1.1 菱形的性质和判定课时练习(含答案解析)

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九年级上册(北师大版)数学课时练习：菱形的性质与判定(有答案)

九年级上册（北师大版）数学课时练习：菱形的性质与判定（有答案）菱形的性质与判定一．填空题（共10小题）1．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA=6，PB=8，PC=10，则菱形ABCD的面积等于．2．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则= ．3．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF、DE 交于点G，BF、CE交于点H．当▱ABCD满足，四边形EHFG是菱形．4．已知，如图，△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC=AB，请对△ABC添加一个条件：，使得四边形BCDE成为菱形．5．如图，A、B两点的坐标分别为（5，0）、（1，3），点C 是平面直角坐标系内一点．若以O、A、B、C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为．6．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）．7．如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形OE的长为（）A．6 B．5 C．2D．415．如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB 和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）A．35° B．45° C．50°D．55°16．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，NM=AN，ME⊥AD，NF⊥AB；若NF=2，则ME=（）A．2 B．3 C．4 D．5 17．如图，在菱形ABCD中，点E，点F为对角线BD的三等分点，过点E，点F与BD垂直的直线分别交AB，BC，AD，DC 于点M，N，P，Q，MF与PE交于点R，NF与EQ交于点S，已知四边形RESF的面积为5cm2，则菱形ABCD的面积是（）A．35cm2 B．40cm2 C．45cm2D．50cm218．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（）A．20° B．25° C．30°D．35°19．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA=，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm；②EB=1cm；③S菱形ABCD=15cm2A．3个 B．2个 C．1个 D．0个20．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（）A． cm B． cm C． cm D． cm 三．解答题（共4小题）21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．22．如图，在▱ABCD中，BD是对角线，且DB⊥BC，E、F分别为边AB、CD的中点．求证：四边形DEBF是菱形．23．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG 平分∠CAB，连接GE，GD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．24．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，AD=BD=DE，联结BE，∠ABC=∠DBE=72°；（1）联结CE，求证：CE=BE；（2）分别延长CE、AB交于点F，求证：四边形DBFE是菱形．参考答案一．填空题1．50+72．2．．3．AB⊥BC．4．AB=2BC．5．（﹣4，3）．6．②．7．AC⊥EF．8．AB=BC，或AC⊥BD．9．此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等．10．AD=AB．二．选择题11．D．12．A．13．D．14．D．15．C．16．C．17．C．18．C．19．A．20．B．三．解答题21．（1）证明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=4t，∴DF=2t，又∵AE=2t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t=2t，解得t=．∴当t=秒时，四边形AEFD为菱形．（2）①当∠DEF=90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°，∵∠A=60°，∴∠AED=30°，∴AD=AE=t，又AD=40﹣4t，即40﹣4t=t，解得t=8；②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A=60°，则∠ADE=30°，∴AD=2AE，即40﹣4t=4t，解得t=5．③若∠EF D=90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t=8或5秒时，△DEF为直角三角形．22．证明：∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF=DC，BE=AB，又∵在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∴DF∥BE，DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形，∵DB⊥BC，∴∠DBC=90°，∴△DBC为直角三角形，又∵F为边DC的中点，∴BF=DC=DF，又∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．23．解：（1）∵AF=FG，∴∠FAG=∠FGA，∵AG平分∠CAB，∴∠CAG=∠FGA，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG，∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，∵F是AD的中点，FG∥AE，∴H是ED的中点，∴FG是线段ED的垂直平分线，∴GE=GD，∠GDE=∠GED，∴∠CGE=∠GDE，∴△ECG≌△GHD；（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，∴GC=GP，而AG=AG，∴△CAG≌△PAG，∴AC=AP，由（1）可得EG=DG，∴Rt△ECG≌Rt△GPD，∴EC=PD，∴AD=AP+PD=AC+EC；（3）四边形AEGF是菱形，证明：∵∠B=30°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD，∴AE=AF=FG，由（1）得AE∥FG，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．24．证明：（1）∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=72°，∴∠A=180°﹣72°﹣72°=36°，∵AD=BD，∴∠1=∠A=36°，∴∠2=36°，∵∠DBE=72°，∴∠3=36°，∵BD=DE，∴∠DEB=∠DBE=72°，∴∠BOE=180°﹣∠3﹣∠DEB=72°，∴∠4=∠BOE﹣∠2=36°，∴∠2=∠4，∴DO=BO，∵∠2=36°，∠ACB=72°，∴∠BDC=180°﹣∠2﹣∠DCB=72°，∴BC=BD，∵BD=DE，∴BC=DE，∴DE﹣DO=BC﹣BO，∴CO=EO，∵∠7=∠8，∴∠5=∠==∠4=36°，∴∠5=∠3=36°，∴CE=BE；（2）∵∠4=∠1=36°，∴DE∥BF，∵∠2=∠5=36°，∴EF∥DB，∴四边形DEFB是平行四边形，∵DE=DB，∴四边形DBFE是菱形．。

1.1菱形的性质与判定(第3课时)课后作业(原卷版)

1.1菱形的性质与判定（第3课时）课后作业一．选择题1．如图，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则▱ABCD的周长为（）A．4B．6C．8D．122．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．米B．6米C．米D．3米3．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，则应添加的条件是（）A．AB∥DC B．AD＝BC C．AC⊥BD D．AC＝BD4．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，且对角线AC＝8，BD＝6，则纸条的宽度是（）A．9.6B．5C．4.8D．2.45．如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，将△ABC沿着直线BC向右平移6cm到△DEF的位置，AC与DE相交于点G，连接AD．下列结论：①EC＝6cm；②△DEF是直角三角形；③四边形ACFD的面积是28.8cm2；④四边形ACFD是菱形；⑤△ADG≌△CEG．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（）甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．A．甲、乙B．乙、丙C．甲．乙、丙D．甲、丙7．将2023个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为4a，且有一个内角是45度，则阴影部分的面积总和等于（）A．2023a2B．4046a2C．4042a2D．二．填空题8．已知菱形的周长是40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的另一条对角线长是cm，面积是cm2．9．菱形ABCD的周长为20，该菱形一组对边的距离为3，则AC的长为．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12，则菱形ABCD的高DH＝．11．如图，已知菱形ABCD的周长为20，面积为15，动点P满足S△P AB＝S菱形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为．12．如图所示，E，F分别在BC和CD上，AB＝AE＝AF＝AD＝BC＝CD＝EF，则∠D ＝°．13．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，然后将橡皮筋两端分别固定在点A，B处，拉动橡皮筋上到C处．当四边形OACB是菱形时，小明量得橡皮筋比固定时长了1倍，则∠AOB＝°．14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．若AD＝1，CF＝2，则BF为．15．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝6，CD＝8，E，F 分别是边AB、CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论；①∠CDH＝30°；②EF＝4；③四边形EFCH是菱形；④S△EFC＝3S△BEH．你认为结论正确的有．（填写正确的序号）16．将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF．如图2．解决下列问题：（1）四边形AEDF的形状是；（2）当∠BAC＝60°时，＝．三．解答题17．已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC的垂直平分线分别交BC 和AB于点D、E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE，求证：四边形ACEF是菱形．18．已知如图，在菱形ABCD中，EF分别是AB和BC上的点，且BE＝BF，求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）∠DEF＝∠DFE．19．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．求证：四边形EGFH是菱形．20．已知：如图，菱形ABCD对角线BD长6cm．AC的长为8cm求：（1）菱形ABCD的周长；（2）菱形ABCD的面积．21．【教材呈现】如下是北师大版九年级上册数学课本第6页的部分内容．（1）结合教材图1﹣4，完成这个定理证明；（2）应用上述定理解决实际问题周末，小辰和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图所示，四边形ABCD是一个菱形内框架，四边形AECF是其外部框架，且点E、B、D、F在同一直线上，BE＝DF．①求证：四边形外框AECF是菱形；②若外框AECF的周长为80cm，EF＝32cm，BE＝7cm，直接写出AB的长．22．如图①，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AC于点O，交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若AC＝6，BD＝8，点P为射线AE上任意一点，连接PB和PC，如图②．求△PBC 的面积．。

北师大版初三上册数学菱形的性质与判定同步练习(附解析)

北师大版初三上册数学11．1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质1．有一组__邻边__相等的平行四边形是菱形．2．菱形是__轴__对称图形，菱形的四边__相等__，菱形的对角线__互相垂直__．知识点一：菱形的定义1．已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，那个条件是(B)A．AB＝CD B．AB＝BCC．AD＝BC D．AC＝BD2．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__．(请在横线上填上理由)知识点二：菱形的性质3．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则那个菱形的周长为(A) A．20B．16C．12D．104．(易错题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC,第4题图),第5题图)5．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是(C)A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABC是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD6．在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是( C)A．10 B．12 C．15 D．207．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是(C )A．3 B．4 C．8 D．838．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD 边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于(A)A．3.5 B．4C．7 D．149．(2021·烟台)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC 的度数为(C)A．28°B．52°C．62°D．72°10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB ＝5，AO＝4，求BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB 中，∵AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3，∴BD＝611．(2021·上海)如图，已知AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是(B)A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍,第11题图),第12题图) 12．如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝__5__．13．如图是依照四边形的不稳固性制作的边长均为15 cm的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝__120__°.,第13题图),第14题图)14．(2021·白银)如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__12__．15．(2021·宜宾)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是__53__cm.16．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF.解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.∵点E，F分别是CD，AD的中点，∴DE＝12CD，DF＝12AD，∴DE＝DF.又∵∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD(SAS)，∴AE＝CF17．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，A D的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B ＝∠D，∵点E，F分别是边BC，AD的中点，∴BE＝DF，∴△ABE≌△C DF(SAS)(2)易得△ABC是等边三角形，点E为BC的中点，从而AE⊥BC，AE ＝2318．如图，在菱形ABCD中，点F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．解：(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.∴AE＝EC(2)点F是线段BC的中点．理由：∵ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点第2课时菱形的判定对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；__四边相等__的四边形是菱形．知识点：菱形的判定1．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为下列说法正确的是(B)A．小明、小亮都正确B．小明正确，小亮错误C．小明错误，小亮正确D．小明、小亮都错误2．下列命题中正确的是(D)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的是(D)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.A．①③B．②③C．③④D．①③④,第3题图),第4题图)4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是(A)A．菱形B．长方形C．正方形D．以上都不对5．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是(B)A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,第5题图),第6题图)6．(易错题)如图，下列条件能判定四边形ABCD为菱形的有(C)①AB ＝BC ＝CD ＝DA ；②AC ，BD 互相垂直平分；③平行四边形AB CD ，且AC ⊥BD ；④平行四边形ABCD ，且AC ＝BD.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．(2021·淄博)已知▱ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是__AD ＝D C(答案不唯独)__．8．如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB ＝OD ，请你添加一个适当的条件__OA ＝OC 或AD ＝BC 或AD ∥BC 或AB ＝BC__，使四边形ABCD 成为菱形．(只需添加一个即可)9．(2021·舟山)已知：如图，在▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连接BE ，DF.(1)求证：△DOE ≌△BOF ；(2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．解：(1)证明：∵▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，∴BO ＝D O ，∠EDB ＝∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中⎩⎪⎨⎪⎧∠EDO ＝∠OBF ，DO ＝BO ，∠EOD ＝∠FOB ，∴△DOE ≌△BOF(ASA) (2)当∠DOE ＝90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴BF ＝DE ，又∵BF ∥DE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BO ＝DO ，∠EOD ＝90°，∴EB ＝DE ，∴四边形BFDE 为菱形 10．(2021·徐州)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( C )A ．长方形B ．对角线相等的梯形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直的四边形11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于点M ，O ，N ，连接AN ，CM ，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接EF ，则四边形ABEF 是菱形．依照两人的作法可判定( C )A ．甲正确，乙错误B ．乙正确，甲错误C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误12．(2021·十堰)如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF.给出下列条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB ＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为那个条件是__③__．(只填写序号)13．(2021·新疆)如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交点P ，Q两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过点C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF.(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解：(1)由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD ，∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CF D 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，AD ＝CD ，∠CFD ＝∠AED ，∴△AED ≌△CFD(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形 14．(2021·南京)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F.(1)求证：四边形DBFE 是平行四边形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形DBFE 是菱形？什么缘故？解：(1)证明：∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形 (2)当AB ＝BC 时，四边形是菱形．理由如下：∵点D 是AB 的中点，∴BD ＝12AB ，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，∵AB ＝BC ，∴BD ＝DE ，又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形15．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含6 0°角的直角三角形ABC与AFE按如图①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°，四边形ABPF是什么样的专门四边形？并说明理由．解：(1)证明：∵α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝90°，∴α＝∠NAF.又∵∠B＝∠F，AB＝AF，∴△ABM≌△AFN，∴AM＝AN(2)四边形ABPF是菱形．理由：∵α＝30°，∠EAF＝90°，∴∠BAF＝120°.又∵∠B＝∠F＝60°，∴∠B＋∠BAF＝60°＋120°＝180°，∠F＋∠B AF＝60°＋120°＝180°.∴AF∥BC，AB∥EF.∴四边形ABPF是平行四边形．又∵AB＝AF，∴四边形ABPF是菱形。

