世纪金榜高三理科数学一轮复习全套试题含答案：单元评估检测(九)
世纪金榜高考理科数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且f(1) = 2，f(2) = 5，则下列说法正确的是：A. a > 0，b > 0，c > 0B. a > 0，b < 0，c > 0C. a < 0，b > 0，c < 0D. a < 0，b < 0，c < 02. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的位置是：A. 在实轴上B. 在虚轴上C. 在实轴和虚轴之间D. 在原点3. 下列各式中，正确的是：A. sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβB. cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβC. tan(α + β) = tanα + tanβD. cot(α + β) = cotα + cotβ4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，S5 = 30，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是：A. y = -2x + 1B. y = 2x - 1C. y = x^2D. y = -x^26. 已知双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，若a > 0，b > 0，则双曲线的渐近线方程是：A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±(a^2/b)xD. y = ±(b^2/a)x7. 下列各式中，正确的是：A. log_a(1/a) = -1B. log_a(a) = 0C. log_a(a^2) = 2D. log_a(1/a^2) = -28. 若函数y = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则下列说法正确的是：A. a > 0，b > 0，c > 0B. a < 0，b < 0，c < 0C. a > 0，b < 0，c < 0D. a < 0，b > 0，c > 09. 下列各式中，正确的是：A. sin(π/2) = 1B. cos(π/2) = 0C. tan(π/2) = 1D. cot(π/2) = 010. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，S3 = 9，则公比q为：A. 1B. 3C. 1/3D. -311. 下列函数中，在其定义域内单调递减的是：A. y = 2^xB. y = 2-xC. y = x^2D. y = -x^212. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的位置是：A. 在实轴上B. 在虚轴上C. 在实轴和虚轴之间D. 在原点二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：单元评估检测(一)(含答案解析)
单元评估检测(一)第一章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知下列结论:①-2∈Z;②π∉Q;③N⊆N*;④Q R.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为Z,Q,N,N*,R分别表示整数集、有理数集、自然数集(包括0),正整数集,实数集,又因为-2是整数,π是无理数,所以①正确;②正确;③不正确;④正确.2.(2016·济宁模拟)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x(x-2)<0},则A∩B=()A.{0}B.{-1}C.{1}D.{0,-1,1}【解析】选C.因为B={x|0<x<2},所以A∩B={1}.【一题多解】解答本题还可用如下方法:选C.验证法:当x=0时,x(x-2)=0<0不成立;当x=-1时,x(x-2)=3<0不成立;当x=1时,x(x-2)=-1<0成立.结合答案选项可知选C.3.命题“∃x0∈∁R Q,∈Q”的否定是()A.∃x0∉∁R Q,∈QB.∃x0∈∁R Q,∉QC.∀x∉∁R Q,x2∈QD.∀x∈∁R Q,x2∉Q 【解析】选D.“∃x0∈∁R Q”的否定为“∀x∈∁R Q”,“∈Q”的否定为“x2∉Q”.【加固训练】已知命题p:∃x 0>1,-1>0,那么p是()A.∀x>1,x2-1>0B.∀x>1,x2-1≤0C.∃x0>1,-1≤0D.∃x0≤1,-1≤0【解析】选B.“∃x0>1,-1>0”的否定为“∀x>1,x2-1≤0”.4.(2016·青岛模拟)设A=,B={x|x≥a}.若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.a<B.a≤C.a≤1D.a<1【解析】选C.A={1,2,3,4},由A⊆B得a≤1.【误区警示】本题易误选A或B,出现错误的原因是忽视了集合A中“x∈Z”这一条件及对端点值的验证.5.(2016·临沂模拟)使x2>4成立的充分不必要条件是()A.2<x<4B.-2<x<2C.x<0D.x>2或x<-2 【解题提示】要分清谁是谁成立的充分不必要条件.【解析】选A.因为x2>4的解集为{x|x>2或x<-2},故A选项正确.6.已知集合M=,N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1}=()A.M∩NB.M∪NC.∁R(M∩N)D.∁R(M∪N)【解题提示】先解不等式,化简集合M,再数形结合求解.【解析】选D.<0⇔(x+3)(x-1)<0⇔-3<x<1,即M={x|-3<x<1},由图易知{x|x≥1}=∁R(M∪N).7.(2016·聊城模拟)p:x>1,y>1,q:x+y>2,xy>1,则p是q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由不等式的结论可得p⇒q,但x=100,y=0.1,满足x+y>2,xy>1,但不满足p,故p是q的充分而不必要条件.8.设等差数列{a n}的公差为d,则a1d>0是数列{}为递增数列的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 A.数列{}为递增数列⇔>⇔>1⇔>1⇔>1⇔a1d>0.【加固训练】“sinα≠sinβ”是“α≠β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.α=β⇒sinα=sinβ,但sinα=sinβα=β.因此α=β是sinα=sinβ的充分不必要条件,从而“sinα≠sinβ”是“α≠β”的充分不必要条件.9.已知命题p:∃x 0∈R,x0<+1,命题q:∀x∈R,sin4x-cos4x≤1,则p∨q,p∧q,p∨q,p∧(q)中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为x2-x+1>0对∀x∈R恒成立,即x<x2+1恒成立,所以p真;因为sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x≤1恒成立,所以q真.故p假,q假,所以p∨q真,p∧q真,p∨q真,p∧(q)假.10.(2016·淄博模拟)已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】把问题转化为方程x2+bx+c=0有根的情况解答.【解析】选A.若c<0,则Δ=b2-4c>0,所以∃x0∈R,使f(x0)<0成立.若∃x0∈R,使f(x0)<0,则有Δ=b2-4c>0,即b2-4c>0即可,所以当c=1,b=3时,满足Δ=b2-4c>0,所以“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的充分不必要条件.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因就是不能进行合理转化,尤其反推时,不知道举反例,而导致误选C.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·合肥模拟)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M).设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=-2x,x∈R},则A⊕B等于__________.【解题提示】先化简集合A,B,再按新定义计算.【解析】因为A=,B={y|y<0},所以A-B={y|y≥0},B-A=,A⊕B=(A-B)∪(B-A)=.答案:∪[0,+∞)12.命题:已知x∈R,若x<1,则x2<1的逆否命题是__________________________.【解析】已知x∈R是大前提,所以原命题的逆否命题是:已知x∈R,若x2≥1,则x≥1.答案:已知x∈R,若x2≥1,则x≥113.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},集合A×B中属于集合{(x,y)|log x y∈N}的元素的个数是________.【解析】由定义可知A×B中的元素为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8).其中使log x y∈N的有(2,2),(2,4),(2,8),(4,4)共4个.答案:414.(2016·枣庄模拟)下列3个命题:①“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”;②“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;③在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的充分不必要条件.其中真命题的序号是________.【解析】当φ=时,f(x)=tan==(x≠kπ,k∈Z),f(-x)===-f(x),即f(x)为奇函数,所以①为假命题;命题“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题是“若x2+x-6<0,则x≤2”,因为x2+x-6<0⇔-3<x<2,所以②为真命题;在△ABC 中,当A=160°时,sinA=sin160°=sin20°<sin30°=.所以③为假命题.答案:②15.(2016·北京模拟)设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是____________.【解题提示】先化简集合A,再结合二次函数的图象求解.【解析】A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0,根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,则这个整数为2,所以有f(2)≤0且f(3)>0,即所以即≤a<.答案:【加固训练】(2015·大连模拟)若命题“∀x∈R,ax2-a2x-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________.【解析】当a=0时,-2≤0成立,当a≠0时,由题意,得解得-2≤a<0,综上所述,a∈[-2,0].答案:[-2,0]三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={x|x2-1<0},B={x|x+a>0}.(1)若a=-,求A∩B.(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.【解析】A={x|-1<x<1}.(1)当a=-时,B==,所以A∩B=.(2)若A∩B=A,则A⊆B,因为B={x|x>-a},所以-a≤-1,即a≥1.17.(12分)设集合A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={-3,4},A∩B={-3},求a,b,c的值.【解析】因为A∩B={-3},所以-3∈A,且-3∈B,所以(-3)2-3a-12=0,解得a=-1,A={x|x2-x-12=0}={-3,4}.因为A∪B={-3,4},且A≠B,所以B={-3},即方程x2+bx+c=0有两个等根为-3,所以即b=6,c=9.综上a,b,c的值分别为-1,6,9.18.(12分)(2016·临沂模拟)已知命题p:函数y=log0.5(x2+2x+a)的定义域为R,命题q:函数y=-(5-2a)x是减函数,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.【解析】由函数y=log0.5(x2+2x+a)的定义域为R得x2+2x+a>0恒成立,所以Δ=4-4a<0,a>1,由函数y=-(5-2a)x是减函数,得5-2a>1,所以a<2.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p,q必为一真一假,当p真q假时,所以a≥2.当p假q真时,所以a≤1.综上所述,a的取值范围是a≥2或a≤1.【加固训练】已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.【解析】命题p为真时,实数m满足Δ1=m2-4>0且-m<0,解得m>2;命题q为真时,实数m满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3.p∨q为真命题,p∧q为假命题,等价于p真q假或者p假q真.若p真q假,则实数m满足解得m≥3;若p假q真,则实数m满足解得1<m≤2.综上可知,所求m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).19.(12分)(2016·青岛模拟)已知p:x2≤5x-4,q:x2-(a+2)x+2a≤0.(1)求p中对应x的取值范围.(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.【解析】(1)因为x2≤5x-4,所以x2-5x+4≤0,即(x-1)(x-4)≤0,所以1≤x≤4,即p中对应x的取值范围为1≤x≤4.(2)设p对应的集合为A={x|1≤x≤4}.由x2-(a+2)x+2a≤0,得(x-2)(x-a)≤0.当a=2时,不等式的解为x=2,对应的解集为B={2};当a>2时,不等式的解为2≤x≤a,对应的解集为B={x|2≤x≤a};当a<2时,不等式的解为a≤x≤2,对应的解集为B={x|a≤x≤2}.若p是q的必要不充分条件,则B A,当a=2时,满足条件;当a>2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|2≤x≤a},要使B A,则满足2<a≤4;当a<2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|a≤x≤2},要使B A,则满足1≤a<2.综上,1≤a≤4.20.(13分)已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B=.(1)若A∩B=∅,求a的取值范围.ðA)∩B.(2)当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时,求(R【解题提示】(1)先化简集合A,B,再由题意列关于a的不等式组求解.(2)先由题意确定a的值,再求解.【解析】A={y|y<a或y>a2+1},B={y|2≤y≤4}.(1)当A∩B=∅时,解得≤a≤2或a≤-.即a∈(-∞,-]∪[,2].(2)由x2+1≥ax,得x2-ax+1≥0,依题意Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2.所以a的最小值为-2.当a=-2时,A={y|y<-2或y>5}.所以∁R A={y|-2≤y≤5},故(∁R A)∩B={y|2≤y≤4}.21.(14分)求证:方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.【解题提示】充分性与必要性分两步证明→充分性:a≤0或a=1作为条件,必要性:ax2+2x+1=0有且只有一个负数根作为条件.【证明】充分性:当a=0时,方程为2x+1=0,其根为x=-,方程只有一负根.当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1,方程只有一负根.当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且<0,方程有一正一负两个根.所以充分性得证.必要性:若方程ax2+2x+1=0有且只有一负根.当a=0时,符合条件.当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,则Δ=4-4a≥0,所以a≤1,当a=1时,方程有一负根x=-1.当a<1时,若方程有且只有一负根,则所以a<0.所以必要性得证.综上,方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.。
世纪金榜高三理科数学一轮复习全套试题含答案：课时提能演练(九) 2.6
课时提能演练(九)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·珠海模拟)函数y=2(x+2)的定义域为( ) (A)(-∞,-1)∪(3,+∞) (B)(-∞,-1)∪［3,+∞) (C)(-2,-1) (D)(-2,-1］∪［3,+∞)2.（2012·莆田模拟）设f(x)=()x 1232e x 2log x 1 x 2-⎧<⎪⎨-≥⎪⎩,则不等式f(x)>2的解集为（ ）(A)（1，2）∪（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）∪（10，+∞） (D)（1，2）3.设f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知当x ∈(0,1)时，f(x)=12log (1-x)，则函数f(x)在(1，2)上( )(A)是增函数，且f(x)<0 (B)是增函数，且f(x)>0 (C)是减函数，且f(x)<0 (D)是减函数，且f(x)>04.已知函数f(x)=|log 2x|，正实数m 、n 满足m ＜n ，且f(m)=f(n)，若f(x) 在区间[m 2,n]上的最大值为2，则m 、n 的值分别为( )(A)12、2 (B)12、4(C)2、14、45. （2012·福州模拟）函数f(x)=log a (2-ax 2)在（0，1）上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）(A)［12，1） (B)（1，2） (C)（12，1） (D)（1，2］6.（预测题）已知函数f(x)= ()3lgx,x 23lg 3x ,x 2⎧≥⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，＜若方程f(x)=k 无实数根，则实数k 的取值范围是( )(A)(-∞,0) (B)(-∞,1) (C)(-∞,lg 32) (D)(lg 32,+∞) 二、填空题(每小题6分，共18分)7.23lg lg87-+8.(2012·青岛模拟)函数y=f(x)的图象与y=2x 的图象关于直线y=x 对称，则函数y=f(4x-x 2)的递增区间是_________.9.定义在R 上的函数f(x)满足f(2-x)=f(x)，且f(x)在(1,+∞)上是增函数，设a=f(0),b=f(log 214),c=f(lg 3π),则a,b,c 从小到大的顺序是______.三、解答题(每小题15分，共30分)10.若函数y=lg(3-4x+x 2)的定义域为M.当x ∈M 时，求f(x)=2x+2-3×4x 的最值及相应的x 的值.11.(2012·厦门模拟)已知函数f(x)=lnx 1x 1+-. (1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性; (2)对于x ∈［2,6］,f(x)= ln x 1x 1+-＞ln ()()mx 17x --恒成立，求实数m 的取值范围. 【探究创新】(16分)已知函数f(x)=log a (3-ax).(1)当x ∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选D.要使函数有意义，需2x 2x 30x 20⎧--≥⎨+⎩，＞得-2＜x ≤-1或x ≥3,即x ∈(-2,-1］∪［3,+≦),故选D.2.【解析】选C.当x<2时，f(x)>2，即2e x-1>2, 解得1<x<2,当x ≥2时，f(x)>2，即log 3(x 2-1)>2,解得,综上所述，不等式的解集为（1，2）∪（10，+≦）.3.【解析】选D.f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数，由x ∈(0,1)时，f(x)= 12log (1-x)是增函数且f(x)>0，得函数f(x)在(2，3)上也为增函数且f(x)>0，而直线x=2为函数的对称轴，则函数f(x)在(1，2)上是减函数，且f(x)>0，故选D. 4.【解析】选A.f(x)=|log 2x|= 22log x,x 1,log x,0x 1≥⎧⎨-⎩＜＜根据f(m)=f(n)及f(x)的单调性，知0＜m ＜1,n ＞1，又f(x)在[m 2,n]上的最大值为2，故f(m 2)=2,易得n=2,m=12.5.【解析】选D.由已知可知a>0,u(x)=2-ax 2在（0，1）上是减函数，≨f(x)=log a (2-ax 2)在（0，1）上是减函数.等价于()a 1u 10>⎧⎪⎨≥⎪⎩,即a 12a 0>⎧⎨-≥⎩,≨1<a ≤2.6.【解题指南】作出函数f(x)的图象，数形结合求解. 【解析】选C.在同一坐标系内作出函数y=f(x)与y=k 的图象，如图所示，若两函数图象无交点，则k ＜lg 32.7.【解析】原式=lg4+12lg2-lg7-23lg8+lg7+12lg5=2lg2+12(lg2+lg5)-2lg2=12.答案：128.【解题指南】关键是求出f(4x-x 2)的解析式，再求递增区间. 【解析】≧y=2x 的反函数为y=log 2x ， ≨f(x)=log 2x,f(4x-x 2)=log 2(4x-x 2). 令t=4x-x 2,则t ＞0,即4x-x 2＞0,≨x ∈(0,4), 又≧t=-x 2+4x 的对称轴为x=2，且对数的底数大于1， ≨y=f(4x-x 2)的递增区间为(0，2). 答案：(0，2)9.【解析】由f(2-x)=f(x)，可知对称轴x 0=2x x2-+=1,图象大致如图， ≧log 214=log 22-2=-2,-2＜0＜lg 3π＜1,≨结合图象知f(lg 3π)＜f(0)＜f(log 214)，即c ＜a ＜b. 答案：c ＜a ＜b10.【解析】≧y=lg(3-4x+x 2),≨3-4x+x 2＞0, 解得x ＜1或x ＞3, ≨M={x|x ＜1或x ＞3}, f(x)=2x+2-3×4x =4×2x -3×(2x )2.令2x =t,≧x ＜1或x ＞3,≨t ＞8或0＜t ＜2.设g(t)=4t-3t 2 ≨g(t)=4t-3t 2=-3(t-23)2+43(t ＞8或0＜t ＜2). 由二次函数性质可知： 当0＜t ＜2时，g(t)∈(-4,43], 当t ＞8时，g(t)∈(-≦,-160), ≨当2x =t=23,即x=log 223时，f(x)max =43.综上可知：当x=log 223时，f(x)取到最大值为43,无最小值. 【变式备选】设a ＞0,a ≠1，函数y=()2lg x 2x 3a -+有最大值，求函数f(x)=log a (3-2x-x 2)的单调区间.【解析】设t=lg(x 2-2x+3)=lg[(x-1)2+2]. 当x=1时，t 有最小值lg2, 又因为函数y=()2lg x 2x 3a -+有最大值，所以0＜a ＜1.又因为f(x)=log a (3-2x-x 2)的定义域为{x|-3＜x ＜1}, 令u=3-2x-x 2,x ∈(-3,1),则y=log a u. 因为y=log a u 在定义域内是减函数， 当x ∈(-3,-1]时，u=-(x+1)2+4是增函数， 所以f(x)在(-3,-1]上是减函数.同理，f(x)在[-1,1)上是增函数.故f(x)的单调减区间为(-3，-1]，单调增区间为[-1，1).11.【解析】(1)由x 1x 1+-＞0,解得x ＜-1或x ＞1，≨定义域为(-≦,-1)∪(1,+≦),当x ∈(-≦,-1)∪(1,+≦)时，f(-x)=ln x 1x 1-+--=ln x 1x 1-+=ln(x 1x 1+-)-1=-ln x 1x 1+-=-f(x),≨f(x)=ln x 1x 1+-是奇函数.(2)由x ∈［2,6］时， f(x)=ln x 1x 1+-＞ln ()()mx 17x --恒成立， ≨x 1x 1+-＞()()m x 17x --＞0,≧x ∈［2,6］，≨0＜m ＜(x+1)(7-x)在x ∈［2,6］上成立.令g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3)2+16,x ∈［2,6］,由二次函数的性质可知x ∈［2,3］时函数单调递增，x ∈［3,6］时函数单调递减， x ∈［2,6］时，g(x)min =g(6)=7,≨0＜m ＜7. 【探究创新】【解析】(1)由题设，3-ax ＞0对一切x ∈[0,2]恒成立，设g(x)=3-ax,≧a ＞0,且a ≠1,≨g(x)=3-ax 在[0,2]上为减函数. 从而g(2)=3-2a ＞0,≨a ＜32. ≨a 的取值范围为(0，1)∪(1，32). (2)假设存在这样的实数a, 由题设知f(1)=1,即log a (3-a)=1,≨a=32. 此时f(x)= 32log (3-32x),当x=2时，f(x)没有意义，故这样的实数a 不存在.。
【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：单元评估检测(九)算法初步统计
