连续系统的s域分析知识讲解
第四章——连续时间系统的S域分析
第4章 连续时间系统的S 域分析4.1拉普拉斯变换的定义、收敛域（一） 定义拉氏正变换：()()()0stf t F s f t e dt ∞-==⎡⎤⎣⎦⎰拉氏逆变换：()()112j st j F s F s e ds j σσπ+∞--∞=⎡⎤⎣⎦⎰ （二） 常用函数的拉氏变换[1] 阶跃函数()01stste u t e dt ss∞-∞-==-=⎡⎤⎣⎦⎰ [2] 指数函数()01a s tatat ste ee e dt a sa s∞-+∞---⎡⎤==-=⎣⎦++⎰ （σ>a -） [3] n t 函数[]21t s =232t s ⎡⎤=⎣⎦1!nn n t s +⎡⎤=⎣⎦[4] 冲激函数()()01stt t e dt δδ-∞-==⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0000st stt t t t e dt e δδ-∞---=-=⎡⎤⎣⎦⎰4.2拉普拉斯逆变换（一） 部分分式分解[1]极点为实数，无重根例 求下示函数的逆变换()()()3259712s s s F s s s +++=++ 解 用分子除以分母（长除法）可得()()()()()()322222222225971232277323232232332323221212s s s F s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s +++=++++++=++++++++++=++++++++=++-++ 故有()()()222t t f t t t e e δδ--'=++- ()0t ≥[2]包含共轭复数极点()()12cos sin tA jB A jB e A t B t s j s j αββαβαβ--⎡⎤+-+=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+-++⎣⎦例 求下面函数的逆变换()()()223252s F s s s s +=+++ 解()()()()()()()()2222220123252312231212221212s F s s s s s s s s s j s j s k k k s s j s j +=++++=⎡⎤+++⎣⎦+=+++-+=++++-++下面分别求系数012,,k k k()()02725s k s F s =-=+=()()21123121225s j s j k s j s =-++-+==+++ 也即12,55A B =-=，故而可以得到其逆变换的函数表达式 ()()()27122cos 2sin 2555t t f t e e t t --⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()0t ≥ [3]多重极点设有()()()()()()()()()()1111121111k kkk A s A s F s B s s p D s E S K K K s p D S s p s p -==-=++⋅⋅⋅++---现记()()()11kF S s p F s =-则个系数的计算公式为：()()1111111!i i i s p d K F s i ds --==-例 求下示函数的逆变换()()321s F s s s -=+解 将()F s 写成展开式()()()131112232111K K K K F s s ss s =++++++ 容易求得：()202s K sF s ===-为求出与重根有关的个系数，令()()()3121s F s s F s s-=+=故有11123S s K s=--==12122S d s K ds s =--⎛⎫== ⎪⎝⎭213211222S d s K ds s =--⎛⎫== ⎪⎝⎭于是有()()()323222111F s s ss s =++-+++ 所求逆变换为()232222t t t f t t e te e ---=++- ()0t ≥4.3微分方程的S 域求解对于二阶连续时间LTI 系统，描述系统的微分方程为()()()()()1010,0y t a y t a y t b x t b x t t ''''++=+≥()()0,0y y --'为系统的初始状态。
连续时间系统的s域分析讲解
|什么是拉普拉斯变换及其逆变换? |拉普拉斯变换存在的条件?
常用函数的拉氏变换(阶跃函数、指|
数函数等
北京工业大学信号与信息处理研究室
43
§4.3拉氏变换的基本性质|主要内容
z线性(叠加
z原函数的微分与积分
z延时、s域平移
z尺度变换
z初值、终值、卷积定理|重点:拉氏变换的基本性质|难点:基本性质公式的推导北京工业大学信号与信息处理研究室
求极限方法的傅里叶变换
——含有冲激函数,使分析计算较为麻烦。北京工业大学信号与信息处理研究室
一些信号不存在傅里叶变换
——傅里叶变换有一定限制傅里叶逆变换比较困难
傅里叶变换分析法
——只能确定零状态响应寻求更有效而简便的方法——拉普拉斯变换(LT: Laplace Transform p
北京工业大学信号与信息处理研究室
拉普拉斯变换、
第四章
连续时间系统的s域分析学习内容
1.拉普拉斯变换的定义、应用范围、物理意义及收敛。
2.常用函数的拉氏变换:阶跃函数、指数函数、冲激函数。
3.拉氏变换的性质。
4.拉氏逆变换。
4.拉氏逆变换。
5.利用拉氏变换法分析电路、s域元件模型。
6.系统函数的定义及物理意义。
北京工业大学信号与信息处理研究室
思考题| 1.拉氏变换的基本性质及其变换公式？北京工业大学信号与信息处理研究室
⋅=∫复频率。具有频率的量纲令⇒=+, j :s ωσ单边拉普((∫∞−=0d e t t f s F t
s则拉斯变换
0-系统和0+系统
北京工业大学信号与信息处理研究室
二.拉氏变换的收敛
收敛因子e -σt
可能满足绝对可积的条件
连续时间系统S域分析小结.
