新人教A版新教材学高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语集合的概念讲义

最新课程标准：（１）通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．（２）针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．

知识点一集合的概念

１．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．

２．集合：把一些元素组成的总体叫做集合．

３．集合中元素的特征

特征含义

确定性集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准

互异性给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同

一个元素不能重复出现

无序性集合中的元素无先后顺序之分

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．

错误!集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以

是点，也可以是一些人或一些物．

知识点二元素与集合的表示及关系

１．元素与集合的符号表示

表示错误!

２．元素与集合的关系

错误!对元素和集合之间关系的两点说明

１．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A 而言，只有“a∈A ”与“a∉A ”这两种结果．

２．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．

３．数学中一些常用的数集及其记法

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；

全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N＋；

全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；

全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；

全体实数组成的集合称为实数集，记作R.

知识点三集合的表示

１．列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

２．描述法

一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成

的集合表示为{x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．

错误!

１．列举法表示集合时的４个关注点

（１）元素与元素之间必须用“，”隔开．

（２）集合中的元素必须是明确的．

（３）集合中的元素不能重复．

（４）集合中的元素可以是任何事物．

２．描述法表示集合时的３个关注点

（１）写清楚集合中元素的符号，如数或点等；

（２）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；

（３）不能出现未被说明的字母．

[教材解难]

１．教材P２思考

例（３）到例（6）都能组成集合

例（３）中的元素为“每一个正方形”

例（４）中的元素为“到直线l的距离等于定长d的所有点”

例（５）中的元素为“方程x２—３x＋２＝0的所有实数根”

例（6）中的元素为“地球上的四大洋”

２．教材P３思考

（１）能，大于等于0且小于等于9的３的倍数．

（２）不能，不等式x—7<３的解集是x<１0，元素有无数个，列举不完．

３．教材P５思考

用自然语言、列举法和描述法表示集合时各有各的特点，自然语言只需表达出集合中元素的共同特征，不受形式的限制．列举法和描述法是集合语言，有严格的格式要求．其中列举法非常明确地列出组成集合的元素，适用于表示元素个数较少的集合，但是不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如不等式x—１>0的解集；描述法清

楚地表述了元素的共同特征，适用于表示无限集或元素个数较多的有限集，但是不容易看出集合的具体元素．

[基础自测]

１．下列能构成集合的是（）

Ａ．中央电视台著名节目主持人

Ｂ．我市跑得快的汽车

Ｃ．上海市所有的中学生

Ｄ．香港的高楼

解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．

答案：C

２．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是（）

Ａ．M＝{π}，N＝{３．１４１５9}

Ｂ．M＝{２,３}，N＝{（２,３）}

Ｃ．M＝{x|—１

Ｄ．M＝{１，错误!，π}，N＝{π，１，|—错误!|}

解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,１}，只有D是正确的．

答案：D

３．集合{x∈N*|x—３<２}的另一种表示法是（）

Ａ．{0,１,２,３,４} Ｂ．{１,２,３,４}

Ｃ．{0,１,２,３,４,５} Ｄ．{１,２,３,４,５}

解析：∵x—３<２，x∈N*，

∴x<５，x∈N*，

∴x＝１,２,３,４．故选Ｂ．

答案：B

４．设—５∈{x|x２—ax—５＝0}，则集合{x|x２＋ax＋３＝0}＝________.

解析：由题意知，—５是方程x２—ax—５＝0的一个根，

所以（—５）２＋５a—５＝0，得a＝—４，

则方程x２＋ax＋３＝0，

即x２—４x＋３＝0，

解得x＝１或x＝３，

所以{x|x２—４x＋３＝0}＝{１,３}．

答案：{１,３}

题型一集合的概念[经典例题]

例１下列对象能构成集合的是（）

Ａ．高一年级全体较胖的学生

Ｂ．sin ３0°，sin ４５°，cos 60°，１

Ｃ．全体很大的自然数

Ｄ．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点

【解析】由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin ３0°＝cos 60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选Ｄ．

【答案】D

构成集合的元素具有确定性．

方法归纳

判断一组对象组成集合的依据

判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．

跟踪训练１下列各项中，不可以组成集合的是（）

Ａ．所有的正数