单元评估检测(九)第九章(90分钟120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015·宿州模拟)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A.6B.8C.10D.12【解析】选B.设样本容量为N,则N×=6,所以N=14,所以高二年级所抽人数为14×=8.2.(2015·赣州模拟)在某次测量中得到的A样本数据如下:42,43,46,52,42,50,若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A.平均数B.标准差C.众数D.中位数【解析】选B.由A组数据为42,43,46,52,42,50,B组数据为37,38,41,47,37,45.可知平均数、众数、中位数都发生了变化,比原来A组数据对应量都减小了5,但标准差不发生变化,故选B.3.在如图所示的计算1+3+5+…+2 015的程序框图中,判断框内应填入( )A.i≤1 008B.i≤2 013C.i<2 015D.i≤2 015【解析】选D.由程序框图知,S=1+3+5+…+2 015,i初始值为1,每次增加2,S中加上的最后一项为2 015,故判断框中的条件应为i≤2 015.4.(2015·景德镇模拟)在样本频率分布直方图中,共有五个小长方形,这五个小长方形的面积由小到大成等差数列{a n}.已知a2=2a1,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为( )A.100B.120C.150D.200【解析】选A.设公差为d,则a1+d=2a1,所以a1=d,所以d+2d+3d+4d+5d=1,所以d=,所以面积最大的一组的频率等于×5=.所以小长方形面积最大的一组的频数为300×=100.5.(2015·淮北模拟)为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应为( )A.13B.19C.20D.51【解析】选C.抽样间隔为46-33=13,故另一位同学的编号为7+13=20,选C.6.(2015·太原模拟)已知x,y 的取值如表所示:从散点图分析,y 与x 线性相关,且y=0.8x+a,则a= ( ) A.0.8 B.1 C.1.2 D.1.5【解析】选B.==2,==2.6,又因为回归直线y=0.8x+a 过样本点中心(2,2.6), 所以2.6=0.8×2+a,解得a=1.7.某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试.现随机调查了24名笔试者的成绩,如下表所示:据此估计允许参加面试的分数线大约是 ( ) A.75 B.80 C.85 D.90【解析】选B.由题可知,在24名笔试者中应选出6人参加面试,由表可得面试分数线大约为80.8.样本(x 1,x 2,…,x m )的平均数为,样本(y 1,y 2,…,y n )的平均数为(≠).若样本(x1,x 2,…,x m ,y 1,y 2,…,y n )的平均数=α+(1-α),其中0<α≤,则m,n 的大小关系为 ( )A.m<nB.m ≤nC.m>nD.m ≥n【解析】选B.由题意可得=,=,===+,则0<α=≤,解得m≤n.9.(2015·南昌模拟)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:计算可得χ2=≈7.8.附表:参照附表,得到的正确结论是( )A.有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】选A.根据独立性检验的定义,由χ2≈7.8>6.635可知我们有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,故选A.10.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为( )A.3B.-6C.10D.-15【解析】选D.程序运行过程为:i=1,S=0→S=0-12=-1,i=2→S=-1+22,i=3,由于判断条件i<6,所以当i=5时,执行最后一次后输出S的值,所以S=-1+22-32+42-52=-15.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2015·萍乡模拟)将某班的60名学生编号为01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是.【解析】依据系统抽样方法的定义得知,将这60名学生依次按编号每12人作为一组,即01～12,13～24,…,49～60,当第一组抽得的号码是04时,剩下的四个号码依次是16,28,40,52(即其余每一小组所抽出来的号码都是相应的组中的第四个号码).答案:16,28,40,5212.如图所示,程序框图(算法框图)的输出结果是 .【解析】由T=T+k可知T是一个累加变量,题目实质为求1+2+3+…+k 的和,其和为.令≤105,得k≤14.故当k=15时,T=1+2+3+…+15=120>105,此时输出k=15.答案:1513.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:由表中数据,求得线性回归方程为y=-4x+a.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为.【解析】==,==80,因为回归直线过点,所以a=106,所以y=-4x+106,所以点(5,84),(9,68)在回归直线左下方,故所求概率P==.答案:14.某单位为了制定节能减排的计划,随机统计了某4天的用电量y(单位:度)与当天气温x(单位:℃),并制作了对照表(如表所示).由表中数据,得线性回归方程y=-2x+a,当某天的气温为-5℃时,预测当天的用电量约为度.【解析】气温的平均值=×(18+13+10-1)=10,用电量的平均值=×(24+34+38+64)=40,因为回归直线必经过点(,),将其代入线性回归方程得40=-2×10+a,解得a=60,故回归方程为y=-2x+60.当x=-5时,y=-2×(-5)+60=70.所以当某天的气温为-5℃时,预测当天的用电量约为70度.答案:7015.若执行如图所示的框图,输入x1=1,x2=2,x3=4,x4=8,则输出的数等于.【解析】由循环结构知本题实质是求输入的4个数x1,x2,x3,x4的平均数x==,所以输出x=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)(2015·安康模拟)在某市今年的公务员考试成绩中随机抽取500名考生的笔试成绩,按成绩分组,得到频率分布表如下:为了选拔出最优秀的公务员,政府决定在第3,4,5组中用分层抽样法抽取12名考生进行第二轮选拔,分别求第3,4,5组每组进入第二轮选拔的考生人数.【解析】由题意可知,第2组的频数为500×0.350=175,所以第3,4,5组共有考生500-25-175=300(名),则第4组有100名考生,所以第3组抽取的人数为:×12=6,第4组抽取的人数为:×12=4,第5组抽取的人数为:×12=2.17.(10分)某个团购网站为了更好地满足消费者需求,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查,每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最高分是10分.上个月该网站共卖出了100份团购产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值,将这些产品按照得分分成以下几组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三组[4,6),第四组[6,8),第五组[8,10],得到的频率分布直方图如图所示.(1)分别求第三、四、五组的频率.(2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品,某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买,求他抽到的两个产品均来自第三组的概率.【解析】(1)第三组的频率是0.150×2=0.3;第四组的频率是0.100×2=0.2;第五组的频率是0.050×2=0.1.(2)设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A,由题意可知,从第三、四、五组中分别抽取3个,2个,1个.不妨设第三组抽到的是A1,A2,A3;第四组抽到的是B1,B2;第五组抽到的是C1,所含基本事件总数为:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,C1},{A2,B1},{A2,B2},{ A2,C1},{A3,B1},{A3,B2},{A3,C1},{B1,B2},{B1,C1},{B2,C1},所以P(A)==.18.(12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:(1)用茎叶图表示这两组数据.(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.【解析】(1)作出茎叶图如图:(2)派甲参赛比较合适,理由如下:=(70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5)=85,=(70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5)=85,=[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(95-85)2]=35.5,=[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41,因为=,<,所以甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他合理回答,同样给分,如:从统计的角度看,甲获得85分以上(含85分)的概率P1=,乙获得85分以上(含85分)的概率P2==.因为P2>P1,所以派乙参赛比较合适.19.(13分)(2015·渭南模拟)甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人,1 000人,为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩,并作出了频数分布统计表如下:甲校:乙校:(1)计算x,y的值.(2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀,请分别估计两所学校数学成绩的优秀率.(3)由以上统计数据填写2×2列联表,并判断两所学校的数学成绩有差异吗?【解析】(1)从甲校抽取110×=60(人),从乙校抽取110×=50(人),故x=10,y=7.(2)估计甲校数学成绩的优秀率为×100%=25%, 乙校数学成绩的优秀率为×100%=40%. (3)表格填写如下,χ2=≈2.829>2.706,故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.【加固训练】1.某网站于2014年10月18日至24日,在全国范围内进行了持续一周的在线调查,随机抽取其中200名大中小学生的调查情况,就每天的睡眠时间分组整理如表所示:(1)估计每天睡眠时间小于8小时的学生所占的百分比约是多少?(2)该网站利用下边的算法框图,对样本数据作进一步统计分析,求输出的S的值,并说明S的统计意义.【解析】(1)由样本数据可知,每天睡眠时间小于8小时的频率是P=1-(0.10+0.02)=0.88.由此估计每天睡眠时间小于8小时的学生约占88%.(2)输入m1,f1的值后,由赋值语句S=S+m i·f i可知,流程图进入一个求和状态.设a i=m i·f i(i=1,2,…,6),数列{a i}的前i项和为T i,则T6=4.5×0.04+5.5×0.26+6.5×0.30+7.5×0.28+8.5×0.10+9.5×0.02=6.7.故输出的S值为6.7.S的统计意义是指被调查者每天的平均睡眠时间估计为6.7小时.2.一次考试中,5名学生的数学、物理成绩如表所示:(1)要从5名学生中选2名参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率.(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回归方程y=bx+a.【解析】(1)从5名学生中任取2名学生的所有情况为(A4,A5),(A4,A1),(A4,A2),(A4,A3),(A5,A1),(A5,A2),(A5,A3),(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共10种情况. 其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有:(A4,A5),(A4,A1),(A4,A2),(A4,A3),(A5,A1),(A5,A2),(A5,A3),共7种情况,故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率为P=. (2)散点图如图所示.可求得:==93,==90,(x i-)(y i-)=30,(x i-)2=(-4)2+(-2)2+02+22+42=40,b==0.75,a=-b=90-0.75×93=20.25,故所求的线性回归方程是y=0.75x+20.25.。
世纪金榜高三理科数学一轮复习全套试题含答案：阶段滚动检测(六)
阶段滚动检测（六）（第一～十一章） （120分钟 150分） 第I 卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(滚动交汇考查)设全集U=R ，集合A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )(A){x|x ≥1} (B){x|x ≤1} (C){x|0<x ≤1} (D){x|1≤x<2} 2.(滚动单独考查)已知复数32iz 1i-=+，则z 对应的点所在的象限是 ( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3.(滚动交汇考查)(2012·广州模拟)下列说法错误的是( )(A)命题：“已知f(x)是R 上的增函数，若a ＋b ≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”的逆否命题为真命题(B)“x ＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件 (C)若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题(D)命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”，则⌝p ：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”4.(滚动单独考查)已知()1x 23,x 0f x x 4x 3,x 0-⎧≥⎪=⎨++<⎪⎩，则方程f(x)=2的实数根的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(滚动单独考查)定义在R 上的偶函数f(x)在［0，＋∞)上单调递减，且f(12)＝0，则满足f(14log x )＜0的x 的集合为( )(A)(－∞，12)∪(2，＋∞) (B)(12，1)∪(1,2) (C)(12，1)∪(2，＋∞) (D)(0，12)∪(2，＋∞)6.(滚动单独考查)(2012·杭州模拟)一个空间几何体的三视图及其尺寸如下图所示，则该空间几何体的体积是( )(A)73(B)143(C)7 (D)14 7.(滚动单独考查)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝3π对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 ( )(A)y=sin(x 2＋6π) (B)y ＝sin(2x ＋6π)(C)y=sin|x| (D)y ＝sin(2x －6π)8.(滚动单独考查)(2012·福州模拟)若过点A(0，-1)的直线l 与曲线x 2+(y-3)2=12有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )()()()()52A B 663352C 0)D 0,,)6633ππππππππ⋃+∞⋃+∞［，］ ［，］［，］［， ［］［9.(滚动单独考查)如果实数x ，y 满足x 4y 303x 5y 250x 1≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－＋＋－，目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为( )(A)2 (B)-2 (C)15(D)不存在10.(滚动单独考查)已知函数f(x)＝9x -m ·3x +m+1对x ∈(0，+∞)的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( )≥第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动单独考查)已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若()11f x d x ⎰－＝2f(a)成立，则a ＝__________.12.（滚动交汇考查）设0<a<2,0<b<1，则双曲线2222x y 1a b－＝的离心率是______.13.(2012·南京模拟)如图是一个算法的程序框图，最后输出的W ＝_________.14.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110 cm 的株数是_________.15.下面给出一个“直角三角形数阵”：1411243334816，，， 满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83＝_________.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(13分)(滚动交汇考查)(2012·长沙模拟)已知a =(cosx+sinx,sinx),b =(cosx-sinx,2cosx)，设f(x)= a b . (1)求函数f(x)的单调增区间；(2)设三角形ABC 的三个角A 、B 、C 所对边分别是a,b,c ，且满足A ,3π==10,求边c. 17.(13分)(滚动单独考查)已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直，M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点，AB=1,AD=2，(1)证明：直线AM ∥平面NEC ； (2)求二面角N —CE —D 的余弦值．18.(13分)(2012·济南模拟)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知学生小张只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率为0.12，至少选修一门的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.(1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率; (3)求ξ的分布列和数学期望.19.(13分)(滚动单独考查)(2012·东城模拟)已知数列{a n }满足a 1=14,a n =()n 1nn 1a 1a 2----(n ≥2,n ∈N).(1)试判断数列{n1a +(-1)n }是否为等比数列，并说明理由; (2)设c n=a nsin ()2n 12-π,数列{c n }的前n 项和为T n .求证：对任意的n ∈N *，T n<23.20.(14分)(滚动交汇考查)已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1、C 2的标准方程；(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M 、N ，且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21.(14分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=e x +2x 2-ax.(1)函数f(x)在区间［0,1］上存在唯一的极值点，求a 的取值范围.(2)若a=3，当x ≥12时，关于x 的不等式f(x)≥52x 2+(b-3)x+1恒成立，试求实数b 的取值范围.答案解析1.【解析】选D.由2x(x －2)＜1得x(x －2)＜0，故集合A ＝{x|0＜x ＜2}，由1－x ＞0得x ＜1，故B ＝{x|x ＜1}，所以A ∩B ＝{x|0＜x ＜1}，所以ðA (A ∩B)＝{x|1≤x ＜2}，即图中阴影部分表示的集合为{x|1≤x ＜2}.2.【解析】选D.()()()()32i 1i 32i 15i 15z i,1i 1i 1i 222----====-++- ≨z 对应的点(1522-，)所在的象限是第四象限. 3.【解析】选C.A 中,≧a+b ≥0,≨a ≥-b. 又函数f(x)是R 上的增函数，≨f(a)≥f(-b),① 同理可得，f(b)≥f(-a)，②由①＋②，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题.又原命题与其逆否命题是等价命题，≨逆否命题为真.B 中若x>1，则|x|>1成立；若|x|>1，则x>1或x<-1，故B 正确.若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个是假命题， 所以C 错误.D 正确.4.【解析】选D.令31－x ＝2，≨1－x ＝log 32.≨x ＝1－log 32.又≧log 32<log 33＝1，≨x ＝1－log 32>0.≨这个实根符合题意.令x 2＋4x ＋3＝2，则x 2＋4x ＋1＝0.解得两根x 1＝－2x 2＝－2x 1和x 2均小于0，符合题意.5.【解题指南】f(x)是偶函数，则有f(x)=f(|x|)，列不等式求解.【解析】选D.≧函数f(x)为偶函数，且在［0，＋≦)上单调递减，f(12)＝0，≨14log x ＞12或14log x ＜－12，≨0＜x ＜12或x ＞2.6.【解题指南】三视图复原几何体是四棱台，一条侧棱垂直底面，底面是正方形，根据三视图数据，求出几何体的体积.【解析】选B.三视图复原几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，一条侧棱长为2，并且垂直底面，上底面是正方形，边长为1.它的体积是：221142(21.33⨯⨯+=故选B. 7.【解题指南】由题知周期易验证，再根据正弦函数与余弦函数在对称轴处取得最值，验证性质②即可.【解析】选D.≧T ＝2πω＝π，≨ω＝2.对于选项D ， 又2〓3π－62ππ＝，所以x ＝3π为对称轴．8.【解析】选A.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=0，符合题意，此时倾斜角为2π，当直线l 的斜率存在时，设过点A(0，-1)的直线l 方程为：y+1=kx, 即kx-y-1=0，当直线l=k=直线l 的倾斜角的取值范围是［6π,2π)∪(2π,56π］,综上得，直线l 的倾斜角的取值范围是［6π,56π］.9.【解析】选A.x 4y 303x 5y 250x 1≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－＋＋－所表示的平面区域如图，由直线方程联立方程组易得A(1，225)，B(1,1)，C(5,2)，由于3x ＋5y －25＝0在y 轴上的截距为5，故目标函数z ＝kx ＋y 的斜率－k<－35，即k>35.将k ＝2代入，过B 的截距z ＝2〓1＋1＝3，过C 的截距z ＝2〓5＋2＝12，符合题意,故k ＝2，故应选A.10.【解题指南】令t ＝3x ，转化为关于t 的二次函数的图象恒在t 轴的上方处理.或分离参数m ，利用最值处理恒成立问题.【解析】选C.方法一：令t=3x ,则问题转化为函数f(t)=t 2-mt+m+1对t ∈(1,+≦)的图象恒在t 轴的上方，即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或0m 121m 1m 0∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪-++≥⎪⎩， 解得m<2+方法二：令t=3x,问题转化为m<2t 1t 1+-,t ∈(1,+≦)，即m 比函数y=2t 1t 1+-,t ∈(1,+≦)的最小值还小，又y=2t 1t 1+-=t-1+2t 1-+2≥22=+所以【方法技巧】不等式恒成立的三种解法(1)转化为求函数的最值.若函数f(x)在区间I 上有最大值和最小值.则不等式f(x)>a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min >a.不等式f(x)≥a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min ≥a.不等式f(x)<a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max <a.不等式f(x)≤a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max ≤a.(2)分离变量——在同一个等式或不等式中，将主元和辅元分离(常用的运算技巧).(3)数形结合——凡是能与六种基本函数联系起来的相关问题，都可考虑该法.11.【解析】1232111(3x 2x 1)dx (x x x)|4⎰－－＋＋＝＋＋＝， 所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝－1或a ＝13. 答案：－1或1312.【解析】由22c a>5，即222a b a ＋>5，≨b>2a ，在直角坐标系aOb 内作出符合题意的区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为1111224⨯⨯＝，图中矩形的面积为2，≨由几何概型概率公式计算得所求的概率为18.答案：1813.【解析】第一次：T ＝1，S ＝12－0＝1； 第二次：T ＝3，S ＝32－1＝8； 第三次：T ＝5，S ＝52－8＝17， 此时满足S ≥10.所以W ＝S ＋T ＝17＋5＝22. 答案：2214.【解析】底部周长小于110 cm 的频率: 10〓0.01+10〓0.02+10〓0.04=0.7.≨底部周长小于110 cm的株数为：100〓0.7=70.答案：7015.【解题指南】先根据第1列成等差数列求出第8行第1个数，再根据第8行成等比数列求出a83.【解析】由题意知，a83位于第8行第3列，且第1列的公差等于14，每一行的公比都等于12.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为14＋(8－1)〓14＝2，a83＝2〓(12)2＝12.答案：12【变式备选】把正整数按下表排列：(1)求200在表中的位置(在第几行第几列)；(2)试求从上到下的第m行，从左至右的第n列上的数( 其中m≥n )；(3)求主对角线上的数列：1、3、7、13、21、…的通项公式 .【解析】把表中的各数按下列方式分组：( 1 )，( 2, 3， 4 )，(5, 6，7, 8，9 )，…，(1)由于第n组含有2n-1个数，所以第n组最后一个数是1+3+5+…+(2n-1)=n2.因为不等式n2≥200的最小整数解为n=15 ,这就是说，200在第15组中，由于142=196 ，所以第15组中的第一个数是197，这样200就是第15组中的第4个数，所以200在表中从上至下的第4行，从左至右的第15列上.(2)因为m≥n ，所以第m行上的数从左至右排成的数列是以 -1为公差的等差数列，这个数列的首项是第m行的第1个数，即分组数列的第m组最后一个数为1+3+5+…+(2m-1)=m2.即从上至下的第m行，从左至右的第n列的数为a mn=m2+(n-1)(-1)=m2-n+1.(3)设主对角线上的数列为{a n}，则易知a n为表中从上至下的第n行，从左至右的第n列的数,故a n=a nn=n2+(n-1)(-1)=n2-n+1.16.【解析】(1)≧f(x)= a b =(cosx+sinx) (cosx-sinx)+sinx 2cosx=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x2(22+cos2x cos sin2x)44).4ππ=+π=+由f(x)递增得-2π+2kπ≤2x+4π≤2π+2kπ,即3k x k,88ππ-+π≤≤+πk∈Z.≨f(x)的单调递增区间是［3k8π-+π,k8π+π］,k∈Z.(2)由f(B)=1⇒sin(2B+4π)=2及0<B<π得B=4π,设a b c k,sinA sinB sinC===510k10k 4.342ππ+=⇒=⇒=所以c=ksinC=4sin(A+B)=4(sin cos cos sin )3434ππππ+=17.【解析】以N 为坐标原点，NE ，ND 所在直线分别为x,y 轴，建立空间右手直角坐标系，所以A(0，-1，0)，B(0，-1，1)，D(0，1，0)，N(0，0，0)，0，0)，C(0，1，1)，M(2，-12，12).(1)设平面NEC 的一个法向量为n =(x,y,1)，因为NC =(0，1，1)，NE0，0)， 所以NCn =y+1=0，NE =n =0；所以n =(0,-1,1)，因为11AM )22=，，，AM n =0，所以AM ⊥ n ， 因为AM ⊄平面NEC ， 所以直线AM ∥平面NEC.(2)设平面DEC 的一个法向量为m =(1,y,z),因为DC=(0,0,1),)DE 1,0=- ,所以DC z 0,DE y 0===；m m所以()=m.cos ,||||4===- 〈〉n m n m n m 因为二面角N —CE —D 的大小为锐角， 所以二面角N —CE —D18.【解析】(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x,y,z ；依题意得()()()()()()x 1y 1z 0.08,xy 1z 0.12,11x 1y 1z 0.88,--=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩解得x 0.4y 0.6,z 0.5=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以学生小张选修甲的概率为0.4.(2)若函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数，则ξ=0， ≨P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.4〓0.6〓0.5+(1-0.4)(1-0.6)(1-0.5)=0.24,≨事件A 的概率为0.24. (3)依题意知ξ=0，2，则ξ的分布列为≨ξ的数学期望为E(ξ)=0〓0.24+2〓0.76=1.52. 19.【解析】(1)由已知()n 1n nn 1a a 1a 2--=--得()()nnn 1n n 1n 11a 2121,a a a -----==-- ()()n nn n 112121a a -+-=--=-2［()n 1n 111a --+-］.又11a -1=3≠0, 故{n1a +(-1)n }为公比为-2的等比数列. (2)由(1)得n1a +(-1)n =3·(-2)n-1， 所以n1a =3·(-2)n-1-(-1)n ,()()n n 1n1a ,321-=---()n n 2n 1c a sin2-π=()()()n 1n 1n n 1n 11111,32132321----=-=<+--- 所以n n n 111()21232T 1().132312-<=-<-［］［］ 20.【解题指南】(1)先设出抛物线方程，代入已知点检验，求出C 2的方程，再利用待定系数法求出椭圆的方程；(2)设直线l 的方程为x-1=my ，再根据OM ON ⊥构造含有m 的方程，最后转化为方程解的问题.【解析】(1)设抛物线C 2:y 2=2px(p ≠0),则有2y 2p x=(x ≠0)，据此验证4个点知(3，-、(4，-4)在抛物线上，易求C 2的标准方程为y 2=4x,设C 1：2222x y 1a b+= (a>b>0),把点(-2,0)，2)代入得： 22241a 211a 2b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22a 4,b 1⎧=⎪⎨=⎪⎩ ≨C 1的标准方程为2x 4+y 2=1.(2)假设存在这样的直线l ，过抛物线焦点F(1,0)，设直线l 的方程为x-1=my ，两交点坐标为M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，由22x 1myx y 14-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x,得 (m 2+4)y 2+2my-3=0, ≨y 1+y 2=22m m 4-+,y 1y 2=23,m 4-+ ① x 1x 2=(1+my 1)(1+my 2)=1+m(y 1+y 2)+m 2y 1y 2, ②由OM ON,⊥得OM ON 0= ，即x 1x 2+y 1y 2=0(*)将①②代入(*)式，得22244m 30,m 4m 4--+=++解得m=〒12. 所以假设成立，即存在直线l 满足条件，且l 的方程为y=2x-2或y=-2x+2. 21.【解题指南】(1)函数f(x)在区间［0,1］上存在唯一的极值点，即方程 f ′(x)=0在区间［0,1］上存在唯一的根；(2)分离参数b ，利用最值处理恒成立.【解析】(1)f ′(x)=e x +4x-a, ≧f ′(0)=1-a,f ′(1)=e+4-a,又≧函数f(x)在区间［0，1］上存在唯一的极值点， ≨f ′(0)·f ′(1)<0, ≨1<a<e+4.(2)由f(x)≥()25x b 3x 12+-+, 得e x +2x 2-3x ≥()25x b 3x 12+-+, 即bx ≤e x -12x 2-1,≧x ≥12,≨b ≤x21e x 12,x--令g(x)=x21e x12,x--,则g′(x)=()x221e x1x12.x--+令φ(x)=e x(x-1)- 12x2+1,则φ′(x)=x(e x-1).≧x≥12,≨φ′(x)>0,≨φ(x)在［12，+ ≦)上单调递增，≨φ(x)≥φ(12)=70, 8>因此g′(x)>0，故g(x)在［12,+≦)上单调递增，则g(x)≥g(12)=121e198,142--=≨b的取值范围是b≤94.。
