当前高等数学教材中的若干问题(1)
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x
x
的变化趋势吗 ? 事实上 , 利用算术几何
平均不等式 , 几句话就可以证明数列 x n = 1 +
lim 1 +
x →∞
1
n
n
递 增有 上界 , 再利 用夹 逼准 则 , 就很 容易 证明
1
x
x
的存在性 .
三、 [ 1 ]中一些例题或习题在计算或者解释时存在概念上的错误 . 例如 : 1 . P. 10 第 5 行 “ : 9— 14 题的函数是由哪些简单函数复合而成的 ? ” 在光盘版中又称 “复合函数求导法 的关键是 :将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形式 . ” 我们要问 :[ 1 ]在什么地方定
x ～
2 2 π 4 +4 3
∞
n=1
∑
cos nx
n
2
∞
π - 4
n=1
∑
sin nx
n
=
x ,
2
π, 0 < x <2 π x = 0 ,2 .
π, 2
2
二、 [ 1 ]中一些基本定理的叙述不确切 , 在定理的条件、 结论、 证明方面均发现有失误之处 . 例如 : 1 . P. 29 定理 4 ( 介值定理) “若 : f ( x) 在 [ a , b]上连续 , 且 f ( a) ≠f ( b) ,μ为介于 f ( a) 与 f ( b) 之间的任 ξ ) =μ 一个数 , 则至少存在一点ξ∈( a , b) , 使得 f ( .” 应改为 “设 f 在 [ a , b]上连续 , m , M 分别是 f 在 [ a , b]上 μ∈ ξ ) =μ 的最小与最大值 , 则 Π [ m , M ] , 必至少存在一点ξ∈( a , b) , 使得 f ( .” 由此推出 f 的值域必为区间
1 . P. 1 . 将 y = f ( x) 称为函数 , 而将 y0 = f ( x0 ) 称为函数值 . 2 . P. 6 . 初等函数的定义中 , 强调 “可用一个解析式表示” , 并称 “分段函数一般不是初等函数” . 在光盘
版中的解释是 “分段函数在不同区间上其解析式不同 , 即它不能用一个解析式表示” , 并举出以下例 1 作为 非初等函数的例子 : 例 1 f ( x) =
第 25 卷第 4 期
2009 年 8 月
大 学 数 学
COLL EGE MATHEMATICS
Vol. 25 , № .4 Aug. 2009
当前高等数学教材中的若干问题
匡继昌
(湖南师范大学 数学系 ,长沙 410081)
“高等数学” 是我国大学除数学专业以外所有专业的公共基础课 , 因而 “高等数学” 教材出版数量最多 , 发行量最大 . 现在的问题是如何提高教材的质量和水平 . 本文仅以侯风波的 [ 1 ]为例 . 因为 [ 1 ]是普通高等 教育 “十五” 国家级规划教材 , 又是教育部高职高专规划教材 , 并获得教育部 2002 年全国普通高等学校优 秀教材一等奖 . 作者发现 , 就是这样的精品教材 , 也还存在不少问题 ( 以下若无特别申明 , 所标明的页码均 指 [ 1 ]的页码) . 一、 [ 1 ]声称对教学的基本要求之一是要 “强化概念” . 但实际上该教材 [ 1 ]本身对许多基本概念却叙述 不清 , 甚至错误 .
[参 考 文 献]
[1 ] 侯风波 . 高等数学 (第二版) [ M]. 北京 :高等教育出版社 ,2003. [2 ] Polya G. 怎样解题 [ M]. 北京 :科学出版社 ,1982. [3 ] 匡继昌 . 如何给中学生讲授微积分 [J ]. 数学通报 ,2006 , (5) :2 - 4. [4 ] 匡继昌 . 常用不等式 (第三版) [ M ]. 济南 :山东科学技术出版社 ,2004. [5 ] 匡继昌 . 什么是初等函数 [J ]. 数学通报 ,2007 ,46 ( 7) :27 - 29. [6 ] 匡继昌 . 数学教学要重视基本概念的深入理解 [J ]. 数学通报 ,2008 ,47 (9) :17 - 20. [7 ] 匡继昌 . 数学课程改革的实践与认识 [J ]. 数学通报 ,2004 ,43 (7) :3 - 6.
