第2讲 跨越——从算术到代数
一元一次方程——从算术到方程
一元一次方程——从算式到方程教学目标1、认识目标：知道什么是一元一次方程，方程的意义。
2、能力目标：经历具体问题抽象出方程，让学生尝试归纳一元一次方程的概念，懂得一元一次方程的含义。
3、情感、态度与价值观：体验数学知识来源于生活，同时又效劳于生活。
培养学生独立思考的习惯，建立方程思想。
教学重难点教学重点：一元一次方程的概念和含义。
教学难点：具体问题转化成方程问题。
学情分析在小学算术中，学生学习了用算式的方法解决实际问题，随之知识的深入，设元直接参与计算，形成方程越来越方便。
本节课是根底，是思想的一个转折点，所以对于学生和认知的继续都有着很重要的意义。
教法教学方法：引导学生对身边事物的观察，倡导学生参与探究归纳，师生互动概述发生过程。
“教无定法教必有法〞，教学方法的得当才能完本钱节课教学目标的有效完成。
根据初一学生的学情和班级学生的不同学情制定人人可用，人人可尽其用的教学方法和环节设计师本节课教法的关键。
综合考虑我设计了上述教学方法。
教学手段：运用多媒体，实现现代化教学手段辅助教学过程学法学生的学法本是教学的最高追求。
首先，教师营造的环境，引导学生进入佳境，从熟悉的到陌生的，让学生下意识的运用自己的学情去探寻未知的领域并形成自己的储藏。
在这个过程中，下意识的学习能力的运用将会使自己开掘更高或更多的能力和知识，也会收获丰富的情感、价值观。
教学过程一、创设情境，思想转变开篇讲述数学开展史，进而引入用字母表示未知数的代数领域，字母可以像数字一样参与计算，引出未知数的伟大意义，从而引入方程思想。
1、讲述算术和方程的不同意义。
2、引出未知数x，丢番图的故事。
二、师生合作，列式总结通过故事，将未知量全部用字母表示。
再通过寻找等量关系，列出等式，总结概念一：方程的概念。
比照发现方程的优点。
三、稳固提升，习题演练出例如题，并通过算术方法和方程方法进行解答感受他们的不同和意义。
小洁：你了解方程吗？讲述方程的知识：1、方程的概念；2、方程的特点；3、方程的元；4、方程的解归纳一元一次方程通过方程的特点归纳出特殊些一类方程：一元一次方程；并分析出它的特点。
从算术思维到代数思维
从算术思维到代数思维摘要：算术思维与代数思维之间的承接关系并非藉由经历足够的经验便可跨越，还必须经过思维结构的转化即质的改变，这个过渡也是学生学习代数时必须面对的困难。
笔者就如何启发儿童“符号代数”的意识，帮助他们积累“结构转换”的感性经验，加速从具体演算阶段到形式运算阶段的进展，为他们打开代数思维之门提出自己的看法。
关键词：算数；代数；思维中图分类号：g632 文献标识码：b 文章编号：1002-7661（2013）07-103-01一、多元化表征、建构符号意识“代数”，从字面看就有“以符号代表数”的意思。
学生的学习从具体情境到抽象概念，其思维必须经历从数字到符号的飞跃，因此符号意识的培养对发展小学生代数思维显得尤为重要，然而实际问题情境的复杂性和符号本身的抽象性为学生理解和应用代数符号带来了困难，因此我们一方面要帮助学生从一定程度上摆脱对问题情境的依赖，发现各类问题背后的数学结构，另一方面也要优化学生对符号的认识，帮助学生积累使用代数符号的经验。
换言之，我们可以通过对数学问题的多元表征，逐步发展学生的符号意识。
1、优化对符号的认识数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，符号化是学生跨入代数思维的第一步，而符号化绝不是学生的自然、直观的想法，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用。
建立对等号的认识：算式和代数虽共享一些符号如+、-、×、÷、=，有些符号在算术与代数之间的意义并不同，这也使得学生在面对这些符号时，经常产生混淆。
我们在教学中，应针对不同认知层次的学生采用循环、螺旋的方式，引导学生把等号看作是相等和平衡的符号，是一种关系。
拓宽对符号的理解：四年级（下）进行”用字母表示数”的专题学习，字母符号表示数、表示数量关系、表示规律模式以及数学公式，帮助学生建立数感与符号意识。
五年级（上）对符号表征却只字未提，到五年级（下）学习方程，由于教材编排的跳跃性，教学时往往忽略“用字母表示数”作为数学的一种抽象表征方式的重要教学价值，造成了学生符号意识发展中的问题，大多数学生对符号的认识停留在一个未知的确定的数或者一个特定的记号，而没有把符号看作推广的数或者变量，对a+15这样的式子通常认为是一个“过程”，对一些运算律和公式也只是将其作为一种固定的模式记忆。
超越数与代数数
超越数和代数数是数学中的两个重要概念，它们分别指的是不能被方程的整数系数解的数和可以被方程的整数系数解的数。
超越数与代数数的研究对于数论和代数学的发展有着重要的意义。
超越数是指不能被任何代数方程的整数系数解的数。
换句话说，对于任意给定的代数方程，如果它的系数都是整数，而有理数解不存在，那么这个数就被称为超越数。
最早提出超越数概念的是19世纪的法国数学家利普舍茨。
他通过研究指数函数和对数函数的关系，发现了超越数的存在性。
代数数是指可以被某个代数方程的整数系数解的数。
例如，平方根、立方根、开4次方等等都是代数数，因为它们满足了某个整系数的代数方程。
代数数的研究可以追溯到古希腊时期，当时人们已经研究过二次方程和三次方程的解法。
超越数和代数数的区别在于它们的性质和研究方法。
超越数的研究一直是数学家们关注的焦点之一。
早在19世纪末和20世纪初，利普舍茨、希尔伯特等数学家就开始研究超越数的性质，提出了一系列的定理和算法，而这些研究成果也为数论和代数学的发展奠定了一定的基础。
一个重要的超越数是圆周率π。
通过数学推导可以得到，π是一个无理数，即不是有理数的小数形式。
更进一步地，利普舍茨证明了π是超越数，也就是说，π不能被任何代数方程的整数系数解。
这一结果对于数学界来说是具有划时代意义的。
此后，人们对超越数的研究越来越深入，出现了一系列的超越数，如自然对数的底e、黎曼猜想中的黎曼函数ζ(2)等。
超越数与代数数是数学中两个重要的概念，它们相互之间有一种内在的联系。
根据勒让德的证明，任意两个超越数之间的和、差、乘积、除法，都是超越数。
这一结论给出了超越数间的基本运算规则，为研究超越数提供了一定的便利。
超越数和代数数的研究对于数论和代数学的发展都非常重要。
通过对超越数的研究，可以推动数论领域的发展，揭示数的性质和规律；同时，超越数的研究也对代数学的研究有所启发，推动了代数方程论和多项式理论的发展。
综上所述，超越数与代数数是数学中两个重要的概念，它们分别指的是不能被方程的整数系数解的数和可以被方程的整数系数解的数。
第2章 数学的应用价值
一只船从甲地到乙地， 往返共用2小时 小时， 一只船从甲地到乙地 ， 往返共用 小时 ， 回来 时是顺水， 比逆水每小时多行8千米 千米， 时是顺水 ， 比逆水每小时多行 千米 ， 第二小 时比第一小时多行6千米 甲乙相距多少千米？ 千米， 时比第一小时多行 千米 ， 甲乙相距多少千米 ？ 兄弟二人各有人民币若干元，哥比弟多50元 兄弟二人各有人民币若干元，哥比弟多 元， 3 1 给弟， 若哥把自己的 7 给弟，弟又把原来自己的 3 给 则弟比哥多10元 哥弟原来各有多少元？ 哥，则弟比哥多 元，哥弟原来各有多少元？ 一辆汽车从甲地到乙地， 一辆汽车从甲地到乙地 ， 若把车速提高到原速 可比原定时间提前1小时到达 的 1.2倍 ,可比原定时间提前 小时到达 若原速 倍 可比原定时间提前 小时到达;若原速 行驶120千米后 再将速度提高到原速的 千米后,再将速度提高到原速的 行驶 千米后 再将速度提高到原速的1.25倍, 倍 则可提前40分钟到达 甲乙两地相距多少千米？ 分钟到达,甲乙两地相距多少千米 则可提前 分钟到达 甲乙两地相距多少千米？ 直观想象线段图、 直观想象线段图、方形图
算术方法：不允许未知数参与运算（ 算术方法：不允许未知数参与运算（未已不 平等-类似种族歧视） 平等-类似种族歧视） 基本特征： 基本特征：算——数（加—减、乘、除） 数 减 基本特征： 基本特征：用“术”——算（有规律地算） 算 有规律地算） 基本特征：不同的算法——不同的计算途径 基本特征：不同的算法 不同的计算途径 或程序 基本特征： 基本特征：解决一个一个的具体问题 通过“ 解决的问题是算术问题。 通过“术”和“算”解决的问题是算术问题。 通过“ 体现逻辑思维 演绎。 逻辑思维—演绎 通过“术”和“算”体现逻辑思维 演绎
算数” 代数： 算字母” 算术： “算数”——代数：“算字母” 代数 算术：解决具体问题—代数：解决一类问题 解决具体问题 代数： 代数
第二讲式-代数式与不等式
第二讲式、代数式与不等式用字母表示数，数学研究的对象便从数扩展到式。
式本身不仅是代表数的符号，也是表明对于数和字母按怎样的次序进行什么运算的符号。
按照一定的数学法则，把数学符号连接起来的符号串，我们称之为数学式。
数学式是数学研究的基本对象。
一、数学符号简史古代数学涉及的抽象概念很少，也很少利用抽象符号。
欧几里得《几何原本》就不使用数学符号。
中国古代数学虽然很早就使用小数和分数，包括使用0，也大量求解方程，但是因为计算过程依赖于算筹，所以也没有使用小数点、分数和其它运算符号，0只是一个空格。
公元10世纪左右的阿拉伯数学，用文字代表数，使得数和文字可以实行运算，并借此求未知数，这是一项重大贡献，但是他们仍然以文字表述为主。
最早使用“+”“-”表示加减的是15世纪的德国数学家。
现存于德累斯顿图书馆的数学手稿（1486年）中，首见此符号。
1631年，英国数学家奥特雷德在《数学之钥》一书中使用“×”表示乘法，而1698年莱布尼茨在一封信中使用“.”表示乘法，这样可以避免“×”和字母x混淆。
除法的记号“÷”在1659年由瑞士人雷恩引入。
等号是英国数学家雷科德于1557年在《励智石》一书首先使用。
表示方程的符号，世界各国很不相同，可以说五花八门。
19世纪末20世纪初国际交往的扩大，终于有了比较统一的国际通用的数学符号。
中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。
满清政府推行“中学为体，西学为用”的政策，在符号使用上拒绝和国家接轨。
1897年京师同文馆数学大考题中的两则考题：详见《中学代数研究》38P1859年《代微积拾级》出版算起，w z y x ,,,取代天、地、人、元的过程，前后经历了半个世纪之久。
二、数学符号语言——代数式自学《中学代数研究》40~38P三、字母表示数自学《中学代数研究》42~40P四、解析式解析式——用运算符号、函数符号、括号，作用于数字和字母之上形成的数学式。
代数式：只含有加、减、乘、除四则运算和有理数次的乘方开方运算的解析式。
从算术到代数式的跨越
) 则 可 以 列 出 代 数 式 (2x
，
+
5 )x 5 0
+
1 75 8
，
利 用 小学
鬻缝
÷
学过 的乘法 分配 律
所 得 到 的 三 位 数 中
，
得 到 10 0 x
+
2 00 8
，
用 这 个 数减去 你 出生 的那
一
年份
，
，
第
一
位 数 ( 即 百 位 数 )很 明 显 是 你 选 择 的 数 字
，
的 同学 可 能 猜 的 是 圆 积 更 大 呢
?
