初一数学角的计算提高训练题

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初一数学下学期培优训练小专题06 三角形折叠中的角度问题

初一数学下学期培优训练小专题06 三角形折叠中的角度问题【例题讲解】【原题再现】有这样一道题：如图1，将ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置．试探索A ∠与12∠+∠之间的数量关系，并说明理由．（1）小明提出一种正确的解题思路：连接AA '，则么1∠、2∠分别为AEA '∆、ADA '∆的外角，…… 请你按照小明的思路解决上述问题．（2）【变式探究】如图2，若将原题中“点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置”变为“点A 落在四边形BCDE 外点A '的位置”，试猜想此时A ∠与1∠、2∠之间的数量关系，并说明理由．（3）【结论运用】将四边形纸片(90ABCD C ∠=︒，AB 与CD 不平行）沿EF 折叠成图3的形状，若1110∠=︒，240∠=︒，直接写出ABC ∠的度数．解：（1）图1中，结论：2∠BAC =∠1+∠2，理由是：连接AA ′． ∵沿DE 折叠A 和A ′重合，∴∠DAE =∠DA ′E ，∠EA ′A =∠EAA ′，∠DA ′A =∠DAA ′， ∵∠1=∠EA ′A +∠EAA ′，∠2=∠DA ′A +∠DAA ′， ∴∠1+∠2=∠EA ′A +∠EAA ′+∠DA ′A +∠DAA ′=2∠BAC ；（2）如图2，结论：2∠A =∠1-∠2．理由：设EA ′交AC 于J ．∵∠1=∠EJA +∠A ，∠EJA =∠A ′+∠2， ∴∠1=∠A ′+∠A +∠2=2∠A +∠2， ∴2∠A =∠1-∠2；（2）如图，根据折叠知：∠AEF =∠A EF '，∠EFD =∠'EFD ，AEA'=∠AEF=180°-110°=70°，∵∠1=110°，∴∠2∴∠AEF=35°，∵∠2=40°，∴2∠EFD=180°+∠2=220°，∴∠EFD=110°，∴∠A+∠D=360°-(∠AEF+∠EFD)= 215°，∴∠B=360°-(∠A+∠D)-∠C = 55°．【综合演练】1．如图，在△ABC中，点D是BC上的点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，若∠B=∠BAE=50°，则∠CDE的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°2．如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC 于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上的点G处，此时∠BDC＝82°，则原三角形的∠B 的度数为（）A．57°B．60°C．63°D．70°3．将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C=50°，∠1=85°，则∠2的度数等于（）A．10°B．15°C．20°D．25°4．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A 为（）A ．40°B ．42°C ．30°D ．52°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共0分)5．如图，三角形纸片ABC 中，70A ∠=︒，75B ∠=︒．将三角形纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 内，那么12∠+∠=_____________︒．6．在△ABC 中，点E 、F 分别为边AB 、AC 上的点，把△ABC 沿EF 翻折，翻折后的图形如图所示．若1+2110∠∠=︒，则A ∠的度数为___________．7．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，∠1＝55°，则∠2＝________°．8．将△ABC 纸片沿DE 按如图的方式折叠．若∠C ＝50°，∠1＝85°，则∠2等于______．三、解答题(共0分)9．如图，将ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点'A的位置，∠+∠之间的数量关系，并说明理由．(1)探索A∠与12(2)如果点A落在四边形BCDE外点''A的位置，A∠与1∠之间的数量关系有何变化，请说明理由．∠、210．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝_______；(2)【问题推广】如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP 于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数．(3)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，则∠BPC＝_______；(4)【拓展提升】在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF 的角平分线交于点Q ，若∠EBF ＝α，∠DCF ＝β，直接写出∠Q 和α，β之间的数量关系． 11．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部A '的位置且A '与点C 在直线AB 的异侧，折痕为DE ，已知90C ∠=︒，30A ∠=︒．（1）求12∠-∠的度数；（2）若保持A DE '的一边与BC 平行，求ADE ∠的度数．12．将ABC 纸片的一角CAB ∠折叠，使点A 落在点P 的位置，折痕为DE ．（1）如图1，点A 落在ABC 内的点P 的位置．①若//PE AC ，那么PD 与AB 有怎样的位置关系，请说明理由； ②如图2，1∠、2∠与A ∠之间有怎样的数量关系？并说明理由；③连接CP 、BP ，已知CP 、BP 恰好分别平分ACB ∠、ABC ∠（如图3），1∠、2∠与CPB ∠之间有怎样的数量关系，并说明理由；（2）如图4，点A 落在ABC 外的点P 的位置．连接CP 、BP ，如果CP 、BP 恰好分别平分ABC 的两个外角MCB ∠，NBC ∠，那么1∠、2∠与CPB ∠之间的数量关系是______．（请直接写出结果）13．问题1：现有一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是△ABC 边上两点，若沿直线DE 折叠．（1）探究1：如果折成图①的形状，使A 点落在CE 上，则∠1与∠A 的数量关系是；（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A 的数量关系是；（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A 的数量关系，并说明理由．（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、B 落在四边形EFCD 的内部时，∠1+∠2与∠A 、∠B 之间的数量关系是 .14．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交射线BC 于点F ．（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等．）（1）如图①，当AE ⊥BC 时，求证：DE ∥AC ．（2）若10C B ∠-∠=︒，∠BAD ＝x° ． ①如图②，当DE ⊥BC 时，求x 的值；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由． 15．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角：；所有与∠C 相等的角：．(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ． ① 求∠B 的度数；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由． 16．如图1，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在四边形ABDE 内点C ’的位置，（1）①若00120,250∠=∠=，则C ∠= ； ②若042C ∠=，则12∠+∠= ；③探索C ∠ 、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由；（2）直接按照所得结论，填空：①如图中，将△ABC 纸片再沿FG 、MN 折叠，使点A 、B 分别落在△ABC 内点A ’、B ’的位置，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠= ；②如图中，将四边形ABCD 按照上面方式折叠，则128∠+∠++∠= ； ③若将n 边形123n A A A A 也按照上面方式折叠，则122n ∠+∠++∠= ；（3）如图，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在△ABC 边AC 上方点'C 的位置，探索C ∠、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由.17．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动，连接AB, （1）如图，已知AC 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 角的平分线，①点A 、B 在运动的过程中，∠ACB 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB 的大小．②如图，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线PQ 上，记作点C′，则∠ABO ＝ °；如图，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线MN 上，记作点C′′，则∠ABO ＝ °．（2）如图，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的32倍，求∠ABO的度数．答案与解析【例题讲解】【原题再现】有这样一道题：如图1，将ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置．试探索A ∠与12∠+∠之间的数量关系，并说明理由．（1）小明提出一种正确的解题思路：连接AA '，则么1∠、2∠分别为AEA '∆、ADA '∆的外角，…… 请你按照小明的思路解决上述问题．（2）【变式探究】如图2，若将原题中“点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置”变为“点A 落在四边形BCDE 外点A '的位置”，试猜想此时A ∠与1∠、2∠之间的数量关系，并说明理由．（3）【结论运用】将四边形纸片(90ABCD C ∠=︒，AB 与CD 不平行）沿EF 折叠成图3的形状，若1110∠=︒，240∠=︒，直接写出ABC ∠的度数．解：（1）图1中，结论：2∠BAC =∠1+∠2，理由是：连接AA ′． ∵沿DE 折叠A 和A ′重合，∴∠DAE =∠DA ′E ，∠EA ′A =∠EAA ′，∠DA ′A =∠DAA ′， ∵∠1=∠EA ′A +∠EAA ′，∠2=∠DA ′A +∠DAA ′， ∴∠1+∠2=∠EA ′A +∠EAA ′+∠DA ′A +∠DAA ′=2∠BAC ；（2）如图2，结论：2∠A =∠1-∠2．理由：设EA ′交AC 于J ．∵∠1=∠EJA +∠A ，∠EJA =∠A ′+∠2， ∴∠1=∠A ′+∠A +∠2=2∠A +∠2， ∴2∠A =∠1-∠2；（2）如图，根据折叠知：∠AEF =∠A EF '，∠EFD =∠'EFD ，AEA'=∠AEF=180°-110°=70°，∵∠1=110°，∴∠2∴∠AEF=35°，∵∠2=40°，∴2∠EFD=180°+∠2=220°，∴∠EFD=110°，∴∠A+∠D=360°-(∠AEF+∠EFD)= 215°，∴∠B=360°-(∠A+∠D)-∠C = 55°．【综合演练】1．如图，在△ABC中，点D是BC上的点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，若∠B=∠BAE=50°，则∠CDE的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【分析】根据翻折的性质得到∠BAD=∠EAD=25°，∠E=∠B=50°，根据三角形内角和定理推出∠ADE=∠ADB=105°，进一步计算即可解答．【解析】解：∵∠B=∠BAE=50°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，∴∠BAD=∠EAD=25°，∠E=∠B=50°，∴∠ADE=∠ADB=180°-50°-25°=105°，∴∠ADC=180°-∠ADB=75°，∴∠CDE=105°-75°=30°，故选：B．【点评】此题考查翻折的性质，三角形内角和定理，关键是掌握翻折的性质．2．如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC 于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上的点G处，此时∠BDC＝82°，则原三角形的∠B 的度数为（）A ．57°B ．60°C ．63°D ．70°【答案】C【分析】根据折叠的性质可知：∠BDG ＝∠BDC ＝82°，∠ABE ＝∠A 'BE ＝∠A 'BG=∠A 'BC ，根据三角形外角性质可得：∠DBA ＝∠BDC ﹣∠A ＝82°﹣40°＝42°，进一步可求出∠ABE ＝∠A 'BE ＝21°，∠ABC ＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B =63°．