连续系统的S域分析法
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第23讲 拉普拉斯反变换的方法
F (s)
K1 K2 s j s j
利用上法，得系数
K1 K1 e j 1 , K 2 K1 e j 1
f (t ) 2 K1 et cos(t 1 )
例 解 其中 所以
设
F (s)
s2 s 2 2s 2
，求f ( t )。
1 ( s ) n 1
所以： f ( t ) t 2 e t t e t e t e 2 t
(t )
s4 2 例 4： F ( s ) 3 s 4s 2 4s 2 【解】 F ( s ) s 4 12s 16s2 2 s( s 2)
例2： F ( s )
s3 s 2s 5
2
【解】 F ( s )
k1
s3 s 1 2j
s 1 2 j
s3 s 1 2j s 1 2j k1 k2 s 1 2j s 1 2j s3 1 j k 2 s 1 2j 2
* k 2 k1 A jB
( j ) t k2 e ( j ) t k1e (t ) * j t e t ( k1e j t k1 e ) ( t )
2 e t ( A cos t B sin t ) ( t )
其中 : k i F ( s )( s pi ) s p
( 2 ) D ( s ) 0 的 根 含 有 m 阶 重 根 p1 时 , 则 ：
F ( s)
k 1( m 1 ) ki kn k 1m k 11 ... ... ... m m 1 s pi s pn （ s p1 ） （ s p1 ） （ s p1 ）
连续时间信号与系统的S域分析课件
VS
频谱分析
在信号处理中，频谱分析是了解信号特性 的重要手段。通过s域分析，可以将时域 信号转换为频域信号，实现对信号的频谱 分析，了解信号的频率成分和功率分布等 特性。
THANKS.
系统的实现与仿真
控制系统硬件实现
根据系统设计要求，选择合适的硬件设备，如 传感器、执行器、控制器等，搭建控制系统。
控制系统软件实现
编写控制算法程序，实现控制系统的软件部分。
系统仿真
通过仿真软件对控制系统进行模拟实验，验证系统设计的正确性和有效性。
s域分析的用
05
在通信系统中的应用
信号传输
在通信系统中，信号经常需要经过长距离传输。在传输过程中，信号会受到各种 噪声和干扰的影响，导致信号质量下降。通过s域分析，可以对信号进行滤波、 均衡等处理，提高信号的抗干扰能力，保证信号的传输质量。
调制解调
在通信系统中，调制解调是实现信号传输的关键技术。通过s域分析，可以对信 号进行调制和解调，将低频信号转换为高频信号，或者将高频信号转换为低频信 号，实现信号的传输和接收。
在控制系统中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，系统的稳定性是非常重要的。通过s域分析，可以对系统的极点和零点进行分析，判断系统的稳 定性，以及系统对外部干扰的抑制能力。
稳定性分类
根据系统对输入信号的响应速度 和超调量，可以将系统的稳定性 分为渐近稳定、指数稳定和超调 稳定等类型。
系的s域
04
系统的状态空间表示
状态空间模型
描述系统的动态行为，包括状态方程和输出 方程。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入之间的关系。
状态方程
描述系统内部状态变量的变化规律。
连续系统的S域分析
则
fT t
特例：δT(t)
sT)
2T
3T
t
F s
1
sT e
←→ 1/(1 –e ■
第4-15页
0、引言
5.2
质
5.2 拉普拉斯变换性
质
拉普拉斯变换性
利用常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换
的性质，可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。
常用信号的拉普拉斯变换对
f(t) ←→ F(s)
jω
仅当β>α时，其收敛域
为 α<Re[s]<β的一个带
状区域，如图所示。
α
0
β
σ
第4-7页
■
5.1
换
拉普拉斯变
例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t ε(t) + e-2t ε(t)
f2(t)= – e -3t ε(–t) –e - 2t ε(–
t)
- 2t ε(–t)
1
f3(t)=f e(t)-3t
ε(t) –e
F1 (s)
Re[s]= σ > – 2
解
1
f 2 (t) F2 (s)
s 3
21
s
1
s 3 s 1
2
f 3 (t) F3 (s)
1
s 3 s 1
2
Re[s]= σ < – 3
–3 < σ < –2
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必
且有实常数t0 0
Re[s]
st0
0
Re[s] σ 0
F(s)
则 f (t t0 )ε (t t ) e
fT t
特例：δT(t)
sT)
2T
3T
t
F s
1
sT e
←→ 1/(1 –e ■
第4-15页
0、引言
5.2
质
5.2 拉普拉斯变换性
质
拉普拉斯变换性
利用常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换
的性质，可以求解复杂信号的拉氏变换和反变换。
常用信号的拉普拉斯变换对
f(t) ←→ F(s)
jω
仅当β>α时，其收敛域
为 α<Re[s]<β的一个带
状区域，如图所示。
α
0
β
σ
第4-7页
■
5.1
换
拉普拉斯变
例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t ε(t) + e-2t ε(t)
f2(t)= – e -3t ε(–t) –e - 2t ε(–
t)
- 2t ε(–t)
1
f3(t)=f e(t)-3t
ε(t) –e
F1 (s)
Re[s]= σ > – 2
解
1
f 2 (t) F2 (s)
s 3