，
有 的 同学 可 能 猜 的是 正 方 形
3
-
3
；
当
n
=
4 时
．
花 盆 的 总数 为 3
x
4
-
3
．
所 以 当 每 条 边 上 花 盆 数 为
3
n
-
n
时
，
每 个 图案 花 盆 的 总 数 为 3
~ n
一
3
：
3
．
从行 来看
：n
表 示 花 盆 的行 数
n
，
，
第
一
行 的数量 总 是 1 最 后
， ，
一
行 的数
量 总是 每边 花 盆 的数量 花盆 的数量 少 2
髯
一算 ～甫 看
～知 别 道 ～ 了 7 ～ 一道 吗
．
代 下 ～ 一 ～同 数 文 一 一学 的 就 一 一们 区 知 一
b
有 意思 的小测试
小测试
．
。
马上 就可 以知道你
从“算术”走向“代数”的一次教学跋涉——“稍复杂分数除法应用题”课例的教学困惑与思考
生根 据教 师提 供 的两个 素材 （０ ６ ０元 、 ） 编出 了不 同
ｊ
类 型 的问题 ， 有分 数 乘 法 问题 ， 当然 也 包括 将 要 学 习 的分数 除法 问题 。
２引导学 生 自主解 答 ， 且进 行 充分讨 论 。 ． 并
笔者 的深 深思 考 与 追 问 。在 参 与 开课 与研 讨 的过 程
中， 笔者 对于新 课程 改革 的许 多理 念又 有 了更深 的体 验 与理解 ， 同时也产 生 了许 多新 的困惑 留待 今后 研 究
解 决… …
师 ： 才我们 又学 习了 一 种解 题 的新 方 法 ． 有 刚 你
杂 的分 数除 法应 用题 了 ， 忧 的是这 么 多解答 错误 的 担
断往往 出错 。 上分 数乘法 应 用题 中算术 方法 解题 思 加
维的负迁 移 ， 因此 这块 内容 的教学 是公 认 的老 大难 问
题。
同学怎 么办 ？ 我们 得 帮他们 寻找 一 种思考 起来 比较 简
单 的方法 呀 。 生丙 ： 老师 ， 以让他 们 列方程 解 答 １ 可
在 我 校进行 的 同课异 构 的校本 教研 活动 中 ． 数学 组迎难 而 上 ， 择 了“ 选 稍复 杂分数 除 法应 用题 ” 的一课 为切 入点 ， 推出 了思 路 不 同 的课 例 ， 且 由此 引发 了 并
３重点 介绍 列方程 解答 的步 骤 与格 式 要求 。（ ） ． 略
４／ 结 回顾 。 ＿、 Ｊ
什么 感受 ？ 生 丁 ： 分数除 法 算式 要容 易些 ， 比 就是 书写麻 烦 生 戊 ： ６ ０ （ 一 ） ３这 种 方 法差 不 多 ． 很 简 和 ０ ＋３ １× 都
从“算术”到“代数”的飞跃
Ｃｅ
Ｌ ｕ ｅ
Ｆ ａ ｎ ｇ
Ｆ ａ
策 略 方 ． ， 法
的， 实际 上就 是几个单项式 ， 所以， 同类项 只会 出现在 多项式 中． 需要 注意的 是两 个“ 相 同” 的
条件必须 同时满足 ， 才能确定 为同类项． 二、 掌握思想方法是关键
二 次三项 式 ， 求ｍ， 凡 的值．
是从 小学具体的数 引进抽 象的字母 ， 用字母 『 弋 替数 ， 从特殊 到一般 ， 完成数到式的飞跃 ， 所以 初中数学 的这块 内容可 以简称 为“ 代数” ． 由此 可 以看出 ， 第３ 章《 代数 式》 是／ Ｊ 、 学算术 与 中
代数的分水岭 ， 也是 同学们 在初中代数学 习中
１ ＋ ３ ＋ ５ ＋ ７ ＝ １ ６ ＝ ４ ： １ ＋ ３ ＋ ５ ＋ ７ ＋ ９ ＝ ２ ５ ＝ ５ … 根 据 前 面
通 用的文字语言转化成数学独 有的符 要遵 循 先读 先 写 的原
则， 并且 严格按 照代数 式 的书写规定 进行 ， 此 处 不再举例 ． 第二 类是关于单项式 、 多项式 、 整式、 代数
一
与数 据统计三 方面 的知识 ， 在 教的研究 上 ， 重
点是数 的认识和计算 ， 所以 小学数学 的这块 内 容 可 以简 称 为 “ 算术” ． ｊ 荭人初 中 后 的数 学学
习， 知识板块 由原来 的三个变成代数 、 几何 、 统
计与 概率四个 ， 在数 的研究 上 ， 从 小学 的算术 数上升 到了初 中的代数． 初中代数需要经 历二 次 飞跃 ， 其中． 第 一次是从 ， Ｊ 、 学 的算术数 引进 负数变成 有理数 ， 完成数扩 充 的飞跃 ， 第 二次
５ ｎ ｘ ２ ｙ ＝ Ｏ ， 求（ ２ ｍ一 ５ ｎ ２ ０ １ ８ 的值 ．
在中低年级如何体现代数思想
/view/8cac18c9a1c7aa00b52acbdf.html代数思想在中低年级是如何体现的从小学阶段到初中阶段，学牛的思维将从算术思维过渡到代数思维。
为了更好的完成从算术思维到代数思维的过渡，我们所使用的青岛版教材，就有意识地在不同年级、不同知识领域渗透代数思想，使学生的代数思维得到有效的训练与提高，实现从小学到中学数学学习的成功跨越。
教材中关于代数思想的渗透，我认为包含了这几个方面：1、用宁母、符号或图片表示特定的数；例如：一年级学习10以内的加减法时学生解答过类似这样的习题：6+□=9 10-□=5，二年级学习表内乘除法时，8×□=56 。
7xa=21在学习了四则运算后还有一些稍复杂的，如5×◇+36÷6=51，13×△-7×△=48，(25+ )×7=287等，在这些题中既渗透了用符号表示数，也渗透了方程的思想。
在一年级还有用图片表示数的例子，如：桃子+苹果=9桃子+苹果+梨=12苹果+梨=5桃子=?苹果=?梨=?这样的练习题，利用算数思维很难给学生讲明白，这就要求我们教师和学生都要转变思维方式尝试用“代数”的思维来解决。
这就是代数思想的原型。
2、用含有字母的式子表示运算定律和运算性质；用字母表示加法交换律，加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律并引导学生用宁母表示相关的运算定律。
这些运算定律及运算性质的探索过程，是帮助学生建立数感与符号意识的重要过程，使学生在学习和认识数学上有了一次飞跃。
3、用含有宁母的式子表示常见的计算公式；比如：五年级上册用s=ah表示平行四边形的面积，用s=ah/2表示三角形的面积公式，六年级圆的面积，圆柱、圆锥的体积等等都用字母表示，渗透了代数思想。
4、用含有字母的式子表示常见的数量关系。
在教学中有一些算术方法解决较难而方程处理比较简单的问题，我们可以让学生自己去体会，去比较，为方程思想的建立奠定一个良好的基础。
初中数学实数与代数式概念及运算(第二讲)
6.若a 4 3,b 4 3,求 a b 的值. a ab a b
点评
此题的关键点是能够将a转化为 a
2
,进而可将式子类
似分解因式进行变化、约分,达到简化计算的目的.
