第六节空间直线及其方程教案(最新整理)

重庆科创职业学院授课教案
课名：高等数学（上）教研窒：高等数学教研室
班级：编写时间：
课题：
第六节空间直线及其方程
教学目的及要求：
介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点
教学重点：
1.直线方程
2.直线与平面的综合题
教学难点：1.直线的几种表达式 2.直线与平面的综合题
教学步骤及内容：
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看成是两个平面的交线。

故其一般方程为：
⎧A1x +B1y +C1z +D1= 0
⎨
A x +
B y +
C z +
D = 0
⎩ 2 2 2 2
二、空间直线的对称式方程与参数方程
平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。

已知直线上的一点M 0 (x0 , y0 , z0 ) 和它的一方向向量s = {m, n, p}，
设直线上任一点为M (x, y, z) ，那么M 0M 与s 平行，由平行的坐标表示
式有：
x -x
0 =y -y
0 =
z -z
m n p
此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。

（写时参照书上注释）如设
x -x
0 =y -y
0 =
z -z
0 =t
m n p
就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）
旁批栏：
m 1m 2 + n 1n 2 + p 1 p 2
m 2 + n 2 + p 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2 1 1 1 2 2
2 ⎨ ⎩
2x - y + 3z + 4 = 0 = 1 ⇒ ⎨ 0 0 0 ⎧x = x 0 + mt ⎪
y = y + nt ⎪ z = z + pt ⎩ 0
三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。

例 1：用对称式方程及参数方程表示直线⎧⎨
x + y + z +1 = 0 ．
旁批栏：
解：在直线上任取一点(x 0 , y 0 , z 0 ) ，取 x 0 ⎧ y + z + 2 = 0 ⎩ y 0 - 3z 0 - 6 = 0
，解得
y 0 = 0, z 0 = -2 ，即直线上点坐标(1,0,-2) ．
因所求直线与两平面的法向量都垂直，取 s = n 1 ⨯ n 2 = {4,-1,-3} ，对
称式方程为：
x -1 = 4 y - 0 = -1 z + 2
- 3
参数方程： ⎧⎪x = 1+ 4t
⎨ y = -t
． ⎪⎩z = -2 - 3t
例 2： 一直线过点 A (2,-3,4) ，且和 y 轴垂直相交，求其方程．
解：因为直线和 y 轴垂直相交，所以交点为 B (0,-3, 0) ，于是
→
s = BA = {2,0,4}，
所求直线方程：
x - 2 = 2
y + 3 = 0
z - 4
4
三、两直线的夹角： 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。

设 两 直 线 L 1 和 L 2 的 方 向 向 量 依 次 为 s 1 = {m 1 , n 1 , p 1} 和
s 2 = {m 2 , n 2 , p 2 }，两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算
cos
=
两直线 L 1 和 L 2 垂直： m 1m 2 + n 1n 2 + p 1 p 2 = 0
（充分必要条件）
两直线 L 1 和 L 2 平行： m 1
m 2 = n 1 n 2
=
p 1
p 2 （充分必要条件）
例 3：求过点(-3, 2, 5) 且与两平面 x - 4z = 3 和 2x - y - 5z = 1的交线平行
的直线方程．
解：设所求直线的方向向量为 s = {m , n , p }，根据题意知，直线的方向向量
与两个平面的法向量都垂直，所以可以取 s = n 1 ⨯ n 2 = {-4,-3,-1}，所求直 x + 3 y - 2 z - 5
A 2 +
B 2 +
C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2
Am + Bn + C p
) ⎩
A
四、直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时， 直线与它在平面上的投影直线的夹角
(0 ≤
≤
称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平 旁批栏： 2 面的夹角为 。

2
设直线 L 的方向向量为 s = {m , n , p } ，平面的法线向量为 n = {A , B , C }，
直线与平面的夹角为，那么
sin
=
直线与平面垂直：s //n ， 相当于 = m B =
C n p
（充分必要条件）
直线与平面平行：s ⊥ n ，相当于 Am + Bn + Cp = 0
（充分必要条件）
平面束方程：
⎧x + y - z - 1 = 0
过平面直线⎨x - y + z + 1 = 0 的平面束方程为
( A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) +
( A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0
五、杂例：
例 1：求与两平面 x －4z ＝3 和 2x －y －5z ＝1 的交线平行且过点（－3，2，5）
的直线方程。

解：由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量 s 一定与两平面的法线向量垂直，所以
i s = 1 2 j k
0 - 4 = -(4i + 3 j + k ) - 1 - 5
因此，所求直线的方程为
x + 3 = y - 2 = z - 5
4 3 1
⎩
⎩
例 2：求过点（2，1，3）且与直线
x + 1 = 3 y - 1 = 2 z
垂直相交的直线方程． - 1
解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向 向量为平面的法线向量），这平面的方程为
3(x - 2) + 2( y - 1) - (z - 3) = 0
旁批栏：
再求已知直线与这平面的交点。

将已知直线改成参数方程形式为
x = -1+3t y =1+2t z=-t
3
2 并代入上面的平面方程中去，求得 t ＝ ，从而求得交点为( 7 7 , 1
3 ,- 7
3
) ．
7
以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量 s 即为所求直线的方向向量：
s = {2 - 2 ,1 - 13 ,3 + 3} = 6
{2,-1,4}
故所求直线方程为
7 7 7 7
x - 2 = y - 1 = z - 3
2 - 1 4
⎧x + y - z - 1 = 0
例 3：求直线⎨x - y + z + 1 = 0 在平面 x + y + z = 0 上的投影直线的方
程．
解：应用平面束的方法．
⎧x + y - z - 1 = 0 设过直线⎨x - y + z + 1 = 0 的平面束方程为
(x + y - z - 1) +
(x - y + z + 1) = 0
即
(1 + )x + (1 - ) y + (-1 + )z + - 1 = 0
这平面与已知平面 x + y + z = 0 垂直的条件是
解之得
(1 +
) ⋅1 + (1 - ) ⋅1 + (-1 + ) ⋅1 = 0
= -1
代入平面束方程中得投影平面方程为
y －z －1＝0
所以投影直线为
⎩
⎧ y - z - 1 = 0 ⎨
x + y + z = 0
小结与思考：本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位置关系），直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系）。

作业：见作业本 7.6
旁批栏：
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At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。