2019秋北师大版九年级数学上册拓展训练：1.1菱形的性质与判定含答案

1 菱形的性质与判定基础闯关全练拓展训练1.(2017湖南益阳中考)下列性质中菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形答案 C A.菱形的对角线互相平分,此选项不符合题意;B.菱形的对角线互相垂直,此选项不符合题意;C.菱形的对角线不一定相等,此选项符合题意;D.菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,此选项不符合题意.故选C.2.(2017山东聊城中考)如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是( )A.AB=ACB.AD=BDC.BE⊥ACD.BE平分∠ABC答案D∵DE∥BC,EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,又DE∥BC,∴∠CBE=∠DEB,∴∠ABE=∠DEB,∴BD=DE,∴▱DBFE是菱形.3.(2014黑龙江牡丹江(农垦)中考)如图,在菱形ABCD中,E是AB边上一点,且∠A=∠EDF=60°,有下列结论:①AE=BF;②△DEF 是等边三角形;③△BEF是等腰三角形;④∠ADE=∠BEF,其中正确结论的个数是( )A.3B.4C.1D.2答案 A 连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∴∠A+∠ADC=∠A+∠ABC=180°,AB=AD,又∠A=60°,∴∠ADC=∠ABC=120°,△ABD是等边三角形,∴AD=BD,∠ADB=∠ABD=∠A=60°,∴∠DBF=60°,∴∠A=∠DBF,∵∠ADE+∠EDB=∠EDB+∠BDF=60°,∴∠ADE=∠BDF ,∴△ADE≌△BDF(ASA).∴AE=BF,ED=FD,又∠EDF=60°,∴△DEF为等边三角形.∴∠DEF=60°,∴∠AED+∠BEF=120°,∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°,∴∠ADE=∠BEF,由题意知BE不一定等于BF.综上可知①②④正确,③不正确,故选A.4.(2016青海中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD的高DH= .答案解析∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,OA=AC=4,OB=BD=3.在Rt△AOB中,AB==5.∵S菱形ABCD=AC·BD=×8×6=24,S菱形ABCD=AB·DH=5DH,∴5DH=24,解得DH=.5.(2016江苏淮安中考)已知,如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为边CD、AD的中点,连接AE、CF,求证:△ADE≌△CDF.证明∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∵E、F分别是CD、AD的中点,∴DE=DC,DF=AD,∴DE=DF,在△ADE和△CDF中,∴△ADE≌△CDF(SAS).能力提升全练拓展训练1.3个全等的菱形按如图所示的方式拼合在一起,恰好得到一个边长相等的六边形,则菱形较长的对角线与较短的对角线长度的比值是( )A. B. C.2 D.答案 A 如图,设第一个菱形的另一个顶点为M,连接AC,BM,交于点O.由题意得AB=AF=2BM,∵四边形ABCM是菱形,∴AC⊥BM,OB=BM,OA=AC,∴AB=4OB,∴OA==OB,∴AC=2OA=2OB,又BM=2OB,∴AC∶BM=∶1.即菱形较长的对角线与较短的对角线长度的比值是.2.如图,O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点,E、F分别是OA、OC的中点.下列结论:①S△ADE=S△EOD;②四边形BFDE是菱形;③菱形ABCD的面积为EF·BD;④∠ADE=∠EDO;⑤△DEF是轴对称图形.其中正确的结论有( )A.5个B.4个C.3个D.2个答案 B ∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,OA=OC,OB=OD.∵E为OA的中点,∴AE=OE,∵S△ADE=AE·OD,S△EOD=OE·OD,∴S△ADE=S△EOD,故①正确.∵E、F分别是OA、OC的中点,∴OE=OA,OF=OC,∵OA=OC,∴OE=OF,又OB=OD,EF⊥BD,∴四边形BFDE是菱形,故②正确.S菱形ABCD=AC·BD,易知EF=AC,∴S菱形ABCD=EF·BD,故③正确.由已知条件推不出∠ADE=∠EDO.∵四边形BFDE是菱形,∴DE=DF,∴△DEF为等腰三角形,∴△DEF是轴对称图形,故⑤正确.3.(2017山东滨州中考节选)如图,在▱ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于BF的长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.根据以上尺规作图的过程,求证:四边形ABEF是菱形.证明由作图过程可得AE平分∠BAF,∴∠EAB=∠EAF,∵AD∥BC,∴∠EAF=∠AEB,∴∠AEB=∠EAB,∴BE=AB,∵AB=AF,∴BE=AF.∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形,∵AB=BE,∴四边形ABEF是菱形.4.(2015甘肃兰州中考)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.(1)求证:AD=BC;(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.证明(1)过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M,∵AB∥CD,∴四边形ABMC为平行四边形.∴AC=BM=BD,∴∠BDC=∠M=∠ACD.在△ACD和△BDC中,∴△ACD≌△BDC,∴AD=BC.(2)连接EH,HF,FG,GE,∵E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,∴HE∥AD,且HE=AD,FG∥AD,且FG=AD,EG=BC,∴HE∥FG,且HE=FG,∴四边形HFGE为平行四边形.由(1)知,AD=BC,∴HE=EG,∴▱HFGE为菱形,∴线段EF与线段GH互相垂直平分.三年模拟全练拓展训练1.(2018山西太原期中,4,★☆☆)菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A.对边平行B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直答案 D 菱形的对角线互相垂直,而平行四边形的对角线不一定互相垂直,故选D.2.(2017河南郑州经纬中学第一次月考,4,★★☆)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O点,E,F分别是AB,BC边的中点,连接EF,若EF=,BD=4,则菱形ABCD的周长为( )A.4B.4C.4D.28答案 C ∵E、F分别是AB、BC边的中点,EF=,∴AC=2EF=2.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD且OA=OC,OB=OD,∴OA=,OB=2,∴AB===,∴菱形ABCD的周长=4AB=4.故选C.3.(2016江苏泰州泰兴黄桥东期中,5,★★☆)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A、D为圆心,以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;第二步,连接MN,分别交AB、AC于点E、F;第三步,连接DE、DF,则可以得到四边形AEDF的形状( )A.仅仅是平行四边形B.是矩形C.是菱形D.无法判断答案 C 根据作法可知:直线MN是线段AD的垂直平分线,∴AE=DE,AF=DF,∴∠EAD=∠EDA,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠EDA=∠CAD,∴DE∥AC,同理,DF∥AE,∴四边形AEDF是平行四边形,∵EA=ED,∴四边形AEDF为菱形.4.(2017山西百校联考一模,10,★☆☆)如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB 方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为( )A.1B.C.D.答案 D 连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠ADB=∠DBC=∠ADC=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AD=BD,又∵△DEF是等边三角形,∴∠EDF=∠DEF=60°,又∵∠ADB=60°,∴∠ADE=∠BDF,在△ADE和△BDF中,∴△ADE≌△BDF,∴AE=BF,∵AE=t cm,CF=2t cm,∴BF=BC-CF=(4-2t)cm,∴t=4-2t,∴t=.故选D.5.(2018河南郑州二中期中,13,★★☆)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE= .答案解析∵四边形ABCD是菱形,∴OB=BD=3,OC=AC=4,AC⊥BD,∴在Rt△BOC中,BC==5,∵OE⊥BC,∴OE===.6.(2017河南平顶山期末,14,★★☆)如图,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=4 cm,∠ABC=30°,则长方形纸条的宽度是cm.答案2解析∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,分别作BC,CD边上的高AE,AF,如图所示.∵两纸条相同,∴纸条宽度相同,即AE=AF.∵AE·BC=CD·AF,∴CD=BC.∴平行四边形ABCD为菱形,∴AB=AD=4cm,∵∠ABC=30°,∴AE=AB=2cm.7.(2017江苏扬州邗江一模,24,★☆☆)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.(8分)(1)求证:四边形BCFE是菱形;(2)若CE=6,∠BEF=120°,求菱形BCFE的面积.解析(1)证明:∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE∥BC且2DE=BC,又∵BE=2DE,EF=BE,∴EF=BC,又EF∥BC,∴四边形BCFE是平行四边形,又∵BE=EF,∴四边形BCFE是菱形.(2)∵∠BEF=120°,∴∠EBC=60°,∴△EBC是等边三角形,∴BE=BC=CE=6.过点E作EG⊥BC于点G,∴∠BEG=30°,∴BG=BE=3,由勾股定理得EG==3,∴菱形BCFE的面积为BC·EG=6×3=18.五年中考全练拓展训练1.(2016四川雅安中考,9,★★☆)如图,四边形ABCD的四边相等,且面积为120cm2,对角线AC=24cm,则四边形ABCD的周长为( )A.52cmB.40cmC.39cmD.26cm答案 A 连接BD.∵四边形ABCD的四边相等,∴四边形ABCD为菱形,∵四边形ABCD的面积为120cm2,对角线AC=24 cm,∴120=×24BD,∴BD=10cm,∴AB==13cm,∴四边形ABCD的周长为4×13=52cm.故选A.2.(2016河南中考,8,★★☆)如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D'的坐标为( )A.(1,-1)B.(-1,-1)C.(,0)D.(0,-)答案 B 由题意知菱形每8秒旋转一周,60秒旋转7周余4秒,4秒旋转180°,即旋转60秒后得到的图形与原图形关于原点中心对称,因为B(2,2),所以D(1,1),D关于原点对称的点D'的坐标为(-1,-1).故选B.3.(2016山东青岛中考,21,★★☆)已知:如图,在▱ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G、H,交BD于点O.(8分)(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.解析(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠BAD=∠DCB.又∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF.(2)四边形BEDF是菱形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵AE=CF,∴AD-AE=BC-CF,即ED=BF,∴四边形BEDF是平行四边形,∴OB=OD.又∵DG=BG,∴OG⊥BD.∴▱BEDF是菱形.核心素养全练拓展训练1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.(1)求证:AE=DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.解析(1)证明:在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,∴DF=t,又∵AE=t,∴AE=DF.(2)能.理由如下:∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF.又∵AE=DF,∴四边形AEFD为平行四边形.在Rt△ABC中,设AB=x,则由∠C=30°,得AC=2x,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,即x2+(5)2=4x2,解得x=5(负根舍去),∴AB=5.∴AC=2AB=10.∴AD=AC-DC=10-2t.由已知得点D从点C运动到点A的时间为10÷2=5(s),点E从点A运动到点B的时间为5÷1=5(s).若使▱AEFD为菱形,则需AE=AD,即t=10-2t,解得t=.符合题意.故当t=s时,四边形AEFD为菱形.(3)①当∠EDF=90°时,ED∥BF,∵∠B=90°,∴∠AED=90°,在Rt△AED中,∠ADE=∠C=30°,∴AD=2AE,即10-2t=2t,解得t=.符合题意.②当∠DEF=90°时,由(2)知EF∥AD,∴∠ADE=∠DEF=90°.∵∠A=90°-∠C=60°,∴∠AED=30°.∴AE=2AD,即t=2(10-2t),解得t=4.符合题意.③当∠EFD=90°时,△DEF不存在.综上所述,当t=s或4s时,△DEF为直角三角形.2.邻边不相等的平行四边形纸片剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,称为第二次操作;……依此类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形,如图a,▱ABCD中,若AB=1,BC=2,则▱ABCD为1阶准菱形.(1)判断与推理:①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形;②小明为了剪去一个菱形,进行如下操作:如图b,把▱ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点A落在BC边上的点F处,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.(2)操作、探究与计算:①已知▱ABCD的邻边长分别为1,a(a>1),且是3阶准菱形,请画出▱ABCD及裁剪线的示意图,并在图形下方写出a的值;②已知▱ABCD的邻边长分别为a,b(a>b),满足a=6b+r,b=5r,请写出▱ABCD是几阶准菱形.解析(1)①2.②证明:由折叠知,∠ABE=∠FBE,AB=BF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥BF,∴∠AEB=∠FBE,∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB,∴AE=BF,∴四边形ABFE是平行四边形,又AE=AB,∴四边形ABFE是菱形.(2)①②10阶准菱形.。