世纪金榜高三理科数学一轮复习全套试题含答案：单元评估检测(七)
单元评估检测（七）（第七章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知直线a、b是两条异面直线,直线c平行于直线a，则直线c与直线b( )(A)一定是异面直线(B)一定是相交直线(C)不可能是平行直线(D)不可能是相交直线2.在△ABC中，AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )(A)32π(B)52π (C)72π (D)92π3.如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CF CG2CB CD3==，则( )(A)EF与GH互相平行(B)EF与GH异面(C)EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上(D)EF与GH的交点M一定在直线AC上4.（2012·泉州模拟）设l,m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )(A)若l⊥m,m⊂α,则l⊥α(B)若l⊥α,l∥m,则m⊥α(C)若l∥α,m⊂α,则l∥m(D)若l∥α,m∥α,则l∥m5.(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )(A)48 (B)32+(C)48+6．(易错题)如图，下列四个正方体图形中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )(A)①④ (B)②④(C)①③④ (D)①③7.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)18.(2012·珠海模拟)如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：①点M到AB；；②三棱锥C-DNE的体积是16.③AB与EF所成的角是2其中正确命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)39.（2012·宁德模拟）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为R 的球面上，则球的体积为( )()()()()14321A B C D 3336π π π π10.(2012·北京模拟)如图，四边形ABCD 中，AB=AD=CD=1，BD ⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD,则下列结论正确的是( )(A)A ′C ⊥BD(B)∠BA′C=90°(C)CA′与平面A′BD所成的角为30°(D)四面体A′-BCD的体积为13二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11．已知三个球的半径R1,R2,R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是___________.12.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为__________．13.(2012·宜春模拟)三棱锥S－ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，给出以下结论：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°； ②直线SB ⊥平面ABC ； ③平面SBC ⊥平面SAC ； ④点C 到平面SAB 的距离是12a. 其中正确结论的序号是__________.14.（2012·三明模拟）在正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ， ①四边形BFD ′E 一定是平行四边形 ②四边形BFD ′E 有可能是正方形③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④四边形BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D以上结论正确的为_______.（写出所有正确结论的编号）15.等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C-AB-D 的余弦M,N 分别是AC,BC 的中点，则EM,AN 所成角的余弦值等于_____. 三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(13分)(2011·陕西高考)如图，在△ABC 中， ∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC=90°. (1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求AE 与DB夹角的余弦值.17.(13分)如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F分别是棱CC1、AB的中点.(1)求证：CF⊥BB1；(2)求四棱锥A-ECBB1的体积.C1中，18.（13分）（预测题）在三棱柱ABC-A底面是边长为A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点.（1）当侧棱AA1和底面成45°角时，求二面角A1-AC-B的余弦值；为何值时，BD⊥A1C1.（2）若D为侧棱A1A上一点，当1A DDA19.(13分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形.(1)求证：A1B∥平面AC1D；(2)求证:CE⊥平面AC1D；(3)求二面角C-AC1-D的余弦值.20.(14分)(2011·新课标全国卷)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．21.(14分)（探究题）如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1．(1)求证：E,B,F,D1四点共面；(2)若点G在BC上，2BG3=，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1；(3)用θ表示截面EBFD1和侧面BCC1B1所成的锐二面角的大小，求tanθ．答案解析1.【解析】选C.若c∥b，∵c∥a，∴a∥b,与已知矛盾.2.【解题指南】△ABC绕直线BC旋转一周后所得几何体为一圆锥，但其内部缺少一部分.用大圆锥的体积减去小圆锥的体积即为所求几何体的体积.【解析】选A.旋转后得到的几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥.故所求体积为V=V大圆锥-V小圆锥=13πr2(1+1.5-1)=32π.3.【解析】选D.依题意可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，所以E、F、G、H共面，因为EH=12BD，FG2BD3=，故EH≠FG，所以四边形EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC 是这两个平面的交线，所以点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上，故选D.4．【解析】选B.根据线面垂直的判定与性质，可知B正确，而A中由l⊥m,m⊂α可推出l与α关系可能l∥α，可能l与α相交，又可能l⊂α;C中l与m可能平行也可能异面；D中l与m可能相交，也可能平行或异面，故选B.5.【解题指南】由三视图得到几何体的直观图，根据直观图求得几何体的表面积.【解析】选C.由三视图知该几何体的直观图如图所示.几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2、下底长为4、高为4；另两个侧面是矩形，且宽为4所以S 表=42+2×4+12×(2+4)×4×2+4×.6．【解析】选D.①取前面棱的中点，证AB 平行于平面MNP 即可；③可证AB 与MP 平行.7.【解析】选B.因为AB ⊥BD,面ABD ⊥面BCD ，且交线为BD ，故有AB ⊥面BCD ，则面ABC ⊥面BCD ，同理CD ⊥面ABD ，则面ACD ⊥面ABD ，因此共有3对互相垂直的平面.8.【解析】选D.依题意可作出正方体的直观图如图， 显然M 到AB的距离为1MC 22=，∴①正确， 而C DNE 111V 111326-=⨯⨯⨯⨯=,∴②正确，AB 与EF 所成的角等于AB 与MC 所成的角，即为2π， ∴③正确.9．【解析】选B.设球的半径为R，高为R ，231V R R 1344V R .33∴=∴∴ππ 球）＝，＝＝ 10.【解析】选B.在题图(2)中取BD 的中点M ，连接MC 、A ′M. ∵A ′B=A ′D,∴A ′M ⊥BD. 又∵平面A ′BD ⊥平面BCD, ∴A ′M ⊥平面BCD.①选项A 中，若A ′C ⊥BD,那么BD ⊥平面A ′MC ⇒BD ⊥MC.而BD ⊥CD ，显然BD ⊥MC 不可能， ∴A 不正确；②选项B 中,∵BD ⊥CD 且平面A ′BD ⊥平面BCD ， 可得CD ⊥平面A ′BD,可知CD ⊥A ′D ，在△A ′CD 中，A ′D=CD=1⇒A ′又∵A ′B=1，∴CB =∴在△A ′BC 中,A ′B 2+A ′C 2=BC 2， ∴∠BA ′C=90°，故B 正确；③选项C 中,由②分析知,∠CA ′D 即为CA ′与平面A ′BD 所成的角， 在Rt △A ′DC 中，A D cos CA DA C 2'∠'===', ∴∠CA ′D 为45°，故C 不正确；④选项D 中,由①知A ′M ⊥平面BCD,得V A ′-BCD =13S △BCD ×A ′M11113226=⨯⨯=，故D 不正确.故选B.11．【解析】S 1=4πR 121=，23==，故123R R R ===由R 1+2R 2=3R 3，==12.【解析】设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则BD=C11BC=BC1D是面积为6 的直角三角形，得2222222(a h)a4h1(a h)62⎧⨯=⎪⎨=⎪⎩＋＋＋，解得2a8h2⎧=⎨=⎩，故此三棱柱的体积为1V8sin 6042=⨯⨯︒⨯=答案：13.【解析】由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C 到平面SAB的距离,为12a，④正确．答案:①②③④14.【解析】根据平行平面的性质可知①正确，③正确.当E、F分别为AA′, CC′的中点时四边形BFD′E与平面BB′D垂直，故④正确；当E、F分别为AA′、CC′的中点时，四边形BFD′E虽然为菱形，但对角线EF与BD′不相等，故BFD′E不可能为正方形，即②不正确.答案：①③④15.【解析】设AB=2，作CO⊥平面ABDE,OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C-AB-D 的平面角·cos ∠CHO=1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则()()AN EM CH 11AN AB AC ,EM AC AE,22111AN EM AB AC (AC AE).222====+=-=+-=故EM,AN 所成角的余弦值为AN EM 1.6AN EM =答案:1616.【解析】(1)∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ， 又DB ∩DC=D ，∴AD ⊥平面BDC ， ∵AD ⊂平面ABD ． ∴平面ABD ⊥平面BDC.(2)由∠BDC=90°及(1)知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB|=1，以D 为坐标原点，以DB,DC,DA所在直线为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，，E(13022，，)，∴13AE (,,DB (10,0)22== ，，， ∴AE 与DB夹角的余弦值为1AE DBcos<AE DB>22|AE ||DB |===，. 17.【解析】(1)∵三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱, ∴BB 1⊥平面ABC ，又∵CF ⊂平面ABC ， ∴CF ⊥BB 1.(2)∵三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱， ∴BB 1⊥平面ABC ，又∵AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥BB 1, ∵∠ACB=90°,∴AC ⊥BC, ∵BB 1∩BC=B.∴AC ⊥平面ECBB 1， ∴11A ECBB ECBB 1V S AC 3-= 四形边,∵E 是棱CC 1的中点，∴EC=12AA 1=2，∴()()11ECBB 11S EC BB BC 242622=+=⨯+⨯= 四形边,∴11A ECBB ECBB 11V S AC 62433-==⨯⨯= 四形边.18.【解析】以O 点为原点，OC 所在直线为x 轴， OA 所在直线为y 轴，OA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系.（1）由题意知∠A 1AO=45°,A 1O=3. ∴A(0,3,0),A 1(0,0,3),B(设面ACA 1的法向量为1n ＝（x,y,z ）,则())()()111AC x,y,z 3,03y 0,AA x,y,z 0,3,33y 3z 0⎧=-=-=⎪⎨⎪=-=-+=⎩n n 令z=1,则∴)1,=n 而面ABC 的法向量为2n =(0,0,1),12cos ,==〈〉n n 又显然所求二面角的平面角为锐角， （2）A 1C 1∥AC,故只需BD ⊥AC即可，设AD=a,则D(0,322-又B （，0），则BDa,22=-)AC 3,0.=-要使BD ⊥AC,需BD AC 33(30,2=-- ）＝得11a AA A D ==而1A D 1.DA 2∴== 19.【解析】(1)连接A 1C,与AC 1交于O 点，连接OD.因为O ，D 分别为AC 1和BC 的中点, 所以OD ∥A 1B.又OD ⊂平面AC 1D ，A 1B ⊄平面AC 1D, 所以A 1B ∥平面AC 1D. (2)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, BB 1⊥平面ABC,又AD ⊂平面ABC, 所以BB 1⊥AD.因为AB=AC,D 为BC 的中点, 所以AD ⊥BC.又BC ∩BB 1=B, 所以AD ⊥平面B 1BCC 1.又CE ⊂平面B 1BCC 1,所以AD ⊥CE.因为四边形B 1BCC 1为正方形，D ，E 分别为BC,BB 1的中点, 所以Rt △CBE ≌Rt △C 1CD,∠CC 1D=∠BCE.所以∠BCE+∠C 1DC=90°.所以C 1D ⊥CE. 又AD ∩C 1D=D, 所以CE ⊥平面AC 1D.(3)如图，以B 1C 1的中点G 为原点，建立空间直角坐标系. 则A(0,6,4),E(3,3,0),C(-3,6,0),C 1(-3,0,0). 由(2)知CE ⊥平面AC 1D ，所以CE=(6,-3,0)为平面AC 1D 的一个法向量.设n =(x,y,z)为平面ACC 1的一个法向量,AC =(-3，0，-4)，1CC=(0，-6，0).由1AC 0,CC 0.⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n 可得3x 4z 0,6y 0.--=⎧⎨-=⎩ 令x=1,则y=0,3z 4=-.所以3(1,0,)4=-n .从而CE cos<CE,>|CE |||==n n n 因为二面角C-AC 1-D 为锐角,所以二面角C-AC1-D.20.【解析】(1)因为∠DAB=60°，AB=2AD,由余弦定理得从而BD2+AD2= AB2，故BD⊥AD,又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD,又PD∩AD=D,所以BD⊥平面PAD,故 PA⊥BD.(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD,因为BD∩PD=D,故BC⊥平面PBD，所以BC⊥DE.则DE⊥平面PBC.由题设知，PD=1，则PB=2，根据DE·PB=PD·BD，得DE，2即棱锥D-PBC.21.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则BE =(3,0,1)，BF=(0,3,2)，1BD =(3,3,3)， 所以1BD BE BF =+ ， 故1BD ，BE ，BF共面．又它们有公共点B ， 所以E,B,F,D 1四点共面．(2)设M(0,0,z)，则2GM (0,,z)3=- ，而BF=(0,3,2)，由题设得2GM BF 3z 203=-⨯+= ，得z=1．因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，有ME=(3,0,0)，又1BB=(0,0,3)，BC =(0,3,0)，所以1ME BB 0ME BC 0== ，，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC ． 又BB 1∩BC=B, 故ME ⊥平面BCC 1B 1．(3)设向量BP=(x,y,3)且BP ⊥截面EBFD 1，于是BP BE BP BF ⊥⊥ ，．而BE =(3,0,1)，BF=(0,3,2)， 得BP ·BE =3x+3=0，BP ·BF =3y+6=0，解得x=-1，y=-2，所以BP=(-1,-2,3)．- 21 - 又BA =(3,0,0)且BA ⊥平面BCC 1B 1， 所以BP 和BA 的夹角等于θ或π-θ(θ为锐角)．于是|BP BA |cos |BP ||BA |θ==．故tan θ。
世纪金榜数学试题及答案
世纪金榜数学试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是偶数？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D2. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B二、填空题4. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。
答案：165. 一个数的立方根是2，那么这个数是________。
答案：86. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是________。
答案：3三、计算题7. 计算下列表达式的值：(3x - 2) / (x^2 - 4)，当x = 2时。
答案：18. 计算下列方程的解：2x + 5 = 3x - 1答案：x = 69. 计算下列方程组的解：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]答案：\[\begin{cases}x = 2 \\y = 3\end{cases}\]四、解答题10. 已知一个长方体的长、宽、高分别是2米、3米和4米，求这个长方体的体积。
答案：长方体的体积是24立方米。
11. 某工厂生产一批产品，每件产品的成本是50元，售价是100元。
如果工厂希望获得的利润是总销售额的20%，那么每件产品应该降价多少元？答案：每件产品应该降价10元。
12. 一个圆的周长是12π，求这个圆的半径。
答案：这个圆的半径是6。
五、证明题13. 证明：对于任意一个直角三角形，其斜边的平方等于两直角边的平方和。
答案：根据勾股定理，对于直角三角形ABC，其中∠C为直角，有AC² + BC² = AB²。
这证明了题目中的命题。
六、应用题14. 某公司计划在一个月内完成一个项目，该项目的总成本是100万元。
如果公司希望在项目完成后获得的利润是总成本的30%，那么该项目的总销售额应该是多少？答案：该项目的总销售额应该是130万元。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：单元评估检测(四)(含答案解析)