21
s
1
s 3 s 1
2
f 3 (t) F3 (s)
1
s 3 s 1
2
Re[s]= σ < – 3
–3 < σ < –2
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必
且有实常数t0 0
Re[s]
st0
0
Re[s] σ 0
F(s)
则 f (t t0 )ε (t t ) e
第五章 连续系统的s域分析
w
S ＋ w s S 2＋ w
2
0
R e s R e s
0 0
5.1 拉普拉斯变换
例5、求L[e (t )]
解： L[e (t )]
lim[e (t )e st ] 0
t
0
e (t )e dt e
st 0
st
1 st dt e s
S(复频)域~拉(普拉)斯变换 代数方程
简单的初等函数
相乘 Y(S) =Yzi(S) + Yzs(S) 为很多不满足绝对可 积的函数f (t)找到变换 域的分析方法。
st
3) 卷积
4) y(t) =yzi(t) + yzs(t) 5) 不满足绝对可积 条件的f (t)
S(复频)域分析法中基本变量为S = s +jw ， e 为基本信 号
0
确定收敛域的一般规律
2）周期信号及幅度稳定信号(只需少加衰减) s >s0 = 0 3）其增长速度比指数函数的衰减慢的信号 s > s0 = 0 如 f ( t ) t n lim t n e s t = 0 s s0 0
t
1）时限信号（能量有限信号）s0 = -(即全部S平面收敛)
例1 因果信号f1(t)= eat e(t) ，求其拉普拉斯变换。 解 F1b (s) 0 e e
at
st
e ( s a )t dt (s a )
0
1 [1 lim e (s a )t e jw t ] t (s a )
收敛轴
1 s a , Re[s ] s a 不定 ， s a 无界 ， s a 对于因果信号，当Re[s]=s>a时，
信号与系统(郑君里)复习要点
信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章 信号与系统 1、信号的分类①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：)0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00a t t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δy (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性)T[{0},{a x 1(0) +b x 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f (t - t d )] = y f (t - t d)(时不变性质)直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
第4章 拉氏变换--1
15
例4-1：求 f (t ) = sin (ωt ) 的拉氏变换 F(s) 解： 由欧拉公式，有：
1 f (t ) = sin (ωt ) = e jωt − e − jωt ) ( 2j
∵
L
e
± jω t
1 = s jω
(σ
> 0)
故由线性叠加性质，得：
L
1 1 1 ω sin ω t = = − ( ) 2 j s − jω s + jω s 2 + ω 2
17
补充例题：
求三角脉冲的拉氏变换。
E
0
f (t )
E f ' ' ( t ) = [δ ( t ) − δ ( t − T )] − Eδ ' ( t − T ) T
两边同时进行拉氏变换，得：
f ′(t )
E T
T
t
E F2 ( s ) = (1 − e − sT ) − Ese − sT T
由时域微分性质，有：
at
− σt
(σ > a )
e −σt u( t ). cos ω1 t
5
拉氏正变换*
F1 (ω ) = F f ( t )u( t ) ⋅ e
因果
[
−σ t
] = [ f (t )u(t ) e ]⋅ e
+∞ −σ t −∞
− jω t
dt
=
+∞
0
f ( t ) ⋅ e − (σ + jω ) t d t = F (σ + jω )
∞
若L[ f ( t )] = F ( s )，则
拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
若f (t)满足以下条件时，才存在付里叶变换 1 狄氏条件：1) f (t)在有限闭区间连续或有有限个第一类间断点； 2) f (t)在有限闭区间只有有限个极值点。
2 在(-, )内满足绝对可积，即 f (t) dt
由付里叶变换存在条件 可知，绝对可积条件较强，许多 函数都不满足此条件，如单位阶跃函数、正弦余弦函数、线 性函数等。 2拉普拉斯变换
F (s) f (t)et e jtdt
f (t)e( j)tdt f (t)est dt
其中 s j
F (s) f (t)est dt称作拉普拉斯(Laplace)变换
f (t) 1
F
(s)e
st
d称s 作拉普拉斯逆变换
2j
f (t) F (s)
单边拉氏变换
a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
其收敛域至少是二函数收敛域的相重叠部分。
7
例1:求双曲函数的象函数
sht 1 (et et )
2
sht
1 2
(et
et
)
0
1 2
(et
et
)est
dt
1 2
s
1
1 1
2 s
1
s2 2
Res 0
et的收敛域Res ，et的收敛域Res ,
当n 2时
t2
2 s3
,依次类推
t n n(n 1)(n 2)2 1
s n1
6
4.冲击函数
(t) (t)est dt 1 0
5.正弦函数
sin kt sin ktest dt 1 e jkt e jkt est dt
0
0 2j
2 在(-, )内满足绝对可积，即 f (t) dt