北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)

1.1菱形的性质和判定【菱形的性质】1．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形 .温馨提示：①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等；②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形；③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。

2.菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质.（2）菱形的四条边都相等.（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.菱形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC ，OB = OD．菱形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4，∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8．菱形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).温馨提示：①菱形具有平行四边形的一切性质；②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质可用来证明角相等；③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。

1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线互相垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形2.如图,菱形的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是。

3.菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（）A. 28、48B.20、24C.28、24D.20、484.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（）A. 5B. 10C. 15D. 205.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为( )A. 2B. 2C. 4D. 4第2题第3题第4题第5题6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．7.如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．【菱形的判定】1. 菱形的判定定理（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .（3）四边相等的四边形是菱形 .①证明一个四边形是菱形,一般情况下,先证明它是一个平行四边形,然后要么证明“一组邻边相等”,要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形,只要证明“四条边相等”即可；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。

北师大版2024-2025九年级数学上(菱形的性质与判定(二))

五、课堂小结
D
有一组邻边相等
A
C 的平行四边形是菱形
B
菱形的判定
D
┐
对角线互相垂直
A
C 的平行四边形是菱形
B
D菱形
B
六、作业
1. P9 习题1.3 第1、2题
2.思考题：在等边△ABD中，E是BD边上的中点，连接AE并延长至点C，使得CE=AE，连接BC、 CD，你有哪些方法可以得到四边形ABCD是菱形？
求证：四边形AFCE是菱形．
三、巩固练习
2. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD = BC，点
E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD 的中点．
求证：四边形 EGFH 是菱形．
四、探究活动
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD是菱形吗？为什么？
A
B
F
D
EC
方法一：过点A作AE⊥CD于E,过点C作CF⊥AD于F ∵AB∥CD，AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴S□ABCD＝DC·AE=AD·CF 又∵两张纸条等宽 ∴AE＝CF ∴AD＝DC ∴四边形ABCD是菱形
第一单元特殊平行四边形菱形的性质与判定
（二）
【北师·数学九年级上册】
一、动手实践
1.如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？
二、知识回顾
平行四边形
菱形
四边形
三、巩固练习
1.已知：如图，在□ABCD中，点O是AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交AD、 BC于点E、F．
方法二：
过点A作AE⊥CD于E,过点C作CF⊥AD于F ∵AB∥CD，AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AE⊥CD，CF⊥AD ∴∠AED=90º＝∠CFD=90º 在∆ADE和∆CDF中

九年级数学上册试题一课一练1.1《菱形的性质与判定》习题2-北师大版(含答案)

1.1 《菱形的性质与判定》习题2一、选择题1．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，4OH =，则菱形ABCD 的面积为( )A ．72B ．24C ．48D ．962．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且AC=8，BD=6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离为( )A ．2.4B ．3C ．4D ．53．菱形的周长为8厘米，两相邻角度数比是1：2，则菱形的面积是( )平方厘米．A ．B ．C ．D ．4．如图，菱形ABCD 中，120C ∠=︒，2AB =.点E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE 、AF 、EF ，则AEF ∆的周长为A ．9B ．CD ．5．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP+PN 的最小值是( )A ．12B ．1CD ．26．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE 间的距离，若AE 间的距离调节到60cm ，菱形的边长20AB cm =，则DAB ∠的度数是( )A ．90︒B ．100︒C ．120︒D ．150︒7.如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E .若BF ＝12，AB ＝10，则AE 的长为( )A ．16B ．15C ．14D ．138.从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD 是菱形，则这个条件是( )A ．AC ⊥BDB ．AD=CDC ．AB=BCD ．AC=BD9.如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转60°至OA B C '''的位置，若点C '与点A 重合，4OA =，120C ∠=︒，则点B '的坐标为( )A ．(6,-B ．3(,C ．6)-D ．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的顶点()3,3A ，()1,1C --，对角线BD 交AC 于点M ，交x 轴于点N ，若2BN ND =，则点B 的坐标是( )A ．37,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(C ．(4,2)-D ．(2,4)-11.如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，其中点B 坐标是(4，1)，点D 坐标是(0，1)，点A 在x 轴上，则菱形ABCD 的周长是( )A ．8B ．C ．D ．1212.如图，直线364y x =-+分别与x 、y 轴交于点A 、B ，点C 在线段OA 上，线段OB 沿BC 翻折，点O 落在AB 边上的点D 处.以下结论：①AB=10；②直线BC 的解析式为26y x =-+；③点D(245，125)；④若线段BC 上存在一点P ，使得以点P 、O 、C 、D 为顶点的四边形为菱形，则点P 的坐标是(178，74)．正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④二、解答题 1.已知：如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，点E F 、分别在边,CD DA 上，且CE AF =，求证：BED BFD ∠=∠．2.如图菱形ABCD 的一个内角∠B=60°，E 为BC 的中点，F 为CD 的中点，连结AF 、EF ．(1) △AEF 的形状如何？试证明；(2)若E 为BC 上的任意一点，F 为CD 的点，且∠EAF=60º，△AEF 的形状如何？试证明3.如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接CE ．(1)求证：四边形BECD 是平行四边形；(2)若60E ∠=︒，求BAO ∠的大小．(3)在第(2)问的基础上，且2AB =，求四边形BECD 的面积．4.如图，在平行四边形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过点C 作CQ ∥DB ，且CQ ＝DP ，连接AP 、BQ 、PQ ．(1)求证：△APD ≌△BQC ；(2)若∠ABP +∠BQC ＝180°，求证：四边形ABQP 为菱形．5.如图，过□ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC．CD、DA于点P、M、Q、N．(1)求证：PBE≌QDE；(2)顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，AE平分∠CAB交CD于点F，交BC于点E，EH⊥AB，垂足为H，连接FH．(1)求证：CF=CE(2)试判断四边形CFHE的形状，并说明理由．7.在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC 于E、F．求证：四边形AECF是菱形．8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A 作AF∥BC交BE的延长线于点F.(1)求证：△AEF≌△DEB;(2)求证：四边形ADCF是菱形.9.如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝2，点E ，F 分别在边CD ，AB 上，且DE ＝BF ．(1)求证：四边形AFCE 是平行四边形；(2)若□AFCE 是菱形，求菱形AFCE 的边长．10.如图，BD 是ABC 的角平分线，BD 的垂直平分线EG 分别交AB ，BD ，BC 于点E ，F ，G ，连接ED ，DG ．(1)请判断四边形EBGD 的形状，并说明理由；(2)若30ABC ∠=︒，45C ∠=︒，2ED =，求GC 的长．答案一、选择题1．C.2．A ．3．A ．4．B ．5．B ．6．C ．7.A ．8.D.9.A.10.D ．11.C.12.B二、解答题1.解∵四边形ABCD 是菱形，,AB BC A C ∴=∠=∠，在ABF 和CBE ∆中，AF CE A C AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABF CBE ∴∆≅∆，BEC BFA ∴∠=∠180BEC BED BFA BFD ︒∠+∠=∠+∠=，BED BFD ∴∠=∠．2.(1)答：△AEF 为正三角形．证明：连结AC ，如图∵菱形ABCD 的一个内角∠B=60°，∴对角线AC 把菱形分成两个全等的正三角形；∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，∴AE 、AF 分别是所作正三角形的中线和角平分线；∴∠CAE=∠CAF=30°，且AE=AF ，∴∠EAF=60°，∴△AEF 为正三角形．(2)△AEF 也为正三角形．证明：如图，在△BAE 与△CA F 中，∵BAC CAE EAF CAE ∠-∠=∠-∠， ∴∠BAE=∠CAF ，在△BAE 与△CA F 中，∵60BAE CAF ABE ACF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△CA F ，∴AE=AF ；∵∠EAF=60°，∴△AEF 为正三角形．'3.(1)证明：四边形ABCD 是菱形， //AB CD AB CD ∴=，，又BE AB =，//BE CD BE CD ∴=，，∴四边形BECD 是平行四边形； (2)四边形BECD 是平行四边形， //BD CE ∴，60OBA E ∴∠=∠=︒，又四边形ABCD 是菱形， AC BD ∴⊥，9030BAO OBA ∴∠=︒-∠=︒；(3)过点C 作CF BE ⊥交BE 于F ，2BE ∴=，AE=4，又//BD CE AC BD ，⊥，AC CE ∴⊥，30BAO ∠=︒，2CE =∴，AC ∴=12CF AC ∴==∴BECD S BE CF 四边形=⋅=4.(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ，∵CQ ∥DB ，∴∠BCQ=∠DBC ，∵DP=CQ ，∴△ADP ≌△BCQ ．(2)证明：∵CQ ∥DB ，且CQ=DP ，∴四边形CQPD 是平行四边形，∴CD=PQ ，CD ∥PQ ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴AB=PQ ，AB ∥PQ ，∴四边形ABQP 是平行四边形，∵△ADP ≌△BCQ ，∴∠APD=∠BQC ，∵∠∠APD+∠APB=180°，∴∠ABP=∠APB ，∴四边形ABQP 是菱形．5.(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴EB=ED ，AB ∥CD ，∴∠EBP=∠EDQ ，在△PBE 和△QDE 中，EBP EDQ EB EDBEP DEQ ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△PBE ≌△QDE(ASA)；(2)证明：如图所示：∵△PBE ≌△QDE ，∴EP=EQ ，同理：△BME ≌△DNE(ASA)，∴EM=EN ，∴四边形PMQN 是平行四边形，∵PQ ⊥MN ，∴四边形PMQN 是菱形．6.(1)证明：如图∵∠ACB=90°，CD ⊥AB 垂足为D ，∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°，又∵∠AE平分∠CAB，∴∠1=∠2，∴∠3=∠5，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，∴CF=CE(2)四边形CFHE是菱形理由：∵AE平分∠CAB，CE⊥AC，EH⊥AB，∴CE=EH，由(1)CF=CE，∴CF=EH，∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴∠CDB=90°，∠EHB=90°，∴∠CDB=∠EB，∴CD∥EH，即CF∥EH，∴四边形CFHE是平行四边形．∵CF=CE，∴四边形CFHE是菱形.7.解：证明：如图所示，∵O是AC的中点，∴AO=CO，又∵在矩形ABCD中,AD//BC，∴∠1=∠2∴在△AOE 和△COF 中，12,,90AO CO AOE COF ∠=∠=∠=∠=， ∴△AOE ≌△COF (ASA)，∴AE =CF ，又∵EF 是AC 的垂直平分线， ∴AE =CE ，AF =CF ，∴AE =CE =AF =CF ，∴四边形AECF 是菱形．8.证明：(1)∵AF ∥BC∴∠AFE ＝∠DBE∵E 是AD 中点，∴AE ＝DE在△AEF 和DEB 中AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△DEB(AAS)(2)在Rt △ABC 中，D 是BC 的中点，所以，AD ＝BD ＝CD又AF ∥DB ，且AF ＝DB ，所以，AF ∥DC ，且AF ＝DC ，所以，四边形ADCF 是菱形.9.(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=DC ，AB ∥DC ，又∵DE ＝BF ，∴EC=AF ，∴四边形AECF 是平行四边形．(2)∵□AFCE 是菱形，∴AF=FC=CE=AE ，设菱形的边长为x ， ∵AB ＝6，BC ＝2，∴6FB x =-，在Rt △CBF 中，222BF BC CF +=，即()22262x x -+=，整理得：1240x =， ∴103x =．故菱形的边长为103．10.解：(1)四边形EBGD 是菱形. 理由：EG 垂直平分BD ， EB ED ∴=，GB GD =，EBD EDB ∴∠=∠，EBD DBC ∠=∠，EDF GBF ∴∠=∠在EFD △和GFB 中，EDF GBF EFD GFB DF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， EFD GFB ∴△≌△，ED BG ∴=，BE ED DG GB ∴===，∴四边形EBGD 是菱形.(2)作DH BC ⊥于点H ，四边形EBGD 为菱形，2ED DG ==， 30ABC ∴∠=︒，30DGH ∠=︒，1DH ∴=，GH =，45C ∠=︒，1DH CH ∴==，1CG GH CH ∴=+=。

