信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
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n
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
E st0 E L f ( t ) e s s E st0 L f ( t ) 1 e s
E
f (t )
0
t0
t
五、s 域平移 若 L f (t ) F ( s)
则 L f (t ) e
a t
F ( s a)
a t
信号在时域中乘以因子 e 换式在 s 域内平移 a 。 例4-6 求 e
则 若
则
VL ( s) sLI L ( s) LiL (0 ) i L (0 ) 0 VL ( s) sLI L ( s)
可见，拉氏变换同样把微分运算变为乘法。
d 2 f (t ) 2 同理 L s F ( s ) s f (0 ) f (0 ) 2 dt
b b b 1 s a s L f a t u a t F e a a a a
七、初值
若函数 f (t) 及其导数 f ’(t) 存在拉氏变换， 则 f (t) 的初值为： f (0 ) lim f ( t ) lim sF ( s )
f ( t ) L [F ( s )]
本课程主要讨论单边拉普拉斯变换
1
拉氏变换与傅氏变换的关系： 1、傅立叶变换是将时间函数f (t)分解为 无穷多项虚指数信号e jt 之和。
1 f (t ) 2
F ( )e d
j t
2、拉普拉斯变换是将时间函数f (t)分解为无 穷多项复指数信号e st之和。其中s = +j s称为复频率。
4、几个简单函数的收敛区
（1） 能量有限信号 能量信号在时间轴上有始有终，其能量是 有限的。 对 0 没有要求，收敛域为整个 s 平面。
（2） 单位阶跃信号u(t) 对于 > 0 的任何值，都有
lim u( t )e
t
t
0
所以其收敛域为 s 平面的右半面。 （3） 线性增长信号 t n 对于 >0 的任何值，都有
n 1 d n f (t ) n n r 1 ( r ) L f ( 0) s F ( s) s n r 0 dt
三、原函数积分 若 L f (t ) F ( s)
F ( s) f 则 L f ( )d s 0 ( 1) 其中 f (0) f ( )d
lim t e
t
n
t
0
所以其收敛域为 s 平面的右半面。
（4） 指数函数 只有当
t
e
at
a 时，才有
at t
lim e e
0
所以其收敛域为s 平 面上 a 的部分.
四、一些常用函数的拉氏变换
设 f (t)为有始函数，讨论单边拉氏变换 1、阶跃函数 st
1 f (t ) 2j
st F ( s ) e ds
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。
4、复平面( s平面)
以复频率 s = +j 的实部 和虚部 j 为 相互垂直的坐标轴而构成的平面. 当s = +j 确定时， 指数函数 est 也确定了
左 半 开 平 面
e e e
dt
用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换 1 t j t f ( t )e F ( s ) e d b 2 两边同乘 et
1 f (t ) 2
Fb ( s )e e d
t
j t
令 s = +j，因 为常数，所以 d = 1/j ds， 且当 时，s j 进行积分换元
e L u (t ) 0 e d t s 1
st
即 u( t )
a t
2、指数函数
s
( 0)
1 s 0
Le
即
e 0 e e d t as 1
at st
( a s ) t
e
at
as
( a )
1 a s 0
s 称复频率，Fb(s) 称信号的复频谱
2、单边拉普拉斯变换 f (t)为有始函数，即 t <0 时，f (t) = 0
F ( s ) 0 f ( t )e
f (t ) 1
j
st
dt
st
F ( s ) e ds 2 j j 记作： F ( s ) L[ f ( t )]
§4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、拉普拉斯变换定义 三、拉普拉斯变换的收敛 四、一些常用函数的拉氏变换
§4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1、傅立叶变换定义
当函数 f (t) 满足狄里赫利条件时
F ( ) f ( t )e