几何法绘制频率响应特性曲线
s H (s) s 1/ Rc
几何法绘制频率响应特性曲线
1 1 H (s) Rc s 1/ Rc
几何法绘制频率响应特性曲线
1 1 R1C1 R2C2
几何法绘制频率响应特性曲线
j j3
|H(j)|
-2
-1
0
σ
2
0
3
10
-j3
系统稳态响应的求解
正 H (e j0 ) Am cos[n0 (0 )]
例题：
如图所示电路中，R=5Ω，L=2H，C＝0.1F， 电路初始状态为零；
L
+ e(t) － R + C
r(t) －
(1)求系统函数H(s)；画出S平面极零点分布图 并判断系统的稳定性；分析系统的通频特性；
(2)若输入激励e(t)=u(t)，求系统的零状态响应。
1.4
1.2
1
0.8
|H(jw)|
y(t ) [1 e (cos2t 0.5 sin 2t )]u(t )
t
熟练掌握拉氏变换的性质，利用典型信号的变 换求解信号变换 初值、终值定理和卷积定理
拉氏逆变换的求解方法：1.部分分式分解法； 2.围线积分法（留数法） 利用拉氏变换求解微分方程
系统函数H(s)
系统函数的定义： 利用冲激响应确定 由微分方程写出系统函数 由系统的S域电路模型写出系统函数 由系统的模拟框图写出系统函数 由系统函数的极零点图写出 系统函数的应用：
连续时间系统的s域分析讲解
1 1 s 1 1 s
1 1 2 s 1 s
1 s 1 s 2 5s 2 s s2 2 1 s 1 s 1 s 2 2s 1 V1 ( s ) 2 s s 2 1 s
1 1 V1 ( s ) s 2 1 1 s 0 0
2 s 2 2s 1 I 2 ( s) 2 V1 ( s) s 5s 2
解法二：先求系统的冲激响应（应用2.3节的方法）
h(t ) (et e2t )u(t )
则
1 1 1 H ( s) 2 s 1 s 2 s 3s 2
输入信号 S R1
例： 图示电路，开关S在t = 0时刻闭合，以v2(t)作为响应，
x(t ) Eet u (t ),
(1)
（1）
y ( k ) (0 ) 0, x( k ) (0 ) 0
对式（1）两边取拉氏变换得：
bm s m bm1s m1 b1s b0 Yzs (s) X ( s) n n 1 an s an1s a1s a0
Yzs ( s ) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n n 1 X ( s ) an s an 1s a1s a0
结论：
左半s平面→h(t)衰减
极点： 右半s平面→h(t)增长
一阶极点→h(t) 等幅振荡或阶跃 虚轴上 二阶极点→h(t) 呈增长形式 h(t)衰减 h(t)增长 稳定系统（极点在左半s平面） 非稳定系统（极点在右半s平面） 一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 如果在虚轴上→
二阶：以上不稳定系统
H(s)零点的位置对系统的特性有何影响呢？
1Ω
1F + V1(s) I1(s)
第5章-连续系统的s域分析
L[ f (t )] F[ f (t )e t ]
if , t 0, f (t ) 0
单边拉氏变换
s j
f (t )(0 t )
傅立叶变换和单边拉氏变换是双边拉氏变换的特殊情况
23
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换
对于单边拉氏变换 讨论：①有界的非周期 信号的拉氏变换一定存 在 满足
1 st e s
例：求L[ (t )]
0
1 s
解：L[ (t )] (t )e st dt 1
0
例：求L[ (t )]
解：L[ (t )] (t )e st dt
0
-(- s)e- st
t 0
s
18
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换
f (t )
1 2
j
j
j
Fb ( s )e st ds
1 对比：f (t ) 2
F ( j )e jt d
Laplace变换重新选取函数空间的基底，以 衰减振荡函数集 e ( j )t 为基底构成函数空 间，用来展开信号。
7
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 收敛域
1 e (t ) , Re[s] b s b 当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
bt
1 1 X b ( s) s b s b
b Re[s] b
当 b 0 时，ROC 无公共部分，表明
12
X b ( s) 不存在。
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 收敛域
连续时间信号与系统的S域分析课件
VS
频谱分析
在信号处理中，频谱分析是了解信号特性 的重要手段。通过s域分析，可以将时域 信号转换为频域信号，实现对信号的频谱 分析，了解信号的频率成分和功率分布等 特性。
THANKS.
