因式分解(分组分解法)
分组分解法因式分解
1、计算
（1）(x +1) ( x + 2 ) = x2 + ( 1 + 2 )x + 1×2
（2）(x -1) ( x + 2 )= x2 +[(-1) + 2]x + (-1)×2
（3）(x + a) ( x + b )= x2 + ( a + b )x + a b
②交叉相乘，和相加； 竖分常数交叉验，
③检验确定，横写因式． 横写因式不能乱． 符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符 号相同．
例2 分解因式 3x2－10x＋3
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )
解1：原式= （mx+my）-（nx+ny） =m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
①③，②④两组，得（mx-nx）+(my-ny) 解2：原式= （mx-nx）+(my-ny)
=x(m-n)+y(m-n) = (m-n) (x+y)
注 意
（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组 之间还有公因式可以提．
=(x+1)(x+2)
分析:(2)二次项系数为1，常数项6=1×6 =(-1)×(-6) =2×3
=(-2) ×(-3),
一次项系数-7 =(-1)+(-6) ≠2+3 ≠(-2) +(-3)
分组分解法因式分解课件
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公 因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分 解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项 式分组，然后对每组进行 因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数 和各项系数的特征，通常 是将系数相近或具有某种 关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式 分解，最后将各组的因式 结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后 分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式 分解，尤其在处理复杂的多项式 时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多 项式，如二次、三次、四次多项式等 。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教 育中的重要内容，用于提高学生的数 学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分 组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多 项式，如三项一组、二项一组 等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数 特点，然后选择合适的分组方 式，提取公因式进行因式分解 。
苏科版七年级下册因式分解(分组分解法)100题及答案
苏科版七年级下册因式分解(分组分解法)100题及答案(1)616616ab a b--+(2)22163128a c ab bc ca++--(3)2249127011x y x y--++(4)9271545ab a b-+-(5)1445616ab a b+--(6)2272532431a c ab bc ca-++-(7)22407543a c ab bc ca+-+-(8)224535304288a c ab bc ca+-+-(9)22369841840x y x y---+ (10)228169x y x-+-(11)222521010x z xy yz zx++--(12)222418401557x z xy yz zx+-+-(13)16241218mn m n+--(14)229361845x y x y--+-(15)223621129a c ab bc ca----(16)863224xy x y-+-+(17)12421863xy x y+--(18)9090100100ab a b-+-(19)881414xy x y+--(20)222549036x y x y-+-(21)22285132535a b ab bc ca--+-(22)2225364816x y y---(23)20410020ab a b+--(24)22724238x y xy yz zx--++ (25)2232628924a b ab bc ca++--(26)35142510mn m n--+ (27)22495616a b b-+-(28)7105680ax ay bx by+--(29)32365663ab a b+++ (30)15102718mn m n+--(31)36541827xy x y+--(32)90205412xy x y+--(33)248155xy x y-+-+ (34)824824xy x y----(35)2245181063x z xy yz zx--++ (36)3333mx my nx ny-+-(37)328123mn m n--+(38)4242ax ay bx by+++(39)224530291527a b ab bc ca----(40)222516602427x y x y--++ (41)961812ab a b+--(42)212478mx my nx ny+--(43)2228154341a c ab bc ca++--(44)152068mn m n+++(45)2228249718x z xy yz zx+--+ (46)61437ax ay bx by--+(47)50304024ab