【解析】解：由折叠性质可得，∠BDG ＝∠BDC ＝82°，∠ABE ＝∠A 'BE ＝∠A 'BG=∠A 'BC ， ∵∠BDC 是△BDA 的外角，∴∠DBA ＝∠BDC ﹣∠A ＝82°﹣40°＝42°， ∴∠ABE ＝∠A 'BE ＝21°，∴∠ABC ＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B =63°，故选：C ．【点评】此题主要考查的是图形的折叠及三角形外角性质，能够根据折叠的性质发现∠BDG ＝∠BDC ＝82°，∠ABE ＝∠A 'BE ＝∠A 'BG=∠A 'BC 是解答此题的关键．3．将△ABC 纸片沿DE 按如图的方式折叠．若∠C =50°，∠1=85°，则∠2的度数等于（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°【答案】B【分析】由四边形的内角和及三角形内角和即可求得．【解析】∵180A B C ∠+∠+∠=︒，且∠C =50゜ ∴180130A B C ∠+∠=︒-∠=︒同理，在△CDE 中，180130CDE CED C ∠+∠=︒-∠=︒ 由折叠性质得：A A ∠'=∠，B B '∠=∠ ∴130A B ''∠+∠=︒在四边形A B ED ''中，360A B A DE DEB ''''∠+∠+∠+∠=︒ ∴12360A B CDE CED ''∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒ ∴130851302360︒+︒+︒+∠=︒ ∴∠2=15゜故选：B ．【点评】本题考查了折叠的性质，多边形的内角和定理等知识，掌握多边形内角和定理及折叠的性质是关键．4．如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A 为（）A ．40°B ．42°C ．30°D ．52°【答案】B【分析】利用四边形的内角和定理求出B C ∠+∠，再利用三角形的内角和定理可得结果．【解析】解：∵1=70∠︒，2=152∠︒，∴3601236070152138B C ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴180()18013842A B C ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点评】此题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明5．如图，三角形纸片ABC 中，70A ∠=︒，75B ∠=︒．将三角形纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 内，那么12∠+∠=_____________︒．【答案】70【分析】延长AF、BE交于点D，根据∠A＝70°，∠B＝75°，可得∠D＝35°，由将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，可得∠DFC+∠DEC＝290°，即可得答案．【解析】解：延长AF、BE交于点D，∵∠A＝70°，∠B＝75°，∴∠D＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°，∴∠DFE+∠DEF＝180°﹣∠D＝145°，∵将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，∴∠CFE＝∠DFE，∠CEF＝∠DEF，∴∠DFC+∠DEC＝2（∠DFE+∠DEF）＝290°，∴∠1+∠2＝（180°﹣∠DFC）+（180°﹣∠DEC）＝360°﹣（∠DFC+∠DEC）＝360°﹣290°＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查三角形中的折叠问题，解题的根据是掌握折叠的性质，灵活应用三角形内角和定理．6．在△ABC中，点E、F分别为边AB、AC上的点，把△ABC沿EF翻折，翻折后的图形如图所示．若∠的度数为___________．1+2110∠∠=︒，则A【答案】55︒【分析】如图，延长B′E交C′F的延长线于点A′，连接AA′．证明∠1+∠2=2∠EAF，可得结论．【解析】解：如图，延长B′E交C′F的延长线于点A′，连接AA′．∵∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠F AA′+∠F A′A,∴∠1+∠2=∠EAF+∠EA′F，∵∠EAF=∠EA′F，∴∠1+∠2=2∠EAF=110°，∴∠A=55°．故答案为：55°．【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是证明∠1+∠2=2∠EAF．7．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1＝55°，则∠2＝________°．【答案】70【分析】根据长方形的对边平行知AD∥BC，得∠DEF＝∠1＝55°，再根据折叠的性质知∠GEF＝∠DEF ＝55°，继而由∠AEG＝180°−∠DEF−∠GEF可得答案．【解析】解：由题意知AD∥BC，∠1＝55°，∴∠DEF＝∠1＝55°，根据折叠的性质知∠GEF＝∠DEF＝55°，则∠AEG＝180°−∠DEF−∠GEF＝180°-55°-55°=70°，∴∠2＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质、折叠的性质．8．将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2等于______．【答案】15︒【分析】利用三角形的内角和定理以及折叠的性质，求出130CDE CED ∠+∠=︒，''130A B ∠+∠=︒，利用四边形内角和为360︒，即可求出∠2．【解析】解：在ABC ∆中，180130A B C ∠+∠=︒-∠=︒，在CDE ∆中，180130CDE CED C ∠+∠=-∠=︒，由折叠性质可知：''130A B A B ∠+∠=∠+∠=︒ ，四边形''DEB A 的内角和为360︒，''''360A B ADE B ED ∴∠+∠+∠+∠=︒，1A DE CDE ∠=∠+∠'，'2B ED CED ∠=∠+∠，''12()360CDE CED A B ∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，130CDE CED ∠+∠=︒，''130A B ∠+∠=︒，且∠1＝85°， 215∴∠=︒，故答案为：15︒．【点评】本题主要是考查了三角形和四边形的内角和定理，熟练利用三角形内角和定理，求出两角之和，最后利用四边形的内角和求得某角的度数，这是解决该题的关键．9．如图，将ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内点'A 的位置，(1)探索A ∠与12∠+∠之间的数量关系，并说明理由．(2)如果点A 落在四边形BCDE 外点''A 的位置，A ∠与1∠、2∠之间的数量关系有何变化，请说明理由．【答案】(1)2∠A =∠1+∠2，理由见解析 (2)∠A =12（∠2-∠1），理由见解析【分析】（1）根据折叠性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°-∠A，代入∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE）求出即可；（2）先根据翻折的性质表示出∠1、∠2，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．（1）2∠A=∠1+∠2，理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．（2）∵沿DE折叠A和A'′重合，∴∠AED=∠A′'ED，∠ADE=∠A′'DE，又∵∠1=∠A'ED-∠BED=∠AED-（180°-∠AED）=2∠AED-180°，∠2=180°-2∠ADE，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∴12∠1+90°+90°-12∠2=180°-∠A，即∠A=12（∠2-∠1）．【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．10．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝_______；(2)【问题推广】如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP 于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数．(3)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，则∠BPC＝_______；(4)【拓展提升】在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．当F 在D 、E 之间时，如图4-2所示：同理可得112222FBQ EBF QCF DCF αβ∠=∠===，∠∠，180180FBC FCB DCF EBF αβ∠+∠=︒-∠-=︒--∠，∴1801802Q QBC QCB QBF FBC FCB QCF αβ+=︒--=︒----=∠∠∠∠∠∠∠；当点F 在D 点右侧时，如图4-3所示：同理可得1801802Q QBC QCB QBF FBC DCB QCD αβ-=︒--=︒----=∠∠∠∠∠∠∠；综上所述，F 在E 左侧2Q βα-∠=；F 在ED 中间2Q αβ+∠=；F 在D 右侧2Q αβ-∠=．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．11．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部A '的位置且A '与点C 在直线AB 的异侧，折痕为DE ，已知90C ∠=︒，30A ∠=︒．（1）求12∠-∠的度数；（2）若保持A DE '的一边与BC 平行，求ADE ∠的度数．【答案】（1）60°；（2）45°或30°【分析】（1）先求出∠B 的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD 的度数，由∠BFD =∠A ′FE 和∠A ′的度数可求出答案．（2）分EA '∥BC 和DA '∥BC 两种情况讨论．当DA '∥BC 时，先求出∠A ′DA =90°，再根据折叠可得出∠ADE =45°；当EA '∥BC 时，根据平行线的性质求出∠2=∠ABC =60°，由（1）得出∠1=120°，再根据折叠可求出∠ADE 的度数．【解析】解：（1）由折叠可知，30A A '∠=∠=︒在A EF '△中，2180A A FE ''∠+∠+∠=︒2180150A AFE A FE ''∴∠=︒-∠-∠=︒-∠在ABC 中，18060B C A ∠=︒-∠-∠=︒在四边形BCDF 中，1360C B BFD ∠+∠+∠+∠=︒1360210C B BFD BFD ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠因为BFD A FE '∠=∠1221015060∴∠-∠=︒-︒=︒（2）①当//DA BC '时，90ADA ACB '∠=∠=︒ADE 沿DE 折叠A DE '1452ADE A DE ADA ''∴∠=∠=∠=︒②当//EA BC '时，260ABC ∠=∠=︒由（1）知，1260∠-∠=︒，1260120∴∠=∠+︒=︒，ADE 沿DE 折叠A DE '()11801302ADE A DE ADA ''∴∠=∠=∠=︒-∠=︒综上，∠ADE 的度数为：45°或30°．【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，平行线的性质，属于综合题，但难度不大．熟记性质准确识图是解题的关键．12．将ABC 纸片的一角CAB ∠折叠，使点A 落在点P 的位置，折痕为DE ．（1）如图1，点A 落在ABC 内的点P 的位置．①若//PE AC ，那么PD 与AB 有怎样的位置关系，请说明理由；②如图2，1∠、2∠与A ∠之间有怎样的数量关系？并说明理由；③连接CP 、BP ，已知CP 、BP 恰好分别平分ACB ∠、ABC ∠（如图3），1∠、2∠与CPB ∠之间有怎样的数量关系，并说明理由；（2）如图4，点A 落在ABC 外的点P 的位置．连接CP 、BP ，如果CP 、BP 恰好分别平分ABC 的两个外角MCB ∠，NBC ∠，那么1∠、2∠与CPB ∠之间的数量关系是______．（请直接写出结果）【答案】（1）①//PD AB ，理由见解析；②122A ∠+∠=∠，理由见解析；③123604CPB ∠+∠+︒=∠，理由见解析；（2）124360CPB ∠+∠+∠=︒，理由见解析【分析】（1）①若//PE AC ，则可推出ADE DEP ∠=∠，然后根据翻折的性质可推出PDE DEA ∠=∠，从而得出结论即可；②根据翻折的性质推出()123602ADE AED ∠+∠=︒-∠+∠，然后结合三角形的内角和推出180A ADE AED ︒-∠=∠+∠，从而代入替换得出结论即可；③根据CP 、BP 恰好分别平分ACB ∠、ABC ∠，可推出()12PCB PBC ACB ABC ∠+∠=∠+∠，然后结合②的结论进行变形整理即可；（2）根据题意可推出()12ACB ABC CPB ∠+∠=∠，然后结合三角形的内角和以及（1）中②的结论，综合整理求解即可．【解析】（1）//PD AB ，理由如下：∵//PE AC ，∴ADE DEP ∠=∠，由翻折的性质可得：ADE PDE ∠=∠，AED PED ∠=∠，∴PDE DEA ∠=∠，∴//PD AB ；②122A ∠+∠=∠，理由如下：由翻折的性质可得：ADE PDE ∠=∠，AED PED ∠=∠，∴11802ADE ∠=︒-∠，21802AED ∠=︒-∠，∴()123602ADE AED ∠+∠=︒-∠+∠，在ADE 中，180A ADE AED ︒-∠=∠+∠，∴()1236021802A A ∠+∠=︒-︒-∠=∠，在ABC 中，由②可知，∠ACB ∠+∠在PBC 中，180CPB ︒-∠12∠+∠+2）1∠+∠CP 、BP 恰好分别平分ABC 的两个外角)ACB ，PBC ∠∴在PBC 中，180PBC ∠=(11801802ABC ︒-∠︒-∠整理得：(12ACB ∠在ABC 中，∠由②可知，∠ACB ∠+∠1118022⎡︒-⎢⎣13．