四点共圆基本判断方法(超全)
四点共圆的9种判定方法证明
四点共圆的9种判定方法证明嘿，咱今天就来聊聊四点共圆的 9 种判定方法证明。
你可别小瞧了这四点共圆，它在数学里那可是相当重要呢！先来说说第一种方法，要是同一底边的两个同侧顶角相等，那这四个点肯定共圆。
就好像是四个小伙伴，他们有着共同的特点，自然而然就聚在一起啦。
再看看第二种，要是线段同侧的两点对线段两端点的张角相等，那它们也能共圆。
这就好比是大家有着相同的“磁场”，相互吸引着围成一个圆。
还有呢，外角等于内对角的四边形，那肯定也是四点共圆的。
你想想看，这就像是一个独特的标志，一下子就把它们联系在一起了。
若两个三角形有一条公共边，且在公共边同侧又有相等的顶角，那这四个点也能共圆。
这就好像是一个大家庭，有着亲密的关系把大家凝聚在一起。
再有就是相交弦定理的逆定理啦，如果两条线段相交，交点把每条线段分成的两条线段的积相等，那这四点不就共圆了嘛。
割线定理的逆定理也不能落下呀，如果从一点向一条线段引两条割线，这两条割线和这条线段交出的两条线段的积相等，嘿，它们也能共圆呢。
同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，这不是显而易见的嘛。
四边形的一组对角互补，那它们也肯定共圆咯。
最后一种，四边形的一个外角等于它的内对角，那也能说明四点共圆呀。
你说这四点共圆的判定方法是不是很神奇？就像一把钥匙，能打开数学世界里的一扇扇奇妙之门。
在解题的时候，只要我们灵活运用这些方法，就能轻松搞定那些看似复杂的问题。
数学的世界就是这么充满魅力，四点共圆只是其中的一小部分。
我们在探索的过程中，不断发现新的规律和方法，就像是在挖掘宝藏一样。
每一个发现都让我们兴奋不已，让我们更加热爱数学这个神奇的领域。
所以呀，大家可别小看了这四点共圆的 9 种判定方法证明，它们可是我们在数学海洋中航行的重要指引呢！好好掌握它们，让我们在数学的天空中自由翱翔吧！。
初中四点共圆的6种判定方法证明
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四点共圆的判定与性质
四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定〔一〕判定方法1、假设四个点到一个定点的距离相等，那么这四个点共圆。
2、假设一个四边形的一组对角互补〔和为180°〕，那么这个四边形的四个点共圆。
3、假设一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个点共圆。
4、假设两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、假设AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，那么A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、假设AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，那么A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、假设四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，那么四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
〔二〕证明1、假设四个点到一个定点的距离相等，那么这四个点共圆。
假设可以判断出OA=OB=OC=OD，那么A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、假设一个四边形的一组对角互补〔和为180°〕，那么这个四边形的四个点共圆。
假设∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，那么点A、B、C、D四点共圆。
3、假设一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个点共圆。
假设∠B=∠CDE，那么A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、假设两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
假设∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，那么A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
如图2，假设∠A=∠C=90°，那么A 、B 、C 、D 四点共圆。
6、假设AB 、CD 两线段相交于P 点，且PA ×PB=PC ×PD ，那么A 、B 、C 、D 四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
四点共圆的判定方法都有哪些
四点共圆的断定方法都有哪些假如同一平面内的四个点在同一个圆上，那么称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆〞。
共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。
假如同一平面内的四个点在同一个圆上，那么称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆〞。
共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。
四点共圆怎么断定断定1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，假设能证明这一点，即可肯定这四点共圆．推论：证被证共圆的点到某一定点的间隔都相等，从而确定它们共圆．即连成的四边形三边中垂线有交点，可肯定这四点共圆．断定2 1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，假设能证明其顶角相等（同弧所对的圆周角相等〕，从而即可肯定这四点共圆.2：把被证共圆的四点连成四边形，假设能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