a b+++(48)9819mn m n+--(49)22249562115x z xy yz zx-+-+ (50)221515201234a c ab bc ca+-+-(51)221625565024m n m n-+-+ (52)637819xy x y-++-(54)443232ab a b+++(55)22736423648a c ab bc ca++--(56)12122121mx my nx ny+++ (57)2291042047x z xy yz zx++++ (58)8040168ax ay bx by-+-(59)2224317618a b ab bc ca++++ (60)42633654mn m n--+(61)54603640ax ay bx by+++(62)49181480x y x y--++ (63)54308145xy x y+--(64)22821101526x z xy yz zx++--(65)64481612xy x y+--(66)22309331220x y xy yz zx++--(67)225621771848x y xy yz zx++--(68)2272188375x z xy yz zx++++ (69)22251845a b ab++(70)2249819025x y y---(72)105147mx my nx ny+++ (73)223629663m n m n----(74)224823a b a b-+++(75)22361436871x z xy yz zx+-+-(76)226324419x z xy yz zx+-+-(77)105105mn m n-+-(78)12896xy x y-+-+(79)22314184213x z xy yz zx+-+-(80)214151020a c ab bc ca++++ (81)482484ab a b--+(82)162486xy x y-+-+(83)22449287024m n m n--++ (84)22164147a c ab bc-+-(85)22812202114a b ab bc ca++++ (86)222820191628a b ab bc ca-+-+ (87)1008010080xy x y--+(88)7281040xy x y-+-+(89)222148828x y xy yz zx-+-+ (90)81723632xy x y+++(91)20601236mn m n+--(92)481632ax ay bx by+--(93)22649352812x y xy yz zx++++ (94)161243mx my nx ny--+(95)227214384963x y xy yz zx--+-(96)22366025a b a-+-(97)48565463xy x y--+(98)1044518ab a b--+(99)210840mx my nx ny--+(100)728312xy x y-++-苏科版七年级下册因式分解(分组分解法)100题答案(1)2(1)(38)a b--(2)(34)(4)a b c a c+--(3)(711)(71)x y x y+---(4)3(35)(3)a b+-(5)2(4)(72)a b-+(6)(945)(8)a b c a c+-+(7)(5)(87)a c ab c---(8)(965)(57)a b c a c---(9)(634)(6310)x y x y+---(10)(93)(93)x y x y++-+ (11)(5)(25)x z x y z-+-(12)(83)(356)x z x y z---(13)2(43)(23)m n-+ (14)(315)(33)x y x y+--+(15)(937)(43)a b c a c--+ (16)2(4)(43)x y-+-(17)3(23)(27)x y-+(18)10(910)(1)a b+-(19)2(47)(1)x y-+(20)(5218)(52)x y x y++-(21)(75)(45)a b a b c-+-(22)(564)(564)x y x y++--(23)4(5)(51)a b-+(24)(8)(94)x y x y z+-+(25)(83)(423)a b a b c++-(26)(75)(52)m n--(27)(74)(74)a b a b+--+(28)(8)(710)a b x y-+(29)(47)(89)a b++(30)(59)(32)m n-+(31)9(21)(23)x y-+ (32)2(53)(92)x y-+ (33)(85)(31)x y-+-(34)8(1)(3)x y-++(35)(926)(53)x y z x z-+-(36)3()()m n x y+-(37)(83)(41)m n--(38)2()(2)a b x y++(39)(95)(563)a b a b c+--(40)(549)(543)x y x y+---(41)3(2)(32)a b-+(42)(3)(78)m n x y-+(43)(43)(75)a c ab c-+-(44)(52)(34)m n++(45)(472)(7)x y z x z-++(46)(2)(37)a b x y--(47)2(54)(53)a b++(48)(9)(91)m n-+(49)(373)(83)x y z x z++-(50)(345)(53)a b c a c---(51)(4512)(452)m n m n++-+ (52)(79)(91)x y---(53)(87)(71)x y+-(54)4(8)(1)a b++(55)(76)(66)a c ab c-+-(56)3(47)()m n x y++(57)(942)(5)x y z x z+++(58)8(5)(2)a b x y+-(59)(3)(836)a b a b c+++ (60)3(76)(23)m n--(61)2(32)(910)a b x y++(62)(710)(78)x y x y+---(63)3(23)(95)x y-+ (64)(23)(457)x