高中数学必修五2-2-1课件
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高中数学必修5课件：第2章2-1-2数列的性质和递推关系
n 3n＋1
为递
增数列．
数学 必修5
第二章 数列
方法二：∵n∈N*，∴an>0，
n＋1
∵
an＋1 an
＝
3n＋4 n
＝
n＋13n＋1 3n＋4n
＝
3n2＋4n＋1 3n2＋4n
＝1＋
1 3n2＋4n
3n＋1
>1，∴an＋1>an，∴数列3nn＋1为递增数列．
数学 必修5
第二章 数列
方法三：令f(x)＝3x＋x 1(x≥1)，则 f(x)＝133x3＋x＋1－1 1＝131－3x＋1 1， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列3nn＋1是递增数列．
数学 必修5
第二章 数列
(2)∵bn＝aan＋n 1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58. 故b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
数学 必修5
第二章 数列
数列的单调性问题
已知数列{an}的通项公式为an＝
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝
an an＋1
构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}
的前4项．
数学 必修5
第二章 数列
解析： (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
4分 6分 8分
10分
12分
数学 必修5
第二章 数列
2021学年高中数学人教A版必修5课件：课时作业+2-2-1+等差数列的定义及通项公式
C．1
1 D.2
解析：因为{an}是等差数列，a1 与 a2 的等差中项为 1，a2 与 a3 的等差中项为 2，所以 a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得 a3－a1＝2d＝4－2，解得 d＝1.
5．在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在相邻两项之间各 插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为( B )
2．若△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，则 cos(A＋
C)＝( C )
1
3
A.2
B. 2
C．－12
D．－
3 2
解析：因为 A，B，C 成等差数列，所以 A＋C＝2B.又因为 A＋B＋C＝π，所以 A＋C＝23π，故 cos(A＋C)＝－12.
3．等差数列的相邻 4 项是 a＋1，a＋3，b，a＋b，那么 a，
所以x1n是等差数列． (2)由(1)知x1n＝x11＋(n－1)×13 ＝2＋n－3 1＝n＋3 5. 所以x1100＝1003＋5＝35.所以 x100＝315.
——能力提升类—— 12．一个首项为 23，公差为整数的等差数列，从第 7 项开始
为负数，则它的公差是( C )
A．－2 B．－3 C．－4 D．－6
(3)λan＋a1n≥λ 对任意的 n≥2 恒成立， 即3n－λ 2＋3n－2≥λ 对任意的 n≥2 恒成立， 整理，得 λ≤33nn－－232对任意的 n≥2 恒成立． 令 f(n)＝33nn－－232， 则 f(n＋1)－f(n)＝3n3＋n12－33nn－－232 ＝9n32n－n9－n－1 1＝3－3nn1－1.
二、填空题 7．若 m 和 2n 的等差中项为 4,2m 和 n 的等差中项为 5，则 m
与 n 的等差中项是 3 .
高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
数学 必修5
第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
数学 必修5
第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组．
数学 必修5
第二章 数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层 等腰梯形
数学 必修5
第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？
数学 必修5
第二章 数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)， 当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.
高中数学第二章数列2.2.1等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教B版必修5
【导学号：18082024】
第二十三页，共42页。
【解】 由题意可知，，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项 a1＝200，公差 d ＝－20.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20) ＝－20n＋220. 若 an<0，则该公司经销这一产品将亏损， 由 an＝－20n＋220<0，解得 n>11， 即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损.
解得
a1＝1， d＝3
或
a1＝16， d＝－3，
∴d＝3 或－3.
第三十一页，共42页。
法二：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48，及 a2＋a24＝a3＋a23＝2a13. 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34，及 a3＋a4＝a2＋a5 得 2(a2＋a5)＝34， 即 a2＋a5＝17. 解aa22＋·a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝＝41.3， ∴d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－－2a2＝4－313＝－3.
第十九页，共42页。
【自主解答】 由题图可知，从第 1 年到第 6 年平均每个养鸡场出产的鸡
数成等差数列，记为{an}，公差为 d1，且 a1＝1，a6＝2；从第 1 年到第 6 年的养 鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为 d2，且 b1＝30，b6＝10；从第 1 年到 第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则 cn＝anbn.
第九页，共42页。
4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________. 【解析】 在等差数列{an}中，由于 a7＋a9＝a4＋a12，所以 a12＝(a7＋a9)－ a4＝16－1＝15. 【答案】 15
第二十三页，共42页。
【解】 由题意可知，，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项 a1＝200，公差 d ＝－20.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20) ＝－20n＋220. 若 an<0，则该公司经销这一产品将亏损， 由 an＝－20n＋220<0，解得 n>11， 即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损.
