例1、已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。
变式：已知△ABC 的三边a 、b 、c ，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？
关于旋转中的勾股定理的运用：
例2、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△AC P ′重合，若AP=3，求PP ′的长。
变式1：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，
PA=2,PB=求△ABC 的边长.
分析：利用旋转变换，将△BPA 绕点B 逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.
P A
P
C
B
变式2、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，试探究222
、、间的关系，并说明理由.
BE CF EF
关于翻折问题
例3、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点
B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.
变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，
BC=4,求BC’的长.
关于勾股定理在实际中的应用：
例4、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？
关于最短性问题
例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）
变式：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？
关于勾股定理的相关证明
例6、如图在凸四边形ABCD 中，∠ABC=30°, ∠ADC=60°，求证：BD 2=AB 2+BC 2.
变式、如图，在△ABC 中，AB=AC,P 为BC 上任意一点，求证:2
2
AB AP PB PC -=⋅
分析：考虑构造直角三角形，能利用勾股定理.
例7、如图，∠xoy=60°，M 是∠xoy 内的一点，它到ox 的距离MA 为2。它到oy 的距离为11。求OM 的长。
B
C
D
A
三、课后训练： 一、填空题
1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．
图(1)
2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。 3．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm
4．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_____________________米。
5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、
2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B
点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是_____________. 二、选择题 1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2．Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（ ） A 、121 B 、120 C 、132 D 、不能确定
3．如果Rt △两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ） A 、60∶13 B 、5∶12 C 、12∶13 D 、60∶169
4．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）
A 、24cm 2
B 、36cm 2
C 、48cm 2
D 、60cm 2
5．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A 、56 B 、48 C 、40 D 、32
6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米
售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A 、450a 元
B 、225a 元
C 、150a 元
D 、300a 元
7．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）
A 、6cm 2
B 、8cm 2
C 、10cm 2
D 、12cm 2
8．在△ABC 中，AB =15，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长为 A ．42 B ．32 C ．42或32 D ．37或33 9. 如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ）
（A ）直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对
C
O
A
B
D
E
F
第3题图
A
第4题图
2032
A
B 150°
20m 30m
第6题图
第7题图
A B
C