问题1：现有一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是△ABC 边上两点，若沿直线DE 折叠．（1）探究1：如果折成图①的形状，使A 点落在CE 上，则∠1与∠A 的数量关系是；（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A 的数量关系是；（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A 的数量关系，并说明理由．（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、B 落在四边形EFCD 的内部时，∠1+∠2与∠A 、∠B 之间的数量关系是 . 【答案】（1）12A ∠=∠;（2）122A ∠+∠=∠;（3）见解析;（4）1222360A B ∠+∠=∠+∠-︒【分析】（1）根据三角形外角性质可得；（2）在四边形A EAD '中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式；（3）如下图，根据（1）可得∠1=2∠DAA '，∠2=2∠EAA '，从而推导出关系式；（4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理，与（2）类似思路探讨，可得关系式．【解析】（1）∵△'EDA 是△EDA 折叠得到∴∠A=∠A '∵∠1是△'ADA 的外角∴∠1=∠A+∠A '∴12A ∠=∠；（2）∵在四边形A EAD '中，内角和为360°∴∠A+A '+∠A DA '+∠A EA '=360°同理，∠A=∠A '∴2∠A+∠A DA '+∠A EA '=360°∵∠BDA=∠CEA=180∴∠1+∠A DA '+∠A EA '+∠2=360°∴122A ∠+∠=∠ ；（3）数量关系：212A ∠-∠=∠理由：如下图，连接AA '由（1）可知：∠1=2∠DAA '，∠2=2∠EAA '∴212()2EAA DAA DAE ∠-∠=∠-=∠'∠'；（4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF ，∠1=180°－2∠BFE相加得：123602(360)22360A B A B ∠+∠=︒-︒-∠-∠=∠+∠-︒．【点评】本题考查角度之间的关系，（4）问的解题思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理和四边形的内角和定理进行角度转换．14．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交射线BC 于点F ．（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等．）（1）如图①，当AE ⊥BC 时，求证：DE ∥AC ．（2）若10C B ∠-∠=︒，∠BAD ＝x°． ①如图②，当DE ⊥BC 时，求x 的值； ②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①5x =，②存在，15x =或30．【分析】（1）根据折叠的性质得到∠B=∠E ，根据平行线的判定定理证明；（2）①根据三角形内角和定理分别求出∠C=60°，∠B=30°，根据折叠的性质计算即可；②分∠EDF=∠DFE 、∠DFE=∠E 、∠EDF=∠E 三种情况，列方程解答即可．【解析】（1）∵AE ⊥BC∴∠EAC+∠C=90°∵∠BAC=90°∴∠B+∠C=90°∴∠B=∠EAC∵将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED∴∠B=∠E∴∠EAC=∠E∴DE ∥AC（2）①∵∠B+∠C=90°，10C B ∠-∠=︒∴∠B=40°，∠C=50°∵DE ⊥BC∴∠EDF=90°∵将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED∴∠B=∠E=40°，∠BAD=∠EAD=x °∴∠DFE=50°∵∠DFE=B BAF ∠+∠∴24050x +=∴5x =②由题意可得，∠ADC=40x +， ∠ABD=140x - ，∠EDF=140(40)1002x x x --+=-∠DFE=402x +（ⅰ）若∠EDF=∠DFE ，可得100-2402x x =+，解得15x =（ⅱ）若∠EDF=∠E ，可得100-240x =解得30x =（ⅲ）若∠DFE =∠E ，可得40240x +=解得0x =（舍去）综上可得15x =或30．【点评】本题考查了三角形折叠中的角度问题，熟知折叠的性质，平行的判定定理是解题的关键．15．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角：；所有与∠C 相等的角：．(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ．① 求∠B 的度数；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；（2）①由三角形内角和定理可得90B C ∠+∠=︒，再由50C B ∠∠︒-=根据角的和差计算即可得∠C 的度数，进而得∠B 的度数．②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE 、∠DFE 的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x 值即可．【解析】（1）由翻折的性质可得：∠E ＝∠B ，∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，∴∠DFE ＝90°，∴180°－∠BAC ＝180°－∠DFE ＝90°，即：∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠FDE ＝90°，∴∠C ＝∠FDE ，∴AC ∥DE ，∴∠CAF ＝∠E ，∴∠CAF ＝∠E ＝∠B故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E ；∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，∴∠BAF ＋∠CAF ＝90°, ∠CFA ＝180°－（∠CAF ＋∠C ）＝90°∴∠BAF ＋∠CAF ＝∠CAF ＋∠C ＝90°∴∠BAF ＝∠C又AC ∥DE ，∴∠C ＝∠CDE ，∴故与∠C 相等的角有∠CDE 、∠BAF ；（2）①∵90BAC ∠=︒∴90B C ∠+∠=︒又∵50C B ∠∠︒-=，∴∠C ＝70°，∠B ＝20°;②∵∠BAD ＝x °, ∠B ＝20°则160ADB x ∠︒︒=-,20ADF x ∠︒︒=+,由翻折可知：∵160ADE ADB x ∠∠︒︒==-, 20E B ∠∠︒==,∴1402FDE x ∠︒︒=-, 202DFE x ∠︒︒=+,当∠FDE ＝∠DFE 时，1402202x x ︒︒︒︒-=+, 解得：30x ︒︒=；当∠FDE ＝∠E 时，140220x ︒︒︒-=，解得：60x ︒︒=（因为0＜x ≤45，故舍去）；当∠DFE ＝∠E 时，20220x ︒︒︒+=，解得：0x ︒＝（因为0＜x ≤45，故舍去）；综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且30x =．【点评】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．16．如图1，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在四边形ABDE 内点C ’的位置，（1）①若00120,250∠=∠=，则C ∠= ；②若042C ∠=，则12∠+∠= ；③探索C ∠ 、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由；（2）直接按照所得结论，填空：①如图中，将△ABC 纸片再沿FG 、MN 折叠，使点A 、B 分别落在△ABC 内点A ’、B ’的位置，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠= ；②如图中，将四边形ABCD 按照上面方式折叠，则128∠+∠++∠= ； ③若将n 边形123n A A A A 也按照上面方式折叠，则122n ∠+∠++∠= ；（3）如图，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在△ABC 边AC 上方点'C 的位置，探索C ∠、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）①35︒；②84︒；③212C=+∠∠∠；（2）①360︒；②720︒；③3602(n )︒-；（3）221C=∠∠-∠【分析】（1）①由邻补角的定义可知∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，根据折叠的性质可求出∠CED=80°，∠CDE=65°,然后根据三角形内角和定理求解即可；②由三角形内角和可求出∠CED+∠CDE=138°,再由折叠的性质可知∠CEC′+∠CDC′=276°，然后根据邻补角的定义可求出12∠+∠=84°；③由邻补角定义可知1+'=180CEC ∠∠︒，从而2+'=180CDC ∠∠︒，所以，∠1+ ∠CEC′+ ∠2+ ∠CDC′=360 °，结合+'+'+'=360C CEC C CDC ∠∠∠∠︒，可求出2=1+2C ∠∠∠；（2）① 由（1）得12∠∠+=2∠C ，34∠+∠=2∠B ，56∠+∠=2∠A ，从而123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=2(∠A+∠B +∠C)，结合三角形内角和求解即可；②由①可知，128∠+∠++∠= 2(∠A+∠B +∠C+∠D)，结合四边形内角和求解即可;③由①可知，()()122218023602n n n ∠+∠++∠=⨯︒⨯-=︒⨯- ；（3）由外角的性质可知∠2=∠3+∠C ，∠3=∠1+∠C ，整理可得2=21C ∠∠-∠.【解析】解：（1）①∵00120,250∠=∠=，∴∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，∵ ∠CED=80°，∠CDE=65°,∴∠C= 180°-80°-65°=35°；②∵042C ∠=，∴ ∠CED+∠CDE=180°-42°=138°,∴∠CEC′+∠CDC′=276°，∴12∠+∠=360°-276°=84°；③2=1+2C ∠∠∠，因为1+'=180CEC ∠∠︒，2+'=180CDC ∠∠︒，所以1+'+2+'=360CEC CDC ∠∠∠∠︒，因为在四边形'CEC D 中，+'+'+'=360C CEC C CDC ∠∠∠∠︒，所以1+2=+'C C ∠∠∠∠，因为='C C ∠∠，所以2=1+2C ∠∠∠.（2）① 由①得12∠∠+=2∠C ，34∠+∠=2∠B ，56∠+∠=2∠A ，∴123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=2(∠A+∠B +∠C)=360°; ②∵12∠∠+=2∠C ，34∠+∠=2∠B ，56∠+∠=2∠A ，78∠+∠=2∠D ，∴128∠+∠++∠= 2(∠A+∠B +∠C+∠D)=2×360°=720°; ③∵n 边形内角和是()1802n ︒⨯-，∴()()122218023602n n n ∠+∠++∠=⨯︒⨯-=︒⨯- ；（3）2=21C ∠∠-∠.∵∠2=∠3+∠C ，∠3=∠1+∠'C =∠1+∠C ，∴∠2=∠1+∠C +∠C=∠1+2∠C ，∴2=21C ∠∠-∠.【点评】本题考查了折叠性质，三角形内角和定理，多边形的内角和定理，三角形外角的性质及图形类的规律与探究.熟练掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解（1）的关键，利用（1）中规律是解（2）的关键，熟练掌握三角形外角的性质是解（3）的关键.17．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动，连接AB,（1）如图，已知AC 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 角的平分线，①点A 、B 在运动的过程中，∠ACB 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB 的大小．②如图，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线PQ 上，记作点C′，则∠ABO ＝ °；如图，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线MN 上，记作点C′′，则∠ABO ＝ °．（2）如图，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及其延长线交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的32倍，求∠ABO 的度数．【答案】（1）①∠ACB 的大小不变，∠ACB=45°；②30°，60°；（2）∠ABO 为60°或72°．【分析】（1）①由直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC=12∠PAB ，∠ABC=12∠ABM ，于是得到结论； ②由于将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线PQ 上，得到∠CAB=∠BAQ ，由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB ，根据三角形的内角和即可得到结论；根据将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线MN 上，得到∠ABC=∠ABN ，由于BC 平分∠ABM ，得到∠ABC=∠MBC ，于是得到结论；（2）由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知∠EAO=12∠BAO ，∠EOQ=12∠BOQ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一。

