立体几何经典难题汇编

立体几何难题汇编1

1. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体的以下判断中，所有正确的结论个数是（）

①能构成矩形；

②能构成不是矩形的平行四边形；

③能构成每个面都是等边三角形的四面体；

④能构成每个面都是直角三角形的四面体；

⑤能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体．

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】证明题．

【分析】画出图形，分类找出所有情况即可．

【解答】解：作出正方体：

在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体z只能有以下四种情况：

①任意一个侧面和对角面皆为矩形，所以正确；

③四面体A

1-BC1D是每个面都是等边三角形的四面体，所以正确；

④四面体B

1-ABD 的每个面都是直角三角形，所以正确；

⑤四面体A

1-ABD 的三个面都是等腰直角三角形，第四个面A1BD是等边三角

形．

由以上可知：不能构成不是矩形的平行四边形，故②不正确．

综上可知：正确的结论个数是4．

故选C．

【点评】全面了解正方体中的任意四个顶点构成的四面体和平面四边形是解题的关键．

【解答】

解：作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，则AD ⊥平面BEC ，所以CE ⊥AD ， 由题设，B 与C 都是在以AD 为焦点的椭圆上， 且BE 、CE 都垂直于焦距AD ，

AB+BD=AC+CD=2a ，显然△ABD ≌△ACD ，所以BE=CE ．

取BC 中点F ，∴EF ⊥BC ，EF ⊥AD ，要求四面体ABCD 的体积的最大值， 因为AD 是定值，只需三角形EBC 的面积最大，因为BC 是定值，所以只需EF 最大即可，

当△ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a ， ∴AB=a ，所以EB=

EF=

所以几何体的体积为：

． 故答案为：

【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能

力以及计算能力．

4. 如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，已知在直角三角形ABC 中，BC=1，AC=2， AB= ．该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1）A ∈l ， （2）C ∈α．则B 、O 两点间的最大距离为 _________.

22.a c -22 1.a c --2222112*21*2* 1.

323a c c c a c --=--222 1.

3c a c --5

【考点】点、线、面间的距离计算．

【专题】转化思想．

【分析】先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O 为原点，OA

为y 轴，OC 为x 轴建立直角坐标系，B 、O 两点间的距离表示处理，结合三角函数的性质求出其最大值即可．

【解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决， 以O 为原点，OA 为y 轴，OC 为x 轴建立直角坐标系，如图． 设∠ACO=θ，B （x ，y ），则有：

x=ACcosθ+BCsinθ=2cosθ+sinθ，y=BCcosθ=cosθ． ∴x 2+y 2=4cos 2θ+4sinθcosθ+1=2cos2θ+2sin2θ+3 =2 sin （2θ+ ）+3，

当sin （2θ+ ）=1时，x 2+y 2最大，为 +3，

则B 、O 两点间的最大距离为1+ . 故答案为：1+ ．

【点评】本题考查了点、线、面间的距离计算，解答关键是将空间几何问题转化为平面几何问题解决，利用三角函数的知识求最大值．

2224π4π2

5. 如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为4，C在平面α内，B是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为

（）

A．4+2

B．

2C．4 D

．4

A．①B．①②C．①③D．②③

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】本题利用画图结合运动变化的思想进行分析．我们不妨先将 A、B、C 按如图所示放置，容易看出此时 BC＜AB=AC．

现在，我们将 A 和 B 往上移，并且总保持 AB=AC（这是可以做到的，只

要 A、B 的速度满足一定关系），而当A、B 移得很高很高时，就得到①和②都是正确的．至于③，结合条件利用反证法的思想方法进行说明即可．

【解答】解：我们不妨先将 A、B、C 按如图所示放置．

容易看出此时 BC＜AB=AC．

现在，我们将 A 和 B 往上移，并且总保持 AB=AC（这是可以做到的，只

要 A、B 的速度满足一定关系），而当A、B 移得很高很高时，不难想象△ABC 将会变得很扁，也就是会变成顶角A“非常钝”的一个等腰钝角三角形．于是，在移动过程中，总有一刻，使△ABC 成为等边三角形，亦总有另一刻，使△ABC 成为直角三角形（而且还是等腰的）．

这样，就得到①和②都是正确的．

至于③，如图所示．

为方便书写，称三条两两垂直的棱所共的顶点为⊤．

假设 A 是⊤，那么由 AD⊥AB，AD⊥AC 知 L

3⊥△ABC，从而△ABC 三边的长

就是三条直线的距离 4、5、6，这就与 AB⊥AC 矛盾．同理可知 D 是⊤时也矛盾；

假设 C 是⊤，那么由 BC⊥CA，BC⊥CD 知 BC⊥△CAD，而 l

1∥△CAD，

故 BC⊥l

1，从而 BC 为 l1与 l2的距离，于是 EF∥BC，EF=BC，这样就得

到 EF⊥FG，矛盾．同理可知 B 是⊤时也矛盾．

综上，不存在四点A

i（i=1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处

的三条棱两两互相垂直的四面体．

故选B．

【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于难题．