解得
a1＝1， d＝3
或
a1＝16， d＝－3，
∴d＝3 或－3.
第三十一页，共42页。
法二：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48，及 a2＋a24＝a3＋a23＝2a13. 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34，及 a3＋a4＝a2＋a5 得 2(a2＋a5)＝34， 即 a2＋a5＝17. 解aa22＋·a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝＝41.3， ∴d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－－2a2＝4－313＝－3.
第十九页，共42页。
【自主解答】 由题图可知，从第 1 年到第 6 年平均每个养鸡场出产的鸡
数成等差数列，记为{an}，公差为 d1，且 a1＝1，a6＝2；从第 1 年到第 6 年的养 鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为 d2，且 b1＝30，b6＝10；从第 1 年到 第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则 cn＝anbn.
第九页，共42页。
4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________. 【解析】 在等差数列{an}中，由于 a7＋a9＝a4＋a12，所以 a12＝(a7＋a9)－ a4＝16－1＝15. 【答案】 15
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6பைடு நூலகம்2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值
高中数学 1-2-1距离问题课件 新人教A版必修5
思路方法技巧
命题方向 正、余弦定理在生产、生活中不易到达点测 距中的应用 [例 1] 要测量河对岸两个建筑物 A、B 之间的距离，
选取相距 3 km 的 C、D 两点，并测得∠ACB＝75° ，∠ BCD＝45° ，∠ADC＝30° ，∠ADB＝45° ，求 A、B 之间的距 离．
[解析] 30° ，
21 AD 在△ACD 中，sin60° sinα， ＝ 21×sinα ∴AD＝ sin60° ＝15(千米)． 答：这个人再走 15 千米就可以到达 A 城．
课堂巩固训练
在一个很大的湖边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由 于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成 15° 角，速 度为 2.5 km/h，同时岸上一人从同一地点开始追小船，已知他 在岸上跑的速度为 4 km/h，水中游的速度为 2 km/h，问此人能 否追上小船？若小船速度改变，则小船能被追上的最大速度是 多少？
学习要点点拨
1．解三角形应用题的基本思路 (1)建模思想 解三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中 抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角 形边角的大小，从而得出实际问题的解．这种数学建模思想， 从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数 学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实 际问题的解，用流程图可表示为：
[解析]
在△ABC 中，BC＝30，B＝30° ，∠ACB＝135° ，
∴∠BAC＝15° ， BC AC 30 AC 由正弦定理 ＝ 即： ＝ ， sinA sinB sin15° sin30° ∴AC＝60cos15° ＝60cos(45° －30° ) ＝60(cos45° cos30° ＋sin45° sin30° )＝15( 6＋ 2) ∴A 到 BC 的距离为 d＝ACsin45° ＝15( 3＋1)， ≈40.98 海里>38 海里， 所以继续向南航行， 没有触礁危险．
高中数学必修5课件：第2章2-5-1等比数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40. 求公比q，a1及n.
解析： 显然公比q≠1，由已知可得：
a1q2－a1＝8， aa11q115－－－qaq1nq＝3＝4201，6，
a1＝1， 解得q＝3，
n＝4.
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第二章 数列
等比数列前n项和的基本运算
第二章 数列
新课引入
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富 人一口应承了下来，但提出了如下条件：在 30 天中，每天借给穷 人 10 万元．借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天，还 2 分钱，以 后每天所还的钱数都是前一天的 2 倍，30 天后，互不相欠．穷人 听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬 出了名的，怕上当受骗，所以很为难．本节课我们来想个办法帮 助这个穷人.
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第二章 数列
(2)由题意知：SS奇 奇＋ －SS偶 偶＝ ＝－ 802，40， ∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106， 0. ∴公比q＝SS偶 奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
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第二章 数列
用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
∴aa111111－ －－ －qqqq36＝ ＝7262， 3.
① ②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①中得a1＝12， ∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.