初一数学角经典题型

第十三讲角【思想方法、知识要点回顾与拓展】1. 角的定义（1）有公共端点的两条______________组成的图形叫做角. 这个公共端点是角的顶点；（2）角也可以看作是由____________射线绕着它的端点____________而成的图形，旋转开始的边叫角的________________，旋转终止的边叫做角的___________________. 2. 角的表示方法（1）用三个大写英文字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间，其他两个字母的位置可以调换；（2）当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角；（3）当一个角的内部不再包含其他角时，可以在角的内部靠近顶点处加上弧线，注上数字或小写希腊字母来表示一个角. 3. 角度的换算：1=601=601=3600''''''，，1111=1=1=60603600'⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''' ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 4. 角的大小比较（1）度量法：用量角器量出两个角的度数，按照度数大小比较（2）叠合法：将角的始边叠合在一起，通过观察终边的位置来判断它们的大小. 5. 角的平分线从一个角的_____________引出的一条射线，把这个角分成两个____________的角，这条__________叫做这个角的角平分线.6. 余角和补角余角：如果两个角的和等于_________，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角. 补角：如果两个角的和等于_________，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角. 两个基本定理：①同角(或等角)的余角相等;②同角(或等角)的补角相等.【例题之能力提升】一. 角的基本概念与度量计算【例1】如图AOE 是直线，图中小于平角的角共有（） A ．7个 B ．9个 C ．8个 D ．10个【变式】01．在下图中一共有几个角？它们应如何表示．02．下列语句正确的是（）A ．从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角B ．两条直线相交组成的图形叫做角C ．从同一点引出的两条线段组成的图形叫做角D ．两条线段相交组成的图形叫做角03．关于平角和周角的说法正确的是（）A ．平角是一条直线B ．周角是一条射线C ．反向延长射线OA ，就是成一个平角D ．两个锐角的和不一定小于平角【例2】如图，填空:AOD ∠= + + ；BOC ∠= COD AOC -∠=∠- ； AOB ∠= BOC -∠；AOC BOD BOC ∠+∠-∠= .【例3】38.33°可化为（）A ．38°30′3〃B ．38°33＇C ．38°30′30″〃D ．38°19′48″〃【变式】01．把下列各角化成用度表示的角：⑴15°24′36″〃 ⑵36°59′96″〃 ⑶50°65′60″〃02．⑴3.76°＝度分秒⑵3.76°＝分秒 03．计算：⑴23°45′36＋66°14′24″； ⑵180°－98°24′30″；〃⑶15°50′42″×3； ⑷88°14′48″÷4二.角平分线、余角与补角【例4】若∠α的余角与∠α的补角的和是平角，则∠α＝．【变式】01．如图所示，那么∠2与12（∠1－∠2）之间的关系是（）A ．互补B ．互余C ．和为45°D ．和为22.5°02．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°－∠β；②∠α－90°；③12（∠α＋∠β）④12（∠α－∠β）（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【例5】（1）如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分 COB ∠，若55EOB ∠=︒，则BOD ∠的度数是（）A ．35︒B ．55︒C ．70︒D ．110︒（2）如图，分别在长方形ABCD 的边DC 、BC 上取两点E 、F ，使得AE 平分∠DAF ，若∠BAF = 60°，则∠DAE =（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°DC BOA DOECBAFED CBA【例6】如图，已知2BOC AOC ∠=∠ OD 平分AOB ∠ 且20COD ∠=°，求AOB ∠= .【例7】如图，A '为书面上一点，将书面折过去，使直角顶点A 落在A '处，BC 为折痕，若BD 为A BE '∠ 的平分线，求CBD ∠的度数.三.角的综合计算【例8】以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使得54AOC BOC ∠∠=∶∶，若30AOB ∠=︒，则AOC ∠的度数为【例9】已知40AOB ∠=︒，从O 点引射线OC ，若23AOC COB ∠∠=∶∶，求OC 与AOB ∠的平分线所成的角的度数为。

初一上册数学角度题30道

初一上册数学角度题30道以下是30道初一上册数学角度题，涵盖了角度的基本概念、角度的计算、角度与直线的关系等内容。

请注意，这些题目可能需要根据具体的数学教材和教学大纲进行调整。

1. 一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数。

2. 已知∠AOB = 70°，∠BOC = 30°，OM 平分∠AOC，求∠BOM 的度数。

3. 已知∠AOB = 90°，∠BOC = 30°，求∠AOC的度数。

4. 已知∠AOB = ∠COD = 90°，∠AOC = 30°，求∠BOD的度数。

5. 一个角的余角比这个角的补角的1/4还小10°，求这个角的度数。

6. 已知∠AOB = 120°，∠BOC = 30°，求∠AOC的度数。

7. 已知∠AOB = ∠COD，∠AOC = ∠BOD，求证：∠A = ∠D。

8. 一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。

9. 已知∠AOB = 60°，∠BOC = ∠AOD，求∠COD的度数。

10. 已知∠AOB = ∠COD，∠AOC = ∠BOD，求证：∠A = ∠D。

11. 一个角的余角比这个角的补角的1/3大10°，求这个角的度数。

12. 已知∠AOB = 150°，∠BOC = 60°，求∠AOC的度数。

13. 已知∠AOB = ∠COD，∠AOC + ∠BOD = 90°，求证：∠AOC = ∠BOD。

14. 一个角的补角比这个角的余角的2倍小30°，求这个角的度数。

15. 已知∠AOB = 80°，∠BOC = ∠AOD，求∠COD的度数。

16. 已知∠AOB = ∠COD，且∠AOC = ∠BOD，求证：OC平分∠AOD。

17. 一个角的余角比这个角的补角的1/2大20°，求这个角的度数。

初一数学点线面角试题

初一数学点线面角试题1.下列图形中，由AB//CD能得到∠1=∠2的是【答案】B．【解析】A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°，故A选项错误；B、∵AB∥CD，∴∠1=∠3，∵∠2=∠3，∴∠1=∠2，故B选项正确；C、∵AB∥CD，∴∠BAD=∠CDA，若AC∥BD，可得∠1=∠2；故C选项错误；D、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1=∠2，故D选项错误．故选B．【考点】平行线的判定与性质．2.把命题“平行于同一直线的两直线平行”写成“如果…，那么…”的形式：．【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．【解析】命题可以改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”．故答案是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．【考点】命题与定理．3.命题“相等的角是对顶角”的逆命题是．【答案】对顶角相等.【解析】根据“原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设”即可写出一个命题的逆命题.试题解析：命题“相等的角是对顶角”的逆命题是“对顶角相等”.【考点】命题.4.如图，AB∥ED，则∠A＋∠C＋∠D＝( )A．180°B．270°C．360°D．540°【答案】C．【解析】过点C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴CF∥AB∥DE，∴∠1+∠A=180°，∠2+∠D=180°，∴∠A+∠ACD+∠D=∠A+∠1+∠2+∠D=360°．故选C．【考点】平行线的性质．5.已知如图：E、F分别在DC、AB延长线上.,,.（1）求证：DC//AB.（2）求的大小.【答案】（1）证明见解析，（2）60°【解析】（1）由知，而，所以得，从而DC∥AB.（2）由（1）知：，而，从而可求的大小.试题解析：（1）∵∴又∵∴∴DC∥AB.（2）由（1）知：，∵∴∴.【考点】平行线的判定与性质.6.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A．145°B．110°C．70°D．35°【答案】B．【解析】∵射线OC平分∠DOA．∴∠AOD=2∠AOC，∵∠COA=35°，∴∠DOA=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故选：B．【考点】角平分线的定义．7.如图，按各组角的位置判断错误的是（）A．∠1与∠A是同旁内角B．∠3与∠4是内错角C．∠5与∠6是同旁内角D．∠2与∠5是同位角【答案】C．【解析】A、∠1和∠A是同旁内角，说法正确；B、∠3和∠4是内错角，说法正确；C、∠5和∠6不是两条直线被第三条直线截成的角，说法错误；D、∠2和∠5是同位角，说法正确．故选C．【考点】1.同位角2.内错角3.同旁内角．8.如图，属于同位角是（）A．∠1和∠2B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠2和∠3【答案】C．【解析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．因此，根据同位角的定义可知∠1和∠4是同位角．故选C．【考点】同位角、内错角、同旁内角．9.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，,,则的度数等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图：∠4=∠1+∠3=30°+20°=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠4=50°．故选A．【考点】1．平行线的性质2．三角形的外角性质．10.已知线段则线段的长度是（）A．5B．1C．5或1D．以上都不对【答案】D【解析】如图，线段但线段的长度既不是1也不是5，故选D.11.如图，平分平分若则 __.【答案】90°【解析】因为平分，平分，所以因为所以即.所以.12.以下四个命题：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②若a>b，则-2a>-2b；③如果三条直线a、b、c满足：a∥b，b∥c，那么直线a与直线c必定平行；④对顶角相等，其中真命题有（）个.A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】根据基本的数学概念依次分析各小题即可作出判断.解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③如果三条直线a、b、c满足：a∥b，b∥c，那么直线a与直线c必定平行，④对顶角相等，均正确；②若，则，错误；故选C.【考点】真假命题点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握基本的数学概念，即可完成.13.如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠A＝∠F，请说明理由．解：∵∠1＝∠2（已知）∠2＝∠DGF（）∴∠1＝∠DGF∴BD∥CE（）∴∠3＋∠C＝180º（）又∵∠3＝∠4（已知）∴∠4＋∠C＝180º∴∥（同旁内角互补，两直线平行）∴∠A＝∠F（）【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；AC，DF；两直线平行，内错角相等.【解析】依题意知，由图知∠2＝∠DGF（对顶角相等）∴∠1＝∠DGF∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）∴∠3＋∠C＝180º（两直线平行，同旁内角互补）；又∵∠3＝∠4（已知）∴∠4＋∠C＝180º∴ AC∥DF∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等.）【考点】平行线性质及判定点评：本题难度较低，主要考查学生对平行线性质及判定知识点的掌握。

初一数学计算题强化训练

初一数学计算题强化训练题目：初一数学计算题强化训练数学计算是初一学生应该掌握的基本技能之一，它是数学学习的基础。

为了帮助初一学生提高计算能力，进行数学计算题强化训练是非常必要的。

本文将为大家提供一些常见的初一数学计算题，希望能对同学们的学习有所帮助。

一、四则运算四则运算是数学学习中最基础的运算，包括加法、减法、乘法和除法。

下面是一些四则运算的示例题：1. 计算：45 + 18 - 27 × 3 ÷ 52. 计算：(12 + 8) × 5 - 46 ÷ 23. 计算：72 ÷ (6 + 2 × 3) - 15 × 2通过解答这些四则运算题，可以培养学生的运算能力和逻辑思维能力。

二、分数运算分数是初一学生需要掌握的一个重要概念，分数的运算也是初中数学教学中的难点之一。

下面是一些分数运算的示例题：1. 计算：3/4 + 1/22. 计算：2/3 × 5/63. 计算：4/5 ÷ 2/3通过解答这些分数运算题，可以帮助学生巩固分数的基本概念和运算规则。

三、百分数运算百分数是初中数学中经常出现的一种形式，涉及到比例和百分比的计算。

下面是一些百分数运算的示例题：1. 计算：25% × 3202. 计算：45 ÷ 0.3%3. 计算：12.5% + 3/8通过解答这些百分数运算题，可以帮助学生掌握百分数的计算方法，并提高他们在实际问题中应用百分数的能力。

四、连续运算连续运算是综合运用各种运算方式的题型，需要学生在实际问题中综合运用所学知识解决问题。

下面是一些连续运算的示例题：1. 一个长方形的长是12cm，宽是8cm，求它的面积。

2. 一块正方形的土地边长是15m，现在要对这块土地四周围上一圈石子，每块石子边长为50cm，需要多少块石子？3. 小明和小华一起种了一块田地，小明的种子比例是2:5，小华的种子比例是3:4，小明种了15kg的玉米种子，小华种了多少kg的玉米种子？通过解答这些连续运算题，可以帮助学生将所学的知识应用到实际问题中，提高他们的解决问题的能力。

