思想求
出x＋y的值，从而转化为二元一次方程组求解．
知2－讲
解：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，
由题意得
ìïïíïïî
4x－4 y＝96，① x 2－y2＝960，②
知1－练
3 将多项式a2－9b2＋2a－6b分解因式为( D ) A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b) B．(a－9b)(a＋9b) C．(a－9b)(a＋9b＋2) D．(a－3b)(a＋3b＋2)
知1－练
4 分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A ) A．(x－y)(x－y＋1) B．(x－y)(x－y－1) C．(x＋y)(x－y＋1) D．(x＋y)(x－y－1)
知1－练
5 分解因式： (1) ac＋ad＋bc＋bd＝__(_a_＋__b_)_(c_＋__d_)__； (2) x2－xy＋xz－yz＝___(_x_－__y_)(_x_＋__z_)_．
6 分解因式： a2－4ab＋4b2－1＝_(_a_－__2_b_＋__1_)_(a_－__2_b_－___1_) ．
2.分解技巧：分组分解是因式分解的一种复杂的方法，让我们来须有预见性. 能预见到下一步能继续分解. 而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键 .

分组分解法

因式分解
• 练习6: m3 + 4m4 - 5 - 20m
解原式 = (m3 - 5) + 4m(m3 - 5)
= (m3 - 5)(1 + 4m)
解原式= m3(1 + 4m) - 5(1 + 4m) = (1+4m)(m - 5)
3
因式分解
• 练习7: 3x3 + 6x2y - 3x2z - 6xyz
(a + b ) - a - b
解原式 = (a + b ) - (a + b) =(a + b)( a + b - 1)
2 2
因式分解分组
2
找规律
ma - mb + m + mn + na - nb
解原式=(ma + na) - (mb + nb) + (m2 + mn)
= a(m + n) - b(m + n) + m(m + n)
解原式 = (mx - n) + x(mx - n)
= (mx - n)(x + 1)
因式分解
• 练习4: ab + a + b + 1
解原式 = a(b + 1) + (b + 1) = (b + 1)(a + 1)
因式分解
• 练习4: ab + a + b + 1
解原式 = a(b + 1) + (b + 1)
= (m + n)(a - b + m)
一、分组后能直接提取公因式

分组分解法

三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。

因式分解-分组分解法

总结与归纳
(1) a2+2ab+b2-c2 (2) x2-y2+ax+ay
(2)利用分组分解法进行因式分解时，应该怎样进行分解？
若多项式有四项，且不能直接提公因式时，可考虑用分组分解法，常用分组方法有一、三分组，二、二分组; 一、三分组的前提是可以运用完全平方公式，然后再和剩下的一项用平方差公式来分解；二、二分组的前提是可以运用提公因式法或平方差公式，然后再用提公因式法来分解.
②提取公因式后，如果是三项的则考虑用完全平方公式来分解因式如；果是二项的则考虑用平方差公式来分解因式.
③最后检查式子是不是分解彻底了.
探究新知例把下列各式因式分解：
(1) a2+2ab+b2-c2 解:原式=( a2+2ab+b2 ) -c2
=(a+b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c)
同步练习把下列各式因式分解：
(1) 4a2-b2+4a-2b
解:原式=(4a2-b2 ) +( 4a-2b) =[(2a)2-b2]+(4a-2b) =(2a+b)(2a-b)+2(2a-b) =(2a-b)(2a+b+2)
同步练习把下列各式因式分解：
(2) x2-2xy+y2 Nhomakorabea1解:原式=( x2-2xy+y2 ) -1
拓展提升
已知a2+b2-6a+2b+10=0,求a,b的值.
解：因为 a2+b2-6a+2b+10=0 所以 a2-6a+9+b2+2b+1=0 所以 (a-3)2+(b+1)2=0 所以 a-3=0,b+1=0 解得 a=3,b=-1

因式分解(分组分解法)

因式分解分组分解法
（一）分组后能直接提公因式
复习提问
1.什么叫做因式分解？把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2.回想我们已经学过那些分解因式的方法？提供因式法，公式法——平方差公式，完全平方公式
引例
(a+b)(m+n)
例２把2ax-10ay+5by-bx分解因式分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
都是x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
•
五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪
•
六、将相本无主，男儿当自强。——汪洙
•
七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏
•
八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。——佚名
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
想一想
例１，例２种还有没有其他分组的方法；如果有，因式分解的结果是不是一样。
例1解(2)：a2-ab+ac-bc 例2解(2)： 2ax-10ay+5by-bx
=(a2+ac)-(ab+bc)
整 am+an+bm+bn 因

