高中数学三角函数新奇妙题难题提高题(修改版).doc

高考级

1、关于函数f ( x ) 4sin(2x )(x R ) 有下列命题:①由 f (x 1 ) f ( x 2 ) 0 可得 x 1 x 2是

3

的整数倍；②

y f ( x ) 的表达式可改写为y 4 cos(2x ) ；③y f (x ) 的图象关于

π

6

点（－,0) 对称；④ y = f ( x ) 的图象关于直线 x 对称。其中正确命题的序号

6 6

是__ _

答案：②③

2. 已知函数g ( x) 1 cosπx 2 0 π 的图象过点1 , 2 ，若有4个不同的正数 x i

2 2

满足 g ( x i ) M (0 M 1) ，且 x i 4(i 1, 2, 3, 4) ，则 x1 x2 x3 x4等于

答案 10

3 函数y 1 的图像与函数 y 2sin x( 2 x 4) 的图像所有交点的横坐标之和等

1 x

于

（A）2(B) 4(C) 6(D)8

解析：图像法求解。y

1

的对称中心是（1,0 ）也是y 2sin x( 2 x 4) 的中心，x 1

2x 4 他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。不妨

把他们的横坐标由小到大设为x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ，则x1 x8 x2 x7 x3 x6 x4 x5 2 ，所以选 D

5 . 如果圆x2+y2=n2至少覆盖函数 f ( x) 3 sin x

的一个最大值点和一个最小值点，

则正整数的最小值是 ( B )

n (A)1 (B) 2(C) 3(D) 4

提示：因为 f (x)

3 sin

x

为奇函数，图象关于原点对称，所以圆 x 2 y 2 n 2 只

n

x

要覆盖 f ( x) 的一个最值点即可，令

，解得 f (x) 距原点最近的一个最大点

n

P( n

, 3) ，由题意 n 2

( n ) 2

2

( 3) 2 得正整数 n 的最小值为 2 选 B

2

2

sin x ，sin x ≤cos x 6． ( 模拟 ) 对于函数 f ( x ) ＝

给出下列四个命题：

cos x ，sin x >cos x

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数；②当且仅当

x ＝π＋ k π(k ∈Z)

时，该函数取得最小值是－ 1；

5π

π ③该函数的图象关于

x ＝ 4 ＋2k π(k ∈Z) 对称；④当且仅当

2k π

2 ＋

2k π(k ∈Z) 时， 0

2

2 .

其中正确命题的序号是 ________． ( 请将所有正确命题的序号都填上 )

答案：③④

8 已知 f ( x )=s in ( x + )(

>0, 0 ≤ ≤π ) 是 R 上的偶函数，其图象关于点 M 3

,0

对称，且在区间 0,

上是单调函数，求 和 的值。

4

2

【解】 由 f ( x ) 是偶函数，所以 f (- x )= f ( x ) ，所以 s in ( + )=s in (- x + ) ，所 以 co s s inx =0，对任意 x ∈R 成立。又 0≤ ≤π，解得

= ，因为 f ( x ) 图象关

2

于 M

3

,0 对 称 ， 所以 f (

3

x)

f (

3

x) =0。 取 x =0， 得 f (

3

)=0，所以

4

4 4

4

sin

3

0.所以

3

k

( k ∈Z) ，即 = 2

(2 k +1) ( k ∈Z) ，又 >0，取 k =0

4

2

4

2

3

时，此时 f ( x )= sin (2 x + ) 在[0 ，

] 上是减函数；取

k =1 时， =2，此时

2

2

f ( x )= sin (2 x + ) 在[0 ， ] 上是减函数；取 k =2 时， ≥

10

，此时 f ( x )= sin ( x + )

2

2

3

2

在[0 ， ] 上不是单调函数，综上，

= 2

或 2。

2

3

7．

如图，已知在等边△ ABC 中，AB ＝3，O 为中心，过 O 的直线交 AB 于 M ，AC 于 N ，

设∠AOM ＝ (60 °≤ ≤120°) ，当 分别为何值时， 1 1

取得最大值和最小值．

OM ON

解：由题意可知：∠ OAM ＝30°，则∠ AMO ＝180°－（θ＋ 30°）由正弦定理得：

OA ＝ OM ， 又 OA= 3

3 2 3 ，∴OM 2sin(

3

同 理 ： sin AMO

sin 30

2 3

30 )

ON

3

，

∴

11

2 sin(30 ) 2 sin( 30 ) 2 ( 3

sin

1

cos

3

sin

1

cos ) 30 )

2 sin(

OM ON

3

3

3

2

2

2

2

2sin ，∵60°≤θ≤ 120°，∴ 3 ≤2sin θ≤ 2，故当

θ＝ 60°或 120°时， 1

1

3 ；当

θ＝ 90°时，

1

1 的最大值为 2．

OM ON

的最小值为

OM

ON

联赛

1. 在平面直角坐标系 xoy 中，函数 f (x) a sin ax cos ax (a 0) 在一个最小正周期长 的区 间 上 的 图 像与 函 数 g(x)a 2

1

的图像所围成的封闭图形的面积是

_____________。

解： f (x)

a 2

1sin( ax ), 其中

arctan 1 ，它的最小正周期为

2

，振幅为 a 2

1 。

a

a

由 f ( x) 的图像与 g( x) 的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为

2

、宽为 a 2

1 的长方形，故它的面积是

2

a 2 1 。

a a

2. 已知 x,2y ∈ [

, ] ， ∈ R,

且 x 3 sin x 2a

0...........(1) 4

a

4 y 3

sin y cos y a 0 (2)

4

求 cos(x+2y) 的值。

分析：（ 1），（2）可得变形： x 3+sinx=2a,(2y) 3

+sin2y=-2a, 由这式子使我们联

想到函数 f(v)=v 3+sinv ，由（ 1）得， f(x)=2a; 由（ 2）得， f(2y)=-2a; 由 f(v)

在[ , ]

上，为单调的奇函数。故

f(x)=-f(2y)=f(-2y), 又 x,2y ∈[ , ] , ∴x=-2y,

2 2 4 4

∴x+2y=o, 从而 cos(x+2y)=0 。

3．函数 f (x) | sin x | 与直线 y

kx (k

0) 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值