等腰三角形的性质_2
等腰三角形和等边三角形的性质
等腰三角形和等边三角形的性质等腰三角形和等边三角形是基础的几何形状，它们有着特殊的性质和特点。
在本文中，我们将一起探讨等腰三角形和等边三角形的性质，并分析它们在几何学中的重要性。
一、等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
以下是等腰三角形的主要性质：1. 两底角相等：等腰三角形的底边是两边相等的边，因此，其对应的底角相等。
即∠A = ∠C，其中A、C为等腰三角形的两个底角。
2. 顶角平分底角：等腰三角形的顶角恰好平分了底角。
也就是说，等腰三角形的顶角∠B恰好等于底角∠A和∠C的一半。
3. 等腰三角形的高线：等腰三角形的高线是连接顶点与底边垂直的线段。
在等腰三角形ABC中，高线BD垂直于底边AC，并且BD是AC的中线（即BD=DC）。
4. 等腰三角形的中线：等腰三角形中线是分别连接底边中点与顶点的线段。
在等腰三角形ABC中，中线BE与底边AC相等（即BE=EC）。
二、等边三角形的性质等边三角形是指三条边相等的三角形。
以下是等边三角形的主要性质：1. 三个内角相等：等边三角形的三个内角都相等，即∠A = ∠B =∠C = 60°。
2. 三条高线重合：等边三角形的三条高线分别由顶点向底边上的三个顶点所引。
这三条高线相交于同一个点，也就是等边三角形的垂心。
3. 等边三角形的中线：等边三角形的中线是分别连接底边中点与顶点的线段，也就是等边三角形的高线。
由于等边三角形的三边相等，中线也为等边三角形三边的中线。
三、等腰三角形和等边三角形的重要性等腰三角形和等边三角形在几何学中具有重要的应用和特点。
以下是它们的一些重要性：1. 判定等腰三角形：利用等腰三角形的性质，我们可以通过两条边的长度相等来判定一个三角形是否为等腰三角形。
2. 判定等边三角形：等边三角形的三条边相等，因此，我们可以通过三条边的长度相等来判定一个三角形是否为等边三角形。
3. 等腰三角形的应用：等腰三角形的性质常常应用在各类数学问题中，如三角函数、三角恒等式、三角面积等计算中。
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点等腰三角形是初中数学中的一种基本几何图形，具有很多特殊的性质和定理。
本文将对等腰三角形的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握等腰三角形的特点和应用。
以下是等腰三角形知识点总结汇总，希望对大家的学习有所帮助。
1、等腰三角形知识总结，定义(1)等腰三角形:有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两条边叫腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
(2)等边三角形:特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等腰三角形知识总结，等腰三角形的相关概念(1)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴。
(2)等腰三角形的外心、内心、重心和垂心都在顶角平分线上，即四心共线。
(3)等边三角形的外心、内心、重心和垂心四心合一，成为等边三角形的中心。
3、等腰三角形知识总结，等腰三角形的性质定理(1）推理格式:在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C。
(2)定理的作用:证明同—个三角形中的两个角相等。
4、等腰三角形知识总结，等腰三角形性质定理的推论(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
5、等腰三角形知识总结，等腰三角形的判定定理(1)该定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
(2)注意:该定理不能叙述为“如果一个三角形中有两个底角相等，那么它的两腰也相等”。
因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”。
相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。
(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180°减去底角的两倍；(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。
等腰三角形角平分线定理垂直平分线定理
如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD,求∠A的度数
设∠A为x
∵CA=CB
∴ ∠A=∠B=x
E
∵DF=DB
∴∠F=∠B=x
∴ ∠A=∠B= ∠F =x
∴∠ADE=2x
∵AE=AD
∴∠AED=∠ADE=2x
∴ ∠A=180÷5=36°
△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作 DG//BC,交AB于点G，在GD的延长线上取 一点E，使DE=DC，连接AE,BD。 （1）求证△AGE≌△DAB。
下列命题中真命题的个数是( B)； ①等边三角形也是等腰三角形，任何一 边都可以作为底或腰； ②不等边三角形是遍都不相等的三角形 ； ③不等边三角形是三边不都相等的三角 形； ④三角形按边可分为不等边三角形、等 腰三角形、等边三角形。 A.1 B.2 C.3 D.4
已知一个三角形的边长为4cm，5cm，且第 三边长x为整数，问： （1）由4cm,5cm,xcm为边可组成多少个不同
∠CAD+∠C=90°， ∴∠BFD=∠CAD
