从算术思维向代数思维过渡

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中小学数与代数教学的有效衔接

陆琴浙江省湖州市妙西镇妙西小学虞敬伟浙江省湖州市妙西镇妙西中学
数与代数作为义务教育阶段一块重要的学习内容，如何在小学与初中的教学中寻找一个衔接点，慢慢渗透，减少学生对初中数学的陌生感，帮助学生顺利过渡尤为重要。经过探研，针对第二、三学段，我们从以下几个衔接点对教学进行了思考——
对策４：评价机制多样化。合作学习的评价要多样化。评价一般在每次课堂合作学习活动完成后及时进步的信心与勇气。
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进行，由教师、小组、学生个人评价结合进行，并及时反馈给学生。一般来说，小组成绩不能等同于个人成绩，两者应该分开评价并分开奖励。如可以设立最佳合作小组奖，作为对合作任务完成得出色的小组进行奖励，这项荣誉为该合作小组的全体组员享有；对于个人，可以设立最佳表现奖、优秀个人等。对合作小组的评价直着重于过程，而对个人的评价应偏重于结果。在适当的时候，教师可以根据老师的评价及学生个人评价、小组评价甚至家长评价的情况，给优秀个人、优秀小组以适当的奖励。为保证奖励对学生的吸引力，教师要根据学生年龄和喜好，制订相应的奖励形式。奖励形式不仅包括物质的（如铅笔、本子等学习用品），也包括精神的（如小红旗、奖状等），或者娱乐性的（如小组娱乐时间），教师可以灵活运用。这些评价手段的丰富，使得小组内每个成员树立起明确的责任意识，体验自己在小组合作学习中的价值，感受自己对小组的贡献，增强了自信心和成就感，产生继续

如何将学生的算术思维转化为代数思维

如何将学生的算术思维转化为代数思维作者：连丹丹来源：《考试与评价》2019年第09期【摘要】学生一直习惯用算术的方法即逆思考来解决问题，而突然扭转学生的思维，让学生顺向思考，这是学生思维的一次质的飞跃，是教学的难点。

通过由算术法推想方程法，初步建模;在看书中梳理明确解决问题的方法;在质疑中明确用解方程解决问题的价值，逐步使学生将算术思维转化为代数思维，从而选择合理的方法解决问题。

【关键词】逆向 ;顺向 ;算术方程 ;读书从一年到五年，近五年的时间里，学生一直习惯于用算术的方法即逆思考来解决问题。

而突然扭转学生的思维，让学生顺向思考，怕是一时半会儿难以实现。

就要学习用方程法解决问题了，如何尽快让学生理解方程法，并把自己的思维顺转过来，这是最关键的。

因此我设计了关于用方程法解决实际问题的第一课，并且邀请同年组的教师一起研究。

主要想突出：1. 在算术法的基础上推想出方程法，明确什么是方程？2. 实际事例中感受方程法。

3. 知道用方程法解决问题的方法。

一、由算术法推想方程法，初步建模。

出示一个这样的问题：小刚去年身高144厘米，今年身高增加到153厘米。

小刚身高增加了多少厘米？让学生说出信息、问题。

根据学生回答后，我及时将知识整合、梳理：“题中的信息和问题都叫数量。

‘信息’是已经知道的叫已知数量，简称已知量。

‘问题’是让我们求的是未知量。

求小明身高增加了多少就是已知量与已知量运算，求未知量，像这种解决问题的方法就是我们原来学过的‘算术法’，猜一猜这节课我们学什么？”学生：“用方程解决问题”。

那么我们有必要回忆一下：“什么是方程？”同时板书①未知数②等式。

现在请你根据算术法：已知量与已知量运算求未知量，再结合方程的意义：含有未知数的等式，推想一下你认为用方程法解决问题会是什么样的？学生：已知量与未知量运算等于另一个已知量。

我及时肯定学生的想法。

“真会推想，对了。

数学家发明用方程解决问题的时候就是像你这样推想的！快给这种解决问题的方法起个名吧！”学生：“方程法。

从算术思维到代数思维

从算术思维到代数思维摘要：算术思维与代数思维之间的承接关系并非藉由经历足够的经验便可跨越，还必须经过思维结构的转化即质的改变，这个过渡也是学生学习代数时必须面对的困难。

笔者就如何启发儿童“符号代数”的意识，帮助他们积累“结构转换”的感性经验，加速从具体演算阶段到形式运算阶段的进展，为他们打开代数思维之门提出自己的看法。

关键词：算数；代数；思维中图分类号：g632 文献标识码：b 文章编号：1002-7661（2013）07-103-01一、多元化表征、建构符号意识“代数”，从字面看就有“以符号代表数”的意思。

学生的学习从具体情境到抽象概念，其思维必须经历从数字到符号的飞跃，因此符号意识的培养对发展小学生代数思维显得尤为重要，然而实际问题情境的复杂性和符号本身的抽象性为学生理解和应用代数符号带来了困难，因此我们一方面要帮助学生从一定程度上摆脱对问题情境的依赖，发现各类问题背后的数学结构，另一方面也要优化学生对符号的认识，帮助学生积累使用代数符号的经验。

换言之，我们可以通过对数学问题的多元表征，逐步发展学生的符号意识。

1、优化对符号的认识数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，符号化是学生跨入代数思维的第一步，而符号化绝不是学生的自然、直观的想法，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用。

建立对等号的认识：算式和代数虽共享一些符号如+、-、×、÷、=，有些符号在算术与代数之间的意义并不同，这也使得学生在面对这些符号时，经常产生混淆。

我们在教学中，应针对不同认知层次的学生采用循环、螺旋的方式，引导学生把等号看作是相等和平衡的符号，是一种关系。

拓宽对符号的理解：四年级（下）进行”用字母表示数”的专题学习，字母符号表示数、表示数量关系、表示规律模式以及数学公式，帮助学生建立数感与符号意识。

五年级（上）对符号表征却只字未提，到五年级（下）学习方程，由于教材编排的跳跃性，教学时往往忽略“用字母表示数”作为数学的一种抽象表征方式的重要教学价值，造成了学生符号意识发展中的问题，大多数学生对符号的认识停留在一个未知的确定的数或者一个特定的记号，而没有把符号看作推广的数或者变量，对a+15这样的式子通常认为是一个“过程”，对一些运算律和公式也只是将其作为一种固定的模式记忆。

从算术思维到代数思维的转换初探-算术思维和代数思维的特点

从算术思维到代数思维的转换初探算术思维和代数思维的特点一、算术思维和代数思维算术思维侧重于程序思维，强调的是利用数量计算求出答案的过程.这个过程具有情境性、特殊性和计算性的特点，甚至是直观的。