实数的运算
7.计算
1.
1
2
1
0
3 1
2 1 2
2.
12005
1
0.5
31
22
cos
600
4
0
3
分式的化简求值
(4)二次根式:式子
叫做二次根式
(5)最简二次根式:如果一个二次根式同时满足:①被开 方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含开 得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次 根式.
(6)同类二次根式:几个二次根式化为最简二次根式后, 如果它们的被开方数相同,则称这几个二次根式是同 类二次根式.
方根;0的平方根是0.
(2)算术平方根:正数a的正平方根,叫做a的算术平
方方根根记,0的作算: a术a平方0根是0;一个非负数a的算术平
(3)立方根:如果一个数的立方等于a那么这个数
是a的立方根.记作3:a .正数有一个正的立方根,
负数有一个负的立方根,0的立方根是0.
根式
1.根式t;4/3.
点评 求字母的取值范围是中考中常考内容之一,方 法是综合考虑各种因素条件,取所有解集的公共部分.
2.下列各式中属于最简二次根式的是 ( ) A
A. x2 1 B. x2 y5 C. 12 D. 0.5
点评 此题主要考查最简二次根式的概念,判断一个二次根 式是不是最简二次根式必须按其定义中的两个条件,进行判 定,本题A选项中虽然有二次项,但就整体而言,没有能开得 尽方的因式,所以是最简二次根式.
从算术思维到代数思维——以《用字母表示数》教学为例
教海探索还愿意给他卖命；从鸿门宴座次的安排可见项羽妄自尊大且行事高调；从项羽对樊哙的态度可见项羽虽爱惜勇士却敌我不分；他最后一败涂地，乌江自刎，也是意料之中。
从这些细节都直指项羽也许勇猛但却没有领导智慧，沽名钓誉，倒行逆施。
所以即便项羽在鸿门宴中杀了刘邦，也会有“李邦”、“张邦”、“某邦”等出现，来阻止他夺取天下。
同时，我们可以以此为契机，探讨“性格与人生”的关系，延伸课堂，深化内容。
如此实施阅读教学，有助于学生深入文本，破除刻板印象，引导学生从“大英雄”项羽被“狡猾小人”刘邦夺取天下的惋惜情绪中上升到理性思考，提升学生的思辨能力。
再如：必修二《最后的常春藤叶》中，在文本教学完后，我们可以探讨，假设贝尔曼知道自己冒雨为琼珊画叶子会付出生命的代价，是否还会义无反顾地去？有学生认为贝尔曼会去，他善良性格使然；但是也有学生认为他不会去，毕竟人都是趋利避害的。
关于这个问题，在阅读教学课上可以展开一场辩论赛。
学生“斗志满满”，会极尽所能去说服对方。
这就会促使他们大范围去收集资料，深入文本去找出支撑自己观点的细节，会认真组织语言去撰写辩论稿，这个过程将非常有助于提升思维的深刻性。
笔者认为，高中语文阅读教学要树立发展学生思维能力和提升学生思维品质的理念，在教学内容选择上可以采用以学生的问题为导向，设置主问题，有的放矢，提高学生思维系统性；在教学方法上，应该尊重学生的主体地位，适当采用“自主学习合作探究”的方式来深入探究，提高学生思维的深刻性；在教学成果反馈方面，要求学生读思结合，甚至要求学生读写结合，以文字形式呈现思维结果等。
通过以上策略，以期望在阅读教学过程中有意识地提升学生思维的系统性、深刻性、灵敏性、独创性和辩证性。
参考文献［1］陈剑峰.真问题：语文高效课堂的基石——以《孔乙己》教学为例［J］.语文知识，2014（4）.［2］李光明.思维发展与提升导向下的高中语文研究性阅读教学探究［D］.黄冈师范学院，2019.［3］姚婧.批判性阅读教学的实施策略［J］.语文教学通讯（D刊），2018（7）.［4］余映潮.我对阅读教学“主问题”的研究与实践［D］.中学语文教学，2007（9）.［5］中华人民共和国教育部.普通高中语文课程标准（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.（作者单位：浙江省杭州市萧山区第六高级中学）从算术思维到代数思维——以《用字母表示数》教学为例■陈雨《用字母表示数》是苏教版小学数学五年级上册第八单元的内容，是数学四大学习领域之一——“数与代数”的一个重要内容，是学生学习代数的基础。
从算术思维到代数思维
Ｓ教 论 学 坛
‘ ‘
壮 惠锋 ， 无鹄 师范 高级 讲师 ， 表论 文 发
数 十 篇 ．长 年 从 事 省 市 骨 千教 师 的 培 训 工
作。
教 学感悟 ：只有教 给学 生最本 质的 东 西． 才能使 学生真 正掌握 教材 内客 ， 使知识 不可磨灭地铭记在学生 的记忆里
二 、 数学 习可 能 遇到 的 困难 代
算术 思 维 与 代数 思 维 的过 渡 并 非 一个 经历 足 够
而 的是关 系 的符 号化 及 其运 算 ． 是无 法依 赖 直 观的 。如 多 的练 习便 可 跨越 的量 变 过程 ， 是 一个 必须 经 过结 “ 明用２元 钱买 了５ 小 ４ 支相 同的 自动铅 笔 ， 还剩４ 。 元 每 构 转 化 的质变 过程 。其 间学 生可 能 面对 如下 困难 。 支 铅 笔 多少元 ？解 法 一 ：４ ４ ２ （ ，０ ５ ４元）解 ” ２— ＝ ０元）２＋ ＝ （ ； １ 号 意 义的不 连 续。算 术与 代 数共享 了许 多符 ． 符 １２ ３ ／ 、／ … 、＋ 一 × ÷ ＝ ， 法二 ： 先假设 每 枝铅 笔 的价 格是ｘ ， 依 题 意列 出式 号与 对象 。如 “ 、、… １２ ２３ ”“ 、 、 、 、”但 元 并 子２— ｘ４ 再求 出ｘ 。 法一 中 ， ４ ５＝ ， 值 解 学生运 用 的是算 术 有 的符号 在算 术 与代 数上 的意义 是 不连 续 的 ， 使学 这 思 维 ： 法二 中 ． 生 运用 的是 代数 思维 。 解 学 生在 面 对 这些 符 号 时 ， 经常 产 生 混 淆 。 以等 号 “ ” ＝ 为 在 ＝ 代表 运算 结果 “ 到 ” 在代数 中 ，＝ 得 。 “” 在 算 术思 维 中 ， 达 式 是 一种 思 考 的记 录 ， 直 例 ， 算术 中“ ” 表 是 如“ 接联结 题 目与答 案 的桥 梁 。在代 数思 维 中 ， 表达 式不 代表 一种 两边 对称 的等价 关系 。 甲有一些 连 环 画 ，
小学数学算术思维向代数思维的迈进—《用字母表示数》课例分析
小学数学算术思维向代数思维的迈进—《用字母表示数》课例分析摘要：数的运算在小学数学中占有重要的一席之地，培养小学生的运算能力和代数思维成为培养小学生学习数学的重要手段之一。
本文通过对小学数学课例的分析更加清晰的解析出如何促使小学数学算数思维培养向代数思维的培养。
关键词：小学数学；算数思维；代数思维；从古至今算数的运算都与我们的生活息息相关，我们也将算数的方法运用于生活的方方面面。
算数之于数学它力求寻找多种的方法去解决生活中各种数量关系。
而代数是意在研究数、数量、关系、结构在数学的计算思想上更加注重强调数量间的关系。
算数于小学数学而言是下学生应该掌握的基本思维方式与技能，是数量关系之间的运算，代数是更高阶层的思考数量之间内在联系及自身结构的运算思维，有助于学生构建丰富的数学运算思维，帮助学生更好地发现、运用、理解数及数量之间的关系。
因此，算数与代数与小学生学数学其存在不同的意义，在小学数学的教学中教师更因该关注小学生算数思维和代数思维之间的关系，同时思考如何推进学生有算数思维想代数思维转化。
一、由课例引发的思考从丢番图用缩写的方法表示数到韦达把字母当作符号来表示数，数学家们用了 1200 余年。
而本节课要在40分钟的小学数学课堂中来实现这样伟大的人类认知提升。
《用字母表示数》这节教学内容有两个重点：用字母表示数；用含有字母的式子表示数量关系。
“用字母表示数是建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃；从数到代数是数学表征的一次飞跃，数对于它所代表的具体事物来说是抽象的，而用字母表示数又是一次抽象。
”小学生以具体形象思维为主向抽象逻辑思维为主过渡，而抽象逻辑思维在很大程度上依赖于感性经验直接相联系的，从上面的描述中可以看出数据符号是对生活中各种物体个数的抽象概括，而用字母表示数形成的代数式是对数据符号的再次抽象概括，这种“ 认知的飞跃”与小学生的思维特点成为课堂教学的矛盾体。
因而对于小学生来说，从具体的情境中使学生感知字母表示数的含义，初步体验符号在数学中的作用（形式简洁高度概括），进而建立用字母表示数的数学模型具有一定的挑战性。
专题03 从算术到代数(含答案)
专题03从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________(山东菏泽地区中考试题)解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）A.1627384950B. 2345678910C. 3579111300D. 4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝221212222323223434＋…＋221003100410031004＋221004100510041005，求A的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A 中第n 项22(1)(1)n n n n 的特征入手.【例4】现有a 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m 个正方形，按如图②摆放时可摆成2n 个正方形.(1)用含n 的代数式表示m ；(2)当这a 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a 的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有m 个正方形、图②中有2n 个正方形，可设图③中有3p 个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m ，n ，p 的等式.【例5】 化简个个个n n n 9199999999+⨯. （江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n ＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，…，（*） （1）在（*）中，从左起第m 个数记为F (m )＝ 22001时，求m 的值和这m 个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c ，它后面的一个数记为d ，是否存在这样的两个数c 和d ，使cd ＝2001000，如果存在，求出c 和d ；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（11），（12，21），（13，22，31），（14，23，32，41），（15，24，33，42，51），….能力训练A级1.已知等式：2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，，10 ＋ab＝102×ab（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.n＝2 n＝3 n＝4s＝4 s＝8 s＝12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．（广东省中考试题）-=5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B. 100a＋1C. 10a＋1D. a＋1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（）A. a10＋b19B. a10-b19C. a10-b17D. a10-b21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均数是（）A.3a b c B. 3a b cC. a ＋b －cD. 3(a ＋b －c ) (希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A . S 1＞S 2B ．