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第二章 数列
(3)由Sn＝
a11－qn 1－q
高中数学必修5课件：第2章2-2-2等差数列的性质
(4)形如a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…的抽取， 实 际 上 是 3a2,3a5,3a8… 当 然 成 等 差 数 列 ． 对 于 每 2 项 ， 4 项 ， 5 项…抽取，道理是相同的．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
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第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
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第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
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第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
数学 必修5
第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
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第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
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第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
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第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
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第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
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第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
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第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
高中数学选择性必修二(人教版)《5.2.1 基本初等函数的导数》课件
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
f(x)＝ln x
导函数 f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝_c_o_s_x__ f′(x)＝－__s_i_n_x_ f′(x)＝a_x_l_n_a_
f′(x)＝_e_x
1 f′(x)＝x_l_n__a
1 f′(x)＝_x_
[微提醒] 对公式 y＝xα 的理解 (1)y＝xα 中，x 为自变量，α 为常数； (2)它的导数等于指数 α 与自变量的(α－ y＝x 3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x＝2 所围成的三角形的
面积为
()
A.53
B.89
25
4
C.12
D.12
解析：可求得
y′＝23x
－1 3
，
即 y′|x＝1＝23，切线方程为 2x－3y＋1＝0，
与 x 轴的交点坐标为－12，0，
与 x＝2 的交点坐标为2，53，
化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长 x 变化时，其体积关于 x 的变化率是立方体表面积的多少？ 解：立方体的体积 V(x)＝x3，表面积 S(x)＝6x2. 因为 V′(x)＝(x3)′＝3x2， 所以其体积关于 x 的变化率为 3x2，是立方体表面积的12.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
(4)y＝sinπ2＋x.
(2)y′＝4xln 4.
(3)y′＝xln1 3.
(4)∵y＝sinπ2＋x＝cos x， ∴y′＝－sin x.
[方法技巧] 求函数的导数的常见类型及解题技巧
(1)对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和 差形式．
(2)对于根式型函数，可考虑进行有理化变形． (3)对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式． (4)对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低， 结构尽量简单，从而便于求导．
f(x)＝ln x
导函数 f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝_c_o_s_x__ f′(x)＝－__s_i_n_x_ f′(x)＝a_x_l_n_a_
f′(x)＝_e_x
1 f′(x)＝x_l_n__a
1 f′(x)＝_x_
[微提醒] 对公式 y＝xα 的理解 (1)y＝xα 中，x 为自变量，α 为常数； (2)它的导数等于指数 α 与自变量的(α－ y＝x 3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x＝2 所围成的三角形的
面积为
()
A.53
B.89
25
4
C.12
D.12
解析：可求得
y′＝23x
－1 3
，
即 y′|x＝1＝23，切线方程为 2x－3y＋1＝0，
与 x 轴的交点坐标为－12，0，
与 x＝2 的交点坐标为2，53，
化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长 x 变化时，其体积关于 x 的变化率是立方体表面积的多少？ 解：立方体的体积 V(x)＝x3，表面积 S(x)＝6x2. 因为 V′(x)＝(x3)′＝3x2， 所以其体积关于 x 的变化率为 3x2，是立方体表面积的12.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
(4)y＝sinπ2＋x.
(2)y′＝4xln 4.
(3)y′＝xln1 3.
(4)∵y＝sinπ2＋x＝cos x， ∴y′＝－sin x.
[方法技巧] 求函数的导数的常见类型及解题技巧
(1)对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和 差形式．
(2)对于根式型函数，可考虑进行有理化变形． (3)对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式． (4)对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低， 结构尽量简单，从而便于求导．
高中数学必修5课件：第2章2-2-1等差数列
第二章 数列
解析： (1)证明：bn＋1－bn＝an＋11－2－an－1 2 ＝4－a41n－2－an－1 2＝2aan－n 2－an－1 2 ＝2aann－－22＝12. 又b1＝a1－1 2＝12， ∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．
数学 必修5
第二章 数列
(2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n. ∵bn＝an－1 2，∴an＝b1n＋2＝2n＋2. ∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋2.
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] 方法一：设等差数列{an}的前三项分别为
a1，a2，a3.依题意得aa11·＋a2a·a23＋＝a63＝6，18，
∴a31a·1＋a1＋3dd＝·1a81，＋2d＝66，
2分
解得ad1＝＝－115 或ad1＝＝51.，
6分
数学 必修5
第二章 数列
∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0. 故取a1＝11，d＝－5， ∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16. 即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16. 令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10. ∴－34是数列{an}的项，且为第10项.
由aa190<>11，， 得221155＋＋98dd><11，，
解得785<d<235.