而代数思维的运算过程具有结构性，和算术运算不同的是其侧重将关系符号化，而且不具有直观性。

对于同一个问题，用代数思维和算术思维方式都能求得问题的解，虽然结果是一样的，但是运算和思维的逻辑是不一样的。

例如：盒子中的皮球与外面的6个皮球加起来共有23个，求盒子中一共有多少个皮球？可以列算数式23-6=（）来解答，也可以用代数式6+X=23来解。

我所教的高年级学生中，大部分学生就选择了前一种解题方式来解答，从表达式中，直接展示出题目和答案之间的关系体现了算术思维；还有少部分学生是用后者的方法来解答的。

后一种方法则体现了代数思维，即对具体的情境问题进行分析并转化为方程式，成了一种纯粹的符号运算。

二、在代数学习中可能会遇到的困难从算术思维向代数思维转换的过程中，光有练习是不够的，最重要的是要经历一个质变的过程。

学生在小学阶段已经接触过一些代数思想，例如用“设未知量为X”建立方程的方法解数学应用题，当然，他们对“未知量X”含义的了解是非常肤浅的。

进入初中后，学生要学习比较系统的代数内容，学习中会产生许多困难。

在这个过程中，会遇到的困难有：第一，符号意义的不连续；字母代数是由常量数学到变量数学转变的开端。

通过有关数、式、方程等内容的学习，学生不但要掌握各种概念、运算法则，而且要学习各种代数变形的思想方法；第二，运算客体出现扩充；从运算的角度说，代数运算主要是一种形式化的符号变换，其抽象程度较高；第三，经常会出现程序逆向思维。

当前，学生对概念的发生发展过程、概念的内涵与外延的周密性，特别是对概念间的内在联系的认识水平普遍较低。

鉴于上述的三个方面的困难，如何从算术思维向代数思维过渡呢？三、从算术思维向代数思维的转换的教学策略1.从数字到符号的转换从数字向符号转变，通俗地讲，就是用符号代替数字，使解题的焦点转移。

数学思维训练从算术到代数的过渡

数学思维训练从算术到代数的过渡数学思维在我们的日常生活中扮演着重要的角色，它不仅仅是一门学科，更是一种思维方式。

数学的核心是逻辑思维能力的培养，在学习过程中，从算术到代数的过渡对于锻炼学生的思维能力至关重要。

本文将探讨如何通过算术和代数的过渡来培养学生的数学思维。

1. 算术思维的培养算术是数学学习的基础，也是培养学生数学思维的起点。

在算术学习中，我们可以通过以下几个方面来培养学生的算术思维。

首先，培养学生的数字概念。

数字是算术的基本单位，学生需要理解数字的概念以及数字之间的关系。

通过游戏、实例和实际问题的解决，可以帮助学生更好地理解数字。

其次，培养学生的计算能力。

计算是算术的基本内容，学生需要熟练掌握加减乘除等计算方法。

通过多样化的练习和问题解决，可以提高学生的计算能力。

最后，培养学生的问题解决能力。

算术问题常常涉及实际生活中的情境，学生需要通过数学的思维方式解决实际问题。

教师可以设计一些真实的情境问题，引导学生进行推理和解决。

2. 代数思维的引入代数是算术的延伸和拓展，它在数学学习中起着重要的作用。

代数思维是一种抽象思维能力，通过代数学习可以培养学生的逻辑思维和推理能力。

首先，引入变量的概念。

在代数中，变量是一个重要的概念，它可以表示问题中未知的数或者数之间的关系。

学生需要理解变量的含义和使用方法，通过变量的引入，将问题转化为代数表达式。

其次，培养学生的代数表达能力。

代数表达是将实际问题转化为代数形式的重要方法，学生需要掌握代数式的写法和转化方法。

通过练习和问题解决，可以提高学生的代数表达能力。

最后，培养学生的方程求解能力。

方程求解是代数学习的重点内容，学生需要学会通过方程的设立和运算求解未知数的值。

通过练习和实际问题的解决，可以帮助学生提高方程求解的能力。

3. 从算术到代数的过渡在学习过程中，从算术到代数的过渡是一个逐步深化的过程。

在这个过程中，教师需要通过设计合理的教学内容和方法来帮助学生顺利过渡。

探索数学计算的思维方式从算术到代数的过渡与应用

探索数学计算的思维方式从算术到代数的过渡与应用探索数学计算的思维方式：从算术到代数的过渡与应用数学作为一门普遍存在于我们日常生活中的学科，对我们的学习和思维方式具有深远的影响。

在数学的学习过程中，从算术到代数是一个重要的过渡阶段。

本文将探讨这一过渡阶段及其在实际应用中的思维方式。

一、算术基础：解决实际问题的初始阶段在学习数学的初期，我们首先接触到的是算术运算。

算术以四则运算为基础，通过加减乘除等运算符号对数字进行组合和计算，解决实际生活中的简单问题。

算术习题主要侧重于培养学生的计算能力和逻辑思维，让学生熟悉数的性质和运算法则。

例如，求解一个简单的加法问题：“若小明有3个苹果，小红有4个苹果，那么他们一共有多少个苹果？”这个问题通过算术运算符号“+”来表示，让学生将3和4相加，得出答案7。

这是一道简单的算数题，通过运算可以轻松求解。

二、代数的引入：引发思维方式的转变随着数学的深入学习，我们逐渐引入代数的概念。

代数是一门研究数与运算之间关系的数学分支，它以字母和符号表示未知数，并借助方程式和不等式等来描述数的关系和运算规律。

代数的引入使得数学问题更加抽象和普遍化，需要我们逐渐转变思维方式。

代数中的变量和常数是核心概念。

变量用字母来表示，它可以是任意一个未知的数，如x、y、z等。

而常数则是一个固定的数值。

通过将问题中的未知数用变量表示，我们可以建立数学方程来描述问题，并通过解方程来求解未知数。

例如，解方程“2x + 3 = 8”，我们需要找到一个数x，使得将其代入方程后等式两边相等。

通过逆运算，我们可以将已知的常数3移动到等式的另一边，得到“2x = 8 - 3”，进一步简化为“2x = 5”。

最后，将等式两边都除以常数2，得到最终的解x = 2.5。

代数中的方程求解是一种重要的思维方式，有助于我们解决更加复杂的数学问题。

三、从算术到代数的过渡：思维方式的转变与应用从算术到代数的过渡并不是一个突兀的变化，而是一个逐渐深化的过程。

在中低年级如何体现代数思想

/view/8cac18c9a1c7aa00b52acbdf.html代数思想在中低年级是如何体现的从小学阶段到初中阶段，学牛的思维将从算术思维过渡到代数思维。

为了更好的完成从算术思维到代数思维的过渡，我们所使用的青岛版教材，就有意识地在不同年级、不同知识领域渗透代数思想，使学生的代数思维得到有效的训练与提高，实现从小学到中学数学学习的成功跨越。

教材中关于代数思想的渗透，我认为包含了这几个方面：1、用宁母、符号或图片表示特定的数；例如：一年级学习10以内的加减法时学生解答过类似这样的习题：6+□=9 10-□=5，二年级学习表内乘除法时，8×□=56 。

