连续系统的S域分析法
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u(t ) L di(t ) dt
U ( s ) L[ sI ( s ) i(0 )] LsI (s) Li(0 )
或 i ( t ) 1 t u ( ) d L
I ( s )
1 1 L s
0
1
u( )d
s U ( s )
i(0 ) U (s)
s
Ls
+ i(t) u(t) L
解 对微分方程取拉氏变换得：
s2Y (s) sy(0 ) y(0) 5 s Y ( s ) y ( 0 ) 6Y(s) 2F (s)
(s2 5s 6)Y(s) 2 F ( s ) sy ( 0 ) y ( 0 ) 5 y ( 0 )
2F (s) Y(s) s 2 5 s 6
U
(s)+
U
(s)-
uc
(0 s
)
Us
(s)+LiL
(0
)-U
(s)
1
s 3
s
整理，得到
U
(s)
U s(s) s3
iL(0 ) s 3
uc(0)
信号与系统
第24讲 连续系统的S域分析法
连续系统S域分析法的优点
利用拉氏变换求连续系统的响应,复频域分析， 简称s域分析法
s域分析法将描述系统的时域微分方程转换为s域中 的代数方程；或利用电路元器件的s域模型直接列写 系统的代数方程，这些代数方程将初始状态自动引 入象函数方程中，可以一举求得系统的全响应。
1 s
I ( s )
u(0 ) 1 I(s)
s
Cs
+ u(t)
-
Cs
i(t)
+
I(s)
C
1 Cs
U(s)
-
+
U (s)
C u (0-)
-
I(s)
1 Cs +
u(0 )
-s
1 复频域容抗
Cs
u(
0 ) 、 Cu(0
s 内部电源
)
:
电容并联模型（宜于节点分析） 电容串联模型（宜于回路分析）
3) 电感
s4 s2 5s 6
Yzs (s)
Yzi (s)
已知微分方程的s域分析
Yzs(s)
2 F(s)
2
5s 4 3 s + 1
s2 5s 6
(s 2)(s 3) s2 1 s 2 s 3 s2 +1 s2 +1
Y zi (s)
s2
s 4 5s 6
2 1 s 2 s 3
Y(s) 2s 8 F(s) (s 5)y(0) y(0)
s2 5s 6
s2 5s 6
仅由输入信号引起的 零状态响应
仅由初始状态引起的 零输入响应
已知微分方程的s域分析
零状态响应
Y (s) Yzs(s) Yzi(s)
Y (s) 2s 8 1 3 4 1
zs
s2 5s 6 s 1 s 1 s 2 s 3
y(t) 4e2t 3e3t cos t sint
2e2t e3t (t )
yzs (t)
yzi (t)
已知电路的S域分析
1. 电路基尔霍夫定律的S域模型
n
1) KCL: ik ( t ) 0
k 1
m
2) KVL:
uk (t) 0
k1
2. 电路元件的S模型
1) 电阻
n
Ik (s) 0
s
s
s2 8s 16
1s 2s
3
1
即 Y s 4.5 4 + 2
s 1 s 2 s 3
反变换， y t 4.5et 4e2t 1 e3t t 0
2
已知微分方程的s域分析
例3 描述某LTI系统的微分方程为： y(t) 5y(t) 6y(t) f (t)
且 y(0-)=1，y’(0-)=-1，f(t)=5cost (t)，求系统的全响应y(t)
例 6 电路如图，us (t) 12V ，开关S 在t 0 时闭合，闭合前电路处于稳 定状态。求开关S 闭合后电阻电压u(t) 的零输入响应和零状态响应。
开关S闭合前，电路处于稳定，因此有
uc(0 )
1 2 3 2 1
us
(t)
6V
做出电路的s域模型
iL
(0
)
3
1 2
1
us(t)
2A
列a点的节点方程为
yzs (t) (3et 4e2t e3t) (t)
零输入响应为
3s 17 11 8
Yzi(s)
s2 5s 6 s 2 s 3
2t
3t
yzi (t) 11e 8e ,t 0
系统的全响应为
