信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
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04四章 连续时间信号与系统的S域分析
相应的傅里叶逆变换为
• Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为 Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
二、双边拉氏变换的收敛域
能使
收敛的S值的范围。
若f(t)绝对可积，则 F(jω)=F(s)|σ=0 或F(jω)= F(s)|s= jω
S平面与零点、极点
N (s) F ( s) D( s )
例5.1－5求复指数函数（式中s0为复常数）f(t)=es0t(t)的 象函数
• 解： L[e (t )] 0 e e dt 0 e
s0 t s0t st
( s s0 ) t
dt
1 , Re[ s] Re[ s0 ] s s0 1 t , Re[ s ] 若s0为实数，令s0＝，则有 e (t ) s
三、 S域平移（Shifting in the s-Domain）: 若 x(t ) X (s), ROC: R 则
x(t )e X ( s s0 ), ROC : R Re[s0 ]
s0t
表明 X (s s0 ) 的ROC是将 X ( s)的ROC平移了 一个Re[ s0 ] 。
1 s2 X 1 ( s) 1 , s 1 s 1
1 X 2 ( s) , s 1
ROC: 1
ROC: 1
而 x1 (t ) x2 (t ) t 1 ROC为整个S平面 • 当R1 与R2 无交集时，表明 X ( s) 不存在。
二、 时移性质（Time Shifting）:
ROC : 包括 R1 R2
x1 (t ) x2 (t ) X1 (s) X 2 ( s)
信号与系统4.3拉氏变换的性质
T
T2
2
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
E(2 )
[
s2
T
( 2
)2
sT
]e 2
T
T
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4-4 试求图4.4所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。
f (t)
E
…
0
TT
2T
t
2
图4.4 例 4―4图
解: 在例4―3中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即
0 24
t
图4.5 例4-5图
e2(t2)e4u(t 2) e2(t4)e8u(t 4)
于是
F (s) L[ f (t)] e4L[e2t ]e2s e8L[e2t ]e4s
e2(s2) e4(s2) s2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4、s域平移特性
若 f (t) F(s)
t)u(t) E sin[ T
(t )]u(t )
2
2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
应用拉氏变换的时移特性,有
F (s) L[ f (t)] L[ fa (t)] L[ fb (t)]
L[E sin(2 t)u(t)] L{E sin[ 2 (t T )]u(t T )}
本题第一个周期的波形）的拉氏变换为
F1(s)
L[
f
(t)]
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)配套题库-章节题库(第4章)【圣才出品】
A．
1 s2
e s
s
B． s 12
es
C． s 12
1 / 167
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1
D． s 12
1
E． s 12
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【答案】D
【解析】因为
etu(t) 1 s 1
根据拉氏变换的频域微分性质
tet
u
t
1
s
1
1
=
s
1
12
3．信号
d dt
cos tU
t
s2 s2 1
又根据频域微分性质有
t
d dt
cos
tU
t
1
d ds
s2 s2
1
2s s2 1 2
4．信号 f t u t d 的拉普拉斯变换为（ ）。 0
A．1/s
B．1/（s2）
C．1/（s3）
D．1/（s4）
【答案】C
B．e－αtu（t－T）
C．e－αtu（t－α ）
3 / 167
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D．e－αu（t－T）
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【答案】B
【解析】u（t）的拉氏变换为 1/s，根据时移性，u（t－T）的拉氏变换为 e－sT/s，再
根据频域的时移性，e－αtu（t－T）的拉氏变换为 e－sT/s 的 s 左移α，即 e－sT/s 中的 s 加上
2s 1 2s 1
f（t）中包含Байду номын сангаас激函数 2δ（t），去掉冲激函数以后，根据初值定理
f
(0 )
lim
s
s
3 2s+1
信号与系统 第四章习题 王老师经典解法(青岛大学)小白发布
3
E1(s)
∑
1 s
-2 -1
（a）
1 s
2
∑
Y 1( s )
E2(s)
−2 t
Vo ( s ) ； E ( s)
U (t ) ，求零状态响应 vo (t ) ；
（3）若 e(t ) = 10 cos(5t ) ，求正弦稳态响应 voss (t ) 。
0.25F + e(t) -
2:1
1F
2:1
2F +
C1
C2
C3
R
vo(t
-
题图 4-17-1
4-18 题图 4-18-1 所示电路 （1）若初始无储能，信号源为 is (t ) ，为求 i1 (t ) （零状态响应） ，列写转移函数 H ( s ) ，并给 出对应于 is (t ) = 10 cos(2t )U (t ) 的零状态响应 i1 (t ) ； （2）若初始状态以 i1 (0) ， v 2 (0) 表示（都不等于零） ，但