S l ＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n 次剪裁后扇形面的总个数填入下表；（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a （a ＞0）个成品，且每个每天都生产b （b ＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同． （1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a 、b 的代数式表示）； （2）试求出用b 表示a 的关系式； （3）若1名质检员1天能检验54b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？ （广东省广州市中考试题）B 级1. 你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n ＋5）（n 为自然数），即求（10·n ＋5）2的值（n 为自然数），分析n ＝1，n ＝2，n ＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）. （1）通过计算，探索规律.152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25； 252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25； 352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25； 452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25； ...752＝5625可写成______； 852＝7225可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n ＋5）2＝______； （3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.（福建省三明市中考试题）2.已知12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，计算： （1）112＋122＋…＋192＝_____________________； (2)22＋42＋…＋502＝__________________. 3.已知n 是正整数，a n ＝1×2×3×4×…×n ，则13a a ＋24a a ＋…＋20102012a a ＋20112013a a ＝_______________. (“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题）5.A ，B 两地相距S 千米，甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时（a ＞b ），甲、乙都从A 地到B地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地的小时数是（ ）(1)s a b (1)s a (1)s a b (1)sa6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比高a %，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b %出售，那么调价后的零售价是（ ）A ．m （1＋a %）（1－b %）元B ．m a %（1－b %）元C ．m （1＋a %）b %元D ．m （1＋a %b %）元（山东省竞赛试题）7.如果用a 名同学在b 小时内共搬运c 块砖，那么个以同样速度所需要的数是（ ）A ．22c a bB ．2c abC ．2abcD ．22a b c(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的13，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的15．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数， 再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（天津市竞赛试题）专题03 从算术到代数例1 2(2)1(1)n n n ++=+ 例2 A例3 原式=1111111112(1)2()2()2()2()223341003100410041005+-++-++-+++-++-=121004(1)1005⨯+-故其整数部分为2008 例4 设图③中含有3p 个正方形.(1) 由3152m n +=+,得513n m +=(2) 由315273,a m n p =+=+=+得325177m n p --==,因,,m n p 均是正整数, 所以当17,10m n ==时,7,p =此时317152a =⨯+=例5解法1:1n = 时,29919811910010⨯+=+==; 2n =时, 49999199(1001)991999900991991000010⨯+=-⨯+=-+==,猜想:2999999199910n n n n ⨯+=个个个个, 计算过程类似于2n =29999991999(101)9991999999000999199910n n n n n n n n n n n ⨯+=-⨯+=-+=个个个个个个个个个解法2: 1n =时,2991999109(999)1091010101010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=2n =时, 49999199999910099(999999)1009910010010010010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=猜想: 原式210n = 验证如下: 9999991999999999100099999999999910n n n n n n n n n n n ⨯+=⨯++=⨯++个个个个个个个个个个299910101010n n n n n =⨯=⨯=个反思结论必为一个数的平方形式, 不妨设999n a =个,得另一种解法解法3: 原式22222(1)a 21(1)(10)10n n a a a a a =+++=++=+==例6 (1)(※) 可分组为112123123412345(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),,121321432154321可知各组数的个数依次为1,2,3,.按其规律22001应在第2002组1232002(,,,,)2002200120001中, 该组前面共有123420012003001+++++=个数. 故当2()2001F m =时,200300122003003m =+=. 又因各组的数积为1, 故这2003003个数的积为121200220012003001⨯=(2) 依题意,c 为每组倒数第2个数,d 为每组最后一个数,设它们在第n 组, 别1,,21n n c d -==(1)20010002n n -∴=.即(1)400200020012000n n -==⨯,2001,n ∴= 得20011200022c -==,20011d =A 级1. 100 提示:21010a ab b+=⨯ 中, 根据规律可得210,10199,a b ==-=故1099109a b +=+= 2. 4(1)(2)s n n =-≥3.1- 提示: 根据题中定义的运算可列代数式25,20p q q p -=+=,可得1,2,p q ==- 故1p q +=-4. 10 31n +5. C6. B7. B8. B9.(1) 10 13 31n + (2) 不能, 33不符合31n + 10. (1) 2a b +或2(5)3a b +或32b + (2) 由2(2)2(5)23a b a b ++=,得4a b = (3)2(2)47.5825a b b +÷=≈B 级1. (1) 1007(71)25,1008(81)25⨯⨯++⨯⨯++(2) 100(1)25n n ⨯++ (3) 3980025 2. (1) 2085(2) 22100 提示: 原式2224(1225)=⨯+++3. 20114026提示: 由1234n a n =⨯⨯⨯⨯⨯可得,原式111112334452011201220122013=+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112011233420122013220134026=-+-++-=-=4. 595 提示: 设17个连续整数为,1,,16,m m m ++且(1)(16)306m m m +++++=,它后面紧接的17个连续自然数应为17,18,19,,33m m m m ++++,可得它们之和为5955. D6. C7. D 提示: 每一名同学每小时所搬砖头为cab块,c 名同学按此速度每小时所搬砖头为2c ab 块.8．用a ，b 分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m ，n 分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a ＋m ＝b ＋n 得m －b ＝n －a ，又a ＝13n ，b ＝15m ，故m －15m ＝n －13n ，56m n =．9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7（均为自然数），且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝()211212312⨯+=①．假设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中没一个数都小于33，则有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＜231．与①矛盾，所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33． 10．设四个不同整数为a 1，a 2，a 3，a 4（a 1＞a 2＞a 3＞a 4），则（a 1－a 2）＋（a 1－a 3）＋（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＋（a 2－a 4）＋（a 3－a 4）＝18，即3（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＝18．又因3（a 1－a 4），18均为3的倍数，故a 2－a 3也是3的倍数，a 2－a 3＜a 1－a 4，则a 2－a 3＝3，a 1－a 4＝5，a 1－a 2＝1，a 3－a 4＝1，又a 1a 2a 3a 4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得a 1＝15，a 2＝14，a 3＝11，a 4＝10．。
人教版初中数学新教材七年级上册第三章“一元一次方程”