又∵∠AFE=∠BFD
∴∠CAD=∠AFE， ∴EA=EF（等角对等边）， ∴E在AF的垂直平分线上
谢谢！
谢谢！
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD 垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F
，求证：BD＝2CE．
F A
E D
B
C
如图，在△ABC中，已知AB＝AC， ∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC， EC＝BD，DF＝FE． 求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）AF⊥DE．
∵ＢＰ，ＣＰ分别是△ABC的外角平 分线
∴PE=PQ, PF=PQ ∴PE=PF ∵ＰＥ⊥ＡＢ，ＰＦ⊥ＡＣ ∴点P在∠A的平分线上
等腰三角形的性质2
《等腰三角形的性质》说课稿一、教材分析1、教学内容：《等腰三角形的性质》是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册第十二章第三节《等腰三角形》的内容，遵照大纲要求，本节分4课时：等腰三角形的性质1课时，等腰三角形的判定1课时，等边三角形2课时.今天我就第1课时也就是“等腰三角形的性质”进行说课.2、地位与作用：学生在小学已经接触过等腰三角形，对于等腰三角形并不陌生.本节内容是在学生学习了全等三角形和轴对称的基础上进行的，是对前面所学知识的综合运用和深化，也是第三课时研究等边三角形的基础，是全章的重点之一.它将是今后论证两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直的重要依据，还是以后学习四边形、多边形、相似三角形的基础，所以本节课具有承上启下的重要作用.等腰三角形的性质在日常生活中应用广泛，使学生感知数学来源于实践，又为实践服务的辨证唯物主义思想，培养学生的应用意识.3、教学重点与难点：重点：等腰三角形的性质和应用.难点：等腰三角形的性质的验证.二、目标分析知识目标：掌握等腰三角形的性质，并能运用性质进行证明和计算.能力目标：通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识.情感目标：通过引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.三、学情、学法分析八年级学生的抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单的推理论证，掌握了一般三角形和轴对称的知识.因此，在本节课的教学中，可让学生从已有的生活经验出发，参与知识的产生过程，在实践操作、自主探索、思考讨论、合作交流等教学活动中，掌握数学知识和技能，形成数学思想和方法，让每个学生在数学上得到不同的发展，人人都获得必需的数学.《数学课程标准》指出：数学的抽象结论，应以观察、实验为前提，几何教学应该把实验方法与逻辑分析结合起来.由于学生认知水平，学习能力以及学几何的兴趣等方面存在差异，所以探讨活动的效果也会因人而异.因此在教学中，教师全程参与，及时指导学生的各项活动，让学生通过折、想、议、练等活动，自己“发现”等腰三角形的性质，从而避免了传统教学中的灌输式、注入式，这样做有利于活跃学生的思维，帮助他们探本求源，体现了“学习任何东西的最好途径是自己去发现”的思想.把重点放在学生如何学这一方面，通过直观演示得到感性认识，在实践、观察、讨论、交流等活动中，让学生经历由验证归纳到推理论证的认知过程，掌握知识和技能，形成思想和方法，培养学生的创造性思维和理性思维.四、教法分析《新课程标准》要求课堂教学要充分体现以学生发展为本的精神，因此，在本节课的教学设计中，我采用了“问题设疑—实验探究—构建模型—证明解决—感悟收获”的教学模式，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识和基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心.在教学中，遵循因材施教的原则，坚持以学生为主体，灵活运用学具直观教学、联想发现教学、设疑思考和逐步渗透等教学方法，充分发挥学生的主观能动性，注重学生探究能力的培养，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维，加强对学生的启发、引导和鼓励，培养学生大胆猜想、小心求证的科学研究思想，为学生创设情境，激发学生的求知欲和学习兴趣，促使他们不断克服学习中的被动心理，让学生在轻松愉快的学习中掌握知识、发展智力、受到教育.采用多媒体辅助教学，呈现更直观的形象，激发学生的积极性、主动性，增大课堂容量，提高教学效率.五、教学安排根据以上分析，本节课在教学过程中设计了以下五个环节：六、教学过程设计《等腰三角形的性质》（第1课时）教学设计教学过程设计七、板书设计八、教学反思与感悟现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变.所以本节课在教学方法的设计上，把重点放在了逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸来认识等腰三角形；再通过折纸、猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证，在教学设计中遵循由个别形象到一般抽象、由感性开，步步深入，真正实现学生为主体的教学宗旨.在教学设计中还突出了三个注重：1、注重让学生参与知识的形成过程，体现应用数学知识解决问题的乐趣；2、注重师生间、学生间的互动协作，共同提高；3、注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活运用.感悟新课程理念下的课堂，应是学生个性发展、合作交流、相互竞争且充满创造性、探索性与激励性的课堂.在这块三尺讲台上，教师已不再是单纯的“传道、授业、解惑”，他更肩负着为祖国培养高素质人才的重任.在这一要求下，新一代的教师，更应加强自身素质，把握好自己的课堂和角色.让课堂成为学生了解、感悟知识，展示收获的天地.。