故选 C. 【错因】 在解决本题时，必须深刻理解“从第10项起开
始比1大”的含义．尤其是“开始”这个词，它不仅表明 “a10>1”，而且还隐含了“a9≤1”这一条件，所对上述两个错 解都未从题干中彻底地挖掘出隐含条件．
第二章 数列
4．已知三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方 和为116，求这三个数．
高中数学选择性必修二 课件 5 2 1基本初等函数的导数 5 2 2导数的四则运算法则课件(共张)
[跟进训练] 3．如图中有一个图象是函数 f (x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R， 且 a≠0)的导函数的图象，则 f (－1)＝( )
(1)
(2)
(3)
A．13 B．－13 C．73 D．－13或53
B [f ′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，图(1)与图(2) 中，导函数的图象的对称轴都是 y 轴，此时 a＝0，与题设不符合， 故图(3)中的图象是函数 f (x)的导函数的图象．由图(3)知 f ′(0)＝0，由 根与系数的关系得－ a＋a＋ 11a－－1a＝－01，＞0， 解得 a＝－1.故 f (x)＝13x3 －x2＋1，所以 f (－1)＝－13.]
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二 是注意函数符号的变化.
1．给出下列命题：
①y＝ln 2，则 y′＝12；
②y＝x12，则 y′|x＝3＝－227；
③y＝2x，则 y′＝2xln 2； ④y＝log2x，则 y′＝xln1 2.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3
合作 探究 释疑 难
利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数．
(1)y＝cos
π6；(2)y＝x15；(3)y＝
x2 ； x
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cosπ2－x.
[解] (1)∵y＝cos π6＝ 23，∴y′＝0. (2)∵y＝x15＝x－5，∴y′＝－5x－6. (3)∵y＝ x2x＝x12＝x32，∴y′＝32x12.
【例 2】 求下列函数的导数： (1)y＝x3＋sin x；(2)y＝3x2＋xcos x；(3)y＝xx＋ －11. [解] (1)y′＝(x3＋sin x)′＝(x3)′＋(sin x)′＝3x2＋cos x. (2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝(3x2)′＋(xcos x)′ ＝3×2x＋x′cos x＋x(cos x)′ ＝6x＋cos x－xsin x. (3)y′＝xx＋ －11′＝x＋1′x－1x－－1x2＋1x－1′＝－x－212.
高中数学课件-1-2-1-1等差数列的概念和通项公式 课件(北师大版必修5)
§2 等差数列
第一章 数列
进入导航
2.1 等差数列
第一章 数列
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第1课时 等差数列的概念和通项公式
预习篇 课堂篇 提高篇
巩固篇 课时作业
第一章 数列
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学习目标
1.理解等差数列的特点与定义，掌握等差数列的判断 方法.
2.记住等差数列的概念、等差数列的通项公式，并能 运用通项公式解决一些简单问题.
第一章 数列
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【尝试解答】 数列5,8,11，…记为{an}，数列 3,7,11，…记为{bm}，则an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2，bm＝3＋ (m－1)·4＝4m－1.
令an＝bm，得3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)， 即n＝43m－1(n，m∈N＋)． 要使n为正整数，m必须是3的倍数，记m＝3k(k∈N＋)． ∴n＝43·3k－1＝4k－1.
第一章 数列
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理解等差数列的定义需注意以下问题： (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含 义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且 必须从第2项起，以便保证数列中各项均与其前一项作差． (2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后 面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
第一章 数列
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规律方法 求解时要紧紧抓住“同一个常数”这个条件，本例中 的第2小题是从第2项开始的等差数列，即1，2，3，…n构 成等差数列，但整个数列不是等差数列.
第一章 数列
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根据下列数列的通项公式an，判断各数列是否为等差 数列：
(1)an＝3n＋5；(2)an＝n2.
第一章 数列
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2.1 等差数列
第一章 数列
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第1课时 等差数列的概念和通项公式
预习篇 课堂篇 提高篇
巩固篇 课时作业
第一章 数列
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学习目标
1.理解等差数列的特点与定义，掌握等差数列的判断 方法.
2.记住等差数列的概念、等差数列的通项公式，并能 运用通项公式解决一些简单问题.
第一章 数列
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【尝试解答】 数列5,8,11，…记为{an}，数列 3,7,11，…记为{bm}，则an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2，bm＝3＋ (m－1)·4＝4m－1.
令an＝bm，得3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)， 即n＝43m－1(n，m∈N＋)． 要使n为正整数，m必须是3的倍数，记m＝3k(k∈N＋)． ∴n＝43·3k－1＝4k－1.
第一章 数列
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理解等差数列的定义需注意以下问题： (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含 义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且 必须从第2项起，以便保证数列中各项均与其前一项作差． (2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后 面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
第一章 数列
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规律方法 求解时要紧紧抓住“同一个常数”这个条件，本例中 的第2小题是从第2项开始的等差数列，即1，2，3，…n构 成等差数列，但整个数列不是等差数列.