断定3把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，假设能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆〔相交弦定理的逆定理〕；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，假设能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．〔割线定理的逆定理〕断定4四边形ABCD中，假设有AB*CD+AD*BC二AC*BD即两对边乘积之和等于对角线乘积，那么ABCD四点共圆。
该方法可以由托勒密定理逆定理得到。
托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形ABCD，总有AB*CD+AD*BOAC*BD等号成立的条件是ABCD四点共圆。
断定5西姆松定理逆定理：假设一点在一三角形三边上的射影共线，那么该点在三角形外接圆上。
四点共圆性质假设A、B、C D四点共圆，圆心为0,延长AB至E, AC BD交于P性质一：/ A+Z C=180°,Z B+Z D=180°性质二：/ ABCN ADC〔同弧所对的圆周角相等〕性质三：/CBE2 D〔外角等于内对角〕性质四：△AB3A DCP〔三个内角对应相等〕性质五：A P X CP=BP< DP〔相交弦定理〕性质六：A B X CD+ADX CB=A« BD〔托勒密定理〕。
四点共圆的判定与性质
四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB CD两线段相交于P点，且PA X PB=PO< PD,则A、B C D四点共圆（相交弦定理的逆定理）。
7、若AB CD两线段延长后相交于P。
且PA X PB=P X PD,则A、B、C D四点共圆（割线定理）。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆（托勒密定理的逆定理。
（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OI则A B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若/ A+Z C=180°或/ B+Z D=180°，则点A、B、C D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若Z B=ZCDE则A、B、C D四点共圆证法同上。
4 、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若Z A=Z D或Z ABD=Z ACD贝U A、B C D四点共圆。
D2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
P点，且PAX PB=PC< PD,则A、B C、D四点共圆（相交弦6、若AB CD两线段相交于定理的逆定理）。
如图2,若/ A=Z C=90° 贝U A B、C、D四点共圆。
四点共圆基本判断方法(超全)
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假设四点不共圆，然后根据圆的性质 和几何定理进行推理，得出矛盾。通 过排除法，证明四点必须共圆。
利用角平分线性质证明四点共圆
总结词
利用角平分线的性质，结合三角形内外角关 系，证明四点共圆。
详细描述
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角 的两边距离相等。结合三角形内外角关系， 可以推导出四点共圆的条件。具体来说，如 果一个角的角平分线将另外两个角分为两个 相等的部分，则这四个点共圆。
详细描述
欧拉定理指出，对于任意一个凸多边形，其所有边的长度之和等于其所有顶点的内角之和。此外，对 于任意一个凹多边形，其所有边的长度之和小于其所有顶点的内角之和。通过比较四个点的坐标和对 应的角度，可以利用欧拉定理来判断四点是否共圆。
塞瓦定理
总结词
塞瓦定理是判断四点共圆的另一种重要 定理，它基于三角形和线的性质，通过 比较三角形的高和对应的距离来判断四 点是否共圆。
四点共圆基本判断方法( 超全)
• 判断四点共圆的定理 • 判断四点共圆的条件 • 判断四点共圆的证明方法 • 判断四点共圆的实际应用
01
判断四点共圆的定理
托勒密定理
总结词
托勒密定理是判断四点共圆的重要定理之一，它基于三角形和圆的性质，通过比较三角形的边长和对应的半弦长 来判断四点是否共圆。
详细描述
托勒密定理指出，对于任意一个四边形，其对角线互相平分，则该四边形的四个顶点共圆。反之，如果四个点共 圆，则其对角线必互相平分。托勒密定理的应用非常广泛，可以通过它来判断四点是否共圆，也可以用来证明一 些与圆和三角形相关的性质和定理。
欧拉定理
总结词
欧拉定理是几何学中的重要定理之一，它涉及到多边形的边长、内角和及对应顶点的坐标。通过比较 多边形的边长和内角和，可以判断四点是否共圆。
四点共圆的判定方法
四点共圆的判定方法四点共圆是指四个点在同一圆周上，这种情况在几何学中经常会遇到。
那么如何判断四个点是否共圆呢？本文将介绍四种方法，包括解析几何法、向量法、余弦定理法和三角形面积法。
以下是详细的方法：一、解析几何法1. 假设已知四个点的坐标分别为A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3,y3）和D（x4, y4）。
2. 计算出AB、AC和AD三条线段的长度，分别记作a、b和c。
3. 根据勾股定理可以求出三角形ABC、ABD和ACD的面积S1、S2和S3。
4. 如果S1+S2+S3等于ABC三角形的面积，则说明四个点共圆。
二、向量法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 分别计算出向量AB、AC和AD的叉积，得到三个向量的模长，分别记作a、b和c。
3. 计算出向量AB与AC之间的夹角α，向量AB与AD之间的夹角β，以及向量AC与AD之间的夹角γ。
4. 如果α+β+γ等于180度，则说明四个点共圆。
三、余弦定理法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 计算出AB、AC、AD、BC、BD和CD三对线段之间的夹角，分别记作α、β和γ。
3. 根据余弦定理可以求出三个角的余弦值cosα、cosβ和cosγ。