[ m , M ]. P. 108 - 109 积分中值定理的证明实际上用到的是修改后的结论 .
2 . P. 44 . 定理 2 (复合函数求导法则) 的证明有误 . 因为 Δx ≠ 0 时 , 不能保证 Δu ≠ 0. 3 . P. 24 . 仅凭该页表 2 . 1 就能看得出 x 无限增大时 , 1 + 1
192
大 学 数 学 第 25 卷
义了什么是 “简单函数” “比较简单的函数” , 和 “比较复杂的函数” ? 正确的提法应该是 “ : 将初等函数分解 成基本初等函数的复合” .
2 . P. 21 例 3 求极限 lim
x→ 4
x - 7 x + 12 . 2 x - 5x +4
[ 收稿日期 ] 2006210219
n
第 4 期 匡继昌 :当前高等数学教材中的若干问题
191
极限概念的理解和处理 , 又保持了必要的学术水平 . 4 . 由于 P. 4 函数的单调性定义中没有区分严格单调与单调 ,给以后的使用带来不便 ,如 P. 69 - 70 定 义函数的极值等 . 5 . P. 75. 曲线的凹凸性的定义与国际上流行的定义恰好相反 , 见 [ 4 ]. 6 . P. 120 - 121. 广义积分的定义 1 和 2 中 , 被积函数 f 并不要求连续 , 而只要求 ( R) 可积 . 定义 1 中的 广义积分
a
b
微元式 d A = f ( x) d x.
8 . P. 264 将三角级数与傅里叶级数混为一谈 , 三角级数不一定是傅里叶级数 ; 教材没有定义什么是函
数的正交 , 却要证明三角函数系的正交性 , 使学生无法理解 . 9 . P. 267 的提法 “ : … 即使 f ( x) 只在 [ - π,π]上有定义或虽在 [ - π,π]外也有定义但不是周期函数 , 我 ) 上展 们仍可用公式 ( 12 . 22) 求 f ( x) 的傅里叶系数 … ” . 这是概念上的错误 . 事实上 , 我们通常说 f 在 [ - π,π ) , 而是指由 [ - π,π ) 作为周期为 2 π的延拓 , 我们记 开为傅里叶级数 , 并不是说 f 的定义域是 [ - π,π f ( x) , - π≤x <π, 3 ( 4) f ( x) = π ) , ( 2 k - 1)π≤x < ( 2 k + 1)π f ( x - 2k . 3 ) . 但 - π≤x <π时 , f 3 ( x) = f ( x) . 所以 , f 3 不必写出 . 即只有满足一定条件的周 f 的定义域为 ( - ∞, + ∞ 期函数才能展开成傅里叶级数 , 而对非周期函数只能在一定条件下作傅里叶积分变换 . 10 . P. 268 的提法 “ : f ( x) 在 [ 0 ,π ]上的傅里叶级数展开式不是惟一的 . ” 这也是概念上的错误 . 因为三 ) 上没有正交性 , 函数 f 由 [ 0 ,π ) 作奇式和偶式延拓到 [ - π,π ) 后 , 得到两个不同的函数 , 从 角函数系在 [ 0 ,π 而得到两个不同的傅里叶级数展开式 , 这与函数的傅里叶级数展开式的惟一性并不矛盾 . 11 . 书末附录 C 给出的 “习题答案与提示” 中出现的错误 , 多次重印 , 都没有更正. 事实上 , 有的错误还 ) 是不对的 , 应改为 反映出该书作者们概念上的错误 . 例如 , P. 270 第 16 题的答案中 , 写成 x ∈( - ∞, + ∞ 2 ) 上与在 [ 0 , 2 π ) 上作周期性延拓后所得到的 - π≤x <π . 这是因为由上述 ( 4 ) 式 , f ( x ) = x 在 [ - π,π ( - ∞, ∞ ) 上的函数是不同的 , 从而得到 2 个不同的傅里叶级数展开式 : ∞ 2 π cos nx 2 x = + 4 ∑( - 1) n , - π≤x <π ; 2 3 n n=1
顺便指出 , 还有不少 “高等数学” 教材也都认为分段函数是非初等函数 , 因此作者在 [ 5 ] 中作了详细 分析.