7xa=21在学习了四则运算后还有一些稍复杂的，如5×◇+36÷6=51，13×△-7×△=48，(25+ )×7=287等，在这些题中既渗透了用符号表示数，也渗透了方程的思想。

在一年级还有用图片表示数的例子，如：桃子+苹果=9桃子+苹果+梨=12苹果+梨=5桃子=?苹果=?梨=?这样的练习题，利用算数思维很难给学生讲明白，这就要求我们教师和学生都要转变思维方式尝试用“代数”的思维来解决。

这就是代数思想的原型。

2、用含有字母的式子表示运算定律和运算性质；用字母表示加法交换律，加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律并引导学生用宁母表示相关的运算定律。

这些运算定律及运算性质的探索过程，是帮助学生建立数感与符号意识的重要过程，使学生在学习和认识数学上有了一次飞跃。

3、用含有宁母的式子表示常见的计算公式；比如：五年级上册用s=ah表示平行四边形的面积，用s=ah/2表示三角形的面积公式，六年级圆的面积，圆柱、圆锥的体积等等都用字母表示，渗透了代数思想。

4、用含有字母的式子表示常见的数量关系。

在教学中有一些算术方法解决较难而方程处理比较简单的问题，我们可以让学生自己去体会，去比较，为方程思想的建立奠定一个良好的基础。

从算术思维到代数思维——以《用字母表示数》教学为例

教海探索还愿意给他卖命；从鸿门宴座次的安排可见项羽妄自尊大且行事高调；从项羽对樊哙的态度可见项羽虽爱惜勇士却敌我不分；他最后一败涂地，乌江自刎，也是意料之中。

从这些细节都直指项羽也许勇猛但却没有领导智慧，沽名钓誉，倒行逆施。

所以即便项羽在鸿门宴中杀了刘邦，也会有“李邦”、“张邦”、“某邦”等出现，来阻止他夺取天下。

同时，我们可以以此为契机，探讨“性格与人生”的关系，延伸课堂，深化内容。

如此实施阅读教学，有助于学生深入文本，破除刻板印象，引导学生从“大英雄”项羽被“狡猾小人”刘邦夺取天下的惋惜情绪中上升到理性思考，提升学生的思辨能力。

再如：必修二《最后的常春藤叶》中，在文本教学完后，我们可以探讨，假设贝尔曼知道自己冒雨为琼珊画叶子会付出生命的代价，是否还会义无反顾地去？有学生认为贝尔曼会去，他善良性格使然；但是也有学生认为他不会去，毕竟人都是趋利避害的。

关于这个问题，在阅读教学课上可以展开一场辩论赛。

学生“斗志满满”，会极尽所能去说服对方。

这就会促使他们大范围去收集资料，深入文本去找出支撑自己观点的细节，会认真组织语言去撰写辩论稿，这个过程将非常有助于提升思维的深刻性。

笔者认为，高中语文阅读教学要树立发展学生思维能力和提升学生思维品质的理念，在教学内容选择上可以采用以学生的问题为导向，设置主问题，有的放矢，提高学生思维系统性；在教学方法上，应该尊重学生的主体地位，适当采用“自主学习合作探究”的方式来深入探究，提高学生思维的深刻性；在教学成果反馈方面，要求学生读思结合，甚至要求学生读写结合，以文字形式呈现思维结果等。

通过以上策略，以期望在阅读教学过程中有意识地提升学生思维的系统性、深刻性、灵敏性、独创性和辩证性。

参考文献［1］陈剑峰.真问题：语文高效课堂的基石——以《孔乙己》教学为例［J］.语文知识，2014（4）.［2］李光明.思维发展与提升导向下的高中语文研究性阅读教学探究［D］.黄冈师范学院，2019.［3］姚婧.批判性阅读教学的实施策略［J］.语文教学通讯（D刊），2018（7）.［4］余映潮.我对阅读教学“主问题”的研究与实践［D］.中学语文教学，2007（9）.［5］中华人民共和国教育部.普通高中语文课程标准（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.（作者单位：浙江省杭州市萧山区第六高级中学）从算术思维到代数思维——以《用字母表示数》教学为例■陈雨《用字母表示数》是苏教版小学数学五年级上册第八单元的内容，是数学四大学习领域之一——“数与代数”的一个重要内容，是学生学习代数的基础。

2018上半年教师资格《教育教学知识与能力(小学)》真题附答案解析

2018上半年教师资格《教育教学知识与能力(小学)》真题及答案一、单项选择题1、人是共性与个性的统一体。

教育作为培养人的社会活动,既要坚持统一要求,又要注意()A.学生自主B.教师主导C.教学相关D.因材施教正确答案:D.因材施教2、面向全体学生,实现城乡、区域和校际的均衡发展,这体现义务教育具有()A.公共性B.民主性C.免费性D.强制性正确答案:A.公共性3、人的身心发展是由低级到高级、连续的、不可逆的过程。

这反映人的身心发展具有()A.阶段性B.整体性C.顺序性D.差异性正确答案:C.顺序性4、小学德育基本途径是()A.课外活动和校外活动B.少先队活动C.品德课和各科教学D.班主任工作正确答案:C.品德课和各科教学5、班主任李老师常常与学生协育处理各项班级事务,并鼓励学生积极参与对话互动交流,敢于质疑,这种班级管理方式属于()A.专制型B.民主型C.放任型D.对抗型正确答案:B.民主型6、作为青年教师,除了自我学习以外,也应该通过集体备课,同事研讨教研组活动,分享教学经验,提高教学水平,这突出体现教师专业能力是()A.沟通与合作能力B.激励与评价能力C.教育教学设计能力D.组织与实践能力正确答案:A.沟通与合作能力7、如果学生被蜜蜂蜇伤,教师应在第一时间向伤口涂抹()A.肥皂水B.蒸馏水C.食用醋D.稀盐酸正确答案:A.肥皂水8、悦耳美妙的轻音乐能使人产生春风拂面之感。

这种心理现象属于()A.直觉B.错觉C.幻觉D.联觉正确答案:D.联觉9、小英想当班干部为同学服务,又怕当不好被同学嘲笑。

这种心理现象属于()A.双趋冲突B.双避冲突C.趋避冲突D.多重趋避冲突正确答案:C.趋避冲突10、为了记住学过的生字词,小蓉反复抄写了很多遍。

她在学习中运用的是()A.监督策略B.复述策C.计划策略D.组织策略正确答案:B.复述策略11、小学生学习“三角形的内角和是180度”,这在奥苏泊尔有意义学习分类中属于()A.概念学习B.符号学习C.表征学习D.命题学习正确答案:D.命题学习12、教师经常会采用“换位思考”的方式进行心理辅导,其背后的心理机制是(A.激情B.共情C.热情D.反移情正确答案:B.共情13、苏格拉底的“产婆术”主要体现的教学原则是()A.直观性原则B.启发性原则C.科学性原则D.思想性原则正确答案:B.启发性原则14、为验证二氧化碳不支持燃烧,老师让学生分组合作,把点燃的火柴放进二氧化碳气体的瓶中,并观察瓶中的变化。