由付里叶变换存在条件 可知，绝对可积条件较强，许多 函数都不满足此条件，如单位阶跃函数、正弦余弦函数、线 性函数等。 2拉普拉斯变换
F (s) f (t)et e jtdt
f (t)e( j)tdt f (t)est dt
其中 s j
F (s) f (t)est dt称作拉普拉斯(Laplace)变换
f (t) 1
F
(s)e
st
d称s 作拉普拉斯逆变换
2j
f (t) F (s)
单边拉氏变换
a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
其收敛域至少是二函数收敛域的相重叠部分。
7
例1:求双曲函数的象函数
sht 1 (et et )
2
sht
1 2
(et
et
)
0
1 2
(et
et
)est
dt
1 2
s
1
1 1
2 s
1
s2 2
Res 0
et的收敛域Res ，et的收敛域Res ,
当n 2时
t2
2 s3
,依次类推
t n n(n 1)(n 2)2 1
s n1
6
4.冲击函数
(t) (t)est dt 1 0
5.正弦函数
sin kt sin ktest dt 1 e jkt e jkt est dt
0
0 2j
4拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析讲解
求出k1 , k2 , k3 kn ,即可将F s 展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数 3. 第三种情况：有重根存在 4. F(s)两种特殊情况: 含e s的非有理式 非真分式—— 化为真分式＋多项式
收敛坐标 σ0
O
σ
一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
一些常用函数的(单边)拉氏变换:P181表4-1
1.阶跃函数: F ( ) F [ f (t )] u(t )e j t dt [ 1 1 sgn( t )]e j t dt π ( ) 1
f (t )e j0t F 0
f (t ) jF ( )
f (t ) eα t F(s α)
sF ( s ) f (0 )
F ( s ) f 1 (0 ) s s
d F ( s) ds
t
f d
F ( ) πF (0) ( ) j
1 j t F F ( ) f ( t ) F ω e dω 2 以傅里叶变换为基础的频域 分析方法的优点和不足： F f (t ) F ω f (t ) e j t d t • 有清楚的物理意义 • 只能处理符合狄利克雷条件的信号-绝对可积条件： s j f t d t
2)求 e α t cos ω0t的拉氏变换.
3)求f (t ) tu(t 1)的拉氏变换 .
π 4)已知f (t ) ＝ 2 cos(t )u(t ), 求F(s)。 4
§ 4.4 拉普拉斯逆变换 拉氏逆变换的方法： (一)部分分式法 (二)利用留数定理——围线积分法
(三)数值计算方法——利用计算机 拉氏逆变换的过程：部分分式法
信号分析第四章：拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
dt T
A ( 1 esT ) AesT sF ( s ) Ts
F( s )
A/T s2
( 1 e sT
)
A e sT s
f (t)
A T
0
f (0 ) 0
Tt A ( t T )
20
拉普拉斯变换的性质
例 10 f (t) t e(t2) (t 1)
方法一：因为 (t 1) 1 es
中：a >0
解：
F ( s ) 0 e( sa ) tdt 0 e( a ) te j tdt 1
sa
为保证收敛，有 a+<0，故收敛域为 <-a
j
收 敛 a 0 域
9
拉普拉斯变换的收敛区
例3
求双边信号 f (t)= -e – t (-t)+ e -2t (t)的拉普拉斯变 换及其收敛域。
s s0
令 s0 = 实数， 则
et( t ) s
1
令 s0 = j 虚数， 则 e j t ( t ) s
1 j
12
常用函数的拉普拉斯变换 三个基本函数的拉普拉斯变换
• 单位阶跃函数 (t)
已知 es0 t ( t ) 1
s s0
令上例中s0=0。则
(
t
)
1 s
• 单位冲激函数 (t)
s 1
t
e(
t1 )
(
t
1)
d ds
(
s
1 es 1
)
(
s
1 1 )2
es
s
1 es 1
F(
s
)
(
2 s s 1 )2
e s1
A ( 1 esT ) AesT sF ( s ) Ts
F( s )
A/T s2
( 1 e sT
)
A e sT s
f (t)
A T
0
f (0 ) 0
Tt A ( t T )
20
拉普拉斯变换的性质
例 10 f (t) t e(t2) (t 1)
方法一：因为 (t 1) 1 es
中：a >0
解：
F ( s ) 0 e( sa ) tdt 0 e( a ) te j tdt 1
sa
为保证收敛，有 a+<0，故收敛域为 <-a
j
收 敛 a 0 域
9
拉普拉斯变换的收敛区
例3
求双边信号 f (t)= -e – t (-t)+ e -2t (t)的拉普拉斯变 换及其收敛域。
s s0
令 s0 = 实数， 则
et( t ) s
1
令 s0 = j 虚数， 则 e j t ( t ) s
1 j
12
常用函数的拉普拉斯变换 三个基本函数的拉普拉斯变换
• 单位阶跃函数 (t)
已知 es0 t ( t ) 1
s s0
令上例中s0=0。则
(
t
)
1 s
• 单位冲激函数 (t)
s 1
t
e(
t1 )
(
t
1)
d ds
(
s
1 es 1
)
(
s
1 1 )2
es
s
1 es 1
F(
s
)
(
2 s s 1 )2
e s1
ch_04_01(拉普拉斯变换)
t
j
LT存在的条件：
0
若有常数 , 使得当 时， lim f (t )e t
t
收敛轴
则f (t )e t 在 的全部范围内绝对可积， LT积分存在。因此F ( s )的收敛域为: .