3 . P. 12 — 18 及 P. 183 用 “无限接近” 作为极限的直观定义 ( 或称描述性定义) . 这是一个普通存在的误
区 . 因为极限定义本身恰好要求要说清楚什么是 “无限接近” . 而在 P. 191 仅用 “当点 ( x , y) 趋向点 ( x0 , y0 ) 时 , f ( x , y) 总趋于常数 A ” 定义二元函数的极限时 , 连 “无限” 都不讲 , 则更是错误的 . P. 16 例 3 给出的四个 数列仅凭观察就得出它们的极限 , 但只要稍微复杂一点的教材 , 例如 , x n = n 仅凭直观能看出它的极限吗 ? ε δ定义) 在本质上是将无穷的变化过程用可以操作的有限次不 极限的分析定义 ( 即我们通常所说的ε 2N , 2 等式运算来刻画 . 丢掉极限的分析定义 , 随后的导数 、 积分 、 无穷级数等一系列基本概念都讲不清楚 , 而且 [2 ] 几乎所有的基本定理都无法证明 . 波利亚 指出 “如果所有论证都被拒之于课堂之外 : , 则微积分课程很容 [3 ] 易成为一种无法消化的知识大杂烩 . ” 作者 认为 , 当前高职高专 , 甚至高中 , 至少可以讲数列极限的ε 2N δ定义等价. 这样既大大简化了函数 定义 , 而将函数的极限转化为数列极限来处理 . 由 Heine 定理 , 它与ε 2
∞
- ∞
∫
- ∞
∞
f ( x) d x 应与工程技术上经常用到的主值积分 V. P.
∞
∫ f ( x) d x 区别开来. 例如光盘版中 ,
- ∞
∞
∫ sin xd x 发散 ,但 V. P. ∫ sin xd x = 0.
- ∞
7 . P. 126 - 127 没有把微元法讲清楚 , A =
f ( x) d x 表示的是一个常数 , 却又利用同一个字母 A 定义 ∫
x→ 0
时 , 犯了循环论证的错误 . 因为在推导洛必达法则的过程中 , 要用到 sin x 和 ln x 的导数公式 , 而这些导数公 式又恰好要用到所要求的这两个基本极限 . 4 . P. 124 习题 9 中的被积函数 f 应加上连续的条件 , 因为要用到定积分的换元法 . 作者需要说明两点 :第一 , 本文不是全面评价 [ 1 ]的优缺点. [ 1 ]的作者们在编写 [ 1 ]时是作了很大努力 的 . 之所以仍存在不少问题 , 恰好说明了教材建设的长期性 、 艰巨性 、 复杂性和严肃性. 第二 , 本文所提到的 问题带有普遍性 . 在别的 “高等数学” 教材中甚至更严重 . 教材是教学的基本依据 , 教材的质量和水平对于 教学的质量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ水平影响很大. 在当前大学扩招和 “高等数学” 教材要适应不同专业不同层次的需要的新形 势下 , 教材内容的取舍和深浅程度可以有很大不同 , 但不论哪种情况 , 都不应该出现科学性的错误 . 如何提 高教材的质量和水平 , 仍然任重道远 ( 见 [ 6 , 7 ]) .
x, x ,
2
x <0, x > 0.
( 1)
事实上 , ( 1) 式可用一个解析式表示为 1 f ( x) = ( x 2
( 1) 式还可表示为 f ( x) =
2 x ) +
1 (x+ 4 1 1+ 2
2 2 x ) .
( 2)
1 12
x x
2
x+
x x
2
x .
2
( 3)
( 2) 和 ( 3) 式都表明 , 分段函数 ( 1) 是初等函数 .
2
[ 1 ]的解释是 “当 x = 4 时 , 分子分母都是 0 , 故可约去公因式 ( x - 4) . ” 正确的解释恰好相反 “因为 : x→ 4 时, x≠ 4 , 才能将分子分母的公因式 ( x - 4) 约去 . ”
3 . P. 67 用洛必达法则求极限 lim
x→ 0
sin x
x
和 lim ( 1 + x) 1/ x
x
的变化趋势吗 ? 事实上 , 利用算术几何
平均不等式 , 几句话就可以证明数列 x n = 1 +
lim 1 +
x →∞
1
n
n
递 增有 上界 , 再利 用夹 逼准 则 , 就很 容易 证明
1
x
x
的存在性 .