is(t
)
1Ω + 1F
-
1H
i1(t
is (t ) = 0 ，求 i1 (t ) （零输入响应） 。
v 2( t )
1Ω
题图 4-18-1
4-19 求题图 4-19 中电路的电压传输函数，如果要求响应中不出现 强迫响应分量，激励函数应有怎样的模式？
C
R1
+ +
-)
e(t R2
vo(t)
-
题图 4-19
4-11 用拉氏变换分析法，求下列系统的响应。
d 2 r (t ) dr (t ) （1） +3 + 2r (t ) = 0 ， r (0 − ) = 1 ， r ' (0 − ) = 2 2 dt dt
拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
若f (t)满足以下条件时，才存在付里叶变换 1 狄氏条件：1) f (t)在有限闭区间连续或有有限个第一类间断点； 2) f (t)在有限闭区间只有有限个极值点。
2 在(-, )内满足绝对可积，即 f (t) dt
由付里叶变换存在条件 可知，绝对可积条件较强，许多 函数都不满足此条件，如单位阶跃函数、正弦余弦函数、线 性函数等。 2拉普拉斯变换
F (s) f (t)et e jtdt
f (t)e( j)tdt f (t)est dt
其中 s j
F (s) f (t)est dt称作拉普拉斯(Laplace)变换
f (t) 1
F
(s)e
st
d称s 作拉普拉斯逆变换
2j
f (t) F (s)
单边拉氏变换
a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
其收敛域至少是二函数收敛域的相重叠部分。
7
例1:求双曲函数的象函数
sht 1 (et et )
2
sht
1 2
(et
et
)
0
1 2
(et
et
)est
dt
1 2
s
1
1 1
2 s
1
s2 2
Res 0
et的收敛域Res ，et的收敛域Res ,
当n 2时
t2
2 s3
,依次类推
t n n(n 1)(n 2)2 1
s n1
6
4.冲击函数
(t) (t)est dt 1 0
5.正弦函数
sin kt sin ktest dt 1 e jkt e jkt est dt
0
0 2j
2 在(-, )内满足绝对可积，即 f (t) dt
由付里叶变换存在条件 可知，绝对可积条件较强，许多 函数都不满足此条件，如单位阶跃函数、正弦余弦函数、线 性函数等。 2拉普拉斯变换
F (s) f (t)et e jtdt
f (t)e( j)tdt f (t)est dt
其中 s j
F (s) f (t)est dt称作拉普拉斯(Laplace)变换
f (t) 1
F
(s)e
st
d称s 作拉普拉斯逆变换
2j
f (t) F (s)
单边拉氏变换
a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
其收敛域至少是二函数收敛域的相重叠部分。
7
例1:求双曲函数的象函数
sht 1 (et et )
2
sht
1 2
(et
et
)
0
1 2
(et
et
)est
dt
1 2
s
1
1 1
2 s
1
s2 2
Res 0
et的收敛域Res ，et的收敛域Res ,
当n 2时
t2
2 s3
,依次类推
t n n(n 1)(n 2)2 1
s n1
6
4.冲击函数
(t) (t)est dt 1 0
5.正弦函数
sin kt sin ktest dt 1 e jkt e jkt est dt
0
0 2j
第四章拉普拉斯变换
拉氏变换定义
如有界非周期信号 ; 有稳定幅度的周期信号 0;
随时间成正比增长的信号 0; 按指数eat 增长的信号 a。
0系统：若某些信号在0点有跳变且已知f (0 ) 则 F (s)
def
0
f (t )e st dt
2. 基本信号的单边拉氏变换 (1)阶跃函数
时间微分性质(续)
t 0 时， f t 0 ，且无原始储能， 若 f t 为有起因信号，即
即 f ( 0 ) f ( 0 ) 0 2 f ( t ) sF ( s ) f ( t ) s F ( s ), 则 ，
常用函数的拉氏变换表可查用。
3. 常用信号的拉氏变换(f(t), t>0)
1 阶跃函数 u (t ) , 0 1 s
L
L 2 冲激函数 (t )
1,
3 指数函数 e
at
1 , －a sa
L
常用信号的拉氏变换(f(t), t>0)
单边周期信号的拉氏变换(续)
（2）周期性脉冲的拉氏变换
f T ( t ) f 1 ( t ) f 1 ( t T ) f 1 ( t 2T )
FT ( s ) F1 ( s ) F1 ( s )e sT F1 ( s )e 2 sT F1 ( s )(1 e
S T 2
1 0
t
T 2
2 T
2 T sin t[u (t ) u (t )] T 2
信号加窗 第一周期
(1 e ) 2 2 S
LT
sT 2
4拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析讲解
求出k1 , k2 , k3 kn ,即可将F s 展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数 3. 第三种情况：有重根存在 4. F(s)两种特殊情况: 含e s的非有理式 非真分式—— 化为真分式＋多项式
收敛坐标 σ0
O
σ
一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
一些常用函数的(单边)拉氏变换:P181表4-1
1.阶跃函数: F ( ) F [ f (t )] u(t )e j t dt [ 1 1 sgn( t )]e j t dt π ( ) 1
f (t )e j0t F 0
f (t ) jF ( )
f (t ) eα t F(s α)
sF ( s ) f (0 )
F ( s ) f 1 (0 ) s s
d F ( s) ds
t
f d
F ( ) πF (0) ( ) j
1 j t F F ( ) f ( t ) F ω e dω 2 以傅里叶变换为基础的频域 分析方法的优点和不足： F f (t ) F ω f (t ) e j t d t • 有清楚的物理意义 • 只能处理符合狄利克雷条件的信号-绝对可积条件： s j f t d t
2)求 e α t cos ω0t的拉氏变换.