系统的实现与仿真
控制系统硬件实现
根据系统设计要求，选择合适的硬件设备，如 传感器、执行器、控制器等，搭建控制系统。
控制系统软件实现
编写控制算法程序，实现控制系统的软件部分。
系统仿真
通过仿真软件对控制系统进行模拟实验，验证系统设计的正确性和有效性。
s域分析的用
05
在通信系统中的应用
信号传输
在通信系统中，信号经常需要经过长距离传输。在传输过程中，信号会受到各种 噪声和干扰的影响，导致信号质量下降。通过s域分析，可以对信号进行滤波、 均衡等处理，提高信号的抗干扰能力，保证信号的传输质量。
调制解调
在通信系统中，调制解调是实现信号传输的关键技术。通过s域分析，可以对信 号进行调制和解调，将低频信号转换为高频信号，或者将高频信号转换为低频信 号，实现信号的传输和接收。
在控制系统中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，系统的稳定性是非常重要的。通过s域分析，可以对系统的极点和零点进行分析，判断系统的稳 定性，以及系统对外部干扰的抑制能力。
稳定性分类
根据系统对输入信号的响应速度 和超调量，可以将系统的稳定性 分为渐近稳定、指数稳定和超调 稳定等类型。
系的s域
04
系统的状态空间表示
状态空间模型
描述系统的动态行为，包括状态方程和输出 方程。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入之间的关系。
状态方程
描述系统内部状态变量的变化规律。
§6 连续时间系统的s域分析
系统也是稳定的。
的全部极点都在S平面的左半边。
例3.
X (s)
1 ( s 1) ( s 2 )
第
6
页
确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。
s 极点：
j
1,
s 2
j
j
2 1
2 1
2 1
右边信号
左边信号
双边信号
判断因果性和稳定性！
第
Y (s) X (s) H (s)
其中 H ( s ) 是 h ( t ) 的拉氏变换，称为系统函数
或转移函数。
如果 X ( s )的ROC包括 j 轴，则 X ( s ) 和H ( s ) 的
第
3
页
ROC必定包括 j 轴，以 s j 代入，即有
Y ( j ) X ( j ) H ( j )
2 t
u( t )
6.3 由系统函数的零极点分布确定频率特性
H jω H s s jω K
s z
j j 1
m
jω z
j s jω
m
s P
i i 1
n
K
j 1
jω p
i i 1
n
可见H j ω的特性与零极点的位置 有关。
h( t ) e
at at
1
a 0, 在左实轴上 ,
u( t ), 指数衰减
a 0, 在右实轴上 , h( t ) e u( t ), a 0, 指数增加 ω H ( s) 2 , p1 jω, 在虚轴上 2 s ω h( t ) sinωtu( t )，等幅振荡
信号与系统教案第5章连续系统的s域分析
04
连续系统的s域响应分析
初始状态下的s域响应
01
初始状态下的s域响应是指系统 在输入信号和初始状态共同作 用下的输出信号。
02
在s域中，系统的初始状态可以 表示为s的函数，即系统的初始 值。
03
通过求解线性常微分方程或传 递函数，可以得到系统在初始 状态下的s域响应。
零输入响应和零状态响应
零输入响应是指系统在没有输入信号作用下的自由响应，由系统的内部动 态特性决定。
通过分析极点和零点，可以预测系统在不同输入信号 下的行为，从而对系统进行优化和控制。
05
连续系统的s域设计方法
系统函数的合成与分解
线性时不变系统函数的合成
通过组合简单系统函数，构建复杂系统函数。
系统函数的分解
将复杂系统函数分解为简单系统函数的组合， 便于理解和分析。
传递函数表示法
利用传递函数表示系统函数，便于分析系统 的性能和稳定性。
硬件实现
根据系统函数的数学表达式，选择合适的硬件 平台实现系统函数。
软件实现
利用编程语言或仿真软件实现系统函数，并进 行仿真验证。
实验验证
通过实验测试，验证系统函数的正确性和性能指标的符合程度。
THANK YOU
感谢聆听
02
连续系统的s域分析基础
s域的基本概念
80%
s域
复平面上的一个区域，用于描述 线性时不变系统的传递函数。
100%
传递函数
描述系统输入与输出之间关系的 复数函数。
80%
系统函数
描述系统对不同频率输入信号的 响应。
s域分析的优点
方便数学处理
s域中的传递函数可以进行代 数运算和微积分，便于分析和 设计系统。
第五章 连续系统的s域分析
w
S ＋ w s S 2＋ w
2
0
R e s R e s
0 0
5.1 拉普拉斯变换
例5、求L[e (t )]
解： L[e (t )]
lim[e (t )e st ] 0
t
0
e (t )e dt e
st 0
st
1 st dt e s
S(复频)域~拉(普拉)斯变换 代数方程
简单的初等函数
相乘 Y(S) =Yzi(S) + Yzs(S) 为很多不满足绝对可 积的函数f (t)找到变换 域的分析方法。
st
3) 卷积
4) y(t) =yzi(t) + yzs(t) 5) 不满足绝对可积 条件的f (t)
S(复频)域分析法中基本变量为S = s +jw ， e 为基本信 号
0
确定收敛域的一般规律
2）周期信号及幅度稳定信号(只需少加衰减) s >s0 = 0 3）其增长速度比指数函数的衰减慢的信号 s > s0 = 0 如 f ( t ) t n lim t n e s t = 0 s s0 0
t
1）时限信号（能量有限信号）s0 = -(即全部S平面收敛)
例1 因果信号f1(t)= eat e(t) ，求其拉普拉斯变换。 解 F1b (s) 0 e e
at
st
e ( s a )t dt (s a )