九年级上数学1.1菱形知识点总结及习题含答案 Word

菱形性质与判定练习题纯题部分一．选择题（共4小题）1．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）A、163B、16C、83D、82．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（） 4.5题图A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．5.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2 B． C．4 D．二．填空题（共15小题）6．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．8．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．7题图8题图9题图10题图9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．10．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________度．11．如图，活动菱形衣架的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=度．11题图13题14题图15题图12．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．13．如图，两个全等菱形的边长为1米，一机器人由A点开始按A—B—C—D—E—F—C—G—A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_____点．14．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．15．已知：菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______．16．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．17．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．18．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC 交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．18题图19题图20题图19．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．20．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=度．三．解答题21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．菱形性质与判定练习题答案部分一．选择题（共4小题）1．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（C）A、163B、16C、83D、82．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（C）A．2 B．C．1 D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（C）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（A）A．15 B．C．7.5 D．5.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ C ） 4.5题图A．2 B． C．4 D．二．填空题（共15小题）6．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是____3_____cm2．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_2.4________．8．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD2．7题图8题图9题图10题图9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_60________．10．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=__65°_______度．11．如图，活动菱形衣架的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= 120°度．11题图13题14题图15题图12．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为2或6_________．13．如图，两个全等菱形的边长为1米，一机器人由A点开始按A—B—C—D—E—F—C—G—A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_B____点．14．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是____3_____cm．15．如图：菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_16_____．16．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_96________cm2．17．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是__120_______cm2．18．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是__2.5_(示AP与EF交于Q.S厶FQP=S厶EQA_．18题图19题图20题图19．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB PE+PB=PE+PD=ED_______．20．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=45度．提示连接AC证厶ABE 厶ACF 得到AE=AF 得出∠AFE=60°三．解答题21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．60°作DF⊥AB则F是AB的中直E是BF的中点BE=123．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥AD 、BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．（1）求证：BE=BF ；（2）当菱形ABCD 的对角线AC=8，BD=6时，求BE 的长．（2）提示: 连接AC. BD 用勾3股4得AB=5再用等积法求BE11528622BE ⨯⋅⋅=⨯⨯24．如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E 连接BE ．（1）证明：∠APD=∠CBE ；（2）若∠DAB=60°，试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的，为什么？(1) ∆ ∴ ∠ DB 关于AC 对称 ∴∠EDC=∠CBE 而 ∠CDP=∠DPA ∴∠APD=∠CBE（2）当P 点运动到AB 的中点位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的，因为S ∆APD=APh= .AB h s 囗=ABh25．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm 、点P 从点D 出发向点A 运动，同时点Q 从点B 出发向点C 运动，点P 、Q 的速度都是1cm/s ．（1）在运动过程中，四边形AQCP 可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 是菱形？（2）分别求出菱形AQCP 的周长、面积．解(1) 设运动了x 秒则得方程 8x =- 得x=3(2)C=4(8-3)=20cm s=(8-3)4=202cm解法二: 可以建立直角平面BA 为y 轴 BC 为x 轴, 在AC 的中点坐标(4.2) 和AC 的钭率, 求出直线QP, 从而可求出Q.P 的坐标, 找到PD 的长就能求出秒数。

北师大版2020九年级数学上册1.1菱形的性质与判定自主学习优生训练题3(附答案详解)