三、 [ 1 ]中一些例题或习题在计算或者解释时存在概念上的错误 . 例如 : 1 . P. 10 第 5 行 “ : 9— 14 题的函数是由哪些简单函数复合而成的 ? ” 在光盘版中又称 “复合函数求导法 的关键是 :将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形式 . ” 我们要问 :[ 1 ]在什么地方定
x ～
2 2 π 4 +4 3
∞
n=1
∑
cos nx
n
2
∞
π - 4
n=1
∑
sin nx
n
=
x ,
2
π, 0 < x <2 π x = 0 ,2 .
π, 2
2
二、 [ 1 ]中一些基本定理的叙述不确切 , 在定理的条件、 结论、 证明方面均发现有失误之处 . 例如 : 1 . P. 29 定理 4 ( 介值定理) “若 : f ( x) 在 [ a , b]上连续 , 且 f ( a) ≠f ( b) ,μ为介于 f ( a) 与 f ( b) 之间的任 ξ ) =μ 一个数 , 则至少存在一点ξ∈( a , b) , 使得 f ( .” 应改为 “设 f 在 [ a , b]上连续 , m , M 分别是 f 在 [ a , b]上 μ∈ ξ ) =μ 的最小与最大值 , 则 Π [ m , M ] , 必至少存在一点ξ∈( a , b) , 使得 f ( .” 由此推出 f 的值域必为区间
1 . P. 1 . 将 y = f ( x) 称为函数 , 而将 y0 = f ( x0 ) 称为函数值 . 2 . P. 6 . 初等函数的定义中 , 强调 “可用一个解析式表示” , 并称 “分段函数一般不是初等函数” . 在光盘
版中的解释是 “分段函数在不同区间上其解析式不同 , 即它不能用一个解析式表示” , 并举出以下例 1 作为 非初等函数的例子 : 例 1 f ( x) =
第 25 卷第 4 期
2009 年 8 月
大 学 数 学
COLL EGE MATHEMATICS
Vol. 25 , № .4 Aug. 2009
当前高等数学教材中的若干问题
匡继昌
(湖南师范大学 数学系 ,长沙 410081)
“高等数学” 是我国大学除数学专业以外所有专业的公共基础课 , 因而 “高等数学” 教材出版数量最多 , 发行量最大 . 现在的问题是如何提高教材的质量和水平 . 本文仅以侯风波的 [ 1 ]为例 . 因为 [ 1 ]是普通高等 教育 “十五” 国家级规划教材 , 又是教育部高职高专规划教材 , 并获得教育部 2002 年全国普通高等学校优 秀教材一等奖 . 作者发现 , 就是这样的精品教材 , 也还存在不少问题 ( 以下若无特别申明 , 所标明的页码均 指 [ 1 ]的页码) . 一、 [ 1 ]声称对教学的基本要求之一是要 “强化概念” . 但实际上该教材 [ 1 ]本身对许多基本概念却叙述 不清 , 甚至错误 .
[参 考 文 献]
[1 ] 侯风波 . 高等数学 (第二版) [ M]. 北京 :高等教育出版社 ,2003. [2 ] Polya G. 怎样解题 [ M]. 北京 :科学出版社 ,1982. [3 ] 匡继昌 . 如何给中学生讲授微积分 [J ]. 数学通报 ,2006 , (5) :2 - 4. [4 ] 匡继昌 . 常用不等式 (第三版) [ M ]. 济南 :山东科学技术出版社 ,2004. [5 ] 匡继昌 . 什么是初等函数 [J ]. 数学通报 ,2007 ,46 ( 7) :27 - 29. [6 ] 匡继昌 . 数学教学要重视基本概念的深入理解 [J ]. 数学通报 ,2008 ,47 (9) :17 - 20. [7 ] 匡继昌 . 数学课程改革的实践与认识 [J ]. 数学通报 ,2004 ,43 (7) :3 - 6.