第一章 数列
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根据下列数列的通项公式an，判断各数列是否为等差 数列：
(1)an＝3n＋5；(2)an＝n2.
(人教版)高中数学必修5课件：第1章 解三角形1.1.2
高效测评 知能提升
[问题3] 你会利用向量求边AC吗？ [提示] 会．|B→A|＝3，|B→C|＝2，〈B→A，B→C〉＝60°. A→C2＝(B→C－B→A)2 ＝B→C2－2B→C·B→A＋B→A2 ＝22－2×2×3×cos 60°＋32 ＝7. ∴|A→C|＝ 7，即边AC为 7.
数学 必修5
1．利用余弦定理解三角形的步骤： (1) 两边和它们的夹角 余―弦――定→理 另一边 余―正 弦―弦 定――定 理―理 推→论 另两角
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．利用余弦定理解三角形的注意事项： (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是 三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”． (2)已知三边及一角求另两角时，可利用余弦定理的推论也 可利用正弦定理求解．利用余弦定理的推论求解运算较复杂， 但较直接；利用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范围， 这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判 断，尽可能减少出错的机会．
6－ 2
2，
故A＝60°时，C＝75°，c＝
6＋ 2
2或A＝120°时，
C＝15°，c＝
6－ 2
2 .
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
已知两边及一边对角解三角形的方法及注意 事项
(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要 根据题目条件优先选择使用哪个定理．
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
高中数学 第二章 2.2(一)等差数列(一)课件 新人教A版必修5
第十六页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高
效 例2
已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，a＋b c，a＋c b也
成等差数列．
证明 ∵1a，1b，1c成等差数列，
本
∴2b＝1a＋1c，即 2ac＝b(a＋c)．
讲 栏 目
∵b＋a c＋a＋c b＝cb＋c＋acaa＋b＝c2＋a2＋acba＋c
开 关
(5)1,2,5,8,11，….
第七页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
解 (1)是等差数列，a1＝4，d＝3；
(2)是等差数列，a1＝31，d＝－6；
本 讲
(3)是等差数列，a1＝0，d＝0；
栏 目
(4)是等差数列，a1＝a，d＝－b；
开 关
(5)不是等差数列，a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴a2－a1≠a3－a2.
高效 探究 若数列{an}满足：an＋1＝an＋2an＋2，求证：{an}是等差
数列．
证明 ∵an＋1＝an＋2an＋2
本
⇔2an＋1＝an＋an＋2
讲 栏
⇔an＋2－an＋1＝an＋1－an
目
开 关
∴an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1(常数)．
∴{an}是等差数列．
第十三页，共25页。
跟踪训练 2 已知 a，b，c 成等差数列，那么 a2(b＋c)，b2(c
＋a)，c2(a＋b)是否能构成等差数列？
证明 ∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b.
本 ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b
讲 栏
＝(a2b＋c2b)＋(a2c＋c2a)＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)
福建省晋江市季延中学人教版高中数学必修五课件：2-2-2等差数列的性质
②等差数列的前n项和公式类同于 梯形的面积公式 ； ③{an}为等差数列 Sn=an2+bn ，这是一个关于 n 的
没有 常数项 的“ 二次函数 （” 注意 a 还可以是 0）
例1 已知数列{an}中Sn=2n2+3n， 求证：{an}是等差数列.
三、课堂练习
等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n 项为an，前n项和为Sn，请填写下表：
可求出 另外一个
简言之————“知三求四”
等差数列的性质
1. {an}为等差数列
an+1- an=d
an+1=an+d
an= a1+(n-1) d an= kn + b（k、b为常数）
2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项AA
2b= a+c
【说明】
3.更一般的情形，an= am+(n - m) d ，d=
复习巩固：
一、判定题：下列数列是否是等差数列？
①. 9 ，7，5，3，……, -2n+11， ……； √
②. -1，11，23，35，……,12n-13，……； √ ③. 1，2，1，2，………………； × ④. 1，2，4，6，8，10， ……； × ⑤. a, a, a, a, ……， a，…… ； √
4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
am+an=ap+aq
注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；
②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，如a1+a2=a3 成立吗？
例题分析
例1. 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间
没有 常数项 的“ 二次函数 （” 注意 a 还可以是 0）
例1 已知数列{an}中Sn=2n2+3n， 求证：{an}是等差数列.