等腰三角形性质第二节
特殊的等腰三角形性质02一、课前复习： 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的 相等；（2）等腰三角形 、 、 互相重合。
二、预习课前：1、等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形是 三角形，即 叫等边三角形。
等边三角形又叫正三角形。
2、把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？__________________________________.等边三角形的性质：等边三角形的如图1，性质的几何语言为：△ABC 为等边三角形则：____________________________________________ 3、顶角为直角的等腰三角形成为____________________， 4、把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等腰直角三角形中，你能得到什么结论?______________________. 性质应用：1、如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，交AB ，AC 于D ，E 。
求证△ADE 是等边三角形。
2、探究：等边三角形三条中线相交于一点。
画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。
E D CABAB 图1 CB图2AB三、课堂探究：例题：如图，△ABD ，△AEC 都是等边三角形，求证BE ＝DC2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 等于 的一半。
3、证明这个结论：已知：Rt △ABC,∠C=90°，∠A=30°.求证：AB=2BC 证明：例题：如图，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E,使CE=CD,过D 点作DM ⊥BE,垂足为M.求证：BM=EM.Ｄ ＣＢ Ａ课堂检测：1.正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I,则∠BIC 等于（ ）A.60°B. 90°C. 120°D. 150°2、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，CD ⊥AB ，若AB=a,则DB=3、等腰三角形中，一腰上的高与底边的夹角为30度，则此三角形中腰与底边的关系（ ）A 、腰大于底边B 、腰小于底边C 、腰等于底边D 、不能确定 4、在Rt △ABC 中，∠C=90度，∠A=30度，CD ⊥AB 于点D ，AB=8cm,则BC= ， AD= .5、在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ的平分线交于点Ｏ，过Ｏ作ＥＦ∥ＢＣ，ＡＢ＝６cm ，ＡＣ＝５cm ．则△ＡＥＦ的周长=6、如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝３０°，ＤＡ⊥ＢＡ于Ａ，ＢＣ＝４．2cm,则ＡＤ＝图（1） 图（2）7、如图２、 ∠Ｃ＝９０°，Ｄ是ＣＡ的延长线上一点， ∠ＢＤＣ＝１５ °，且ＡＤ＝ＡＢ，则ＢＣ= AD8. △ＡＢＣ中，AB=AC, ∠BAC=120°,AD ⊥AC 交BC 于点D,求证;BC=3AD.思考题：如图，D、E分别为等边三角形ABC的边BC、AC上的点且BD=CE，连接BE、AD，交于点F，求∠AFE的度数。
等腰三角形的判定和性质
一、等腰三角形的性质 1.定理:等腰三角形的两个底角相等.简述为: 等边对等角 . 2.定理:等腰三角形顶角的平分线、底边上的 中线 、底边上的 高
互相
重合.这一结论通常简述为“三线合一”. 3.等腰三角形两底角的平分线 相等 ;两条腰上的中线 相等 的高 相等 .
;两条腰上
【知识拓展】 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高. 二、等腰三角形的判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形.简述为: 等角对等边 .
知识点一 等腰三角形的性质
【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E. 求证:∠CBE= ∠BAD.
证 明 : 法 一 因 为 AB=AC,AD 是 BC 边 上 的 中 线 , 所 以 AD⊥BC,∠BAD=∠CAD, 所 以 ∠ CAD+ ∠C=90°. 因 为 BE⊥AC, 所 以 ∠ CBE+∠C=90°. 所 以 ∠ CBE=∠CAD, 所 以 ∠CBE=∠BAD. 法二 因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.又因为AD是BC边上的中线,所以AD⊥BC,所以 ∠BAD+ ∠ABC=90°.因为BE⊥AC,所以∠CBE+∠C=90°,所以∠CBE=∠BAD.
解:(1)①②;①③.
(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.