若 f (t)为有始函数，存在下列关系
lim f (t )e
t
t
0 ( 0 )
j
则收敛条件为 0 0称为收敛坐标
收敛区
0 0
收敛 坐标
3、指数阶函数
凡是满足
lim f (t )e
t
t
0
( 0 )
的函数 f (t) 称为指数阶函数。
上式 f (t) 中不得含有冲激函数 (t)。
t 0
s
八、终值
若函数 f (t) 及其导数 f ’(t) 存在拉氏变换， 且s F(s) 的所有极点都位于 s 平面的左半 平面，则 f (t) 的终值为： f () lim f ( t ) lim sF ( s )
t s 0
§4.1 引 言
傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系 统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变 换有不足之处。
1、要求信号f(t)绝对可积。而有些常用信 号不满足该条件。 2、有些重要函数如 eat (a>0) 的傅立叶变换 不存在，无法用傅立叶分析方法处理。
而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述 不足。
1 f (t ) 2
Hale Waihona Puke j tdt F ( )e d
j t
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当 地选取 的值 就有可以使 f(t) e-t 变得绝对可 t 其中 积，即 e 称为收敛因子
F f (t )e
L f 2 (t ) F2 ( s)
二、原函数微分
若 L f (t ) F ( s)
df ( t ) 则 L sF ( s ) f ( 0 ) dt
df ( t ) st 证明：L f ( t ) e dt 0 dt
f ( t )e
st
0
0 sf ( t )e
st
dt
f (0 ) sF ( s)
例4-2 求电感元件的拉普拉斯变换下的伏 安关系。 d iL 解： v L (t ) L dt 设 L v L (t ) VL ( s) L i L (t ) I L ( s)
3、 t n
Lt
t st e n 1 e |0 0 nt d t s s n n1 st 0 t e dt s n n1 n Lt Lt s 2 1 n! 2 n Lt 3 Lt 2 L t n 1 s s s
f (t )
2 j
1
j
j
Fb ( s )e ds
st
前面的两个公式为双边拉普拉斯变换对
二、拉普拉斯变换定义
1、双边拉普拉斯变换
Fb ( s)
f (t )e dt
st
(1)
( 2)
1 j st f (t ) F ( s ) e ds b 2j j
1 j t j t sin t (e e ) 2j
1 1 1 ( ) 2 2 2 j s j s j s 即 L sin t 2 2 s s 同理 L cos t 2 2 s
§4.3 拉氏变换的基本性质
四、延时（时域平移） 若 L f (t ) F ( s)
则
信号在时域中沿时间轴 右移 t0 （延时 t0）， s t0 则它的拉氏变换应乘以因子 e .
L f (t t0 ) u(t t0 ) e
s t0
F ( s)
例4-5 求矩形脉冲的拉普拉斯变换。 解： f (t ) Eu(t ) Eu(t t 0 )
六、尺度变换
若 L f (t ) F ( s)
1 s 则 L f (at ) F a a
a0
例4-6 已知 L f (t ) F ( s) ，若 a 0, b 0, 求 L[ f (at b)u(at b)]
求 L[ f (at b)u(at b)]
t
( 1 )
(0 ) s
例4-3 求电容元件的拉普拉斯变换下的伏安关系
1 t 解： vC ( t ) iC ( ) d C 设 L vC (t ) VC ( s ) L iC (t ) I C ( s )
则
( 1 ) I C ( s ) iC ( 0) I C ( s ) v C ( 0) VC ( s ) Cs Cs Cs s
t
F ( )
1
f ( t )e
t
e
j t
dt
st
f ( t )e
( j ) t
dt
令 s = +j
f ( t )e dt
st
因为上式中t 为积分变量,故积分结果必为s的函数
Fb ( s ) f ( t )e
一、线性（叠加）
二、原函数微分 六、尺度变换 七、初值
三、原函数积分
四、延时
八、终值
九、卷积
五、s 域平移
§4.3 拉氏变换的基本性质
一、线性（叠加）