单元评估检测(四)第四章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知下列命题:①0没有方向;②1是单位向量;③若a=b,b=c,则a=c;④若a∥b,b∥c(b≠0),则a∥c.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3 【解析】选C.0有方向,其方向是任意的,1是实数,不是单位向量,所以①②都假;由向量相等的意义知③真;因为b≠0,所以④真.2.(2015·福建高考)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4【解题提示】根据复数相等的含义求解.【解析】选A.由题可知3-2i=a+bi,因为a,b均为实数,所以a=3,b=-2.【加固训练】(2016·长春模拟)已知=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+yi的共轭复数为()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【解析】选D.由==1-yi得解得故x+yi的共轭复数为2-i.3.在平行四边形ABCD中,已知=,=3,设=a,=b,若=xa+yb,则xy= ()A. B.-C. D.-【解题提示】数形结合,利用向量的线性运算法则求解.【解析】选D.如图,因为=,=3,所以===b,===-a,=+=b-a=-a+b,又因为=xa+yb,a与b不共线,所以x=-,y=,xy=-×=-.4.(2016·烟台模拟)已知点A,B,则与向量方向相同的单位向量是()A. B.C. D.【解析】选C.=,||==,所以=.5.(2016·临沂模拟)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为()A. B.2C.-D.-2【解析】选D.由题意,得ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1), 所以-2m+4-4(3m+8)=0,即m=-2.【加固训练】已知a=(1,x),b=(-1,x),若2a-b 与a+2b 垂直,则|a|=( ) A.1 B.C.D.2【解析】选B.因为a=(1,x),b=(-1,x), 所以2a-b=(3,x),a+2b=(-1,3x), 又因为2a-b 与a+2b 垂直, 所以(2a-b)·(a+2b)=-3+3x 2=0, 即x 2=1, 故|a|===.6.向量a,b 均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a,b 的夹角为 ( ) A. B.C.D.【解析】选B.因为(a-2b)·a=|a|2-2a ·b=0,即|a|2=2a ·b,(b-2a)·b=|b|2-2a ·b=0,即|b|2=2a ·b,所以|a|2=|b|2,即|a|=|b|, 设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=||||a ba b =221||2||a a =,因为θ∈[0,π],所以θ=.【加固训练】1.若|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a,则a 与b 的夹角是 ( ) A. B. C.D.-【解析】选A.根据题意,由于|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a,则有(a+b)·a=0⇔a 2+b ·a=0⇔4+b ·a=0,所以b ·a=-4,那么可知a 与b 的夹角的余弦值为||||b ab a =-=-,则a 与b 的夹角是.2.若非零向量a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a 与b 夹角的余弦值为________.【解析】由|a|=|a+2b|,设a 与b 的夹角为θ,等式两边平方得a 2+4a ·b+4b 2=a 2⇒a ·b=-b 2,所以cos θ=||||a b a b =223||-b b =-.答案:-7.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E,F 分别在边BC,DC 上,BC=3BE,DC=λDF.若·=1,则λ的值为 ( )A.-1B.1C.-2D.2【解析】选D.如图,由题意可得·=||·||cos120°=2×2×=-2,在菱形ABCD中,易知=,=,所以=+=+,=+=+,·=·=+-2=1,解得λ=2.8.(2016·威海模拟)已知向量a,b 的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则向量a-b 在向量a+b 上的投影是 ( ) A.-B.C.D.-3【解析】选A.由已知,向量|a-b|2=|a|2+|b|2-2a ·b=1+4+2=7,|a+b|2=|a|2+|b|2+ 2a ·b=1+4-2=3,(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=-3,则cos<a-b,a+b>=()()||||-+-+a b a b a b a b==-,向量a-b 在向量a+b 上的投影是|a-b|cos<a-b,a+b>=×=-.9.(2016·枣庄模拟)在△ABC中,=(+),若sinC·+sinA·+sinB·=0,则△ABC的形状为()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.设角A,B,C的对边分别是a,b,c,由=(+),可知P为BC的中点,结合题意及正弦定理可得c+a+b=0,故c(-)+a-b=(a-c)+(c-b)=0,而与为不共线向量,所以a-c=c-b=0,即a=b=c.10.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于()A.以a,b为邻边的平行四边形的面积B.以b,c为邻边的平行四边形的面积C.以a,b为两边的三角形的面积D.以b,c为两边的三角形的面积【解题提示】数形结合,注意利用每两个向量夹角间的关系进行转化求解.【解析】选A.如图,设b与c的夹角为θ,因为a⊥c,所以a与b的夹角为-θ,因为|a|=|c|,所以|b·c|=||b||c|cosθ|=所以|b·c|是以a,b为邻边的平行四边形的面积.【加固训练】(2016·中山模拟)如图所示,点A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段AB交于圆内一点D,若=x+y,则()A.0<x+y<1B.x+y>1C.x+y<-1D.-1<x+y<0【解析】选 C.由于A,B,D三点共线,所以可设=α,则=+=+α=+α(-)=(1-α)+α,由于O,C,D三点共线,且点D在圆内,点C在圆上,与方向相反,则存在λ<-1,使得=λ=λ[(1-α)+α]=λ(1-α)+λα=x+y,因此x=λ(1-α),y=λα,所以x+y=λ<-1.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2015·四川高考)设i是虚数单位,则复数i-=________.【解题提示】利用i2=-1,对所求式子化简,便可求解.【解析】i-=i-=i+i=2i.答案:2i12.(2016·聊城模拟)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且a·c=a2,则实数m的值为________.【解析】由题意,得c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2),所以a·c=m+4+(2m+2)×2=5m+8,a2=(12+22)=3,5m+8=3,m=-1.答案:-113.已知向量a=(m,2),b=(-1,-2),若a+b与a-b共线,则a与b的夹角为________.【解析】因为a=(m,2),b=(-1,-2),所以a+b=(m-1,0),a-b=(m+1,4),由题意得,4(m-1)-0=0,即m=1,所以a=(1,2),因为b=(-1,-2),所以b=-a,即a与b共线反向,所以其夹角为π.答案:π14.(2015·浙江高考)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=__________.【解析】由题可知,不妨设e1=(1,0),e2=,设b=(x,y),则b·e1=x=1,b·e2=x+y=1,所以b=,所以|b|==,答案:【加固训练】(2016·厦门模拟)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为________.【解析】若a⊥b,则a·b=0,所以2x+y=2,由基本不等式得9x+3y≥6,当且仅当9x=3y,即x=,y=1时等号成立.答案:615.设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=acosθ-bsinθ,若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为______.【解题提示】根据e1·e2=求e1与e2的夹角,进而确定e2与-e1的夹角,根据新定义求向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的数量积,由此确定其夹角.【解析】设e1,e2的夹角为α,则e2与-e1的夹角为π-α,由题意,得|e1|=|e2|=1,所以e1·e2=|e1||e2|cosα=cosα=,故α=,π-α=π,所以f(e1,e2)=e1cos-e2sin=e1-e2,f(e2,-e1)=e2cosπ-=e1-e2,f(e1,e2)·f(e2,-e1)==-e1·e2+=-=0.所以f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.答案:【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特别要注意乘法公式的应用.(2)熟记公式a2=|a|2=a·a,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)解答下列各题(1)若z=,求|z|.(2)设复数z的共轭复数为,且z·-3iz=,求z.【解析】(1)z=====--i,所以|z|==.(2)设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,因为z·-3iz=,所以a2+b2-3ai+3b=,即(a2+b2+3b)-3ai=1+3i,所以解得或所以z=-1或z=-1-3i.17.(12分)已知△ABC是等腰直角三角形,||=||=1.=4.(1)求·(-).(2)若点M在线段BC上,求·的最大值.【解析】(1)如图,以A点为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(0,1),因为=4,所以==(-1,1)=,所以D,所以=,-==(1,-1),所以·(-)=-=.(2)设=x=(-x,x),所以M(-x+1,x),=(-x+1,x),=,·=(-x+1)+x=-2x2+x-=-2-=-2+.又因为x∈[0,1],所以(·)max=.18.(12分)(2016·临沂模拟)已知a=,b=A(cos2φ,-sin2φ),f(x)=a·b的部分图象如图所示,P,Q分别是该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A),点R的坐标为(1,0),△PRQ的面积为.(1)求A及φ的值.(2)将f(x)的图象向左平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调减区间.【解析】(1)因为f(x)=a·b=Acos xcos2φ-Asin xsin2φ=Acos,所以函数f(x)的周期T==6.如图,设PQ与x轴的交点为M,则点M是函数f(x)的图象与x轴的一个交点,由题意得|RM|=T=,|PR|=A,所以S△PRQ=2·S△PRM=2×××A=,即A=,所以P(1,),f(x)=cos,f(1)=sin=,即sin=1,所以+2φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<,所以φ=,综上,A=,φ=.(2)由(1)得f(x)=cos,由题意得g(x)=cos=cos,由2kπ≤x+π≤2kπ+π(k∈Z),得6k-≤x≤6k+(k∈Z),即函数g(x)的单调减区间为(k∈Z).【加固训练】已知复平面内平行四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针排列),A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i.(1)求点C,D对应的复数.(2)求平行四边形ABCD的面积.【解题提示】运用向量、复数间的对应关系解题.【解析】(1)设点O为原点,因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i, 所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,又=+=(1+2i)+(3-i)=4+i,=-=2+i-(1+2i)=1-i,所以=+=1-i+(4+i)=5,所以点D对应的复数为5.(2)由题知=(1,2),=(3,-1),因为·=||||cosB,所以cosB===,所以sinB=,又||=,||=,所以面积S=||||sinB=××=7.所以平行四边形ABCD的面积为7.19.(12分)设a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且|a-kb|=|ka+b|(k>0).(1)若f(k)=a·b,求f(k)的表达式.(2)当f(k)取最小值时,求向量a与b的夹角.【解题提示】(1)利用条件建立k与a·b的关系,由此求f(k)的表达式.(2)利用函数的思想求f(k)的最小值,并由此求向量a与b的夹角.【解析】(1)因为a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),所以|a|=|b|=1.由|a-kb|=|ka+b|,得3(a-kb)2=(ka+b)2,即3(1-2ka ·b+k 2)=k 2+2ka ·b+1,8ka ·b=2k 2+2,因为k>0,所以a ·b=.所以f(k)=a ·b=(k>0). (2)因为k>0,f(k)==+≥2=, 当且仅当=,即k=1时,“=”成立,此时a ·b==,设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=||||a b a b =, 因为θ∈[0,π],所以θ=.【一题多解】解答本题(1)还可采用如下解法:因为a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),所以a-kb=(cos α-kcos β,sin α-ksin β),ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β),(a-kb)2=(cos α-kcos β)2+(sin α-ksin β)2=1+k 2-2kcos(α-β),(ka+b)2=(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=1+k 2+2kcos(α-β), 由|a-kb|=|ka+b|,得3(a-kb)2=(ka+b)2,即3[1+k 2-2kcos(α-β)]=1+k 2+2kcos(α-β),所以cos(α-β)=,所以f(k)=a ·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=(k>0). 20.(13分)已知m=(1,1),向量n 与m 的夹角为,且m ·n=-1. (1)求向量n 的坐标.(2)已知q=(1,0),若n ⊥q,p=,其中A,C 为△ABC 的内角,且A+C=,求|n+p|的最小值.【解题提示】(1)根据题意列方程组求向量n 的坐标.(2)根据题意转化为三角函数的最值.【解析】(1)设n=(x,y),由题意得m·n=x+y=-1.①cos=,=-,x2+y2=1.②联立①②得,或即n=(-1,0)或n=(0,-1).(2)因为q=(1,0),n⊥q,所以n=(0,-1),所以n+p==(cosA,cosC),|n+p|=,因为A+C=,所以C=-A,A∈,所以|n+p|===.因为A∈,所以2A+∈,所以当2A+=π,即A=时,|n+p|min==.21.(14分)(2016·青岛模拟)已知A,B,其中x∈.(1)求||的表达式.(2)若·=(O为坐标原点),求tanx的值.(3)若f(x)=+4λ||(λ∈R),求函数f(x)的最小值.【解题提示】(1)先求的坐标,再求模.(2)利用向量的数量积转化为三角函数的条件求值.(3)转化为关于sinx的二次函数的最值问题,注意x的取值范围.【解析】(1)||===.因为x∈,所以||=-2sinx.(2)因为·=cos cos x-sin sin x=cos2x,所以cos2x=,1-2sin2x=,sin2x=,因为x∈,所以sinx=-.进而可得cosx=,所以tanx=-.(3)f(x)=+4λ||=4sin2x-8λsinx=4(sinx-λ)2-4λ2,因为x∈,所以sinx∈[-1,0].①当-1≤λ≤0时,f(x)的最小值为-4λ2,此时sinx=λ;②当λ<-1时,f(x)的最小值为8λ+4,此时sinx=-1;③当λ>0时,f(x)的最小值为0,此时sinx=0.【加固训练】(2016·福州模拟)已知点A(2,0),B(0,2),O(0,0),C(cosα,sinα),且0<α<π.(1)若|+|=,求与的夹角.(2)若⊥,求tanα的值.【解析】(1)因为|+|=,所以(2+cosα)2+sin2α=7,所以cosα=.又因为α∈(0,π),所以α=∠AOC=, 又因为∠AOB=,所以与的夹角为.(2)=(cosα-2,sinα),=(cosα,sinα-2).因为⊥,所以·=0,所以cosα+sinα=,①所以(cosα+sinα)2=,所以2sinαcosα=-.又因为α∈(0,π),所以α∈. 因为(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=,cosα-sinα<0,所以cosα-sinα=-.②由①②得cosα=,sinα=, 所以tanα=-.。
高三数学一轮检测试题含解析 试题
2021届高三数学一轮检测试题〔含解析〕创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日考前须知：1.答卷前，所有考生必须将本人的姓名、考生号等填写上在答题卡和试卷规定的正确位置上.2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上.写在套本套试卷上无效.3.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =，那么阴影局部表示的集合是〔 〕A. [1,1]-B. (3,1]-C. (,3)(1,)-∞--+∞D.(3,1)--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合N 的补集UN ，再求出集合M 与UN 的交集，即为所求阴影局部表示的集合.【详解】由U =R ，{|||1}N x x =，可得{1UN x x =<-或者1}x >，又{|31}M x x =-<< 所以{31}UM N x x ⋂=-<<-.应选：D.【点睛】此题考察了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于根底题.21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，那么a bi +=〔 〕A. 12i -+B. 1C. 5【答案】D 【解析】 试题分析：由21aibi i-=-,得()21,1,2ai i bi b i a b -=-=+∴=-=,那么12,12a bi i a bi i +=-+∴+=-+== D考点：1、复数的运算；2、复数的模.3.31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，那么实数m =〔 〕A. 2B. -2C. -3D. 3【答案】A 【解析】 【分析】先求31(1)x-的展开式，再分类分析(2)mx -中用哪一项与31(1)x-相乘，将所有结果为常数的相加，即为31(2)(1)mx x --展开式的常数项，从而求出m 的值.【详解】31(1)x -展开式的通项为313311()(1)r r r r r rr T C C x x--+=⋅-=⋅-，当(2)mx -取2时，常数项为0322C ⨯=，当(2)mx -取mx -时，常数项为113(1)3m C m -⨯⨯-=由题知238m +=，那么2m =. 应选：A.【点睛】此题考察了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对(2)mx -所取的项要进展分类讨论，属于根底题.4.函数()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，那么“()f x 在(3,)+∞上是单调函数〞是“01a <<〞的〔 〕 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求出复合函数()f x 在(3,)+∞上是单调函数的充要条件，再看其和01a <<的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案. 【详解】()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)， 由20x a -->得2x a <-或者2x a >+，即()f x 的定义域为{2x x a <-或者2}x a >+，〔0,a >且1a ≠〕 令2t x a =--，其在(,2)a -∞-单调递减，(2,)a ++∞单调递增，()f x 在(3,)+∞上是单调函数，其充要条件为2301a a a +≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩即01a <<.应选：C.【点睛】此题考察了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于根底题.5.定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，那么()()33log 6log 54f f -+=〔 〕A.32B.33log 22- C. 12-D.32log 23+ 【答案】A 【解析】 【分析】因为给出的解析式只适用于[2,2)x ∈-，所以利用周期性，将3(log 54)f 转化为32(log )3f ，再与()3log 6f -一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果. 【详解】定义在R 上的函数()f x 的周期为43332(log 54)(log 544)(log )3f f f ∴=-=，当[2,2)x ∈-时，1()()43xf x x =--，3log 6[2,2)-∈-，32log [2,2)3∈-，()()33log 6log 54f f ∴-+332log log 6333112()(log 6)4()log 4333-=---+-- 11333log 6log 233112()()(log 6log )8333=++--3336log (6)822=++⨯-32=. 应选：A.【点睛】此题考察了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题. 6.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，假设AB mAM =，AC nAN =，那么m n +=〔 〕A. 1B.32C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法那么得1()2AO AB AC =+，再将其用AM ，AN 表示.由M 、O 、N 三点一共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值.【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m nAO AB AC AM AN =+=+，M 、O 、N 三点一共线，122m n∴+=， 2m n ∴+=.应选：C.【点睛】此题考察了向量的线性运算，由三点一共线求参数的问题，熟记向量的一共线定理是关键.属于根底题.7.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当程度放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．假设将该正方体绕下底面〔底面与程度面平行〕的某条棱任意旋转，那么容器里水面的最大高度为〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 22【答案】B 【解析】 【分析】根据可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面〔底面与程度面平行〕的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为2，应选B.【点睛】此题考察了正方体的几何特征，考察了空间想象才能，属于根底题． 8.抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，那么MN AB 的最大值是〔 〕A.34B.33C.323【答案】B 【解析】【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，那么1AF AA =，1BF BB =，又M是AB中点，所以111()2MN AA BB =+，那么1112MNAA BB AB AB+=⋅2AF BF AB+=，在ABF∆中222AB AF BF =+22cos 3AF BF π-22AF BF AF BF=++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF+-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即AF BF AB +≤MN AB ≤B ．考点：抛物线的性质．【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的间隔 ，焦点弦长，抛物线上的点到准线〔或者与准线平行的直线〕的间隔 时，常常考虑用抛物线的定义进展问题的转化．象此题弦AB 的中点M 到准线的间隔 首先等于,A B 两点到准线间隔 之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的间隔 ，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.在每一小题给出的选项里面，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分. 9.某调查机构对全国互联网行业进展调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，那么以下结论正确的选项是〔 〕 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据扇形统计图和条状图，逐一判断选项，得出答案.【详解】选项A ：因为互联网行业从业人员中，“90后〞占比为56％， 其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为％和17％， 那么“90后〞从事技术和运营岗位的人数占总人数的0000000056(39.617)31.7⨯+≈.“80前〞和“80后〞中必然也有从事技术和运营岗位的人，那么总的占比一定超过三成， 应选项A 正确；选项B ：因为互联网行业从业人员中，“90后〞占比为56％， 其中从事技术岗位的人数占的比为％，那么“90后〞从事技术 岗位的人数占总人数的0000005639.622.2⨯≈.“80前〞和“80后〞中必然也有从事技术岗位的人，那么总的占比一定超过20％，应选项B 正确； 选项C ：“90后〞从事运营岗位的人数占总人数的比为00000056179.5⨯≈， 大于“80前〞的总人数所占比3％，应选项C 正确；选项D ：“90后〞从事技术岗位的人数占总人数的0000005639.622.2⨯≈， “80后〞的总人数所占比为41％，条件中未给出从事技术岗位的占比， 故不能判断，所以选项D 错误. 应选：ABC.【点睛】此题考察了扇形统计图和条状图的应用，考察数据处理才能和实际应用才能，属于中档题.10.以下说法正确的选项是〔 〕A. “5c =〞是“点(2,1)到直线340x y c ++=的间隔 为3”的充要条件B. 直线sin 10x y α-+=的倾斜角的取值范围为3[0,][,)44πππ⋃ C. 直线25y x =-+与直线210x y ++=平行，且与圆225x y +=相切D. y = 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点到直线的间隔 公式判断选项A 错误；根据直线斜率的定义及正切函数的值域问题判断选项B 正确；根据两直线平行的断定及直线与圆相切的断定，可判断选项C 正确；根据双曲线渐近线的定义可判断选项D 错误.【详解】选项A ：由点(2,1)到直线340x y c ++=的间隔 为3，可得：6435c++=，解得5c =或者25-， “5c =〞是“点(2,1)到直线340x y c ++=的间隔 为3”的充分不必要条件， 应选项A 错误；选项B ：直线sin 10x y α-+=的斜率sin [1,1]k α=∈-， 设直线的倾斜角为θ，那么0tan 1θ≤<或者1tan 0θ-≤<，3[0,][,)44θπππ∴∈，应选项B 正确；选项C ：直线25y x =-+可化为250x y +-=， 其与直线210x y ++=平行，圆225x y +=的圆心(0,0)O 到直线250x y +-=的间隔 为：d ==，那么直线250x y +-=与圆225x y +=相切，应选项C 正确；选项D ：离心率为c a =ba=假设焦点在x 轴，那么双曲线的渐近线方程为y =，假设焦点在y 轴，那么双曲线的渐近线方程为2y x =±， 应选项D 错误. 应选：BC.【点睛】此题考察了点到直线的间隔 ，直线的斜率的定义，两直线的平行关系的判断，直线与圆的相切的判断，双曲线的渐近线方程，知识点较繁杂，需要对选项逐一判断.属于中档题.11.,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，那么以下命题正确的选项是〔 〕A. 假设,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥B. 假设,//m n αα⊥，那么m n ⊥C. 假设//,m αβα⊂，那么//m βD. 假设//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线、面的位置关系，逐一进展判断.【详解】选项A ：假设,m n m α⊥⊥，那么n ⊂α或者//n α， 又//n β，并不能得到αβ⊥这一结论，应选项A 错误；选项B ：假设,//m n αα⊥，那么由线面垂直的性质定理和线面平行的 性质定理可得m n ⊥，应选项B 正确；选项C ：假设//,m αβα⊂，那么有面面平行的性质定理可知//m β， 应选项C 正确；选项D ：假设//,//m n αβ，那么由线面角的定义和等角定理知，m 与α 所成的角和n 与β所成的角相等，应选项D 正确. 应选：BCD.【点睛】此题考察了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，以及线面角的定义和等角定理等根底知识，需要对每个选项逐一进展判断，属于中档题. 12.函数||()sin x f x e x =，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A. ()f x 是周期为2π的奇函数B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数 C. ()f x 在(10,10)ππ-内有21个极值点D. ()f x ax 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立的充要条件是1a 【答案】BD 【解析】 【分析】根据周期函数的定义断定选项A 错误；根据导航的符号判断选项B 正确；根据导函数零点断定选项C 错误；根据恒成立以及对应函数最值确定选项D 正确. 