小学数学算术思维向代数思维的迈进—《用字母表示数》课例分析

小学数学算术思维向代数思维的迈进—《用字母表示数》课例分析摘要：数的运算在小学数学中占有重要的一席之地，培养小学生的运算能力和代数思维成为培养小学生学习数学的重要手段之一。

本文通过对小学数学课例的分析更加清晰的解析出如何促使小学数学算数思维培养向代数思维的培养。

关键词：小学数学；算数思维；代数思维；从古至今算数的运算都与我们的生活息息相关，我们也将算数的方法运用于生活的方方面面。

算数之于数学它力求寻找多种的方法去解决生活中各种数量关系。

而代数是意在研究数、数量、关系、结构在数学的计算思想上更加注重强调数量间的关系。

算数于小学数学而言是下学生应该掌握的基本思维方式与技能，是数量关系之间的运算，代数是更高阶层的思考数量之间内在联系及自身结构的运算思维，有助于学生构建丰富的数学运算思维，帮助学生更好地发现、运用、理解数及数量之间的关系。

因此，算数与代数与小学生学数学其存在不同的意义，在小学数学的教学中教师更因该关注小学生算数思维和代数思维之间的关系，同时思考如何推进学生有算数思维想代数思维转化。

一、由课例引发的思考从丢番图用缩写的方法表示数到韦达把字母当作符号来表示数，数学家们用了 1200 余年。

而本节课要在40分钟的小学数学课堂中来实现这样伟大的人类认知提升。

《用字母表示数》这节教学内容有两个重点：用字母表示数；用含有字母的式子表示数量关系。

“用字母表示数是建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃；从数到代数是数学表征的一次飞跃，数对于它所代表的具体事物来说是抽象的，而用字母表示数又是一次抽象。

”小学生以具体形象思维为主向抽象逻辑思维为主过渡，而抽象逻辑思维在很大程度上依赖于感性经验直接相联系的，从上面的描述中可以看出数据符号是对生活中各种物体个数的抽象概括，而用字母表示数形成的代数式是对数据符号的再次抽象概括，这种“ 认知的飞跃”与小学生的思维特点成为课堂教学的矛盾体。

因而对于小学生来说，从具体的情境中使学生感知字母表示数的含义，初步体验符号在数学中的作用（形式简洁高度概括），进而建立用字母表示数的数学模型具有一定的挑战性。

学习从算术思维到代数思维过渡的反思

学习从算术思维到代数思维过渡的反思
通过此次对从算术思维到代数思维过渡的学习，我加深了对“从算术思维到代数思维的过渡”的认识，同时也将在今后的教学生活中逐步渗透代数思想。

小学生在相当长的时间中是以算术思维为主的，但伴随着学习的不断深入，从算术思维过渡到代数思维是学生学习数学过程中的一个重要的转变阶段，也是小学与初中数学教学衔接时面临的一个重要问题。

这个过渡对于大多数学生而言都会存在不同程度的困难，教师在教学中首先应该重视对学生代数思维的培养。

在教学中，我们可以先用简单的题目引导学生使用字母表示未知数，列出简单的方程等式，求解未知数，从而让学生对字母代数有了基本的认识和了解。

因此，我们要在教学生活中善于捕捉适当的内容，善于寻找适当的时机，选择适当的方式，及时训练代数思维，让学生在活动中有所感，有所悟，逐步由算术思维向代数思维过渡。

如何帮助学生完成从算术思维向代数思维过渡

如何帮助学生完成从算术思维向代数思维过渡从算术思维向代数思维过渡，是学生认知发展的一次飞跃。

在课堂教学中，需要精心地设计过程，让每个学生都经历、感悟，才可能慢慢地完成从算术思维向代数思维的过渡。

低年级中的２＋（）＝7 10－（）＝３，以及高年级的４＋３Ｘ＝１０，都是先让学生熟悉等号的含义后，再借助天平原理辅助教学。

比如教学４＋３Ｘ＝１０时，首先明白天平是平衡的，即左右两边是相等的，现在开始改变盘中的数值，左边的４不要了，要使天平保持平衡，右边该怎么办，学生立即就会想到右边的１０也该减去４，既得到的是３个Ｘ等于６，再想象一个Ｘ则为把６平均分成３份中的１份即得到２。

再将刚才的思路反映到解题中。

这样，教学可以使抽象的问题形象化，简单化，同时也培养了学生的观察能力和分析、比较能力。

在方程教学中，对不同的学生给予不同的关注和辅导，经历一段时间的学习和积累渐渐达到要求，完成从算术思维向代数思维的过渡。

用字母表示数教案分析

《用字母表示数》教案分析设计用意：“用字母表示数”是数的重大进展，是学生由算术思维向代数思维的过度。

这之前学生在生活中已经接触到这方面的知识，如打扑克、汽车牌照、考试品级等。

结合这些生活体会和本次研究主题，我采取提出问题----研究问题---解决问题等步骤展开教学。

（通过对《用字母表示数》例的研究，进一步提高教师对算术思维和代数思维的理论认知水平，为更好的成立学生的代数思维做好铺垫。

）通过具体的生活情境创设，让学生体会用字母表示数的简练性和归纳性的同时，并能让学生正确的用含有字母的式子表达对意义的明白得，进展学生的代数思维。

同时通过模型的建构，进一步让学生体会用字母表示数的内涵，能自然的会用字母表示数，进一步进展学生的代数思维。

增强“自主学习”与“合作学习”机制的探讨，使学生取得更好的主动试探、主动质疑、主动合作、主动探讨、主动解决问题的能力。

教学目标：、使学生在现实情景中明白得用字母表示数的意义，初步把握用字母表示数的方式；会用含有字母的式子表示数量。

二、使学生在明白得含有字母式子的具体意义的基础上，会依照字母的取值，求含有字母式子的值。

3、在探讨数量关系的进程中，体会用字母表示数的优越性，感受数学的简洁美。

4、渗透不完全归纳思想和代数思想，培育符号化意识，提高抽象和归纳能力。

教学重、难点：明白得用字母表示数的意义，会用含有字母的式子表示数量。

教学进程：一、情境导入师：同窗们看这是咱们熟悉的扑克牌，明白他们表示多少吗？那么在生活中还有哪些地址用字母表示？小结：看来，字母在生活中到处可见，它是咱们表达信息的最简单的方式。