9.16分组分解法

（x 2y 1）(x 2y 1)
活动6 练一练
（3）（y 2）x2 ( y 2)x 12 y 24
（y 2）x2 ( y 2)x 12( y 2) （y 2）(x2 x 12) ( y 2)(x 4)(x 3)
（4）a2 b2 c2 2a 2bc 1 a2 2a 1 (b2 2bc c2 )
=(a2–b2)+(a+b) =(a+b)(a–b)+(a+b) =(a+b)(a–b+1)
2ac–8ad+bc–4bd
=(2ac+bc) + (–8ad–4bd)
=c(2a+b)–4d(2a+b)
=(2a+b)(c–4d)
1. 按字母特征,或按系数特征, 或按字母指数特征分组； 2. 产生新公因式； 3.继续用提取公因式法； 4.分解到不能分解为止．
探究新知
例题1 分解因式： (1) x2–4x–y2+4；分析: “一三”分组
多项式有何特征? 如何分组？
(x2–4x+4)–y2
(x–2)2–y2 “一三”分组的要点:
解：(1) x2–4x–y2+4 =(x2–4x+4)–y2 =(x–2)2–y2 =(x–2+y)(x–2–y)
1.含三项的这组是完全平方式； 2.先用完全平方公式，再用平方差公式．
= (x+y)2–3(x+y)
= (x+y)(x+y–3)
活动4 拓展提高
练习分解因式： m2–5m+n2+5n–2mn
多项式有什么特征？
m2–2mn+n2–5m+5n

分解因式之分组分解法

第9讲、分组分解(A)姓名：____________一、知识梳理：我们已经学过了那些分解因式的方法？你能用我们已经学过的方法分解下面多项式的因式吗？am bn an bm +++，此多项式有四项，不能直接用我们已经学过的方法进行分解，但我们观察到一、四两项和二、四两项都有公因式可以提，因此采取分组的方法进行分解。

解：am bn an bm +++()()()()()()am bm bn an m a b n b a m n a b =+++=+++=++此多项式还有其他的分解方法吗？自己试试看)像上面先把多项式分组然后再分解因式的方法叫做分组分解法。

1、分组方法的探究运用分组分解法分解因式时，要四项以上才能分组，且分组后要能提取公因式、运用公式、十字相乘法分解因式，若分组后既不能提取公因式，也不能运用公式法、十字相乘法分解因式，分组也是徒劳的。

分组分解法难就难在分组，只要把分组的方法掌握了，分组分解就迎刃而解了。

下面我们就以项数分组探究分组分解法分解因式的分组规律。

二、典例精讲：（1）四项分组四项分组的方法有两种① 三项和一项△ △ △ △完全平方平方② 两项和两项△ △ △ △能提公因式或用两项的公式五项分组法① 三项和二项△ △ △ △ △二次三项式公因式或两项公因式② 两项和两项和一项△ △ △ △ △平方差一次项常数例4、 2256a b a b -+--22212a ab b c ++-例、222a b a b ---例、2232a ab b ac bc ++++例、（3）六项分组（三种分法） ① 三项和三项 △ △ △ △ △ △二次三项式二次三项式② 三项、两项和一项例6、22276x xy y x y +--+-△ △ △ △ △ △二次三项式一次项常数项以上方法即“双”十字相乘法③ 两项两项两项△ △ △ △ △ △两项中有公因式或能有两项的公式即学即练：（1）分解因式① 2222x x y y z ++-② 222944x y z y z --+③ 22m m n n --+④2436a b ma mb +--(2)分解因式① 222x y xy ax ay +-+-② 223224x xy x y y ++++2222522a b ax by x y-+-+-例、227ax ay x y x y -+-+-例、③ 22920m n m n ---- ④ 2222122a b ab ax x a +-+--⑤ 22a b ax bx a b -++++ ⑥ 222221x xy y x y -+-++例8、分解因式：（1） xy y x 4)1)(1(22+-- （2） 22224x y xy z z ++-变式：分解因式： 432655x x x x ++++四、能力与创新（1）分解下列各式的因式① ()22414x xy y -++ ②2222424a b c ax bc x --+++【家庭作业】第一部分：1、若()22212a b a b ++=+，则ab = ， 2、若22a ab m ++是一个完全平方式，则m = 。