若 L f1 (t ) F1 ( s) 则 L K1 f1 (t ) K 2 f 2 (t ) K1F1 ( s) K 2 F2 ( s)
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
E st0 E L f ( t ) e s s E st0 L f ( t ) 1 e s
E
f (t )
0
t0
t
五、s 域平移 若 L f (t ) F ( s)
则 L f (t ) e
a t
F ( s a)
a t
信号在时域中乘以因子 e 换式在 s 域内平移 a 。 例4-6 求 e
则 若
则
VL ( s) sLI L ( s) LiL (0 ) i L (0 ) 0 VL ( s) sLI L ( s)
可见，拉氏变换同样把微分运算变为乘法。
d 2 f (t ) 2 同理 L s F ( s ) s f (0 ) f (0 ) 2 dt
b b b 1 s a s L f a t u a t F e a a a a
七、初值
若函数 f (t) 及其导数 f ’(t) 存在拉氏变换， 则 f (t) 的初值为： f (0 ) lim f ( t ) lim sF ( s )
f ( t ) L [F ( s )]
本课程主要讨论单边拉普拉斯变换
1
拉氏变换与傅氏变换的关系： 1、傅立叶变换是将时间函数f (t)分解为 无穷多项虚指数信号e jt 之和。
1 f (t ) 2
F ( )e d
j t
2、拉普拉斯变换是将时间函数f (t)分解为无 穷多项复指数信号e st之和。其中s = +j s称为复频率。
4、几个简单函数的收敛区
（1） 能量有限信号 能量信号在时间轴上有始有终，其能量是 有限的。 对 0 没有要求，收敛域为整个 s 平面。
（2） 单位阶跃信号u(t) 对于 > 0 的任何值，都有
lim u( t )e
t
t
0
所以其收敛域为 s 平面的右半面。 （3） 线性增长信号 t n 对于 >0 的任何值，都有
n 1 d n f (t ) n n r 1 ( r ) L f ( 0) s F ( s) s n r 0 dt
三、原函数积分 若 L f (t ) F ( s)
F ( s) f 则 L f ( )d s 0 ( 1) 其中 f (0) f ( )d
lim t e
t
n
t
0
所以其收敛域为 s 平面的右半面。
（4） 指数函数 只有当
t
e
at
a 时，才有
at t
lim e e
0
所以其收敛域为s 平 面上 a 的部分.
四、一些常用函数的拉氏变换
设 f (t)为有始函数，讨论单边拉氏变换 1、阶跃函数 st
1 f (t ) 2j
st F ( s ) e ds
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。
4、复平面( s平面)
以复频率 s = +j 的实部 和虚部 j 为 相互垂直的坐标轴而构成的平面. 当s = +j 确定时， 指数函数 est 也确定了
左 半 开 平 面
e e e
dt
用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换 1 t j t f ( t )e F ( s ) e d b 2 两边同乘 et
1 f (t ) 2
Fb ( s )e e d
t
j t
令 s = +j，因 为常数，所以 d = 1/j ds， 且当 时，s j 进行积分换元
e L u (t ) 0 e d t s 1
st
即 u( t )
a t
2、指数函数
s
( 0)
1 s 0
Le
即
e 0 e e d t as 1
at st
( a s ) t
e
at
as
( a )
1 a s 0
s 称复频率，Fb(s) 称信号的复频谱
2、单边拉普拉斯变换 f (t)为有始函数，即 t <0 时，f (t) = 0
F ( s ) 0 f ( t )e
f (t ) 1
j
st
dt
st
F ( s ) e ds 2 j j 记作： F ( s ) L[ f ( t )]
§4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、拉普拉斯变换定义 三、拉普拉斯变换的收敛 四、一些常用函数的拉氏变换
§4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1、傅立叶变换定义
当函数 f (t) 满足狄里赫利条件时
F ( ) f ( t )e
若 f (t)为有始函数，存在下列关系
lim f (t )e
t
t
0 ( 0 )
j