0
1 [1 lim e (s a )t e jw t ] t (s a )
收敛轴
1 s a , Re[s ] s a 不定 ， s a 无界 ， s a 对于因果信号，当Re[s]=s>a时，
第五章连续系统的s域分析
例5.1-5 求复指数函数
0
f t e t
so t
s s0 t
的象函数。 式中 s 为复常数
e 解： L e t e e dt 0 s s0 0 1 Res Res0 s s0
s0 t s0 t st
s
平面。
st de ' ' st st L t t e dt se s t 0 0 dt t 0
'
t 1
Re s
t s
Re s
中国石油大学（华东）
逆变换简记为:
L1 F s f t
f t F s
其变换与逆变换也简记为:
中国石油大学（华东）
2．收敛定理（存在条件） 若因果函数 f t ：对此有如下定理： (1) 在有限区间 a t （2）存在某个 0 有
b 内可积。
0
的收敛域
如果
，拉氏变换存在
如果
则没有共同的收敛域，Fb s 不存在
中国石油大学（华东）
因果函数 的收敛域
f1 t e t
t
双边函数
反因果函数 的收敛域
f 2 t e t t
e t t 0 的收敛域 f t f1 t f 2 t t t0 e 当收敛域包含虚轴时，拉氏变换 与傅氏变换同时存在，将 s j 代入即可得其傅氏变换。
t e ,t 0 t 例5.1-2 设反因果信号 f 2 t e t 0 , t 0 求其双边拉氏变换。 为实数，
《信号与系统》实验3(连续系统的s域分析)
实验三 连续系统的s 域分析学号： 姓名： 成绩：一、实验目的（1）熟悉拉氏变换。
（2）掌握系统响应s 域求法。
（3）熟悉系统的频率响应。
二、实验原理连续LTI 系统，在s 域可以用系统函数H(s)描述，其实质是系统冲激响应h(t)的拉氏变换。
)()()(s A s B s H =（1） 拉氏逆变换若H(s)的极点分别为p1,…,pn ，则H(s)可表示为：部分分式+多项式∑=+-+⋅⋅⋅+-+-=Mm m m n n s c p s r p s r p s r s H 02211)(由此可以方便的求出其拉氏逆变换（即对应的时间域信号）。
（2）s 域求响应变换到s 域，系统响应等于激励信号与系统函数相乘)()()(s H s E s R =（3）系统的频率响应如果系统函数H(s)的收敛域包含虚轴，则令s=j ω，得到系统的频率响应H(j ω)。
三、验证性实验 已知系统)(9)(3)(8)(6)()1()1()2(t e t e t r t r t r+=++，其系统函数为8693)(2+++=s s s s H 。
（1） 求零、极点。
程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8]; %分母多项式系数 zs=roots(b); ps=roots(a);plot(real(zs),imag(zs),'go',real(ps),imag(ps),'rx'); grid;legend('zero','pole');-4-3.5-3-2.5-2问题：该系统的零点能够抵销什么形式的激励信号？（2） 求冲激响应h(t)（系统函数的逆变换） 程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8]; %分母多项式系数 [r,p,k]=residue(b,a) 运行结果： r =1.5000 1.5000 p = -4 -2 k = [] 则t t e e t h s s s H 245.15.1)(25.145.1)(--+=+++=问题：该系统是不是稳定系统？（3） e(t)=u(t)时，求零状态响应ss s s s E s H s R st u L s E 8693)()()(1)]([)(23+++====程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8,0]; %分母多项式系数[r,p,k]=residue(b,a); %求留数、极点 t=0:0.1:10;f=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t)+r(3)*exp(p(3)*t); plot(t,f);02468100.511.5问题：响应的极点有哪些，与激励相同的极点是哪一个，对应着响应的什么分量？（4） 求频率响应H(j ω)。
第五章 连续系统的S域分析
Re[s ] = σ > σ 0 = 0
t e t ε (t ) 、 t ε (t )
增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。
另外，要注意还有一类信号：时限信号
∫
∞
0
f (t ) e −σt dt
T1 T2
f (t )
f (t )
=∫
f (t ) e −σt dt < ∞
0
T1
(a )
T2
t
0
2
t
满足绝对可积的条件。
3
假设 f (t )e −σt 满足绝对可积条件，则
ℱ
[ f (t )e ] = ∫ f (t )e
−σ t ∞ −∞ ∞
−σ t
e − jω t dt
收敛
上述积分结果是 (σ + jω )的函数，令其为 Fb (σ + jω ) 即：
=∫
−∞
f (t )e − (σ + jω ) t dt
σ 的值使
∫
∞ −∞
f (t ) e − σ
e −σ t ,适当
t
当
t → ±∞ 时,
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：
f (t )e −σ t dt < ∞
例如
f (t ) = e 2 t ε (t )
2t ∞
∫
∞
−∞