分组分解因式的八种技巧

• 分析：多项式中的一、三两项，二、四两项的系数之比都为1/2，把他们分别结合，易于分解。
• 解：原式= (a3 +2a)+(a 2 +2) =a(a 2 +2)+(a 2 +2) =(a 2 +2)(a+1)
二看次数，利分解
• 例题2 分解因式：x2 +2xy+y2 -3x-3y-4
• 分析：把次数相同的项分别结合利于分解
七先展开，再分组
• 例题 7 分解因式：(ax+by)2 +(bx-ay)2
• 分析：多项式只有“两项”，且中间为“+”,若把括号展开后再分组，问题迎刃而解。
• 解： (ax+by)2 +(bx-ay)2 =a2 x2 +2abxy+b2 y2 +b2 x2 -2abxy+a2 y2 =(a2x2 +b2x2 )+(a2y2 +b2y2 ) =(a2 +b2 )x2 +(a2 +b2 ) y2 =(a2 +b2 )(x2 +y2 )
四选“主元”，巧分组
• 例题4 分解因式： 2x2 -5xy+2y2 +7x-5y+3 • 分析：以“x”为主元重新分组。 • 解：2x2 -5xy+2y2 +7x-5y+3
=2x2 +(7-5y)x+(2y2 -5y+3) =2x2 +(7-5y)x+(y-1)(2y-3)
=(2x-y+1)(x-2y+3)
分组分解因式的八种技巧分组分解法是因式分解的重要方法之一唯有正确分组才能顺利获解下面分别举例介绍分组分解的八种技巧分析

分组分解法的九种技巧

2 2 4 + 4）=（ + 1）（ 2 2） 2
1）］［（2 + 1）（
3）］
2 + 3） . 3.
+2 +4
分析：将多项式分别配成关于、的完全平方式，再用平方差公
2）（ +1 + 3） .
+ 2）
语数外学习（初中版）
八年级数学篇
七、先换元，后分组例 7 分解因式：（1
2 = （ + ） 3 （ + ）4
= （ + + 1）（ + 四、先展开，再分组例 4 分解因式：（ +
2 ） +(
分析：多项式只有 “两项” ，且中间以 “＋” 号连接，若把括号展开后再分组，问题就迎刃而解了. 解：原式=
2 2
29
+ +
2 2 2 2 2
+2 +
2 2 2 2
语数外学习（初中版）
八年级数学篇
平方公式，再运用平方差公式即可完成分解. 解：原式= （ = （ = （
2
4
2
+ 4 2） 9 2 +
2
2 ） 32 2 + 3）（ 3）. 3 3 4.
三、看次数，利分组例 3 分解因式：2 + 2 解：原式= （ 2+ 2 分析：把次数相同的项分别结合起来，有利于分解. + 2）（3 + 3 ） 4 4） . ) 2.
2 ） +（ +
2）（ +
2 ） . ，
方法技巧
分析：若直接展开，项数太多，不利于分解，不妨设 + = ， = 再进行分组，就能化难为易. 则解：设 + = ， = ，原式= （1 = （

16分组分解法

＝(1＋x)(mx－n)
练习
分解因式：
(1)ac+bc+2a+2b (2)3a-ax-3b+bx (3)2ax-10ay+5by-bx (4)5ax+6by+5ay+6bx
分解因式a3－a2b－ab2＋b3．【解法一】a3－a2b－ab2＋b3 ＝(a3－a2b)－(ab2－b3) ＝a2(a－b)－b2(a－b) ＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b) 【解法二】a3－a2b－ab2＋b3 ＝(a3－ab2)－(a2b－b3) ＝a(a2－b2)－b(a2－b2) ＝(a2－b2)(a－b) ＝(a－b)2(a＋b)
【解法二】6ax 3ay 2bx by ＝ (6ax 2bx) (3ay by) ＝ 2 x(3a b) y(3a b) ＝ (3a 2b)(2 x y)
四．新课
【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－ ”号的括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直接达到分解的目的．
9.x2-y2+ax+ay
(x+y)(x-y+a)
练
习
把下列各式分解因式：
2 2 2 2 2 2 10.(z -x -y ) -4x y
练
把下列各式分解因式： 13 ． 14 ．
习
m 4 3m 2 10
(m 2 5)(m 2 2)

