相似三角形常见题型解法归纳

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相似三角形难题集锦(含问题详解)

相似三角形难题集锦(含问题详解)

一、相似三角形中的动点问题1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB 于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒.〔1〕当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;〔2〕当△DEG与△ACB相似时,求t的值.2.如图,在△ABC 中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.〔1〕①当t=2.5s时,求△CPQ的面积;②求△CPQ的面积S〔平方米〕关于时间t〔秒〕的函数解析式;〔2〕在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值.3.如图1,在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分CDB交边BC于点E,EM ⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N.〔1〕当AD=CD时,求证:DE∥AC;〔2〕探究:AD为何值时,△BME与△E相似?4.如下列图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C 〔1〕当x为何值时,PQ∥BC?〔2〕△APQ与△CQB能否相似?假如能,求出AP的长;假如不能说明理由.5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t〔s〕表示移动的时间〔0<t <6〕。

〔1〕当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?〔2〕当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?二、构造相似辅助线——双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(2,1),正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°,求这个正比例函数的表达式.△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB为边在C点的异侧作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M是AC上的一点,点N是BC上的一点,沿着直线MN折叠,使得点C恰好落在边AB上的P点.求证:MC:NC=AP:PB.9.如图,在直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为〔1,3〕,将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置,且AD交y轴于点E.那么D点的坐标为〔〕A. B.C. D.10..,如图,直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD,使得矩形的两边之比为1﹕2。

专题22 相似三角形(归纳与讲解)(解析版)

专题22 相似三角形(归纳与讲解)(解析版)