4. 如果cosα+cosβ+cosγ等于0，则说明四个点共圆。
四、三角形面积法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 构造三角形ABC和ABD，分别计算出它们的面积S1和S2。
3. 构造三角形ACD和BCD，分别计算出它们的面积S3和S4。
4. 如果S1+S2等于S3+S4，则说明四个点共圆。
总结：以上就是判断四点共圆的四种方法，其中解析几何法比较简单易懂，适用于初学者；向量法需要一些向量知识，但计算较为简便；余弦定理法需要一些三角函数知识，但也比较容易掌握；三角形面积法则需要计算多个三角形的面积，稍微有些繁琐。
根据实际情况选择合适的方法进行判断即可。
四点共圆基本判断方法(超全)-课件
3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个 四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、 C、D四点共圆证法同上
例 如图 所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形，
过 点 A 和点 B 的圆与 AD、BC 分别交于 E、F 点。
求证: C、D、E、 F 四点共圆。 A E
D
B
• 分析: 欲证 C、D、E、F 四点共圆，可证以 该四点构成的四 边形中，一组对角互补或外 角等于内对角即可。
• 因二角共用AB弧，则〈A≠<D， 与实际不符， 所以只有D点在△ABC外接圆上， 故A、B、C、D四点共圆。
5.同斜边的直角三角形的顶点共圆
如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D 四点共圆.
如图2，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D四点共圆.
• 分析指导：可以直接根据圆的定义证明A、B、C、D四点到 某一定点的距离相等.取斜边的中点O.，再连接A.C,利用斜边
FC
4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条 线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个 点和这条线段的两个端点共圆。
• 若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四 点共圆
用反证法： 已知：同侧△ABC和△CBD，共有底边CB， 〈A=〈D， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：
• 假设四点不在同一圆上， 作△ABC外接圆，则D点不在圆上，
中点等于斜边一半证OA=OB=OC=OD。
A
A
D
C
D
B
C
B
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有
证明四点共圆的几种方法
证明四点共圆的几种方法
有几种方法可以证明四点共圆，以下列举几种常见的方法：
1. 通过圆心角相等证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明四个圆心角相等来证明四点共圆。
具体方法是计算出∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB的度数，如果它们相等，则可以判断四个点共圆。
2. 通过等腰三角形证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明其中两个对角线相等的等腰三角形来证明四点共圆。
具体方法是计算出AB、BC、CD、DA的长度，如果其中任意两个对角线相等，则可以判断四个点共圆。
3. 通过垂直角相等证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明其中两条弦的垂直角相等来证明四点共圆。
具体方法是计算出∠ABD和∠ACD的度数，如果它们相等，则可以判断四个点共圆。
4. 通过正交性证明：如果四个点A、B、C、D共圆，可以通过证明其中两个弦的垂直平分线相交于圆心来证明四点共圆。
具体方法是计算出弦AB和弦CD的垂直平分线的斜率，如果它们的斜率相乘为-1，则可以判断四个点共圆。
这些方法只是证明四点共圆的几种常见方法，实际上还有很多其他方法可以用来证明四点共圆。
具体使用哪种方法，取决于具体问题的情况和个人的偏好。
四点共圆基本方法
四点共圆基本方法第一篇：四点共圆基本方法四点共圆基本方法方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2 把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆．方法3 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．方法4 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法5 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．方法6 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB至E，AC、BD交于P，则A+C=180度，B+D=180度，角ABC=角ADC（同弧所对的圆周角相等）。
角CBE=角D（外角等于内对角）△ABP∽△D CP（三个内角对应相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
初三：第14课 四点共圆
第14课 四点共圆一、基本结论与方法：判断四点共圆的方法有：1.到定点等距离的几个点在同一个圆上；2.同斜边的直角三角形的各顶点共圆；3.同底同侧张角相等的三角形的各顶点共圆；4、如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；5、如果四边形的一个外角等于它的内对角，则它的四个顶点共圆；6、四边形的对角线相交于点P ，且PA•PC=PB•PD,那么四个顶点共圆；7、四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线交于点P ，若PA•PB=PC•PD, 那么四个顶点共圆.托勒密定理：圆内接四边形的对边之积的和，等于对角线之积。