y(t) y (t) y (t) (3et 7e2t 7e3t ),t 0
zs
-
+ I(s) Ls
U(s) -
+ U (s)
Li(0-)
-+
-
ຫໍສະໝຸດ Baidu
电感串联模型（宜于回路分析）
I(s)
L s ： 复频域感抗
Ls
i(0 )
Li(0
)、i ( 0 s
)
s
内部电源
电感并联模型（宜于节点分析）
已知电路的S域分析
例 4 电路如图所示，us(t) 10(t)V ，uc(0 ) 5V ，iL(0) 4A ，求 i1(t) 。
zi
已知微分方程的s域分析
例2 设有方程y(t) 3y(t) 2 y(t) e3t (t)
y ( 0 ) 1, y(0 ) 2, 求 y(t)。
解 对方程取拉氏变换，得
[s 2Y (s) sy(0 ) y(0 )] 3[sY (s) y(0 )] 2Y (s)
1 s 3
整理Y
已知微分方程的s域分析
例 1：系统的微分方程为 y (t) 5y(t) 6y(t) 2 f (t) 8 f (t) ，输入信号
为 f (t) et (t) ，初始状态为 y(0 ) 2, y(0 ) 3，求系统的全响应 y(t)
解 对微分方程两边取拉氏变换
s2Y (s) sy(0 ) y(0 ) 5sY (s) y(0 ) 6Y(s) 2sF(s) 8F(s)
做出电路的S域模型
根据s域模型，列写网孔方程为：
(0.2
s1)I1 (s)
0.2I2
(s)
5 s
Us(s)
0.2I1(s) (1.2 0.5s)I2 (s) 2
解得 I (s) 79s 180 57 136
1
s2 7s 12 s 3 s 4
取拉氏反变换，得到
i1(t) (57e3t 136e4t ) A,t 0
k 1
m
U k (s) 0
k1
u(t)=R·i(t)
U(s)=R·I(s)
2) 电容
i(t ) C du(t ) dt
I ( s) C [sU ( s) u(0 )]
U (s) 1
Cu(0 )
或 u ( t ) 1 t i( ) d C
U ( s )
1 1 C s
0 i( )d
U ( s ) L[ sI ( s ) i(0 )] LsI (s) Li(0 )
或 i ( t ) 1 t u ( ) d L
I ( s )
1 1 L s
0
1
u( )d
s U ( s )
i(0 ) U (s)
s
Ls
+ i(t) u(t) L
解 对微分方程取拉氏变换得：
s2Y (s) sy(0 ) y(0) 5 s Y ( s ) y ( 0 ) 6Y(s) 2F (s)
(s2 5s 6)Y(s) 2 F ( s ) sy ( 0 ) y ( 0 ) 5 y ( 0 )
2F (s) Y(s) s 2 5 s 6
U
(s)+
U
(s)-
uc
(0 s
)
Us
(s)+LiL
(0
)-U
(s)
1
s 3
s
整理，得到
U
(s)
U s(s) s3
iL(0 ) s 3
uc(0)
信号与系统
第24讲 连续系统的S域分析法
连续系统S域分析法的优点
利用拉氏变换求连续系统的响应,复频域分析， 简称s域分析法
s域分析法将描述系统的时域微分方程转换为s域中 的代数方程；或利用电路元器件的s域模型直接列写 系统的代数方程，这些代数方程将初始状态自动引 入象函数方程中，可以一举求得系统的全响应。
1 s
I ( s )
u(0 ) 1 I(s)
s
Cs
+ u(t)
-
Cs
i(t)
+
I(s)
C
1 Cs
U(s)
-
+
U (s)
C u (0-)
-
I(s)
1 Cs +
u(0 )
-s
1 复频域容抗
Cs
u(
0 ) 、 Cu(0
s 内部电源
)
:
电容并联模型（宜于节点分析） 电容串联模型（宜于回路分析）
3) 电感
s4 s2 5s 6
Yzs (s)
Yzi (s)
已知微分方程的s域分析
Yzs(s)
2 F(s)
2
5s 4 3 s + 1
s2 5s 6
(s 2)(s 3) s2 1 s 2 s 3 s2 +1 s2 +1
