九年级上册数学知识点总结

九年级上册知识点总结

（数学）

2017年12月

第二十一章 一元二次方程

2２.１ 一元二次方程

知识点一 一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：

① 只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二 一元二次方程的一般形式

一般形式:)0(02≠=++a c bx ax 其中，2ax 是二次项,a 是二次项系数； bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。

知识点三 一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

２2．2 降次——解一元二次方程

22．2.1 配方法

知识点一 直接开平方法解一元二次方程

（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如)0(2≥=a a x 的方程，根据平方根的定义可解得a x a x -=+=21 .

（２） 直接开平方法适用于解形如p x =2或

)0(2≠=+m p a mx ）（形式的方程,如果 ｐ≥0，就可以利用直接开平方法。

（3) 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零；负数没有平方根。

（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 １；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二 配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法，配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（１） 把常数项移到等号的右边;

（2） 方程两边都除以二次项系数;

（3） 方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;

(4） 若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。

２2.2．2 公式法

知识点一 公式法解一元二次方程

（1） 一般地，对于一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ，如果 042≥-ac b ，

那么方程的两个根为 a

ac b b x 242-±-=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,ｂ，c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的过程。

（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：

① 方程化为一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ,一般a 化为正值

② 确定公式中ａ,b,c 的值,注意符号；

③ 求出ac b 42-的值;

④ 若042≥-ac b 则把ａ,ｂ,ｃ 和b-4a ｃ 的值代入公式即可求解,042<-ac b ,则方程无实数根。

知识点二 一元二次方程根的判别式

式子ac b 42-叫做方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即ac b 42-=∆,

２2．2.3 因式分解法

知识点一 因式分解法解一元二次方程

（1） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。

（２） 因式分解法的详细步骤：

① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0;

② 把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式;

③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；

④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二 用合适的方法解一元一次方程

22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(了解)

若一元二次方程02=++q px x 的两个根为1x , 2x 则有 q x x p x x =-=+2121, 若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根1x ,2x 则有a c x x a b x x =-=+2121,

2２．3 实际问题与一元二次方程

知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(１） 审：是指读懂题目,弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

(2） 设:是指设元,也就是设出未知数。

（3) 列:就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式,即方程。

(4) 解:就是解方程，求出未知数的值。

（5) 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

(６) 答:写出答案。

知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型

（1） 数字问题

三个连续整数:若设中间的一个数为x,则另两个数分别为ｘ-１,ｘ+1。

三个连续偶数（奇数）:若中间的一个数为x ，则另两个数分别为ｘ－２,x ＋2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,ｂ,c,则这个三位数是1００a ＋10b+ｃ.

（2) 增长率问题

设初始量为a ,终止量为b ,平均增长率或平均降低率为x ，则经过两次的增长或降

低后的等量关系为 b x a =±2)1(

（3)利润问题

利润问题常用的相等关系式有：①总利润＝总销售价-总成本;②总利润=单位利润×总销售量;③利润=成本×利润率

(4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

第二十二章 二次函数

知识点一：二次函数的定义

1.二次函数的定义：

一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数． 其中a 是二次项系数,b 是一次项系数，c 是常数项.

知识点二：二次函数的图象与性质⇒⇒抛物线的三要素:开口、对称轴、顶点 ２．二次函数()2

y a x h k =-+的图象与性质

(1)二次函数基本形式2y ax =的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小