【详解】()f x 的定义域为R ，()sin()()x f x e x f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，但是22(2)sin(2)sin ()x x f x ex ex f x ππππ+++=+=≠，()f x ∴不是周期为2π的函数，应选项A 错误；当(,0)4x π∈-时，()sin x f x e x -=，(cos ()sin )0x x f x e x -'-=>，()f x 单调递增，当3(0,)4x π∈时，()sin x f x e x =， (sin ))0c (os x x f x e x +'=>，()f x 单调递增，且()f x 在3(,)44ππ-连续，故()f x 在3(,)44ππ-单调递增，应选项B 正确；当[0,10)x π∈时，()sin xf x e x =，(sin c )s ()o xf x e x x +'=，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=-+=，当(10,0)x π∈-时，()sin xf x e x -=，(co (s )sin )x x f x e x -=-'，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=+=----------,因此，()f x 在(10,10)ππ-内有20个极值点，应选项C 错误； 当0x =时，()00f x ax =≥=，那么a R ∈，当(0,]4x π∈时，sin ()x e xf x ax a x≥⇔≤，设sin ()x e x g x x =，2(sin cos sin )()x e x x x x x g x x+-'∴=， 令()sin cos sin h x x x x x x =+-，(0,]4x π∈()sin (cos sin )0h x x x x x '∴=+->，()h x 单调递增，()(0)0h x h ∴>=，()0g x '∴>，()g x 在(0,]4π单调递增，又由洛必达法那么知：当0x →时，0sin (sin cos )()11x x x e x e x x g x x =+=→=1a ∴≤，故答案D 正确.应选：BD.【点睛】此题考察了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考察综合分析求解与论证才能，属较难题. 三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分. 13.()3312,,,sin ,sin 45413ππαβπαββ⎛⎫⎛⎫∈+=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】5665- 【解析】 ∵3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴3,22παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭,∴()()24cos =1sin 5αβαβ+-+=． 又3,424πππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，12sin ,413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴25cos()=1sin ()4413ππββ----=-． ∴cos()cos[()()]44ππααββ+=+--cos()cos()sin ()sin()44ππαββαββ=+-++-4531256()()51351365=⨯-+-⨯=-． 答案：5665-14.一个房间的地面是由12个正方形所组成，如下图.今想用长方形瓷砖铺满地面，每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或者，那么用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.【答案】11 【解析】 【分析】将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进展分类，在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进展分类，在其中会有一样元素的排列问题，需用到“缩倍法〞. 采用分类计数原理，求得总的方法数.【详解】〔1〕先贴如图这块瓷砖，然后再贴剩下的局部，按如下分类：5个：5!15!=，3个，2个：4!4 3!=，1个，4个：3!3 2!=，〔2〕左侧两列如图贴砖，然后贴剩下的局部：3个：3!1 3!=，1个，2个：2!2=，综上，一一共有1431211++++=〔种〕.故答案为：11.【点睛】此题考察了分类计数原理，排列问题，其中涉及到一样元素的排列，用到了“缩倍法〞的思想.属于中档题.15.?易经?是中国传统文化中的精华，如图是易经八卦〔含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦〕，每一卦由三根线组成〔""表示一根阳线，""表示一根阴线〕，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.【答案】3 14【解析】【分析】观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或者全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。
世纪金榜理科数学广东版单元评估检测
世纪金榜理科数学广东版单元评估检测Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
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单元评估检测(九)第九章(60分钟100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014·海口模拟)计算机执行下面的程序段后,输出的结果是( )014,2 014 014,2 0132.(2014·合肥模拟)给出下列命题:①某班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中另一位同学的编号为23;②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同;③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程=+x中,=2,=1,=3,则=1;④如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是90.其中假命题的个数为( )3.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间内,那么输入的实数x的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,-1]C.[-1,2]D.[2,+∞)4.(2014·宁波模拟)200辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速不低于60km/h的汽车数量为( )辆辆辆辆5.已知回归直线斜率的估计值为,样本点的中心为点(4,5),则回归直线的方程为( )A.=+4B.=+5C.=+D.=+6.(2014·宝鸡模拟)读程序回答问题甲乙i=1S=0WHILE i<=1 000 S=S+ii=i+1WENDPRINT SEND i=1 000S=0DOS=S+ii=i-1LOOP UNTIL i<1 PRINT SEND对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是( )A.程序不同,结果不同B.程序不同,结果相同C.程序相同,结果不同D.程序相同,结果相同7.(2014·青岛模拟)根据下面的列联表嗜酒不嗜酒总计患肝病7 775427 817未患肝病 2 09949 2 148总计9 874919 965得到如下几个判断:①在犯错误的概率不超过的前提下认为患肝病与嗜酒有关;②在犯错误的概率不超过的前提下认为患肝病与嗜酒有关;③认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能小于1%;④认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为10%.其中正确命题的个数为( )8.(2014·揭阳模拟)一般来说,一个人脚掌越长,他的身高就越高,现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量,得到数据(单位均为cm)如表所示,作出散点图后,发现散点在一条直线附近,经计算得到一些数据:(xi -)(yi-)=,(xi-)2=;某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印,量得每个脚印长为,则估计案发嫌疑人的身高为( )二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2014·嘉兴模拟)在一次运动员的选拔中,测得7名选手身高(单位:cm)分布的茎叶图如图所示.已知记录的平均身高为164cm,但有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为x,那么x的值为.10.(2014·沈阳模拟)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了5次,成绩如下表(单位:环):如果甲、乙两人中只有1人入选,那么入选的最佳人选应是.11.(2014·广东十校联考)如图是一个算法的程序框图,最后输出的W= .12.在2014年元旦期间,某市物价部门对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查,五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示:价格x91011销售量y1110865通过分析,发现销售量y与商品的价格x具有线性相关关系,则销售量y关于商品的价格x的线性回归方程为.三、解答题(本大题共4小题,共40分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)(2014·长春模拟)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表:甲273830373531乙332938342836(1)画出茎叶图.(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、方差,并判断选谁参加比赛更合适14.(10分)(2014·茂名模拟)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值.(2)若该校高一年级共有学生640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数.(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.15.(10分)某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数.说明:如图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主.(1)根据茎叶图,帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯.(2)根据以上数据完成2×2列联表:(3)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,并写出简要分析.16.(10分)(能力挑战题)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率.(2)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程=x+.(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想(参考公式:==,=-).答案解析1.【解析】选=1+2013=2014;Y=2014-1=2013.2.【解析】选B.①由系统抽样的原理知抽样的间隔为52÷4=13,故抽取的样本的编号分别为7,7+13,7+13×2,7+13×3,即7号、20号、33号、46号,①是假命题;②数据1,2,3,3,4,5的平均数为(1+2+3+3+4+5)=3,中位数为3,众数为3,都相同,②是真命题;③回归直线方程=+2x过点(,),把(1,3)代入回归直线方程=+2x可得=1,③是真命题;④产品净重小于100克的频率为+×2=,设样本容量为n,则=,所以n=120,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为++×2=,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×=90,④是真命题,所以假命题的个数为1.【加固训练】(2014·大连模拟)某市有400家超市,其中大型超市有40家,中型超市有120家,小型超市有240家.为了掌握各超市的营业情况,要从中抽取一个容量为20的样本,若采用分层抽样的方法,抽取的中型超市数为( )【解析】选B.每个个体被抽到的概率等于=,而中型超市有120家,故抽取的中型超市数是120×=6.3.【思路点拨】确定该程序框图是求分段函数的函数值后,再由函数值域求自变量的范围.【解析】选B.该程序框图的作用是计算分段函数f(x)=的函数值.又因为输出的函数值在区间内,所以x∈[-2,-1].4.【解析】选B.设时速不低于60 km/h的汽车数量为n,则=+×10=,所以n=×200=76.【加固训练】(2013·成都模拟)在某大型企业的招聘会上,前来应聘的本科生、硕士研究生和博士研究生共2000人,如图为各类毕业生人数统计扇形图,则博士研究生的人数为.【解析】由题意可知,博士研究生占的比例为1-62%-26%=12%,故博士研究生的人数为2000×12%=240.答案:2405.【解析】选C.回归直线必过点(4,5),故其方程为-5=(x-4),即=+.【加固训练】如图所示,从人体脂肪含量与年龄散点图中,能比较清楚地表示人体脂肪含量与年龄的相关性的回归直线为( )【解析】选A.根据线性相关的意义知,当所有的数据在一条直线附近排列时,这些数据具有很强的线性相关关系.从人体脂肪含量与年龄散点图中,能比较清楚地表示人体脂肪含量与年龄的相关性的回归直线是l1.6.【解析】选B.从两个程序可知它们的程序语句不同,但其算法都是求1+2+3+…+1000,故结果相同.【易错提醒】WHILE-WEND循环条件满足时进入循环体,DO-LOOP UNTIL循环条件满足时退出循环体.7.【解析】选D.由K2=≈>>,所以①②③都正确.【加固训练】某数学教师随机抽取50名学生进行是否喜欢数学课程的情况调查,得到如下列联表:喜欢数学不喜欢数学总计男18927女81523总计262450根据表中数据求得K2的观测值约为( )【解析】选A.根据表中数据得K2的观测值k=≈.8.【解析】选D.回归方程的斜率===7,=,=,截距=-=0,即回归方程为=7x,当x=时,=.9.【解析】将所有数据都减去160,根据平均数的计算公式可得=4.解得x=7.答案:710.【解析】==9环,=[(10-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(9-9)2+(9-9)2]=,=[(10-9)2+(10-9)2+(7-9)2+(9-9)2+(9-9)2]=>,故甲更稳定,故填甲.答案:甲11.【解析】第1次运算得:S=1,T=3;第2次运算得:S=8,T=5;第3次运算得:S=25-8=17>10,这时输出的W=17+5=22.答案:2212.【思路点拨】分别计算出,,xi yi,,或列表格计算,再代入公式计算.【解析】xi yi=392,=10,=8,=,代入公式,得==,所以,=-=40,故线性回归方程为=+40.答案:=+4013.【解析】(1)画茎叶图如图所示,中间数为数据的十位数.(2)由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列为甲:27,30,31,35,37,38;乙:28,29,33,34,36,38.所以=×(27+30+31+35+37+38)=33,=×(28+29+33+34+36+38)=33.=×[(-6)2+(-3)2+(-2)2+22+42+52]=,=×[(-5)2+(-4)2+0+12+32+52]=.因为=,>.所以乙的成绩更稳定,故乙参加比赛更合适.14.【解析】(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1,所以10×+++a++=1,解得a=.(2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的概率为1-10×+=,由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×=544(人).(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×=2(人),成绩在[90,100]分数段内的人数为40×=4(人),若从这6名学生中随机抽取2人,则总的取法有=15种,如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10,则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法数为+=7,所以所求概率为P=.15.【思路点拨】(1)根据茎叶图的叶上数字的多少明确其亲属30人的饮食习惯.(2)根据茎叶图完成列联表.(3)由(2)得出的列联表计算K2得出观测值.【解析】(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主,50岁以下的人多以食肉为主.(2)如表所示:主食蔬菜主食肉类总计50岁以下481250岁以上16218总计201030(3)k===10>.所以可以在犯错误的概率不超过的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.【加固训练】现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽查了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表:(1)由以上统计数据填下面2×2列联表并问能否在犯错误的概率不超过的前提下认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.(2)若对月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中各随机选取1人进行追踪调查,求选中的2人中不赞成“楼市限购令”的人数至多1人的概率.参考数据:P(K2≥k)kK2=.【解析】(1)2×2列联表月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数总计赞成32932不赞成71118总计104050K2的观测值k=≈<,所以不能说在犯错误的概率不超过的前提下认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.(2)从月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中各随机选取1人,共有50种取法.其中恰有2人都不赞成“楼市限购令”共有2种取法,所以选中的2人中至多1人不赞成“楼市限购令”共有48种方法,所以P==.16.【解析】(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的.其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种,所以P(A)==.(2)由数据求得=11,=24.由公式求得=,再由=-=-.所以关于x的线性回归方程为=x-.(3)当x=10时,=,<2,同样,当x=6时,=,<2,所以,该小组所得线性回归方程是理想的.关闭Word文档返回原板块。
【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：单元评估检测(八)(含答案解析)
单元评估检测(八)第八章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过点P(1,2)的直线l平分圆C:x2+y2+4x+6y+1=0的周长,则直线l的斜率为()A. B.1 C. D.【解析】选A.圆的方程可化为(x+2)2+(y+3)2=12.因为l平分圆C的周长,所以l过圆C的圆心(-2,-3),又因为l过点P(1,2),所以k l==.2.(2016·济宁模拟)抛物线x2=ay的准线方程是y=1,则实数a的值为()A.-4B.4C.D.-【解析】选A.由条件知-=1,所以a=-4.3.(2016·枣庄模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为()A. B. C. D.3【解析】选C.由条件知,=c,所以=,所以4b2=5a2,因为a2+b2=c2,所以4c2=9a2,所以e==.4.点P是抛物线y2=4x上一点,P到该抛物线焦点的距离为4,则点P的横坐标为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.设点P的横坐标为x0,抛物线的准线为x=-1,根据抛物线的定义可知,P到该抛物线焦点的距离等于P到该准线的距离,即x0-(-1)=4,所以x0=3,即点P的横坐标为3.5.(2016·莱芜模拟)已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1与x轴切于A点,与y轴切于B点,设劣弧AB 的中点为M,则过点M的圆C的切线方程是()A.y=x+2-B.y=x+1-C.y=x-2+D.y=x+1-【解析】选A.由已知得M,又切线斜率为1,故切线方程为y+-1=x-+1,即y=x+2-.6.(2016·泰安模拟)已知实数1,m,9成等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为()A. B.2 C.或2 D.或【解析】选C.根据条件可知m2=9,所以m=±3,当m=3时,e==,当m=-3时,e=2,所以正确选项为C.【加固训练】(2016·长春模拟)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A 是C1,C2在第一象限的公共点,若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率是()A. B. C.或 D.【解析】选B.设椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意得,|AF1|=|F1F2|=2c=2=4,所以c=2,|AF1|-|AF2|=2,所以|AF2|=2,所以2a=|AF1|+|AF2|=6,所以a=3,所以e==.7.(2016·聊城模拟)若F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,M是椭圆上的任意一点,且△MF1F2的内切圆的周长为3π,则满足条件的点M的个数为()A.2B.4C.6D.不确定【解题提示】由内切圆的周长为3π可确定内切圆的半径,然后利用面积相等确定点M的纵坐标,进而确定M点的个数.【解析】选A.由△MF1F2的内切圆的周长为3π得,内切圆的半径r=,所以△MF1F2的面积为(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)r=|F1F2|×|y M|,即(10+6)×=6×|y M|,得|y M|=4,所以满足条件的点M是短轴的2个端点.【加固训练】(2016·赣州模拟)设集合A=,B={(x,y)|y=3x},则A∩B的子集的个数是()A.4B.3C.2D.1【解析】选A.指数函数y=3x的图象与椭圆+=1有两个交点,所以A∩B中有2个元素,所以其子集有22=4个.8.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.42【解题提示】由双曲线的离心率可求出双曲线的渐近线方程,从而可求出A,B两点的坐标,然后利用抛物线的定义可求p的值.【解析】选B.因为双曲线的离心率为2,所以e2===4,即b2=3a2,所以双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),得x=p或x=0,故x A=x B=p,又因为|AF|=x A+=p+=7,所以p=6.9.(2016·烟台模拟)已知圆O:x2+y2-4=0,圆C:x2+y2+2x-15=0,若圆O的切线l交圆C于A,B两点,则△OAB面积的取值范围是()A.[2,2]B.[2,8]C.[2,2]D.[2,8]【解析】选A.圆O的切线l交圆C于A,B两点,则△OAB的面积S=AB·r,圆O:x2+y2-4=0的半径为r=2,AB是圆C:x2+y2+2x-15=0的弦长,圆C:x2+y2+2x-15=0的圆心C(-1,0),半径为4,圆心C到AB的距离最小时,AB最大,圆心C到AB的距离最大时,AB最小,如图,AB的最小值为:2=2;AB的最大值为:2=2;所以△OAB面积的最小值为:×2×2=2.△OAB面积的最大值为:×2×2=2.所以△OAB面积的取值范围是[2,2].10.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对“相关曲线”的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对“相关曲线”中双曲线的离心率是()A. B. C. D.2【解析】选A.设椭圆的长半轴为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=,a1=.双曲线的实半轴为a,双曲线的离心率为e,e=,a=.设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy,当点P看成是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy,当点P看成是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去xy得4c2=+3a2,即4c2=+3,所以+3=4,又因为=e,所以e2+=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3,所以e=,即双曲线的离心率为.【加固训练】(2016·孝感模拟)已知点F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右两焦点,若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称,则双曲线的离心率为()A. B. C.2D.【解析】选D.过焦点F2且垂直渐近线y=x的直线方程为:y-0=-(x-c),联立渐近线方程y=x与y-0=-(x-c),解得x=,y=,故对称中心的点坐标为,由中点坐标公式可得点F2的对称点P的坐标为,将其代入双曲线的方程可得-=1,化简可得c2=5a2,故可得e==.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·菏泽模拟)直线kx+y+k+1=0与圆x2+y2+2x-2y-2=0相切,则k=.【解析】圆心到直线的距离为d==2,解得k=0.答案:012.以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲线-=1的两条渐近线都相切的圆的方程为.【解析】由已知可以知道,抛物线的焦点坐标为(5,0),双曲线的渐近线方程为y=±x,则所求圆的圆心为(5,0),利用圆心到直线3x-4y=0的距离为半径r,则有r==3,故圆的方程为(x-5)2+y2=9.答案:(x-5)2+y2=913.(2015·浙江高考)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.【解题提示】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a,b,c的关系.