专题22 相似三角形【专题目录】技巧1:巧用“基本图形”探索相似条件 技巧2:巧作平行线构造相似三角形 技巧3:证比例式或等积式的技巧 (1)基本性质:a b =cd ad =bc ; (2)合比性质:a b =cda +b b =c +dd;技巧1:巧用“基本图形”探索相似条件2.相交线型.3.子母型.4.旋转型.12与3.如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于点D ,E 为AC 的中点,ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证:AB AC =DF AF.【类型】四、旋转型4.如图,已知∠DAB =∠EAC ,∠ADE =∠ABC.求证:(1)△ADE ∽△ABC ; (2)AD AE =BD CE.参考答案1.(1)证明:∵ED∥BC,∵ED ∥BC,∴∠DE B =∠EBC.h△BDE表示△BDE中DE边上的高,∵DE=6,∴BC=10.2.解:相似.理由如下:因为EOBO=DOCO,∠BO E=∠COD,∠DOE=∠COB,所以△BOE∽△COD,△DOE∽△COB.所以∠EBO=∠DCO,∠DEO=∠CBO.因为∠ADE=∠DCO+∠DEO,∠ABC=∠EBO+∠CBO,所以∠ADE=∠ABC.又因为∠A=∠A,所以△ADE∽△ABC.3.证明:∵∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,∴∠BAC=∠A DB=90°.又∵∠CBA =∠ABD(公共角), ∴△ABC ∽△DBA. ∴AB AC =DBDA,∠BAD =∠C. ∵AD ⊥BC 于点D ,E 为AC 的中点, ∴DE =EC.∴∠BDF =∠CDE =∠C. ∴∠BDF =∠BAD. 又∵∠F =∠F , ∴△DBF ∽△ADF. ∴DB AD =DF AF .∴AB AC =DF AF.(第3题)点拨:当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似,条件又不具备成比例线段时,可考虑用中间比“搭桥”,称为“等比替换法”,有时还可用“等积替换法”,例如:如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于点D ,D E ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 于点F ,求证:AE·AB =AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB =AD 2,AF·AC =AD 2,∴AE·AB =AF·AC. 4.证明:(1)∵∠DAB =∠EAC ,∴∠DAE =∠BAC.又∵∠ADE =∠ABC ,∴△ADE ∽△ABC. (2)∵△ADE ∽△ABC ,∴AD AE =ABAC.∵∠DAB =∠EAC ,∴△ADB ∽△AEC.∴AD AE =BDCE .技巧2:巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1.如图,在△ABC 中,E ,F 是边BC 上的两个三等分点,D 是AC 的中点,BD 分别交AE ,AF 于点P ,Q ,求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2.如图,在△ABC 中,AC =BC ,F 为底边AB 上一点,BF AF =32,取CF 的中点D ,连接AD并延长交BC 于点E ,求BEEC的值.【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3.如图,在△ABC 中,AB >AC ,在边AB 上取一点D ,在AC 上取一点E ,使AD =AE ,直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证:BP CP =BDEC.【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4.如图,在△ABC 中,点M 为AC 边的中点,点E 为AB 上一点,且AE =14AB ,连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证:BC =2CD.参考答案1.解:如图,连接DF ,∵E ,F 是边BC 上的两个三等分点,∴BE =EF =FC.∵D 是AC 的中点,∴AD =CD. ∴DF 是△ACE 的中位线. ∴DF ∥AE ,且DF =12AE.∴DF ∥PE. ∴∠BEP =∠BFD. 又∵∠EBP 为公共角,∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF =BPBD.∵BF =2BE ,∴BD =2BP.∴BP =PD.∴DF =2PE. ∵DF ∥AE ,∴∠APQ =∠FDQ ,∠PAQ =∠DFQ. ∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD =APDF .设PE =a ,则DF =2a ,AP =3a. ∴PQ QD =AP DF =3 2.∴BP PQ QD =53 2.2.解:如图,过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G.∵CG ∥AB ,∴∠DAF =∠G. 又∵D 为C F 的中点,∴CD =DF.在△ADF 和△GDC 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF =∠G ,∠ADF =∠CDG ,DF =CD ,∴△ADF ≌△GDC(AAS ).∴AF =CG. ∵BF AF =32,∴AB AF =52.∵AB ∥CG ,∴∠CGE =∠BAE ,∠BCE =∠ABE. ∴△ABE ∽△GCE. ∴BE EC =AB CG =AB AF =52.3.证明:如图,过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ,∴∠PFC =∠PDB ,∠PCF =∠PBD. ∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP =BDCF.∵AD ∥CF ,∴∠ADE =∠EFC. ∵AD =AE ,∴∠ADE =∠AED.∵∠AED =∠CEP ,∴∠EFC =∠CEP.∴EC =CF. ∴BP CP =BD EC. 4.证明:(方法一)如图①,过点C 作CF ∥A B ,交DE 于点F ,又∵∠AME =∠CM F , ∴AE BE =CD BD =13,即BD =3CD. 又∵BD =BC +CD , ∴BC =2CD.(第4题②)(方法二)如图②,过点C 作CF ∥DE ,交AB 于点F , ∴AE AF =AM AC. 又∵点M 为AC 边的中点, ∴AC =2AM. ∴2AE =AF.∴AE =EF. ∴BC =2CD.由EF ∥CD ,易证得△EFM ∽△DCM , EF MF∴EF =12CD.∴BC =2CD.