3)求f (t ) tu(t 1)的拉氏变换 .
π 4)已知f (t ) ＝ 2 cos(t )u(t ), 求F(s)。 4
§ 4.4 拉普拉斯逆变换 拉氏逆变换的方法： (一)部分分式法 (二)利用留数定理——围线积分法
(三)数值计算方法——利用计算机 拉氏逆变换的过程：部分分式法
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第4章)【圣才出品】
3．全通函数 如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于 jω 轴互为镜像，这种系统函数称为全通函数，此系统则称为全通系统或全通网络。它的幅频特 性是常数。
4．最小相移函数 零点仅位于左半平面或 jω轴的网络函数称为“最小相移函数”，该网络称为“最小相 移网络”。非最小相移函数可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积，即非最小相移网络 可以用最小相移网络与全通网络的级联来代替。
（1）部分分式展开法求解
首先将 F（s）展开成部分分式之和的形式，再对各部分分式分别取逆变换后叠加即可
得出 f（t）。
（2）留数定理求解
将拉氏逆变换的积分运算转化为求被积函数 F（s）est 在围线中所有极点的留数之和。
L 1[F (s)] 1 j F (s)estds [F (s)est的留数]
1 s
s2
s 2
，故
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L
[1 cos(t)]et
s
1
s (s )2 2
；
（7） L
[t 2
2t]
d2 ds2
1 s
d ds
2 s
2 s3
2 s2
（8） L [2 (t) 3e7t ] 2 3 s7
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二、系统函数与系统特性 1．系统函数 系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为系统函数，即 H（s）＝RZS （s）/E（s）。且冲激响应 h（t）↔H（s）。
2．零极点分布
H (s)
（9）e－αtsinh（βt）；
（10）cos2（Ωt）；
信号分析第四章：拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
dt T
A ( 1 esT ) AesT sF ( s ) Ts
F( s )
A/T s2
( 1 e sT
)
A e sT s
f (t)
A T
0
f (0 ) 0
Tt A ( t T )
20
拉普拉斯变换的性质
例 10 f (t) t e(t2) (t 1)
方法一：因为 (t 1) 1 es
中：a >0
解：
F ( s ) 0 e( sa ) tdt 0 e( a ) te j tdt 1
sa
为保证收敛，有 a+<0，故收敛域为 <-a
j
收 敛 a 0 域
9
拉普拉斯变换的收敛区
例3
求双边信号 f (t)= -e – t (-t)+ e -2t (t)的拉普拉斯变 换及其收敛域。
s s0
令 s0 = 实数， 则
et( t ) s
1
令 s0 = j 虚数， 则 e j t ( t ) s
1 j
12
常用函数的拉普拉斯变换 三个基本函数的拉普拉斯变换
• 单位阶跃函数 (t)
已知 es0 t ( t ) 1
s s0
令上例中s0=0。则
(
t
)
1 s
• 单位冲激函数 (t)
s 1
t
e(
t1 )
(
t
1)
d ds
(
s
1 es 1
)
(
s
1 1 )2
es
s
1 es 1
F(
s
)
(
2 s s 1 )2
e s1
A ( 1 esT ) AesT sF ( s ) Ts
F( s )
A/T s2
( 1 e sT
)
A e sT s
f (t)
A T
0
f (0 ) 0
Tt A ( t T )
20
拉普拉斯变换的性质
例 10 f (t) t e(t2) (t 1)
方法一：因为 (t 1) 1 es
中：a >0
解：
F ( s ) 0 e( sa ) tdt 0 e( a ) te j tdt 1
sa
为保证收敛，有 a+<0，故收敛域为 <-a
j
收 敛 a 0 域
9
拉普拉斯变换的收敛区
例3
求双边信号 f (t)= -e – t (-t)+ e -2t (t)的拉普拉斯变 换及其收敛域。
s s0
令 s0 = 实数， 则
et( t ) s
1
令 s0 = j 虚数， 则 e j t ( t ) s
1 j
12
常用函数的拉普拉斯变换 三个基本函数的拉普拉斯变换
• 单位阶跃函数 (t)
已知 es0 t ( t ) 1
s s0
令上例中s0=0。则
(
t
)
1 s
• 单位冲激函数 (t)
s 1
t
e(
t1 )
(
t
1)
d ds
(
s
1 es 1
)
(
s
1 1 )2
es
s
1 es 1
F(
s
)
(
2 s s 1 )2
e s1
全国名校信号与系统考研真题及详解(拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析)【圣才出品】
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析一、选择题以下为4个信号的拉普拉斯变换，其中不存在傅里叶变换的信号是（）。
[武汉大学2015研]A．1/sB．1C．1/(s＋3)D．1/(s－3)【答案】D【解析】D选项为1/(s－3)，其时域表达式为e3t u(t)，很显然是不稳定的，不满足绝对可积条件，也就不存在傅里叶变换。
二、填空题1．信号x(t)＝cos2t的单边拉普拉斯变换为______。
[北京邮电大学2016研]【答案】s/(s2＋4)，Re[s]＞0【解析】由于cos(βt)＝(1/2)(e jβt＋e－jβt)，根据拉氏变换的定义式即可求解，该拉氏变换对也是常用变换对。
2．某连续线性时不变系统的系统函数为H(s)＝s/(s＋2)，若用e(t)表示输入信号，而r(t)表示输出信号，则该系统的微分方程可以表示为______。