人教版初中数学新教材七年级上册第三章“一元一次方程〞介绍〔2022修订〕方程是（全日制义务教育数学课程标准〔修订稿〕）中“数与代数〞领域的重要内容之一，一元一次方程是最简单、最根本的方程.继第—章“有理数〞和第二章“整式及其加减〞之后，本章对一元一次方程进行研究，主要内容包含一元一次方程的有关概念、解法和应用，化归思想和模型思想隐含于知识之中. 通过学习本章，学生的代数运算能力和数学建模能力将得到进一步开展. 本章共安排四个小节和两个选学内容一、教科书内容和课程学习目标〔一〕本章知识结构框图 1.利用一元一次方程解决问题的根本过程 2. 本章知识安排的前后顺序〔二〕教科书内容人们对方程的研究有悠久的历史，方程是重要的数学根本概念，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用.从数学学科本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推进了整个代数学的开展.从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是全部代数方程的根底. 本章主要内容包含：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题.其中，以方程为工具分析问题、解决问题，即依据问题中的等量关系建立方程模型是全章的重点之一，同时也是主要难点.分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线.对一元一次方程的有关概念和解法的商量，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的，它们在本章前三节中占重要地位.解方程中蕴涵的“化归思想〞和列方程中蕴涵的“数学建模思想〞，是本章中包含的主要数学思想.商量一元一次方程的解法时，会直接应用有理数的运算，还会应用“合并同类项〞“去括号〞等整式加减运算的法则，即第—、二章的内容是关于一元一次方程解法的根底知识. 全章共包含四节：3．1 从算式到方程 3.1.1 一元一次方程在小学阶段，用算术方法解应用题是数学课中的重要内容，此外对于方程也有过对一些最简单问题的商量．本小节先通过一个具体的行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再逐渐引导学生通过列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据问题中的相等关系列出含未知数的等式——方程．这样安排目的不仅在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，而且要使学生认识到方程是比算术式子更有力的数学工具，字母(未知数)可以列入方程并参与运算，从而给解决问题带来更大的便利，从算术方法到代数方法是数学的进步．算式表示的是用算术方法进行计算的程序，算式中只能含有已知数而不能含有未知数，这是列算式使用问题中的数量关系时必须遵守的规则．列方程依据问题中的数量关系，特别是相等关系，它打破了列算式时只能使用已知数的限制，方程中可以依据需要含有相关的已知数和未知数，未知数在被解出之前以字母形式进入表示相等关系的式子，是代数方法对于算术方法的新改革．正因有了如此的新突破，所以一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性．本小节中引出了方程、一元一次方程、方程的解以及解方程等根本概念，并且对于“分析实际问题中的数量关系，设未知数，利用相等列出方程〞的过程进行了归纳．这对后续内容的展开具有重要的根底作用. 3.1.2 等式的性质方程是含未知数的等式，为合适初中学生学习，降低学习难度，本章不涉及关于方程的同解理论，而以相对说来比拟简单理解的等式的性质作为解方程的主要依据．本小节通过观察、归纳引出等式的两条性质，并直接利用它们商量一些较简单的一元一次方程的解法．这将为后面的3.2节和3.3节进一步商量较复杂的一元一次方程的解法打算理论依据．本节最后安排的“阅读与思考：‘方程’史话〞，简要地回忆了中外古人研究方程过程中的几个重要事件，通俗地介绍了与方程相关的数学史料，这有助于传播数学文化、扩大知识面和增加学习兴趣. 3.2 解一元一次方程〔一〕——合并同类项与移项本节的重点在于商量解方程中的“合并同类项〞和“移项〞两个根本做法，这样就已经可解类型的一元一次方程．本节中对于“合并同类项〞和“移项〞的商量，分别以问题1和问题2为出发点.以较为简单的实际问题作商量方程解法的背景，一方面可使学生感觉到要商量的解法X于实际问题的需要，另一方面可使依据实际问题列方程贯穿于全章，将列方程的教学过程拉长．从而到达由简单到复杂地逐渐提高学生列方程的能力的教学效果. 本节首先提及在数学史上对解方程颇有影响的一部著作，即生活在约780～850年间的阿拉伯数学家阿尔－花拉子米所著的（对消与复原）一书，提问“对消〞与“复原〞是什么意思，以此作为后面内容的引子．这也具有介绍数学史，传播数学文化的作用．本节在问题1和问题2之后，各安排了两道例题，其中前一例题是单纯解方程，其作用为稳固对相应解法的理解和掌握；后一例题是简单的实际问题，其作用有两个，一是稳固对相应解法的理解和掌握，二是逐渐引导学生理解和掌握如何列方程.解方程和列方程是利用方程分析和解决实际问题的根本过程中不可或缺的两个环节．本节最后安排的“实验与探究：无限循环小数化分数〞，是对一个纯数学问题的商量.它展示了研究数的问题时方程的应用，这有助于加强知识之间的联系和增加学习兴趣，也有益于以后进一步研究实数. 3.3 解一元一次方程〔二〕——去括号与去分母本节的重点在于商量解方程中的“去括号〞和“去分母〞两个根本做法，至此就可以解各种类型的一元一次方程，并归纳出一元一次方程解法的一般步骤．本节中对于“去括号〞和“去分母〞的商量，分别以问题1和问题2为出发点，即从一道“用电问题〞，引出解方程中的“去括号〞问题；又从古代埃及的纸莎草文书中的一道题，引出带有分母的一元一次方程，进而商量用去分母的方法解这类方程．以较为简单的实际问题作商量方程解法的背景，这连续了3.2节的做法，其目的如前面所述. 本节通过古埃及数学问题为商量“去分母〞的引子，反映出人们对数学研究有悠久的历史，数学文化源远流长，这也可以增加相关内容的趣味性．同3.2节的结构一样，本节在问题1和问题2之后，各安排了两道例题，其一是单纯解方程，其二是简单的实际问题，它们对理解和掌握“去括号〞和“去括号〞解方程，对理解和掌握依据实际问题中的相等关系列方程，有重要的示范作用．本节归纳了解一元一次方程的一般步骤，至此这类方程的一般解法已得到完整的商量. 3.4 实际问题与一元一次方程本节的第—局部，在此前已经商量过由实际问题列出一元一次方程以及解一元一次方程的一般步骤的根底上，又安排了例1〔“成龙配套〞问题〕和例2〔工程问题〕，并在其后以框图形式归纳了用一元一次方程解决实际问题的根本过程，这是一个重要的小结. 本节的第二局部，进一步以“探究〞的形式商量如何用一元一次方程解决实际问题．要探究的三个问题〔“销售中的盈亏〞“球赛积分表问题〞“计费问题〞〕要比前几节的问题复杂些，问题情境与实际情况更接近，呈现形式也有别于一般数学习题．本节的重点是建立实际问题的方程模型．通过探究活动，可以进一步体验一元一次方程与实际的紧密联系，加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力．由于本节问题的背景和表达都比拟贴近实际，其中的有些数量关系比拟隐蔽，所以在探究过程中正确地列出方程是主要的难点．突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系．〔三〕本章学习目标 1．经历“把实际问题抽象为数学方程〞的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步. 2．掌握等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法，了解它们是解方程的依据. 3．明确解方程的根本目标〔使方程逐渐转化为x=a的形式〕，在此目标引导下研究方程的解法；熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想. 4．能够找出实际问题中的已知数和未知数，会从数学运算角度分析它们之间的关系；会依据问题所求及题中条件设未知数，会列出方程表示问题中的相等关系，并利用方程求未知数，会结合题意进行检验. 5．通过探究用一元一次方程解决实际问题，进一步体会利用一元一次方程解决问题的根本过程〔见上图〕和建立数学模型的思想，在解决问题的过程中感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力.二、编写时考虑的几个问题1.突出列方程，结合解决实际问题商量解方程列方程是本章的重点之一，也是难点．为突出重点，分散难点，使学生能有较多时机接触列方程，本章把对实际问题的商量作为贯穿于全章前后的一条主线．对一元一次方程解法的商量始终是结合解决实际问题进行的，即先列出方程，然后商量如何解方程，这是本章的一个特点．教科书先结合两个实际问题的求解过程分别商量了“合并同类项〞和“移项〞，并进一步通过一些例题对这两种解方程的变形手段进行综合练习和加强．此后教科书又在对另两个实际问题的商量中引出解方程中的“去括号〞和“去分母〞，并进一步通过一些例题和练习题援助学生掌握它们．在此根底上，教科书归纳总结出解一元一次方程的目标和一般步骤，引导学生提高对一元一次方程解法的认识．我们认为这样处理解方程的教学符合人们对方程的认识过程，表达了方程的各种解法源于实际问题的需要，并且可以加强这章内容与实际的联系，有助于解决局部学生总感觉列方程难、学习列方程的时间过短等问题．2. 通过加强探究性，培养分析解决问题的能力、创新精神和实践意识本章的中心任务是，使学生经历建立一元一次方程模型并应用它解决实际问题的过程，体会方程的作用，掌握运用方程解决问题的方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识．由于实际问题的类型多样，在某些问题中数量关系不十清楚显，使得建立方程模型表示问题中的相等关系成为教学中的难点．为切实提高利用方程解决实际问题的能力，本章在内容选择上注意加强探究性．例如，第3.4节特别安排了“实际问题和一元一次方程〞的内容，选择了三个具有肯定综合性的问题〔“探究 1 销售中的盈亏〞“探究2 球赛积分表问题〞“探究3 计费问题〞〕，设置了假设干探究点，引导学生利用方程为工具进行具有肯定深度的思考，使全章所强调的以方程为工具把实际问题模型化的思想提到新的高度．这些内容包含：利用方程比拟估算与X计算〔探究1〕，利用方程进行推理、推断、检验〔探究2中已渗透了反证法的思想〕，利用方程寻觅关键数值，对不同方案进行定量化比照与选择〔探究3〕，安排这些探究问题的目的在于：一方面通过更加贴近实际生活的问题，进一步突出方程这种数学模型的应用具有广泛性和有效性；另一方面使学生能在更加贴近实际生活的问题情境中运用所学数学知识，使分析问题和解决问题的能力、创新精神和实践意识在更高层次上等到提高．3. 重视数学思想方法和数学文化的渗透本章不仅重视数学与实际的联系、列方程和解方程的方法，而且重视数学知识中蕴涵的建模和化归等数学思想方法的渗透．，本章所涉及的数学思想方法主要包含两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想．虽然考虑到学生的理解能力等原因，教科书没有过多出现“数学模型〞一词，但是本章以框图形式对“利用一元一次方程解决问题的根本过程〞进行了归纳，意在渗透建模思想．为表达化归思想在解方程中具有指导作用，本章中商量一元一次方程的各个步骤时，都注意说明解方程的目的即最终使方程变形为x=a〔已知数〕的形式，各种步骤都是为此而实施的，即在保持方程的左右两边的相等关系的前提之下，逐渐使方程变形，从而使“未知〞逐渐转化为“已知〞．本套教科书的特色之一是，使教科书成为反映科学进步、介绍先进文化的镜子．重视数学的科学价值，同时关注其文化内涵．通过教科书这面镜子的反射，结合教学内容生动生动地介绍古今数学的开展，深刻浅出地反映数学的作用〔工具作用和人文教育作用〕，使学生逐渐地认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养．