初一数学角与角的度量试题

初一数学角与角的度量试题1.用三角尺画出120°和15°的角．【答案】【解析】本题考查了学生利用三角尺上的角进行组合后画角的能力（1）用三角尺上30°的角，画一个角，再在这个画的30°角的外部，用三角尺上90°的角同30°角的在顶点重合，一条边重合，画出90°的角．这个图形中的两个角的和就是120°，据此作图解答．（2）用三角尺上45°的角，画一个角，再在这个画的45°角的内部，用三角尺上30°的角同45°角的在、顶点重合，一条边重合，画出30°的角．这个图形中的另一个角就是15°，据此作图解答．根据题意，作图如下：思路拓展：解答本题的关键是掌握好一副直角三角板上的特殊角的度数。

2.下列说法中，正确的是（）A．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；B．两条射线组成的图形叫做角；C．两条线段组成的图形叫做角；D．一条射线从一个位置移到另一个位置所形成的图形叫做角。

【答案】A【解析】本题主要考查的是角的定义根据角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，依次分析各项即可。

A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，本选项正确；B、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故本选项错误；C、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故本选项错误；D、角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，故本选项错误；故选A.思路拓展：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，注意不要忽略“公共端点”．3.用度、分、秒表示32.260；【答案】32º15¹36"【解析】本题考查的是度、分、秒的转化运算进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．先将度的小数部分乘以60化为分，再将分的小数部分乘以60化为秒．据角的换算可得32.26°=32°+0.26×60′=32°+15.6′=32°+15′+0.6×60″=32°15′36″．思路拓展：此类题是进行度、分、秒的转化运算，相对比较简单，注意以60为进制即可，由小单位化大单位要除以60，由大单位化小单位要乘以60．4.用度表示35025'48"【答案】35.43º【解析】本题考查的是度、分、秒的转化运算进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．先将秒的部分除以60化为分，再将分的部分除以60化为度．根据1°=60′，1′=60″得，48″÷60=0.8′，25.8′÷60=0.43°，所以35025'48"用度来表示为35.43º.思路拓展：由度化分应乘以60，由分化度应除以60，注意度、分、秒都是60进制的，由小单位化大单位要除以60，由大单位化小单位要乘以60.5.下列关于角的描述正确的是：（）A．角的边是两条线段；B．角是由两条射线组成的图形C．角可以看成一条射线绕着它的端点旋转而成图形；D．角的大小与边的长短有关【答案】C【解析】本题主要考查的是角的定义根据角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，角的大小与边的长短无关，只与两边张开的程度有关，依次分析各项即可。

人教版七年级数学《角度换算》计算题专项练习(含答案)

人教版七年级数学《角度换算》计算题专项练习(含答案)人教版七年级数学《角度换算》计算题专项练1.计算：13°58′+28°37′×2．解答】13°58′+28°37′×2=13°58′+57°14′=71°12′．2.计算（结果用度、分、秒表示）：22°18′20″×5﹣28°52′46″．解答】22°18'20''×5﹣28°52'46''=110°90'100''﹣28°52'46''=82°38'54''．3.计算：1）90°﹣36°12'15″2）32°17'53“+42°42'7″3）25°12'35“×5；4）53°÷6．解答】（1）90°﹣36°12'15″=53°′45″；2）32°17'53“+42°42'7″=74°59′60″=75°；3）25°12'35“×5=125°60′175″=126°2′55″；4）53°÷6=8°50′．5.计算：1）27°26′+53°48′2）90°﹣79°18′6″．解答】（1）27°26′+53°48′=81°14′；2）90°﹣79°18′6″=10°41′54″．6.计算1）25°34′48″﹣15°26′37″2）105°18′48″+35.285°．解答】（1）25°34′48″﹣15°26′37″=10°8′11″；2）105°18′48″+35.285°=140°28′48″．7.计算：1）40°26′+30°30′30″÷6；2）13°53′×3﹣32°5′31″．解答】（1）40°26′+30°30′30″÷6=45°31′；2）13°53′×3﹣32°5′31″=41°32′59″．8.计算：180°﹣48°39′40″．解答】180°﹣48°39′40″=131°20′20″．9.计算：26°21′30″+42°38′30″．解答】26°21′30″+42°38′30″=69°60′=70°．10.（1）180°﹣（34°55′+21°33′）；2）（180°﹣91°31′24″）÷2．解答】（1）180°﹣（34°55′+21°33′）=123°12′；2）（180°﹣91°31′24″）÷2=44°14′18″．11.计算：72°35′÷2+18°33′×4．解答】72°35′÷2+18°33′×4=36°17′30″+74°12′=110°29′30″．12.计算：48°39′+67°41′．解答】48°39′+67°41′=116°20′．13.计算：18°20′32″+30°15′22″．解答】18°20′32″+30°15′22″=48°35′54″．14.计算：180°﹣22°18′×5．解答】180°﹣22°18′×5=67°30′．15.计算：56°31′+29°43′×6．解答】56°31′+29°43′×6=245°19′．16.计算：49°28′52″÷4．解答】49°28′52″÷4=12°22′13″．4.计算：(1) 27°26′+53°48′。

初中数学角度经典练习题

初中数学角度经典练习题
以下是一些初中数学角度方面的经典练题，供学生们进行练和巩固知识。

1. 问题：已知一个角的补角是100度，求这个角的度数。

解析：两个角的和为180度，所以这个角的度数为80度。

2. 问题：已知一个角的补角是60度，求这个角的度数。

解析：同样，两个角的和为180度，所以这个角的度数为120度。

3. 问题：已知两个角的度数分别是30度和65度，求它们的补角。

解析：两个角的和为180度，所以第一个角的补角是150度，第二个角的补角是115度。

4. 问题：已知直角三角形的一个角是30度，求另外两个角的度数。

解析：直角三角形的两个角相加为90度，所以另外两个角的度数分别是60度和90度。

5. 问题：已知平行线与一条横截线相交，求对应的内错角的度数。

解析：内错角的度数等于对应的同位角的度数，所以对应的内错角的度数相等。

这些经典练习题可以帮助学生们巩固和运用角度相关的知识。

通过反复练习和解题，学生们可以更好地理解数学中的角度概念和运算方法，提高数学解题能力。

初一数学上册：角度的运算要点+练习

【例4】计算：49°28′52″4.
分析：角度与一个数相除，要从度、分、秒依次相除，每次相除所得余数必须化为更小的度量单位，并注意题中要求的精确度，进行四舍五入.
解：49°28′52″4
= 12°＋88′52″÷4（49°÷4 = 12°余1°加到28′52″上为88′52″，以下依次计算.）
= 12°22′＋52″÷4
=86°22′72″－67°36′50″
=85°82′72″－67°36′50″
=（85－67）°（82－36）′（72－50）″
=18°46′22″.
三、利用乘法分配律进行乘法运算
把一个角度扩大几倍（一个角度乘以一个正整数），可借助乘法分配律的思想，把这个数分别与角度的度、分、秒单位上的数相乘，再把分、秒单位下满60的数向上一位进一.
用竖式计算多位数的加法时，首先要把数位对齐，满十向上一位进一.与多位数的加法类似，在角度的加法运算中，我们可以把度与度、分与分、秒与秒单位上的数分别相加，然后先把满60秒的进为一分，再把满60分的进为一度.
【例1】计算：48°39′40″＋67°41′35″.
解：先算秒和秒相加；
40″＋35″= 75″= 1′15″；
再算分和分相加；
39′＋41′= 80′=1°20′，加上进位的一分为1°21′；
最后算度和度相加；
48°＋67°= 115°，再加上进位的度为116°.
所以，48°39′40″＋67°41′35″= 116°21′15″.
二、仿照多位数的减法进行减法运算
进行角度的减法运算也与多位数的减法有很多相同的地方，即把同单位的数相减，不够减时，应仿照计算多位数减法的方法先向上一级单位“借一”，把被减数的角度化为分、秒单位上的数都大于作为减数的角度的相应单位上的数，然后再减.

初一数学第七章三角形有关的练习题(含答案)

与三角形有关的线段习题精选习题一一、选择题：1．已知三条线段的比是：①1：3：4；②1：2：3；③1：4：6；④3：3：6；⑤6：6：10；⑥3：4：5．其中可构成三角形的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是( )A．6<L<15 B．6<L<16 C．11<L<13 D．10<L<163．现有两根木棒，它们的长度分别为20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取 ( )A．10cm的木棒 B．20cm的木棒C．50cm的木棒 D．60cm的木棒4．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为( )A．9 B．12 C．15 D．12或155．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为( )A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 5cm6．已知三角形的周长为9，且三边长都是整数，则满足条件的三角形共有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题：1．若三角形的两边长分别是2和7，则第三边长c的取值范围是_______；当周长为奇数时，第三边长为________；当周长是5的倍数时，第三边长为________．2．若等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为_______；若等腰三角形的两边长分别是3和4，则它的周长为_____．3．若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长a的取值范围是________；若等腰三角形的底边长为4，则它的腰长b的取值范围是_______．4．若五条线段的长分别是1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，则以其中三条线段为边可构成______个三角形．5．已知等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，D为AC边上一点，且BD=AD，△BCD的周长为15cm，则底边BC的长为__________．6．已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，且它的周长大于16cm，则第三边长为_____．三、基础训练：1．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC>(AB+BC+AC)．2．已知等腰三角形的两边长分别为4，9，求它的周长．四、提高训练：设△ABC的三边a，b，c的长度都是自然数，且a≤b≤c，a+b+c=13，则以a，b，c为边的三角形共有几个？五、探索发现：若三角形的各边长均为正整数，且最长边为9，则这样的三角形的个数是多少？六、中考题与竞赛题：1．(2001．南京)有下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A． 1cm， 2cm， 3cm B． 1cm， 2cm， 4cm； C． 2cm， 3cm， 4cm D． 2cm， 3cm，6cm2．(2002．青海)两根木棒的长分别是8cm，10cm，要选择第三根木棒将它们钉成三角形，那么第三根木棒的长x的取值范围是________；如果以5cm为等腰三角形的一边，另一边为10cm，则它的周长为________．答案：一、1．B 2．D 3．B 4．C 5．B 6．B二、1．5<c<9 6或8 6 2．17 10或11 3．0<a<12 b>2 4．3 5． 5cm 6． 7cm三、1．解：在△APB中，AP+BP>AB，同理BP+PC>BC，PC+AP>AC，三式相加得2(AP+BP+PC)>AB+AC+BC，∴AP+BP+CP>(AB+AC+BC)．2．22四、5个五、25个六、1． C 2． 2cm<x< 18cm 25cm．习题二一、选择题：1．如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点B′的位置，则线段AC具有性质( )A．是边BB′上的中线 B．是边BB′上的高C．是∠BAB′的角平分线 D．以上三种性质合一2．如图2所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( )A．DE是△BCD的中线 B．BD是△ABC的中线C．AD=DC，BD=EC D．∠C的对边是DE3．如图3所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且S△ABC= 4cm2，则S阴影等于( )A． 2cm2 B． 1cm 2 C．cm2 D．cm24．在△ABC，∠A=90°，角平分线AE、中线AD、高AH的大小关系为( )A．AH<AE<AD B．AH<AD<AE C．AH≤AD≤AE D．AH≤AE≤AD5．在△ABC中，D是BC上的点，且BD：DC=2：1，S△ACD=12，那么S△ABC等于( )A．30 B． 36 C．72 D．246．不是利用三角形稳定性的是( )A．自行车的三角形车架 B．三角形房架C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条二、填空题：1．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度．2．等腰三角形的高线、角平分线、中线的总条数为________．3．在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE 的度数为_________．4．三角形的三条中线交于一点，这一点在_______，三角形的三条角平分线交于一点，这一点在__________，三角形的三条高线所在直线交于一点，这一点在_____．三、基础训练：1．如图所示，在△ABC中，∠C-∠B=90°，AE是∠BAC的平分线，求∠AEC的度数．2．在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．四、提高训练：在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF所在的直线交于点O，求∠BOC的度数．五、探索发现：如图所示的是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花，每个图案花盆的总数为s．按此规律推断s与n有什么关系，并求出当n=13时，s的值．六、中考题与竞赛题：(2000．杭州)AD，AE分别是等边三角形ABC的高和中线，则AD 与AE 的大小关系为____．答案：一、1．D 2．D 3．B 4．D 5．B 6．C二、1．135 2．3条或7条 3．20°4．三角形内部三角形内部三角形内部、边上或外部三、1．∠AEC=45° 2．AD= 13cm四、∠BOC=50°或130°五、s=3n-3，当n=13时，s=36．六、AD=AE．。

