二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法讲解
二阶常系数非齐次线性微分方程资料讲解
先求 y y ex 的特解
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Aex
2
A
p
ex , q
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
A x 2ex 2
是特征方程的重根
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
代入上式 2Aj 4, A 2 j,
y* 2 jxe jx 2x sin x (2x cos x) j, 所求非齐方程特解为 y 2x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.
例4 求方程 y y x cos 2x 的通解.
一、 f ( x) ex Pm ( x) 型
设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
().Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x)
(1) 若不是特征方程的根，2 p q 0, 可设 Q( x) Qm ( x), y Qm ( x)ex;
分别是 Pm ( x)e( j )x 的实部和虚部 考虑方程 y py qy Pm ( x)e( j )x , 辅助方程
可设 y xkQm ( x)e( j )x
Qm ( x)是m次复系数多项式
记Qm ( x) Q1( x) jQ2( x)
Q1( x),Q2( x)均是m次实系数多项式
y xk[Q1( x) jQ2( x)]ex (cosx j sinx) xkex[(Q1( x)cosx Q2( x)sinx) j(Q1( x)sinx Q2( x)cosx)]
二阶常系数非齐次线性微分方程讲解
y1 *
y2 *
1 2 x cos x Rm x sinx y* x k e x Rm
1 2 x , Rm x 都是 m 次多项式， m = max{ l , n }，且 其中Rm
0
λ±iω不是特征根 λ±iω是特征根
9
k=
1
例 3 求方程 y' ' y x cos 2 x 的通解。 解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 r1, 2 i 于是齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sinx 由于 f ( x ) x cos 2 x, ( 0, 2, Pl ( x ) x, Pn ( x ) 0即m 1) λ±iω=±2i不是特征方程的根，取 k 0, 故原方程特解设为： y* (ax b) cos2 x (cx d ) sin2 x 代入所给方程，得 y py qy e x [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微ຫໍສະໝຸດ 方程一般式是y" py' qy f x
(1)
其中p、q是常数。 由定理3，只要求出(1)的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y" py' qy 0
* y Y y . 的通解Y， 即可求得(1)的通解 :
对 f(x) 的下面两种最常见形式， 采用待定系数法来求出 y*。
Q x Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定bi i 0,1,2 , m,
x y * Q ( x ) e . 进而得(1)的特解
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题讲解
>>>
2b0x2b0b1=x
比较系数
得
b0
=
1 2
b1=1
故 y*= x( 1 x 1)e2x 2
提示 2b0=1 齐2次b0方b程1=y05y6y=0的通解为Y=C1e2xC2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为
y*=Q(x)ex
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则
y*=Qm(x)ex
提示 此时2pq0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
y*=x2Qm(x)ex
提示 此时2pq=0 2p=0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)=x2Q下页
结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=Pm(x)ex
y*=Qm(x)ex y*=xQm(x)ex
提示 此时2pq=0 但2p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)=xQm(x)
其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
其根为r12 r23 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x+2b0b1x
比较系数 得 b0 1 b1 1 故 y* x( 1 x 1)e 2 x 2 2
2b0x+2b0b1x
比较系数 得 b0 1 b1 1 故 y* x( 1 x 1)e 2 x 2 2
提示 2b01 2b0b10 齐次方程y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60
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一、 f(x)Pm(x)ex 型 设方程y+py+qyP (x)e 特解形式为y*Q(x)e
m x
则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示