【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e==.答案:【加固训练】已知椭圆C:+=1,点M与椭圆C的焦点不重合.若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在椭圆C上,则|AN|+|BN|=.【解析】如图,设MN的中点为P,由题意可知,PF1,PF2分别为△AMN,△BMN的中位线,所以|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|)=2×4=8.答案:814.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为.【解析】设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的中垂线上,又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1,又因为圆面积为36π,所以半径为6,所以+p2=36,所以p=8.答案:815.若方程+=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:①若C为椭圆,则1<t<4;②若C为双曲线,则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上)【解析】若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0且4-t≠t-1,解得1<t<4且t≠,所以①不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;若t=时,该曲线表示为圆,所以③不正确;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1<t<,所以④错误.答案:②三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016·青岛模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P(4,0).(1)设Q是抛物线C上的动点,求|PQ|的最小值.(2)过点P的直线l与抛物线C交于M,N两点,若△FMN的面积为6,求直线l的方程.【解题提示】(1)设Q(x,y),则|PQ|===,利用单调性即可得出.(2)设直线l:x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),与抛物线方程联立可得根与系数的关系,再利用△FMN 的面积为6即可求出.【解析】(1)设Q(x,y),则|PQ|===,当x=2时,|PQ|min=2.(2)设直线l:x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),焦点F(1,0).联立消去x得y2-4my-16=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-16,所以S△FMN=|PF|·|y1-y2|=×3×=×=6=6,所以m=±1,所以直线l的方程为:x+y-4=0或x-y-4=0.17.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)2+y2=4.(1)求圆C的方程.(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.【解题提示】(1)求出过两点(0,0)和(-1,1)的直线的垂直平分线方程,得到其与x轴的交点坐标,即圆C的圆心坐标,进一步求得半径,代入圆的标准方程即可.(2)设出P点坐标,然后求出切线方程,得到切线在y轴上的截距,利用换元法和配方法求得|AB|的取值范围.【解析】(1)过两点(0,0)和(-1,1)的直线的斜率为-1,则线段AB的垂直平分线方程为:y-=1×,整理得:y=x+1.取y=0,得x=-1.所以圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为1,所以圆C的方程为:(x+1)2+y2=1.(2)设P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),则直线PA方程为=,整理得:(y0-a)x-yx0+ax0=0.因为直线PA与圆C相切,可得=1,化简得(x0+2)a2-2y0a-x0=0,同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0,所以a,b为方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的两根,所以|AB|=|a-b|===2·,令t=x0+2∈[4,8],则|AB|=2·,求得|AB|min=,|AB|max=.|AB|的取值范围是.18.(12分)已知椭圆+=1(a>b>0),离心率e=,且过点.(1)求椭圆方程.(2)Rt△ABC以A(0,b)为直角顶点,边AB,BC与椭圆交于B,C两点,求△ABC面积的最大值. 【解析】(1)由e=,即=,又a2-b2=c2,得a=3b,把点代入椭圆方程可得:+=1⇒b=1,所以椭圆方程为:+y2=1.(2)不妨设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程为y=-x+1,由得(1+9k2)x2+18kx=0⇒x B=,把k用-代换,可得x C=,从而有|AB|=,|AC|=,于是S△ABC=|AB||AC|=162=162.令t=k+≥2,有S△ABC==≤,当且仅当t=>2时,(S△ABC)max=.19.(12分)(2016·烟台模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,右顶点A 在圆F:(x-1)2+y2=r2(r>0)上.(1)求椭圆C和圆F的方程.(2)已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B,与圆F交于另一点P.请判断是否存在斜率不为0的直线l,使点P恰好为线段AB的中点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由题意可得c=1,又由题意可得=,所以a=2,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为+=1,所以椭圆C的右顶点为A(2,0),代入圆F的方程,可得r2=1,所以圆F的方程为(x-1)2+y2=1.(2)假设存在直线l:y=k(x-2)(k≠0)满足条件,由得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.设B(x1,y1),则2+x1=,可得中点P,由点P在圆F上可得+=1,化简整理得k2=0,又因为k≠0,所以不存在满足条件的直线l.【一题多解】解决本题(2)还有如下方法:假设存在直线l满足题意,由(1)可得OA是圆F的直径,所以OP⊥AB.由点P是AB的中点,可得|OB|=|OA|=2.设点B(x1,y1),则由题意可得+=1.又因为直线l的斜率不为0,所以<4,所以|OB|2=+=+3=3+<4,这与|OA|=|OB|矛盾,所以不存在满足条件的直线l.20.(13分)(2015·湖南高考)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D 两点,且与同向.(1)求C2的方程.(2)若︱AC︱=︱BD︱,求直线l的斜率.【解题提示】(1)由题意可得F的坐标为(0,1),又因为F也是椭圆C2的一个焦点,可得a2-b2=1,根据C1与C2的公共弦长为2,C1与C2都关于y轴对称可得+=1,然后得到对应曲线方程即可.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)根据=,可得(x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用根与系数的关系进行计算即可得到结果.【解析】(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1①;又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为:x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以+=1②,联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x3-x4=x1-x2,于是(x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2③,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由得x2-4kx-4=0,由x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4④,由得(9+8k2)x2+16kx-64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-,⑤将④,⑤代入③,得16(k2+1)=+.即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.21.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN 通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D 在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点,AB 所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程.(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.【解析】(1)因为|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4,当M,N在x轴上时,等号成立;同理|OM|≥|MN|-|NO|=3-1=2,当D,O重合,即MN⊥x轴时,等号成立.所以椭圆C的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有S△OPQ=×4×4=8.当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①又由可得P,同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=|x P-x Q|,可得S△OPQ=|PQ|·d=|m||x P-x Q|=·|m|=.②将①代入②得,S△OPQ==8.当k2>时,S△OPQ=8=8>8;当0≤k2<时,S△OPQ=8=8.因0≤k2<,则0<1-4k2≤1,≥2,所以S△OPQ=8≥8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.综上可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.。
世纪金榜高三理科数学一轮复习全套试题含答案：阶段滚动检测(二)
阶段滚动检测（二）（第一～四章） （120分钟 150分） 第I 卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)已知命题p:对任意的x ∈R ，有sinx ≤1，则﹁p 是( ) (A)存在x ∈R ，有sinx ≥1 (B)对任意的x ∈R ，有sinx ≥1 (C)存在x ∈R ，有sinx ＞1 (D)对任意的x ∈R ，有sinx ＞12.(2011·四川高考)复数1i i-+=( ) (A)-2i (B)12i (C)0 (D)2i3.若AB =(1,1),AC =(3,8),AD =(0,1),BC CD + =(a,b),则a+b=( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)24.过原点和复数1-i 在复平面内对应点P 的直线OP 的倾斜角为( )()()()()32A B C D 4443ππππ-5.已知tan α=-12，则sin22cos24cos24sin2α+αα-α的值是( )()()()()5511A B C D 221414-- 6.(2012·青岛模拟)已知非零向量、a b 满足||+=-a b a b 且3=22a b ，则-与a b a 的夹角为( ) ()()()()2A B 335C D 66ππππ7.已知点O(0,0),A(2,1),B(-1,7)，1OP OA BA 3=+，又OQ OP ⊥，且|OQ |=2，则Q 点的坐标为( )()()()()A ((B (555555C (D --或或8.(滚动单独考查)如图所示，单位圆中弧AB 的长为x, f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成弓形的面积的2倍，则函数 y=f(x)的图象是( )9.(2012·杭州模拟)若点H 是△ABC 的垂心，且OH OA OB OC =++，则点O是△ABC 的( )(A)垂心 (B)内心 (C)外心 (D)重心10.在△ABC 所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )()()()()11A B 3223C D 34第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2012·衢州模拟)在△ABC 中，D 在线段BC 上，B D 2DC ,AD m A==+，则mn=____________. 12.在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、 60°，则塔高为 ____________m.13.已知α∈(0,π)，sin α+cos α=15-，则sin α-cos α=____________.14.(滚动单独考查)已知221x 1x f 1x 1x--=++（），则f(x)的解析式为______. 15.给出下列4个命题:①非零向量，a b 满足||==-a b a b ，则+与a a b 的夹角为30°;②“a b ＞0”是“a b 的夹角为锐角”的充要条件;③将函数y=|x+1|的图象按向量a =(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=|x+2|;④在△ABC 中，若()()AB AC AB AC 0,+-=则△ABC 为等腰三角形. 其中正确的命题是____________.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(13分)已知函数f(x)=cos 2x+sinxcosx (x ∈R). (1)求f(38π)的值; (2)求f(x)的单调递增区间.17.(13分)(2012·哈尔滨模拟)在四边形ABCD 中，AD 12,CD 5,AB 10,===DA DC AC ,+=AB AC 在方向上的投影为8.(1)求∠BAD 的正弦值; (2)求△BCD 的面积.18.(13分)(2012·郑州模拟)在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2B2sinB(2cos 1)2-= (1)求B 的大小;(2)如果b=2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值.19.(13分)如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足AP 2BP 3CP ++=，0设Q 为CP延长线与AB的交点，求证：CQ2CP=.20.(14分)已知点F(1,0)，点P在y轴上运动，点M在x轴上运动，设P(0,b)，M(a,0)且PM PF0+=0.=，动点N满足2PN NM(1)求点N的轨迹C的方程;(2)F′为曲线C的准线与x轴的交点，过点F′的直线l交曲线C于不同的两点A、B，若D为AB的中点，在x轴上存在一点E，使()-=，A B A E A D0求OE的取值范围(O为坐标原点).21.(14分)(滚动单独考查)函数f(x)=x3-(a+1)x+a,g(x)=xlnx.(1)若y=f(x)，y=g(x)在x=1处的切线相互垂直，求这两个切线方程; (２)若F(x)=f(x)-g(x)在定义域上单调递增，求a的取值范围.答案解析1.【解析】选C.“任意”的否定为“存在”；“≤”的否定为“＞”，故选C.2.【解析】选A.21ii i i i 2i ii --+=-+=--=--.故选A. 3.【解析】选A.∵BC CD BD AD AB +==-=(-1,0),∴a=-1,b=0,∴a+b=-1. 4.【解析】选C.设倾斜角为α，如图所示,易知α＝3.4π5.【解析】选C.tan α=-1,2则tan2α=-4,3原式=tan221.44tan214α+=-α6.【解析】选A.∵||,+=-a b a b ∴222222,0,++=-+∴=a a b b a a b b a b ∴222()||,-=-=-=-a b a a b a a a||2||,-====b a a 设-与a b a 的夹角为θ，则2()1cos ,||||2||2--θ===--a a b a a b a a a又θ∈［0,π］,∴θ=2.3π7.【解题指南】设Q 点的坐标为(x,y)，根据条件列出关于x 、y 的方程组. 【解析】选A.OP =(2,1)+13(3,-6)=(3,-1),设Q 点的坐标为(x,y)，则根据题意列方程组223x y 0x y 4-=⎧⎨+=⎩，解之得x x y y 55⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩8.【解题指南】可根据f(x)递增速度的快慢解答.【解析】选D.当弦AB 未过圆心时，f(x)以递增速度增加，当弦AB 过圆心后，f(x)以递减速度增加，易知D 正确.9.【解析】选 C.OH OA OB OC AH OB OC,=++⇒=+取BC 的中点D ，则OB OC 2OD,AH 2OD.+=∴=又AH BC OD BC,⊥∴⊥，∴点O 在BC 的中垂线上. 同理点O 在CA 、AB 的中垂线上，所以点O 是△ABC 的外心. 10.【解析】选C.由PA PB PC AB,++=得PA PB PC AB ,++-=0即PA PB BA PC ,+++=0PA PA PC ,++=得0即2PA CP =，所以点P 是CA 边上的一个三等分点，故PBCABC1BC PC sinCS BC PC 22.1S BC AC 3BC AC sinC 2=== 11.【解析】由题意AD m AB n AC,=+AD AB BD =+又2AB BC 3=+()2AB AC AB 3=+-12AB AC 33=+ ∴1212m 1m AB n AC AB AC m ,n ,.3333n 2+=+∴==∴=，答案：1212.【解析】如图所示，设塔高为h m.由题意及图可知: (200-h)·tan60°=200tan60︒.解得:h=4003(m).答案：400313.【解析】∵(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=125,∴2sin αcos α=24,25-又α∈(0,π),∴sin α＞0，∴cos α＜0，sin α-cos α＞0, 又(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α=125-2×(2425-)=4925.∴sin α-cos α=75. 答案：7514.【解析】令1x t 1x -=+，由此得1tx 1t-=+, 所以f(t)=2221t 12t 1t ,1t 11t--+=+++（）（）从而f(x)的解析式为f(x)=22x.1x+ 答案：f(x)=22x1x + 15.【解析】①考虑向量和、差的平行四边形法则，不难判断结论正确；②当，a b 的夹角为0°时，0＞a b 也成立，结论错误；③由两个函数图象容易判断结论正确；④可得22AB AC ,=即AB AC =,正确.所以①③④正确. 答案：①③④16.【解题指南】(1)在f(x)的表达式中有平方、有乘积，所以首先应该想到降幂.降幂可以用二倍角公式进行.(2)f(x)=12sin2x+12cos2x+12考虑到和角公式，需增辅助角. 【解析】()1cos2x 1f x sin2x 22+=+111sin2x cos2x 222=++12=++1),242π=++(1)311f ().822π=π+= (2)令2k π-2π≤2x+4π≤2k π+2π,k ∈Z,∴32k 2x 2k 44πππ-≤≤π+,k ∈Z, 即3k x k 88πππ-≤≤π+ (k ∈Z)时，f(x)单调递增. ∴f(x)的单调递增区间为［3k ,k 88πππ-π+］(k ∈Z).【方法技巧】解三角函数问题的变形技巧.(1)变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角； (2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.17.【解析】(1)∵DA DC AC +=，∴∠ADC=90°，在Rt △ADC 中，AD 12CD 5,==，∴AC 13,=cos ∠DAC=1213,sin ∠DAC=513.∵AB AC 在方向上的投影为8，∴|AB |cos ∠CAB=8,|AB |=10,∴cos ∠CAB=45,∵∠CAB ∈(0,π), ∴sin ∠CAB=35,∴sin ∠BAD=sin(∠DAC+∠CAB)=56.65 (2)S △ABC =1AB AC 2sin ∠BAC=39,S △ACD =1AD CD 2=30,S △ABD =1672AB AD sin BAD ,213∠=∴S △BCD =S △ABC +S △ACD -S △ABD =225.1318.【解析】(1)2sinB(2B2cos 12-)=-cos2B ⇒2sinBcosB=-cos2B ⇒∵0＜B＜2π,∴0＜2B＜π,∴2B=2,3π∴B=3π.(2)由(1)知B=3π∵b=2，由余弦定理，得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立),∵△ABC的面积ABC1S acsinB24==≤∴△ABC19.【证明】∵AP AQ QP,BP BQ QP,=+=+∴()()AQ QP2BQ QP3CP,++++=0∴AQ3QP2BQ3CP,+++=0又∵A，B，Q三点共线,C，P，Q三点共线,故可设A Q B Q,=λ=μ∴λB Q3Q P2B+++μ=0∴(2)BQ(33)QP.λ+++μ=0而BQ QP，为不共线向量,∴20.330λ+=⎧⎨+μ=⎩∴λ=-2,μ=-1.∴CP QP PQ.=-=故CQ CP PQ2CP.=+=20.【解析】(1)P(0,b),M(a,0),设N(x,y),由2PM PF0a b0,=⇒+=①由2PN NM+=0⇒()2x a x02y b y0+-=⎧⎪⎨--=⎪⎩a x.1b y2=-⎧⎪⇒⎨=⎪⎩②将②代入①得曲线C的轨迹方程为y2=4x.(2)由(1)得点F′的坐标为(-1,0)，设直线l:y=k(x+1),代入y2=4x，得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,由22k00k1⎧≠⇒⎨∆⎩＜＜＞,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),则2022kxk-=,y0=2,k∵()AB AE AD0AB DE,-=⇒⊥故直线DE的方程为22212ky(x)k k k--=--，令y=0，得x E =1+22k (0＜k 2＜1)⇒x E ＞3,即|OE |的取值范围是(3,+∞). 【方法技巧】利用向量法解决解析几何问题(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，求得向量坐标从而进行运算.(2)平面向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标运算，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答.21.【解析】(1)f ′(x)=3x 2-(a+1),g ′(x)=lnx+1,∴f ′(1)=2-a,g ′(1)=1,∵两曲线在x=1处的切线互相垂直,∴(2-a)×1=-1,∴a=3,∴f ′(1)=-1，f(1)=0,∴y=f(x)在x=1处的切线方程为x+y-1=0.同理，y=g(x)在x=1处的切线方程为x-y-1=0.(2)由F(x)=x 3-(a+1)x+a-xlnx得F ′(x)=3x 2-(a+1)-lnx-1=3x 2-lnx-a-2,∵F(x)=f(x)-g(x)在定义域上单调递增,∴F ′(x)≥０恒成立,即a ≤3x 2-lnx-2,令h(x)=3x 2-lnx-2,h ′(x)=6x-1x(x ＞0)，令h ′(x)＞０得x令h ′(x)＜０得0＜x ,∴h(x)min 31ln622-+,∴a的取值范围为(-∞, 31ln6-+］.22。
世纪金榜高三理科数学一轮复习全套试题含答案：阶段滚动检测(一)