e ε (t )dt = ∫ e 2 t dt
0
不满足绝对可积的条件。 只要
......
......
(1)
(2)
Fb (s ) 称为 f (t )的双边拉氏变换（或象函数）；
f (t ) 称为Fb (s )的双边拉氏逆变换（或原函数）。
第五章 连续时间系统的S域分析PPT课件
第4-2页
■
©西南林学院 鲁莹
信号与系统 电子教案 第五章 连续时间系统的S频域分析
3
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
二、收敛域
三、(单边)拉普拉斯变换
5.2 拉普拉斯变换的性质
5.3 拉普拉斯变换逆变换
5.4 复频域分析
一、微分方程的变换解
二、系统函数
三、系统的零极点图
四、系统的s域框图
状区域，如图所示。
α0
βσ
第4-8页
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信号与系统 电子教案
5.1 拉普拉斯变换
9
例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t)
f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t)
f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t)
3、指数函数e-s0t ←→ 1
s s0
> -Re[s0]
s
cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→
s2
2 0
sin0t = (ej0t– e-j0t )/2j ←→
0
s2
2 0
第4-11页
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信号与系统 电子教案
5.1 拉普拉斯变换
12
4、周期信号fT(t)
F T(s)0 fT(t)esd t t
五、电路的s域模型
5.5 系统的稳定性
第4-3页
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信号与系统 电子教案
4
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ， 适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅 度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
信号与系统课件第五章-连续系统的S域分析
拉氏变换的基本性质
⑻ 复频域微分与积分特性
若 f t Fs
则
t f t d Fs
ds
,
tn
f
t
dn dsn
Fs
f
t
t
s
F
d
上一页
2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
24
拉氏变换的基本性质
⑼ 初值定理：若 f 及t 其各阶导数存在，不包含 及 t其 各
阶导数，且有
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2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
3
引言
傅里叶变换是将一个连续时间信号从 时域特性的描述变换为频域特性的描述， 而拉普拉斯变换是将时域特性描述变换为 复频域特性的描述。
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2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
4
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
1
复频域分析
通过变换将时间变量转变为复频率 变量，在复频域内分析信号特性、系统 特性及其系统响应的方法。
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2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
2
本章主要内容
拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯反变换 系统响应的分析
13
拉氏变换的收敛域
拉氏变换有收敛域：要注意的是并不是 f te一t概可积， 而要取决于 的性f t质 及σ 的大小，在一个区域可积，在另一 个区域不一定可积。
收敛域：满足绝对可积时， f te中tσ 的取值范围。对大部 分信号而言，收敛域是存在的，故后面将不再讨论（研究）收 敛域而直接变换。
实验四连续系统的s域分析研究
实验四连续系统地s 域分析030840502赵丽伟一、实验目地（1）熟悉拉氏变换.（2）掌握系统响应s 域求法.（3）熟悉系统地频率响应.二、实验原理连续LTI 系统，在s 域可以用系统函数H(s)描述，其实质是系统冲激响应h(t)地拉氏变换.)()()(s A s B s H = （1） 拉氏逆变换若H(s)地极点分别为p1,…,pn ，则H(s)可表示为∑=+-+⋅⋅⋅+-+-=M m m m n n s c p s r p s r p s r s H 02211)( 由此可以方便地求出其拉氏逆变换（即对应地时间域信号）.（2）s 域求响应变换到s 域，系统响应等于激励信号与系统函数相乘)()()(s H s E s R =（3）系统地频率响应如果系统函数H(s)地收敛域包含虚轴，则令s=j ω，得到系统地频率响应H(j ω).