初一数学角的计算能力训练题

初一数学角的计算能力训练题1、（1）如图1，∠AOB和∠COD都是直角，①若∠BOC＝60°，则∠BOD＝°,∠AOC＝°；②改变∠BOC的大小,则∠BOD与∠AOC相等吗？为什么?（2）如图2，∠AOB＝∠COD=80°，若∠AOD＝∠BOC＋40°，求∠AOC的度数；(3)如图3，将三个相同的等边三角形（三个内角都是60°）的一个顶点重合放置，若∠BAE＝10°, ∠HAF＝30°,则∠1＝°．2、（1)如图1，若CO⊥AB,垂足为O，OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC.求∠EOF的度数；（2）如图2，若∠AOC＝∠BOD＝80°，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC. 求∠EOF的度数；（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，将∠BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC。

若α＋β≤180°，α＞β，则∠EOC＝。

（用含α与β的代数式表示）3、已知∠AOB=100°,∠COD=40°，OE平分∠AOC,OF平分∠BOD（题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．（1）如图1,当OB、OC重合时,求∠EOF的度数；（2)当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时,∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．(3)当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时,满足∠AOD+∠EOF=6∠COD，则n=__________．4、如图1,将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，∠AOB=45°，∠COD=30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．（1)当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为_____；（2)如图3，在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC=10°时,求∠MON 的大小，写出解答过程；（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON=__________°．5、若∠C=，∠EAC+∠FBC=（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则与有何关系？并说明理由。

初一数学三角形知识点+同步提高练习题经典

三角形一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．二、三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可三、三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．四、三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．五、三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．六、多边形①多边形的对角线2)3(nn条对角线；②n边形的内角和为（n－2）×180°；③多边形的外角和为360°与三角形有关的线段A卷一、选择题：1.如图,在△AB F中，∠B的对边是（）A.ADB.AEC.AFD.AC2.关于三角形的边的叙述正确的是（）A.三边互不相等B.至少有两边相等C.任意两边之和一定大于第三边D.最多有两边相等3.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )A.3cm, 4cm, 8cmB.8cm, 7cm, 15cmC.13cm, 12cm, 20cmD.5cm, 5cm, 11cm4.等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为( )A.13B.17C.13或17D.不能确定5.在平面直角坐标系中，点A（-3，0），B（5，0），C（0，4）所组成的三角形ABC的面积是（）A.32B.4C.16D.86.已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（）A.3B.5C.7D.97.下列说法错误的是( ).A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点8.给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角③三角形的角平分线是射线④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。

角旋转问题初一压轴题

角旋转问题初一压轴题
角旋转问题是数学中一个常见的问题，通常涉及到图形旋转后角度的测量和计算。

这类问题可以作为初一的压轴题，因为它需要学生具备一定的几何知识和空间思维能力。

以下是一个角旋转问题的示例：
题目：一个直角三角形ABC，其中∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3。

现在将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A'B'C'。

求旋转后点A所对应的位置A'的坐标。

解题思路：
1. 确定点A的坐标：由于△ABC是一个直角三角形，且∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，我们可以使用勾股定理计算出AB的长度。

然后，我们可以使用直角三角形的性质确定点A的坐标。

2. 确定旋转中心和旋转角度：题目中指出△ABC是绕点C逆时针旋转90°得到△A'B'C'。

因此，旋转中心是点C，旋转角度是90°。

3. 确定点A'的坐标：旋转后，点A会移动到点A'的位置。

由于旋转中心是点C，我们可以使用坐标变换的原理来确定点A'的坐标。

具体来说，我们可
以将点A的坐标减去旋转中心的坐标，然后加上旋转后旋转中心的坐标，得到点A'的坐标。

这个问题需要学生具备一定的几何知识和空间思维能力，以理解图形旋转的概念和性质，并能够运用坐标变换的原理来解决问题。

通过解决这类问题，学生可以加深对图形旋转的理解，提高他们的几何思维能力和问题解决能力。

初一数学三角形试题

初一数学三角形试题1.在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，H是BE、CF的交点．求：（1）∠ABE的度数；（2）∠BHC的度数．【答案】（1）30°；（2）120°．【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再由BE⊥AC得出∠AEB=90°，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）直接根据三角形外角的性质即可得出结论．试题解析：（1）∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°-66°-54°=60°，∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∴∠A+∠ABE=90°，∴∠ABE=90°-60°=30°；（2）∵∠BHC是△BFH的一个外角，∴∠BHC=∠BFH+∠ABE，∵CF⊥AB，∴∠BFH=90°，∴∠BHC=90°+30°=120°．【考点】1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理．2.下列命题中，真命题的是( )A．相等的两个角是对顶角B．若a>b，则>C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等D．等腰三角形的两个底角相等【答案】D【解析】A.相等的两个角不定是对顶角，所以是假命题；B．若a、b为负数时，则有<，是假命题；C.两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等，是假命题；D．正确【考点】命题与定理3.在△ABC中,已知两条边a=3,b=4,则第三边c的取值范围是_________.【答案】1<c<7【解析】根据三角形的三边关系可知b-a<c<a+b,即可得第三边c的取值范围.【考点】三角形的三边关系4.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，并且∠ADE=•∠AED，•求∠CDE的度数．【答案】20°【解析】可以设∠DAE=x°，然后根据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质用x分别表示∠C和∠AED，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和进行求解．试题解析：设∠DAE=x,则∠BAC=40°+x.-因为∠B=∠C,所以2∠2=180°-∠BAC,-∠C=90°-∠BAC=90°-(40°+x).-同理∠AED=90°-∠DAE=90°-x.-∠CDE=∠AED-∠C=(90°-x)-[90°-(40°+x)]=20°.【考点】三角形外角性质；三角形内角和定理5.如下图，在△ABC中，∠B=600，∠C=400,AD⊥BC于D，AE平分∠BAC；则∠DAE= ．【答案】10°．【解析】∵△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣60°﹣40°=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=×80°=40°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣40°=50°，∴∠DAE=∠CAD﹣∠CAE=50°﹣40°=10°．故答案是10°．【考点】三角形内角和定理．6.在△ABC中，∠C=50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于______度.【答案】230°.【解析】首先根据三角形内角和可以计算出∠A+∠B的度数，再根据四边形内角和为360°可算出∠1+∠2的结果．试题解析：∵△ABC中，∠C=50°，∴∠A+∠B=180°-∠C=130°，∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=360°-130°=230°.考点: 1.多边形内角与外角；2.三角形内角和定理．7.下列长度的三条线段，能组成三角形的是A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，6cmC．4cm，6cm，8cm D．5cm，6cm，12cm【答案】C【解析】三角形的三边关系：三角形的任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边.解：A、，B、， D、，均不能组成一个三角形，故错误；C、，能组成一个三角形，本选项正确.【考点】三角形的三边关系点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握三角形的三边关系，即可完成.8.如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平分线，∠A=40º，∠BPC=（）A.∠BPC=70ºB.∠BPC=140ºC.∠BPC=110ºD.∠BPC=40º【答案】C【解析】在中，∠A=40º，则；因为PC、PB是∠ACB、∠ABC的平分线，所以，所以= ，在中，∠BPC=，选C【考点】平分线点评：本题考查平分线，解答本题的重点是掌握平分线的概念和性质，熟悉三角形内角和定理，本题难度一般9.一个三角形最多有a个锐角，b个直角，c个钝角，则a+b+c= .【答案】5【解析】根据三角形的基本性质可得a、b、c的值，从而求得结果.由题意得，，，则.【考点】三角形的基本性质点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握三角形的基本性质，即可完成.10.等腰三角形两边长分别是5cm和8cm，则其周长是 .【答案】18cm或21cm【解析】题中没有明确腰和底，故要分情况讨论，再结合等腰三角形的性质求解即可.当5cm为腰时，三边长为5、5、8，其周长为当8cm为腰时，三边长为5、8、8，其周长为所以则其周长是18cm或21cm.【考点】等腰三角形的性质点评：等腰三角形的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.11.如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据垂直平分线的性质的性质可得AE=CE，即得∠EAD=∠ECD，再结合∠BAE=10°根据三角形的内角和定理求解即可.∵是的垂直平分线∴AE=CE∴∠EAD=∠ECD∵，∴∠C=40°故选B.【考点】垂直平分线的性质，三角形的内角和定理点评：三角形的内角和定理是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.12.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离的最大值是( )A．5B．6C．7D．10【答案】C【解析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；6-5＜4＜6+5，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选C．【考点】三角形的三边关系点评：能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．13.如图，C、F在BE上，∠A=∠D，AB∥DE，BF=EC．求证：AB=DE．【答案】可证明△ABC≌△DEF（AAS）则AB＝DE.【解析】解: ∵AB∥DE ∴∠B=∠E ∵BF=EC ∴BF+FC=EC+FC 即BC=EF在△ABC和△DEF中∵∴△ABC≌△DEF（AAS）∴AB＝DE.【考点】全等三角形判定与性质。