lim f (t )e t 0 ( 0 )
设f (t ) sin t
…
sin (t t0 ) …
sin (t t 0)u(t )
t0
sintu(t t 0)
t0
…
sin (t to)u(t t 0)
…
…
0 根据时移特性：LT [sin 0 (t t0 )u(t t0 )] 2 e st 2 s 0
f 2 (t )
at
求两信号微分之后所对应信号的LT
F ( s) F ( s) sa
采用 0
系统
F ( s) F ( s) sa
f1 (t )
df1 s L[ ] sF1 ( s ) f1 (0 ) dt sa
df2 s L[ ] sF2 ( s) f 2 (0 ) 1 dt sa
LT
s F ( s) s
n r 0
n 1
n r 1
f (0 )
(r )
*几点说明
A.如果所处理的函数为有始函数 即 f (t ) 0 则 f (0 ), f ' (0 ), f ( n1) (0 ) t0
df 都为零.那么 L[ dt ] sF ( s) d n f (t ) L[ ] s n F ( s) dt n
若f(t)在t=0有跃变,其微分在t=0处出现冲激. B.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变 换中一般采用 0 系统.而且采用 0 系统, 对解决实际问题较为方便.
j
LT存在的条件：
0
若有常数 , 使得当 时， lim f (t )e t
t
收敛轴
则f (t )e t 在 的全部范围内绝对可积， LT积分存在。因此F ( s )的收敛域为: .
lim f (t )e t 0 ( 0 )
设f (t ) sin t
…
sin (t t0 ) …
sin (t t 0)u(t )
t0
sintu(t t 0)
t0
…
sin (t to)u(t t 0)
…
…
0 根据时移特性：LT [sin 0 (t t0 )u(t t0 )] 2 e st 2 s 0
f 2 (t )
at
求两信号微分之后所对应信号的LT
F ( s) F ( s) sa
采用 0
系统
F ( s) F ( s) sa
f1 (t )
df1 s L[ ] sF1 ( s ) f1 (0 ) dt sa
df2 s L[ ] sF2 ( s) f 2 (0 ) 1 dt sa
LT
s F ( s) s
n r 0
n 1
n r 1
f (0 )
(r )
*几点说明
A.如果所处理的函数为有始函数 即 f (t ) 0 则 f (0 ), f ' (0 ), f ( n1) (0 ) t0
df 都为零.那么 L[ dt ] sF ( s) d n f (t ) L[ ] s n F ( s) dt n
若f(t)在t=0有跃变,其微分在t=0处出现冲激. B.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变 换中一般采用 0 系统.而且采用 0 系统, 对解决实际问题较为方便.
s域和z域分析
VC (s)
1 sC
IC (s)
1 s
vC
(0 )
用于回路分析
R,L,C并联形式的s域模型
VR (s) RIR (s)
VL (s) sLIL (s) LiL (0 )
1
1
VC (s) sC IC (s) s vC (0 )
对电流解出得：
IR (s)
1 R
VR
(s)
I L (s)
(五) z变换与拉普拉斯的关系
(一)从s平面到z平面的映射
z esT
s 1 ln z T
s
2
T
s j
z rej
z e( j )T eT e jT
2
r eT e s
T 2 S
s平面到z平面有如下映射关系：
(1)s平面上的虚轴( 0, s j)映射到z平面是单位圆,其
H (s) LT[r(t)] R(s) LT[e(t)] E(s) h(t) ILT[H (s)]
r(t) e(t) h(t) R(s) E(s)H (s)
r(t) 1 j R(s)estds
2 j j
(八)零极点与系统的时域特性
etu(t)
1
ZT[cos(0n)u(n)]
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
(二)几类序列的收敛域：
(1)有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列
n2
X (z) x(n)zn
n1 n n2
nn1
除n1 0时，z 和n2 0时z 0外，所有z值都收敛
连续时间系统的s域分析及MATLAB实现
ｒ ＝０ ｒ ＝Ｏ
整 理成 ＡｓＹｓ一ｒ（） （Ｘ（） （ （ ） ） ｏ ＝Ｂｓ ｓ一 ｓ ）
） 式有 形