y*+py*+qy* [Q(x)ex]+[Q(x)ex]+q[Q(x)ex] [Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex [Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
下页
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
二阶常系数非齐次微分方程的特解
二阶常系数非齐次微分方程的特解1. 引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域中。
其中，二阶常系数非齐次微分方程是一类常见且重要的微分方程。
本文将详细介绍二阶常系数非齐次微分方程的特解求解方法，并给出一些具体例子进行说明。
2. 二阶常系数非齐次微分方程的一般形式二阶常系数非齐次微分方程的一般形式如下：ay″+by′+cy=g(x)其中，a,b,c为常数，g(x)为已知函数。
我们需要寻找满足该方程的特解。
3. 特解求解方法3.1 齐次线性微分方程的通解首先，我们需要求解对应的齐次线性微分方程：ay″+by′+cy=0这个方程称为齐次线性微分方程。
其通解可以表示为：yℎ(x)=C1e r1x+C2e r2x其中，C1,C2为任意常数，r1,r2为方程的特征根。
3.2 特解的形式我们假设二阶常系数非齐次微分方程的特解形式为：y p(x)=u(x)v(x)其中，u(x)和v(x)是待定函数。
3.3 确定待定函数的形式根据已知函数g(x)的形式，我们可以确定待定函数u(x)和v(x)的形式。
•若g(x)是多项式，则取u(x)和v(x)都为多项式。
•若g(x)是指数函数，则取u(x)为指数函数，v(x)为多项式。
•若g(x)是三角函数，则取u(x)和v(x)都为三角函数。
•若g(x)是指数函数与三角函数的乘积，则取u(x)和v(x)都为指数函数与三角函数的乘积。
3.4 代入原方程求解将特解形式代入原方程，得到一个关于待定系数的代数方程。
通过求解这个代数方程，可以确定待定系数的值。
3.5 特解与通解特解加上齐次线性微分方程的通解即为二阶常系数非齐次微分方程的通解：y=yℎ+y p4. 实例分析下面我们通过一些具体的例子来说明二阶常系数非齐次微分方程的特解求解方法。
4.1 例子1考虑方程：y″−2y′+y=x2+3x首先，我们求解对应的齐次线性微分方程：y″−2y′+y=0。
特征根为r1=r2=1，因此齐次线性微分方程的通解为：yℎ(x)=C1e x+C2xe x接下来，我们确定待定函数的形式。
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
二阶常系数非齐次线性方程解法
就是微分方程的解
22
下面分三种情况讨论常系数齐次线性方程的通解.
1). 特征方程有两个不相等的实根
p2 4q 0
特征根为
1 p
p2 4q ,
2
2 p
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 e1x ,
y2 e2x ,
得齐次方程的通解为 y C1e1x C2e2x ;
14
定理 5.
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2,, n )
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
k 1
的特解. (非齐次方程解的叠加原理)
例1
求方程
y x y 1 y 0,(x 1) x 1 x 1
23
2） 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解
若 p2 4q 0，则
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
e1 x [(u 21u 12u ) p(u 1u ) q u 0
u ( 2 1 p ) u ( 12 p 1 q ) u 0
数) 是该方程的通解.
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
11
定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
二阶非齐次微分方程的特解
二阶常系数非齐次线性微分方程特解如下：二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，其特解y*设法分为：一、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。
二、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。
①设f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。
②设f(x)=P（x）e^αx，Pn （x）为n阶多项式。
③假设f(x)=[Pl（x）cos(βx)+Pn（x）sin(βx)]e^αx，Pl（x）为l阶多项式，Pn（x）为n阶多项式。
①设f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式：在这个假设情况下，若0不是特定值的话，在特解中，要导入Qm(x)与Pn（x）多项式，所以要根据Qm(x)设法要根据Pn（x）的具体问题和情况而定。
②设f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式：在该项假设情况下，若α不是特定值的话，y*=Qm(x)*e^αx，Qm(x)的设法要根据Pn（x）的情况来定。
③假设f(x)=[Pl（x）cos(βx)+Pn（x）sin(βx)]e^αx，Pl（x）为l阶多项式，Pn（x）为n阶多项式：在该假设情况下如果α±iβ并不是特征数值，则即y*=x*[Rm1(x)cos(βx)+Rm2(x)sin(βx)]e^αx。
特解y设法二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。
自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。
特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在数学的领域中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。