初中数学因式分解-分组分解法

3 分组分解整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解.3．1 三步曲我们用上面的整式来说明如何分组分解.例1 分解因式：ax by bx ay --+.解 ax by bx ay --+=()()ax bx ay by -+- ［分为两组］=()()x a b y a b -+- ［“提”］=()()x y a b +- ［再“提”］一般地，分组分解大致分为三步：1．将原式的项适当分组；2．对每一组进行适当分组；3．将经过处理后的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解.一位高明的棋手，在下棋时，决不会只看一步，同样，在进行分组时，不仅要看到第二步，而且要看到三步.一个整式的项有许多种分组的方法，初学者往往需要经过尝试才能找到适当的分组方法，但是只要努力实践，多加练习，就会成为有经验，多加练习，就会成为有经验的“行家”.3．2 殊途同归分组的方法并不是唯一的，对于上面的整式ax by bx ay --+，也可以采用下面的做法： ax by bx ay --+=()()ax ay ax by +-+=()()a x y b x y +-+=()()x y a b +-.两种做法的效果是一样的，殊途同归！可以说，一种是按照x 与y 来分组（含x 的项在一组，含y 的项在另一组）；另一种是按a 与b 来分组.例2 分解因式：221x ax x ax a +++--.解法一按字母x 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()()221x ax x ax a +++-+=()()()2111x a x a a +++-+=()()211a x x ++-解法二按字母a 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()221ax ax a x x +-++-=()()2211a x x x x +-++-=()()211a x x ++-.3．3 平均分配在例2中，原式的6项是平均分配的，或都要分成三组，每组两项；或者分成两组，每组三项.如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配. 例3 分解因式：3254222x x x x x --++-.解 6项可以分成三组，每组两项.我们把幂次相近的项放在一起，即3254222x x x x x --++-=()()()5432222x x x x x -+---=()()()42222x x x x x x -+---=()()4221x x x -+-.本例也可以将6项分为两组，每组三项，即将系数为1的放在一组，系数为－2的放在另一组，详细过程请读者自己完成.例4 分解因式：2222ac bd ad bc +--.解 2222ac bd ad bc +--整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解.3.4瞄准公式如果在第二步或第三步中需要应用乘法公式，那么各组中的项数不一定相等，应当根据公式的特点来确定。

分组分解法进行

分组分解法进行分组分解法是一种常用的解决问题的方法，它可以将复杂的问题分解成若干个较小的子问题，然后分别解决这些子问题，最后将它们的解合并起来得到原问题的解。

在这篇文章中，我将介绍分组分解法的基本原理和应用场景，并通过具体的例子来说明该方法的有效性。

一、分组分解法的基本原理分组分解法的基本原理是将一个复杂的问题分解成若干个较小的子问题，然后分别解决这些子问题，最后将它们的解合并起来得到原问题的解。

这种方法的关键在于如何合理地划分子问题的范围，以及如何将子问题的解合并起来。

通常情况下，我们可以通过观察问题本身的特点，选择合适的分组方式来进行分解。

二、分组分解法的应用场景分组分解法在许多领域都有广泛的应用。

下面我将介绍几个常见的应用场景。

1. 任务调度问题在一个任务调度系统中，有多个任务需要执行，每个任务都有一定的执行时间和优先级。

我们的目标是合理安排任务的执行顺序，使得任务能够在最短的时间内完成，并且满足优先级的要求。

这个问题可以通过分组分解法来解决，我们可以将任务按照优先级分组，然后分别解决每个分组中的任务调度问题，最后将它们的解合并起来得到整体的解。

2. 图像识别问题在图像识别领域，我们常常需要对一张图片进行多个目标的检测和识别。

这个问题可以通过分组分解法来解决，我们可以将不同目标的检测和识别任务分组，然后分别解决每个分组中的任务，最后将它们的结果合并起来得到整体的识别结果。

3. 数据分析问题在数据分析领域，我们通常需要对大量的数据进行处理和分析。

这个问题可以通过分组分解法来解决，我们可以将数据按照一定的规则进行分组，然后分别对每个分组中的数据进行处理和分析，最后将它们的结果合并起来得到整体的分析结果。

三、分组分解法的例子为了更好地理解分组分解法的应用，下面我将通过一个具体的例子来说明该方法的有效性。

假设我们有一组数字，我们的目标是找出其中的两个数字，使得它们的和等于给定的目标值。

我们可以通过分组分解法来解决这个问题。

用分组分解法进行因式分解(含答案)