北师大版2020九年级数学上册1.1菱形的性质与判定自主学习优生训练题3（附答案详解）1．如图，在菱形ABCD 中，E 为AB 中点，P 是BD 上一个动点，则下列线段的长度等于P A +PE 最小值的是（）A ．BCB ．CEC ．DED ．AC2．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）A ．对角线垂直B ．两对角线相等C ．两对线互相平分D ．两对角线互相垂直平分3．如图，菱形ABCD 对角线AC ，BD 相交于点O ，有下列结论：①OA=OD ，②AC ⊥BD ，③∠1=∠2，④S 菱形ABCD =AC•BD ．其中正确的序号是（）A ．①②B ．③④C ．②④D ．②③4．如图，点E 、F 分别是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5．如图，O 是菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，E 、F 分别是OA 、OC 的中点．下列结论：①ADE EOD S S =；②四边形BFDE 也是菱形；③四边形ABCD 的面积为EF BD ⨯；④ADE EDO ∠∠=；⑤DEF 是轴对称图形．其中正确的结论有（）6．从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD 是菱形，则这个条件是（）A ．AC ⊥BDB ．AD=CDC ．AB=BCD ．AC=BD7．如图，在四边形ABCD 中，,,,E F G F 分别是,,,AB BD CD AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，则四边形满足的一个条件是（）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．AC BD = D ．AD BC =8．如图，在平面直角坐标系中，已知点()()2,0,3,1A B ，若平移点A 到点C ，使以点,,,O A C B 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )A ．向左平移（43-）个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移3个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移3个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移2个单位，再向上平移1个单位9．如图，菱形ABCD 中，AB ∥y 轴，且B （﹣10，1）、C （2，6），则点A 的坐标为（）A ．（﹣10，12）B ．（﹣10，13）C ．（﹣10，14）D ．（2，12） 10．菱形ABCD 的两条对角线长分别为6和4，则菱形ABCD 的面积是_____．11．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，且OE=a ，则菱形ABCD的周长为_____．12．如图已知四边形ABCD中，AB=CD，AB//CD要使四边形ABCD是菱形，应添加的条件是_____________________________（只填写一个条件，不使用图形以外的字母）.13．菱形两条对角线分别长4cm，8cm，则菱形边长为_______.14．如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为______________.15．菱形ABCD的边AB为5cm，对角线AC为8cm，则菱形ABCD的面积为_____cm2．16．如图，菱形花坛的边长为6cm，一个内角为60°，在花坛中用花盆围出两个正六边形的图形（图中粗线部分），则围出的图形的周长为___________ cm.17．如图，菱形ABCD的周长是40 cm，对角线AC为10 cm，则菱形相邻两内角的度数分别为_______.18．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．19．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE＝CF，对角线AC平分∠ECF，(1)求证：四边形AECF为菱形．(2)已知AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积．20．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，E，F分别是AB，AD的中点，连接EF，EC，将△F AE绕点F旋转180°得到△FDM．(1)补全图形并证明：EF⊥AC；(2)若∠B=60°，求△EMC的面积．21．如图，菱形AB CD中，点M、N分别在B C、CD上，且CM=CN，求证：(1)△AB M≌△AND；(2)∠A MN＝∠A NM.22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC，CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）如果∠B=60°，BC=2，求四边形AECD的面积．23．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD 相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．()1求证：四边形BMDN是菱形；()2若4AD=，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．AB=，824．在菱形ABCD中，60∠=，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线ABC=，连接BE、EF．上一点，且CF AE()1若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE EF=（不需证明）；()2若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．25．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）∠BEF=∠BFE．26．在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论．(提示：过点B作BM∥AD交EG的延长线于点M，证明EG//AB且EG=12 AB)参考答案1．B【解析】【分析】作点A关于BD的对称点，然后连接对称点和点E就是最小距离．【详解】解：将点A作关于BD的对称点，即点C，连接CE就是PA+PE的最小值，故选B．点睛：本题主要考查的是菱形的性质以及最小值的计算法则，属于基础题型．作出对称点是解决这个问题的关键．2．D【解析】【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论．【详解】解：能判定四边形是菱形的是两对角线互相垂直平分；理由如下：如图所示：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．3．D【解析】试题解析：∵四边形ABCD是菱形，∴①OA=OC，故此选项错误；②AC⊥BD，正确；③∠1=∠2，正确；④S菱形ABCD=12AC⋅BD，故此选项错误.故选D.点睛：直接利用菱形的性质对角线对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积=对角线乘积的一半．4．B【解析】分析：首先证明△ABE≌△ACF，然后推出AE=AF，证明△AEF是等边三角形，最后可求出∠AFD，∠CFE的度数．详解：连接AC，∵菱形ABCD，∴AB=BC，∠B=∠D=60°，∴△ABC为等边三角形，∠BCD=120°∴AB=AC，∠ACF=12∠BCD=60°，∴∠B=∠ACF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°，又∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE与△ACF中，B ACFAB ACBAE CAF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF ，又∠EAF=∠D=60°，则△AEF 是等边三角形，∴∠AFE=60°，又∠AFD=180°-45°-60°=75°，则∠CFE=180°-75°-60°=45°．故选B ．点睛：此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定、三角形的内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 5．B【解析】【分析】①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．④不正确，根据已知可求得∠FDO=∠EDO ，而无法求得∠ADE=∠EDO ．⑤正确，由已知可证得△DEO ≌△DFO ，从而可推出结论正确．【详解】①正确∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点．∴AE =OE . ∵1122ADE EOD SAE OD OE OD S =⨯⨯=⨯⨯=, ∴ADE EOD S S =,.②正确∵四边形ABCD 是菱形，E ，F 分别是OA ，OC 的中点．∴EF ⊥OD ，OE =OF .∵OD =OD .∴DE =DF .同理：BE =BF∴四边形BFDE 是菱形．③正确∵菱形ABCD的面积1. 2AC BD =⨯∵E、F分别是OA、OC的中点．∴1.2EF AC=∴菱形ABCD的面积=EF×BD.④不正确由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO.⑤正确∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD.∴△DEO≌△DFO.∴△DEF是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选:B.【点睛】考查菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键. 6．D【解析】【分析】根据菱形的判定方法结合各选项的条件逐一进行判断即可得.【详解】A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项符合题意，故选D.【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键. 7．D【解析】因为E，F，G，H是AB，BC，CD，DA的中点，所以EF=12AD，EH∥BC且EH=12BC，GF∥BC且GF=12BC，所以四边形EFGH是平行四边形，当EF=EH，即AD=BC时，四边形EFGH是菱形，故选D.8．C【解析】分析：过点B作BH⊥OA，交OA于点H，利用勾股定理可求出OB的长，进而可得点A 向左或向右平移的距离，由菱形的性质可知BC∥OA，所以可得向上或向下平移的距离，问题得解．详解：过B作射线BC∥OA，在BC上截取BC=OA，则四边形OACB是平行四边形，过B作BH⊥x轴于H，∵B31），∴223+1（），∵A（2，0），∴C（3，1）∴OA=OB，∴则四边形OACB是菱形，∴平移点A到点C，31个单位而得到，故选C．点睛：本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；9．C【解析】【分析】根据两点间距离公式求出BC，再根据菱形的性质即可解决问题．【详解】∵B（﹣10，1）、C（2，6），∴BC=22(102)(16)--+-=22125+=13．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=13，∴点A坐标为（﹣10，14）．故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质、两点间距离公式、坐标与图形性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．10．12【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得其面积．【详解】∵菱形ABCD的两条对角线长分别为6和4，∴其面积为124×6=12．故答案为：12．【点睛】此题考查了菱形的性质．注意熟记①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）．11．8a．【解析】【分析】由菱形的性质易得AC⊥BD，由此可得∠AOB=90°，结合点E是AB边上的中点可得AB=2OE=a，再结合菱形的四边相等即可求得菱形ABCD的周长为8a．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，又∵点E为AB边上的中点，OE=a，∴AB=2OE=2a，∴菱形ABCD的周长=2a×4=8a．故答案为：8a．【点睛】“由菱形的性质得到AC⊥BD，从而得到∠AOB=90°，结合点E是AB边上的中点，得到AB=2OE=2a”是正确解答本题的关键．12．AC⊥BD，或AB=AD（答案不唯一）【解析】【分析】首先根据AB∥CD，AB=CD可得四边形ABCD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AD=AB．也可以根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形添加条件AC⊥BD.【详解】可添加的条件为AD=AB，∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD为菱形，故答案为：AB=AD（答案不唯一）.【点睛】本题考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．13．【解析】分析：根据菱形的性质及勾股定理即可求得其边长的值．详解：菱形的两条对角线分别是4cm，8cm，得到两条对角线相交所构成的直角三角形的两直角边是12×4=2和12×8=4，那么根据勾股定理得到它的斜边即菱形的边长cm．故答案为点睛：本题考查菱形的性质以及勾股定理．14．