(第4题④)(方法四)如图④,过点A 作AF ∥BD ,交DE 的延长线于点F , ∴∠F =∠D ,∠FAE =∠B. ∴△AEF ∽△BED. ∴AE BE =AF BD . ∵AE =14AB ,=1BE.=1BD.12.如图,已知△ABC 的边AB 上有一点D ,边BC 的延长线上有一点E ,且AD =CE ,DE 交AC 于点F ,3.如图,在▱ABCD 中,E 是AB 延长线上的一点,DE 交BC 于F.求证:DC AE =CF AD.4.如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,M 为BC 的中点,DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ,交AB 于E.求证:AM2=MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5.如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上任意一点,AP的垂直平分线分别交AB,AC于点M,N.求证:BP·CP=BM·CN.【类型】四、等比过渡法6.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE.求证:(1)△DEF∽△BDE;(2)DG·DF=DB·EF.7.如图,CE是Rt△ABC斜边上的高,在EC的延长线上任取一点P,连接AP,作BG⊥AP于点G,交CE于点D.求证:CE2=DE·PE.【类型】五、两次相似法8.如图,在Rt △ABC 中,AD 是斜边BC 上的高,∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ,交AD 于F.求证:BF BE =ABBC.9.如图,在▱ABCD 中,AM ⊥BC ,AN ⊥CD ,垂足分别为M ,N.求证:1011BP12.如图,已知AD 平分∠BAC ,AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证:PD 2=PB·PC.参考答案12而解决问题.3.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴A E ∥D C ,∠A =∠C. ∴∠CDF =∠E.∴△FCD ∽△DAE.∴DC AE =CFAD .4.证明:∵DM ⊥BC ,∠BAC =90°,∴∠B+∠BEM=90°,∠D+∠DEA=90°.∵∠BEM=∠DEA,∴∠B=∠D.又∵M为BC的中点,∠BAC=90°,∴BM=AM.∴∠B=∠BAM.∴∠BAM=∠D.即∠EAM=∠D.56.证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵DE∥BC,∴∠ABC+∠EDB=180°,∠ACB+∠FED=180°.∴∠FED=∠EDB.又∵∠EDF=∠DBE,∴△DEF∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得DEBD=EFDE.即DE2=DB·EF.又由△DEF∽△BDE,得∠GED=∠EFD.∵∠GDE=∠EDF,∴△GDE∽△EDF.∴DG DE =DEDF .即DE 2=DG·DF. ∴DG·DF =DB·EF.7.证明:∴BG∴AP ,PE∴AB ,∴∴AEP =∴DEB =∴AGB =90°. ∴∴P +∴PAB =90°, ∴PAB +∴AB G =90°.89.证明:(1)∵四边形ABCD 为平行四边形,∴∠B =∠D.∵AM ⊥BC ,AN ⊥CD , ∴∠AMB =∠AND =90°. ∴△AMB ∽△AND.(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN =AB AD ,∠BAM =∠DAN.又AD =BC ,∴AM AN =ABBC .∵AM ⊥BC ,AD ∥BC ,∴∠MAD =∠AMB =90°.∴∠B +∠BAM =∠MAN +∠NAD =90°.∴∠B =∠MAN. ∴△AMN ∽△BAC.∴AM AB =MN AC .10.证明:∵AD ⊥BC ,DE ⊥AB ,∴∠ADB =∠AED =90°. 又∵∠BAD =∠DAE ,1112.证明:如图,连接PA ,∵EP 是AD 的垂直平分线, ∴PA =PD.∴∠PD A =∠PAD.∴∠B +∠BAD =∠DAC +∠CAP. 又∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD =∠DAC.∴∠B =∠CAP. 又∵∠APC =∠BPA , ∴△PAC ∽△PBA.∴PA PB =PCPA .A 3243A .6B .7C .8D .9【答案】C【提示】根据平行线分线段成比例定理,由DE∴BC 得AD AEDB EC=,然后利用比例性质求EC 和AE的值即可【详解】∴//DE BC , ∴AD AE DB EC =,即932AE=, ∴6AE =,∴628AC AE EC =+=+=. 故选C .例(A AB ACAB BCA B C D 例4、如图,在ABC ∆中,D 、E 分别是AB 和AC 的中点,15BCED S =四边形,则ABC S ∆=( )A.30B.25C.22.5D.20【答案】D:S∆例得mA【解析】∴∴ABE=∴DCE, ∴AEB=∴CED,∴∴ABE∴∴DCE,∴AB BE CD CE=.∴BE=90m,EC=45m,CD=60m,∴()906012045AB m ⨯== 故选A.【物高问题】【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图,∴ABC 与∴DEF 位似,点O 为位似中心.已知OA ∴OD =1∴2,则∴ABC 与∴DEF 的面积比为( )A 8A .20cmB .10cmC .8cmD .3.2cm【答案】A【提示】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解. 【详解】解:设投影三角尺的对应边长为xcm , ∴三角尺与投影三角尺相似, ∴8:x =2:5, 12BD ADE 与ABC 的周长之比为(A ABC ADE ∽,相似三角形的对应边成∴∴∴ABC ADE ∽, ∴∴AD :AB =1:3, ∴13ADE ABC C C ∆∆=::, 即ADE 与ABC 的周长比为1:3. 故选:D .【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质,平行线的性质,熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键.2.如图,在ABC 中,高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有( )A ADB ,△∴FEB ,△A ∠=∠∴ADB , ABD =∠,又90AEC BEC =∠=∴FEB ,ACE =∠,∴FDC △,【点睛】本题考查了相似三角形的判定,掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.3ABC 中,D 、A ∴∴ADE ∴∴ABC ,∴∴ADE 与∴ABC 的周长之比为1:2,∴∴ADE 与∴ABC 的面积之比为1:4,即14.