） ｎ ＋ 一 ＋… ＋ａ ＋ａ ， ＝ａＳ ｌ Ｓ ｌ ｏ ｓ
Ｂ ） ｍ ＋ ｍＳ ＋ ＋ ， Ｏ ＝６ ｂ— …＋ ｌ‰
） ： ｓ－ ｒ∽（ ｎ－ ｌｙ ０
收 稿 日期 ： ０ ２０ —０ ２ １ ．３２
作 者简 介 ： 登奇 （９８ ， ， 张 １６ 一） 男 湖南 临 湘人 ， 士，湖南理 工学 院信 息与 通信 工程 学院副 教授 ．主要研 究方 向 ： 号与 信息处 理 硕 信
第 ２ 期
张登 奇 ， ：连续 时 Ｉ 统的 域 分析 及 ＭＡ Ｌ Ｂ买 现 等 司系 ＴＡ
２ ７
函数 的积分值不能确定， 单边拉氏变换的积分下限应避开 ０ 时刻点 选 ０时刻作积分下限是可行的Ｌ 积 ＋ １ ｌ ， 分 函数的０状态往往需重新计算． ＋ 若选 ０时刻作积分下限，由于积分函数的０状态一般 已知， 一 一 可省去 ０状 ＋ 态计算， 以单边拉氏变换 的积分下限都选 ０时刻． 所 一 通常所说的拉 氏变换都是指积分下限为 ０的单边拉 一 氏变换． Ｔ Ａ 中的ｌ ｌ ｅ ＭＡ Ｌ Ｂ ａ ａ 积分函数也是如此． 氏变换 的线性和时域微分定理是 ｐｃ 拉 域分析连续时间系
一
ｒ ＝Ｏ
） ｎ ｓ－Ｏ） ＋Ｙ） ｋｙｏ， ＋＿ ．ｙＯ＋ ａＯ＝ ｓ－ｒ） ａ艺 － （一… ｌ一 艺 － （一 １ ２（ ￣ （ ｌ） ｒ（
ｒ ＝Ｏ ｋ＝ｌ ＝Ｏ ｒ ｒ ＝Ｏ ｋ ＝Ｏ ＝ｌ ｒ
Ｘｓ ｓ－）） 一 ｓ－）） ＋ｘ） －（一 ｏ： 窆ｍｒ（＋ 。 ｍｒ（＋ ０＝ ｓｒ（ ． （ ） －（一 － （一… （ 艺 ｋｘｏ ｌｒ ｘｏ ２ｒ ｘｏ 一 ｌｒ ） －）
整 理成 ＡｓＹｓ一ｒ（） （Ｘ（） （ （ ） ） ｏ ＝Ｂｓ ｓ一 ｓ ）
） 式有 形
） ｎ ＋ 一 ＋… ＋ａ ＋ａ ， ＝ａＳ ｌ Ｓ ｌ ｏ ｓ
Ｂ ） ｍ ＋ ｍＳ ＋ ＋ ， Ｏ ＝６ ｂ— …＋ ｌ‰
） ： ｓ－ ｒ∽（ ｎ－ ｌｙ ０
收 稿 日期 ： ０ ２０ —０ ２ １ ．３２
作 者简 介 ： 登奇 （９８ ， ， 张 １６ 一） 男 湖南 临 湘人 ， 士，湖南理 工学 院信 息与 通信 工程 学院副 教授 ．主要研 究方 向 ： 号与 信息处 理 硕 信
第 ２ 期
张登 奇 ， ：连续 时 Ｉ 统的 域 分析 及 ＭＡ Ｌ Ｂ买 现 等 司系 ＴＡ
２ ７
函数 的积分值不能确定， 单边拉氏变换的积分下限应避开 ０ 时刻点 选 ０时刻作积分下限是可行的Ｌ 积 ＋ １ ｌ ， 分 函数的０状态往往需重新计算． ＋ 若选 ０时刻作积分下限，由于积分函数的０状态一般 已知， 一 一 可省去 ０状 ＋ 态计算， 以单边拉氏变换 的积分下限都选 ０时刻． 所 一 通常所说的拉 氏变换都是指积分下限为 ０的单边拉 一 氏变换． Ｔ Ａ 中的ｌ ｌ ｅ ＭＡ Ｌ Ｂ ａ ａ 积分函数也是如此． 氏变换 的线性和时域微分定理是 ｐｃ 拉 域分析连续时间系
一
ｒ ＝Ｏ
） ｎ ｓ－Ｏ） ＋Ｙ） ｋｙｏ， ＋＿ ．ｙＯ＋ ａＯ＝ ｓ－ｒ） ａ艺 － （一… ｌ一 艺 － （一 １ ２（ ￣ （ ｌ） ｒ（
ｒ ＝Ｏ ｋ＝ｌ ＝Ｏ ｒ ｒ ＝Ｏ ｋ ＝Ｏ ＝ｌ ｒ
Ｘｓ ｓ－）） 一 ｓ－）） ＋ｘ） －（一 ｏ： 窆ｍｒ（＋ 。 ｍｒ（＋ ０＝ ｓｒ（ ． （ ） －（一 － （一… （ 艺 ｋｘｏ ｌｒ ｘｏ ２ｒ ｘｏ 一 ｌｒ ） －）
第五章 连续系统的S域分析
Re[s ] = σ > σ 0 = 0
t e t ε (t ) 、 t ε (t )
增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。
另外，要注意还有一类信号：时限信号
∫
∞
0
f (t ) e −σt dt
T1 T2
f (t )
f (t )
=∫
f (t ) e −σt dt < ∞
0
T1
(a )
T2
t
0
2
t
满足绝对可积的条件。
3
假设 f (t )e −σt 满足绝对可积条件，则
ℱ
[ f (t )e ] = ∫ f (t )e
−σ t ∞ −∞ ∞
−σ t
e − jω t dt
收敛
上述积分结果是 (σ + jω )的函数，令其为 Fb (σ + jω ) 即：
=∫
−∞
f (t )e − (σ + jω ) t dt
σ 的值使
∫
∞ −∞
f (t ) e − σ
e −σ t ,适当
t
当
t → ±∞ 时,
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：
f (t )e −σ t dt < ∞
例如
f (t ) = e 2 t ε (t )
2t ∞
∫
∞
−∞
e ε (t )dt = ∫ e 2 t dt
0
不满足绝对可积的条件。 只要
......