[北京邮电大学2016研]【答案】r ′(t)＋2r(t)＝e ′(t)【解析】由H(s)＝s/(s ＋2)＝R(s)/E(s)，有sR(s)＋2R(s)＝sE(s)，对应的微分方程即为：r ′(t)＋2r(t)＝e ′(t)3．已知某LTI 系统模型如下：y ′′(t)＋3y ′(t)＋2y(t)＝f ′(t)＋4f(t)，y ′(0－)＝1，y(0－)＝0，f (t)＝u (t)，则系统的零状态响应y f (t )为______。
[武汉大学2015研]【答案】(2＋e －2t －3e －t )u(t)【解析】对该微分方程两边取拉普拉斯变换得：s 2Y (s )＋3sY (s )＋2Y (s )＝sF (s )＋4F (s ) 则H (s)为：H(s)＝(s ＋4)/(s 2＋3s ＋2)，系统的零状态响应为22441()()3232s s Y s F s s s s s s ++==⋅++++对Y (s)取拉氏逆变换得：y f (t)＝(2＋e －2t －3e －t )u(t)。
信号与系统4.3拉氏变换的性质
信号f(t)·u(t)既延时,又展缩时
若
f (t)u(t) F(s)
且有实常数a>0,b≥0,则
证明：
f
(at
b)u(at
b)
1
bs
e a F(
s
)
a
a
先由延时定理得：
L f (t b)u(t b) F (s)ebs
再由尺度定理得：
L
f
(at
b)u(at
b)
1 a
F
s a
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4.3 单边拉普拉斯变换的性质
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
1.线性特性
若 f1(t) F1(s); f2 (t) F2 (s) 则 af1(t) bf2 (t) aF1(s) bF2 (s)
式中,a和b为任意常数。
证明：
Laf1(t) bf2 (t)
T
T
E L[tu(t)] E L[(t T )u(t T )] E L(Tu(t T )]
T
T
T
E T
1 (s2
1 s2
e sT
T s
e sT
)
E [1 (1 sT )esT ]
T
s2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4―3 试求图4.3(a)所示单个正弦半波信号f(t)的拉氏变换。
拉氏变换为零,导致此展缩特性（尺度变换）失效。
证明：
L f (at) f (at)estdt 0
令τ=at,则上式变为
L f (at)
f
( s )
( )e a d
1
( s )
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
0 0
s cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→ 2 2 s 0
1 ←→ sa
> -a
▲
■
第 17 页
3、n是正整数时，tn
L[t ]
n
0
t st t e dt e s
n st
n
0
n n 1 st n n 1 st t e dt t e dt s 0 s 0
0
t st
0
1 [1 lim e ( )t e j t ] t (s )
jω
, Re[ s] . 无界 不定 ， 1 (s ) ，
可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=<时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。
F ( s) f (t ) e
0
st
dt
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
▲
■
第 10 页
单边拉氏变换
F ( s) f (t ) e st d t
0 def
1 j st f (t ) F ( s) e d s (t ) 2 j j
① f ②
1
t
f τ dτ
f τ dτ f τ dτ
①
st
0
t st
②
t
0
0
e f τ dτ e d t s
0
1 f τ d τ f t e st d t 0 s 0
s cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→ 2 2 s 0
1 ←→ sa
> -a
▲
■
第 17 页
3、n是正整数时，tn
L[t ]
n
0
t st t e dt e s
n st
n
0
n n 1 st n n 1 st t e dt t e dt s 0 s 0
0
t st
0
1 [1 lim e ( )t e j t ] t (s )
jω
, Re[ s] . 无界 不定 ， 1 (s ) ，
可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=<时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。
F ( s) f (t ) e
0
st
dt
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
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单边拉氏变换
F ( s) f (t ) e st d t
0 def
1 j st f (t ) F ( s) e d s (t ) 2 j j
① f ②
1
t
f τ dτ
f τ dτ f τ dτ
①
st
0
t st
②
t
0
0
e f τ dτ e d t s
0
1 f τ d τ f t e st d t 0 s 0
信号与系统第四章知识点
第四章 拉普拉斯变换—连续信号s 域分析一、考试内容（知识点）1．拉普拉斯变换的定义及其性质、拉普拉斯逆变换； 2．系统的复频域分析法； 3．系统函数)(s H ；4．系统的零极点分布决定系统的时域、频域特性； 5．线性系统的稳定性；6．拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。