阶段滚动检测(一)(第一、二章) (120分钟 150分) 第I 卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ＝{0，a}，B ＝{b|b 2－3b<0，b ∈Z}，A ∩B ≠Ø，则实数a 的值为( )(A)1 (B)2 (C)1或2 (D)2或3 2.已知a 、b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a>b ”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件3.(2012·安阳模拟)设集合A ＝{x|－2<－a<x<a ，a>0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是( ) (A)0<a<1或a>2 (B)0<a<1或a ≥2 (C)1<a<2 (D)1≤a ≤24．函数f(x)＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( )1111A []B []16884111C []D [1]422（），（），（），（），5.在函数y=|x|(x ∈[-1,1])的图象上有一点P(t,|t|)， 此函数与x 轴、直线x=-1及x=t 围成图形(如图阴影部 分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )6.定义在R 上的函数f(x)满足()2log (4x)x 0f x f (x 1)f (x 2)x 0≤⎧⎨>⎩－，＝，－－－，则f(3)的值为( )(A)－1 (B)－2 (C)1 (D)27.下列图象中，有一个是函数()3221f x x ax (a 1)x 13＝＋＋－＋(a ∈R ，a ≠0)的导函数y ＝f ′(x)的图象，则f(－1)等于( )()()()()51A B 3315C D 33--8.(2012·琼海模拟)已知函数f(x)=ax 3+bx 2+x(a ，b ∈R ，ab ≠0)的图象如图所示(x 1,x 2为两个极值点)，且|x 1|＞|x 2|，则有( )(A)a ＞0,b ＞0 (B)a ＜0,b ＜0 (C)a ＜0,b ＞0 (D)a ＞0,b ＜09.已知函数f(x)＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )()()()()44A 0B 0272744C 0D 02727，，－，，－10.不等式e x －x>ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，则实数a 的取值范围是( )(A)(－∞，e －1) (B)(e －1，＋∞) (C)(－∞，e ＋1) (D)(e ＋1，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11．(2012·杭州模拟)函数ln x 1y +=__________．12.若f(x)是幂函数，且满足()()f 43f 2＝，则f(12)＝__________.13.（2012•蚌埠模拟）定义在R 上的偶函数f(x)在［0，+∞）上是增函数，且f(13)=0,则不等式f(18log x )＞0的解集是___________.14.拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f(x)＝1.06×(0.50×[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是大于或等于m 的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m ∈__________.15.已知函数f(x)＝lnx ＋2x ，g(x)＝a(x 2＋x)，若f(x)≤g(x)恒成立，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(13分)(2012·台州模拟)已知命题p:函数22y log (x 2ax 3a 2)=-+-的定义域为R ；命题q:方程2ax 2x 10++=有两个不相等的负数根，若p ∨q 是假命题，求实数a 的取值范围．17.(13分)如图,设点P 从原点沿曲线y=x 2向点A(2,4)移动,记直线OP 、曲线y=x 2及直线x=2所围成的面积分别为S 1,S 2,若S 1=S 2,求点P 的坐标.18.(13分)集合A 是由具备下列性质的函数f(x)组成的： ①函数f(x)的定义域是[0，＋∞)；②函数f(x)的值域是[－2,4)；③函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，试分别探究下列两小题：(1)判断函数()()x 121f x 2(x 0)f x 46()(x 0)2≥≥及＝－是否属于集合A ？并简要说明理由；(2)对于(1)中你认为属于集合A 的函数f(x)，不等式f(x)＋f(x ＋2)<2f(x ＋1)是否对于任意的x ≥0恒成立？请说明理由．19.(13分)如图所示：图1是定义在R 上的二次函数y=f(x)的部分图象，图2是函数g(x)＝log a (x ＋b)的部分图象．(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式；(2)如果函数y ＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，求m 的取值范围. 20.(14分)已知函数f(x)＝ax 2＋2x ＋c(a 、c ∈N *)满足： ①f(1)＝5；②6<f(2)<11. (1)求a 、c 的值；(2)若对任意的实数x ∈[1322，]，都有f(x)－2mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．21.(14分) 已知函数f(x)=x 2+bsinx-2(b ∈R),F(x)=f(x)+2,且对于任意实数x，恒有F(x)-F(-x)=0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a 的取值范围；(3)函数h(x)=ln(1+x2)-12f(x)-k有几个零点？答案解析1.【解析】选C.B＝{1,2}．由A∩B≠Ø，得a＝1或2，故选C.2.【解析】选D.令a=-2，b=1.（-2）2>12-2>1,充分性不成立.令a=1，b=-2，1>-2 12>(-2)2，必要性不成立，故选D.3.【解析】选C.p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q一真一假．命题p为真时，a>1，又－2<－a，则a<2，∴1<a<2.由a<2知命题q为假，故选C.4.【解析】选C.因为f(x)在定义域内为单调递增函数，而在4个选项中，f(14)·f(12)<0，所以零点所在区间为[14，12].5.【解析】选B.当t ∈[-1，0]时，S 增速越来越慢，当t ∈[0，1]时，S 增速越来越快，故选B.6.【解题指南】根据自变量的值，选择相应区间上的函数解析式代入求解. 【解析】选B.依题意得f(3)＝f(2)－f(1)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)＝－log 2(4－0)＝－2， 故选B.7.【解析】选B.∵f ′(x)＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∴导函数f ′(x)的图象开口向上．又∵a ≠0，∴其图象必为第三个图． 由图象特征知f ′(0)＝0，且－a>0，∴a ＝－1. 故f(－1)＝－13－1＋1＝－13.8.【解析】选B.由已知，x 1、x 2是f ′(x)=3ax 2+2bx+1的两个零点.又121210x x 0 a 03a,.x x 02b b 003a⎧⎪⎧⎧⎪∴∴⎨⎨⎨+⎩⎩⎪-⎪⎩＜＜＜，＜＜＜ 9.【解题指南】解答本题的突破口在于由f(x)的图象与x 轴切于（1,0)点得到f ′(1)=0及f(1)=0.【解析】选A.f ′(x)＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f(1)＝0得32p q 01p q 0⎧⎨⎩－－＝－－＝，解得p 2q 1⎧⎨⎩＝＝－，∴f(x)＝x 3－2x 2＋x.由f ′(x)＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13或x ＝1，进而求得当x ＝13时，f(x)取极大值427，当x ＝1时，f(x)取极小值0，故选A.10.【解题指南】转化为恒成立问题，利用导数求解.【解析】选A.因为e x －x>ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，所以对任意x ∈[0,2]，e x－x>ax 恒成立，当x ＝0时，不等式恒成立，当0<x ≤2时，a<xe x－1也应恒成立．令g(x)＝x e x －1，则g ′(x)＝x2(x 1)e x －，当1<x ≤2时，g ′(x)>0，当0<x<1时，g ′(x)<0.所以当x ＝1时，g(x)取得最小值e －1， 所以a 的取值范围是(－∞，e －1)，故选A. 11.【解析】由题意知2x 10,x 3x 40+⎧⎨--+⎩＞＞,解得-1＜x ＜1.答案:(-1,1)12.【解析】设f(x)＝x α，则有42αα＝3，解得2α＝3，α＝log 23，∴f(12)＝(12)22log 3log 32－＝＝13.答案: 1313.【解析】由已知可得118811log x log x 33-＞或＜，∴0＜x ＜12或x ＞2. 答案：（0，12）∪（2，+∞)14.【解析】∵10.6＝1.06×(0.50×[m]＋1)，∴0.5[m]＝9，∴[m]＝18， ∴m ∈(17,18]． 答案:(17,18]15.【解析】设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x)＝1x＋2－2ax －a ＝(2x 1)(ax 1)x－＋－，x ∈(0，＋∞)．当a ≤0时，F ′(x)>0，F(x)单调递增，F(x)≤0不可能恒成立，当a>0时，令F ′(x)＝0，得x ＝1a或x ＝－12 (舍去)．当0<x<1a 时，F ′(x)>0，当x>1a 时，F ′(x)<0，故F(x)在(0，＋∞)上有最大值F(1a )，由题意F(1a )≤0恒成立，即ln 1a ＋1a－1≤0，令φ(a)＝ln 1a ＋1a －1，则φ(a)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，故ln 1a ＋1a－1≤0成立的充要条件是a ≥1. 答案:[1，＋∞)16.【解析】由题意得p 和q 均是假命题，由p:x 2-2ax+3a-2＞0恒成立，Δ=4a 2-4(3a-2)＜0得1＜a ＜2,⌝p 真：a ≥2或a ≤1，由q ：当a=0时，不满足,当a ≠0时，020,a 10a⎧⎪∆⎪-⎪⎨⎪⎪⎪⎩＞＜＞得0＜a ＜1,⌝q 真：a ≥1或a ≤0,综上，由p 假和q 假得a ≤0或a=1或a ≥2.17.【解析】设直线OP 的方程为y=kx,P 点的坐标为(x,x 2),则()()x2220x kx x dx x kx dx,-=-⎰⎰ 即23x3220x 1111(kx x )(x kx )2332-=-，解得12kx 2-13x 3=83-2k-(13x 3-12kx 2),解得k=43,即直线OP 的方程为y=43x,所以点P 的坐标为(43,169).18.【解析】(1)函数f 1(x)2不属于集合A.因为f 1(x)的值域是[－2，＋∞)，所以函数f 1(x)－2不属于集合A.f 2(x)＝4－6·(12)x (x ≥0)属于集合A ，因为：①函数f 2(x)的定义域是[0，＋∞)；②f 2(x)的值域是[－2,4)；③函数f 2(x)在[0，＋∞)上是增函数．(2)是.∵f(x)＋f(x ＋2)－2f(x ＋1)＝6·(12)x (－14)<0， ∴不等式f(x)＋f(x ＋2)<2f(x ＋1)对任意的x ≥0恒成立．19.【解题指南】解答本题关键是借助图形得到函数所过的点，求出对应的解析式，进而求解（2）.【解析】(1)由题图1得，二次函数f(x)的顶点坐标为(1,2)， 故可设函数f(x)＝k(x －1)2＋2，又函数f(x)的图象过点(0,0)，故k ＝－2， 整理得f(x)＝－2x 2＋4x.由题图2得，函数g(x)＝log a (x ＋b)的图象过点(0,0)和(1,1)，故有a alog b 0a 2log (1b)1b 1⎧⎧∴⎨⎨⎩⎩＝，＝，＋＝，＝，∴g(x)＝log 2(x ＋1)(x>－1)．(2)由(1)得y ＝g(f(x))＝log 2(－2x 2＋4x ＋1)是由y ＝log 2t 和t ＝－2x 2＋4x ＋1复合而成的函数，而y ＝log 2t 在定义域上单调递增，要使函数y ＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，必须t ＝－2x 2＋4x ＋1在区间[1，m)上单调递减，且有t>0恒成立．由t ＝0得x t 的图象的对称轴为x ＝1.所以满足条件的m 的取值范围为20.【解析】(1)∵f(1)＝a ＋2＋c ＝5，∴c ＝3－a.① 又∵6<f(2)<11，即6<4a ＋c ＋4<11，② 将①式代入②式，得14a 33<<－， 又∵a 、c ∈N *，∴a ＝1，c ＝2. (2)由(1)知f(x)＝x 2＋2x ＋2.方法一：设g(x)＝f(x)－2mx ＝x 2＋2(1－m)x ＋2. ①当2(1m)2－－≤1，即m ≤2时，g(x)max ＝g （32）＝294－3m ，故只需294－3m ≤1，解得m ≥2512，又∵m ≤2，故无解． ②当2(1m)2－－>1，即m>2时，g(x)max ＝g(12)＝134－m ，故只需134－m ≤1，解得m ≥94.又∵m>2，∴m ≥94.综上可知，m 的取值范围是m ≥94.方法二：∵x∈[12，32]，∴不等式f(x)－2mx≤1恒成立⇔2(1－m)≤－(x＋1x )在[12，32]上恒成立．易知[－(x＋1x )]min＝－52，故只需2(1－m)≤－52即可．解得m≥94.【方法技巧】二次函数的最值求解技巧：当二次函数的定义域不是R时,求函数的最值，要充分利用函数的图象，重点关注开口方向和对称轴与所给定区间的关系：若对称轴不在区间内，则该区间是函数的单调区间，最值在两个端点处，反之，则必有一个在顶点处取，即函数的最值不在端点处，就在顶点处.21.【解析】（1）F(x)=f(x)+2=x2+bsinx-2+2=x2+bsinx，依题意，对任意实数x，恒有F(x)-F(-x)=0.即x2+bsinx-(-x)2-bsin(-x)=0,即2bsinx=0,所以b=0，所以f(x)=x2-2.（2）∵g(x)=x2-2+2(x+1)+alnx,∴g(x)=x2+2x+alnx,g′(x)=2x+2+ax.∵函数g(x)在（0，1）上单调递减，∴在区间（0，1）上，g′(x)=2x+2+ax =22x2x ax++≤0恒成立，∴a≤-(2x2+2x)在（0，1）上恒成立,而-(2x2+2x)在（0，1）上单调递减，∴a≤-4.（3）∵h(x)=ln(1+x 2)-12f(x)-k=ln(1+x 2)- 12x 2+1-k,∴h ′(x)=22x1x+ -x. 令h ′(x)= 22x1x+-x=0，解得x=0,-1,1, ∴当x<-1时，h ′(x)>0,当-1<x<0时，h ′(x)<0, 当0<x<1时，h ′(x)>0,当x>1时，h ′(x)<0, ∴h(x)极大值＝h(±1)=ln2+12-k, ∴h(x)极小值＝h(0)=1-k,所以①当k>ln2+12时，函数没有零点； ②当1<k<ln2+12时，函数有四个零点； ③当k<1或k=ln2+12时，函数有两个零点； ④当k=1时，函数有三个零点.。
世纪金榜高三理科数学一轮复习全套试题含答案：单元评估检测(四)
单元评估检测（四）（第四章） （120分钟 150分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知平面向量a 、b 共线，则下列结论中不正确的个数为( ) ①a 、b 方向相同②a 、b 两向量中至少有一个为0 ③∃λ∈R ，使b =λa④∃λ1,λ2∈R ，且λ12+λ22≠0,λ1a +λ2b =0 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.（2012·宁德模拟）已知i 是虚数单位，1i 2i+- =( )()()()()11133133A i B i C i Di55555555+ + + -3.(2012·汕头模拟)已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量A B=(1,1),n =(1,-1),且A C n ·=2，则B C n ·等于( )(A)-2 (B)2 (C)0 (D)2或-24.已知向量m 、n 满足m =(2,0)，n =(3,22在△ABC 中，A B 22,=+m n A C 26=-，m n D为BC 边的中点，则|A D |等于( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)85.已知复数z a i 1i+=-+i(a ∈R)，若z ∈R ，则a=( )(A)3 (B)-3 (C)1 (D)-1 6.（易错题）已知与i j 为互相垂直的单位向量，2,=-=+λa i j b i j 且与a b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）11A (,2)(2,)B ,)22221C (2,)(,)D (,)332-∞-⋃- +∞-⋃+∞ -∞（）（）［（）（）7.已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足12O B O A O C A B B C33=+，则∶=( )(A)1∶3 (B)3∶1 (C)1∶2 (D)2∶1 8.若△ABC 的三个内角A ，B ，C 度数成等差数列，且()A B A C B C +·=0，则△ABC 一定是( ) (A)等腰直角三角形 (B)非等腰直角三角形 (C)等边三角形 (D)钝角三角形9.（2012·莆田模拟）、、a b c 是单位向量且0,=a b 则()--（）a c b c 的最小值 为( )()(()()A 2B 2C 1D 1- - -10.（预测题）如图，△ABC 中，AD=DB ，AE=EC ，CD 与BE 交于F ，设A B,A C ,A F x y ===+，a b a b 则(x,y)为( )()()()()1122A (,) B (,)22331121C (,) D (,)3332二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11.（2012·泉州模拟）非零向量12、e e 不共线，若1212k k ++和ee e e 共线，则k 2-1=_____.12.若非零向量，，a b c 满足ab且⊥a c ，则()2+c a b =_______.13.(2012·厦门模拟)已知复数z z=是z 的共轭复数，则z 的模等于_______.14.已知平面上有三点A(1,-a),B(2,a 2),C(3,a 3)共线，则实数a=_______. 15.O 是平面α上一点，点A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足()()1O PO A A B A C P A P B P C2=+λ+λ=+，当时，·的值为_______.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(13分)已知AD 是△ABC 的高，若A(1,0),B(0,1),C(-1,-1)，试求向量A D 的坐标.17.(13分)设存在复数z 同时满足下列条件：(1)复数z 在复平面内的对应点位于第二象限; (2)z ·z +2iz=8+ai(a ∈R). 试求a 的取值范围.18.(13分)已知向量a =(3,-2),b =(-2,1),c =(7,-4)，是否能以a ，b 作为平面内所有向量的一组基底？若能，试将向量c 用这一组基底表示出来；若不能，请说明理由.19.(13分)在平面直角坐标系xOy 中，点P(12,cos 2θ)在角α的终边上，点Q(sin 2θ，-1)在角β 的终边上，且1O P O Q .2=-·(1)求cos2θ的值; (2)求sin(α+β)的值.20.（14分）（2012·龙岩模拟）设向量a cosx), b =(cosx,cosx)(0<x<2π).（1）若ab,求tanx 的值；（2）求函数f(x)=a b 的最小正周期和函数最大值及相应x 的值. 21.(14分)已知双曲线x 2-y 2=2的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A ，B 两点，点C 的坐标是(1,0). (1)证明：C A C B ·为常数; (2)若动点M 满足C M C A C B C O=++ (其中O 为坐标原点)，求点M 的轨迹方程.答案解析1.【解析】选C.若a 、b 均为非零向量，则由a ∥b 知a 、b 方向相同或相反，故①②不正确；若a =0，b ≠0，则不存在实数λ使b =λa ，故③不正确；若a 、b 均为零向量，则④正确，若a ≠0，则由两向量共线知，存在λ≠0，使b =λa 即λa -b =0，则④正确，综上，只有④正确，故选C.2.【解析】选B.()()21i 2i 1i 23i i13i 13i.2i55555++++++====+-3.【解析】选B.因为()A BA CB CA CBC =-=-，n n n n ····又()()A B 1,11,1110=-=-=，n ··所以B CA C 2.==n n ··4.【解题指南】由D 为BC 边的中点可得()1A D AB AC AD 2=+，再用、表示m n 即可.【解析】选A.∵D 为BC 边的中点,∴()11A DA B A C (2226)22=+=++-m n m n()(32222,02(,1,,22=-=-=-m n∴|A D |=2. 5.【解析】选B.∵()()()()ai 1i z i1i 1i ++=+-+()()a 1a 1ia 1a 3i i222a 3z R 0,a 3.2-++-+=+=++∈∴=∴=-，6.【解题指南】设a 、b 的夹角为θ，由θ为锐角可得0＜cos θ=a b a b·＜1，进而可求出λ的取值范围. 【解析】选A.∵2a ====||同理可求=b()222 ()(2)212,=-+λ=+λ--λ=-λ又a b i j i j i i j j ···设a 、b 的夹角为θ，则0°＜θ＜90°, cos θ=12-λ=a b a b·由0＜cos θ＜1得λ＜-2或-2＜λ＜12.【误区警示】θ为锐角⇒0＜cos θ＜1，易忽略cos θ＜1而误选D.7.【解题指南】把目标向量A B B C 、用已知向量O A O B O C 、、表示是解题的关键. 【解析】选D.因为12111O B O A O C O B O C O A O C C B C A ,33333=+-=-=，所以，得又222O B O AO A O C A B A C 333-=-+=，得，所以21A B B C2133==∶∶∶，故选D.8.【解析】选C.∵()A B A C B C +·=0，()()22A B A C A C A B0,A CA B0,A C A B ∴+-=∴-==即，·又A 、B 、C 度数成等差数列，∴B=60°,从而C=60°， A=60°,∴△ABC 为等边三角形. 9.【解析】选D.()()()2112,--=-++=-+≥-（）a c b c ab a bc c b ac当且仅当+a b 与c 同向时取得最小值.10.【解题指南】利用B 、F 、E 三点共线，D 、F 、C 三点共线是解答本题的关键，而用两种形式表示向量A F 是求x,y 的桥梁. 【解析】选C.11A B ,A C B E ,D C .22===-=-，得a b b a b a 因为B ，F ，E 三点共线，令()1B F t B E ,A F A Bt B E 1t t .2==+=-+则a b 因为D ，F ，C 三点共线，令D F s D C ,=则()1A F A D s D C 1s s .2=+=-+a b 根据平面向量基本定理得111t s 22,1s t 2⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2111t ,s ,x ,y ,3333====得即(x,y)为(13,13)，故选C.11.【解析】由1212k k ++与e e e e 共线知存在λ∈R ，使()121212k k k ,+=λ+=λ+λee e e e e22k ,k 1k 10.1k=λ⎧∴∴=∴-=⎨=λ⎩， 答案：0 12.【解析】∵()0.220.⊥∴⊥==∴+=+=且，，从而a b a c b c c b c a c a b c a c b ·····答案：013.【解析】∵(2i i i zi,-+--===-∴z =i,∴|z |=1. 答案：114.【解析】∵A B =(1,a 2+a),B C =(1,a 3-a 2), 又∵A 、B 、C 三点共线，∴A B ∥B C , ∴1×(a 3-a 2)-(a 2+a)×1=0，即a 3-2a 2-a=0, ∴a=0或a=1答案：0或115.【解析】由已知得()O P O A A B A C -=λ+，即()A P AB AC =λ+，当()11A P A B A C ,22λ==+时，得()2A P A B A C ,A P A B A C A P ,B P P C P B P C P B B P ,P A P B P CP A 0.∴=+-=-∴=∴+=+=∴+==即，00··答案：0 16.【解析】设B DB C ,=λ又B C =(-1,-2),则B D =(-λ,-2λ), ∴A DA B B D=+=(-1,1)+(-λ,-2λ)=(-1-λ,1-2λ), 由A DB C A D B C⊥，得·=0,即(1+λ)+2(2λ-1)=0，解得λ=15, ∴63A D(,).55=-17.【解析】设z=x+yi(x,y ∈R)，由(1)得x ＜0,y ＞0. 由(2)得x 2+y 2+2i(x+yi)=8+ai,即x 2+y 2-2y+2xi=8+ai.由复数相等，得22x y 2y 8 2x a ⎧+-=⎨=⎩①②由①得x 2=-(y-1)2+9, 又y ＞0,∴x 2≤9,又x ＜0, ∴-3≤x ＜0,∴-6≤a ＜0. 即a 的取值范围为［-6,0). 18.【解析】∵a =(3,-2),b =(-2,1), 3×1-(-2)× (-2)=-1≠0,∴a 与b 不共线，故一定能以a , b 作为平面内所有向量的一组基底. 设c =λa +μb ，即(7,-4)=(3λ,-2λ)+(-2μ,μ)=(3λ-2μ，-2λ+μ),∴3271,242λ-μ=λ=⎧⎧⎨⎨-λ+μ=-μ=-⎩⎩，解得∴2.=-c a b19.【解析】(1)∵2211O P O Qs in c o s ,22=θ-θ=-·()22221c o s ,c o s 22c o s 1.332c o s 42s in ,5113c o s .5∴θ=∴θ=θ-=θα===α===同理sin β2c o s β=又∵sin 2θ=1-cos 2θ=13,∴s in c o s 10β=-β=∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=43(510510⨯+⨯-=-20.【解析】（1）∵ab,∴cos 2x=0,∵0<x<2π,∴cosx ≠0,∴cosx=0,s in x ta n x c o s x∴==(2)f(x)=a b2o s x ,1s in 2x o s 2x s in (2x )22232π=++=++∴最小正周期2T.2π==π 4x (0,),2x (,),23332x ,32πππ∈∴+∈πππ∴+=当即x12π=时，f(x)取得最大值，最大值为12+21.【解析】由条件，知F(2,0)，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), (1)当AB 与x 轴垂直时， 可知点A ，B的坐标分别为((2,,2,,此时((C A C B 1,1, 1.=-=-·当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是y=k(x-2)(k ≠±1), 代入x 2-y 2=2，有(1-k 2)x 2+4k 2x-(4k 2+2)=0. 则x 1,x 2是上述方程的两个实根，所以x 1+x 2=2212224k4k 2x x .k 1k1+=--，于是C A C B ·=(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2 =(x 1-1)(x 2-1)+k 2(x 1-2)(x 2-2) =(k 2+1)x 1x 2-(2k 2+1)(x 1+x 2)+4k 2+1 =()()()2222222k14k 24k 2k14k 1k 1k 1+++-++--=(-4k 2-2)+4k 2+1=-1. 综上所述，C A C B ·为常数-1. (2)设M(x,y)，则()()()()1122C M x 1,y C A x 1,y ,C B x 1,y ,C O 1,0.=-=-=-=-，由C MC A C B C O ,=++得12121212x 1x x 3x x x 2.y y y y y y-=+-+=+⎧⎧⎨⎨=++=⎩⎩，即 于是线段AB 的中点坐标为(x 2y ,22+).当AB 不与x 轴垂直时，1212yy y y 2,x 2x x x 222-==+---即()1212y yy x x .x 2-=--又因为A,B 两点在双曲线上，所以x 12-y 12=2，x 22-y 22=2，两式相减，得 (x 1-x 2)(x 1+x 2)=(y 1-y 2)(y 1+y 2), 即(x 1-x 2)(x+2)=(y 1-y 2)y.将y1-y2=y(x1-x2)代入上式，x2化简得x2-y2=4.当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M(2,0)，也满足上述方程.所以点M的轨迹方程是x2-y2=4.【方法技巧】求动点轨迹方程的技巧和方法(1)直接法：若动点的运动规律是简单的等量关系，可根据已知(或可求)的等量关系直接列出方程.(2)待定系数法：如果由已知条件可知曲线的种类及方程的具体形式，一般可用待定系数法.(3)代入法(或称相关点法)：有时动点P所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点P′的运动而运动，称之为相关点，若相关点P′满足的条件简单、明确(或P′的轨迹方程已知)，就可以用动点P的坐标表示出相关点P′的坐标，再用条件把相关点满足的轨迹方程表示出来(或将相关点坐标代入已知轨迹方程)就可得所求动点的轨迹方程的方法.(4)几何法：利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程.(5)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标间的关系，可选择一个(有时已给出)与所求动点的坐标x,y都相关的参数，并用这个参数把x,y表示出来，然后再消去参数的方法.。
2019世纪金榜理科数学10.9
80. 243
5.随机抛掷一枚骰子,则所得骰子点数ξ 的期望为( )
A.0.6
B.1
C.3.5
D.2
【解析】选C.抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ 123456
P
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
所以,E(ξ)= 1 1 ＋ 2 1 ＋ 3 1 ＋ 4 1 ＋ 5 1 ＋ 6 1
【解析】选B.①错误.期望是算术平均值概念的推广,是概率意 义下的平均值,反映了离散型随机变量取值的平均水平. ②正确.由于随机变量的取值是确定值,而每一个随机变量的概 率也是确定的,因此随机变量的均值是定值,即为常数;而样本数 据随着抽样的次数不同而不同,因此其平均值也不相同.