z x y z-+-(65)4(41)(43)x y-+ (66)(53)(634)x y x y z++-(67)(776)(83)x y z x y+-+ (68)(83)(96)x z x y z+++(69)(53)(56)a b a b++ (70)(795)(795)x y x y++--(71)(31)(910)x y---(72)(57)(2)m n x y++ (73)(67)(69)m n m n++--(74)(21)(23)a b a b++-+ (75)(92)(447)x z x y z---(76)(6)(43)x z x y z---(77)5(1)(21)m n+-(78)(43)(32)x y-+-(79)(62)(37)x y z x z---(80)(32)(752)a c ab c+++(81)4(61)(21)a b--(82)2(3)(81)x y-+-(83)(2712)(272)m n m n+---(84)(2)(874)a c ab c-++(85)(447)(23)a b c a b+++(86)(454)(74)a b c a b++-(87)20(1)(54)x y--(88)(710)(4)x y-+-(89)(324)(72)x y z x y++-(90)(94)(98)x y++(91)4(53)(3)m n-+(92)4(4)(2)a b x y-+ (93)(274)(37)x y z x y+++ (94)(4)(43)m n x y--(95)(827)(97)x y z x y+--(96)(65)(65)a b a b++-+ (97)(89)(67)x y--(98)(29)(52)a b--(99)2(4)(5)m n x y--(100)(73)(4)x y---。
分组分解法因式分解
因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b (3)4x2-9y2-24yz-16z2(4)x3-x2-x+1 分析：首先注意前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，此题也可以考虑含有y的项分在一组。
解法1：解法2：说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
这也是分组中必须遵循的规律之一。
(2)分析：若将此题按上题中法2分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有b的项一组，即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。
可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。
解：(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。
观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。
解：(4)分析：此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。
解法1：解法2：原式=例2、分解因式：（1）m2+n2-2mn+n-m分析：此题还是一个五项式，其中m2-2mn +n2是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提取，因而可采用三项、二项分组。
因式分解分组分解法
因式分解分组分解法
因式分解分组分解法是一种求多项式的因式分解的方法。
它的基本思路是将多项式中的项按照某种特定的规则进行分组，使得每一组中的项可以合并成一个公因式，从而简化多项式，方便因式分解。
具体来说，我们可以按照以下几种规则进行分组：
1. 按照指数分组：将多项式中所有指数相同的项放在一起，例如：
$$
3x^2+2x^3-5x^2-7x^3=3x^2-5x^2+2x^3-7x^3=-2x^2-5x^3
$$
2. 按照变量分组：将多项式中所有含有相同变量的项放在一起，例如：
$$
2x+3xy-4x-2xy=2x-4x+3xy-2xy=-2x+xy
$$
3. 混合分组：将多项式中按照指数和变量来进行分组，例如： $$
2x^2y+3xy^2-4xy-2x^2=2x^2y-2x^2+3xy^2-4xy=2x^2(y-1)+3xy(y-1 )=(2x^2+3xy)(y-1)
$$
通过以上的分组方法，我们可以将多项式中的项进行合并，得到
公因式，从而进行因式分解。
因式分解分组分解法在解题中应用广泛，是学习代数基础的重要内容之一。
因式分解-分组分解法
总结与归纳
(1) a2+2ab+b2-c2 (2) x2-y2+ax+ay
(2)利用分组分解法进行因式分解时，应该怎样 进行分解？
若多项式有四项，且不能直接提公因式时，可考虑用 分组分解法，常用分组方法有一、三分组，二、二分组; 一、三分组的前提是可以运用完全平方公式，然后再和 剩下的一项用平方差公式来分解；二、二分组的前提是 可以运用提公因式法或平方差公式，然后再用提公因式 法来分解.
②提取公因式后， 如果是三项的则考虑用完全平方 公式来分解因式如；果是二项的则考虑用平方差公式来分 解因式.
③最后检查式子是不是分解彻底了.
探究新知 例 把下列各式因式分解：
(1) a2+2ab+b2-c2 解:原式=( a2+2ab+b2 ) -c2
=(a+b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c)
同步练习 把下列各式因式分解：
(1) 4a2-b2+4a-2b
解:原式=(4a2-b2 ) +( 4a-2b) =[(2a)2-b2]+(4a-2b) =(2a+b)(2a-b)+2(2a-b) =(2a-b)(2a+b+2)
同步练习 把下列各式因式分解：
(2) x2-2xy+y2 Nhomakorabea1解:原式=( x2-2xy+y2 ) -1
拓展提升
已知a2+b2-6a+2b+10=0,求a,b的值.