二、内容（知识点）详解1．拉普拉斯变换的定义、收敛域（1）变换式与反变换式dt e t f t f s F st -∞⎰-==0)()]([)(L ds e s F js F t f stj j ⎰∞+∞--==σσπ)(21)]([)(1L )(s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为)(s F 的原函数。
下限值取-0，主要是考虑信号)(t f 在t =0时刻可能含有冲激函数及其导数项也能包含在积分区间之内。
（2）收敛域在s 平面上，能使式0)(lim =-→∞t t e t f σ满足和成立的σ的取值范围（区域），称为)(t f 或)(s F 的收敛域。
2．常用时间函数的拉普拉斯变换（1）冲激函数 )()(t t f δ= 1)(=s F)()()(t t f n δ= n s s F =)(（2）阶跃函数 )()(t u t f = ss F 1)(= （3）n t （n 是正整数） t t f =)( 21)(s s F =2)(t t f = 32)(s s F =n t t f =)( 1!)(+=n s n s F（4）指数信号 t e t f α-=)( α+=s s F 1)(t te t f α-=)( ()21)(α+=s s F t n e t t f α-=)( ()1!)(++=n s n s F αt j e t f ω-=)( ωj s s F +=1)( （5）正弦信号、余弦信号系列)sin()(t t f ω= 22)(ωω+=s s F)cos()(t t f ω= 22)(ω+=s ss F)sin()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαω++=s s F)cos()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαα+++=s s s F )sin()(t t t f ω= 222)(2)(ωω+=s ss F )cos()(t t t f ω= 22222)()(ωω+-=s s s F )()(t sh t f ω= 22)(ωω-=s s F )()(t ch t f ω= 22)(ω-=s ss F （6） ∑∞=-=0)()(n nT t t f δ sT e s F --=11)(∑∞=-=00)()(n nT t f t f sTes F s F --=1)()(0 3．拉普拉斯变换的基本性质象函数)(s F 与原函数)(t f 之间的关系为：)]([)(t f s F L = （1）线性（叠加性）∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i i n i i i s F a t f a 11)()(L ，其中i a 为常数，n 为正整数。
第四章 连续系统的s域分析
tsf41拉普拉斯变换?常用信号的的laplace变换1冲激函数tt1re1ress????????ntrenss?????41拉普拉斯变换2阶跃函数33指数函数指数函数t1res0s???t1reat?esasa?1????treat?esasa???42拉普拉斯变换的性质?线性若则11ts1reffs???22ts2reffs???remaxs?12121t2t1s2s12afafafaf??????尺度变换ts0reffs???0a1re0atsffsa?aa???42拉普拉斯变换的性质?时移延时特性tf?s0retfs???00?000ss00resttt?tttt??ttffefs????复频移s域平移特性ts0reffs???tfe0reaastss?aaaafssj?????????42拉普拉斯变换的性质?时域微分特性ts0reffs???1n1mts00ren?nnmfsfsfs?????????时域积分特性0m??txfdxs001111??remax0s?ntnnmnnmm?fffss???????????ts0reffs???42拉普拉斯变换的性质?时域卷积定理11ts1reffs???22ts2reffs???11221122ttttssss1122remaxs?ffffff????复频域卷积定理1212tt?12121rere2?cj???scj??ffffdscsj?????????????42拉普拉斯变换的性质?s域微分tfs0refs???srerenndfttffss???????s域积分t0nds?t?0resffdst??????42拉普拉斯变换的性质?初值定理和终值定理fs为真分式ts0reffs???0fts00limt?t?lims??s??fsf????????????若0lt
§4.3 拉普拉斯逆变换
§4.3 拉普拉斯逆变换
第四章拉普拉斯变换及s域分析详解
F[ f (t)e t ] f (t)e te jtdt f (t)e( j)tdt F ( j)
令s j,则上式为
Fb (s)
f (t)est dt
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
5
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
4 单边拉普拉斯变换
由于在实际问题中所遇到的大部分信号都是因果的， 即f(t)=0(t<0)
t
收敛区为s平面的右半平面。
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
10
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
常见函数的拉式 变换如右，这6对 变换对需牢记
u(t) 1 s
(t) ห้องสมุดไป่ตู้1
et 1
s
tn
n! s n 1
sin t
s2
2
cos t
s2
s
2
t
1 s2
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