即：如图，四边形ABCD 内接于圆，求证：BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.DB二、例题与习题例1、如图，ABCD 是等腰梯形，求证：BD 2=AB•CD+BC 2.CD 例2、△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:4,:求证：BC AC AB 111=+A D例3、在边长为1的正七边形中，对角线AD=a,BG=b,求证：22)()(ab b a b a =-+.C 例4、两圆相交于A 、B,P 是BA 延长线上一点，PCD 、PEF 分别是两圆的割线，求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。
F例5、由圆外定直线上任意点，引圆的两条切线，求证：两切点的连线必经过某定点。
CA例6、点P 是正三角形外接圆的劣弧AB 上一点，连接PC 交AB 于D ，求证：(1)PA+PB=PC;(2)111PA PBPD +=.例7、P为△ABC内一点，D、E、F分别在三角形的边上，已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。
例8、设凸四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为E,证明：点E关于AB、BC、CD、DA 的对称点也共圆。
A例9、两个圆彼此相交，从它们的对称中心引出两条射线交圆周于不在同一直线上的四个点，证明：这四个点共圆。
例10、梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰围直径作圆，点K位于两圆之外，证明：由K向两圆所作的切线长度相等。
中考复习四点共圆
四点共圆四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
如图2，若∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。
ADCC6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
四点共圆的六种判定方法
2 过点B作BG AC于点G,得到GBC=45 解RtABG、RtBCG，求得AC的值
判断方法二
练习3：如图，在四边形ABCD中，ABC ADC=90， CAD=26，则ABD的度数为__6_4_°__
常见的四点共圆模型
亦墨数学 小派老师
若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若一个凸四边形的一组对角互补，则这个边形的四个顶点共圆。
共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆 相交弦定理的逆定理： 若AB、CD两条线段相交于点P，且PA PB PC PD,则A、B、C、D四点共圆 割线定理的逆定理： 若AB、CD两条线段延长后相交于点P，且PA PB PC PD,则A、B、C、D四点共圆 托勒密定理的推广： 若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆
判断方法三
共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆
如图，ACD与 BCD，A B， 则A、B、C、D四点在一个圆上。
判断方法三
练习5：如图，若正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是DC边上的一点，DAE=30， 过点D作DF AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 ______
分析：由题可知AFD AOD=90，故A、O、F、D四点共圆。 由四点共圆可得AFO=45，构造直角三角形求出OF的长度。
判断方法三
练习5：如图，若正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是DC边上的一点，DAE=30， 过点D作DF AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 ______
四点共圆的7种判定方法证明
四点共圆的7种判定方法证明方法一：共分四种情况设有四个点A，B，C，D，如果它们共圆，可分为以下四种情况进行判定。
第一种情况：四个点都在同一直线上。
当四个点都在同一直线上时，它们不可能共圆。
因为共圆的四个点是不能共线的，如果共线则无法满足圆的特性，即任意三点在同一直线上。
第二种情况：任意两条边都相交于圆心。
当四个点满足任意两条边都相交于圆心时，可以判定它们共圆。
因为在一个圆上，任意两条边都是过圆心的直径，所以四个点形成的四条边都是过圆心的直径，满足共圆的条件。
第三种情况：任意三点共线，剩下一点在这条直线外。
当四个点满足任意三点共线，剩下一点在这条直线外时，可以判定它们共圆。
因为圆上的任意三点都不能共线，所以剩下的一个点就是圆心，四个点共圆。
第四种情况：任意三点共线，剩下一点在这条直线上。
当四个点满足任意三点共线，剩下一点在这条直线上时，可以判定它们共圆。
因为根据圆的性质，任意三点在同一直线上时，中间的那个点就是圆心，四个点共圆。
方法二：利用圆的性质验证如果四个点共圆，可以通过验证它们是否满足以下条件来证明。
条件一：四个点在同一平面上。
三维空间中的四个点如果共在同一平面上，则可能共圆。
条件二：四个点两两之间的距离相等。
在共圆的情况下，四个点两两之间的距离必须相等。
条件三：任取三点组成的三角形的外接圆，必须包含第四个点。
构建三角形时，任取三点组成的外接圆上的任意一点，如果包含第四个点，则满足共圆的条件。
条件四：通过四边形的对角线的交点，若可以确定一个圆心，则四个点共圆。
可以通过构建四边形的对角线，找到交点，如果能确定一个圆心，即其中一条边的中垂线与另一边的中垂线相交于一点，且该点距离四个顶点相等，则可以判定四个点共圆。
方法三：利用向量运算判断设四个点的坐标为A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），D（x4,y4）。
则可以通过向量运算判断四个点是否共圆。
条件一：任取三个点A、B、C，判断它们是否共线。
四点共圆的判定与性质
四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