解：因为 a2+b2-6a+2b+10=0 所以 a2-6a+9+b2+2b+1=0 所以 (a-3)2+(b+1)2=0 所以 a-3=0,b+1=0 解得 a=3,b=-1
因式分解(分组分解法)
因式分解 （分组分解法）【知识要点】1、定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例如：22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
2、原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
3、有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
【典型例题】例1 把下列各式分解因式（1）2914x x ++= （2）212x x --=（3）2812x x ++= （4）2710x x -+=（5）228x x --= （6）2922x x --=（7）2295x x +-= （8）2376x x --=（9）28103x x ++= （10）210275x x ++= 例2 把下列各式分解因式（1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102（3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++（5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++- 例3 把下列各式分解因式（1）22421x xy y --； （2）()()267a b a b +-+-； （3）()()22524x x -+-+ （4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+；（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）222()14()24x x x x +-++ 例4 把下列各式分解因式（1）()()z y y z x x +-+ （2）()()b a x ab x 34322-+- （3）()()cd b a dc ab 2222--- （4）()()y a bx by b y ax 2233+++ 【思考题】分解因式()()()()2222d b d c c a b a +-+-+++。
因式分解(分组分解法)
=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=a(a+c)-b(a+c)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
= (a+c)(a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
分组规律： 在有公因式的前提下，按对应项系数成
比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
例１，例3种还有没有其他分组的方法；如果有， 因式分解的结果是不是一样。
例1解(2)：a2-ab+ac-bc 例2解(2)： 2ax-10ay+5by-bx
先提公因式;
2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用 公式来分解;
3.如果用上述方法不能分解,那么可以尝试 用分组来分解;
4.分解因式,必须进行到每一个多项式都不 能再分解为止. 口诀： 一提 二套 三分 四彻底
教学重点：掌握分组分解法的 分组规律和步骤。 主要内容：
学习分组分解法的概念，用分组分解法分 组之后，可以用提公因式的多项式进行因式分 解。
例2把多项式 a2-2ab+b2-c2 分解因式．
【分析】观察多项式，前 三项符合完全平方公式．
例3把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
初中数学因式分解-分组分解法
3 分组分解整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解.3．1 三步曲我们用上面的整式来说明如何分组分解.例1 分解因式：ax by bx ay --+.解 ax by bx ay --+=()()ax bx ay by -+- ［分为两组］=()()x a b y a b -+- ［“提”］=()()x y a b +- ［再“提”］一般地，分组分解大致分为三步：1．将原式的项适当分组；2．对每一组进行适当分组；3．将经过处理后的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解.一位高明的棋手，在下棋时，决不会只看一步，同样，在进行分组时，不仅要看到第二步，而且要看到三步.一个整式的项有许多种分组的方法，初学者往往需要经过尝试才能找到适当的分组方法，但是只要努力实践，多加练习，就会成为有经验，多加练习，就会成为有经验的“行家”.3．2 殊途同归分组的方法并不是唯一的，对于上面的整式ax by bx ay --+，也可以采用下面的做法： ax by bx ay --+=()()ax ay ax by +-+=()()a x y b x y +-+=()()x y a b +-.两种做法的效果是一样的，殊途同归！可以说，一种是按照x 与y 来分组（含x 的项在一组，含y 的项在另一组）；另一种是按a 与b 来分组.例2 分解因式：221x ax x ax a +++--.解法一 按字母x 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()()221x ax x ax a +++-+=()()()2111x a x a a +++-+=()()211a x x ++-解法二 按字母a 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()221ax ax a x x +-++-=()()2211a x x x x +-++-=()()211a x x ++-.3．3 平均分配在例2中，原式的6项是平均分配的，或都要分成三组，每组两项；或者分成两组，每组三项.如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配. 例3 分解因式：3254222x x x x x --++-.解 6项可以分成三组，每组两项.我们把幂次相近的项放在一起，即3254222x x x x x --++-=()()()5432222x x x x x -+---=()()()42222x x x x x x -+---=()()4221x x x -+-.本例也可以将6项分为两组，每组三项，即将系数为1的放在一组，系数为－2的放在另一组，详细过程请读者自己完成.例4 分解因式：2222ac bd ad bc +--.解 2222ac bd ad bc +--整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解.3.4瞄准公式如果在第二步或第三步中需要应用乘法公式，那么各组中的项数不一定相等，应当根据公式的特点来确定。