用分组分解法进行因式分解(含答案)知识精读】分组分解法是一种因式分解的方法，其原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。

分组分解法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性，能预见到下一步能继续分解。

因此，细致的观察和分析多项式的特点是非常重要的。

分组分解法不仅可以用于因式分解，还可以在代数式的化简、求值以及一元二次方程和函数的研究中发挥重要作用。

分类解析】1.在数学计算、化简、证明题中的应用例 1.将多项式2a(a2+a+1)+a4+a2+1分解因式。

先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。

解：原式=2a((a2+a+1)+a4+a2+1)=a4+2a3+3a2+2a+1=(a4+2a3+a2)+(2a2+2a)+1=(a+a)2+2(a+a)+1=(a2+a+1)2，因此选择C。

例2.分解因式x5-x4+x3-x2+x-1.此题可将x5-x4+x3和-x2+x-1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；或者将x5-x4、x3-x2和x-1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解法1：原式=(x5-x4+x3)-(x2-x+1)=(x3-1)(x2-x+1)=(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)解法2：原式=x4(x-1)+x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x4+x2+1)=(x-1)[(x4+2x2+1)-x2]=(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)2.在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足a>b，a2+c2<b2+2ac。

证明：以a、b、c为三边能构成三角形。

构成三角形的条件是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。

证明：a2+c2-b2-2aca-c-b，因此a-c-b<0，即a<b+c，因此以a、b、c为三边能构成三角形。

1.分解因式：$a^2-3a-b^2+3b=$解：原式$=(a^2-3a)+(3b-b^2)=(a-3)(a+b-3)$。

初二数学因式分解分组分解法

初二数学因式分解分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。

这种分解因式的方法叫做分组分解法。

二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。

分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。

通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。

我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。

通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。

三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y（2）a2-b2+4a-4b（3）4x2-9y2-24yz-16z2（4）x3-x2-x+1分析（1）：解①，首先注意到前两项的公因式（2x）和后两项的公因式（-3），分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。

解②，此题也可以考虑含有y的项分在一组。

如下面解2的解法。

解①： 2x2+2xy-3x-3y=(2x2+2xy)-(3x+3y)=2x(x+y)-3(x+y)=(x+y)(2x-3)解②： 2x2+2xy-3x-3y=(2x2-3x)+(2xy-3y)=x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(x+y)说明：解①和解②虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1:1和2:（-3）。

分组分解法解一元二次方程

再谈分组分解法☆365.本题采用分组分解法分解因式.如果把一个多项式的项分组并提出公因式之后,各组之间又有公因式,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.如,对多项式n m nx mx 22+++进行因式分解,我们把前、后两项各分为一组,成为()()n m nx mx 22+++,然后各组提出公因式,进行局部分解,成为()()n m n m x +++2,发现各组出现了公因式()n m +,所以该多项式就可以用分组分解法来进行因式分解.分组分解法分解因式的一般步骤是:（1）观察式子各项的特征,进行分组.用小括号表示一组;（2）对所分的组分别进行因式分解.这一步是局部分解;（3）各组分解后,把各组的公因式提出来,进行整体分解.当然,分组分解法的关键在于分组,而分组又有尝试性.分组有时不是唯一的,只要分组后各组能出现公因式即可.如,上面所举的例子中,把多项式分组为()()n nx m mx 22+++,提出各组的公因式()()22+++x n x m ,发现各组的公因式为()2+x .该多项式的分解结果为()()n m x ++2.例题分解因式:422224c c b b a a --+.解:422224c c b b a a --+()()222244c b b a c a -+-=（这一步是分组,每个小括号表示一组） ()()()2222222c a b c a c a -+-+=()()()()()c a c a b c a c a c a -++-++=222（对各组进行因式分解）()()()222c b a c a c a ++-+=.尝试分解因式:105223+++m m m .回到本题:解:yz xz xy x -+-2()()()()()()z x y x y x z y x x yz xz xy x +-=-+-=-+-=2或yz xz xy x -+-2()()()()()()y x z x z x y z x x yz xy xz x -+=+-+=+-+=2例题:9102+-x x解:原式=992+--x x x()()()()()()91191992--=---=---=x x x x x x x x 拆一次项。