定义单边拉式正变换为 F (s) f (t)estdt 0－
说明：
①s是复参量，s j, F(s)是以s为自变量的复变函数 ②积分下线定为0 ，包括了 (t)，从而无需计算0-到0+的跳变
③拉氏正反变换的简记形式 F (s) L[ f (t)] 或 f (t) F (s) f (t) L1[F (s)] 或 F (s) f (t)
新得到的信号满足绝对可积条件，因此其傅里叶 变换存在。
2015.10
安徽工程大学机电学院信息工程系
4
第四章 拉普拉斯变换及s域分析
3 引出拉普拉斯变换
由前述可知
lim f (t)e t ( 为实数)容易收敛。
第四章 拉普拉斯变换
例:
1 es 2 已 知 X (s) ( ) ， 求 x (t ) ？ s 1 X ( s ) 2 (1 2e s e 2 s ) s
x(t ) tu(t ) 2(t 1)u(t 1) (t 2)u(t 2)
8、复频域积分性： 若x(t) X(s)，则
第四章 拉普拉斯变换 连续时间系统的s域分析
傅立叶变换的局限性:
1) 工程中一些信号不满足绝对可积条件，如u(t)；
t e ( 0) ； 2) 有些信号不存在傅立叶变换如
3) 求反变换时,求 (-∞,∞)上的广义积分,很困难； 4) 只能求零状态响应,不能求零输入响应。
为了克服傅立叶变换的局限性,采用拉普拉斯变换。
T ( t ) ( t nT )
0
x s(t) x(nT) (t nT)
0
1 L T ( t ) 1 e sT
X s ( s ) x ( nT ) e nsT
n0
4、复频移性： 若x(t) X(s)，则
x(t)e j 0 t X( 0 )
x(t)e s 0 t X (s s 0 )
例：
cos(0t )u (t )
t
s e cos 0 t s 2 02 0 t 同理：e sin 0 t 2 s 02
s 2 2 s 0
5、时域微分性：
若x(t) X(s)，则
拉普拉斯变换：
• 将信号分解成 e
st
的线性组合；
• 是分析连续时间信号与系统的另一工具； • 可用来分析傅立叶变换所不能分析的系统，不如傅立叶变换那么清楚。
重庆大学《841信号与系统》第四章 拉普拉斯变换 2012年4月16日稿
0
f est0 es d
est0 F s
此性质表明：若波形延迟 t0 ，则它的拉普拉斯变换应乘以 est0 。
五、 s 域平移
若 f t F s
则 f t etu t F s
六、尺度变换
若 f t F s
则
f
at
1 a
F
s a
a0
七、初值定理
初值定理常用于由 F s 直接求 f 0 的值，而不必求出原函数 f t 。
1 s2
t
nu
t
n! s n 1
4、 es0tu t 1
s s0
（ s0 为复常数）
特别地
etu t 1
s
etu t 1
s
5、 e jtu t 1
s j
0
e jtu t 1
s j
0
6、
sin
t
u
t
s
2
2
0
6
cos
t
u
t
s
2
s
2
7、 t sin t u t
F s L eatu t
e at e st dt e ast
0
as
0
1 ， as
a
即 eatut 1 ， a
as
3、复指数函数 es0tut （ s0 为复常数）
F s L es0tu t
e s0t e st dt e ss0 t dt e ss0 t
综述几种情况： （1）凡是有始有终，能量有限的信号，收敛坐标落于 ，全部 s 平面都属 于收敛区。例如：单个脉冲信号。
（2）信号的幅度既不增长也不衰减而等于稳定值，或随时间 t ，tn 成比例增 长的信号，则其收敛坐标落于原点， s 平面右半平面属于收敛区。例如：正弦信 号， t ， tn 信号。
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n
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
E st0 E L f ( t ) e s s E st0 L f ( t ) 1 e s
E
f (t )
0
t0
t
五、s 域平移 若 L f (t ) F ( s)
则 L f (t ) e
a t
F ( s a)
a t
信号在时域中乘以因子 e 换式在 s 域内平移 a 。 例4-6 求 e
则 若
则
VL ( s) sLI L ( s) LiL (0 ) i L (0 ) 0 VL ( s) sLI L ( s)
可见，拉氏变换同样把微分运算变为乘法。
d 2 f (t ) 2 同理 L s F ( s ) s f (0 ) f (0 ) 2 dt
b b b 1 s a s L f a t u a t F e a a a a
七、初值
若函数 f (t) 及其导数 f ’(t) 存在拉氏变换， 则 f (t) 的初值为： f (0 ) lim f ( t ) lim sF ( s )
f ( t ) L [F ( s )]
本课程主要讨论单边拉普拉斯变换
1
拉氏变换与傅氏变换的关系： 1、傅立叶变换是将时间函数f (t)分解为 无穷多项虚指数信号e jt 之和。
1 f (t ) 2
F ( )e d
j t
2、拉普拉斯变换是将时间函数f (t)分解为无 穷多项复指数信号e st之和。其中s = +j s称为复频率。
4、几个简单函数的收敛区
（1） 能量有限信号 能量信号在时间轴上有始有终，其能量是 有限的。 对 0 没有要求，收敛域为整个 s 平面。
（2） 单位阶跃信号u(t) 对于 > 0 的任何值，都有
lim u( t )e
t
t
0
所以其收敛域为 s 平面的右半面。 （3） 线性增长信号 t n 对于 >0 的任何值，都有
n 1 d n f (t ) n n r 1 ( r ) L f ( 0) s F ( s) s n r 0 dt
三、原函数积分 若 L f (t ) F ( s)
F ( s) f 则 L f ( )d s 0 ( 1) 其中 f (0) f ( )d
lim t e
t
n
t
0
所以其收敛域为 s 平面的右半面。
（4） 指数函数 只有当
t
e
at
a 时，才有
at t
lim e e
0
所以其收敛域为s 平 面上 a 的部分.