它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们深入探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法以及相关例题。
首先，我们来明确一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中＄p$、＄q$ 是常数，＄f(x)＄是一个已知的函数。
为了求解这个方程，我们通常分为两个步骤：第一步，先求解对应的齐次方程：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$ 。
对于这个齐次方程，我们假设它的解为＄y ＝ e^｛rx}＄，代入方程中得到特征方程：＄r^2 ＋ pr ＋ q ＝ 0$ 。
通过求解这个特征方程，可以得到两个根＄r_1$ 和＄r_2$ 。
当＄r_1$ 和＄r_2$ 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄；当＄r_1 ＝ r_2$ 是相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝（C_1 ＋ C_2x)e^｛r_1x}＄；当＄r_1$ 和＄r_2$ 是一对共轭复根＄r_{1,2} ＝＼alpha ＼pm ＼beta i$ 时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos(＼beta x) ＋ C_2\sin(＼beta x)）＄。
第二步，求出非齐次方程的一个特解＄y_p$ 。
求特解的方法通常根据＄f(x)＄的形式来决定。
常见的形式有以下几种：1、当＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄P_n(x)＄是＄n$ 次多项式。
如果＄＼alpha$ 不是特征根，设特解为＄y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄Q_n(x)＄是与＄P_n(x)＄同次的待定多项式；如果＄＼alpha$ 是特征方程的单根，设特解为＄y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼alpha x}＄；如果＄＼alpha$ 是特征方程的重根，设特解为＄y_p ＝x^2Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄。
二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法
黑龙江工业学院学报JOURNAL OF HEILONGJIANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol. 20 No. 12Dec. 2020第20卷第12期2020年12月文章编号：2096 - 3874(2020)12 - 0141 -04二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法蔺琳(大连财经学院，辽宁大连116622)摘要：为剖析二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法，拓宽非齐次线性微分方程的应用领域。
分析对比了迭代法、升阶法、降阶法、算子法、积分求法、Laplace 变换法、变量变换法 和化为方程组法等方法的优缺点和适用条件。
关键词:常微分方程;非齐次;特殊解法;分析;利弊中图分类号:0175 文献标识码:A常微分方程是数学分析与微分方程运算中不可或缺的一个组成部分⑴。
例如,在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存 在满足常微分方程关系式的数学模型，需要通过求解微分方程来了解未知函数的性质⑵。
因此, 常微分方程是解决实际问题的重要工具。
其中， 形如y" +py' +qy =/(%)(其中p,g 为常数)的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程⑶。
众所周知，待定系数法和常数变易法是二阶常系数非齐 次线性微分方程的普遍解法，但这两种方法都有不足之处，例如求解过程较为繁琐，计算量较 大“T o 本文综述了积分法、算子法、降阶法、升阶法、拉普拉斯变换法、化为方程组法和迭代法求解 方程的原理与应用。
同时,分析了各个二阶常系数非齐次线性微分方程特殊解法的利弊,为微分 方程在不同的条件下快捷使用相应的求解方法研 究奠定基础。
1二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解法1」积分法求解方程设卩(％)是齐次方程y" +py +qy =0的一个解，且卩(0) =0,卩'(0)工0,则 y" +py' +qy =f(x) 的特解为 y* (%) =cp (:x - t) dt 。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程讲解
2 Aj 4,
y* 2 jxe jx 2 x sinx (2 x cos x) j ,
所求非齐方程特解为
（取虚部） y 2 x cos x ,
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2 x cos x .
例5 求方程 y y x cos 2 x 的通解. 解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x ,
作辅助方程 y y xe 2 jx ,
2 j 不是特征方程的根 ,
设 y * ( Ax B)e 2 jx ,
代入辅助方程
4 Aj 3 B 0 3 A 1
*
1 4 A ，B j , 3 9
1 4 y ( x j )e 2 jx , 3 9
代入原方程
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x )
2 (1) 若不是特征方程的根， p q 0,
可设 Q( x ) Qm ( x ),
y Qm ( x )e ;
2 p 0,
思考题
写出微分方程 y 4 y 4 y 6 x 2 8e 2 x 的待定特解的形式.