三、验证性实验已知系统)(9)(3)(8)(6)()1()1()2(t e t e t r t r t r +=++，其系统函数为8693)(2+++=s s s s H . （1） 求零、极点.程序：clear;b=[3,9]; %分子多项式系数a=[1,6,8]; %分母多项式系数zs=roots(b);ps=roots(a);figure('Position',[100,100,400,200]);plot(real(zs),imag(zs),'go',real(ps),imag(ps),'rx'); %这里go 代表绿色圆圈同理 rx 代表红色小叉grid;legend('zero','pole'); 命名-4-3.5-3-2.5-2（2） 求冲激响应h(t)程序：clear;b=[3,9]; %分子多项式系数a=[1,6,8]; %分母多项式系数[r,p,k]=residue(b,a)运行结果：r =1.5000 %第一个留数1.5000 %第二个留数p =-4 %第一个极点-2 %第二个极点k =[]则t t e e t h s s s H 245.15.1)(25.145.1)(--+=+++=（3） e(t)=u(t)时，求零状态响应s s s s s E s H s R st u L s E 8693)()()(1)]([)(23+++====程序：clear;b=[3,9]; %分子多项式系数a=[1,6,8,0]; %分母多项式系数[r,p,k]=residue(b,a); %求留数、极点t=0:0.1:10;f=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t)+r(3)*exp(p(3)*t);plot(t,f);024681000.51信号稳定后大于1，被放大了（4） 求频率响应H(j ω).程序：b=[3 9]; %分子多项式地系数向量a=[1 6 8]; %分母多项式地系数向量w=0:0.01:100; %生成角频率w 地矢量h=freqs(b,a,w);figure('Position',[100,100,400,300]);subplot(2,1,1),plot(w,abs(h)); %画幅频特性title('abs(H(jw))');grid onsubplot(2,1,2),plot(w,angle(h)); %画相频特性title('angle(H(jw))');grid on020*********00.511.5abs(H(jw))020*********-2-1angle(H(jw))四、设计性实验已知系统)()()()1()2(t e t r t r =+，当e(t)=cos(t)u(t)时，写出其系统函数，利用拉氏变换求系统地零状态响应. H(s)=ss +21E(s)=12+s s R(s)= s s +21*12+s s =1123+++s s s clear;b=[1];a=[1,1,1,1];[r,p,k]=residue(b,a);t=0:0.1:10; f=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t)+r(3)*exp(p(3)*t);figure('Position',[100,100,400,300]);plot(t,f);grid;0246810-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8输入为正弦信号，输出同样为正弦信号.输出地信号在幅度上有所衰减，相位地变化是改变了π/2.五、实验要求1．运行验证性实验，观察记录结果.2．完成设计性实验，在实验报告上记录程序和结果.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures,and design. Copyright is personal ownership.RTCrp。
连续时间信号与系统的S域分析讲解
am s z1 s z2 s zm F s bn s p1 s p2 s pn
零点：z1, z2, …… zm 极点：p1, p2, …… pn 拉氏反变换的过程： 找F(s)出的极点 将F(s)展开为部分分式 求反变换
（1）第一种情况：单阶实数极点
0 a 0
j
lim eat e t 0
t
a
a
三、 常用信号的拉普拉斯变换
e
t
1 ut s
1 ut s
s cos 0 t ut 2 2 s 0
0 sin 0 t ut 2 2 s 0
1
• 先求 F1 s s st (1) 用定义求 F1 s e dt 1 e 0
s 1 e (2) ut ut s s F1 s 1 e L f t sT 1 e s 1 e sT
s
六、拉普拉斯反变换
一般由象函数求原函数有三种方法： • 部分分式法 • 留数法----回线积分法 • 数值计算方法 重点：部分分式法
1. 部分分式法
• 通常F(s)具有如下形式： m m 1 am s am 1s a1s a0 F s n n1 bn s bn1s b1s b0 m,n是正整数，am,bn是实数。 • 当m<n时， F(s)是有理真分式。 • 当F(s)是有理真分式，可以用部分分式 法展开。
• f (t)=eatu(t) a>0的傅里叶变换？ 不存在! 将f(t)乘以衰减因子e-t
F f t e
t
f t e
信号与系统-连续系统的S域分析
Fb ( j )
f (t )e ( j )t dt
1 ( j ) t f (t ) F ( j ) e d b 2π
为简化起见，令 s j ，可得：
Fb ( s )
f (t )e st dt
1 j st f (t ) F ( s ) e ds b 2πj j
t2
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Chapter 5 连续系统的s域分析