解:(2)选①②证明如下:在△BOE和△COD中, 因为∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE=CD, 所以△BOE≌△COD,所以BO=CO, 所以∠OBC=∠OCB, 所以∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB,所以AB=AC, 即△ABC是等腰三角形. 选①③证明如下: 在△BOC中,因为OB=OC,所以∠OBC=∠OCB. 因为∠EBO=∠DCO, 所以∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB,所以AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
等腰三角形的性质2
等腰三角形的性质教学目标1、经历观察、实验、操作等活动，发现、归纳等腰三角形“等边对等角”、“等腰三角形三线合一”的重要性质；2、会用演绎法对等腰三角形的性质进行说理；3、能运用等腰三角形的性质解决有关的简单问题，发展基础性的逻辑推理能力．4、经历探究等腰三角形的性质，培养学生的观察力、实验推理能力，体会实验归纳和逻辑推理这两种方法的研究与区别．从而进一步把数和形结合起来，提高学生分析问题和解决问题的能力。
教学重点：等腰三角形的性质以及运用；教学难点：等腰三角形“三线合一”性质的正确表述和运用．教学手段：多媒体辅助教学．一．复习三角形按边分类：不等边三角形三角形腰和底不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形二．新授等腰三角形是我们大家都很熟悉的图形，在我们身边的建筑物中运用得很多，如画面上房屋（课件）中多次运用到了等腰三角形，它不但能使房屋更加的稳固还能使之看起来更加的美观，但是我们知道等腰三角形它都有哪些什么性质吗？性质1：等腰三角形的两个底角相等 A这个性质的运用如：如图△ABC中在已知AB=AC，求证：∠B=∠C解：在△ABC中∵∴∵AB=AC B C∴△ABC是等腰三角形∠B∠B∠B ∠C分别是此等腰三角形的两个底角∴∠B=∠C说明：因为∠B ∠C分别是AC AB所对的角所以又有等边对等角即：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）请你思考：如果我们过点A 作∠A的平分线交BC于D那么AD与BC还有什么关系呢？答：AD垂直平分BC解：∵AB=AC，∴AD是BC点的距离相等到的点在线段的垂直平分线上）从而得到一条推论：性质2 等到腰三角形顶角的平分线底边上 B D C的中能线底边上的高相重合即“三线合一”试一试填空：如图：根据等腰三角形性质定理的推论1．在△ABC中，AB=AC时，1）∵AD ⊥BC∴∠ 1 = ∠ 2 ，BD = DC2）∵AD是中线，∴AD ⊥AC ，∠ 1 =∠ 33）∵AD是角平分线， C ∴AD ⊥BC ，BD = DC D2．已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100o，屋椽AB=AC ，过屋顶A的立柱AD⊥BC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、B∠CAD的度数。
等腰三角形的性质ppt (2)
12
在△ABD和△ACD中
AB＝AC ∠1＝∠2
BD C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）
∴ BD＝CD ∠ADB ＝∠ADC= 90°
归纳结论
性质2:
等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边。
(等腰三角形三线合一)
用符号语言表示为：
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上
A
⌒
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
x D
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
2x
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
2x
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
B
C 于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
看谁算得快
如图，在下列等腰三角形中，分别求 出它们的底角的度数。
A
A
36°
B
120°
C
B
C
巩固练习(1)
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个
角为__7_5_°_ , 30°__； ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角
为__7_0_°_,_4_0_°__或__5_5_°__,5_5_°_； ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角
4 ：△ ABC是等腰直角三角形
（AB=AC， ∠ BAC=90°），AD是底
边BC上的高，标出∠ B， ∠ C， ∠
BAD， ∠ DAC的度数？
A
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
在这种三角形中，还存在许多有趣的性质。
下面将逐一介绍等腰三角形的性质。
首先，等腰三角形的顶角和底角相等。
这是因为等腰三角形的两边长度相等，所以对边也必然相等。
因为对边是对应角的边，对应角大小必然相等。
其次，等腰三角形的高线和底边垂直且平分底边。
高线是从三角形顶点向底边的垂直线段。
由于等腰三角形的两边长度相等，所以垂直于底边的高线必然共线，且垂直于底边。