分组分解法例题

分组分解法例题摘要：一、分组分解法简介1.分组分解法的定义2.分组分解法的作用3.分组分解法的应用范围二、分组分解法例题解析1.例题一a.题目描述b.解题思路c.解题步骤d.答案2.例题二a.题目描述b.解题思路c.解题步骤d.答案3.例题三a.题目描述b.解题思路c.解题步骤d.答案正文：一、分组分解法简介分组分解法是一种数学解题方法，它主要用于解决复杂数字问题。

通过对问题进行合理的分组和分解，可以将复杂问题简化为更易处理的简单问题，从而提高解题效率。

分组分解法适用于各种年龄段的数学学习者，对于培养学生的数学思维能力具有重要意义。

二、分组分解法例题解析1.例题一题目描述：一个水果摊上的苹果和香蕉共计100千克，苹果的重量是香蕉的2倍。

若将苹果和香蕉分别装入两个袋子，且每个袋子的重量相同，求每个袋子的重量。

解题思路：首先，根据题目描述，我们可以将问题分解为两个部分：苹果的重量和香蕉的重量。

然后，通过设方程的方式求解每个袋子的重量。

解题步骤：(1) 设香蕉的重量为x千克，则苹果的重量为2x千克。

(2) 根据题目描述，x + 2x = 100，解得x = 25。

(3) 香蕉的重量为25千克，苹果的重量为50千克。

(4) 每个袋子的重量为(25 + 50) / 2 = 37.5千克。

答案：每个袋子的重量为37.5千克。

2.例题二题目描述：某企业的员工总数为120人，其中生产部门的员工人数是销售部门的2倍。

若将员工分为两部分，且两部分员工的人数相同，求生产部门和销售部门各有多少人。

解题思路：首先，根据题目描述，我们可以将问题分解为两个部分：生产部门的员工人数和销售部门的员工人数。

然后，通过设方程的方式求解每个部门的员工人数。

解题步骤：(1) 设销售部门的员工人数为x人，则生产部门的员工人数为2x人。

(2) 根据题目描述，x + 2x = 120，解得x = 40。

(3) 生产部门的员工人数为2x = 80人，销售部门的员工人数为x = 40人。

初中数学分组分解因式的几种常用方法

初中数学分组分解因式的几种常用方法1．按公因式分解例1 分解因式7x2-3y+xy+21x．分析：第1、4项含公因式7x，第2、3项含公因式y，分组后又有公因式(x-3)，解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y)．2．按系数分解例2 分解因式x3+3x2+3x+9．分析：第1、2项和3、4项的系数之比1：3，把它们按系数分组．解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．3．按次数分组例3 分解因式m2+2m•n-3m-3n+n2．分析：第1、2、5项是二次项，第3、4项是一次项，按次数分组后能用公式和提取公因式．解：原式=(m2+2m•n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)＝(m+n)(m+ n-3)．4．按乘法公式分组分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式，分组后又与第二项用平方差公式．5．展开后再分组例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)．分析：将括号展开后再重新分组．解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(b c+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)．6．拆项后再分组例6 分解因式x2-y2+4x+2y+3．分析：把常数拆开后再分组用乘法公式．解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x +y+1)(x-y+3)．7．添项后再分组例7 分解因式x4+4．分析：上式项数较少，较难分解，可添项后再分组．解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)二、用换元法进行因式分解用添加辅助元素的换元思想进行因式分解确实是原式纷杂直截了当分解有困难，通过换元化为简单，从而分步完成．例8 分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16．分析：将令y=x2+3x，则原式转化为(y-2)(y+4)-16再分解就简单了．解：令y=x2+3x，则原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)．因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6)．三、用求根法进行因式分解例9 分解因式x2+7x+2．分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不行完成，但仍能够分解，可用先求该多项式对应方程的根再分解．四、用待定系数法分解因式．例10 分解因式x2+6x-16．分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x+b1)(x +b2)，将其展开得x2+(b1+b2)x十b1•b2与x2+6x-16相比较得b1+b2=6，b1•b2=-16，可得b1，b2即可分解．解：设x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)则x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1•b2家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。