5.1 拉普拉斯变换
另外，还有一类可积的时限（时间有限）信号：
f(t) f(t)
例：
0 T1
T2
t
0
2
t
要求： 0 f (t )e t dt 由于：
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T2 T1
f (t )e t dt
Re[ s]
$5.2
线性 尺度变换 时移 复频移 时域微分 拉普拉斯变换的性质（时域积分 卷积 s域微积分 初/终值定理）
$5.3 拉普拉斯逆变换（查表法 部分分式展开法） $5.4 复频域分析（微分方程变换解 系统函数 系统s域框图
电路的s域模型 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系）
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Chapter 5 连续系统的s域分析
如果有双边信号
t e t 0 t t f ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) e ( t ) e ( t ) t e t 0 其双边拉普拉斯变换为： Fb ( s) Fb1 ( s) Fb 2 ( s)
st
L [ (t )] (t )e st dt
0
第五章：连续系统的s域分析
根据线性性质可得
1 jβ t − jβ t sin( β t )ε (t ) ↔ l[ (e − e )ε (t )] 2j
1 1 jβ t l[e ε (t )] − l[e − j β t ε (t )] = 2j 2j 1 1 1 1 = − 2 j s − jβ 2 j s + jβ =
β
s +β
2 2
Re[ s ] > 0 ，
二﹑尺度变换
f (t ) ↔ F ( s )， Re[ s ] > σ 0 ，则有 若
1 s f (at ) ↔ F ( )， Re[ s ] > aσ 0， (a为实常数且a > 0) a a
证明如下
l[ f (at )] = ∫ f (at )e − st dt
f (t )e sat ↔ F ( s − sa )， Re[ s ] > σ 0 + σ a， (sa =σ a +jσ a为复常数)
证明如下
∞ ∞
l［f (t )e ］＝∫ - f (t )e e dt = ∫ − f (t )e − ( s − sa )t dt
sa t sa t − st 0 0
ε (t ) 的傅立叶变换，但有些函数如单位阶跃函数 虽然
存在傅立叶变换，却很难求得；而另一些函数如指数 增长函数 ，不存在傅立叶变换。 eα t ε (t )(α > 0) 为克服困难，可以用衰减因子 乘 eσ t (σ 为实常数) 信号 f (t ) ，若用 F(σ +jω )表示该信号的傅里叶变 换，根据傅里叶变换的定义， 则有
1 σ + j∞ st f (t ) = F s e ds t > −∞ ( ) b ∫ j σ − ∞ 2π j
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四、常见函数的拉普拉斯变换
1、(t) ←→1，> -∞
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0
3、指数函数e-s0t ←→ 1
s s0
> -Re[s0]
s
cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→
s2
2 0
sin0t = (ej0t– e-j0t )/2j ←→
连续系统的s域分析
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§5.1 拉普拉斯变换
• 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 • 收敛域 • (单边)拉普拉斯变换 • 常见函数的拉普拉斯变换 • 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
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一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适 当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度趋 近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
F(s) f(t)estdt 0
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
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三、单边拉氏变换
F(s)deff(t)estdt 0
f(t)def21j jj F(s)esd t s(t)
简记为F(s)=£ [f(t)] f(t)=£-1[F(s)]
f1[0.5(t-2)] ←→ 2F1(2s)e-2s f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 –e-2s)
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例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求拉氏变换。
解 F 1 b ( s ) 0 e te sd tt e ( s ( s ) t)0 ( s 1) [ 1 l t ie ( m ) te j t]
