连续时间信号与系统S域分析

k1 k2 kr kr1 kn
s p1 (s p1 )2
(s p1 ) r s pr1
s pn
kj
1 (r
dr j j)! ds r j
[(s
p1 ) r F (s)]
j 1,2, , r
5
六、拉普拉斯反变换
—— 部分分式展开法
归纳：
F (s) N (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 D(s) s n an1s n1 a1s a0
S域代数方程
S域响应Y(s)
解代数方程
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一、微分方程描述系统的S域分析
二阶系统响应的S域求解
d 2 y(t) dy(t)
d 2 f (t) df (t)
dt 2 a1 dt a2 y(t) b0 dt 2 b1 dt b2 f (t)
已知 f (t)，y(0)，y' (0) ，求y(t)。
—— 部分分式展开法
归纳：
F (s) N (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 D(s) s n an1s n1 a1s a0
2) F(s)为有理真分式( m < n)，极点为r重阶极点
F(s) N(s)
N (s)
D(s) (s p1 ) r (s pr1 ) (s pn )
例1 系统的微分方程为
y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2f '(t) + 8f(t) 激励 f(t) = etu(t)，初始状态y(0)=3， y'(0)=2，求响应y(t)。
解：对微分方程取拉氏变换可得
s2Y (s) sy(0 ) y(0 ) 5[sY (s) y(0 )] 6Y (s) 2sF (s) 8F (s)
✓ 求解步骤： 1) 经拉氏变换将时域微分方程变换为s域代数方程 2) 求解s域代数方程，求出Yx(s), Yf (s) 3) 拉氏反变换，求出响应的时域表示式
12
一、微分方程描述系统的S域分析
二阶系统响应的S域求解
y"(t)
a1y'(t)
a2y (t)
[s 2Y (s) sy(0 ) y'(0 )] a1[sY (s) y(0 )] a2Y (s)
六、拉普拉斯反变换
—— 部分分式展开法
f
(t)
1 2πj
j
j
F
(s)e
st
ds
计算拉普拉斯反变换方法：
1. 利用复变函数中的留数定理 2. 采用部分分式展开法
1
六、拉普拉斯反变换
1. 利用复变函数中的留数定理
L1[F (s)] f (t) 1
j
F
(s)e ห้องสมุดไป่ตู้t ds, t
0
2πj j
设一闭合围线的积分路径为无限大圆弧,
则上式中积分等于围线中 被积函数所有极点的留数之和
2
六、拉普拉斯反变换
即f (t) F(s)est的留数 极点
若极点s pi处留数为ri , 围线中
有n个极点pi (k阶)
n
则f (t) ri , i 1
ri
(k
1 d k 1
1)
!
ds
k
1
(s
2) F(s)为有理真分式( m < n)，极点为r重阶极点
ki (s pi )F(s) s pi i r 1, r 2, , n
其反变换为
f
(t)
k1e p1t
r j2
(
kj t j 1)!
j
1e
p1t
u(t
)
n
kie pit
ir 1
u(t)
6
六、拉普拉斯反变换
—— 部分分式展开法
pi )k
F
(
s)est
3
六、拉普拉斯反变换
—— 部分分式展开法
归纳： F (s) N (s) bm s m bm1s m1 b1s b0
D(s) s n an1s n1 a1s a0
1) F(s)为有理真分式( m < n)，极点为一阶极点
F(s) N(s)
N (s)
b0s2F (s) b1sF (s) b2F (s)
b0 f "(t) b1 f '(t) b2 f (t)
Y (s)
sy(0 ) y' (0 ) a1y(0 ) s2 a1s a2
b0s2 b1s b2 s2 a1s a2
F(s)
Yx(s)
Yf(s)
y(t) y f (t) yx (t) L1{Yx (s) Yf (s)} 13
8
连续时间信号与系统的S域分析
连续时间信号的复频域分析 连续时间系统的复频域分析 连续时间系统函数与系统特性 连续时间系统的模拟
9
连续系统响应的复频域分析
微分方程描述系统的S域分析 电路的S域模型
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一、微分方程描述系统的S域分析
时域微分方程
拉 氏 变 换
解微分方程
时域响应y(t)
拉 氏 反 变 换
归纳：
F (s) N (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 D(s) s n an1s n1 a1s a0
3) F(s)为有理假分式( m≥ n)
F(s)
N (s) D(s)
B0
B1s
Bmn s mn
N1 (s) D(s)
N1 (s) D(s)
为真分式，根据极点情况按1)或2)展开。
B0 L B0 (t) B1s L B1 '(t)
Bmnsmn L Bmn (mn) (t) 7
信号的复频域分析实质是将信号分解为 复指数信号的线性组合。
信号的复频域分析使用的数学工具是拉 普拉斯变换。
利用基本信号的复频谱和拉普拉斯变换 的性质可对任意信号进行复频域分析。
复频域分析主要用于线性系统的分析。
D(s) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
ki (s pi )F(s) s pi i 1,2, , n
f (t) (k1e p1t k2e p2t kne pnt )u(t) 4
六、拉普拉斯反变换
2s 8
(s 5) y(0 ) y' (0 )
Y (s)
s2
5s
F(s) 6
(s2 5s 6)
Yf (s) Yx (s)
Yx
(s)
s
3s 2
17 5s
6
11 s2
s
8
3
yx (t) L1{Yx (s)} 11e2t 8e3t , t 0
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例1 系统的微分方程为
y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2f '(t) + 8f(t) 激励 f(t) = etu(t)，初始状态y(0)=3， y'(0)=2，求响应y(t)。