而且，高线还与底边平分底边。
也就是说，高线将底边分成了两个相等的线段。
第三，等腰三角形的顶角与底边上的中线垂直且平分顶角。
中线是从三角形顶点向底边上某一点的线段，该点是底边上的中点。
由于等腰三角形的两边长度相等，所以底边上的中点必然与顶角顶点连线共线，且垂直于底边。
同时，中线还会将顶角平分成两个相等的角度。
第四，等腰三角形的顶角和底角之和为180度。
这个性质可以通过角度的和为180度来证明。
由于等腰三角形的两边长度相等，所以对边也必然相等。
又因为对边是对应角的边，对应角大小必然相等。
根据角度的和等于180度的特性，可得到等腰三角形的顶角和底角之和为180度。
第五，等腰三角形的底角两边上的角平分线相交于高线上，并且将高线分成两个相等的线段。
底角两边上的角平分线是指从底角顶点到底边的线段，该线段将底角平分成两个相等的角度。
由于等腰三角形的两边长度相等，所以底角两边上的角平分线必然相等。
同时，根据相交角平分线定理可知，底角两边上的角平分线相交于高线上。
这样，高线被底角两边上的角平分线分成了两个相等的线段。
综上所述，等腰三角形具有许多有趣的性质。
它的顶角和底角相等，高线和底边垂直且平分底边，顶角与底边上的中线垂直且平分顶角，顶角和底角之和为180度，底角两边上的角平分线相交于高线上，并且将高线分成两个相等的线段。
这些性质在几何学中有着广泛的应用。
通过研究和应用这些性质，我们可以更好地理解和利用等腰三角形。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些特殊的性质和定理。
本文将就等腰三角形的性质进行探讨，帮助读者更好地理解和应用这些定理。
一、等腰三角形的定义等腰三角形的定义是指具有两边长相等的三角形。
在等腰三角形中，两边被称为腰，不与腰相等的边称为底边，顶角为顶点对应的角。
二、等腰三角形的性质1. 顶角的平分线是底边的中垂线在等腰三角形中，顶角的平分线与底边相交于底边的中点，并且垂直于底边。
这是等腰三角形特有的性质之一。
2. 两底角相等等腰三角形的两边相等，所以它的两底角也相等。
这是等腰三角形的基本性质。
3. 底角的平分线也是高的线段等腰三角形中，底角的平分线与对边也是高的线段。
这一性质可以根据相似三角形的性质推导得出。
4. 等腰三角形的高经过顶角的平分线的中点等腰三角形的高经过底边中点。
这是等腰三角形与平行四边形的联系之一。
5. 等腰三角形的高线段相等等腰三角形的高线段长度相等。
这也是等腰三角形的重要性质之一。
6. 等腰三角形具有对称性等腰三角形具有对称性，即以顶点为中心旋转180度后，图形完全重合。
这是等腰三角形的独特性质。
三、等腰三角形的应用等腰三角形的性质在几何学中有广泛的应用。
它们常用于解决各种几何问题，以及在三角函数中的应用等。
1. 求解等腰三角形的面积由于等腰三角形的高线段相等，可以利用等腰三角形的高与底边的关系求解三角形的面积。
2. 证明等腰三角形的定理等腰三角形的性质可以用于证明其他定理，如三角形的角平分线定理，平行四边形的特性等。
3. 解决三角函数的应用问题在三角函数的应用中，等腰三角形提供了一种简便的方法来求解各种角度和边长的关系。
四、总结等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形。
它的性质包括顶角的平分线是底边的中垂线、两底角相等、底角的平分线是高的线段，等等。
这些性质不仅在几何学中有广泛的应用，而且还可以在其他数学领域解决问题。
通过深入研究和理解等腰三角形的性质，读者可以更好地应用于实际问题的解决过程中。
等腰三角形的性质2
• 3、△ABC为等边三角形， • D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且 • AE=CD=BF，试猜想△DEF为什么三角形并
证明．
•
• 4、如图，在边长为4的正三角形ABC中， AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角 形ADE．
• 试判断AC、DE的位置关系，并给出证明．
4、等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为_3_5_°__，__3_5__°_.
结论: 在等腰三角形中,
① 顶角度数+2×底角度数=180° ② 0°＜顶角度数＜180° ③ 0°＜底角度数＜90°
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在 AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
•
• 5、如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长 线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角 形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系， 并说明理由．
•
• 6、如图，点C是线段AB上除点A、B外的任 意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同 旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交 DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1） 求证：AE=BD；
(3) ∵AD是角平分线，∴_A__D_ ⊥__B_C_ ，__B_D__ =__C_D__.
知一线得二线
A
“三线合一”可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。
B
DC
2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为4_0__°___.