故选:B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,三角形中位线定理,掌握相似三角形的周长之比等于相似比,面积比等于相似比的平方是解决此题关键.4.如图,D 是ABC 的边BC 上的一点,那么下列四个条件中,不能够判定∴ABC 与∴DBA 相似的是( )ABC ∴DBA ,故选项ABC ∴DBA ,故选项B 不符合题意;ACB 与BAD ∠是否相等,所以无法判定两三角形相似,故选项B B ∠=∠,ABC ∴DBA ,故选项【点睛】本题考查相似三角形的判定定理,熟练掌握相关定理是解题的关键.ABC ∴A B C ''',是它们的对应角平分线,若的面积比是( )3 B .C .3【答案】B【分析】根据相似三角形的性质:【详解】ABC ∴A B C ''',AD 和A D ''是它们的对应角平分线,8AD =,12A D ''=,∴两三角形的相似比为: :8:122:3AD A D '==',则ABC 与'''A B C 的面积比是:4:9. 故选:B【点睛】本题考查的是相似三角形的性质,熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.二、填空题6.如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度,已知标杆BE高为1.5m,测得AB =3m,AC=10m,则建筑物CD的高是_____m.7.如图所示,要使ABC ADE~,需要添加一个条件∠=∠【答案】ADE B【分析】根据已有条件,加上一对角相等就可以证明ABC与ADE相似,依据是:两角对应相等的两个三角形相似.【详解】解:添加ADE B∠=∠,A A∠=∠ABC ADE∴~故答案为:ADE B∠=∠.【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法,牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键.8(1)(2)(2)(((2)解:∴∴ADE∴∴ABC,∴AD DEAB BC=,243BC=,∴BC=6.【点睛】本题考查了三角形的判定和性质,熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键.相似三角形(提升测评)一、单选题1.如图,在菱形ABCD 中,点E 在AD 边上,EF ∴CD ,交对角线BD 于点F ,则下列结论中错误的是( )DE DFEF DFEF DFEF DF【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形相似是解决问题的关键.2.如图1为一张正三角形纸片ABC ,其中D 点在AB 上,E 点在BC 上.今以DE 为折线将B 点往右折后,BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点,如图2所示.若10AD =,16AF =,14DF =,8BF =,则CG 的长度为多少?( )A.7B.8C.9D.10,解:∴3A.B.4C D.2【答案】B【分析】先过点A 作AC x ⊥轴于点C ,过点B 作BD x ⊥轴于点D ,构造相似三角形,再利用相似三角形的性质列出比例式,计算求解即可.【详解】解:过点A 作AC x ⊥轴于点C ,过点B 作BD x ⊥轴于点D ,则90ACO ODB ∠=∠=︒,90B BOD ∠+∠=︒,A 的坐标是AC =1,122DB=,即:B 的纵坐标是故选:B . 4的A .AD AFBD EF= B .AF DFAE EB= C .=AD AEAB ACD .CAF FE DEB = 【答案】D∥找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等,判断即可.【分析】根据DF BE∥,DE BC【详解】解:DF BE∥,AD AF∴=,BD EF故A选项比例式正确,不符合题意;DF BE∥,∴△∽△,ADF ABE5【答案】9x,根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x,然后加【分析】设地面影长对应的树高为m上墙上的影长CD即为树的高度.x,【详解】解:设地面影长对应的树高为m由题意得,140.5x =, 解得8x =,墙上的影子CD 长为1m , ∴树的高度为()819m +=.故答案为:9.【点睛】本题考查利用投影求物高.熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键.616AD BC ,FCG ,2, CFG 的面积之比AD BC ,:(2)2:5x a a x ∴+-=,67x a ∴=,68,77AE a EG a ∴==, :3:4AE EG =,∴DEG ∆与ADE ∆的面积之比是4:3,∴DEG ∆与CFG ∆的面积之比是16:7.故答案为:16:7.【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,熟练掌握并运用:相似三角形对应边成比例、相似三角形的面积比等于相似比的平方等性质,是解此题的关键.三、解答题7,H(1)(2)(2),证出ADK FGK ,得出比例式求出()由正方形的性质求出出AM =4,FM =2,∴AMF 12CH AF =,根据勾股定理求出()解:∴四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形,∴AD =CD =BC =1,CG =FG =CE =3,,AD BC GF BE ∥∥,∴G =90°,∴DG =CG -CD =2,AD GF ∥,∴ADK FGK ,∴DK :GK =AD :GF =1:3,∴3342GK DG ==,∴312tan32GKGFKFG∠===;(2)解:∴正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,∴AB=BC=1,CE=EF=3,∴E=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,如图所示:则∴∴∴在∴8.如图所示,BEF的顶点AF,满足((CEB , BCE ∠∴=,ABCD 是矩形,∴BC DAB ∠,ACB =∠,BCE ACB ∠∠+=∴即∴90FAD DAC ∠∠∴+=︒,90DAB ∠=︒,90BAC DAC ∠∠∴+=︒,FAD BAC ∠∠∴=,在Rt ABC 中,tanBCBACAB∠===,30BAC∴∠=︒,30FAD∠∴=︒;(2)由(1)得9030ABC BAC∠∠=︒=︒,,CEB,ABCE,313,3,FAE中,【点睛】本题主要考查相似三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,解答的关键是结合图形及相应的性质求得∠。