四、一些常用函数的拉氏变换
设 f (t)为有始函数，讨论单边拉氏变换 1、阶跃函数 st
1 f (t ) 2j
st F ( s ) e ds
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。
4、复平面( s平面)
以复频率 s = +j 的实部 和虚部 j 为 相互垂直的坐标轴而构成的平面. 当s = +j 确定时， 指数函数 est 也确定了
左 半 开 平 面
e e e
dt
用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换 1 t j t f ( t )e F ( s ) e d b 2 两边同乘 et
1 f (t ) 2
Fb ( s )e e d
t
j t
令 s = +j，因 为常数，所以 d = 1/j ds， 且当 时，s j 进行积分换元
e L u (t ) 0 e d t s 1
st
即 u( t )
a t
2、指数函数
s
( 0)
1 s 0
Le
即
e 0 e e d t as 1
at st
( a s ) t
e
at
as
( a )
1 a s 0
s 称复频率，Fb(s) 称信号的复频谱
2、单边拉普拉斯变换 f (t)为有始函数，即 t <0 时，f (t) = 0
F ( s ) 0 f ( t )e
f (t ) 1
j
st
dt
st
F ( s ) e ds 2 j j 记作： F ( s ) L[ f ( t )]
§4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、拉普拉斯变换定义 三、拉普拉斯变换的收敛 四、一些常用函数的拉氏变换
§4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1、傅立叶变换定义
当函数 f (t) 满足狄里赫利条件时
F ( ) f ( t )e
若 f (t)为有始函数，存在下列关系
lim f (t )e
t
t
0 ( 0 )
j
则收敛条件为 0 0称为收敛坐标
收敛区
0 0
收敛 坐标
3、指数阶函数
凡是满足
lim f (t )e
t
t
0
( 0 )
的函数 f (t) 称为指数阶函数。
上式 f (t) 中不得含有冲激函数 (t)。
t 0
s
八、终值
若函数 f (t) 及其导数 f ’(t) 存在拉氏变换， 且s F(s) 的所有极点都位于 s 平面的左半 平面，则 f (t) 的终值为： f () lim f ( t ) lim sF ( s )
t s 0
§4.1 引 言
傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系 统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变 换有不足之处。
1、要求信号f(t)绝对可积。而有些常用信 号不满足该条件。 2、有些重要函数如 eat (a>0) 的傅立叶变换 不存在，无法用傅立叶分析方法处理。
而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述 不足。
1 f (t ) 2
Hale Waihona Puke j tdt F ( )e d
j t
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当 地选取 的值 就有可以使 f(t) e-t 变得绝对可 t 其中 积，即 e 称为收敛因子
F f (t )e
L f 2 (t ) F2 ( s)
二、原函数微分
若 L f (t ) F ( s)
df ( t ) 则 L sF ( s ) f ( 0 ) dt
df ( t ) st 证明：L f ( t ) e dt 0 dt
f ( t )e
st
0
0 sf ( t )e
st
dt
f (0 ) sF ( s)
例4-2 求电感元件的拉普拉斯变换下的伏 安关系。 d iL 解： v L (t ) L dt 设 L v L (t ) VL ( s) L i L (t ) I L ( s)
3、 t n
Lt
t st e n 1 e |0 0 nt d t s s n n1 st 0 t e dt s n n1 n Lt Lt s 2 1 n! 2 n Lt 3 Lt 2 L t n 1 s s s
f (t )
2 j
1
j
j
Fb ( s )e ds
st
前面的两个公式为双边拉普拉斯变换对
二、拉普拉斯变换定义
1、双边拉普拉斯变换
Fb ( s)
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
E st0 E L f ( t ) e s s E st0 L f ( t ) 1 e s
E
f (t )
0
t0
t
五、s 域平移 若 L f (t ) F ( s)
则 L f (t ) e
a t
F ( s a)
a t
信号在时域中乘以因子 e 换式在 s 域内平移 a 。 例4-6 求 e
则 若
则
VL ( s) sLI L ( s) LiL (0 ) i L (0 ) 0 VL ( s) sLI L ( s)
可见，拉氏变换同样把微分运算变为乘法。
d 2 f (t ) 2 同理 L s F ( s ) s f (0 ) f (0 ) 2 dt
b b b 1 s a s L f a t u a t F e a a a a
七、初值
若函数 f (t) 及其导数 f ’(t) 存在拉氏变换， 则 f (t) 的初值为： f (0 ) lim f ( t ) lim sF ( s )
f ( t ) L [F ( s )]
本课程主要讨论单边拉普拉斯变换
1
拉氏变换与傅氏变换的关系： 1、傅立叶变换是将时间函数f (t)分解为 无穷多项虚指数信号e jt 之和。
1 f (t ) 2
F ( )e d
j t
2、拉普拉斯变换是将时间函数f (t)分解为无 穷多项复指数信号e st之和。其中s = +j s称为复频率。
4、几个简单函数的收敛区
（1） 能量有限信号 能量信号在时间轴上有始有终，其能量是 有限的。 对 0 没有要求，收敛域为整个 s 平面。
（2） 单位阶跃信号u(t) 对于 > 0 的任何值，都有
lim u( t )e
t
t
0
所以其收敛域为 s 平面的右半面。 （3） 线性增长信号 t n 对于 >0 的任何值，都有
n 1 d n f (t ) n n r 1 ( r ) L f ( 0) s F ( s) s n r 0 dt
三、原函数积分 若 L f (t ) F ( s)
F ( s) f 则 L f ( )d s 0 ( 1) 其中 f (0) f ( )d
lim t e
t
n
t
0
所以其收敛域为 s 平面的右半面。
（4） 指数函数 只有当
t
e
at
a 时，才有
at t
lim e e
0
所以其收敛域为s 平 面上 a 的部分.