思考题解答
* y 设 y 4 y 4 y 6 x 的特解为 1
2 2x y 4 y 4 y 8 e 设 的特解为 y2
*
* * * 则所求特解为 y y1 y2
第十章
微分方程
第九节 二阶常系数非齐次线性微 分方程
如果二阶线性微分方程为 y + py + qy = f(x) ， 其中 p、 q 均为常数，则称该方程为二阶常系数线 性微分方程. f (x) 称为自由项，当 f (x) 不恒等于
二阶常系数非齐次微分方程的特解
二阶常系数非齐次微分方程的特解二阶常系数非齐次微分方程是微积分中的重要内容之一，它的解法可以通过特解和通解的相加得到。
本文将介绍如何求解二阶常系数非齐次微分方程的特解。
首先，我们来看一个具体的例子：求解方程y''+2y'+y=3e^x。
这是一个二阶常系数非齐次微分方程，其中的非齐次项为3e^x。
为了求解这个方程的特解，我们可以猜测特解的形式。
由于非齐次项为3e^x，我们可以猜测特解的形式为Ae^x，其中A为待定常数。
将猜测的特解代入原方程，得到(Ae^x)''+2(Ae^x)'+Ae^x=3e^x。
对特解进行求导，得到Ae^x+2Ae^x+Ae^x=3e^x。
化简得到4Ae^x=3e^x。
由于等式两边的指数项相等，所以系数也必须相等。
因此，我们可以得到A=3/4。
所以特解为y=3/4e^x。
接下来，我们将特解和通解相加，得到原方程的解。
通解可以通过求解对应的齐次方程y''+2y'+y=0得到。
齐次方程的特征方程为r^2+2r+1=0，解得r=-1。
所以齐次方程的通解为y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}，其中C_1和C_2为待定常数。
将特解和通解相加，得到原方程的解为y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+3/4e^x。
至此，我们已经求解出了二阶常系数非齐次微分方程的特解。
总结起来，求解二阶常系数非齐次微分方程的特解的步骤如下：1. 猜测特解的形式，根据非齐次项的形式进行猜测。
2. 将猜测的特解代入原方程，得到待定常数的值。
3. 求解对应的齐次方程，得到通解。
4. 将特解和通解相加，得到原方程的解。
需要注意的是，特解的形式需要根据非齐次项的形式进行猜测，如果非齐次项是多项式，则特解的形式也应为多项式；如果非齐次项是指数函数，则特解的形式也应为指数函数。
通过以上的求解步骤，我们可以求解二阶常系数非齐次微分方程的特解。
二阶常系数非齐次微分方程的特解公式
二阶常系数非齐次微分方程是微分方程中的一类基本形式，在实际问题中具有广泛的应用。
它的一般形式可以表示为：[ay’’ + by’ + cy = F(x)]其中 (a, b, c) 是常系数，(F(x)) 是非零的连续函数。
解此方程的一般步骤是先求其对应的齐次线性微分方程的通解，再找到特解，将二者相加，得到非齐次微分方程的通解。
在这里，我将向你介绍二阶常系数非齐次微分方程特解的具体求解方法，并给出其特解公式。
通过这篇文章，你将全面了解并深入理解这一概念。
1. 二阶常系数非齐次微分方程的特解求解步骤我们来看如何求解二阶常系数非齐次微分方程的特解。
求解步骤如下：步骤1：求解对应的齐次线性微分方程的特征方程，得到其通解。
对于给定的二阶常系数非齐次微分方程(ay’’ + by’ + cy =F(x))，其对应的齐次线性微分方程是(ay’’ + by’ + cy = 0)。
我们先解这个齐次微分方程，得到其特征方程。
特征方程的根将决定齐次微分方程的通解形式。
步骤2：求特解。
接下来，我们要找到对于非齐次项 (F(x)) 的特解。
特解的形式取决于 (F(x)) 的具体形式，可以通过待定系数法或者叠加原理等方法求解。
步骤3：组合通解和特解。
我们将齐次微分方程的通解与非齐次微分方程的特解相加，得到非齐次微分方程的通解。
这样，我们就得到了原方程的完整解。
2. 二阶常系数非齐次微分方程的特解公式对于二阶常系数非齐次线性微分方程(ay’’ + by’ + cy = F(x))，其特解的一般形式如下：[y_p(x) = K(x) e^{mx}]其中 (K(x)) 是待定的函数形式，(m) 是非齐次项 (F(x)) 的特征根。
特解的形式将根据 (F(x)) 的具体形式和对应齐次微分方程的特征根来确定。
通过本文的介绍，我希望你对二阶常系数非齐次微分方程的特解求解和特解公式有了更加深入的理解。
这一概念在物理、工程、经济学等领域有着广泛的应用，掌握好这一知识点对于进一步的学习和工作都是非常重要的。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题[优质ppt]
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特解形式
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铃
二、f(x)=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型
结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]
y*=xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]
一、f(x) Pm(x)e x型 二、f(x)=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
方程y
py qy f(x)称为二阶常系数非齐次
线性微分方程 其中p、q是常数
二阶常首系页 数非齐次线性微返回分方程的下页通解是对应的齐 铃 次方程的通解y Y(x)与非齐次方程本身的一个特