1
不s 定
, Re[s] ，
0
s2
2 0
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§5.2 拉普拉斯变换性质
• 线性性质 • 尺度变换 • 时移特性 • 复频移特性 • 时域微分 • 时域积分
• 卷积定理 • s域微分 • s域积分 • 初值定理 • 终值定理
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一、线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2) 例1 f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0
解
11 f1(t)F 1(s)s3s2
Re[s]= > – 2
f2(t)F 2(s)s 13s 12 f3(t)F 3(s)s 13s 12
Re[s]= < – 3 –3<<–2
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域。
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通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为
jω
仅当>时，其收敛域 为 <Re[s]<的一个带 状区域，如图所示。
α0
βσ
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例4 求下列信号的双边拉普拉斯变换。
f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t)
例1:求如图信号的单边拉氏变换。
0
1t
解：f1(t) = (t) –(t-1)，f2(t) = (t+1) –(t-1)
f2(t)
F1(s)=
1 s
(1
es
)
1
-1 0
1t
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例2:已知f1(t) ←→ F1(s),求f2(t)←→ F2(s)
解： f2(t) = f1(0.5t) –f1[0.5(t-2)] f1(0.5t) ←→ 2F1(2s)
jω
无界 ，
0α
σ
可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
收敛边界
收敛域
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例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求拉氏变换。
解F 2 b ( s ) 0 e te sd t t e ( s ( s ) t)0 ( s 1 ) [ 1 t l ie m ( ) te j t]
无界 , Re[s] .
不定
，
jω
1
(s )
，
可见，对于反因果信号，仅当
0
Re[s]=<时，其拉氏变换存在。
收敛域如图所示。
βσ
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例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
f3(t)f1(t)f2(t) ee tt,,
t0 t0
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
Fb(+j)= ℱ[ f(t) e-t]=
f(t)e te jtd t f(t)e ( j )td t
相应的傅里叶逆变换 为
f(t) e-t= 21 Fb(j)ejtd
f(t)2 1 F b( j )e(j)td 令s = + j,d =ds/j，有
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定义
1 F(s) aa
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三、时移特性
若f(t) <----->F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 , 则f(t-t0)(t-t0)<----->e-st0F(s) , Re[s]>0
与尺度变换相结合
f(at-t0)(at-tห้องสมุดไป่ตู้)←→
1
t0 s
ea
F
s
a
a
f1(t) 1
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二、尺度变换
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0 ，
则f(at) ←→ 1 F ( s )
证明：
aa
Lf(a)tf(a)tesd t t 0
令τ a， t 则
Lf(a)t f(τ)easτdτ1
0
a a
sτ
f(τ)e a dτ
0
1 a
F
s a
Fb(s) f(t)estdt
f(t)21j jj Fb(s)estds
双边拉普拉斯变换对
Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
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二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边 拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。