三、课堂练习
等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n 项为an，前n项和为Sn，请填写下表：
可求出 另外一个
简言之————“知三求四”
等差数列的性质
1. {an}为等差数列
an+1- an=d
an+1=an+d
an= a1+(n-1) d an= kn + b（k、b为常数）
2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项AA
2b= a+c
【说明】
3.更一般的情形，an= am+(n - m) d ，d=
复习巩固：
一、判定题：下列数列是否是等差数列？
①. 9 ，7，5，3，……, -2n+11， ……； √
②. -1，11，23，35，……,12n-13，……； √ ③. 1，2，1，2，………………； × ④. 1，2，4，6，8，10， ……； × ⑤. a, a, a, a, ……， a，…… ； √
4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
am+an=ap+aq
注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；
②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，如a1+a2=a3 成立吗？
例题分析
例1. 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间
高中数学5-1-2导数的概念及其几何意义第1课时导数的概念课件新人教A版选择性必修第二册
【解题探究】利用导数的定义求解．
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔyx＝f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)； (3)求极限Δlxim→0ΔΔyx.
导数的定义的变形形式 Δlxi→m0f(x0－－ΔxΔ)－x f(x0)＝Δlxi→m0f(x0＋nnΔΔxx)－f(x0)＝Δlxi→m0f(x0＋Δx)2－Δxf(x0－Δx) ＝f′(x0)．
3．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为 ( )
A．Δx＋2
B．Δx＋3
C．2Δx＋(Δx)2
D．3Δx＋(Δx)2
【答案】B 【解析】Δy＝(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－12－1＝(Δx)2＋3Δx，所以ΔΔyx＝
(Δx)2Δ＋x 3Δx＝Δx＋3.
导数的概念(瞬时变化率)
函数 f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋Δx3(Δx)2＝6x0＋ 3Δx.
【解题探究】直接利用概念求解．
求平均变化率的策略 (1)求 Δy 时，要把 f(Δx＋x)和 f(x)表示出来，再作差． (2)求平均变化率时，先计算自变量和函数值的改变量 Δx＝x1－x0，Δy ＝f(x1)－f(x0)，再利用公式ΔΔyx＝f(xx1)1－ －fx(0x0)求出平均变化率．
lim (6＋3Δx)＝6.
Δx→0
2．设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________. 【答案】1 【解析】Δlxim→0a(－1＋Δx)3＋Δ2－x [a·(－1)3＋2]＝Δlxi→ m0(aΔx2－3aΔx＋3a) ＝3a＝3，∴a＝1.
课堂互动
题型1 求函数的平均变化率
高中数学第五章三角函数5-2三角函数的概念5-2-1三角函数的概念课件新人教A版必修第一册
sin α cos α tan α
助学批注 批注❶ 是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与 角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 批注❷ 三角函数值在各象限的符号由α的终边所在的象限决定． 批注❸ 作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0～2 π(或 0°～360°)范围内的三角函数值．
基础自测 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( × ) (2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝yr，且y越大，sin α的值越大．( × ) (3)已知α是三角形的内角，则必有cos α＞0.( × ) (4)若sin α＞0，则α一定在第一或第二象限．( × )
136π＋tan
(－173π)＋sin
33
6π＝____2____．
解＝c析os：π6c＋osta1n36ππ3＋＋tsainn
(－173π)＋sin 2π
6π＝cos
(2π＋π6)＋tan
(－6π＋π3)＋sin
(4π＋2π)
＝
3 2
+
3＋0
＝323.
方法归纳
判断三角函数值符号的步骤
巩固训练2 已知角α为第三象限角，则点P(tan α，sin α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：D
解析：∵角α为第三象限角，tan α＞0，sin α＜0， ∴点P(tan α，sin α)在第四象限．
题型 3 诱导公式一的应用
5.2.1 三角函数的概念
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准 (1)理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值．(2)掌握任意角 三角函数在各象限的符号．(3)掌握三角函数诱导公式一并会应用．
助学批注 批注❶ 是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与 角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 批注❷ 三角函数值在各象限的符号由α的终边所在的象限决定． 批注❸ 作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0～2 π(或 0°～360°)范围内的三角函数值．
基础自测 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( × ) (2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝yr，且y越大，sin α的值越大．( × ) (3)已知α是三角形的内角，则必有cos α＞0.( × ) (4)若sin α＞0，则α一定在第一或第二象限．( × )
136π＋tan
(－173π)＋sin
33
6π＝____2____．
解＝c析os：π6c＋osta1n36ππ3＋＋tsainn
(－173π)＋sin 2π
6π＝cos
(2π＋π6)＋tan
(－6π＋π3)＋sin
(4π＋2π)
＝
3 2
+
3＋0
＝323.