学而思初一数学秋季班第11讲角的计算与证明

1初一秋季·第11讲·尖子班·教师版原来如此！！！满分晋级阶梯漫画释义11角的计算与证明图形的认识7级平行线的性质及判定图形的认识6级直线的相交图形的认识5级角的计算与证明2初一秋季·第11讲·尖子班·教师版1. 角的定义、表示方法、分类．2. 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，这条射线叫做这个角的角平分线． 3. 余角和补角余角：如果两个角的和等于90︒，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180︒，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．两个基本定理：① 同角（或等角）的余角相等．②同角（或等角）的补角相等．注意：暑期班提及过余角、补角、角分线相关知识但只是简单介绍，本讲深入了解，并让学生熟练掌握．对于角的基本概念、分类和表示方法等相关知识这里不再重复讲解，建议教师根据班级情况自行讲解.【例1】 ⑴ 如果90αβ∠+∠=︒，而β∠与γ∠互余，那么α∠与γ∠的关系为（）A ．互余B ．互补C ．相等D ．不能确定⑵ 已知α∠是锐角，α∠与β∠互补，α∠与γ∠互余，则βγ∠-∠的值等于（） A ．45° B ．60° C ．90° D ．180°知识互联网思路导航典题精练题型一：余角、补角及角分线的简单运算3初一秋季·第11讲·尖子班·教师版DOECBA⑶如果α∠和β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：① 90β︒-∠；②90α∠-︒；③ 1()2αβ∠+∠；④ 1()2αβ∠-∠．正确的有（）A ． 4个B ．3个C ．2个D ．1个⑷ 一个角的余角的2倍和它的补角的12互为补角，求这个角的度数．【解析】 ⑴ C ；同角或等角的余角相等；⑵C ；一个角的补角与这个角的余角的差等于90°；⑶B ； ⑷ 设这个角的度数为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒-，由题意，得：12(90)(180)1802x x ︒-+︒-=︒，解得：36x =︒．【铺垫】⑴ 下列说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中正确的说法有（） A ． 4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 ⑵ 下列说法中，正确的是（） A ．一个角的补角必是钝角 B ．两个锐角一定互为余角 C ．直角没有补角D ．如果180MON ∠=︒，那么M ，O ，N 三点在一条直线上 ⑶ 下列语句正确的是（）A ．钝角与锐角的差不可能是钝角B ．两个锐角的和不可能是锐角C ．钝角的补角一定是锐角D ．α∠和β∠互补（αβ∠>∠），则α∠是钝角或直角【解析】 ⑴ C; ⑵ D;⑶C.【备选】⑴ 若一个角的余角是40°，则这个角是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．140° ⑵ 互为补角的两个角度比是3:2，这两个角是（）A ．108°，72°B ．95°，85°C ．108°，80°D ．110°，70°⑶ 对于互补的下列说法中：①∠A+∠B+∠C=90°，则∠A 、∠B 、∠C 互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中，正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个⑷如图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（）A ．12BOC AOC ∠-∠B ．1322BOC AOC ∠-∠ C ．1()2BOC AOC ∠-∠D ．1()3BOC AOC ∠+∠【解析】⑴ B ；⑵ A ；⑶B ；⑷C. 【总结】复习余角与补角的基本概念【例2】 ⑴ 如右图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分 COB ∠，若55EOB ∠=︒，则BOD ∠的度数是（） A B C O4初一秋季·第11讲·尖子班·教师版FE D CBAN MAB C DOAC D E 图2图1FA ．35︒B ．55︒C ．70︒D ．110︒⑵ 如右图，分别在长方形ABCD 的边DC 、BC 上取两点E 、F ，使得AE 平分∠DAF ，若∠BAF = 60°，则∠DAE =（）． A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°⑶ 如右图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒，求AOD ∠= .【解析】 ⑴ C ；⑵ A ；⑶22501090AOD MON BOC ∠=∠-∠=⨯︒-︒=︒．【例3】如图所示，OM 是AOC ∠的平分线，ON 是BOC ∠的平分线，⑴ 如果28AOC ∠=°，35MON ∠=°，求出AOB ∠的度数； ⑵ 如果MON n ∠=°，求出AOB ∠的度数；⑶ 如果MON n ∠=°的大小改变，AOB ∠的大小是否随之改变? 它们之间有怎样的大小关系?请写出来. 【解析】 ⑴ ∵OM 平分AOC ∠∴12MOC AOC ∠=∠∵ON 平分AOC ∠∴12NOC BOC ∠=∠∵()1122MON NOC MOC BOC AOC AOB ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 35MON ∠=°∴2AOB MON ∠=∠ ∴70AOB ∠=°；⑵ 同上22°AOB MON n ∠=∠=；⑶ MON ∠的大小改变时AOB ∠的大小也随之改变当090n ︒<︒≤时，2AOB MON ∠=∠．当90180n ︒<<︒时，3602AOB n ∠=︒-.NM ABOC5初一秋季·第11讲·尖子班·教师版【拓展】已知点O 是直线AB 上的一点，90COE ∠=︒，OF 是AOE ∠的平分线．①当点C ，E ，F 在直线AB 的同侧（如图1所示）时．试说明2BOE COF ∠=∠；②当点C 与点E ，F 在直线AB 的两旁（如图2所示）时，①中的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由；③将图2中的射线OF 绕点O 顺时针旋转(0180)m m ︒<<，得到射线OD ．设AOC n ∠=︒，若2(60)3nBOD ∠=-︒ ，则DOE ∠的度数是（用含n 的式子表示）．图2图1ABOEF CC FEO B A【解析】 ①设COF α∠=，则90EOF α∠=︒-，∵OF 是AOE ∠平分线， ∴90AOF α∠=︒-，∴(90)902AOC ααα∠=︒--=︒-， 180BOE COE AOC ∠=︒-∠-∠ 18090(902)α=︒-︒-︒- 2α=即2BOE COF ∠=∠； ②解：成立，设AOC β∠=，则902AOF β︒-∠=， ∴145(90)22COF ββ∠=︒+=︒+， 180BOE AOE ∠=︒-∠ 180(90)β=︒-︒- 90β=︒+∴2BOE COF ∠=∠； ③解：180DOE BOD AOE ∠=︒-∠-∠ 2180(60)(90)3nn =︒--︒-︒-︒ 5(30)3n =+︒，6初一秋季·第11讲·尖子班·教师版ABCDO 图1ABDO图3故答案为：5(30)3n =+︒．定义示例剖析角度计算的分类讨论在平面上，已知角的一边和角度大小则角的另一边因为旋转有两种方向会产生不确定性．B 'BAO角的计数问题在计算角的个数时一种方法是按一定顺序累加，固定角的一边，数出另一边共有多少个．另一种方法是使用排列组合知识．【例4】 ⑴ 一条射线OA ，从点O 再引两条射线OB 与OC ，使40AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，则AOC ∠= ．⑵ 已知40AOB ∠=︒，从O 点引射线OC ，若23AOC COB ∠∠=∶∶，求OC 与AOB ∠的平分线所成的角的度数为．⑶ 若170AOB ∠=︒，70AOC ∠=︒，60BOD ∠=︒，求COD ∠的度数．【解析】 ⑴ 20︒或60︒；⑵ 当OC 在⑴区域，所求的角度数为4︒；当OC 在⑵区域，所求的角度数为100︒；当OC 在⑶⑷⑸区域，不符合．（不考虑优角）⑶分四种情况如图1，COD ∠=40AOB AOC BOD ∠-∠-∠=︒ 如图2，COD ∠=160︒如图3，COD ∠=180︒如图4，COD ∠=60︒典题精练题型二：角度计算中的分类讨论5()4()3()2()1()O 角平分线BA7初一秋季·第11讲·尖子班·教师版图2A B CDO 图4A B C D O 东北西南东南西北东西南北【例5】如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有个角；画2条射线，图中共有个角；画3条射线，图中共有个角，求画n 条射线所得的角的个数．【解析】 3,6，10，(1)(2)2n n ++ 【拓展】已知直角AOB ∠，以O 为顶点，在AOB ∠的内部画出100条射线，则以OA 、OB 及这些射线为边的锐角共有多少个？若以O 为项点，在AOB ∠的内部画出n 条射线（1n ≥的自然数），则OA 、OB 以及这些射线为边的锐角共有多少个？【解析】 200个，2n【提示】在AOB ∠的内部，以O 为顶点，画1，2，3，4条射线，数数各有多少个锐角，找出规律，再计算100条射线、n 条射线所构成的锐角的个数．1. 方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围090α︒︒≤≤. 2. 钟表问题: ⑴ 分针每分钟转6︒ ⑵ 时针每分钟转0.5︒【例6】 ⑴ 如右图所示，下列说法中错误．．的是（） A ．OA 的方向是北偏西15°思路导航典题精练题型三：角的综合应用60°75°45°30°北南西东O DCBA8初一秋季·第11讲·尖子班·教师版7654 3 2 1B ．OB 的方向是南偏西45°C ．OC 的方向是南偏东60°D ．OD 的方向是北偏东60°（西城区期末）⑵ 如左下图所示的44⨯正方形网格中，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．⑶ 如右下图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O 点，则AOC DOB ∠+∠= ．⑷ 如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起．① 如图1，若20AOD ∠=°，则COB ∠= ° 如图2，若30AOD ∠=°，则COB ∠= ° 如图3，若50AOD ∠=°，则COB ∠= °② 如图4，若AOD α∠=，猜想COB ∠与α的数量关系为：（用式子表示）, 证明你的结论．【解析】 ⑴ D ；⑵利用对称性得315︒； ⑶180︒；⑷ ①160︒，150︒，130︒．② 180COB α∠=︒-．A BO图1CAD BO 20︒图2ABCD30︒图3CADB50︒图4AOBDCα9初一秋季·第11讲·尖子班·教师版∠AOB 是平角直线是平角∠CAB ∠ABC BO A B A B A CC B A 证明：90COD ∠=︒,90AOB ∠=︒,AOD α∠= ∴90AOC α∠=︒-, 90BOD α∠=︒-∴COB AOC AOB ∠=∠+∠ 9090180αα=︒-+︒=︒-．【例7】饭后，韩老师准备外出散步，出发时看了一下钟，时间是6点多，时针与分针成90︒角，散完步后回家，韩老师又看了一下钟，还不到7点，而时针与分针又恰好成90︒角，问韩老师外出多少分钟？【解析】钟表上相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如与角度联系起来，每小格6︒，秒针每分钟转过360︒，分针每分钟转过6︒，时针每分钟转过0.5︒．设小明外出时，时间为6点x 分，又设小明回家时是6点y 分．由题意得18060.590x x -+=°°，61800.590y y --=°°，解得41611x =，14911y =148491632111111y x -=-=．【备选】⑴α∠,β∠都是钝角，甲、乙、丙、丁计算，1()6αβ+的结果依次为50︒，26︒，72︒，90︒，其中有正确的结果，则计算一定正确的是（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁⑵已知α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算()115αβγ++的值时，有三位同学分别计算出了23︒、24︒、25︒这三个不同的结果，其中有一个是正确答案，则αβγ++=______. 【解析】 ⑴ A ；⑵345．因为90360αβγ︒<++<︒，故()162415αβγ︒<++<︒，所以三个结果中23︒是正确的，所以1523345⨯=．训练1. ⑴下列图中的角表示方法正确的个数有 ( )思维拓展训练（选讲）10 初一秋季·第11讲·尖子班·教师版A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ⑵把20.3°换算成度、分、秒的结果是； ⑶用度表示 722342'''︒= ； ⑷计算 3216'25''47825'︒⨯-︒=____________； ⑸计算 157435'︒÷= ．【解析】 ⑴B ；⑵2018'° ；⑶72.395︒；⑷504040'''︒；⑸ 313236'''．训练2. 以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使得54AOC BOC ∠∠=∶∶，若30AOB ∠=︒，则AOC∠的度数为．【解析】 1640'︒或150︒．训练3. 如右图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE∠互余，射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．【解析】 COE ∠和BOE ∠互余，所以90AOC BOC ∠=∠=︒111222DOF EOF EOD EOC BOE BOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠180451353AOF BOD AOB DOF DOF ∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒=∠ 3BOC EOF EOD DOF =∠+∠+∠=∠训练4. 在上午10时30分到11时30分之间，时针和分针成直角的时刻是．【解析】设过x 分钟，时针与分针的夹角为90︒，由60.513590x x -=-或60.513590x x -=+，得2811x =或104011．故10点23811分或11点101011分．题型一余角、补角及角分线的简单运算巩固练习【演练1】如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60，求这个角的余角度数．【解析】设这个角为x ，则它的补角和余角分别为180x ︒-和90x ︒-，(180)(90)[(180)(90)]60x x x x ︒-+︒--︒--︒-=︒，所以60x =︒，复习巩固ABC D EO 图2F E B11初一秋季·第11讲·尖子班·教师版所以这个角的余角的度数为30︒．【演练2】如图，O 为直线AB 上一点，50AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90DOE ∠=︒．⑴ 请你数一数，图中有多少个小于平角的角； ⑵ 求出BOD ∠的度数； ⑶ 请通过计算说明OE 是否平分BOC ∠．【解析】 ⑴ 图中共有9个小于平角的角；⑵ 155︒；⑶180180902565BOE DOE AOD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，902565COE ∠=︒-︒=︒，所以BOE COE ∠=∠，即OE 平分BOC ∠．题型二角度计算中的分类讨论巩固练习【演练3】已知100AOB ∠=°，50BOC ∠=°，求AOC ∠的度数.【解析】 AOC ∠等于50°或150°．【演练4】已知：OA 、OB 、OC 是从点O 引出的三条射线，85AOB ∠=︒，4136'BOC ∠=︒，求AOC ∠．【解析】注意分情况讨论，容易得到答案：4324'︒或12636'︒．题型三角的综合应用巩固练习【演练5】如图，OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是北偏西40°，OD 是OB 的反向延长线.若OC 是AOD ∠的平分线，则BOC ∠的度数为____________，OC 的方向是________________.【解析】 117.5︒；北偏东77.5︒．【演练6】钟表在8点30分时，时钟上的时针与分针之间的夹角为（）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°（顺义区期末）【解析】 C ．O E D CB A DC B A O 北西南东初一秋季·第11讲·尖子班·教师版逆境中崛起的天才曾经，因为潦倒，他将自己的诗仅卖了10块钱，而被人嘲笑为“弱智”，而这首诗花了他整整10年的时间；曾经，“穷鬼”一词变成了他的代名词，生活的一连串打击一度让他几近崩溃，走投无路。