......
(1)
(2)
Fb (s ) 称为 f (t )的双边拉氏变换（或象函数）；
f (t ) 称为Fb (s )的双边拉氏逆变换（或原函数）。
第四章 连续系统的s域分析
tsf41拉普拉斯变换?常用信号的的laplace变换1冲激函数tt1re1ress????????ntrenss?????41拉普拉斯变换2阶跃函数33指数函数指数函数t1res0s???t1reat?esasa?1????treat?esasa???42拉普拉斯变换的性质?线性若则11ts1reffs???22ts2reffs???remaxs?12121t2t1s2s12afafafaf??????尺度变换ts0reffs???0a1re0atsffsa?aa???42拉普拉斯变换的性质?时移延时特性tf?s0retfs???00?000ss00resttt?tttt??ttffefs????复频移s域平移特性ts0reffs???tfe0reaastss?aaaafssj?????????42拉普拉斯变换的性质?时域微分特性ts0reffs???1n1mts00ren?nnmfsfsfs?????????时域积分特性0m??txfdxs001111??remax0s?ntnnmnnmm?fffss???????????ts0reffs???42拉普拉斯变换的性质?时域卷积定理11ts1reffs???22ts2reffs???11221122ttttssss1122remaxs?ffffff????复频域卷积定理1212tt?12121rere2?cj???scj??ffffdscsj?????????????42拉普拉斯变换的性质?s域微分tfs0refs???srerenndfttffss???????s域积分t0nds?t?0resffdst??????42拉普拉斯变换的性质?初值定理和终值定理fs为真分式ts0reffs???0fts00limt?t?lims??s??fsf????????????若0lt
§4.3 拉普拉斯逆变换
§4.3 拉普拉斯逆变换
第四章 拉普拉斯变换
例:
1 es 2 已 知 X (s) ( ) ， 求 x (t ) ？ s 1 X ( s ) 2 (1 2e s e 2 s ) s
x(t ) tu(t ) 2(t 1)u(t 1) (t 2)u(t 2)
8、复频域积分性： 若x(t) X(s)，则
第四章 拉普拉斯变换 连续时间系统的s域分析
傅立叶变换的局限性:
1) 工程中一些信号不满足绝对可积条件，如u(t)；
t e ( 0) ； 2) 有些信号不存在傅立叶变换如
3) 求反变换时,求 (-∞,∞)上的广义积分,很困难； 4) 只能求零状态响应,不能求零输入响应。
为了克服傅立叶变换的局限性,采用拉普拉斯变换。
T ( t ) ( t nT )
0
x s(t) x(nT) (t nT)
0
1 L T ( t ) 1 e sT
X s ( s ) x ( nT ) e nsT
n0
4、复频移性： 若x(t) X(s)，则
x(t)e j 0 t X( 0 )
x(t)e s 0 t X (s s 0 )
例：
cos(0t )u (t )
t
s e cos 0 t s 2 02 0 t 同理：e sin 0 t 2 s 02
s 2 2 s 0
5、时域微分性：
若x(t) X(s)，则
拉普拉斯变换：
• 将信号分解成 e
st
的线性组合；
• 是分析连续时间信号与系统的另一工具； • 可用来分析傅立叶变换所不能分析的系统，不如傅立叶变换那么清楚。
【实验】连续时间系统S域零极点分析
【关键字】实验实验七连续时间系统S域零极点分析一、目的（1）掌握连续系统零极点分布与系统稳定性关系（2）掌握零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系（3）掌握利用MATLAB进行S域分析的方法二、零极点分布与系统稳定性根据系统函数的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应用之一。
稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数包含了系统的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。
对任意有界信号，若系统产生的零状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统，否则，则称为不稳定系统。
上述稳定性的定义可以等效为下列条件：●时域条件：连续系统稳定充要条件为，即冲激响应绝对可积；●复频域条件：连续系统稳定的充要条件为系统函数的所有极点位于S平面的左半平面。
系统稳定的时域条件和频域条件是等价的。
因此，只要考察系统函数的极点分布，就可判断系统的稳定性。
对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式方便地求出极点位置，从而判断系统稳定性，但对于告阶系统，手工求解极点位置则显得非常困难。