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
2b0x2b0b1=x 比 较 系 数 得 b 0 = 1 2 b 1 = 1 故 y * = x ( 1 2 x 1 ) e 2 x
因此所给方程的通解为
y = C 1 e 2 x C 2 e 3 x 1 2 ( x 2 2 x ) e 2 x
其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
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铃
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex应设为m次多项式
Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
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二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解方法
二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解方法
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解求解方法是指利用一般解的特殊形式来求解二阶常
系数非齐次线性微分方程的方法。
特解也称为积分形式解决方案，是求解微分方程的经典
方法之一。
本文旨在介绍二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解方法的基本原理及其应
用方法。
首先，要解决二阶常系数非齐次线性微分方程，需要考虑到方程的形式，即
d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=f(x)（1）
其中，p（x）和q（x）是方程的系数，f（x）是方程的右端项，d^2y/dx^2是导数的二阶导数。
解决（1），需要先将其化为可积分形式，即
(d/dx)[p(x)y]=f(x)-q(x)y (2)
式（2）可以变换为
y=(1/p(x))[d/dx INT[f(x)-q(x)y]dx+C] (3)
其中，INT[f(x)-q(x)y]dx是不定积分，C是常数。
将式（3）带入（2），即可求出y的解。
特别地，当f（x）=0时，式（3）就会变为
y=Cexp[-INT[q(x)]dx/p(x)] (4)
即y的解是一个泛函数。
利用二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解方法，可以求解出不同场合下的一般解及其
特殊解。
如，一般解可以用来求解模式间的变形关系，特殊解可以用来求解瞬态现象的明
确形态及其变化规律。
综上所述，特解求解方法是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的经典方法之一。
它不仅
可以求解出一般解及其特殊解，而且可以有效地解决一些场景无法解决的瞬态问题，是一种非常有效的微分方程求解方法。
二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法讲解
2011年 6月第 25卷第 2期总 84期北京联合大学学报 (自然科学版Journal of Beijing Union University (Natural Sciences Jun．2011Vol．25No．2Sum No．84[收稿日期 ]2010－09－20[作者简介 ]王海菊 (1966— , 女 , 黑龙江人 , 北京联合大学基础部讲师 , 研究方向为应用数学与数学教学。
二阶常系数线性非齐次微分方程特解简易求法王海菊(北京联合大学基础部 , 北京100101[摘要 ]求二阶常系数线性非齐次微分方程特解通常是采用待定系数法 , 计算量很大。
本文在不脱离教材特解的求法 ,利用推导特解过程中出现的重要式子 Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2+p λ+q Q (x =P m (x , 简化待定系数法求特解的过程。
对右端非齐次项e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]是先设变换 , 化简右端非齐次项。
[关键词 ]微分方程 ; 特解 ; 待定系数法 [中图分类号 ]O 241. 8[文献标志码 ]A[文章编号 ]1005-0310(2011 02-0073-03Simplification for Particular Solution of Second Order Linear Non-homogeneous Differential Equation with Constant CoefficientsWANG Hai-ju(Basic Courses Department Of Beijing Union University , Beijing100101, ChinaAbstract :The particular solution of second order linear non-homogeneous differential equation with constant coef-ficients is by means of undermined coefficients , which is relatively complex．Instead of using the method of parti-cular solution in teaching materials , important formula in deducing particular solution is adopted．The solution of the problem can be simplified．Key words :differential equation ; constant coefficients ; particulars0引言一般教材中 , 二阶常系数线性的非齐次方程 yᵡ+py' +qy =f (x (1 的特解采用待定系数法 [1], 计算量很大 , 也很繁琐 ; 有的文献给出特解公式[2-3],又很难记住公式。
