二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法讲解
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二阶常系数线性非齐次微分方程
特解简易求法
王海菊
(北京联合大学基础部,北京
100101
[摘要]求二阶常系数线性非齐次微分方程特解通常是采用待定系数法,计算量很大。本文
在不脱离教材特解的求法,
利用推导特解过程中出现的重要式子Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2
+p λ+q Q (x =P m (x ,简化待定系数法求特解的过程。对右端非齐次项e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]是先设变换,化简右端非齐次项。[关键词]微分方程;特解;待定系数法[中图分类号]O 241. 8
即:
4ax－4a +4b =2x +1。
由待定系数法得:
a = 1
2
, b =
3
4
, Q (x =
1
2
x + 3 4。
因此求得一个特解为y *=
1
2
x +
(3 4 e－x ,
求yᵡ－5y' +6y =x e 2x的特解。
解:由于λ=2,是特征方程的单根,取k =1, Q (x的系数为零。
设特解y *=x (ax +b e 2x ,则Q (x =ax 2+ bx ,将Q (x代入式(2有:
可设特解y *=x 2(ax +b e 3x ,则Q (x =ax 3 +bx 2,将Q (x代入式(2有:
6ax +2b =x +1。
由待定系数法得:
a = 1
6
, b = 1 2 ,
因此求得一个特解为y *=x 2
1
6
x +
(1 2 e 3x。
2f (x =e λx [P l (x cos ωx +P n
Key words :differential equation ; constant coefficients ; particulars
0引言
一般教材中,二阶常系数线性的非齐次方程yᵡ
+py' +qy =f (x (1的特解采用待定系数法[1]
,计算量很大,也很繁琐;有的文献给出特解公式
[2-3]
,
又很难记住公式。采取以下方法减少运算量,又不偏离教材中求特解的方法。常见的方程右端非齐次项f (x主要有两种类型:
f (x =P m (x e λx及e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]
1
f (x =P m (x e λx
型
解法是设特解y
*
=x k Q m (x e λx =Q (x e λx ,
可,不需求y *的一阶,二阶导数,可以大大简化此
类题的计算量。以教材[1]中例题或习题为例。求
yᵡ－2y' +y =(2x +1 e－x的特解。
解:由于λ=－1,不是特征方程的单根,取k
=0。
设特解y *=(ax +b e－x ,则Q (x =ax +b ,
将Q (x代入式(2有:
(－2－2 a +(1+2+1 (ax +b =2x +1,
+p λ+
q =0,此时式(2就简化为Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x =P m (x ;
3 λ是特征方程的重根时,取k =2, λ2+p λ+
q =0,且2λ+p =0,此时式(2就简化为Qᵡ (x =P m (x。
北京联合大学学报(自然科学版2011年6月
可见利用式(2 ,只需求Q' (x及Qᵡ (x即
2011年6月
第25卷第2期总84期北京联合大学学报(自然科学版
Journal of Beijing Union University (Natural Sciences Jun．2011
Vol．25No．2Sum No．84
[收稿日期]2010－09－20
[作者简介]王海菊(1966— ,女,黑龙江人,北京联合大学基础部讲师,研究方向为应用数学与数学教学。
[文献标志码]A
[文章编号]1005-
0310(2011 02-0073-03Simplification for Particular Solution of Second Order Linear
Non-homogeneous Differential Equation with Constant Coefficients
2a +(4－5 (2ax +b =x ,
即:
－2ax +2a－b =x。
由待定系数法得:
a =－1
2
, b =－1, Q (x =－
1
2
x 2－x。
因此求得一个特解为:
y *=x－1 2 x－Βιβλιοθήκη Baidu
(1e 2x。求yᵡ－6y' +9y =(x +1 e 3x的特解。
解:由于λ=3,是特征方程的重根,取k =2,则Q' (x , Q (x的系数都为零。
WANG Hai-ju
(Basic Courses Department Of Beijing Union University , Beijing
100101, China
Abstract :The particular solution of second order linear non-homogeneous differential equation with constant coef-ficients is by means of undermined coefficients , which is relatively complex．Instead of using the method of parti-cular solution in teaching materials , important formula in deducing particular solution is adopted．The solution of the problem can be simplified．
其中Q (x =x k
Q m (x是k +m次多项式,将特解
y *代入方程(1 ,化简并整理得:
Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2+p λ+q Q (x =P m (x。(2
结论
1 λ不是特征方程的根时,取k =0,
2λ+p及λ2
+p λ+q都不为零;
2 λ是特征方程的单根时,取k =1, λ2
(x
sin ωx ]型特解可设为:
y *=x k e λx [R (1 m (x cos ωx +R (2
m
(x sin ωx ]。
主要是当λ≠ 0时,用待定系数法求特解是很麻烦的。