因式分解——分组分解法
因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。
通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。
三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b(3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。
此题也可以考虑含有y的项分在一组。
如下面法（二）解法。
解(一)2x2+2xy-3x-3y=(2x2+2xy)-(3x+3y)=2x(x+y)-3(x+y)=(x+y) (2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y=(2x2-3x)+(2xy-3y)=x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(x+y)说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
这也是分组中必须遵循的规律之一。
因式分解——分组分解法
北京四中撰稿：史卫红编审：谷丹责编：赵云洁因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。
通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。
三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b(3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。
此题也可以考虑含有y的项分在一组。
如下面法（二）解法。
解(一)2x2+2xy-3x-3y=(2x2+2xy)-(3x+3y)=2x(x+y)-3(x+y)=(x+y) (2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y=(2x2-3x)+(2xy-3y)=x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(x+y)说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
因式分解——分组分解法
分解因式： x 2 + ax 2 + x + ax − 1 − a
（35）
分解因式： x 4 + x3 + x 2 + x
模块化讲义体系
七年级第一学期.因式分解大礼包——分组分解法.学生版
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Mathematics
（36） 分解因式： x3 + y 3 + x 2 + 2 xy + y 2
因式分解分组分解法12x?2m?ax?am2x2?xy?a2x?a2y2xmaxm2axm37m2?3n?mn?21m410mx?12nx?5my?6ny5a3x2?a3y?x2?y72ax?2ay?3bx?4cy?3by?4cx9a2?8ab?16b2?6a?24b?911x2?6xy?9y2?4x?12y13?x2?y2?a2?2?4x2y26ax2?bx2?cx2?ay2?by2?cy28a2?4ab?4b2?x2?2x?110ax2?ay2?2axy?ab2129a2?18a?9?b2?4b2?4332214已知a?b?0求a?2b?ab?2a3; acx3
（100） 分解因式： 2 x − 4 x y − x z + 2 xy + 2 xyz − y z
3 2 2 2 2
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（86） 分解因式： ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) + a + b + c
因式分解——分组分解法
=(x-3y-5)2
（3）分析此题还是六项式，但都不具备上述两题的特征，可将这六项式二项、二项、二项分成三组，各自提取公因式，再提取三组间的公因式。
解：a2-a2b+ab2-a+b-b2
=(a2-b2)-(a2b-ab2)-(a-b)
=(a+b)(a-b)-ab(a-b)-(a-b)
=(x-1)(x+1)(x-1)
=(x+1)(x-1)2
法（二）原式=(x3-x)-(x2-1)
=x(x2-1)-(x2-1)
=(x2-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)2
说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。
=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2
=(a2x2+b2x2)+(b2y2+a2y2)
=x2(a2+b2)+y2(a2+b2)
=(a2+b2)(x2+y2)
（4）分析：将3b2变形为4b2-b2再分组进行。
解：a2-4ab+3b2+2bc-c2
=a2-4ab+4b2-b2+2bc-c2
=(a2-4ab+4b2)-(b2-2bc+c2)
=(a+b)(a-b)+4(a-b)
=(a-b) (a+b+4)
(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。
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（一）分组后能直接提公因式
复习提问
1.什么叫做因式分解？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做 把这个多项式分解因式。 2.回想我们已经学过那些分解因式的方法？ 提供因式法，公式法——平方差公式， 完全平方公式
引例
(a+b)(m+n)
例２把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
都是x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