方法归纳
判断三角函数值符号的步骤
巩固训练2 已知角α为第三象限角，则点P(tan α，sin α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：D
解析：∵角α为第三象限角，tan α＞0，sin α＜0， ∴点P(tan α，sin α)在第四象限．
题型 3 诱导公式一的应用
5.2.1 三角函数的概念
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准 (1)理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值．(2)掌握任意角 三角函数在各象限的符号．(3)掌握三角函数诱导公式一并会应用．
2020新人教A版高中数学必修5同步课件：第二章 习题课(一) 求数列的通项公式
∴an=
2.
2������ -1
(2)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).
又a1+1=2≠0,
∴数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列.
∴an+1=2·3n-1.
∴an=2·3n-1-1.
=
������ (������ -1)
22 .
反思已知数列的递推公式求通项,通常有以下几种情
形:(1)an+1-an=f(n),常用累加法求通项;(2)
������������ +1 ������������
=
������(n),常用累乘法求
通项;(3)an+1=pan+q,通常构造等比数列求通项.
习题课(一) 求数列的通项公式
1.巩固等差数列与等比数列的通项公式. 2.掌握求数列通项公式的常见方法,并能用这些方法解决一些简 单的求数列通项公式的问题.
1.等差数列的通项公式
若数列{an}为等差数列,其首项为a1,公差为d,则an=a1+(n1)d=am+(n-m)d (n,m∈N*).
【做一做1】 已知数列{an}是等差数列,且a2=6,a11=24,则
给项是分数,那么先把它们统一为相同的形式,再分子、分母分别
寻找规律.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公
式.
பைடு நூலகம்
(1)1,1,
5 7
,
7 15
,
9 31
,
…
;
(2)2,22,222,2 222,…;
(3)3,0,-3,0,3,….
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第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
下列数列是等差数列的是( )
A.13，15，17，19
B．1， 3， 5， 7
C．1，－1,1，－1
D．0,0,0,0
[答案] D
[解析] ∵15－13≠17－15，故排除 A；∵ 3－1≠ 5－ 3，故排 除 B；
新课引入
汉朝的天文著作《周髀算经》中有记载，大意如下：在平地 上立八尺高的髀，日中测影，在二十四节气中，冬至影长 1 丈 3 尺 5 寸，以后每一节气影长递减 9 寸 916分；夏至影最短，仅长 1 尺 6 寸，以后每一节气影长递增 9 寸 916分．如果把这些影长记录 下来，会构成一个什么样的数列呢？
∵－1－1≠1－(－1)，故排除 C，∴选 D.
第二章 2.2 导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
2．等差中项 如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，
a＋b 即 A＝___2____.
破疑点：(1)在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即 2an＝an－1 ＋an＋1；实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的 等差中项，即 2an＝an－m＋an＋m(m、n∈N*，m<n)．
第二章 2.2 第1课时
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3．等差数列的通项公式 首项为 a，公差为 d 的等差数列的通项公式为 ___a_n＝__a_1_＋__(_n_－__1_)_d__. 破疑点：通项公式 an＝a1＋(n－1)d 中，涉及四个量 a1、an、n、 d 知任意三个就可以列方程求另外一个．若通项公式变形为 an＝dn ＋(a1－d)，当 d≠0 时，可把 an 看成自变量 n 的一次函数(当 d＝0 时，an＝a1，此时数列{an}是常数列)从而等差数列{an}的图象为分 布于一直线上的一群孤立的点，其中公差 d 是这群孤立点所在直 线的斜率．
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课堂典例讲练
第二章 2.2 第1课时
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思路方法技巧 等差数列的定义及判定 已知数列的通项公式为 an＝6n－1，问这个数列 是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？ [解析] ∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)， ∴{an}是等差数列，其首项 a1＝6×1－1＝5，公差为 6.
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等差数列{an}中，a3＝5，a7＝13，求通项公式 an.
[解析] 设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由题意，得
a1＋2d＝5
a1＝1
，解得
.
a1＋6d＝13
d＝2
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
(2)数列{an}是等差数列⇔2an＝an＋1＋an＋1，这是判断等差数列 的重要依据．
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已知：1，x，y,10 构成等差数列，则 x、y 的值分别为________． [答案] 4,7 [解析] 由已知，x 是 1 和 y 的等差中项，即 2x＝1＋y①， y 是 x 和 10 的等差中项，即 2y＝2x＋10② 由①、②可解得 x＝4，y＝7.
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
数列
第二章 数列
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第二章
2.2 等差数列
第二章 数列
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温故知新
1.在现实生活中，我们经常这样数数，从 0 开始，每隔 5 数一 次 ， 可 以 得 到 数 列 ： 0,5 ， ________ ， ________ ， ________ ， ________，….