初一数学期末复习三角函数计算压轴题难题(附答案详解)

初一数学期末复习三角函数计算压轴题难题(附答案详解)题目一已知直角三角形中一边的长为6cm，另一边的长为8cm，求另外两个角的正弦、余弦和正切值。

解答：设直角三角形中两个锐角分别为A和B。

已知边长分别为6cm 和8cm，则根据勾股定理，可得直角边的长为：c = √(a^2 + b^2)c = √(6^2 + 8^2)c = √(36 + 64)c = √100c = 10cm因此，三角形的斜边长为10cm。

对于角A：正弦值(sin) = 对边/斜边 = 6/10 = 0.6余弦值(cos) = 邻边/斜边 = 8/10 = 0.8正切值(tan) = 对边/邻边 = 6/8 = 0.75对于角B：正弦值(sin) = 8/10 = 0.8余弦值(cos) = 6/10 = 0.6正切值(tan) = 8/6 = 1.3333因此，角A的正弦值为0.6，余弦值为0.8，正切值为0.75；角B的正弦值为0.8，余弦值为0.6，正切值为1.3333。

题目二已知一条斜边为12cm的直角三角形，其中一个锐角的正切值为1.5，求另外两个角的正弦、余弦和正切值。

解答：设直角三角形中两个锐角分别为A和B。

已知斜边长为12cm，角A的正切值为1.5。

对于角A：正切值(tan) = 对边/邻边 = a/b = 1.5设对边为a，邻边为b，则可以得到以下两个方程：a^2 + b^2 = 12^2a/b = 1.5从第二个方程可以得到：a = 1.5b将a的值代入第一个方程中，得到：(1.5b)^2 + b^2 = 1442.25b^2 + b^2 = 1443.25b^2 = 144b^2 = 144/3.25b^2 = 44.3077b ≈ 6.648由于b是邻边，所以b ≈ 6.648cm，a ≈ 1.5 * 6.648 ≈ 9.972cm。

因此，三角形的对边和邻边分别为9.972cm和6.648cm。

对于角A：正弦值(sin) = 对边/斜边≈ 9.972/12 ≈ 0.831余弦值(cos) = 邻边/斜边≈ 6.648/12 ≈ 0.554正切值(tan) = 对边/邻边≈ 9.972/6.648 ≈ 1.5对于角B：正弦值(sin) = 对边/斜边≈ 6.648/12 ≈ 0.554余弦值(cos) = 邻边/斜边≈ 9.972/12 ≈ 0.831正切值(tan) = 对边/邻边≈ 6.648/9.972 ≈ 0.667因此，角A的正弦值约为0.831，余弦值约为0.554，正切值约为1.5；角B的正弦值约为0.554，余弦值约为0.831，正切值约为0.667。

初一数学上册培优训练题

专题一与角平分线有关的角度计算问题1．如图，OB 是AOC ∠的平分线，OD 是COE ∠的平分线.（1）如果40,30AOB DOE ∠=︒∠=︒，那么BOD ∠是多少度？（2）如果140,30AOE COD ∠=︒∠=︒，那么AOB ∠是多少度？2．如图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若84,68AOD MON ∠=︒∠=︒，求.BOC ∠3．已知AOB ∠及射线OC 、OM 、ON 分别平分AOC ∠、.BOC ∠（1）如图1，若OC 在AOB ∠的外部，试探究MON ∠与AOB ∠的关系.（2）如图2，若OC 在AOB ∠的内部，则MON ∠与AOB ∠有何关系？4．如图1，80,40AOB COD ∠=︒∠=︒，OM 平分BOD ∠，ON 平分.AOC ∠ （1）求MON ∠的度数.（2）将图1中的COD ∠绕点O 旋转至如图2的位置，求此时MON ∠的度数.专题二角度计算中的动态问题1．已知100,40AOB COD ∠=︒∠=︒，OE 平分AOC ∠，OF 平分BOD ∠.（本题中的角均为大于0︒ 且小于等于180︒的角）（1）如图，当OB 、OC 重合时，求EOF ∠的度数；（2）当COD ∠从如图所示的位置绕点O 顺时针旋转(090)n n ︒<<时，AOE BOF ∠-∠的值是否为定值？若是定值，求出AOE BOF ∠-∠的值；若不是，请说明理由. （3）当COD ∠从如图所示的位置绕点O 顺时针旋转(0180)n n ︒<<时，满足6AOD EOF COD ∠+∠=∠，则n =__________.2．将一副三角板如图1所示的方式摆放，30DCE ∠=︒，现将DCE ∠绕C 点以15/s ︒的速度逆时针旋转，旋转时间为t (s).（1）t 为多少时，CD 恰好平分BCE ∠？请在图2中画图，并说明理由.（2）当68t <<时，CM 平分ACE ∠，CN 平分BCD ∠，求MCN ∠，请在图3中完成. （3）当812t <<时，（2）中的结论是否发生变化？请在图4中完成.专题三数轴上的动点问题1．已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为2个单位的线段BC在数轴上移动.（1）如图，当线段BC在O、A两点之间移动到某一位置时恰好满足线段AC=OB，求此时b 的值；（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在12AC OB AB-=，求此时满足条件的b的值；（3）当线段BC在数轴上移动时，满足关系式||||AC OB AB OC-=-，则此时b的取值范围是___________.2．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别为a, b, c，且满足2|24||10|(10)0a b c++++-=，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒.（1）求a, b, c的值；（2）若点P到A点的距离是点P到B点距离的2倍，求点P对应的数；（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由.3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）当点P以每秒5个单位长度的速度从O点向右运动时，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度向右运动，它们同时出发，几秒后P到点A、点B的距离相等？4．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a, b满足2+++=|2|(3)0.a b a（1）求A、B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）.①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间.专题四实际问题与一元一次方程1．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费的分段计算的方法：每月用量不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算. 设每月用电x 度. （1）若0100x ≤≤时，电费为元；若100x 时，电费为元.（用含x 的式子表示）2．某织布厂现在职工100名，已知每人每天能织布20米，或利用所织的布制衣5件. 制衣一件需布2米，将布直接销售，每米可获利2元；将布制成衣服后销售，每件衣服可获利20元. 若每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素，设安排了a 名工人制衣，回答下列问题：（1）一天中制衣所获得的利润A = 元（用含a 的代数式表示）；（2）一天中织布所获得的利润B= 元（用含a 的代数式表示）；（3）要使一天所获得总利润为6640元，应安排多少工人制衣服，多少工人织布？3．2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩. 甲、乙两单位共102人. 其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人. 经了解，该风景区的门票价如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元.（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备在加游玩？（3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案？通过比较，该如何购买门票才能最省钱？4. 家科院向农民推荐鄂丰I号和鄂丰II号两种新型良好稻谷. 在田间管理和土质相同的条件下，II号稻谷单位面积的产量比I号稻谷低20%，但II号稻谷的米质好，价格比I号高. 已知I 号稻谷国家的收购价是1.6元/千克.（1）当II号稻谷的国家收购价是多少时，在田间管理、土质和面积相同的两块田里分别种植I 号，II号稻谷的收益相同？（2）去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植I号、II号稻谷，且进行了相同的田间管理. 收获后，小王把稻谷全部都卖给国家. 当时II号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克，I号稻谷国家的收购价未变，这样小王卖II号稻谷比卖I号稻谷多收入1040元，那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？5．某公司生产一种产品，每件产品成本价是400元，销售价为510元，第一季度销售了5000件.（1）求该产品第一季度的销售总利润是多少元？（销售利润=销售价-成本价）（2）为进一步扩大市场，公司决定降低生产成本，经过市场调研，在降低生产成本后，第二季度这种产品每件销售价降低了4%，销售量比第一季度提高了10%，销售总利润比第一季度提高了20%，该产品每件的成本价降低了多少元？6．为了加强公民的节水意识，北方某市制定了如下收费标准：每户每月的用水量不超过10吨时，水价每吨3元，超过10吨时，超过的部分按每吨5元收费. 小明家九月份用水x吨.（1）试用x的整式表示小明家九月份应该缴纳的收费：（2）据预测“十一”黄金周期间，他家外出旅游，该月用水量将比九月份减少4吨，水费减少1，求x的值.3。