四、一些常用函数的拉氏变换
设 f (t)为有始函数，讨论单边拉氏变换 1、阶跃函数 st
1 f (t ) 2j
st F ( s ) e ds
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。
4、复平面( s平面)
以复频率 s = +j 的实部 和虚部 j 为 相互垂直的坐标轴而构成的平面. 当s = +j 确定时， 指数函数 est 也确定了
左 半 开 平 面
e e e
dt
用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换 1 t j t f ( t )e F ( s ) e d b 2 两边同乘 et
1 f (t ) 2
Fb ( s )e e d
t
j t
令 s = +j，因 为常数，所以 d = 1/j ds， 且当 时，s j 进行积分换元
e L u (t ) 0 e d t s 1
st
即 u( t )
a t
2、指数函数
s
( 0)
1 s 0
Le
即
e 0 e e d t as 1
at st
( a s ) t
e
at
as
( a )
1 a s 0
s 称复频率，Fb(s) 称信号的复频谱
2、单边拉普拉斯变换 f (t)为有始函数，即 t <0 时，f (t) = 0
F ( s ) 0 f ( t )e
f (t ) 1
j
st
dt
st
F ( s ) e ds 2 j j 记作： F ( s ) L[ f ( t )]
§4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、拉普拉斯变换定义 三、拉普拉斯变换的收敛 四、一些常用函数的拉氏变换
§4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1、傅立叶变换定义
当函数 f (t) 满足狄里赫利条件时
F ( ) f ( t )e
若 f (t)为有始函数，存在下列关系
lim f (t )e
t
t
0 ( 0 )
j
则收敛条件为 0 0称为收敛坐标
收敛区
0 0
收敛 坐标
3、指数阶函数
凡是满足
lim f (t )e
t
t
0
( 0 )
的函数 f (t) 称为指数阶函数。
上式 f (t) 中不得含有冲激函数 (t)。
t 0
s
八、终值
若函数 f (t) 及其导数 f ’(t) 存在拉氏变换， 且s F(s) 的所有极点都位于 s 平面的左半 平面，则 f (t) 的终值为： f () lim f ( t ) lim sF ( s )
t s 0
§4.1 引 言
傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系 统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变 换有不足之处。
1、要求信号f(t)绝对可积。而有些常用信 号不满足该条件。 2、有些重要函数如 eat (a>0) 的傅立叶变换 不存在，无法用傅立叶分析方法处理。
而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述 不足。
1 f (t ) 2
Hale Waihona Puke j tdt F ( )e d
j t
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当 地选取 的值 就有可以使 f(t) e-t 变得绝对可 t 其中 积，即 e 称为收敛因子
F f (t )e
L f 2 (t ) F2 ( s)
二、原函数微分
若 L f (t ) F ( s)
df ( t ) 则 L sF ( s ) f ( 0 ) dt
df ( t ) st 证明：L f ( t ) e dt 0 dt
f ( t )e
st
0
0 sf ( t )e
st
dt
f (0 ) sF ( s)
例4-2 求电感元件的拉普拉斯变换下的伏 安关系。 d iL 解： v L (t ) L dt 设 L v L (t ) VL ( s) L i L (t ) I L ( s)
3、 t n
Lt
t st e n 1 e |0 0 nt d t s s n n1 st 0 t e dt s n n1 n Lt Lt s 2 1 n! 2 n Lt 3 Lt 2 L t n 1 s s s
f (t )
2 j
1
j
j
Fb ( s )e ds
st
前面的两个公式为双边拉普拉斯变换对
二、拉普拉斯变换定义
1、双边拉普拉斯变换
Fb ( s)