弧度制及弧度制和角度制的换算

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
πHale Waihona Puke 角度210°225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π
弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S= Lr= |α|r2
其中α是圆心角的弧度数,L为圆心角α所对的弧长,r为圆半径.
2.无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数.
同步练习
1.半径为5 cm的圆中,弧长为 cm的圆弧所对的圆心角等于 ( )
如上图，AB的长等于半径r，∠AOB的大小就是1弧度的角.弧AC的长度等于2r,则∠AOC=2rad.
问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？
答：半圆弧长是 半圆所对的圆心角是 弧度.
同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2 弧度.
角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.
使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点；
[教学过程]
一．引入
我们在初中几何里学习过角的度量，规定周角的 为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制度叫做角度制。下面再介绍在数学和其他科学中常用到的另一种度量角的单位制——弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度。
（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；
（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。
[教学重点]
使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点；其中，讲清1弧度的角的意义，是建立弧度概念的关键。
[教学难点]
2．会用弧长公式，扇形面积公式，解决一些实际问题.
教学过程：
复习角的弧度制与角度制的转化公式
1．学生先练习，老师再总结.
（1）10 rad角是第几象限的角？ （2）求sin1.5的值.
解：（1）有两种方法. 第一种方法 ，是第三象限的角
第二种方法
∴10 rad的角是第三象限的角.
（2）
也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD，再求sin1.5即可得.
今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“ ”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角 ＝１表示 是１ 的角， 表示 的正弦，即 ＝ ．
根据常用特殊角间的倍数关系，可以列出下列特殊角的度数与弧度数对应值．
度
弧度
例３用弧度制表示终边在 轴上的角的集合．
解因为在角度制下，终边在 轴上的角的集合为
同步练习
1.若α=－3.2,则角α的终边在 ( )
(A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
2.① ,② － ,③ ,④－ ,其中终边相同的角是 ( )
(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④
3. 若4π<α<6π,且与－ 角的终边相同,则α=_________.
概念：这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。
1．把角度换成弧度
2．把弧度换成角度
[例1]把 化成弧度。
[例2]把 化成度。
[约定]今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“ ”通常略去不写，而只写这个角对应的弧度数。
特殊角的度数与弧度数的对应表：
度
弧度
角的集合与实数集R之间的对应关系：
证明：因为圆心角为1 rad的扇形的面积是 ，
而弧长为l的扇形的圆心角为 ，所以它的面积
.
若已知扇形的半径和圆心角，则它的面积又可以写成
例2：半径R的扇形的周长是4R，求面积和圆心角.
解：扇形弧长为4R-2R=2R，圆心角
面积 .
例3：在扇形AOB中，∠AOB=90°，弧长为l，
求它的内切圆的面积.
弧度制的概念和换算总结
要点
1.角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位.
2.度与弧度的相互换算:
10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.
3.在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2kπ+600,k∈Z},正确的表示方法是x|x=2kπ+ ,k∈Z }或{ x|x=k·3600+600,k∈Z }
结论：圆心角不变，则比值不变，
因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制
二、讲解新课：
1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角 它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad
Sin40, sin , sin300, sin1
2.把下列各角化成2kπ+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.
(1)－ π; (2)－6750.
3.若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与 角的终边相同的角.
练习四 弧度制(二)
要点
1.弧长公式和扇形面积公式:
｛ ∣ ｝
所以，在弧度制下，终边在 轴上的角的集合为
｛ ∣ ， ｝
例４ 计算：
解 原式＝
＝
＝
课 题：4.2弧度制（一）
教学目的：
1.理解1弧度的角、弧度制的定义.
2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.
3.熟记特殊角的弧度数
教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.
⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算：
∵360=2rad ∴180=rad
∴ 1=
三、讲解范例：
例1把 化成弧度
解：
∴
例2把 化成度
解：
注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad ， sin表示rad角的正弦；
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值 （ 为弧长， 为半径）
⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同
解：先求得扇形的半径
设圆的半径为x，圆心为C，
由 解得
S⊙C
4．学生课堂阅读课本P10~11例5、例6
并作P11练习7、8两题.
布置作业，课本P12—13，习题4.2 6、8、9、10、11
§4.2弧度制
[教学目标]
（1）通过本小节的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；
二．新课
定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad。
[说明]学生阅读课本，教师作要点说明，并进行归纳。
一般地，可以得到：
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角 的弧度数的绝对值
其中 是以角 作为圆心角时所对弧的长， 是圆的半径。
3．弧度制与角度制的互化
因为周角的弧度数是2 ，角度是360°，所以有
把上面的关系反过来写
例1：把
解：
例2：把 化成角度.
今后用弧度制表示角时，把“弧度”二字或“rad”通常省略不写，比如 rad，角 角的正弦.
之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
教学过程：
1．为什么要引入新的角的单位弧度制.
（1）为了计算的方便，角度制单位、度、分、秒是60进制，计算不方便；
（2）为了让角的度量结果与实数一一对应.
2．弧度制的定义
先复习角度制，即1度的角的大小是怎样定义的.
1弧度角的规定.
把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
弧度的单位符号是rad，读作弧度.
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
2
例3：用弧度制表示
（1）与 终边相同的角；
（2）第四象限的角的集合.
解：（1）与
（2）第四象限的角的集合是
也可能写成
注意两种角度制不准混合用，如写成
布置作业，课本P12，1~5题.
第二课时
教学要求：
1．熟练弧度制与角度制的互化，理解角的集合与实数集R的一一对应.
4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示)