3【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，OB=4，根据菱形的性质可得BD=8，在根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得AC=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得OH 的长.【详解】∵四边形ABCD是菱形，OB=4，∴OA=OC，BD=2OB=8；∵S菱形ABCD=24，∴AC=6；∵AH⊥BC，OA=OC，∴OH=12AC=3.故答案为：3.【点睛】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式（菱形的面积等于两条对角线乘积的一半）求得AC=6是解题的关键.15．24【解析】【分析】连接BD.利用菱形性质得BD=2OB,OA=12AC，利用勾股定理求OB，通过对角线求菱形面积.【详解】连接BD. AC⊥BD，因为，四边形ABCD是菱形，所以，AC⊥BD，BD=2OB,OA=12AC=4cm,所以，再Rt△AOB中，OB=2222543AB AO-=-=cm,所以，BD=2OB=6 cm所以，菱形的面积是11•682422AC BD=⨯⨯=cm2故答案为：24【点睛】本题考核知识点：菱形的性质.解题关键点：利用勾股定理求菱形的对角线. 16．20【解析】如图，每个三角形都为等边三角形，由于图形中是两个正六边形，菱形花坛的边长为6cm，则每个正三角形的边长为2cm,则围出的图形的周长为102=20⨯cm.故答案：20.17．60°，120°【解析】【分析】首先证明△ABD是等边三角形，则∠D=60°，然后利用菱形的性质求解. 【详解】∵菱形ABCD的边长AD=CD=404=10cm，又∵AC=10cm，∴AD=CD=AC，∴△ACD=60°，∴∠D =60°，∠DAB=120°,故答案为60°，120°【点睛】本题考查了菱形的性质，正确证明△ABC是等边三角形是关键．18．12cm 723cm2【解析】【分析】先求得菱形的边长,由已知条件,推得△BAD为等边三角形,则BD=AB=12cm,,再根据菱形的对角线平分及垂直的性质,求得AC,从而根据菱形的面积公式求得面积.【详解】如图，∵菱形ABCD的周长为48cm，∴AD=DC=BC=AB=12cm∵∠BAD：∠ABC=1：2，∠BAD+∠ABC=180°∴∠BAD=60°，∠ABC=120°，∴△BAD是等边三角形，∴BD=AB=12cm,∴BO=162BD cm,∴AO 2663cm,∴AC =2AO cm, ∴S 菱形ABCD=1122⨯=2, 故答案为：12cm ；2.【点睛】本题考查了菱形的性质,主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决.菱形的性质：①具有平行四边形的性质； ②菱形的四条边相等；③菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.19．（1）证明见解析；（2）S 菱形AECF = 20．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得：OA=OC ，EF ⊥AC ，即可证得AF=CF ，又由四边形ABCD 是矩形，易证得△AOF ≌△COE ，可得OE=OF ，继而可证得四边形AECF 是菱形；（2）首先设CE=x ，则AE=x ，DE=8-x ，然后由勾股定理求得（8-x ）2+42=x 2，继而求得答案．【详解】（1）证明：由矩形可得：OA=OC ，EF ⊥AC ，∴AF=CF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠FAC=∠ECA ，在△AOF 和△COE 中，FAC ECA OA OCAOF COE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△AOF ≌△COE （ASA ），∴OE=OF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AF=CF ，∴四边形AECF是菱形；（2）设CE=x，则AE=x，DE=8﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴BE2+AB2=AE2，∴（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，即AE=5，∴S菱形AECF=EA•AB=5×4=20．【点睛】运用了矩形的性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．20．（1）证明见解析；（2）33.【解析】【分析】（1）①按要求画出图形即可；②连接BD，由已知条件可知EF是△ABD的中位线，由此可得EF∥BD，由菱形的性质可得AC⊥BD，从而可得EF⊥AC；（2）由已知条件易得△ABC是等边三角形，结合点E是AB的中点可得CE⊥AB，结合AB∥CD可得CE⊥MC，在Rt△BCE中由已知条件求得CE的长，由已知易得AE=1，由此可得MD=1，从而可得CD的长，这样即可由S△CME=12MC·CE求出其面积了.【详解】（1）①补全图形如下图所示：②如下图，连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC，∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF∥BD.∴EF⊥AC.（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC.∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是AB的中点，∴CE⊥AB，CE⊥MC.即△EMC是直角三角形，且CE=BC×sin60°3由（1）得MD=AE=12AB=1.∴MC=MD+DC=3.∴S△EMC=12MC×CE=332.【点睛】（1）解第1小题时，连接BD，证得EF是三角形ABD的中位线得到EF∥BD是解答本问的关键；（2）解第2小题时，证得△ABC是等边三角形，结合点E是AB边的中点得到CE⊥AB，从而得到CE⊥MC是解题的关键.21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】整体分析：（1）根据菱形的性质，用SAS证明△AB M≌△AND；（2）由（1）△AB M≌△AND得，AN=AM，根据等角对等边证明.证明：⑴∵四边形AB CD是菱形∴AB＝A D，∠B＝∠D，B C＝DC又∵CM＝CN∴B C－CM＝DC－CN即B M＝DN∵AB＝A D，∠B＝∠D，B M＝DN∴△AB M≌△A DN（S A S）⑵∵△AB M≌△A DN∴A M＝A N∴∠A MN＝∠A NM22．（1）证明见解析；（2）23.【解析】【分析】（1）直接利用平行四边形的判定方法得出四边形AECD是平行四边形，再利用直角三角形的性质得出CD=AD，即可得出四边形AECD是菱形；（2）利用菱形的性质和平行四边形的性质得出AC，ED的长，进而得出菱形面积．【详解】（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形AECD是平行四边形，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，∴四边形AECD是菱形；（2）解：连接DE．∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°∴AB=4，3∵四边形AECD 是菱形，∴EC=AD=DB ，又∵EC ∥DB∴四边形ECBD 是平行四边形，∴ED=CB=2，∴S 菱形AECD =12×AC×【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质以及直角三角形的性质，正确利用菱形的性质是解题关键．23．(1)证明见解析；（2）【解析】分析：（1）先由已知条件证四边形BMDN 是平行四边形，结合MN 垂直平分BD 即可得到平行四边形BMDN 是菱形；（2）设BM=x ，由四边形BMDN 是菱形可得DM=BM=x ，由此可得AM=AD-DM=8-x ，这样在Rt △ABM 中由勾股定理可求得x=5，这样由S 菱形BMDN =MD·AB 即可求出其面积了；在Rt △ABD 中由已知易得BD=S 菱形BMDN =MD·AB=12BD·MN 即可求得MN 的长. （1）∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，90A ∠=，∴MDO NBO ∠=∠，DMO BNO ∠=∠，在DMO 和BNO 中， MDO NBO BO DO MOD NOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴DMO ≌()BNO ASA ，∴OM ON =，∵OB OD =，∴四边形BMDN 是平行四边形，∵MN BD ⊥，∴平行四边形BMDN 是菱形．（2）∵四边形BMDN 是菱形，∴MB MD =，设MD 长为x ，则MB DM x ==，在Rt AMB 中，222BM AM AB =+即222(8)4x x =-+，解得：5x =，即5MD =．菱形BMDN 的面积5420MD AB =⋅=⨯=，∵BD =又∵菱形BMDN 的面积1202BD MN =⋅=，∴2MN == 点睛：这是一道特殊四边形的综合题，熟悉“矩形的性质、菱形的判定和性质及菱形面积的计算方法”是正确解答本题的关键.24．(1)见解析;(2) BE EF =．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质结合∠ABC ＝60°可得△ABC 是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CBE ＝12∠ABC ＝30°，AE ＝CE ，所以CE ＝CF ，然后等边对等角的性质可得∠F ＝∠CEF ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠F ＝30°，从而得到∠CBE ＝∠F ，根据等角对等边的性质即可证明；（2）图2，过点E 作EG ∥BC ，交AB 于点G ，根据菱形的性质结合∠ABC ＝60°可得△ABC 是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到AB ＝AC ，∠ACB ＝60°，再求出△AGE 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AG ＝AE ，从而可以求出BG ＝CE ，再根据等角的补角相等求出∠BGE ＝∠ECF ＝120°，然后利用“边角边”证明△BGE 和△ECF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；图3，证明思路与方法与图2完全相同．【详解】() 1∵四边形ABCD 为菱形，∴AB BC =，又∵ABC 60∠=，∴ABC 是等边三角形，∵E 是线段AC 的中点，∴1CBE ABC 302∠∠==，AE CE =， ∵AE CF =，∴CE CF =，∴F CEF ∠∠=，∵F CEF ACB 60∠∠∠+==，∴F 30∠=，∴CBE F ∠∠=，∴BE EF =；()2图2:BE EF =．图3:BE EF =．图2证明如下：过点E 作EG //BC ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB BC =，又∵ABC 60∠=，∴ABC 是等边三角形，∴AB AC =，ACB 60∠=，…又∵EG //BC ，∴AGE ABC 60∠∠==，又∵BAC 60∠=，∴AGE 是等边三角形，…∴AG AE =，∴BG CE =，…又∵CF AE =，∴GE CF =，又∵BGE ECF 120∠∠==，∴()BGE ECF SAS ≅，∴BE EF =；图3证明如下：过点E 作EG //BC 交AB 延长线于点G ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB BC =，又∵ABC 60∠=，∴ABC 是等边三角形，∴AB AC =，ACB 60∠=，又∵EG //BC ，∴AGE ABC 60∠∠==，又∵BAC 60∠=，∴AGE 是等边三角形，∴AG AE =，∴BG CE =，又∵CF AE =，∴GE CF =，又∵BGE ECF 60∠∠==，∴()BGE ECF SAS ≅，∴BE EF．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用菱形的性质得到AD=CD，∠A=∠C，进而利用AAS证明两三角形全等；（2）根据△ADE≌△CDF得到AE=CF，结合菱形的四条边相等即可得到结论．试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠A=∠C，∵DE⊥BA，DF⊥CB，∴∠AED=∠CFD=90°，在△ADE和△CDE，∵AD=CD，∠A=∠C，∠AED=∠CFD=90°，∴△ADE≌△CDE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB，∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE．点睛：本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的性质以及AAS证明两三角形全等．26．见解析【解析】试题分析：本题可根据菱形的定义来求解．E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是三角形ADB的中位线，同理，HF是三角形ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且相等于AB，因此EG∥HF，EG=HF．因此四边形EHFG是平行四边形，E、H是AD，AC的中点，那么EH=12CD，要想证明EHFG是菱形，那么就需证明EG=EH，那么就需要AB、CD满足AB=CD的条件．试题解析：当AB=CD时，四边形EGFH为菱形．证明：过点B作BM∥AD交EG的延长线于点M，则∠DEG=∠GMB.∵G为BD的中点，∴DG=GB.又∵∠DGE=∠BGM，∴△DGE≌△BGM，∴EG=GM，ED=BM.∵E为AD的中点，∴AE=ED，∴BM∥AE，∴四边形AEMB为平行四边形，∴EM∥AB，∴EG∥12AB，EG=12AB.同理FH∥12CD，GF∥12CD，GF=12CD，∴四边形EGFH为平行四边形．∵AB=CD，∴GF=HF，∴平行四边形EGHF是菱形．。