这时可利用MATLAB来实现这一过程。
例7-1：已知某连续系统的系统函数为：试用MATLAB求出该系统的零极点，画出零极点图，并判断系统是否稳定。
解：调用实验六介绍的绘制连续系统零极点图函数sjdt即可解决此问题，对应的MATLAB命令为：a=[8 2 3 1 5];b=[1 3 2];[p,q]=sjdt(a,b)运行结果为：p =-0.6155 - 0.6674i -0.6155 + 0.6674i 0.4905 - 0.7196i 0.4905 + 0.7196iq =-2 -1绘制的零极点图如图7-1所示。
由程序运行结果可以看出，该系统在S平面的右半平面有一对共轭极点，故该系统是一个不稳定系统。
三、零极点分布与系统冲激响应时域特性设连续系统的系统函数为，冲激响应为，则显然，必然包含了的本质特性。
对于集中参数的LTI连续系统，其系统函数可表示为关于s的两个多项式之比，即（7-1）其中为的M个零点，为的N个极点。
64连续时间信号与系统的S域分析
b
s
b
0
s
jw
0
Di i
pi
Nj j
zj
jw 系统函数的向量表示
s
( jw z j ) N j e j j
0
( jw pi ) Di e ji
11
例1 已知 H (s) 1 ，求系统的频响特性。
s 1
解：
H ( jw) H (s)
s jw
1
jw 1
H ( jw) w0
1 D0
1
( jw) w0 0 0 0
2.级联型结构
将系统函数分解为一阶或二阶相乘的形式 H(s) = H1(s) H2(s) ….. Hn(s)
画出每个子系统直接型模拟流图，然后 将各子系统级联。
25
二、连续系统的模拟框图
3.并联型结构
将系统函数分解为一阶或二阶相加的形式
H(s) = H1(s) + H2(s) + …. + Hn(s) 画出每个子系统直接型模拟流图, 然后 将各子系统并联。
1.直接型结构 再由②式即得直接型模拟框图
bn x (n) (t) bn1x(n1) (t) b1x' (t) b0 x(t) y(t)
bn bn 1
y (t )
bn2
f (t)
x (n) (t)
• •
•
b1
x(t)
•
•
b0
a n 1
an2
a1
23
a0
二、连续系统的模拟框图
直接型结构框图 规律(s域)
1.直接型结构
H1(s)
n
1 X (s) ai si F(s)
i0
第五章：连续系统的s域分析
根据线性性质可得
1 jβ t − jβ t sin( β t )ε (t ) ↔ l[ (e − e )ε (t )] 2j
1 1 jβ t l[e ε (t )] − l[e − j β t ε (t )] = 2j 2j 1 1 1 1 = − 2 j s − jβ 2 j s + jβ =
β
s +β
2 2
Re[ s ] > 0 ，
二﹑尺度变换
f (t ) ↔ F ( s )， Re[ s ] > σ 0 ，则有 若
1 s f (at ) ↔ F ( )， Re[ s ] > aσ 0， (a为实常数且a > 0) a a
证明如下
l[ f (at )] = ∫ f (at )e − st dt
f (t )e sat ↔ F ( s − sa )， Re[ s ] > σ 0 + σ a， (sa =σ a +jσ a为复常数)
证明如下
∞ ∞
l［f (t )e ］＝∫ - f (t )e e dt = ∫ − f (t )e − ( s − sa )t dt
sa t sa t − st 0 0
ε (t ) 的傅立叶变换，但有些函数如单位阶跃函数 虽然
存在傅立叶变换，却很难求得；而另一些函数如指数 增长函数 ，不存在傅立叶变换。 eα t ε (t )(α > 0) 为克服困难，可以用衰减因子 乘 eσ t (σ 为实常数) 信号 f (t ) ，若用 F(σ +jω )表示该信号的傅里叶变 换，根据傅里叶变换的定义， 则有
1 σ + j∞ st f (t ) = F s e ds t > −∞ ( ) b ∫ j σ − ∞ 2π j
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s
s
s2 8s 16
1s 2s
3
1
即 Y s 4.5 4 + 2
s 1 s 2 s 3
反变换， y t 4.5et 4e2t 1 e3t t 0
2
已知微分方程的s域分析
例3 描述某LTI系统的微分方程为： y(t) 5y(t) 6y(t) f (t)
且 y(0-)=1，y’(0-)=-1，f(t)=5cost (t)，求系统的全响应y(t)
解 对微分方程取拉氏变换得：
s2Y (s) sy(0 ) y(0) 5 s Y ( s ) y ( 0 ) 6Y(s) 2F (s)
(s2 5s 6)Y(s) 2 F ( s ) sy ( 0 ) y ( 0 ) 5 y ( 0 )
2F (s) Y(s) s 2 5 s 6
1 s
I ( s )