第九节 二阶常系数线性非齐次微分方程讲解
y* [2b0 x （2b0 2b1）x b1 ]e2 x
y* [4b0 x2 （8b0 4b1）x 2b0 4b1 ]e2 x代入原方程
高 等 数 学 电 子 教 案
2x [4b0 x2 （ 8b0 4b1）x 2b0 4b1]e2 x 5[2 b0 x （ 2 b0 2 b 1）x b 1] e
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 2 p q 0,2 p 0 (3) 如果特征方程有重根 , 即 等 那么方程(3)左端的次数与Q(x)的次数相同,于是可设 数 学 Q(x)=x2 Qm(x)利用上述的待定系数法确定Qm(x)的 电 子 m+1个系数综上所述,我们有如下的结论: 教 案 如果 f ( x) pm ( x)ex那么二阶常系数非齐次线性方程(1)具有
高 等 数 学 电 子 教 案
通解和非齐次方程(1)的特解 由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解,我们 在第八节中得到解决.所以这里只需要讨论二阶
常系数非齐次线性微分方程的一个特解y*的方法
本节只介绍当方程(1)中的f(x)取两种常见
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
形式时求特解y*的方法.这方法的特点是不用积 分就可以求出y* 来,它叫做待定系数法. f(x)的两种形式是
e x ( 2Q( x) 2Q( x) Q( x)) pe x( Q( x) Q ( x)) qQ( x)e x
pm ( x)e x ( x)(3)
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
Q( x) (2 p)Q( x) ( 2 p q)Q( x) p m( x)(3)
y y 0 r 2 1 0 r i
二阶常数系数非齐次方程解法
二阶常数系数非齐次方程解法二阶常数系数非齐次方程是大学数学课程中的一个重要内容。
在解决实际问题中，常常需要求解这类方程的通解。
本文将着重讲解二阶常数系数非齐次方程的解法。
二阶常数系数非齐次方程的一般形式为$$y''+ay'+by=f(x)$$其中$a$和$b$为常数，$f(x)$为已知函数。
要解决这个方程，我们需要先求解对应的齐次方程$$y''+ay'+by=0$$齐次方程的解为$$y_c=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$$其中$r_1$和$r_2$是齐次方程的特征根，$c_1$和$c_2$是待定系数。
特征根的求法为解方程$$r^2+ar+b=0$$解得$$r_1=\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2},\quad r_2=\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}$$接下来，我们需要利用待定系数法求得非齐次方程的特解。
特解的形式根据$f(x)$的形式而定。
当$f(x)$为多项式时，特解的形式为对应的多项式；当$f(x)$为三角函数时，特解的形式为对应的三角函数；当$f(x)$为指数函数或幂函数时，特解的形式为对应的指数函数或幂函数。
例如，当$f(x)=e^{mx}$时，特解的形式为$y_p=Ae^{mx}$，其中$A$是待定系数。
将特解代入非齐次方程，解出待定系数$A$。
如果特解的形式和齐次方程的解重复，则需要乘上$x$的幂次，直到与齐次方程的解不同为止。
最终的通解为$y=y_c+y_p$。
对于特殊情况，如$f(x)$是多项式乘以指数函数的形式，可以尝试通过变形将其化为多项式或者指数函数加上一个乘积的形式再进行求解。
总之，二阶常数系数非齐次方程的解法需要求解齐次方程和非齐次方程的特解。
通过待定系数法可以求得正确的特解，并得到最终的通解。
在实际问题中，需要仔细分析方程的形式和已知函数的性质，选择合适的解法求解。
pku二阶常系数非齐次特解求法之二
y py qy f ( x)
解法 待定系数法.
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型 0 不是根
设 y x kexQm ( x) , k 1 是单根 , 2 是重根
1/14
(2) f ( x) e x[Pl ( x)cos x Pn( x)sin x] 型
11/14
特征根 r 2 (二重)
求微分方程 y 4 y 4 y eax 的通解.
(2) 求非齐次方程旳特解 (m 0, a)
◆ 当a 2时，即 2 不是特征根.
设特解 y x 0A eax Aeax 且
y Aaeax , y Aa2eax , 将y, y, y
代入方程,
t) f
(t
1)
)dt ,得
初始条件 f (0) 0,即y(0) 0;
又由f (0x) cos 0x 0x f (t)dt,得 0
初始条件 f (0) 1, 即y(0) 1.