本章对于数学文化予以很大关注，从数字到字母，从算式到方程，从算术到代数……这些数学史上的重大进步以及有关方程的名著（复原与对消）、埃及纸莎草文书中的问题等在教科书中都有所反映．编者期望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够感受到数学文化的熏陶．七年级上册第三章“一元一次方程〞介绍〔二〕〔2022修订〕课程教材研究所田载今三、对教学的几个建议1. 关注在前面学段的根底上开展，做好从算术到代数的过渡本章第3.1节从一个实际问题〔行程问题〕开始商量，在引出方程后提出“从算式到方程是数学的进步〞.算式与方程表现了算术与代数解决问题的两种不同方法.用算术方法解实际问题是小学阶段中学生已经学习过的内容，它对于提高分析问题中数量关系的能力具有打根底的作用.算式表示一个计算过程，用算术方法解实际问题时，算式受到“其中只含已知数而不能有未知数〞的限制；而代数中设未知数或列方程时首先需要用式子表示问题中有关的量，这些式子实际上也是算式，只是其中可能含有字母〔未知数〕.方程是依据问题中的相等关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有未知数，这是代数方程与算术算式的区别之一.由于方程中可以用未知数与已知数一起表示相关的量，并且未知数可以与其他数一样地参与运算，所以方程的应用更为方便.这正是用字母表示数带来的好处.方程的出现使代数方法超越了古老的算术方法.从课程标准看，在前面学段中已经有关于简单方程的内容，学生已经对方程有初步的认识，会用方程表示简单情境中的数量关系，会解简单的方程，即对于方程的认识已经历了入门阶段，具备了肯定的根底，这些根本的、朴素的认识为进一步学习方程奠定了根底.本章的内容是在前面的学习根底上的进一步开展，即对一元一次方程作更系统、更深刻的商量，所涉及的实际问题要比以前学习的问题复杂些，更强调模型化思想的渗透；对方程解法的商量要更系统、更注重算理，更强调创设未知向已知转化的条件以及解法中程序化的思想.了解以上的联系与区别，有助于在本章教学中注意到应在哪些地方使学生得到新的提高.2. 关注方程与实际问题的联系，表达数学建模思想我们生活在一个丰富多彩的世界，其中存在大量问题涉及数量关系的分析，这为学习“一元一次方程〞提供了大量的现实素材.在本章教科书中，实际问题情境贯穿于始终，对方程解法的商量也是在解决实际问题的过程中进行的，“列方程〞在本章中占有突出地位，全章教科书按照商量实际问题的线索而展开.在本章的教学和学习中，要充分注意方程的现实背景，通过大量丰富的实际问题，反映出方程来自实际又效劳于实际，加强对于方程是解决现实问题的一种重要数学模型的认识.鉴于本章的学习对象是七年级学生，教科书的表达力求通俗易懂，在正文中防止过多直接使用“数学模型〞等词，而是通过具体例子反复强调方程在解决实际问题中的工具作用，实际上这就是在渗透建立数学模型的思想.设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的相等关系是设未知数、列方程的根底.在本章的教学和学习中，可以从多角度进行思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻觅等量关系，检验方程的合理性.教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用一元一次方程分析和解决它们.本章第3.2节和3.3节中，与解方程相比，列方程居于次要位置，实际问题中的数量关系较简单，商量它们可以使学生对列方程有初步认识.第3.4节的例1和例2是数量关系稍复杂的实际问题，商量它们可以使学生对列方程有进一步认识，了解列方程的一般思路.这表达了本章在列方程上由浅入深的整体安排，教学中应注意体会教材前后的联系与变化.利用一元一次方程解决问题的根本过程〔见前面的图〕，在本章中反复出现并且逐渐细化，这有助于从整体上认识一元一次方程与实际问题的关系，请注意在教学中不断加强对它的认识.3. 抓住方程的主线，复习并加深对相关预备知识的认识从数学学科内部来看，整式及其加减运算是一元一次方程的预备知识；而从应用的角度来看，一元一次方程要比整式用得更普遍、更直接．通过本章学习，不仅可以复习有理数运算和合并同类项、去括号等整式加减运算的内容，而且可以进一步体会看似抽象的整式运算在解决实际问题中的用处，从而加深对相关内容的认识．在本章的教学中，期望能够时刻关注教学重点，注意抓住方程这条主线，突出围绕一元一次方程的商量，注重解方程的根本功训练，结合方程的解法复习已学整式的知识，援助学生认识数、式与方程间的联系．4. 关注培养学习的主动性和探究性课程改革的目的之一是促进学习方法的转变，加强学习的主动性和探究性.本章内容涉及大量的实际问题，丰富多彩的问题情境和解决实际问题的愉快更简单激起学生对数学的兴趣.在本章的教学中，应注意引导学生从身边的问题研究起，主动搜集寻觅“现实的、有意义的、富有挑战性的〞学习材料，并更多地进行数学活动和相互交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力，体会数学思想方法.在本章的教科书中，安排了许多可提供学生主动进行探究的内容，其中既涉及列方程又涉及解方程，例如3.4节“实际问题与一元一次方程〞中的探究1~3就是为提高分析和解决问题的能力而安排的探究性内容，本章的“数学活动〞及“拓广探究〞栏目下的习题等也设置了很多探究性问题，例如商量月历中的数字排列规律及由此产生的计算规律等有趣的问题.采纳什么方法进行这些内容的教学是需要关注的问题．具体教学方法可能会因时因地因人而易，但是各种方法都应注意鼓舞学生积极探究.当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，设计必要的铺垫，让学生在经过自己的努力来克服困难的过程中体验如何进行探究活动，而不要替代他们思考，不要过早给出答案．应鼓舞探究多种不同的分析问题和解决问题的方法，使探究过程生动起来，在这样的气氛中可以更好地激发学生积极思维，得到更大收获．5. 关注数学思想方法的教学和学习前面已经说过，本章所涉及的数学思想方法主要包含两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的模型化〔包含符号化〕的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想.在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于个别题目的具体解题过程，而应关注对以上思想方法的渗透和领会，从整体上认识问题的本质.数学思想方法是通过数学知识的载体来表达的，对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教科书的渗透反映，也需要教师的点拨，最终还需要学生自身的感受和理解.数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识，例如对解方程的本质有比拟透彻的认识，就简单主动地探究具体方程的解法，这远比死记硬背方程的解法步骤的效果要好.因此，我们需要关注数学思想方法的教学和学习，期望教师在如何深刻浅出地进行这方面的教学上不断探究.6. 关注根底知识和根本技能，适当加强练习稳固本章内容包含一元一次方程的概念、解法和应用.一元一次方程是最根本的代数方程，对它的理解和掌握对于后续学习〔其他的方程以及不等式、函数等〕具有重要的根底作用.因此，教学和学习中应注意打好根底.由于本章教科书是以分析解决实际问题为线索展开的，方程解法的商量安排于分析解决问题的过程之中，但在前面几节解方程是重点.如缺少对教材设计意图的理解，可能会对它们有所无视，而掌握方程解法是必须完成的教学目标，所以在教学和学习中应注意对根底知识和根本技能进行归纳整理，使得它。
2.从算术到代数(含答案)-
2.从算术到代数知识纵横“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”(algebra)•可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”。
著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言。
”用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。
字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代表式(algebra expression)、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。
例题求解【例1】(2001年河南省中考题)观察下列等式：9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来:____________.思路点拨在观察给定的等式基础上,寻找数字特点,等式的共同特征,•发现一般规律.解:(n+2)2-n2=4(n+1)【例2】(2003年“TRULY信利杯”竞赛题)某商品2000年比1999年涨价5%,2001年又比2000年涨价10%,•2002•年比2001年降价12%,则2002年比1999年( )A.涨价3%B.涨价1.64%C.涨价1.2%D.降价1.2%思路点拨设此商品1999年的价格为a元,把相应年份的价格用a的代数式表示,由计算作出判断.解:选B.【例3】计算：(12+13+…+12002)(1+12+13+…+12001)-(1+12+…+12002)(12+13…+12001)思路点拨直接计算复杂而繁难,注意括号内数式的联系,引入字母,•将复杂的数值计算转化为简单的式的计算.解:1 2002提示：设1+12+13+…+12001=a,12+13+…+12001=b,则a-b=1【例4】(第17届江苏省竞赛题)有一张纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的11319?片分割分4片,•以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片,如此进行下去,试问: (1)经5次分割后,共得到多少张纸片? (2)经n 次分割后,共得到多少张纸片?(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么?思路点拨 从简单情形入手,发现纸片数的特点是解本例的关键.解:(1)因为每分割1次,就要增加3张纸片,所以经5次分割,共得到1+3×5=16•张纸片.(2)经n 次分割,共得到(1+3n)张纸片.(3)若能分得2003张纸片,则1+3n=2003,3n=2002,无整数解,•所以不可能经若干次分割后得到2003年纸片.【例5】(北京市“迎春杯”竞赛题)在右图中有9个方格,要求每个方格填入不同的数,使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等,问:右图上角的数是多少?思路点拨 虽然要求的只是右上角的数,但是题目的条件还与其他的数有关,因此,需恰当地引进不同的字母表示数,以便充分运用已知条件.解:提示:如图,设相应方格中的数为x 1,x 2,x 3和x 4,问号处填的数为x,由已知条件得:x+x 1+x 2=x+x 3+x 4=x 1+x 3+13=x 2+19+x 4,这样,前面两个式子之和等于后面的两个式子之和,•即 2x+x 1+x 2+x 3+x 4=13+19+x 1+x 2+x 3+x 4,∴2x=13+19,得x=16.1319x 4x 3x 2x 1x学力训练 一、基础夯实：1. (2001年福州市中考题)给出下列算式:12+1=1×2, 22+2=2×3, 32+3=3×4, ……观察上面一列算式,你能发现什么规律,用代数式子表示这个规律:________. 