u(0 ) 1 I(s)
s
Cs
+ u(t)
-
Cs
i(t)
+
I(s)
C
1 Cs
U(s)
-
+
U (s)
C u (0-)
-
I(s)
1 Cs +
u(0 )
-s
1 复频域容抗
Cs
u(
0 ) 、 Cu(0
s 内部电源
)
:
电容并联模型（宜于节点分析） 电容串联模型（宜于回路分析）
3) 电感
zi
已知微分方程的s域分析
例2 设有方程y(t) 3y(t) 2 y(t) e3t (t)
y ( 0 ) 1, y(0 ) 2, 求 y(t)。
解 对方程取拉氏变换，得
[s 2Y (s) sy(0 ) y(0 )] 3[sY (s) y(0 )] 2Y (s)
1 s 3
整理Y
s4 s2 5s 6
Yzs (s)
Yzi (s)
已知微分方程的s域分析
Yzs(s)
2 F(s)
2
5s 4 3 s + 1
s2 5s 6
(s 2)(s 3) s2 1 s 2 s 3 s2 +1 s2 +1
Y zi (s)
s2
s 4 5s 6
2 1 s 2 s 3
-
+ I(s) Ls
U(s) -
+ U (s)
Li(0-)
-+
-
电感串联模型（宜于回路分析）
I(s)
L s ： 复频域感抗
Ls
i(0 )
Li(0
)、i ( 0 s
)
s
内部电源
电感并联模型（宜于节点分析）
已知电路的S域分析
例 4 电路如图所示，us(t) 10(t)V ，uc(0 ) 5V ，iL(0) 4A ，求 i1(t) 。
y(t) 4e2t 3e3t cos t sint
2e2t e3t (t )
yzs (t)
yzi (t)
已知电路的S域分析
1. 电路基尔霍夫定律的S域模型
n
1) KCL: ik ( t ) 0
k 1
m
2) KVL:
uk (t) 0
k1
2. 电路元件的S模型
1) 电阻
n
Ik (s) 0
做出电路的S域模型
根据s域模型，列写网孔方程为：
(0.2
s1)I1 (s)
0.2I2
(s)
5 s
Us(s)
0.2I1(s) (1.2 0.5s)I2 (s) 2
解得 I (s) 79s 180 57 136
1
s2 7s 12 s 3 s 4
取拉氏反变换，得到
i1(t) (57e3t 136e4t ) A,t 0
例 6 电路如图，us (t) 12V ，开关S 在t 0 时闭合，闭合前电路处于稳 定状态。求开关S 闭合后电阻电压u(t) 的零输入响应和零状态响应。
开关S闭合前，电路处于稳定，因此有
uc(0 )
1 2 3 2 1
us
(t)
6V
做出电路的s域模型
iL
(0
)
3
1 2
1
us(t)
2A
列a点的节点方程为
已知微分方程的s域分析
例 1：系统的微分方程为 y (t) 5y(t) 6y(t) 2 f (t) 8 f (t) ，输入信号
为 f (t) et (t) ，初始状态为 y(0 ) 2, y(0 ) 3，求系统的全响应 y(t)
解 对微分方程两边取拉氏变换
s2Y (s) sy(0 ) y(0 ) 5sY (s) y(0 ) 6Y(s) 2sF(s) 8F(s)
U
(s)+
U
(s)-
uc
(0 s
)
Us
(s)+LiL
(0
)-U
(s)
1
s 3
s
整理，得到
U
(s)
U s(s) s3
iL(0 ) s 3
uc(0)
Y(s) 2s 8 F(s) (s 5)y(0) y(0)
s2 5s 6
s2 5s 6
仅由输入信号引起的 零状态响应
仅由初始状态引起的 零输入响应
已知微分方程的s域分析
零状态响应
Y (s) Yzs(s) Yzi(s)
Y (s) 2s 8 1 3 4 1
zs
s2 5s 6 s 1 s 1 s 2 s 3
yzs (t) (3et 4e2t e3t) (t)
零输入响应为
3s 17 11 8
Yzi(s)
s2 5s 6 s 2 s 3
2t
3t
yzi (t) 11e 8e ,t 0
系统的全响应为
y(t) y (t) y (t) (3et 7e2t 7e3t ),t 0
zs
k 1
m
U k (s) 0
k1
u(t)=R·i(t)
U(s)=R·I(s)
2) 电容
i(t ) C du(t ) dt
I ( s) C [sU ( s) u(0 )]
U (s) 1
Cu(0 )
或 u ( t ) 1 t i( ) d C
U ( s )
1 1 C s
0 i( )d
u(t ) L di(t ) dt
U ( s ) L[ sI ( s ) i(0 )] LsI (s) Li(0 )
或 i ( t ) 1 t u ( ) d L
I ( s )
1 1 L s
0
1
u( )d
s U ( s )
i(0 ) U (s)
s
Ls
+ i(t) u(t) L
信号与系统
第24讲 连续系统的S域分析法
连续系统S域分析法的优点
利用拉氏变换求连续系统的响应,复频域分析， 简称s域分析法
s域分析法将描述系统的时域微分方程转换为s域中 的代数方程；或利用电路元器件的s域模型直接象函数方程中，可以一举求得系统的全响应。