3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 _______________7_0_°_.,40° 或 55°,55°
• 解：设∠A=x， • ∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A， • ∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x， • ∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x， • ∴∠P2P3P4=∠P13P12P10=3x， • …， • ∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x， • ∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x， • 在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°， • 即x+7x+7x=180°， • 解得x=12°， • 即∠A=12°． • 故答案为：12°．
等腰三角形的性质(二) 最新版
题组训练
一、填空题 1.在△ABC中，AB＝AC，若顶角为80°，则底
角的外角为_________. 2.在△ABC中，若AB＝AC，∠B＝∠A，则∠C
＝_____________. 3.在△ABC中，若AB＝AC，∠B的余角为25°，
则∠A＝____________.是AB边 上的一点，AD＝DC，∠B=35°， ∠ACD＝43°
在一起？
3、等边三角形的三个内角有何关系？为什么？
小结
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
C
1
A
AC=BC
2
B
∠1=∠2
等腰三角形的性质定理
推论1 等腰三角形顶角平分线平分底边 并且垂直于底边.
D
AD=BD
A
C
B
∠ADC=∠BDC DC⊥AB AC=BC
等腰三角形的性质定理
我们该从哪些方面去考虑？
通过观察、测量，你发现等腰三角形的边、 角、线等各元素之间有什么特殊的性质？
两个底角相等； 两个腰相等； 两个腰上的角平分线相等； 两个腰上的高相等； 两个腰上的中线相等.
已知:△ABC中，AB=AC
A
求证:∠B=∠C
分析:
要证明两个角相等, B
C
根据已知条件需要构造
两个全等的三角形.
求：∠BCD的度数
D
A
C
课堂小结
本节学习了等腰三角形的性质定理 和两个推论，还通过例题学习了如何分 析几何证题的思路.
再 见
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
《等腰三角形的性质定理(2)》精品教案
等腰三角形的性质定理(2)
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）即AD⊥BC
即时演练将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗
因为图中的三角尺是等腰三角形.当重锤线经过三角尺斜边（底边）的中点时，重锤线
（底边上的中线）与底边上的高叠合（等腰三
角形三线合一），即三角尺的斜边与重锤线垂
直，可以确定三角尺的斜边与横梁是水平的。
否则梁就不是水平。
思考及时练习，巩固
所学
例题讲解例4 已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰
三角形ABC，使底边BC=a，底边BC=a，底边BC
上的高线长为h.
作法如图：
1、作线段BC=a；
2、作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点
D；
3、在直线 MN 上截取DA=h，连结AB、AC。
△ABC就是所求作的等腰三角形。
听课讲解课本例题
即时演练如图，已知∠α和线段a,用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，底边
上的中线等于a。
1. 以线段a为半径,A为顶点画弧交AM,AM于做练习及时练习，巩固
所学。
《等腰三角形的性质》参考教案2
13.3等腰三角形第1课时等腰三角形的性质（2）教学目的1．使学生熟练地使用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度.2．通过例题教学，协助学生总结代数法求几何角度，线段长度的方法.重点、难点重点，等腰三角形的性质及其应用.难点：简洁的逻辑推理.教学过程一、复习巩固1．表达等腰三角形的性质，它是怎么得到的?等腰三角形的两个底角相等，也能够简称“等边对等角”.把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即AB与AC重合，点B与点C重合，线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”.因为AD为等腰三角形的对称轴，所以BD＝CD，AD为底边上的中线；∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又为底边上的高，所以“三线合一”.2．若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少?二、新课在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等.我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形具有什么性质呢?1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想.2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是准确的?等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°.3．上面的条件和结论如何表达?等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.等边三角形是轴对称图形吗?假设是，有几条对称轴?