•
五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪
•
六、将相本无主，男儿当自强。——汪洙
•
七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏
•
八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。——佚名
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
想一想
例１，例２种还有没有其他分组的方法；如果 有，因式分解的结果是不是一样。
例1解(2)：a2-ab+ac-bc 例2解(2)： 2ax-10ay+5by-bx
=(a2+ac)-(ab+bc)
整 am+an+bm+bn 因
=a(m+n)+b(m+n)
式 乘
=a(m+n)+b(m+n)
式 分
=am+an+bm+bn 法 =(a+b)(m+n)
解
定义：
这种把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组 分解法 注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后， 它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可 以用分组分解法来分解因式。
•
十四、信仰，是人们所必须的。什麽也不信的人不会有幸福。——雨果
•
十五、对一个有毅力的人来说，无事不可为。——海伍德
•
十六、有梦者事竟成。——沃特
•
十七、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？——丁尼生
•
十得不到宁静，直到这些梦想成为事实。——林语堂
练习 把下列各式分解因式：
(1)20(x+y)+x+y
(2)p-q+k(p-q)
解：=20(x+y)+(x+y) 解：=(p-q)+k(p-q)
=21(x+y)
=(p-q)(1+k)
(3)5m(a+b)-a-b 解：=5m(a+b)-(a+b)
=(a+b)(5m-1)
(4)2m-2n-4x(m-n) 解：=2(m-n)-4x(m-n)
=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=a(a+c)-b(a+c)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
= (a+c)(a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
分组规律： 在有公因式的前提下，按对应项系数成
比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
分解步骤： (1)分组； (2)在各组内提公因式； (3)在各组之间进行因式分解 (4)直至完全分解
=(m-n)(2-4x)
(5)ax+2by+cx-2ay-bx-2cy 解： =(2by-2ay-2cy)+(ax+cx-bx)
=-2y(a-b+c)+x(a-b+c) =(a-b+c)(-2y+x) (6) x2-x2y+xy2-x+y-y2 解： =(x2-y2)-(x2y-xy2)-(x-y) =(x-y)(x+y)-xy(x-y)-(x-y) =(x-y)(x+y-xy-1) =(x-y)[(x-xy)+(y-1)] =(x-y)[x(1-y)-(1-y)] =(x-y)(1-y)(x-1)
本课小结
教学重点：掌握分组分解法的 分组规律和步骤。 主要内容：
学习分组分解法的概念，用分组分解法分 组之后，可以用提公因式的多项式进行因式分 解。
作业 教科书 P36 1 2
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一、我们因梦想而伟大，所有的成功者都是大梦想家：在冬夜的火堆旁，在阴天的雨雾中，梦想着未来。有些人让梦想悄然绝灭，有些人则细心培育维护，直到它安然度过困境，迎来光明和希望，而光明和希望总是降临在那些真心相信梦想一定会成真的人身上。——威尔逊
•
二、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实才止；像种子在地下一样，一定要萌芽滋长，伸出地面来，寻找阳光。——林语堂
•
三、多少事，从来急；天地转，光阴迫。一万年太久，只争朝夕。——毛泽东
•
四、拥有梦想的人是值得尊敬的，也让人羡慕。当大多数人碌碌而为为现实奔忙的时候，坚持下去，不用害怕与众不同，你该有怎么样的人生，是该你亲自去撰写的。加油！让我们一起捍卫最初的梦想。——柳岩
•
十九、要想成就伟业，除了梦想，必须行动。——佚名
•
二十、忘掉今天的人将被明天忘掉。──歌德
•
二十一、梦境总是现实的反面。——伟格利
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二十二、世界上最快乐的事，莫过于为理想而奋斗。——苏格拉底
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二十三、“梦想”是一个多么“虚无缥缈不切实际”的词啊。在很多人的眼里，梦想只是白日做梦，可是，如果你不曾真切的拥有过梦想，你就不会理解梦想的珍贵。——柳岩
•
九、很多时候，我们富了口袋，但穷了脑袋；我们有梦想，但缺少了思想。——佚名
•
十、你想成为幸福的人吗？但愿你首先学会吃得起苦。——屠格涅夫
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十一、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。——伏尼契
•
十二、世之初应该立即抓住第一次的战斗机会。——司汤达
•
十三、哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。──鲁迅
例１把a2-ab+ac-bc分解因式
分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分 成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正 好都是a-b，这样就可以提出公因式a-b 。
解：a2-ab+ac-bc =(a2-ab)+(ac-bc) ——分组 =a(a-b)+c(a-b) ——组内提公因式 =(a-b)(a+c) ——提公因式
•
二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。——鲁迅