1.1.1 菱形的性质与判定(第一课时)

于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝
1 2
AC，BO＝
1 2
BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
AB AO2 BO2 32 62 3 5 cm.
∴菱形的周长＝4AB＝4×3 5 ＝12 5(cm)．
第一章特殊平行四边形
1. 菱形的性质与判定（第1课时）菱形的性质
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
情境引入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形. 观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？
在Rt△AOB 中，由勾股定理，得 OA2 OB2 AB2 , ∴ OA AB2 OB2 62 32 3 3 . ∴ AC=2OA= 6 3（菱形的对角线互相平分）.
图1-2
随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O. 已知AB=5 cm，AO=4 cm，求 BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）. 在Rt△AOB中，由勾股定理得AO2+BO2=AB2, ∴ BO AB2 AO2 52 42 3 . ∵ BD=2BO=2×3=6（菱形的对角线互相平分）. ∴ BD=6 cm.
练习 1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交
2. 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，

最新北师大版九年级数学上册全册课时练习(附详细解析过程)

北师大版九年级数学上册全册课时练习1.1菱形的性质与判定 (1)1.2矩形的性质与判定 (11)1.3正方形的性质与判定 (19)2.1 认识一元二次方程 (28)2.2 用配方法求解一元二次方程 (31)2.3 用公式法求解一元二次方程 (36)2.4 用因式分解法求解一元二次方程 (40)2.5 一元二次方程的根与系数的关系 (44)2.6 应用一元二次方程 (48)3.1 用树状图或表格求概率 (54)3.2用频率估计概率 (65)4.1 成比例线段 (72)4.3相似多边形 (75)4.4 探索三角形相似的条件 (81)*4.5相似三角形判定定理的证明 (93)4.6利用相似三角形测高 (100)4.7相似三角形的性质 (108)4.8图形的位似 (115)5.1投影 (125)5.2视图 (133)6.1反比例函数 (142)6.2反比例函数的图象与性质 (148)6.3 反比例函数的应用 (158)1.1菱形的性质与判定一、选择题（本题包括12个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则的△AEF的面积是（）A. 4B. 3C. 2D.2. 如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD 交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A. 6.5B. 6C. 5.5D. 53. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）A. B. 2 C. D.4. 如图，在菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A. 3.5B. 4C. 7D. 145. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A. 18B. 18C. 36D. 366. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y =（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A. -12B. -27C. -32D. -367. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A. 两组对边分别平行B. 两组对角分别相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直8. 某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A. 20mB. 25mC. 30mD. 35m9. 如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A. 108°B. 72°C. 90°D. 100°10. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（）A. 10B. 20C. 24D. 4811. 在菱形ABCD中，下列结论错误的是（）A. BO=DOB. ∠DAC=∠BACC. AC⊥BDD. AO=DO12. 如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（）A. 30B. 24C. 18D. 6二、填空题（本题包括4个小题）13. 如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件________时，四边形AEDF 是菱形．14. 如图，在△ABC中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是________就可以证明这个多边形是菱形15. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：_________，使四边形ABCD成为菱形．16. 如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是_________三、解答题（本题包括4个小题）17. 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）求证：BC=ED．18. 如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．19. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．20. 如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD．试判断四边形ABCD的形状并证明答案1.【答案】B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=AB×sin60°=∴EF=AE=∴AM=AE•sin60°=3，∴△AEF的面积是：EF•AM=××3=.故选:B.2.【答案】C【解析】根据题意可得四边形AEOF和四边形CGOH为菱形，且OH=EB，设AE=x，则BE=8－x，根据菱形的周长之差为12，可得两个菱形的边长之差为3，即x－（8－x）=3，解得：x=5．5 3. 【答案】D【解析】根据菱形的性质，在菱形ABCD中，AB=BC，E为AB的中点，因此可知BE=，又由CE⊥AB，可知△BCA为直角三角形，∠BCE=30°，∠EBC=60°，再由菱形的对角线平分每一组对角，可得∠EBF=∠EBC=30°，因此可求∠BFE=60°，进而可得tan∠BFE=．故选D 4. 【答案】A【解析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD 的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故选A．5. 【答案】B【解析】过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=，∴菱形ABCD的面积是=，故选B．6. 【答案】C【解析】∵A（﹣3，4），∴OA==5，∵四边形OABC是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，故B的坐标为：（﹣8，4），将点B的坐标代入得，4=，解得：k=﹣32．故选C．7. 【答案】D【解析】A、不正确，两组对边分别平行；B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确；C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选D．8. 【答案】C【解析】如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF,∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=2.5（m），同理可证：AF=EF=2.5（m）∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），故选C．9. 【答案】B【解析】如图，连接AP，∵在菱形ABCD中，∠ADC=72°，BD为菱形ABCD的对角线，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°.∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，∴PA=PD.∴∠DAP=∠ADP=36°.∴∠APB=∠DAP+∠ADP=72°.又∵菱形ABCD是关于对角线BD对称的，∴∠CPB=∠APB=72°.故选B.点睛：连接AP，利用线段垂直平分线的性质和菱形的性质求得∠APB的度数是解本题的基础，而利用通常容易忽略的“菱形是关于对称轴所在直线对称的”，由轴对称的性质得到∠CPB=∠APB才是解决本题的关键.10.【答案】C【解析】由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，∴这个菱形的面积是：×6×8=24．故选C．11. 【答案】D【解析】根据菱形的性质：“菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角”可知：选项A、B、C的结论都是正确的，只有选项D的结论不一定成立.故选D.12. 【答案】B【解析】∵P，Q分别是AD，AC的中点，∴PQ是△ADC的中位线，∴DC=2PQ=6.又∵在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，∴C菱形ABCD=6+6+6+6=24.故选B.13. 【答案】AB=AC或∠B=∠C【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形.所以当四边形AEDF中有一组邻边相等时，它就是菱形了.由此在△ABC中可添加条件：（1）AB=AC或（2）∠B=∠C.（1）当添加条件“AB=AC”时，∵AD是△ABC的高，AB=AC，∴点D是BC边的中点，又∵DE∥AC，DF∥AB，∴点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=AB，AF=AC，∴AE=AF，∴平行四边形AEDF 是菱形.（2）当添加条件“∠B=∠C”时，则由∠B=∠C可得AB=AC，同（1）的方法可证得：AE=AF，∴平行四边形AEDF是菱形.14. 【答案】AB=AC，答案不唯一【解析】根据DE∥AC，DF∥AB，可直接判断出四边形AEDF是平行四边形，要使其变为菱形，只要邻边相等即可，从而可以得出．条件AE=AF（或AD平分角BAC，等）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又AE=AF，∴四边形AEDF是菱形．15. 【答案】AB=AD，答案不唯一【解析】由已知条件可证四边形ABCD是平行四边形，而要使平行四边形是菱形，根据菱形的判定方法可添加：（1）四边形ABCD中，有一组邻边相等；（2）四边形ABCD的对角线互相垂直；因此，本题的答案不唯一，如可添加：AB=AD，证明如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形.点睛：本题方法不唯一，由已知条件可证得四边形ABCD是平行四边形，结合菱形判定方法中的：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线相等的平行四边形是菱形；就可得到本题添加条件的方法有3种：（1）直接添加四组邻边中的任意一组相等；（2）直接添加对角线AC⊥BD；（3）在题中添加能够证明（1）或（2）的其它条件.16. 【答案】菱形【解析】∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC，∴四边形ADBC是菱形．故答案为：菱形．17. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，可证得：CE=AE，再由△ACD与△ACE（2）由（1）可得DC∥BE，关于直线AC对称，可得AD=AE=CE=CD，从而可得四边形ADCE是菱形；DC=AE=BE，从而可证得：四边形BCDE是平行四边形，就可得到：BC=DE.（1）证明：∵∠C=90°，点E为AB的中点，∴EA=EC.∵△ACD与△ACE关于直线AC对称．∴△ACD≌△ACE，∴EA=EC=DA=DC，∴四边形ADCE是菱形；（2）∵四边形ADCE是菱形，∴CD∥AE且CD=AE，∵AE=EB，∴CD∥EB且CD=EB∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE=BC．18. 【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由△ABC是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点可证得：EF=EC=FC；由△DEC是等边三角形可得：DE=DC=EC，从而可得EF=FC=CD=DE，由此可得：四边形EFCD是菱形；（2）连接DF交AC于点G，由已知易证EF=EC=4，再由菱形的对角线互相垂直平分，可得EG=2，再由勾股定理可得：FG=，从而可得DF=.解：（1）∵△ABC与△CDE都是等边三角形∴AB=AC=BC，ED=DC=EC∵点E、F分别为AC、BC的中点∴EF=AB，EC=AC，FC=BC∴EF=EC=FC，∴EF=FC=ED=DC，∴四边形EFCD是菱形．（2）连接DF，与EC相交于点G，∵四边形EFCD是菱形，∴DF⊥EC，垂足为G ，EG=EC，∴∠EGF=90°，又∵AB=8， EF=AB，EC=AC，∴EF=4，EC=4，EG=2，∴GF=，∴DF=2GF=.19. 【答案】（1）证明见解析；（2）直角三角形．解：（1）四边形ABCD中，AB∥CD，过C作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），因为AB∥CD，所以；AC平分∠BAD，所以，因此，所以AD=CD，所以四边形AECD是菱形.（2）由（1）知四边形AECD是菱形，所以AE=CE；点E是AB的中点，AE=BE，所以CE=AE=BE，所以△ABC是直角三角形（斜边上的中线等于斜边的一半是直角三角形）20. 【答案】四边形ABCD是菱形．证明见解析.【解析】过点A作AR⊥BC于点R，AS⊥CD于点S，由已知可得：AD∥BC，AB∥CD，从而得到四边形ABCD是平行四边形；由矩形纸条等宽可得AR=AS，由面积法可证得：BC=DC，从而可得：平行四边形ABCD是菱形.解：四边形ABCD是菱形．理由如下：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR=AS，∵S平行四边形ABCD=AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形.点睛：本题第一步容易证得四边形ABCD是平行四边形；第二步抓住题中条件“等宽的矩形”通过作辅助线AR⊥BC，AS⊥CD，就可得AR=AS，再用“面积法”证得：BC=CD是解决本题的关键.1.2矩形的性质与判定一、选择题（本题包括11个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B 与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. BD的长度增大C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD3. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A. 17B. 18C. 19D. 204. 如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A. 10cmB. 8cmC. 6cmD. 5cm5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（）A. 4B. 3C. 2D. 16. 一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是212，则该矩形的面积为（）A. 602B. 702C. 1202D. 14027. 如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=，则OE=（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）A. 对角线相等B. 两组对边分别平行C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等9. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两部分，则此矩形的周长为（）A. 16cmB. 22cmC. 26cmD. 22cm或26cm10. 矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）A. 57.5°B. 32.5°C. 57.5°，23.5°D. 57.5°，32.5°11. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）A. 对角线相等的四边形B. 对角线垂直的四边形C. 对角线互相平分且相等的四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形二、填空题（本题包括3个小题）12. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．13. 平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________14. 木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为15cm，宽为8cm，对角线为17cm，这个桌面_________（填”合格”或”不合格”）三、解答题（本题包括5个小题）15. 如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形16. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积17. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：四边形ABCD是矩形18. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？19. 如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE答案1. 【答案】C【解析】由题意可知，当向右扭动框架时，BD可伸长，故BD的长度变大，四边形ABCD由矩形变为平行四边形，因为四条边的长度不变，所以四边形ABCD的周长不变.原来矩形ABCD 的面积等于BC乘以AB，变化后平行四边形ABCD的面积等于底乘以高，即BC乘以BC边上的高，BC边上的高小于AB，所以四边形ABCD的面积变小了，故A,B,D说法正确，C说法错误.故正确的选项是C.2. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误3. 【答案】D【解析】∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，∴OM=CD=2.5，AC==13，∵O是矩形ABCD 的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5,∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故选D．4. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D．5. 【答案】A【解析】在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．故选A．6. 【答案】A【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，故矩形的面积=21÷（50%-15%）=21÷35%=60（cm2）．故选A．7.【答案】A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=60°，∴△ADO是等边三角形，∴OA=，∠OAD=60°，∴∠OAE=30°，∵OE⊥AC，∴△OAE是一个含30°的直角三角形，∴OE=1，故选A．8.【答案】A【解析】∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选A．9. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，当AE=3cm时，AB=AE=3=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm；当AE=5cm时，AB=AE=5cm=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm；故选D．10. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，AB∥CD，AC=BD，AO=OC，OB=OD，∴OB=OA=OC=OD，∠OAB=∠OCD，∠DAO=∠OCB，∴∠OAD=∠ODA，∠OCB=∠OBC，∠ODC=∠OCD，∠OAB=∠OBA=×（180°﹣∠AOB）=×（180°﹣65°）=57.5°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=90°﹣57.5°=32.5°，即∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=32.5°，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD=57.5°，对角线与各边所成的角度是57.5°和32.5°，故选D．点睛：本题考查了矩形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能正确运用矩形的性质进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等且互相平分．11. 【答案】B【解析】∵四边形EFGH是矩形，∴∠E=90°，∵EF∥AC，EH∥BD，∴∠E+∠EAG=180°，∠E+∠EBO=180°，∴∠EAO=∠EBO=90°，∴四边形AEBO是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故选B．12. 【答案】AC=BD．答案不唯一【解析】添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．答案不唯一．13.【答案】①⑤【解析】要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可；故答案为：①⑤．14. 【答案】合格【解析】勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形的直角三角形.∵∴这个桌面合格.15. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由（1）知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．∴EH=GF．在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．∴GH=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°-α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．∴∠DHG=∠DGH=．∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．16. 【答案】12.【解析】利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC 中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得CD（或BD）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD•BD=AD•CD．解：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE=CD．在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD，∴BD=AE，∴平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，CD=BC=3，∴AD==4，∴四边形AEBD的面积为：BD•AD=CD•AD=3×4=12．17. 【答案】证明见解析.【解析】欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠F.∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．18. 【答案】AD＝140cm．【解析】过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM=BC=80cm，AB=CM=60cm，∠B=∠AMC，求出∠D=∠MCD，求出CM=DM=60cm，代入AD=AM+DM求出即可．解：过C作CM∥AB，交AD于M，∵∠A=120°，∠B=60°，∴∠A+∠B=180°，∴AM∥BC，∵AB∥CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，∵AD∥BC，∠C=150°，∴∠D=180°﹣150°=30°，∴∠MCD=60°﹣30°=30°=∠D，∴CM=DM=60cm，∴AD=60cm+80cm=140cm．19. 【答案】证明见解析.【解析】先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC 的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．1.3正方形的性质与判定一、选择题（本题包括11个小题.每小题只有1个选项符合题意）（2）如果a≥0，1. 下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；那么=a;（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中不正确命题的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2. 下列命题，真命题是（）A. 两条对角线相等的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形D. 两条对角线平分且相等的四边形是正方形3. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ①④⑤C. ①③④D.③④⑤4. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当AC⊥BD时，它是菱形C. 当∠ABC=90°时，它是矩形D. 当AC=BD时，它是正方形5. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A. ∠D=90°B. AB=CDC. AD=BCD. BC=CD6. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）A. 22.5°角B. 30°角C. 45°角D. 60°角7. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A. AC=BD，AB∥CD，AB=CDB. AD∥BC，∠A=∠CC. AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD. AO=CO，BO=DO，AB=BC8. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A. （1）（2）（5）B. （2）（3）（5）C. （1）（4）（5）D. （1）（2）（3）9. 四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（）A. ①④⑥B. ①③⑤C. ①②⑥D. ②③④10. 下列说法中错误的是（）A. 四个角相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的矩形是正方形C. 对角线相等的菱形是正方形D. 四条边相等的四边形是正方形11. 矩形的四个内角平分线围成的四边形（）A. 一定是正方形B. 是矩形C. 菱形D. 只能是平行四边形二、填空题（本题包括2个小题）12. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是．13. 把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上．（1）正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成；（2）菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成；（3）矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成．三、解答题（本题包括6个小题）14. 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：CE=CF；（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．15. 已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．16. 如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．17. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．18. 如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．19. 如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明：四边形AHBG是菱形；（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）答案1. 【答案】B【解析】（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定是否是直角边，所以第三边长不唯一，故命题错误；（2）符合二次根式的意义，命题正确；（3）∵点P（a，b）在第三象限，∴a＜0、b＜0，∴﹣a＞0，﹣b+1＞0，∴点P（﹣a，﹣b+1）.在第一象限，故命题正确；（4）正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形，故命题错误；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是正确的．故选A．2. 【答案】C【解析】A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误；B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故B错误；C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形，故C正确；D、两条对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，故D错误；故选C．3. 【答案】B【解析】解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△D EF 是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF（SAS）；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形（故①正确）．当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，（故④正确）．由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4．∴DE=DF=4（故③错误）．当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8（故⑤正确）．故选：B．4. 【答案】D【解析】A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC 时，它是菱形，故A选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选D．5.【答案】D【解析】由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定为矩形，根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等”即可判定为正方形，故选D．6. 【答案】C【解析】一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故选C．7. 【答案】C【解析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．A，不能，只能判定为矩形；B，不能，只能判定为平行四边形；C，能；D，不能，只能判定为菱形．故选C．8. 【答案】A【解析】拿两个“90°、60°、30°的三角板一试可得：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（5）等腰三角形．而菱形、正方形需特殊的直角三角形：等腰直角三角形．故选A．9. 【答案】C【解析】A．符合邻边相等的矩形是正方形；B．可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形；D．可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形；故选C．10. 【答案】D【解析】A正确，符合矩形的定义；B正确，符合正方形的判定；C正确，符合正方形的判定；D不正确，也可能是菱形；故选D．11. 【答案】A【解析】矩形的四个角平分线将举行的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个。