等边三角形也称为正三角形.例1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数.分析：由AB＝AC，D为BC的中点，可知AB为BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC＝90°，∠l ＝∠BAC，因为∠C＝∠B＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求.问题1：此题若将D是BC边上的中点这个条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样?问题2：求∠1是否还有其它方法?三、练习巩固1．判断以下命题，对的打“√”，错的打“×”.a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( )b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°( )2．如图(2)，在△ABC中，已知AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B的度数.四、小结由等腰三角形的性质能够推出等边三角形的各角相等，且都为60°.“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件.五、作业1．P81 练习题第4题.补充：如图(3)，△ABC是等边三角形，BD、CE是中线，求∠CBD，∠BOE，∠BOC，∠EOD的度数.。
等腰三角形的性质与应用
等腰三角形的性质与应用等腰三角形是几何学中常见的一种特殊三角形，它的性质独特，应用广泛。
本文将深入探讨等腰三角形的性质以及在实际问题中的应用。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，有以下几个重要的性质：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即两边长相等的角）相等。
这是等腰三角形最基本的性质之一。
可以通过对角度进行比较或利用对称性来证明。
2. 顶角平分线与底边垂直：等腰三角形的顶角平分线（即连接顶角和底边中点的线段）与底边垂直。
这个性质对于求解等腰三角形的高、应用中的问题都非常有用。
3. 高重合：等腰三角形的高（即从顶点到底边的垂直线段）重合于底边中点。
这意味着等腰三角形的高也是底边上的中线和中位线。
二、等腰三角形的性质证明1. 两底角相等的证明：以等腰三角形ABC为例，设AC=BC，要证明∠ACB = ∠CAB。
证明：由于AC=BC，且直线段AB共线，所以三角形ABC是一个等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，两边AC和BC相等，而根据三角形中的一对对应角相等的性质，∠ACB = ∠CAB。
2. 顶角平分线与底边垂直的证明：以等腰三角形ABC为例，设AC=BC，M为底边AB的中点，要证明AM ⊥ BC。
证明：连接AM和BM，由于AC=BC，AM=BM，所以三角形ABM和ACM是等腰三角形。
根据等腰三角形高重合的性质，AM重合于CM，而由高重合又可以得到AM ⊥ BC。
三、等腰三角形的应用1. 求解等腰三角形的高：已知等腰三角形的底边长和顶角，可以利用三角函数的性质来计算等腰三角形的高。
例如，如果已知等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则高h可以通过h = a * sin(θ/2) 来计算。
2. 三角形的构造问题：在一些实际问题中，可以利用等腰三角形的特性来进行三角形的构造。
例如，已知一个角的两条边长相等，可以根据等腰三角形的性质构造出一个等腰三角形。
3. 几何证明问题：在几何证明中，等腰三角形常常可以作为中间步骤，起到简化问题的作用。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些特殊的性质和判定方法。
本文将详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
一、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的两底角（底边两旁的角）是相等的。
设等腰三角形的两底角分别为A，那么∠A = ∠B。
2. 等腰三角形的顶角（底边对面的角）是锐角。
设等腰三角形的顶角为C，那么∠C < 90°。
3. 等腰三角形的高线（从顶点到底边的垂直线）同时也是它的中线和对称轴。
等腰三角形的高线可以将底边分成两段相等的线段，同时也将顶角分成两个相等的角。
4. 等腰三角形的中线（从顶点到底边中点的线段）是它的高线和对称轴。
等腰三角形的中线同时也是它的底边的二等分线，它将等腰三角形分成两个面积相等的小三角形。
二、判定一个三角形是否为等腰三角形在判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们可以利用以下几种方法：1. 通过测量两边的长度。
如果一个三角形的两边长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 通过测量两底角的大小。
如果一个三角形的两底角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
3. 通过判断顶角是否为锐角。
如果一个三角形的顶角是锐角，那么这个三角形就有可能是等腰三角形。
我们可以通过测量或计算三个角的大小来判断是否满足等腰三角形的顶角为锐角的条件。
4. 通过判断两条边长和夹角的关系。
如果一个三角形的两边长度相等且夹角小于90°，那么这个三角形就是等腰三角形。
需要注意的是，以上方法只是判定等腰三角形的一些常见方法，并非所有方法的总结。
在实际问题中，可能还会涉及其他判定方法。
在几何学中，等腰三角形的性质和判定是非常重要的基础知识。
通过对等腰三角形的学习，可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
无论是在数学学习中还是实际应用中，等腰三角形的性质和判定都具有广泛的应用价值。
总结：等腰三角形具有两边长度相等、两底角相等、顶角为锐角等性质。