其实它在数学上有更为重要的意义。

请来看那个例子。

【前稿设计：原先设计是让学生用三张牌列式：它不但能玩，而且还蕴藏着今天这节数学咱们要研究的内容。

先考考你，你能用其中任意的三张牌列一道算式，保证它的结果是20吗？师：你的算式是+4+=20表示什么呢？11，这么说来在扑克牌里这些字母都表示一个数。

跨越从算术思维到代数思维这道鸿沟

跨越从算术思维到代数思维这道鸿沟算术思维到代数思维的过渡绝非是一蹴可及的，无法在缺乏经验下直接灌输，必须经过长适当的、多元的、循环的学习过程，才能顺利的跨越这一道鸿沟。

跨越这一道鸿沟一方面要从具体的数字到抽象的代数符号数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用，此处的代数符号包含＝、×、+、…、□、甲、乙、x、y、…等等。

从字面上来看，「代数」带有「以符号代表数」的意味，然则教学上所要关心的是：学生为何需要有运用文字符号来代替数字的思维？这种将待求之数以代数（文字）符号之，至少会引出四个不同的功用：（一）改变解题思维动向。

亦即能对「待解的已定数」作运算：例：「某数加5得到8，求该数。

」以算术思维的方法求解时，无论解题思维是「因为某数加5得到8，所以某数是…」或「什么数加5得到8？3加5是8，所以某数是…」，都是以「某数」为解题焦点，所有的运作只能以它为中心。

而当它被文字符号暂代时（如：x+5＝8），焦点已经转移到这个方程式及其解法了。

（二）让解法跳脱题目所给的情境或数字，而聚焦在一般性的解题方法：这个功用对代数的一般性（抽象性）与结构性有直接的影响，因为当解题不会因为题目所给的数字不同而改变作法，其实已经在建立代数的一般性与结构性了。

（三）能保留对运算的程序或结构：例：「边长为2的正方形，得到其面积为4」。

但是得出4之后，就无法得知4究竟是2 、2×2、2+2，还是其它方式而来。

而符号的一个功用就是能保留这些程序或结构，这尤其在多项式、函数、乘法公式、代数论证…上，程序或结构的保留对概念的形式化有不可或缺的地位。

跨越这一道鸿沟另一方面要从特殊化到一般化（抽象化、去情境化）转变。

符号的使用只是进入代数思维的第一步，真正进入代数思维，凭借的是支撑在符号背后的代数想法，也就是一般化的想法。

发展三个意识培养代数思维

口。口＝口（个）
加法意义想到：吃了的９个＋还剩多少个＝１９个草莓。这三种思路都是正确的，后两种思路是方程思维方式的体现。将学生的算术方法和方程的思维方式有机地整合在一起。能消除后续代数思想培养中算术方法带来的干扰。
学生而言这都将是一次挑战。发展以下三个意识可以帮助学生从算术思维向代数思维顺利过渡，并获得后续代数思
维的培养。
一
、
符号意识
用字母和符号表示数及其运算或关系是代数学的一个
基本特征，发展学生代数思维，必须发展学生的符号意识。四年级学生的思维正处于具体形象思维向抽象思维逐步过
渡的时期，教师必须依托生动具体的情境，让每个学生都有
机会经历 “ 具体事物的认识一个性化的符号表示一学会数学表示 ” 这一个逐步符号化、形式化的过程。１．多元表征，感知符号语言。特级教师俞正强老师执教
综合平台・能力培养
发展三个意识
培养代数思维
广东韶关市仁化县实验学校（５１２３００）凌卫文
第八册数学教材《认识方程》单元的出现正式开启了学
生思维的新纪元，它标志着学生将从算术思维向代数思维进行过渡。这个过渡并非是一个经过练习能够跨越的量变过程，而是一个必须经历结构转化的质变过程，对于大多数