则收敛条件为 0 0称为收敛坐标
收敛区
0 0
收敛 坐标
3、指数阶函数
凡是满足
lim f (t )e
t
t
0
( 0 )
的函数 f (t) 称为指数阶函数。
上式 f (t) 中不得含有冲激函数 (t)。
t 0
s
八、终值
若函数 f (t) 及其导数 f ’(t) 存在拉氏变换， 且s F(s) 的所有极点都位于 s 平面的左半 平面，则 f (t) 的终值为： f () lim f ( t ) lim sF ( s )
t s 0
§4.1 引 言
傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系 统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变 换有不足之处。
1、要求信号f(t)绝对可积。而有些常用信 号不满足该条件。 2、有些重要函数如 eat (a>0) 的傅立叶变换 不存在，无法用傅立叶分析方法处理。
而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述 不足。
1 f (t ) 2
Hale Waihona Puke j tdt F ( )e d
j t
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当 地选取 的值 就有可以使 f(t) e-t 变得绝对可 t 其中 积，即 e 称为收敛因子
F f (t )e
L f 2 (t ) F2 ( s)
二、原函数微分
若 L f (t ) F ( s)
df ( t ) 则 L sF ( s ) f ( 0 ) dt
df ( t ) st 证明：L f ( t ) e dt 0 dt
f ( t )e
st
0
0 sf ( t )e
st
dt
f (0 ) sF ( s)
例4-2 求电感元件的拉普拉斯变换下的伏 安关系。 d iL 解： v L (t ) L dt 设 L v L (t ) VL ( s) L i L (t ) I L ( s)
3、 t n
Lt
t st e n 1 e |0 0 nt d t s s n n1 st 0 t e dt s n n1 n Lt Lt s 2 1 n! 2 n Lt 3 Lt 2 L t n 1 s s s
f (t )
2 j
1
j
j
Fb ( s )e ds
st
前面的两个公式为双边拉普拉斯变换对
二、拉普拉斯变换定义
1、双边拉普拉斯变换
Fb ( s)
f (t )e dt
st
(1)
( 2)
1 j st f (t ) F ( s ) e ds b 2j j
1 j t j t sin t (e e ) 2j
1 1 1 ( ) 2 2 2 j s j s j s 即 L sin t 2 2 s s 同理 L cos t 2 2 s
§4.3 拉氏变换的基本性质
四、延时（时域平移） 若 L f (t ) F ( s)
则
信号在时域中沿时间轴 右移 t0 （延时 t0）， s t0 则它的拉氏变换应乘以因子 e .
L f (t t0 ) u(t t0 ) e
s t0
F ( s)
例4-5 求矩形脉冲的拉普拉斯变换。 解： f (t ) Eu(t ) Eu(t t 0 )
六、尺度变换
若 L f (t ) F ( s)
1 s 则 L f (at ) F a a
a0
例4-6 已知 L f (t ) F ( s) ，若 a 0, b 0, 求 L[ f (at b)u(at b)]
求 L[ f (at b)u(at b)]
t
( 1 )
(0 ) s
例4-3 求电容元件的拉普拉斯变换下的伏安关系
1 t 解： vC ( t ) iC ( ) d C 设 L vC (t ) VC ( s ) L iC (t ) I C ( s )
则
( 1 ) I C ( s ) iC ( 0) I C ( s ) v C ( 0) VC ( s ) Cs Cs Cs s
t
F ( )
1
f ( t )e
t
e
j t
dt
st
f ( t )e
( j ) t
dt
令 s = +j
f ( t )e dt
st
因为上式中t 为积分变量,故积分结果必为s的函数
Fb ( s ) f ( t )e
一、线性（叠加）
二、原函数微分 六、尺度变换 七、初值
三、原函数积分
四、延时
八、终值
九、卷积
五、s 域平移
§4.3 拉氏变换的基本性质
一、线性（叠加）
若 L f1 (t ) F1 ( s) 则 L K1 f1 (t ) K 2 f 2 (t ) K1F1 ( s) K 2 F2 ( s)