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等腰三角形的性质
知识结构重点与难点分析：本节内容的重点是及其推论。
等腰三角形两底角相等（等边对等角）是证明同一三角形中两角相等的重要依据；而在推论中提到的等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线三线合一这条重要性质也是证明两线段相等，两个角相等及两直线互相垂直的重要依据。
为证明线段相等，角相等或垂直平提供了方法，在选择时注意灵活运用。
本节内容的难点是文字题的证明。
对文字题的证明，首先分析出命题的题设和结论，结合题意画出草图形，然后根据图形写出已知、求证，做到不重不漏，从而转化为一般证明题。
这些环节是学生感到困难的。
教法建议：数学教学的核心是学生的“再创造”.根据这一指导思想，本节课教学可通过精心设置的一个个问题链，激发学生的求知欲，最终在老师的指导下发现问题、解决问题.为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，本课教学拟用启发式问题教学法.具体说明如下：（1）发现问题本节课开始，先投影显示图形及问题，让学生观察并发现结论。
提出问题让学生思考，创设问题情境，激发学生学习的欲望和要求. （2）解决问题对所得到的结论通过教师启发，让学生完成证明.指导学生
归纳总结，从而顺其自然得到本节课的一个定理及其两个推论. 多让学生亲自实践，参与探索发现，领略知识形成过程，这是课堂教学的基本思想和教学理念. （3）加深理解学生学习的过程是对知识的消化和理解的过程，通过例题的解决，提高和完善对定理及其推论理解。
这一过程采用讲练结合、适时点拨的教学方法，把学生的注意力紧紧吸引在解决问题身上，让学生的思维活动在老师的引导下层层展开，让学生大胆参与课堂教学，使他们“听”有所“思”、“练”有所“获”，使传授知识与培养能力融为一体。
一．教学目标：1．掌握定理的证明及这个定理的两个推论；2．会运用证明线段相等；3．使学生掌握一般文字题的证明; 4．通过文字题的证明，提高学生几何三种语言的互译能力；5．逐步培养学生逻辑思维能力及分析实际问题解决问题的能力; 6．渗透对称的数学思想,培养学生数学应用的观点；二．教学重点：及其推论三．教学难点：文字题的证明四．教学用具：直尺，微机五．教学方法：问题探究法六．教学过程：1、性质定理的发现与证明(1)投影显示：一般学生都能发现等腰三角形的两个底角相等（若有其它发现也要给予肯定），(2)提醒学生：凭观察作出的判断准确吗？怎样证明你的判断？师生讨论后，确定用全等三角形证明，学生亲自动手作出证明.证明略. 教师指出：定理提示了三
角形边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等，这是今后证明两角相等常用的依据，其功效不亚于利用全等三角形证明两角相等. 2、推论1的发现与证明投影显示：由学生观察发现，等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边. 启发学生自己归纳得出：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 学生口述证明过程. 教师指出：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线、底边上的高这“三线合一”的性质有多重功能，可以证明两线段相等，两个角相等以及两条直线的互相垂直，也可证线段成角的倍分问题。
3、推论2的发现与证明投影显示：一般学生都能发现等边三角形的三个内角都为.然后启发学生与等腰三角形的“三线合一”作类比，自己得出等边三角形的“三线合一”. 4、定理及其推论的应用解：（1）（2）另外两内角分别为：（3）小结：渗透分类思想，培养思维的严密性. 例2、已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD ＝AE 求证：BD＝CE 证明：作AF⊥BC，，垂足为F，则AF⊥DE ∵AB ＝AC，AD＝AE（已知）AF⊥BC，AF⊥DE（辅助线作法）∴BF＝CF，DF＝EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∴BD＝CE 强调说明：等腰三角形中的“三线合一”常常作为解决等腰三角形问题的辅助线，添加辅助线时，有时作顶角的平分线，有时作底边
中线，有时作底边的高，有时作哪条线都可以，有时却不能，还要根据实际情况来定.
例3、已知：如图，D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，DBP ＝DBC 求证：P＝证明：连结OC 在△BPD和△BCD中在△ADC 和△BCD中因此，P＝例4 求证：等腰三角形两腰上中线的交点到底边两端点的距离相等已知：如图，AB＝AC，BD、CE分别为AC 边、AB边的中线，它们相交于F点求证：BF＝CF 证明：∵BD、CE 是△ABC的两条中线，AB＝AC ∴AD＝AE，BE＝CD
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE
∴1＝2
在△BEF和△CED中
∴△BEF≌△CED
∴BF＝FC
设想：例1到例4，由易到难地安排学生对新授内容的练习和巩固.在以上教学中，特别注意“一般解题方法”的运用. 在四个例题的教学中，充分发挥学生与学生之间的互补性，从而提高认识，完善
认知结构，使课堂成为学生发挥想象力和创造性的“学堂”5、反馈练习: 出示图形及题目：将实际问题数学化，培养学生应用能力。
6、课堂小结：教师引导学生小结（1）、（2）、等边三角形的性质（3）、文字证明题的书写步骤7、布置作业：a、书面作业P96＃1、2 b、上交作业P96＃4、7、8 c、思考题：已知：如图：在△ABC中，AB ＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE. 求证：EF⊥BC 证明：作BC边上的高AM，M为垂足∵AM⊥BC ∴∠BAM=∠CAM 又∵∠BAC 为△AEF的外角∴∠BAC =∠E+∠EFA 即∠BAM+∠CAM=∠E=∠EFA ∵∠AEF=∠AFE ∴∠CAM=∠E ∴EF∥AM ∵AM⊥BC ∴EF⊥BC 七．板书设计：。