[ m , M ]. P. 108 - 109 积分中值定理的证明实际上用到的是修改后的结论 .
2 . P. 44 . 定理 2 (复合函数求导法则) 的证明有误 . 因为 Δx ≠ 0 时 , 不能保证 Δu ≠ 0. 3 . P. 24 . 仅凭该页表 2 . 1 就能看得出 x 无限增大时 , 1 + 1
192
大 学 数 学 第 25 卷
义了什么是 “简单函数” “比较简单的函数” , 和 “比较复杂的函数” ? 正确的提法应该是 “ : 将初等函数分解 成基本初等函数的复合” .
2 . P. 21 例 3 求极限 lim
x→ 4
x - 7 x + 12 . 2 x - 5x +4
[ 收稿日期 ] 2006210219
n
第 4 期 匡继昌 :当前高等数学教材中的若干问题
191
极限概念的理解和处理 , 又保持了必要的学术水平 . 4 . 由于 P. 4 函数的单调性定义中没有区分严格单调与单调 ,给以后的使用带来不便 ,如 P. 69 - 70 定 义函数的极值等 . 5 . P. 75. 曲线的凹凸性的定义与国际上流行的定义恰好相反 , 见 [ 4 ]. 6 . P. 120 - 121. 广义积分的定义 1 和 2 中 , 被积函数 f 并不要求连续 , 而只要求 ( R) 可积 . 定义 1 中的 广义积分
a
b
微元式 d A = f ( x) d x.
8 . P. 264 将三角级数与傅里叶级数混为一谈 , 三角级数不一定是傅里叶级数 ; 教材没有定义什么是函
数的正交 , 却要证明三角函数系的正交性 , 使学生无法理解 . 9 . P. 267 的提法 “ : … 即使 f ( x) 只在 [ - π,π]上有定义或虽在 [ - π,π]外也有定义但不是周期函数 , 我 ) 上展 们仍可用公式 ( 12 . 22) 求 f ( x) 的傅里叶系数 … ” . 这是概念上的错误 . 事实上 , 我们通常说 f 在 [ - π,π ) , 而是指由 [ - π,π ) 作为周期为 2 π的延拓 , 我们记 开为傅里叶级数 , 并不是说 f 的定义域是 [ - π,π f ( x) , - π≤x <π, 3 ( 4) f ( x) = π ) , ( 2 k - 1)π≤x < ( 2 k + 1)π f ( x - 2k . 3 ) . 但 - π≤x <π时 , f 3 ( x) = f ( x) . 所以 , f 3 不必写出 . 即只有满足一定条件的周 f 的定义域为 ( - ∞, + ∞ 期函数才能展开成傅里叶级数 , 而对非周期函数只能在一定条件下作傅里叶积分变换 . 10 . P. 268 的提法 “ : f ( x) 在 [ 0 ,π ]上的傅里叶级数展开式不是惟一的 . ” 这也是概念上的错误 . 因为三 ) 上没有正交性 , 函数 f 由 [ 0 ,π ) 作奇式和偶式延拓到 [ - π,π ) 后 , 得到两个不同的函数 , 从 角函数系在 [ 0 ,π 而得到两个不同的傅里叶级数展开式 , 这与函数的傅里叶级数展开式的惟一性并不矛盾 . 11 . 书末附录 C 给出的 “习题答案与提示” 中出现的错误 , 多次重印 , 都没有更正. 事实上 , 有的错误还 ) 是不对的 , 应改为 反映出该书作者们概念上的错误 . 例如 , P. 270 第 16 题的答案中 , 写成 x ∈( - ∞, + ∞ 2 ) 上与在 [ 0 , 2 π ) 上作周期性延拓后所得到的 - π≤x <π . 这是因为由上述 ( 4 ) 式 , f ( x ) = x 在 [ - π,π ( - ∞, ∞ ) 上的函数是不同的 , 从而得到 2 个不同的傅里叶级数展开式 : ∞ 2 π cos nx 2 x = + 4 ∑( - 1) n , - π≤x <π ; 2 3 n n=1
顺便指出 , 还有不少 “高等数学” 教材也都认为分段函数是非初等函数 , 因此作者在 [ 5 ] 中作了详细 分析.