第1讲菱形的性质与判定(解析版)

第1讲菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度）【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)解答方法：∵ 设菱形的两条对角线的长分别为厘米厘米x x 3,2，∴ 122132=⋅⋅=x x S 菱形，∴ 解得舍去）(2,221-==x x ， ∴ 对角线的长分别为cm cm 6,4。

答案：cm cm 6,4。

【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。

【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★) 解答方法：菱形面积是224286cm =÷⨯；∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得，边长为5cm ，则周长是20cm ．知识精讲目标导航故答案为24，20．解答：24,20【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★) A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选 C．答案：C【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）(★★) A．60°B．15°C．30°D．90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°．解答：A【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°．解答：60【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ BCD CA CD CB ∠=平分,．∴ CE CE DCE BCE =∠=∠又.,∴ △BCE ≌△COB （SAS ）．∴ ∠CBE=∠CDE ．∵ 在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠AFD=∠FDC∴ ∠AFD=∠CBE ．【总结方法】通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第一章菱形的性质与判定》同步练习题附含答案

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第一章菱形的性质与判定》同步练习题附含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形2．如图，菱形ABCD的周长为8，∠ABC=120°，则AC的长为（）A．2 √3B．2 C．√3D．13．如图，在菱形ABOC中，对角线OA在y轴的正半轴上，且OA=4，直线y=23x+43过点C，则菱形ABOC的面积是 ( ）A．4 B．323C．8 D．1634．如图，两条宽度都为3cm的纸条，交叉重叠放在一起，它们的交角α为60°，则它们重叠部分（阴影部分）的面积为（）A．2√3cm2 B．3√3cm2 C．4√3cm2 D．6√3cm25．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为√3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：√2D．1：√36．如图有一张长为12，宽为8的长方形（矩形）纸片，先将其上下对折，再左右对折，最后沿着虚线剪下一个直角三角形①，若该直角三角形①的直角边长为整数，将①展开可得一个四边形，则下列哪个选项不能作为该四边形的面积（）A．18 B．24 C．28 D．307．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°8．如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有（）个。

菱形的性质和判定(含解析)

菱形的性质和判定一、选择题1、如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点,BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ )A 。

5B 。

7C .8D .二、解答题2、如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O,DE//AC，CE//BD，求证：OE=BC3、如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△的位置，AB与相交于点D，AC与、分别交于点E、F．（1）求证：△BCF≌△．(2）当∠C=α度时，判定四边形的形状并说明理由．4、如图,矩形ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线交AD 、BC 于点E 、F,AC 与EF 交于点O ，连结AF 、CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB=3,AD=4，求菱形AFCE 的边长。

5、如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF∥AB．（1)求证：CF=AD ；（2）若∠ACB=90°,试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由．6、如图,将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠,使B 1点落在A 1D 1边上的B 点处；再将矩形A 1B 1C 1D 1沿BG 折叠，使D 1点落在D 点处且BD 过F 点．（1)求证：四边形BEFG 是平行四边形；(2）当∠B 1FE 是多少度时,四边形BEFG 为菱形？试说明理由．菱形的性质和判定的答案和解析一、选择题1、答案：B试题分析：作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形,则CH=AB=4，AH=BH=4，再利用勾股定理计算出CP=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可。

解：作CH⊥AB于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8,∠B=60°,∴△ABC为等边三角形，∴CH=AB=4，AH=BH=4，∵PB=3,∴HP=1，在Rt△CHP中，CP= =7，∵梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，∴当点A′在PC上时,CA′的值最小，∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB，∴∠APQ=∠CQP，∴∠CQP=∠CPQ，∴CQ=CP=7．故选：B．二、解答题2、答案：证明见解析试题分析：先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED 是矩形，利用勾股定理即可求出BC=OE．证明：∵DE∥AC，CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形,∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形，∴DE=OC，∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，∴BC===OE3、答案：（1)见解答过程(2)见解答过程试题分析:（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到=AB=BC，∠A=∠=∠C，∠BD=∠，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△（2)由旋转的性质得到∠=∠A,根据平角的定义得到∠DEC=180°-α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°—∠—∠C—∠=180°-α，证的四边形是平行四边形，由于=BC，即可得到四边形是菱形。

九年级数学上册第一章1菱形的性质与判定《菱形》知识讲解及例题演练(含解析)(新)北师大版

菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AE F为等边三角形，从而∠AEF ＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵ ∠B＝60°，∴ △ABC是等边三角形．∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴ ∠ACF＝∠B＝60°．又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60°∴ ∠BAE＝∠CAF．∴ △ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴ △AEF为等边三角形．∴ ∠AEF＝60°．又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴ ∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【答案】C．【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【总结升华】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．举一反三：【变式】（2015春•潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB 的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．类型二、菱形的判定3、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t （s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）．故答案为：6s．【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【答案与解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵ ∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴ ∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵ ∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴ ∠BAE＝∠CAF．∴ △ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵ ∠BAC＝∠EAF＝60°，∴ ∠EAB＝∠FAC．∵ ∠ABC＝∠ACD＝60°，∴ ∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴ △ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．。

(含答案)九年级数学北师大版上册课时练第1章《菱形的性质与判定》(1)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第1单元菱形的性质与判定一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.菱形不具备的性质（）A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等2.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是（）A.5B.20C.24D.323.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中全等的直角三角形共有()A.3对B.4对C.5对D.6对4.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,若EF=5,则菱形ABCD的周长为（）A.20B.30C.40D.505.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,点E是CD上一点,连接OE,若OE=CE,则OE的长是（）6.C.3D.4A.2B.527.已知菱形的周长为8,两邻角的度数比为1:2,则菱形的面积为（）A.83B.8C.43D.238.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△'''.当点'与点C重合时,点A与点'之间的距离为()A.6B.8C.10D.129.下列条件中,不能判定一个四边形是菱形的是()A.一组邻边相等的平行四边形B.一条对角线平分一组对角的四边形C.四条边都相等的四边形D.对角线互相垂直平分的四边形10.下列条件中,能判定▱ABCD是菱形的是（）A..=B.⊥.C.=D..⊥11.如图,下列四个条件中,能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A.∠=90∘B.=C.=.D.=.12.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC翻转,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形13.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是()A.一组邻边相等的四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形二、填空题（本大题共7小题，共21分）14.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥AD于点E,交BC于点F,则EF的长为.15.16.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E在线段BO上,连接AE,若CD=2BE,∠DAE=∠DEA,EO=1,则线段AE的长为.17.18.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=60∘,M为AD的中点,P为对角线BD上一动点,连接PA和PM,则PA+PM的最小值是。

北师大版九年级上册数学1 1菱形的性质与判定练习题(附答案)

北师大版九年级上册数学菱形的性质与判定练习题（附答案）一、单选题1.下列命题中正确的是（）A. 平分弦的直径垂直于弦B. 与直径垂直的直线是圆的切线C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 联结等腰梯形四边中点的四边形是菱形2.菱形的周长为，高为，则该菱形两邻角度数比为（）A. 5:1B. 4:1C. 3:1D. 2:13.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（）A. B. C. D.4.如图，在平面直角坐标系中，已知点，若平移点到点，使以点为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )A. 向左平移（）个单位，再向上平移1个单位B. 向左平移个单位，再向下平移1个单位C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位5.下列说法中，错误的是( )A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形二、填空题6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，其对角线BD的长为________.7.如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，请再添加一个条件：________，使四边形ABCD成为菱形（不再标注其它字母）。

8.菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至E，使得CE=BC，点F在DE上，DF=6，AG平分∠BAF，与线段BC 相交于点G，若CG=2，则线段AB的长度为________．9.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，BF=6，则四边形ABEF 的面积为________ 。

10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为________．三、解答题11.求证：顺次连接一个等腰梯形的各边中点，所得到的四边形是菱形．12.如图（1），在∆ABC中，AB=BC=5，AC=6，∆ABC沿BC方向平移得到△ECD，连接AE、AC和BE相交于点O。

菱形的性质和判定(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题题1：菱形的定义是什么？答：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．问题2：菱形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？答：菱形是轴对称图形，两条对角线均为对称轴；是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．问题3：菱形有哪些性质？答：边：菱形的四条边都相等；对角线：菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；面积：菱形对角线乘积的一半．问题4：菱形的判定有哪些？答：边：四条边都相等的四边形是菱形；对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．问题5：一条对角线平分一组对角的四边形是菱形吗？答：本结论错误．一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．举反例：菱形的性质和判定（北师版）一、单选题(共11道，每道9分)1.下列说法错误的是( )A.菱形的对边互相平行B.菱形的对角相等C.菱形的对角线相等D.菱形的每一条对角线平分一组对角答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质2.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )A.对角线互相平分B.邻角互补C.每条对角线平分一组对角D.对角相等答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质3.下列说法正确的是( )A.对角线相等的平行四边形是菱形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.有一个角是直角的平行四边形是菱形答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的判定4.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质5.菱形ABCD的周长为8，高为1，则该菱形两邻角的度数之比为( )A.3:1B.4:1C.5:1D.6:1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质6.如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判断平行四边形ABCD是菱形的是( )A.AB=BCB.AC⊥BDC.BD平分∠ABCD.AC=BD答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的判定7.如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，则∠CDE的度数为( )A.30°B.25°C.20°D.35°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质8.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=50°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB 的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.80°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质9.在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质10.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是( )A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的判定11.如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列结论错误的是( )A.DA=DEB.∠EAC=90°C.BD+AD=CED.∠ABC=2∠E答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行四边形的性质与判定。