2. (2003年武汉市中考题)已知:2+23=22×23,3+38=32×38,4+415=42×415……,若10+a b =102×ab(a 、b 为正整数),•则a+b=_________. 3. (第15届江苏省竞赛题)若(m+n)人完成一项工程需要m 天,则n 个人完成这项工程需要________天.(假定每个人的工作效率相同)4. (河南省竞赛题)某同学上学时步行,回家时坐车,路上一共要用90分钟,若往返都坐车,全部行程只需30分钟,如果往返都步行,那么,需要的时间是________.5.一项工程,甲建筑队单独承包需要a 天完成,乙建筑队单独承包需要b 天完成,•现两队联合承包,完成这项工程需要( )天. A.1a b + B.1a +1b C.ab a b+ D.1ab6. (2003年河南省中考题)某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加10%,•三月份比二月份减少10%,那么三月份比一月份( ) A.增加10% B.减少10% C.不增不减 D.减少1% 7. (2001年河北省中考题)如图,在长方形ABCD中,横向阴影部分是长方形,另一阴影部分是平行四边形,依照图中标注的数据,计算图中空白部分的面积,其面积是( )A.bc-ab+ac+c 2B.ab-bc-ac+c 2C.a 2+ab+bc-acD.b 2-bc+a 2-ab 8.为了绿化环境,美化城市,在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪,•如果两块草坪的周长相同,那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是( )A.S 1>S 2B.S 1<S 2C.S 1=S 2D.无法比较 9.从1开始,连续的奇数相加,和的情况如下:1=12, 1+3=4=22, 1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42,EDBG FCA 1+3+5+7+9=25=52,(1)请你推测出,从1开始,n 个连续的奇数相加,它们的和s 的公式是什么? (2)计算:①1+3+5+7+9+11+13+15+17+19; ②11+13+15+17+19+21+23+25.(3)已知1+3+5+…+(2n-1)=225,求整数n 的值.10. (第17届江苏省竞赛题)从小明的家到学校,是一段长度为a 的上坡路接着一段长度为b 的下坡路(•两段路的长度不等但坡度相同).已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%,走下坡路时的速度比走平路时的速度快20%,又知小明上学途中花10分钟,•放学途中花12分钟.(1)判断a 与b 的大小;(2)求a 与b 的比值.二、能力拓展：11.观察下列各正方形图形,每条边上有n(n ≥2)个圆点,每个图案中圆点的总数是S.按时规律推断出S 与n 的关系式是__________.(2001年广西中考题)n=4,s=12n=3,s=8n=2,s=4.......12. (“希望杯”邀请赛试题)如图,将面积为a 2的小正方形与面积为b 2的大正方形放在一起(b>a>0),用a 、•b 表示三角形ABC 的面积为________.13. (天津市竞赛题)已知17个连续整数的和是306,那么,紧接在这17个数后面的那17个整数的和为_________.14. (2003年南昌市中考题)用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案:(1)第4个图案中有白色地面砖_________块;(2)第n个图案中有白色地面砖_________块.15. (第17届江苏省竞赛题)下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( )A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.469258147016. (2002年重庆市竞赛题)给出两列数:1,3,5,7,9,…2001和1,6,11,16,21,…,2001,•同时出现在这两列数中的数的个数为( )A.199B.200C.201D.20217. (2003年山东泰安市中考题)一种商品每件进价为a元,按进价增加25%定出售价,后因库存积压降价,按售价的九折出售,每件还能盈利( )A.0125aB.0.15aC.0.25aD.1.25a18.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖,那么c名同学以同样的速度搬运a•块砖所需的小时数是( )A.22ca bB.2cabC.2abcD.22a bc19.已知a n+1=111na(n=1,2,3,…,2002),求当a1=1时,a1a2+a2a3+a3a4+…+a2002a2003的值.20. (2002年湖北省黄冈市竞赛题)在一次数学竞赛中,组委会决定用NS公司的赞助款购买一批奖品,•若以1•台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS•计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品。
透视“算术”向“代数”的转折,体现建模思想——解读苏教版第二学段“式与方程”
Ｅａｗｅ＠ｃｏ － ｉａｃ２ ｍＩ ｌ １ｃ ： ｅ ｎｍ
透视“ 算术＂ 代数＂ 向“ 的转折， 体现建模思想
解读 苏教 版 第 二 学段 “ 与 方程 ” 式
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运 算 ， 为 后 继 学 习 了 解 形 如 ａ ￣ ｘ ｃ的 方 程 做 准 备 。 又 ｘ ｂ＝ “ 字 母 表 示 数 ” 一 单 元 的 学 习 ． 利 于 体 验 数 学 表 用 这 有 达 的 简 练 ， 展 学 生 的 符 号 感 ， 有 效 地 培 养 学 生 的 发 能 抽 象 能 力 、 括 能 力 ， 为 学 生 后 续 学 习 方 程 的 初 步 概 也
苏 教 版 教 材 中 的 “ 与 方 程 ” 是 学 习 用 字 母 表 式 先
示 数 ． 学 用 字 母 表 示 数 ， 是 在 学 生 认 识 许 多 简 单 教 这 数 量 关 系 ， 触 过 一 些 字 母 式 子 如 计 算 公 式 、 算 律 接 运 的基 础 上安 排 的 。学 生 掌 握 这 部 分 内容 ， 利 于 以 后 学 有 习方程 、 比例 以 及 其 他 的 代 数 知 识 。 字 母 表 示 数 ， 用 教 材 先 是 通 过 简 单 的 问题 情 境 ， 学 生 理 解 字 母 可 以 表 让 示 数 ，并 学 习 用 含 有 字 母 的 式 子 表 示 简 单 的 数 量 、 数复杂 的问题简单化 ， 这种 优化 的思
想 对 于 人 的思 维 习惯 的影 响 是 深 远 的 ” 。这 也 正 是 方程
“ 与 方 程 ” 部 分 教 学 内容 都 安 排 在 第 二 学 段 ， 式 这 采 用 了循 序 渐 进 、 螺旋 上 升 的 编 写 方 式 ． 有 系统 性 、 辑 具 逻
2数学思想方法的几次突破
2数学思想方法的几次突破数学思想方法第二章数学思想方法的几次突破就数学发展的历史进程来看，从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定性数学到随机性数学是数学思想方法的几次重要的突破。
第一节从算术到代数一、算术的局限性随着社会的发展，人类认识到算术在理论上的限制了其自身的发展，主要表现在他限制抽象的未知数参与运算，只允许具体的、已知的数进行运算，因而导致其在解决问题的方法上存在局限性。
这种局限性在很大程度上限制了其应用范围，从而促使了新的数学分支——代数的产生。
二、代数的产生算术的内容反映了物体集合数量关系，这些内容是在分析和概括大量实际经验的基础上加以抽象出来的，从而产生了纯粹形式上的算术。
符号化一方面推动了算术的发展，另一方面也为代数的产生奠定了基础。
代数讨论正整数、正分数和零，还讨论负数、虚数和复数。
其特点是用字母符号表示各种数，最初的研究的对象主要是代数式的运算和方程的求解。
代数解题的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含移植术和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。
因此，代数是一门关于形式运算的学说。
代数学形成的三大阶段：文字代数阶段；简写代数阶段；符号代数阶段。
三、代数学体系结构的形成17世纪初期，韦达和笛卡尔等人在数学中系统地引入了符号，人们才真正把代数理解为对文字计算的理论。
当时代数涉及的面非常广，不属于纯几何的内容都是它研究的对象，如级数、对数、解代数方程、解方程组以及解不定方程等。
伽罗瓦建立的理论称为伽罗瓦理论，给数学中的最古老的用尺规作图的可能性问题提供了一个判别方法。
从而引进了群和域等抽象代数的概念，使代数学的发展进入了抽象数学的阶段。
抽象代数与初等代数在思想方法上有很大的差别。
初等代数属于计算性的，并且只限于研究实数和复数等特定的数系，而抽象代数是概念性、公理化的，它的对象是一般的抽象代数结构。
抽象代数比初等代数具有更高的抽象性和更大的普遍性，应用范围更加广泛。
跨越从算术思维到代数思维这道鸿沟
跨越从算术思维到代数思维这道鸿沟算术思维到代数思维的过渡绝非是一蹴可及的，无法在缺乏经验下直接灌输，必须经过长适当的、多元的、循环的学习过程，才能顺利的跨越这一道鸿沟。
跨越这一道鸿沟一方面要从具体的数字到抽象的代数符号数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用，此处的代数符号包含＝、×、+、…、□、甲、乙、x、y、…等等。
从字面上来看，「代数」带有「以符号代表数」的意味，然则教学上所要关心的是：学生为何需要有运用文字符号来代替数字的思维？这种将待求之数以代数（文字）符号之，至少会引出四个不同的功用：（一）改变解题思维动向。
亦即能对「待解的已定数」作运算：例：「某数加5得到8，求该数。
」以算术思维的方法求解时，无论解题思维是「因为某数加5得到8，所以某数是…」或「什么数加5得到8？3加5是8，所以某数是…」，都是以「某数」为解题焦点，所有的运作只能以它为中心。
而当它被文字符号暂代时（如：x+5＝8），焦点已经转移到这个方程式及其解法了。
（二）让解法跳脱题目所给的情境或数字，而聚焦在一般性的解题方法：这个功用对代数的一般性（抽象性）与结构性有直接的影响，因为当解题不会因为题目所给的数字不同而改变作法，其实已经在建立代数的一般性与结构性了。
（三）能保留对运算的程序或结构：例：「边长为2的正方形，得到其面积为4」。
但是得出4之后，就无法得知4究竟是2 、2×2、2+2，还是其它方式而来。
而符号的一个功用就是能保留这些程序或结构，这尤其在多项式、函数、乘法公式、代数论证…上，程序或结构的保留对概念的形式化有不可或缺的地位。
跨越这一道鸿沟另一方面要从特殊化到一般化（抽象化、去情境化）转变。
符号的使用只是进入代数思维的第一步，真正进入代数思维，凭借的是支撑在符号背后的代数想法，也就是一般化的想法。
代数式与代数式的值——初一数学竞赛系列讲座(6)
答 ：有鸡 ２ ， １ Ｏ只 兔 Ｏ只． 代数解 法 的优越 性不 言 而喻 ．
方程思想是代数的灵魂 ， 而代数式是方程的基础．
ｊ圆
基本 知识
１ ．代 数 式是 用 运 算符 号 把数 和 表 示数 的字 母连 接 而成 的式 子． 单
维普资讯
（０ ３ ） （ ２ ８ — ０Ｘ ２ ÷ ４— ）一 １（ 子数 ） ０兔 ，
３ Ｏ一 １ ０— ２ （ ｏ 鸡数 ） ．
代数解 法 ： 鸡有 ｚ只 ， 兔有 （Ｏ 设 则 ３ —ｚ） ， 是 只 于
２ ｚ＋ ４ ３ （０一ｚ）一 ８ ， ０
解 之 ｚ一 ２ ， ０
３ 一ｚ一 １． ０ ０