3 . P. 12 — 18 及 P. 183 用 “无限接近” 作为极限的直观定义 ( 或称描述性定义) . 这是一个普通存在的误
区 . 因为极限定义本身恰好要求要说清楚什么是 “无限接近” . 而在 P. 191 仅用 “当点 ( x , y) 趋向点 ( x0 , y0 ) 时 , f ( x , y) 总趋于常数 A ” 定义二元函数的极限时 , 连 “无限” 都不讲 , 则更是错误的 . P. 16 例 3 给出的四个 数列仅凭观察就得出它们的极限 , 但只要稍微复杂一点的教材 , 例如 , x n = n 仅凭直观能看出它的极限吗 ? ε δ定义) 在本质上是将无穷的变化过程用可以操作的有限次不 极限的分析定义 ( 即我们通常所说的ε 2N , 2 等式运算来刻画 . 丢掉极限的分析定义 , 随后的导数 、 积分 、 无穷级数等一系列基本概念都讲不清楚 , 而且 [2 ] 几乎所有的基本定理都无法证明 . 波利亚 指出 “如果所有论证都被拒之于课堂之外 : , 则微积分课程很容 [3 ] 易成为一种无法消化的知识大杂烩 . ” 作者 认为 , 当前高职高专 , 甚至高中 , 至少可以讲数列极限的ε 2N δ定义等价. 这样既大大简化了函数 定义 , 而将函数的极限转化为数列极限来处理 . 由 Heine 定理 , 它与ε 2
∞
- ∞
∫
- ∞
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f ( x) d x 应与工程技术上经常用到的主值积分 V. P.
∞
∫ f ( x) d x 区别开来. 例如光盘版中 ,
- ∞
∞
∫ sin xd x 发散 ,但 V. P. ∫ sin xd x = 0.
- ∞
7 . P. 126 - 127 没有把微元法讲清楚 , A =
f ( x) d x 表示的是一个常数 , 却又利用同一个字母 A 定义 ∫
x→ 0
时 , 犯了循环论证的错误 . 因为在推导洛必达法则的过程中 , 要用到 sin x 和 ln x 的导数公式 , 而这些导数公 式又恰好要用到所要求的这两个基本极限 . 4 . P. 124 习题 9 中的被积函数 f 应加上连续的条件 , 因为要用到定积分的换元法 . 作者需要说明两点 :第一 , 本文不是全面评价 [ 1 ]的优缺点. [ 1 ]的作者们在编写 [ 1 ]时是作了很大努力 的 . 之所以仍存在不少问题 , 恰好说明了教材建设的长期性 、 艰巨性 、 复杂性和严肃性. 第二 , 本文所提到的 问题带有普遍性 . 在别的 “高等数学” 教材中甚至更严重 . 教材是教学的基本依据 , 教材的质量和水平对于 教学的质量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ水平影响很大. 在当前大学扩招和 “高等数学” 教材要适应不同专业不同层次的需要的新形 势下 , 教材内容的取舍和深浅程度可以有很大不同 , 但不论哪种情况 , 都不应该出现科学性的错误 . 如何提 高教材的质量和水平 , 仍然任重道远 ( 见 [ 6 , 7 ]) .
x, x ,
2
x <0, x > 0.
( 1)
事实上 , ( 1) 式可用一个解析式表示为 1 f ( x) = ( x 2
( 1) 式还可表示为 f ( x) =
2 x ) +
1 (x+ 4 1 1+ 2
2 2 x ) .
( 2)
1 12
x x
2
x+
x x
2
x .
2
( 3)
( 2) 和 ( 3) 式都表明 , 分段函数 ( 1) 是初等函数 .
2
[ 1 ]的解释是 “当 x = 4 时 , 分子分母都是 0 , 故可约去公因式 ( x - 4) . ” 正确的解释恰好相反 “因为 : x→ 4 时, x≠ 4 , 才能将分子分母的公因式 ( x - 4) 约去 . ”
3 . P. 67 用洛必达法则求极限 lim
x→ 0
sin x
x
和 lim ( 1 + x) 1/ x