8/14
初始条件 y(0) 0, y(0) 1. y y sin x ( 0, 1, Pl ( x) 0, Pn( x) 1)
2/14
f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
设 y py qy P ( x)e( i ) x , y2 xk Qme(i )x
y x kex[Qmeix Qmeix ] 欧拉公式
xkex[Qm (cosx i sinx) Qm (cosx i sinx)]
cos x 0 f (t)dt
积分方程
两端再对x求导,得 f ( x) sin x f ( x) 微分方程
即 f ( x) f ( x) sin x 即 y y sin x
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Q m (x是k +m次多项式,将特解
y *代入方程(1 ,化简并整理得:
Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2+p λ+q Q (x =P m (x。(2
结论
1 λ不是特征方程的根时,取k =0,
2λ+p及λ2
+p λ+q都不为零;
2 λ是特征方程的单根时,取k =1, λ2
2a +(4－5 (2ax +b =x ,
即:
－2ax +2a－b =x。
由待定系数法得:
a =－1
2
, b =－1, Q (x =－
1
2
x 2－x。
因此求得一个特解为:
y *=x－1 2 x－
(1e 2x。求yᵡ－6y' +9y =(x +1 e 3x的特解。
解:由于λ=3,是特征方程的重根,取k =2,则Q' (x , Q (x的系数都为零。
可设特解y *=x 2(ax +b e 3x ,则Q (x =ax 3 +bx 2,将Q (x代入式(2有:
6ax +2b =x +1。
由待定系数法得:
a = 1
6
, b = 1 2 ,
因此求得一个特解为y *=x 2
1
6
x +
(1 2 e 3x。
2f (x =e λx [P l (x cos ωx +P n
,
又很难记住公式。采取以下方法减少运算量,又不偏离教材中求特解的方法。常见的方程右端非齐次项f (x主要有两种类型:
f (x =P m (x e λx及e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]
1
f (x =P m (x e λx
型
解法是设特解y
*
=x k Q m (x e λx =Q (x e λx ,
二阶常系数线性非齐次微分方程
特解简易求法
王海菊
(北京联合大学基础部,北京
100101
[摘要]求二阶常系数线性非齐次微分方程特解通常是采用待定系数法,计算量很大。本文
在不脱离教材特解的求法,
利用推导特解过程中出现的重要式子Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x +(λ2
+p λ+q Q (x =P m (x ,简化待定系数法求特解的过程。对右端非齐次项e λx [P l (x cos ωx +P n (x sin ωx ]是先设变换,化简右端非齐次项。[关键词]微分方程;特解;待定系数法[中图分类号]O 241. 8
可,不需求y *的一阶,二阶导数,可以大大简化此
类题的计算量。以教材[1]中例题或习题为例。求
yᵡ－2y' +y =(2x +1 e－x的特解。
解:由于λ=－1,不是特征方程的单根,取k
=0。
设特解y *=(ax +b e－x ,则Q (x =ax +b ,
将Q (x代入式(2有:
(－2－2 a +(1+2+1 (ax +b =2x +1,
(x
sin ωx ]型特解可设为:
y *=x k e λx [R (1 m (x cos ωx +R (2
m
(x sin ωx ]。
主要是当λ≠ 0时,用待定系数法求特解是很麻烦的。
不妨先设变换y =e λx u (x代入式(1 ,消去e λx ,得到一个与式(2极相似的式子uᵡ (x +(2λ
WANG Hai-ju
(Basic Courses Department Of Beijing Union University , Beijing
100101, China
Abstract :The particular solution of second order linear non-homogeneous differential equation with constant coef-ficients is by means of undermined coefficients , which is relatively complex．Instead of using the method of parti-cular solution in teaching materials , important formula in deducing particular solution is adopted．The solution of the problem can be simplified．
Key words :differential equation ; constant coefficients ; particulars
0引言
一般教材中,二阶常系数线性的非齐次方程yᵡ
+py' +qy =f (x (1的特解采用待定系数法[1]
,计算量很大,也很繁琐;有的文献给出特解公式
[2-3]
+p λ+
q =0,此时式(2就简化为Qᵡ (x +(2λ+p Q' (x =P m (x ;
3 λ是特征方程的重根时,取k =2, λ2+p λ+
q =0,且2λ+p =0,此时式(2就简化为Qᵡ (x =P m (x。
北京联合大学学报(自然科学版2011年6月
可见利用式(2 ,只需求Q' (x及Qᵡ (x即
[文献标志码]A
[文章编号]1005-
0310(2011 02-0073-03Simplification for Particular Solution of Second Order Linear
Non-homogeneous Differential Equation with Constant Coefficients
即:
4ax－4a +4b =2x +1。
由待定系数法得:
a = 1
(x =
1
2
x + 3 4。
因此求得一个特解为y *=
1
2
x +
(3 4 e－x ,
求yᵡ－5y' +6y =x e 2x的特解。
解:由于λ=2,是特征方程的单根,取k =1, Q (x的系数为零。
设特解y *=x (ax +b e 2x ,则Q (x =ax 2+ bx ,将Q (x代入式(2有:
2011年6月
第25卷第2期总84期北京联合大学学报(自然科学版
Journal of Beijing Union University (Natural Sciences Jun．2011
Vol．25No．2Sum No．84
[收稿日期]2010－09－20
[作者简介]王海菊(1966— ,女,黑龙江人,北京联合大学基础部讲师,研究方向为应用数学与数学教学。