如图2，若∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
CADC7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
四点共圆的四种证明方法
四点共圆的四种证明方法
证明四点共圆是数学中最富有挑战性的证明。
现将四点共圆的四种证明方法做一介绍，以供参考。
首先，证明四点共圆的最直接、简单的方法就是直接应用牛顿公式。
牛顿公式定义了一个圆周上任意两点之间的平方和，可以快速证明四点在同一圆上，特别是在多边形圆周构成和四边形构成这两种情况下。
其次，可以利用射影原理证明四点共圆。
这一原理把一个大圆的一小部分映射到另一个圆表面上，证明四点共圆的关键思想是：如果四点共圆，那么只要给定两个点，就可以将剩下的点映射到圆上；否则，这两个点的另外两个相邻点就不能映射在同一个圆上。
第三种方法，可以用三点法证明更多的四边形是由四个共圆外心组成的。
在这种方法中，一般使用三点法，将一个提供的外心与另外三个圆心连线，如果三点在同一个圆内，那么四个点就必然共圆。
最后，可以使用贝塞尔三角形证明四个点是否共圆，贝塞尔三角形由两个圆心控制，根据三角形面积可以判断这三点是否在同一圆上，从而证明四点共圆。
总之，四点共圆的四种证明方法有利于我们对数学的深入研究，提升了我们的数学能力。
因此，我们要认真学习这类方法，一定可以将一个不可能变成可能。
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• ∴ ∠BFE = ∠D。 ∴ C、D、E、F 四点共圆
FC
4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条 线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个 点和这条线段的两个端点共圆。
• 若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四 点共圆
用反证法： 已知：同侧△ABC和△CBD，共有底边CB， 〈A=〈D， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：
• 假设四点不在同一圆上， 作△ABC外接圆，则D点不在圆上，
• 5. 同斜边的直角三角形的顶点共圆。
1.若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆 。
• 如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F， G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F， G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上
• 分析指导：利用直 角三角形斜边的中 点等于斜边的一半， 再利用菱形的四边 相等即可证出。
Key. 四点共圆的证明 五个基本判断方法：
• 1. 若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共 圆。
• 2. 若一个四边形的一组对角互补（和为180°）， 则这个四边形的四个点共圆。
• 3. 若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四 边形的四个点共圆。
• 4. 若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的 两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的 两个端点共圆。
2.若一个四边形的一组对角互补（和为 180°），则这个四边形的四个点共圆
• 若∠A+∠C=180° 或∠B+∠D=180°， 则点A、B、C、D 四点共圆
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° 求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B， C，D四点共圆
• 证明：用反证法 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O 上，则C在圆外或圆内，若C在圆外， 设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆 内接四边形的性质得 ∠A+∠DC’B=180°， ∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾，故C不可 能在圆外。类似地可证C不可能在圆 内。 ∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点 共圆。
3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个 四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、 C、D四点共圆证法同上
例 如图 所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形，
过 点 A 和点 B 的圆与 AD、BC 分别交于 E、F 点。
求证: C、D、E、 F 四点共圆。 A E
D
B
• 分析: 欲证 C、D、E、F 四点共圆，可证以 该四点构成的四 边形中，一组对角互补或外 角等于内对角即可。
• 因二角共用AB弧，则〈A≠<D， 与实际不符， 所以只有D点在△ABC外接圆上， 故A、B、C、D四点共圆。
5.同斜边的直角三角形的顶点共圆
如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D 四点共圆.
如图2，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D四点共圆.
• 分析指导：可以直接根据圆的定义证明A、B、C、D四点到 某一定点的距离相等.取斜边的中点O.，再连接A.C,利用斜边
中点等于斜边一半证OA=OB=OC=O
C
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