③正确.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离 均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越 小;方差或标准差越大,则偏离均值的平均程度越大. ④错误.均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况, 均值反映了平均水平,而方差则反映它们与均值的偏离情况.
3.两点分布与二项分布的均值和方差 (1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=_p_,D(X)=_p_(_1_-_p_)_. (2)若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X～B(n,p), 则E(X)=_n_p_,D(X)=_n_p_(_1_-_p_)_.
【考点自测】 1.(思考)下面的结论正确的是( ) ①期望值就是算术平均数,与概率无关; ②随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确 定; ③随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值 的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小; ④均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此 它们是一回事. A.①② B.②③ C.①②③ D.③④
《金新学案》高三数学一轮复习高考总复习测评卷 直线、平面、简单几何体(A、B) 章末质量检测 (文)
《金版新学案》高考总复习配套测评卷——高三一轮数学『理科』卷(九)直线、平面、简单几何体(A、B)—————————————————————————————————————【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)题号123456789101112答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．平面α外的一条直线a与平面α内的一条直线b不平行，则( )A．a∥\αB．a∥αC．a与b一定是异面直线D．α内可能有无数条直线与a平行2．正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是( )A.πa23B.πa22C．2πa2D．3πa23．若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为63，且底面边长为2，则高为( )A．1 B．2C．3 D．44．已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是A．若α∥β，则m⊥n B．若α⊥β，则m∥nC．若m⊥n，则α∥β D．若n∥α，则α∥β5．将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成的角的余弦值是( )A.22B.12C.34D.346．设有三个命题，甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．以上命题中，真命题的个数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个7．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形8．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )A.63B.33C.23D.139．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为( )A.12B.22C.32D.2410．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM( )A．和AC、MN都垂直B．垂直于AC，但不垂直于MNC．垂直于MN，但不垂直于ACD．与AC、MN都不垂直12．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部第Ⅱ卷(非选择题共90分)题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分二17 18 19 20 21 22得分二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若正三棱锥底面的边长为a，且每两个侧面所成的角均为90°，则底面中心到侧面的距离为________．14．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E为AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM＋ME最小，其最小值为________．15．a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的________(只填序号)．16．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如右图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．(1)求证：CD⊥PD；(2)求证：EF∥平面PAD.18．(本小题满分12分)在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，现沿AC折成二面角D－AC －B，使BD为异面直线AD、BC的公垂线．(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；(2)当a为何值时，二面角D－AC－B为45°.19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；(2)证明：线段PC的中点为球O的球心．20．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值；(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.21．(本小题满分12分)已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；22．(本小题满分12分)如图，M、N、P分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点．(1)若BMMA＝BNNC，求证：无论点P在D1D上如何移动，总有BP⊥MN；(2)若D1P：PD＝1∶2，且PB⊥平面B1MN，求二面角M－B1N－B的余弦值；(3)棱DD1上是否总存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1？证明你的结论．答案：一、选择题1．D2．B 设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知43R2＝16a2，即R2＝18a2，∴S球＝4πR2＝4π·18a2＝πa22.故选B.3．B 设高为h，则由22h2＋8＝63可得h＝2，也可建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．4．A 易知A 选项由m ⊥α，α∥β⇒m ⊥β，n ⊂β⇒m ⊥n ，故A 选项命题正确．5．D 设正方形边长为1，由题意易知∠CBC 1即为AD 与BC 1所成的角．设AC 与BD 相交于O ，易知△CC 1O为正三角形，故CC 1＝22，在△CBC 1中，由余弦定理可得所求余弦值为34.故选D.6．B 命题甲正确，命题乙不正确，命题丙不正确，故真命题个数为1，应选B 7．C 将直观图还原得▱OABC ， ∵O ′D ′＝2O ′C ′＝2 2 cm ， OD ＝2O ′D ′＝4 2 cm ， C ′D ′＝O ′C ′＝2 cm ， ∴CD ＝2 cm ， OC ＝CD 2＋OD 2＝22＋(42)2＝6 cm ， OA ＝O ′A ′＝6 cm ＝OC ， 故原图形为菱形．8．B 以正三棱锥O －ABC 的顶点O 为原点，OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建系， 设侧棱长为1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)， 侧面OAB 的法向量为O ＝(0,0,1)，底面ABC 的法向量为n ＝(13，13，13)，∴cos 〈O ，n 〉＝＝131·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝33. 9．D 过O 作A 1B 1的平行线，交B 1C 1于E ，则O 到平面ABC 1D 1的距离即为E 到平面ABC 1D 1的距离． 作EF ⊥BC 1于F ，易证EF ⊥平面ABC 1D 1，可求得EF ＝14B 1C ＝24.选D.10．D A 错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；B 错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；C 错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；D 对，由空间想象易知命题正确．11．A 以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a ，则D (0,0,0)、D 1(0,0,2a )、M (0,0，a )、A (2a,0,0)、C (0,2a,0)、O (a ，a,0)、N (0，a,2a )．∴O ＝(－a ，－a ，a )，M ＝(0，a ，a )，A ＝(－2a,2a,0)． ∴O ·A ＝0，M ·O ＝0， ∴OM ⊥AC ，OM ⊥MN .12．A ∵BA ⊥AC ，BC 1⊥AC ，BA ∩BC 1＝B ， ∴AC ⊥平面ABC 1.∵AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ABC 1，且交线是AB . 故平面ABC 1上一点C 1在底面ABC 的射影H 必在交线AB 上． 二．、填空题 13．【解析】 过底面中心O 作侧棱的平行线交一侧面于H ，则OH ＝13×22a ＝26a 为所求．【答案】26a 14．【解析】 取CC 1的中点F ，则ME ＝MF ，∴AM ＋ME ＝AM ＋MF ≥AF ＝(2a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝32a .【答案】 32a15．【解析】 由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故 ②不正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确； a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故 ④不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确． 【答案】 ① 16．【解析】 由PA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，得PA ⊥AE ，又由正六边形的性质得AE ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，得AE ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，∴AE ⊥PB ，①正确；又平面PAB ⊥平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PBC 不成立，②错；由正六边形的性质得BC ∥AD ，又AD ⊂平面PAD ，∴BC ∥平面PAD ，∴直线BC ∥平面PAE 也不成立，③错；在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°， ∴④正确． 【答案】 ①④ 三、解答题 17．【证明】 (1)∵PA ⊥平面ABCD ，而CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD .(2)取CD 的中点G ，连接EG 、FG . ∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点， ∴EG ∥AD ，FG ∥PD ， ∴平面EFG ∥平面PAD ， 又∵EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面PAD . 18．【解析】 (1)证明：由题知BC ⊥BD ，又BC ⊥AB .∴BC ⊥面ABD ，∴面ABC ⊥面ABD .(2)作DE ⊥AB 于E ，由(1)知DE ⊥面ABC ，作EF ⊥AC 于F ，连DF ，则DF ⊥AC ，∴∠DFE 为二面角D －AC－B 的平面角．即∠DFE ＝45°.EF ＝DE ＝22DF ，∵DF ＝a a 2＋1，AF ＝a 2a 2＋1且EF AF ＝BC AB，解得a 2＝22，a ＝482.19．【解析】 (1)证明：∵AC ＝BC ，M 为AB 的中点，∴CM ⊥AM .∵PA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，∴PA ⊥CM .∵AB ∩PA ＝A ，AB ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴CM ⊥平面PAB . ∵CM ⊂平面PCM ，∴平面PAB ⊥平面PCM .(2)证明：由(1)知CM ⊥平面PAB . ∵PM ⊂平面PAB ， ∴CM ⊥PM .∵PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥AC .如图，，取PC 的中点N ，连结MN 、AN .在Rt △PAC 中，点N 为斜边PC 的中点，∴AN ＝PN ＝NC .在Rt △PCM 中，点N 为斜边PC 的中点，∴MN ＝PN ＝NC . ∴PN ＝NC ＝AN ＝MN .∴点N 是球O 的球心，即线段PC 的中点为球O 的球心． 20．【解析】 (1)如图所示，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D －xyz .∵∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A (2,0,0)，C (0,1,0)，B (2,4,0)，由PD ⊥平面ABCD ，得∠PAD 为PA 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PAD ＝60°.在Rt △PAD 中，由AD ＝2，得PD ＝23， ∴P (0,0,23)．(2)∵＝(2,0，－23)， ＝(－2，－3,0)， ∴cos<，>＝2×(－2)＋0×(－3)＋(－23)×0413＝－1313， 所以PA 与BC 所成角的余弦值为1313(3)证明：∵M 为PB 的中点， ∴点M 的坐标为(1,2，3)，∴＝(－1,2，3)，＝(1,1，3)， ＝(2,4，－23)，∵·＝(－1)×2＋2×4＋3×(－23)＝0， ·＝1×2＋1×4＋3×(－23)＝0， ∴⊥，⊥，∴PB ⊥平面AMC ∵PB ⊂平面PBC∴平面AMC ⊥平面PBC . 21．【解析】 (1)∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴SA ⊥BD .∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面SAC . ∵BD ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面SAC .(2)设AC ∩BD ＝F ，连SF ，则SF ⊥BD . ∵AB ＝2.∴BD ＝2 2.∵SF ＝SA 2＋AF 2＝42＋(2)2＝3 2∴S △SBD ＝12BD ·SF＝12·22·32＝6. 设点A 到平面SBD 的距离为h ， ∵SA ⊥平面ABCD ， ∴13·S △SBD ·h ＝13·S △ABD ·SA ， ∴6·h ＝12·2·2·4，∴h ＝43，∴点A 到平面SBD 的距离为43.22．【解析】 (1)证明：连结AC 、BD ，则BD ⊥AC ，∵BM MA ＝BNNC， ∴MN ∥AC ，∴BD ⊥MN . 又∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴DD 1⊥MN ，∵BD ∩DD 1＝D ，∴MN ⊥平面BDD 1.又P 无论在DD 1上如何移动，总有BP ⊂平面BDD 1， ∴无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN .(2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系．设正方体的棱长为1，AM ＝NC ＝t ，则M (1，t,0)，N (t,1,0)，B 1(1,1,1)，P (0,0，23)，B (1,1,0)，A (1,0,0)，∵＝(0,1－t,1)，B ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，23 又∵BP ⊥平面MNB 1， ∴·B ＝0，即t －1＋23＝0，∴t ＝13，∴＝(0，23，1)，M ＝(－23，23，0)．设平面MNB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )， 由，得x ＝y ，z ＝－23y .令y ＝3，则n ＝(3,3，－2)． ∵AB ⊥平面BB 1N ，∴A 是平面BB 1N 的一个法向量，A ＝(0,1,0)． 设二面角M －B 1N －B 的大小为θ， ∴cos 〈n ，A 〉＝|(3，3，－2)·(0，1，0)|22＝32222. 则二面角M －B 1N －B 的余弦值为32222.(3)存在点P ，且P 为DD 1的中点， 使得平面APC 1⊥平面ACC 1. 证明：∵BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1， ∴BD ⊥平面ACC 1.取BD 1的中点E ，连PE ， 则PE ∥BD ，∴PE ⊥平面ACC 1. ∵PE ⊂平面APC 1，∴平面APC 1⊥平面ACC 1.。
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单元评估检测（九）（第九、十章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012·福州模拟)如图是某次大赛中，7位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为( )(A)83 (B)84(C)85 (D)862.（2012·辽阳模拟）某单位员工按年龄分为A、B、C三个组，其人数之比为5∶4∶1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知，则该单位员工总数为( )C组中甲、乙两人均被抽到的概率为125（A）110 （B）100 （C）90 （D）80 3.有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下：甲乙现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好，应检验哪项指标( )（A）期望与方差（B）正态分布（C）K2 （D）概率4.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查.②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈.③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是( )（A）①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样（B）①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样（C）①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样（D）①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样5.(2012·杭州模拟)下面的程序语句输出的结果S为( )(A)17 (B)19(C)21 (D)236. (2012·泉州模拟)如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )(A)62 (B)63 (C)64 (D)657.(预测题)某样本数据的频率分布直方图的部分图形如图所示，则数据在[55,65)的频率约为( )(A)0.025 (B)0.02 (C)0.5 (D)0.058. 如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )(A)a 1>a 2 (B)a 2>a 1(C)a 1＝a 2 (D)a 1、a 2的大小不确定 9.已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )（A ）求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和(n ∈N *)（B ）求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和(n ∈N *) （C ）求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和(n ∈N *)（D ）求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和(n ∈N *) 10.某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K 2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是( )（A ）90% （B ）95% （C ）97.5% （D ）99.5% 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11.如图，判断正整数x 是奇数还是偶数，①处应填______.12.如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的n 值为_____.13.某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取______名学生.14.(2012·厦门模拟)如图所示的是某班60名同学参加2011年高中数学毕业会考所得成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，根据图中可得出的该班不及格(60分以下)的同学的人数为_____.15.(2012·龙岩模拟)已知x、y的取值如下表所示：若y与x线性相关，且y$＝0.95x+a,则a＝_____.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.（13分）（2012·唐山模拟）某校高三年级共有450名学生参加英语口语测试，其中男生250名，女生200名，现按性别用分层抽样的方法从中抽取45名学生的成绩.（1）求抽取的男生和女生的人数.（2）男生甲和女生乙至少有1人被抽到的概率.（3）从男生和女生中抽查的结果分别如下表1和表2：表1：表2：分别估计男生和女生的平均分，并估计这450名学生的平均分.（精确到0.01）17.（13分）给出算法：第一步：输入大于2的整数n.第二步：依次检验从2到n－1的整数能不能整除n，并输出所有能整除n 的数.试将上述算法写成程序.18.（13分）（2012·济南模拟）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值大于或等于98且小于106的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（1）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（2）由以上统计数据填写2×2列联表，问在犯错误的概率不超过0.1的前提下是否可认为“A 配方与B 配方的质量有差异”.19.（13分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a $$$＝＋；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？20.(14分)(易错题)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；(2)经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为x甲＝85，x乙＝85，甲的方差为D1＝35.5，乙的方差为D2＝41.现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加较合适？请说明理由.21.（14分）某商场庆“五一”实行优惠促销，规定若购物金额x在800元以上(含800元)打8折；若购物金额在500元以上(含500元)打9折；否则不打折.请设计一个算法程序框图，要求输入购物金额x，能输出实际交款额，并写出程序.答案解析1.【解析】选C.由题设去掉最高分90，最低分73，所剩数据的平均数为838287858885.5＝++++2.【解析】选B.设甲被抽到的概率为x,单位员工总数为a,由题意知乙被抽到的概率为x. ∴21x ,25=∴x=1,5∴a 5,201=∴a=100, 故选B.3.【解析】选 A.应该评价抗拉强度的大小和波动情况，故应从期望和方差入手.4.【解析】选 A.观察所给的三组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，是简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号，是系统抽样，③个体有明显的差异，所以选用分层抽样法，是分层抽样，故选A. 【方法技巧】简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法,简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性是相等的.5.【解题指南】该程序是当型循环，进入依次执行循环，直至结束. 【解析】选A.i 从1开始，依次取3,5,7,9，…，当i<8时，循环继续进行，故当i ＝9时，跳出循环，故输出S ＝2×7＋3＝17.6.【解题指南】求解本题需看懂茎叶图，找出甲、乙的中位数，相加即得. 【解析】选C.由题意知：甲的比赛得分由高到低为： 41，39，37，34，28，26，23，15，13 乙的比赛得分由高到低为：47，45，38，37，36，33，32，25，24∴甲、乙的中位数分别为28，36，故和为64，选C.7.【解析】选A.在图形中并没有明确的数据分布在区间[55,65)中，但是有[50,60)，[60,70)段上的频率分布，据此估计样本在[55,65)上的频率应该在[50,60)和[60,70)的频率分布之间,因为在[50,60)之间的频率为0.02，在[60,70)之间的频率为0.03,由选项可知，选A.8.【解析】选B.∵甲、乙分数在70、80、90各分数段的打分评委人数一样多，先去掉一个最高分和一个最低分，两名选手的分数都只剩十位数为8的，故只需看个位数的和，乙的个位数字总和为25，甲的个位数字总和为20， ∴a 2>a 1，故选B.9.【解析】选 B.由所给的程序框图可知其算法为求111111S 246810210⋯⨯＝＋＋＋＋＋＋的值，共有10项，故选B. 10.【解析】选C.∵K 2＝6.023＞5.024，∴市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是1-0.025=97.5%.故选C.11.【解析】由奇数、偶数性质知正整数x 除以2的余数为1时为奇数，不为1时为偶数，再由判断框意义知①处应为r ＝1？ 答案：r ＝1?12.【解析】依次执行程序得n=3,f(x)=x 3;n=3-2=1,f(x)=x;n=1-2=-1,f(x)=x -1,此时f(x)在(0,+∞)上单调递减，满足退出条件，故输出n 的值为-1. 答案：-113.【解析】由已知，C 专业有1 200-380-420=400名学生，根据分层抽样的方法，可得C 专业应抽取400120401 200⨯=名学生. 答案：4014.【解析】由频率分布直方图可知不及格人数为60×(0.01+0.015)×10=15. 答案：1515.【解析】由于回归直线方程必过(,x y ), 而()0,1x 13424=+++=().....,1y 22434867454=+++= ∴4.5=0.95×2+a,解得a=2.6. 答案：2.616.【解析】(1)由抽样方法知： 抽取的男生人数为4525025450⨯=，抽取的女生人数为4520020450⨯=， (2)男生甲和女生乙被抽到的概率均为0.1.所以男生甲和女生乙至少有1人被抽到的概率为1-（1-0.1）2=0.19. (3)由(1)知：m=25-（3+8+6）=8，n=20-（2+5+5）=8，据此估计男生平均分为65375885895681.8.25⨯+⨯+⨯+⨯=女生平均分为65275585895583.20⨯+⨯+⨯+⨯= 这450名学生的平均分为81.825832082.33.45⨯+⨯≈ 17.【解析】18.【解析】(1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为4222640.64,100100+==所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.64. 由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为4232740.74100100+==，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.74.(2)2×2列联表：根据题中的数据计算：K 2的观测值2n ad bc k a b c d a c b d -=++++（）=220064267436 2.337 5;138********⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯（） 由于2.337 5<2.706,所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为“A 配方与B 配方的质量有差异”. 19.【解析】(1)如图所示：(2)4i i i 1x y 3 2.543546 4.566.5=⨯⨯⨯⨯∑＝＋＋＋＝， 3456x 4.54+++＝＝， 2.534 4.5y 3.54+++＝＝， 422222i i 1x 345686=∑＝＋＋＋＝，266.54 4.5 3.566.563b 0.7864 4.58681-⨯⨯--⨯-$＝＝＝， a y bx 3.50.7 4.50.35.-⨯$$＝＝－＝故线性回归方程为y $＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故能耗减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤).20.【解析】(1)作出如图所示的茎叶图，易得乙组数据的中位数为84.(2)派甲参赛比较合适，理由如下：∵x甲＝85，x乙＝85，D1＝35.5，D2＝41，∴x甲＝x乙，D1<D2，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适.【变式备选】某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生的失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.【解析】(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分＝数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为225.0.08(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，÷10＝0.016.频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，＝故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是90.6.1521.【解题指南】由题意知，需分情况交款，应用条件结构和条件语句解答本题.【解析】程序框图：程序：。