从算术向代数过渡

从算术向代数过渡从算术向代数过渡，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段．算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运算等，这些知识对学生是基本的，它们将为学生今后的代数学习打下坚实的基础．所不同的是，代数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义的基本对象??符号，这是代数不同于算术的典型特征．在代数中，用字母表示数，用符号表示运算法则、运算性质、计算公式等，将数的知识提升到一般化的水平．在代数的课程中，学生要学习符号的意义、进行符号之间的运算（形式变换）和转换、用符号进行表示、用符号解决问题．在此过程中，学生还要学习许多新的概念，如代数式、变量、参数、图像、方程、函数等，而且他们还需要懂得代数的结构．因此，代数的内容和方法对学生提出了更高的要求，是学生所面对的又一次挑战．学生从算术向代数的过渡，是从对数的思考向对符号的思考的转变，是从算术思维向代数思维的转变，是思维层次从个别到一般、具体到抽象的飞跃．研究算术方法和代数方法各自的特点，研究它们之间的联系与不同，对于提高教师的专业水平，以及有效地进行教学设计和有针对性地对学生进行指导是十分重要的．1 结构结构，是代数最基本的方面之一．我们这里所说的结构，正如弗赖登塔尔所指出的：“结构是从语言表达抽象出来的一种形式．”他给出了一个代数结构的简单的例子a +b = c ，即将一个数a 和另一个数b 加到一起，就会得到数c．回想在算术中，当写两个数相加的形式时（如2+7），通常就是要算出2 和7 的和（9），2+7 通常只是一个过程，9 是2+7 的结果．而代数式a+b 这个形式本身，既表示 a 和b 这两个数作加法运算，也表示a 和 b 相加的结果．即a+b 本身既可以看作运算过程，又可以看作运算结果，也就是作为一个对象看待．将2+7 作为一个数的解释是真正的代数，它与文字演算紧密相关．如果说把代数式作为一个运算过程来理解，对于开始学代数的学生来说还不是太困难的话，那么把代数式作为一个结果对象来理解就是比较困难的了．我们不妨举马明先生的一段学生时期的回忆作为例证：“已知长方形的长为 a 尺、宽为 b 尺，求其周长．我算的结果是2(a+b)尺．我拿着这个结果去问老师：‘究竟这个长方形的周长是多少？’老师说：‘不是已经算出来了吗？2(a+b)尺！’我感到困惑不解．”这是对初学者只知代数式表示过程、不知代数式也表示结果的生动写照．因此，对代数式的意义的认识，学生不是一蹴而就的，而是需要一个理解的过程．代数式既表示运算过程，同时也表示运算结果，这件事可以这样理解，如2(a+b)，当我们代入数值a = 2，b = 1 时，经过运算，就得到2(2+1) = 6，这显示了代数式过程性的一面．同时，对于2(a+b)，不论 a 和b 代入何值，它都代表周长，代表长为a、宽为 b 的长方形的周长，是作为一个对象，或者说是作为一个整体来理解的，它在这一背景下有着确定的含义．我们可以进一步用下面的例子说明．1 用通项公式(n =1, 2,…)表示数列1，12，13，…，，…，…时，其中代数式是一个整体，是作为一个对象，而通常不是n 作为 1 和n 这两个对象．算术运算和代数运算的根本区别在于算术运算是过程性的，算术运算的目的是为了求出算式的结果，而代数运算是结构性的，是形式变换，代数运算具有过程和结果双重性．2 解法等号“=”表示等式两边对称的等价关系，a = b 即是说a、b 是同一个对象．但是在算术中经常被用来“宣布一个结果”．如2+3 = ？“=”所传达的信息是要把2+3 的结果算出来，宣布2+3 的结果是多少．在算术方法中，“小学生用‘=’表示计算结果，而不是用来表示等式两边对称的等量关系”．这使得小学生在进行运算的过程中，出现诸如2+15 = 17?11= 6之类的错误．这种对等号意义的错误理解，将会给用方程的方法解决问题带来障碍．为了帮助学生理解等号的意义，国外有的教师设计了诸如“有坏键的计算器”这样的问题．问题是这样的：一个计算器上的“5”键坏了，不用“5”键，如何用这个计算器计算525?257 = ？有学生用424+101－247－10 = 268，有学生用636－368 = 268，还有学生用414－146 = 268．很明显，学生在这里利用了525－257 = 424+101－247－10，525－257 = 636－368，525－257 = 414－146 等，等量关系．这种训练对于学生从算术向代数的过渡是有意义的．可以看出，这里所表现出来的正是算术中潜在的代数结构．为了发现和利用这些机会，即算术中潜在的代数结构，教师应该长着“代数的眼睛和耳朵”．用代数的方法解决问题和用算术的方法是不同的，让我们看下面的例子：例1 父亲给了玲玲15元钱，玲玲买文具花去了17 元后还剩下11 元，你知道玲玲自己原来有多少钱吗？（1）利用算术的方法，有：17+11 = 28，28－15 = 13，玲玲自己原来有13 元．（2）利用方程的方法，设玲玲原有x 元，列方程，得：x +15－17 = 11，解得x = 13．在学习方程的初期，有的学生列出方程17+11－15 = x，这本质上仍是算术方法．例2 用100元钱买8元一本的书和4元一本的书共17 本，你知道两种书各有多少本吗？（1）利用算术的方法：解法一(8×17－100)÷(8－4) = 36÷4 = 9，17?9 = 8．解法二(100－4×17)÷(8?4) = 32÷4 = 8，17?8 = 9．解法三若100 元钱都买4 元一本的书，可以买100÷4 = 25（本）．少买2 本4 元的书，就可以买一本8 元的书，因此可以列出如表1 所示的数目与价值关系表．只有买4 元的书9 本，8 元的书8 本才合题意．（2）利用代数的方法，可以设买8 元一本的书x 本，4 元一本的书y 本，列方程组利用消元法，解得x = 8，y = 9．这两种方法是有区别的：（1）用算术的方法寻求问题的结果，是从具体问题的已知数出发，通过对已知数或计算产生的中间数进行一系列的计算而达到问题的解，并不将问题形式化．这里，“=”用来表示计算结果．利用算术的方法，思考的过程往往是逆向的．（2）而用方程的方法，需要首先分析问题中的等量关系，把问题表示为含有未知量的等式（建立数学模型），把问题形式化．然后利用等式的性质对方程进行恒等变形，在变化的过程中始终保持方程两端对称的等量关系，利用程序化的方法求得x =13．这里“=”用来表示等式左右两端对称的等量关系．从表示等量关系、保持等量关系，到求得方程的解，体现了方程的结构特点．用方程的方法解决问题，思考的过程往往是顺向的．（3）从解决问题方法多样性的角度来看，算术的方法、列表的方法都不失为解决问题的途径．但是从思维发展的角度来说，代数的思考是在抽象层面上的思考，代数的方法具有一般性，有助于培养高层次的思维．按照维果茨基（Vygotsky，1962）的说法，代数对算术就像书面语言对口头语言．因此，我们的教学应该引导学生从算术的思考逐步地过渡到代数的思考，逐步地从非形式化的水平上升到形式化的水平．3 利用逆运算的方法解方程一些教科书中，可能是出于使学生易于理解的原因，先教学生利用逆运算的方法解方程．如解方程2x－1 = 3，首先，指出2x－1 = 3 相当于2x 与1 的差是3，2x 是被减数，1 是减数，3 是差．被减数等于减数加差，因此2x = 1+3 = 4．其次，指明2x = 4 相当于2与x 的乘积是4，因此，乘数x = 4÷2 = 2．利用逆运算的方法解方程和利用代数的方法（方程的结构性质）解方程是大不相同的，它是一种算术的思考．算术思考的特点，最主要的是过程性的思考，主要集中在得到正确的结果．而代数的思考常被描述为关系的或结构的，它的目的往往是为了建立模型，对一般性和结构进行证明或进行交流．尽管代数的特性可以从结构和过程两方面都可以感受到，但是代数课程，特别是在从算术向代数过渡的阶段，最主要的方面基本上是结构的．从这个角度来看，利用逆运算的解法不利于形成对代数方法的认识，不利于学生向代数思维的转化．4 表示等量关系在用方程的方法解决问题时，我们教师的体会与国外的研究有相同之处．研究结果表明，大部分错误都是由于不能够形成问题情景的数学模型而引起的，而不是由于不能够理解问题情景或不会解代数方程．因此，学生对等量关系的理解和表示的过程不能进行得时间过短或速度过快，教师需要借助于多种途径精心进行教学设计，帮助学生理解和表示等量关系．如何引入等量关系的表示？弗赖登塔尔给出了如下的一个例子：教师首先拿起一个带有刻度的玻璃杯，其中水面的高度是k；然后又拿起另一个带有刻度的玻璃杯，其中水面的高度是c；然后教师把这两杯水都倒入第三个玻璃杯，此时这个玻璃杯含有水b．学生利用画图表示k、c、b 之间的联系，并且得到关系式表示c = b－k，b = c+k，k = b－c．琳斯（Lins，1994）给出了一个类似的例子：两个完全一样的容器（如图1），但盛有不同量的水．（a）容器中再倒入9桶水就会满，（b）容器中再倒入 5 桶水就会满．对这两个容器，你能得到哪些结论？学生列出了各种形式不同的等式．例如，x+9b = y+5b，并且化为了x+4b = y．新的代数课程，从对运算的强调转向更加关注对问题的表示或数学建模，转向关注学生是否能用数学的眼光把实际情境数学化、用数学的方法解决实际问题．因此，帮助学生理解符号表示和符号运算，考虑我们在教学上可以做什么，特别是在算术向代数过渡的阶段，是十分有益的．教师对课程的深刻理解和高水平的教学设计将为学生能力的发展提供一个坚实的平台．。

厘清等量关系直击方程本质——“等式与方程”教学设计与说明

［摘要］“等式与方程”一课中学生初次经历从算术思维向代数思维过渡，开始认识方程。

首先联系旧知和天平图，引导学生认识“等式”“不等式”和“方程”；其次通过列方程，厘清等量关系；最后要知道不同的等量关系对应不同的方程，因而方程具有多样性，需要合理选择。