不妨先设变换y =e λx u (x代入式(1 ,消去e λx ,得到一个与式(2极相似的式子uᵡ (x +(2λ
特解简易求法
王海菊
(北京联合大学基础部,北京
100101
[摘要]求二阶常系数线性非齐次微分方程特解通常是采用待定系数法,计算量很大。本文
在不脱离教材特解的求法,
利用推导特解过程中出现的重要式子Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2
+p λ+q Q (x =P m (x ,简化待定系数法求特解的过程。对右端非齐次项e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]是先设变换,化简右端非齐次项。[关键词]微分方程;特解;待定系数法[中图分类号]O 241. 8
即:
4ax－4a +4b =2x +1。
由待定系数法得:
a = 1
2
, b =
3
4
, Q (x =
1
2
x + 3 4。
因此求得一个特解为y *=
1
2
x +
(3 4 e－x ,
求yᵡ－5y' +6y =x e 2x的特解。
解:由于λ=2,是特征方程的单根,取k =1, Q (x的系数为零。
设特解y *=x (ax +b e 2x ,则Q (x =ax 2+ bx ,将Q (x代入式(2有:
可设特解y *=x 2(ax +b e 3x ,则Q (x =ax 3 +bx 2,将Q (x代入式(2有:
6ax +2b =x +1。
由待定系数法得:
a = 1
6
, b = 1 2 ,
因此求得一个特解为y *=x 2
1
6
x +
(1 2 e 3x。
2f (x =e λx [P l (x cos ωx +P n
Key words :differential equation ; constant coefficients ; particulars
0引言
一般教材中,二阶常系数线性的非齐次方程yᵡ
+py' +qy =f (x (1的特解采用待定系数法[1]
,计算量很大,也很繁琐;有的文献给出特解公式
[2-3]
,
又很难记住公式。采取以下方法减少运算量,又不偏离教材中求特解的方法。常见的方程右端非齐次项f (x主要有两种类型:
f (x =P m (x e λx及e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]
1
f (x =P m (x e λx
型
解法是设特解y
*
=x k Q m (x e λx =Q (x e λx ,
可,不需求y *的一阶,二阶导数,可以大大简化此
类题的计算量。以教材[1]中例题或习题为例。求
yᵡ－2y' +y =(2x +1 e－x的特解。
解:由于λ=－1,不是特征方程的单根,取k
=0。
设特解y *=(ax +b e－x ,则Q (x =ax +b ,
将Q (x代入式(2有:
(－2－2 a +(1+2+1 (ax +b =2x +1,
+p λ+
q =0,此时式(2就简化为Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x =P m (x ;
3 λ是特征方程的重根时,取k =2, λ2+p λ+
q =0,且2λ+p =0,此时式(2就简化为Qᵡ (x =P m (x。
北京联合大学学报(自然科学版2011年6月
可见利用式(2 ,只需求Q' (x及Qᵡ (x即
2011年6月
第25卷第2期总84期北京联合大学学报(自然科学版
Journal of Beijing Union University (Natural Sciences Jun．2011
Vol．25No．2Sum No．84
[收稿日期]2010－09－20
[作者简介]王海菊(1966— ,女,黑龙江人,北京联合大学基础部讲师,研究方向为应用数学与数学教学。
[文献标志码]A
[文章编号]1005-
0310(2011 02-0073-03Simplification for Particular Solution of Second Order Linear
Non-homogeneous Differential Equation with Constant Coefficients
2a +(4－5 (2ax +b =x ,
即:
－2ax +2a－b =x。
由待定系数法得:
a =－1
2
, b =－1, Q (x =－
1
2
x 2－x。
因此求得一个特解为:
y *=x－1 2 x－Βιβλιοθήκη Baidu
(1e 2x。求yᵡ－6y' +9y =(x +1 e 3x的特解。
解:由于λ=3,是特征方程的重根,取k =2,则Q' (x , Q (x的系数都为零。
WANG Hai-ju
(Basic Courses Department Of Beijing Union University , Beijing
100101, China
Abstract :The particular solution of second order linear non-homogeneous differential equation with constant coef-ficients is by means of undermined coefficients , which is relatively complex．Instead of using the method of parti-cular solution in teaching materials , important formula in deducing particular solution is adopted．The solution of the problem can be simplified．
其中Q (x =x k
Q m (x是k +m次多项式,将特解
y *代入方程(1 ,化简并整理得:
Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2+p λ+q Q (x =P m (x。(2
结论
1 λ不是特征方程的根时,取k =0,
2λ+p及λ2
+p λ+q都不为零;
2 λ是特征方程的单根时,取k =1, λ2
(x
sin ωx ]型特解可设为:
y *=x k e λx [R (1 m (x cos ωx +R (2
m
(x sin ωx ]。
主要是当λ≠ 0时,用待定系数法求特解是很麻烦的。
不妨先设变换y =e λx u (x代入式(1 ,消去e λx ,得到一个与式(2极相似的式子uᵡ (x +(2λ