解 一人 一天 能完 成这 项工 作 的
， 则 人一 天可 完
成项 作 这 工 的南
丛± 尘 天
．
，以 完 这 工 需 — — 所 ， 成 项 作 — 音 一一 人
干
维普资讯
暑 期 竞赛 集
评注
题 迎 刃 而解 ．
（ ）基 本 思路 ， 求 出一人 一 天 完成 的工作 量 ， 余 问 １ 先 其
过 任 意两点 作直 线 ， 共可 作几 条直 线？
蹙 １ ４某 考 ，成 排 后 序前 ０ 平 成 是 ＂ ￣ １ 次 试按 绩 先 顺 ， １名 均 绩 口
分 ， ８名 平均 成绩 是 ｂ分 ， ９名 比第 １ 前 第 ０名 多 ｃ分 ， 问第 １ 的成 绩 ０名 是 多少分？
解
依题意 ， １ 前 ０名学 生 总 成 绩 为 １口， ８名学 生 总 成 绩 ０ 前
为 ８ ， 以第 ９ ０两 名同学 的成 绩 和为 １ａ ８ ， 为 第 ９名 比第 １ ６所 、１ ０ － ｂ因 ０ 名多 ｃ ， 第 １ 分 故 ０名同学成 绩 的 （Ｏ －８ －ｃ分． １ａ ｂ ） 评注 （）解题 关键 在 于 由均分 求 出总分． １
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第二讲 跨越——从算术到代数
“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．”
用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别．
字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．
例题
【例1】观察下列等式
9—l=8， 16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，……
这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示出来： ．(河南省中考题) 思路点拨 在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．
注：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础。
【例2】 某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )．
九涨价3％ B ．涨价1．64％ C 涨价1．2％ D ．降价1．2％ (“TRUIY 信利杯”竞赛题)
思路点拨 设此商品2001年的价格为a 元，把相应年份的价格用a 的代数式表示，由计算作出判断．
例3】 计算
)2001
13121)(2002
1211()2001
131211)(2002
13121(+
+++
++
-+
+++
+
++
思路点拨 直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算．
【例4】 有—张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问： (1)经5次分割后，共得到多少张纸片? (2)经n 次分割后，共得到多少张纸片?
(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么? (江苏省竞赛题)
思路点拨 从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键．
【例5】在右图中有9个方格，要求每个方格填入不同的的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：右图上角的数是多少？
思路点拨 虽然要求的只是右上角的数，但是题目的条件还与其他的数有关，因此，需恰当地引进不同的字母表示数，以便充分运用已知条件．
注：① 用字母表示数，有利于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的相依关系或相等不等关系，具有设元意识，会用代数式表示，是由算术习惯向代数过渡的重要步骤，是突破算术方法的定势的关键．
② 本例的3个小题，反映了我们认识事物、探究问题的基本过程．第(1)小题是研究具体对象，第(2)小题是归纳出一般规律，第(3)小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题． ③ 有些问题涉及的量比较多，关系复杂，我们就需要引入不同的字母，便于把数量关
系表示出来，在解题中我们不需(或不能)求出所有字母的值，只需求出关键的字母的值，这种方法我们称之为“设而不求”．
学力训练
1．给出下列算式： l 2+1=1×2，22+2=2×3， 32 +3=3×4，…… 观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律： ． (福州市中考题) 2．已知：3
223222
⨯
=+
，8
338
332
⨯
=+
，15
4415
442
⨯
=+
，……，若b
a b
a ⨯
=+
2
1010
(b a 、为正整数)，则a+b= ． (2003年武汉市中考题)
3．若（m 十n ）人完成一项工程需要m 天，则n 个人完成这项工程需要 天． (假定每个人的工作效率相同) (江苏省竞赛题)
4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车．全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是 ． (河南省竞赛题)
5．一项工程，甲建筑队单独承包需要a 天完成，乙建筑队单独承包需要b 天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要( )天． A ．
b
a +1 B ．
b
a
11+
C.
b
a a
b + D ．
ab
1
6．某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10％，三月份比二月份减少10％，那么三月份比一月份( )．
A ．增加10％
B ．减少10％
C ．不增不减
D ．减少1％
(河南省中考题)
7．如图，在长方形ABCD 中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是( )． A ．bc-ab+ac+c 2 B ．ab-bc-ac+c 2 C ．a 2 +ab+bc-ac D ．b 2-bc+a 2-ab
河北省中考题)
8．为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是( )．
A ．S 1＞S 2
B ．Sl<S2
C ．S 1=S 2
D ．无法比较 9．从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下： 1＝12，
1+3=4＝22，
1+3+5＝9＝32，
1+3+5+7＝16=42，
1+3+5+7+9＝25＝52，
(1)请你推测出，从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和s的公式是什么?
(2)计算：
①1+3+5+7+9+1l+13+15+17+19；
②11+13+15+17+19+21+23+25．
(3)已知1+3+5+…+(2n一1)=225，求整数n的值．
10．从小明的家到学校，是一段长度为a的上坡路接着一段长度为b的下坡路(两段路的长度不等但坡度相同)．已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20％，走下坡路时的速度比走平路时的速度快20％，又知小明上学途中花10分钟，放学途中花12分钟．
(1)判断a与b的大小；
(2)求a与b的的比值．
(江苏省竞赛题)
11.观察下列各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，每个图案中圆点的总数是S．
按此规律推断出S与n的关系式是．(2001年广西中考题)
12．如图，将面积为2a的小正方形与面积为2b的大正方形放在一起(b>a>0)，用b
a、表
示三角形ABC的面积为．
(“希望杯”邀请赛试题)
13．已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为．
14．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律．拼成若干个图案：
(1)第4个图案中有白色地面砖块；
(2)第n个图案中有白色地面砖块．(2003年南昌市中考题)
15．下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( )．
A．162738,t950 B．2345678910 C．3579111300 D．4692581470
(江苏省竞赛题)
16．给出两列数：l，3，5，?，9，…，2001和1，6，1l，16，21，…，2001，同时出现在两列数中的数的个数为( )．
A．199 B．200 C．201 D．202
(重庆市竞赛题)
17．—种商品每件进价为a 元，按进价增加25％定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利( )．
A ．0.125a
B ．0.15a
C ．0.25a
D ．1.25a (山东泰安市中考题)
18．如果用a 名同学在b 小时内搬运c 块砖，那么c 名同学以同样的速度搬运a 块砖所需的小时数是( )． A ．
b
a c
2
2 B ．
ab
c
2
C ．
2
c
ab D ．
2
2
c
b a
19．已知n
n a a 1111+
=
+ (n=l ，2，3，…2002)．求当11=a 时，20032002433221a a a a a a a a ++++
的值．
20．在——次数学竞赛中，组委会决定用NS 公司的赞助款购头一批奖品，若以1台NS 计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品．则可买100份奖品；若以1台NS 计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品．则可买80份奖品．问这 笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少? (湖北省黄冈市竞赛题)，
22．阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：%100⨯=消费支出总额
食品消费支出总额n ，
根据上述材料，解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查．从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元，1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已经该年每户家庭消费支出总额平均为8000元．
求：(1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元?
(2)设从1997年起m 年后该乡平均每户的恩格尔系数为m n （rn 为正整数）．请用rn 的代数式表示该乡平均每户当年的思格尔系数m n ，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数(百分号前保留整数)．
(3)按这样的发屉，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活?该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标? (桂林市中考题)．
参考答案。