［关键词］等式与方程；等量关系；方程本质［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2021）17-0068-03【教学内容】苏教版小学数学教材五年级下册第1、2页，练习一第1、2题。

【教学目标】1.使学生在具体的情境中理解方程的含义，初步认识等式与方程的关系。

2.使学生在观察、描述、分类、抽象、概括的过程中，经历将现实问题抽象成式子与方程的过程，能依据等量关系列方程，体会方程是刻画现实世界的数学模型，感悟方程思想。

3.使学生在积极参与数学活动的过程中，感受探索乐趣，获得成功体验，增强学好数学的信心。

【教学重点】初步理解等式和方程的意义，能判断哪些是等式，哪些是方程。

【教学难点】理解等式与方程之间的关系，能依据具体情境中的等量关系列方程，感受方程的多样性，学会合理选择。

【教学准备】课件、探究单、学习单。

【教学过程】一、依托情境——认识等式与不等式1.由天平图列式子师（出示天平）：生活中有这样的测量工具，谁能说说对它的了解？师：根据①号天平图，你可以列什么式子？生1：50=50。

师：②号天平图呢？生2：50+50=100。

师：③号天平图呢？生3：100+50<300。

生4：100+50+x=300。

师：仔细观察，这几幅图有何不同？师：拿出探究单，先自己写一写，再和同桌交流。

【设计意图：课始，借助天平平衡、不平衡的直观情境让学生体会等式和不等式的含义，贴合学生的认知特点，引导学生建构对左右相等和等式的理解，为由算式思维过渡到代数思维做好铺垫。