[答案] 10 15 20 25
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自主预习
1.等差数列的定义． 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数，那么这个数列就叫做_等__差__数__列__，这个常数叫 做等差数列的__公__差__，公差通常用字母 d 表示．若公差 d＝0，则 这个数列为__常__数__列__．
第二章
第 1 课时 等差数列的概念与通项公式
第二章 数列
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课前自主预习 课堂典例讲练
名师辨误做答 课后强化作业
第二章 2.2 第1课时
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课前自主预习
第二章 2.2 第1课时
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2．鞋的尺码，按照国家规定，有：22,22.5，________，________， ________，________….
[答案] 23 23.5 24 24.5
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第二章 2.2 第1课时
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破疑点：对于等差数列定义的理解要注意： (1)“从第 2 项起”也就是说等差数列中至少含有三项． (2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的 差”． (3)“同一个常数 d”，d 是等差数列的公差，即 d＝an－an－1 或 d＝an＋1－an，d 可以为零，当 d＝0 时，等差数列为常数列，也 就是说，常数列是特殊的等差数列． (4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要 依据，即 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
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下列数列是等差数列的是( )
A.13，15，17，19
B．1， 3， 5， 7
C．1，－1,1，－1
D．0,0,0,0
[答案] D
[解析] ∵15－13≠17－15，故排除 A；∵ 3－1≠ 5－ 3，故排 除 B；
新课引入
汉朝的天文著作《周髀算经》中有记载，大意如下：在平地 上立八尺高的髀，日中测影，在二十四节气中，冬至影长 1 丈 3 尺 5 寸，以后每一节气影长递减 9 寸 916分；夏至影最短，仅长 1 尺 6 寸，以后每一节气影长递增 9 寸 916分．如果把这些影长记录 下来，会构成一个什么样的数列呢？
∵－1－1≠1－(－1)，故排除 C，∴选 D.
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2．等差中项 如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，
a＋b 即 A＝___2____.
破疑点：(1)在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即 2an＝an－1 ＋an＋1；实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的 等差中项，即 2an＝an－m＋an＋m(m、n∈N*，m<n)．
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3．等差数列的通项公式 首项为 a，公差为 d 的等差数列的通项公式为 ___a_n＝__a_1_＋__(_n_－__1_)_d__. 破疑点：通项公式 an＝a1＋(n－1)d 中，涉及四个量 a1、an、n、 d 知任意三个就可以列方程求另外一个．若通项公式变形为 an＝dn ＋(a1－d)，当 d≠0 时，可把 an 看成自变量 n 的一次函数(当 d＝0 时，an＝a1，此时数列{an}是常数列)从而等差数列{an}的图象为分 布于一直线上的一群孤立的点，其中公差 d 是这群孤立点所在直 线的斜率．
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思路方法技巧 等差数列的定义及判定 已知数列的通项公式为 an＝6n－1，问这个数列 是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？ [解析] ∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)， ∴{an}是等差数列，其首项 a1＝6×1－1＝5，公差为 6.
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等差数列{an}中，a3＝5，a7＝13，求通项公式 an.
[解析] 设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由题意，得
a1＋2d＝5
a1＝1
，解得
.
a1＋6d＝13
d＝2
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
(2)数列{an}是等差数列⇔2an＝an＋1＋an＋1，这是判断等差数列 的重要依据．
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已知：1，x，y,10 构成等差数列，则 x、y 的值分别为________． [答案] 4,7 [解析] 由已知，x 是 1 和 y 的等差中项，即 2x＝1＋y①， y 是 x 和 10 的等差中项，即 2y＝2x＋10② 由①、②可解得 x＝4，y＝7.
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数列
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第二章
2.2 等差数列
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1.等差数列的定义． 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数，那么这个数列就叫做_等__差__数__列__，这个常数叫 做等差数列的__公__差__，公差通常用字母 d 表示．若公差 d＝0，则 这个数列为__常__数__列__．
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第 1 课时 等差数列的概念与通项公式
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2．鞋的尺码，按照国家规定，有：22,22.5，________，________， ________，________….
[答案] 23 23.5 24 24.5
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破疑点：对于等差数列定义的理解要注意： (1)“从第 2 项起”也就是说等差数列中至少含有三项． (2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的 差”． (3)“同一个常数 d”，d 是等差数列的公差，即 d＝an－an－1 或 d＝an＋1－an，d 可以为零，当 d＝0 时，等差数列为常数列，也 就是说，常数列是特殊的等差数列． (4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要 依据，即 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．