Y zi (s)
s2
s 4 5s 6
2 1 s 2 s 3
Y(s) 2s 8 F(s) (s 5)y(0) y(0)
s2 5s 6
s2 5s 6
仅由输入信号引起的 零状态响应
仅由初始状态引起的 零输入响应
已知微分方程的s域分析
零状态响应
Y (s) Yzs(s) Yzi(s)
Y (s) 2s 8 1 3 4 1
zs
s2 5s 6 s 1 s 1 s 2 s 3
y(t) 4e2t 3e3t cos t sint
2e2t e3t (t )
yzs (t)
yzi (t)
已知电路的S域分析
1. 电路基尔霍夫定律的S域模型
n
1) KCL: ik ( t ) 0
k 1
m
2) KVL:
uk (t) 0
k1
2. 电路元件的S模型
1) 电阻
n
Ik (s) 0
s
s
s2 8s 16
1s 2s
3
1
即 Y s 4.5 4 + 2
s 1 s 2 s 3
反变换， y t 4.5et 4e2t 1 e3t t 0
2
已知微分方程的s域分析
例3 描述某LTI系统的微分方程为： y(t) 5y(t) 6y(t) f (t)
且 y(0-)=1，y’(0-)=-1，f(t)=5cost (t)，求系统的全响应y(t)
例 6 电路如图，us (t) 12V ，开关S 在t 0 时闭合，闭合前电路处于稳 定状态。求开关S 闭合后电阻电压u(t) 的零输入响应和零状态响应。
开关S闭合前，电路处于稳定，因此有
uc(0 )
1 2 3 2 1
us
(t)
6V
做出电路的s域模型
iL
(0
)
3
1 2
1
us(t)
2A
列a点的节点方程为
yzs (t) (3et 4e2t e3t) (t)
零输入响应为
3s 17 11 8
Yzi(s)
s2 5s 6 s 2 s 3
2t
3t
yzi (t) 11e 8e ,t 0
系统的全响应为
y(t) y (t) y (t) (3et 7e2t 7e3t ),t 0
zs
-
+ I(s) Ls
U(s) -
+ U (s)
Li(0-)
-+
-
ຫໍສະໝຸດ Baidu
电感串联模型（宜于回路分析）
I(s)
L s ： 复频域感抗
Ls
i(0 )
Li(0
)、i ( 0 s
)
s
内部电源
电感并联模型（宜于节点分析）
已知电路的S域分析
例 4 电路如图所示，us(t) 10(t)V ，uc(0 ) 5V ，iL(0) 4A ，求 i1(t) 。
zi
已知微分方程的s域分析
例2 设有方程y(t) 3y(t) 2 y(t) e3t (t)
y ( 0 ) 1, y(0 ) 2, 求 y(t)。
解 对方程取拉氏变换，得
[s 2Y (s) sy(0 ) y(0 )] 3[sY (s) y(0 )] 2Y (s)
1 s 3
整理Y
已知微分方程的s域分析
例 1：系统的微分方程为 y (t) 5y(t) 6y(t) 2 f (t) 8 f (t) ，输入信号
为 f (t) et (t) ，初始状态为 y(0 ) 2, y(0 ) 3，求系统的全响应 y(t)
解 对微分方程两边取拉氏变换
s2Y (s) sy(0 ) y(0 ) 5sY (s) y(0 ) 6Y(s) 2sF(s) 8F(s)
做出电路的S域模型
根据s域模型，列写网孔方程为：
(0.2
s1)I1 (s)
0.2I2
(s)
5 s
Us(s)
0.2I1(s) (1.2 0.5s)I2 (s) 2
解得 I (s) 79s 180 57 136
1
s2 7s 12 s 3 s 4
取拉氏反变换，得到
i1(t) (57e3t 136e4t ) A,t 0
k 1
m
U k (s) 0
k1
u(t)=R·i(t)
U(s)=R·I(s)
2) 电容
i(t ) C du(t ) dt
I ( s) C [sU ( s) u(0 )]
U (s) 1
Cu(0 )
或 u ( t ) 1 t i( ) d C
U ( s )
1 1 C s
0 i( )d