】2.给式子分类师：我们为天平图列出了式子，接下来要干吗？生1：把这些式子分类整理。

民族文化与数学研究

提前孕伏，从算术思维走向代数思维摘要：从算术思维到代数思维，是小学数学教学所面临且必须解决好的一个重要问题.要解决好这个教师必须充分明确其中的程序性、过度性和可能遇到的困难，要结合教学实际，努力探讨教法和经验，以顺利完成从数字到符号、从特殊到一般、从程序到结构的过度.关键词：算术，结构，方程，代数思维引言：从算术向代数过渡，是学生认知过程的一次转折，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段.为了更好的完成从算术思维到代数思维的过渡，小学数学教师应当从学生的发展出发，引导学生学会用“代数的眼睛和耳朵”思考算术和问题，充分挖掘小学数学教材代数思维的“基因”，根据具体的教学内容进行适当的铺垫和渗透、拓展与延伸，提前孕伏，使学生的代数思维得到有效的训练与提高，实现从小学到中学数学学习的成功跨越.一、提前孕伏，捕捉代数雏形结构，是代数最基本的方面之一．我们这里所说的结构，正如弗赖登塔尔所指出的：“结构是从语言表达抽象出来的一种形式.”[1]小学数学实验教材的内容编排已经体现了知识的逻辑次序与学生的认知顺序的关系，但并没有注明什么内容将和中学的什么内容衔接，这就要求教师在教学中善于挖掘三个学段知识间的内在联系，以联系、发展的角度，分析处理教材，注意对教材由微观到宏观的研究，挖掘知识间的衔接点，在算术教学过程中注意与代数有关知识点的有机联系，适时渗透代数的思想和意识，让代数思维“弥漫”于各个学段的学习中，为学生代数思维方式的形成创造条件.如，一年级学习10以内的加减法时，学生解答过类似下面的习题：4＋□＝4 3＋□＝5 5－□＝3 5＋□＝8 □－4＝5二年级学习表内乘除法时，又解答过类似下面的习题：7×□＝56 3×□＝21 9×□＝63 7×□＝28上述含有□的等式，都是方程.只不过后来用字母x、y或z等取代了等式中的□后，这些含有未知数的等式才被称为方程.又如：在学习四则运算的过程中可穿插一些稍复杂的“算式谜”，如9×◇＋18÷3=42，10×△－8×△=36，（30＋○）×7=343等，既渗透了用字母表示数，也渗透了方程的思想.“一个式子可以表示一个数”是代数的一个重要思想，这一思想其实在简算与列综合算式中都可以找到“原型”. 例如苏教版四年级下册第七单元简算73×101，就要运用乘法分配律，把一个数改写成一个算式，如73×101=73×（100+1）中100+1就是101这个数的另一种表示形式.在这个过程中，强调数与算式的关系，不但有助于学生对简便计算的理解，也能加强学生对代数式的理解.又如在混合运算中让学生列综合算式解决两步计算的实际问题，一般要先列出分步算式，再列出综合算式.在这个过程中，我们可以将分步的一个算式理解为一个数，最后得到一个综合算式.如解决“笔记本每本5元，书包每个20元.小军买3本笔记本和1个书包，一共用去多少钱”时，可先让学生分步列出5×3=15、15+20=25，并指出“15+20=25中的15是由5×3得到，我们可以直接用5×3得到一个综合算式5×3+25”，让学生知道算式可以理解为一个数的另一种表示方式，是一个数的过程展示.二、深度挖掘，感受代数思维实现从算术到代数的跨越，实验教材始于用字母表示数.用字母表示数是代数学习的首要环节，是学生形成代数思维的关键内容.理解用字母表示数的意义是学习代数的关键，也是中学阶段学习运用代数式、方程、不等式、函数进行交流的前提条件.学生经历从用数字表示数到用字母表示数的过程是一个漫长的过程，需要经历大量的活动，积累丰富的经验，并在具体情境中反复体会用字母表示数的意义.因此，学习用字母表示数，不能一蹴而就，需要教师在后续的教学中不断强化.如教学苏教版五年级下册《确定位置》时，某位教师这样教学：出示五年(一)班参加广播操比赛时部分学生的位置图.（图上学生站成了4列、6行.）第一题：请用数对表示出小明的位置.（小明的位置可用数对（2，4）表示.）第二题：有一个同学和小明站在同一行，这个同学的位置用数对怎么表示？学生用数对表示出这个同学的位置可能是（1，4）、（3，4）、（4，4）后，教师追问：“你能用一个数对表示出这个同学可能的位置吗？”在教师的启发下，学生想到了用字母表示列，用数对（n,4）或(a,4)表示这个学生的位置.教师再次追问：“这里的n或a能表示任何数吗？”通过讨论，学生明确明白这里的字母只能表示1、3、4.第三题：有个同学的位置用数对表示为（4，y），这个同学可能在哪个位置？为什么？学生认为这个同学所在位置的列确定，行不确定，可能的位置有（4，1）、（4，2）、（4、3）、（4，4）、（4，5）、（4，6）.案例中，教师匠心独运，通过用含有字母的数对表示行相同或列相同的位置，突出了同一行或同一列的数对的特征.在列和行一个确定一个不确定的情况下，用含有字母的数对确定位置，是对用字母表示数的提升和概括，是把知识转化为技能的有效方法. 从解决问题方法多样性的角度来看，算术的方法、列表的方法都不失为解决问题的途径．但是从思维发展的角度来说，代数的思考是在抽象层面上的思考，代数的方法具有一般性，有助于培养高层次的思维[2]．三、巧妙渗透，培养代数思维介于小学算术程序思维与中学代数关系思维之间的是“准变量思维”，它的核心是充分利用算术中所隐含的代数关系与结构，对算术及其问题进行“代数的思考”，而不是关注于算术计算.准变量思维是从算术思维发展到代数思维的桥梁和纽带.因此，教师要敏锐地发掘可以培养学生准变量思维的素材，将数学知识进行有机的拓展和延伸，从而实现两者之间有效的衔接.如在教学《圆柱体积的计算》时，某教师出示这样一道练习题：“一张长方形纸，长是20厘米，宽是10厘米，怎样围圆柱的体积最大？”学生一般习惯通过计算，得出：以长方形的长为圆柱的底面周长、以宽为高时，圆柱的底面半径为20÷3.14÷2≈3.19（厘米），体积为3.14×3.19×3.19×10≈319.5295（立方厘米）；以宽为圆柱的底面周长、长为高时，圆柱的底面半径为10÷3.14÷2≈1.59（厘米），体积为3.14×1.59×1.59×20≈158.7647（立方厘米）.通过计算得出：以长方形的长为底面周长、以宽为高时围成的圆柱体积最大.学生基于算术思维，通过计算的结果进行判断，而且计算起来比较繁琐.并且这个结论只能说明对这组长和宽是成立，对其他的长和宽是否也成立仍不得而知，而按严密的代数思维应该这样推理：设长方形的长和宽分别为a、b（a≥b）厘米,则以a为圆柱的底面周长、以b为高时，圆柱的底面半径为a÷π÷2=a/2π（厘米），体积为π×(a/2π)2×b =4 a2b/4π（立方厘米）；以b为底面周长、a为高时，圆柱的底面半径为b÷π÷2=b/2π（厘米），体积为π×(b/2π)2×a =4 b2a/4π（立方厘米）.因为a>b,所以4 a2b /4π>4 b2a/4π，即以长方形的长为底面周长、以宽为高时围成的圆柱的体积最大.运用代数思维进行证明，显然超出了小学生的现有思维水平.在教学中，我们可以引导学生用π替代常量3.14进行推算：以20厘米为底面周长，以10厘米为高时，圆柱的底面半径是20÷2π，体积是π×（20÷2π）×（20÷2π）×10=20×20×10÷4π(立方厘米)；以10厘米为底面周长，以20厘米为高时，圆柱的底面半径是10÷2π，体积是π×（10÷2π）×（10÷2π）×20=10×10×20÷4π(立方厘米).比较两个式子，得出20×20×10÷4π>10×10×20÷4π，接着，教师引导学生观察长、宽与最后之间的关系，比较这两个结果的区别，得出以长为底面周长，宽为高时围成的圆柱体积最大.这样的过程立足于具体的数值，但“计算”过程中关注的不是每一步的计算结果，而是关系和结构，通过对关系的变换，得出具有结构性的、一般性的、形式化的结果，明确长、宽与圆柱体积之间的关系.这样运用准变量思维，蕴伏算术和代数之间的关系，促进学生代数思维的发展.四、方法多样，思维腾飞，发展代数思维传统的小学数学应用题不仅难度大而且数量多，导致不少小学生谈“题”色变.所以，应用题教学改革势在必行.我国著名数学家吴文俊教授说：“对于鸡兔同笼之类的许多四则难题，你若用代数方法来做，就会变得非常容易.更重要的是，尽管这些四则难题制造了许许多多的奇招怪招，但是你跑不远、走不远，更不能腾飞……可是你要一引进代数方法，这些东西就变成了不必要的，平平淡淡的.你就可以做了，而且每一个人都可以做……所以四则难题用代数取而代之，这是完全正确的，对于数学教育是非常重要的.例如这样的一道应用题：“甲、乙两城之间的铁路长336千米，甲、乙两列火车分别从两城同时相向开出，3小时后相遇.甲车平均每小时行58千米，乙车平均每小时行多少千米？”由于学生在这之前已经学过“速度和×相遇时间=总路程”的数量关系，列方程来解答就比较容易，通过设所求的问题为“乙车平均每小时行x千米”，就可得出（58+x）×3=336的方程.而且根据不同的等量关系，也可列出不同的方程，方法是多种多样的.这样既拓宽学生的思路，又培养了学生思维的灵活性和创造性.反之，由于这是一道逆向思维的应用题，若用算术方法来解答就比较繁.用分步计算则有：“58×3=174，336-174=162，162÷3=54”；若列一个式子则是“（336-58×3）÷3”这对于中学生来说就有点难度了.因此，我们要根据义务教育《数学课程标准》的要求，教会学生必要的算术应用题，同时应当淡化算术解法而加强方程解应用题的教学.五、灵活运用，简捷明快，深化代数思维在小学数学应用题中，解题方法可有推理法、公式法、分数法、差倍法、倍比法、比例法等多种，但其思维的过程难度很大，对小学生来说是费时费力的.这类题目，若用代数方程解，则往往变得十分简单，只要弄清楚题目的等量关系就可设未知数进行计算了.表示等量关系在用方程的方法解决问题时，我们教师的体会与国外的研究有相同之处．研究结果表明，大部分错误都是由于不能够形成问题情景的数学模型而引起的，而不是由于不能够理解问题情景或不会解代数方程[3].在教学中，注意引导学生自觉地灵活运用方程解法，能深化学生的代数意识，简化解题过程，既提高了教学效率，又训练了学生的思维能力.如：“今年父亲的年龄是儿子年龄的9倍，母亲年龄是儿子年龄的7倍，父亲比母亲大8岁，儿子今年多少岁？”此题若用算术方法解，一定要先弄清楚父、母年龄与儿子年龄的倍比关系，从思维角度看，就有点繁难，学生不易理解.但若用方程算，只要设儿子年龄为x岁，就可得方程9x-7x=8，解得x=4.非常简单明白.又如：“同学们参加野营活动.需要领碗55个，其中1人用一个饭碗，2人用一个菜碗，3人用一个汤碗，那么共有多少同学参加了这次活动？”用代数方法思考，设有x个同学参加活动，则要用x个饭碗，1/2x个菜碗，1/3x个汤碗，依题意可得x+1/2x+1/3 x=55，解得x=30.可见用代数方法解题，确实方便快捷.把代数看作是一种思维方式，它是一种对于规律与关系进行推理的方式，它也渗透在儿童早期的数学活动中.这有助于从整体把握这个领域的教学，也大大扩展了发展代数思维的载体，而不仅仅局限于“字母表示数”与“方程”等具体内容。