完整版)相似三角形题型归纳

完整版)相似三角形题型归纳

完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中,点E为对角线AC上的一点,且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G,与AD交于点F。

证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,E为AC上的一点。

点G在BE上,连接DG并延长至交AE于点F,且∠FGE=45°。

证明:(1)BD·BC=BG·BE;(2)AG⊥BE;(3)若E为AC的中点,则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上的一点,连接BO交AD于点F,OE⊥OB交BC边于点E。

证明:(1)△ABF∽△COE;(2)当O为AC的中点时,求△ABC的面积;(3)当O为AC边中点时,求△ABC的面积。

4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中,点R为DE的中点,BR分别交AC、CD于点P、Q。

写出各对相似三角形(相似比为1除外),并求出BP∶PQ∶QR的值。

5、在△ABC中,AD平分∠BAC,EM为AD的中垂线,交BC延长线于点E。

证明DE=BE·CE。

6、过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E。

证明AE∶ED=2AF∶FB。

7、在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,点M在CD 上,DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。

证明:(1)△AED∽△CBM;(2)DE=DM。

8、在△ABC中,BD、CE分别是两边上的高,过D作DG⊥BC于点G,分别交CE及BA的延长线于点F、H。

证明:(1)DG=BG·CG;(2)BG·CG=GF·GH。

9、在平行四边形ABCD中,点P为对角线AC上的一点。

过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。

证明:AG∶GB=CP∶PD。

1、求证:如图,已知平行四边形ABCD中,点P在AC上,点Q在BC上,且AP=CQ。

相似三角形模型分析大全(非常全面,经典)

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相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识(一)A字型、反A字型(斜A字型)B(平行)B(不平行)(二)8字型、反8字型BCBC(蝴蝶型)(平行)(不平行)(三)母子型B(四)一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景(五)一线三直角型:(六)双垂型:二、相似三角形判定的变化模型旋转型:由A 字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1:如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 、BD 交于点O ,BE ∥CD 交CA 延长线于E . 求证:OE OA OC ⋅=2.例2:已知:如图,△ABC 中,点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠.求证:(1)DA DE DB ⋅=2; (2)DAC DCE ∠=∠.例3:已知:如图,等腰△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ∥AB ,BG 分别交AD 、AC 于E 、F .求证:EG EF BE ⋅=2.ACDEB相关练习:1、如图,已知AD 为△ABC 的角平分线,EF 为AD 的垂直平分线.求证:FC FB FD ⋅=2.2、已知:AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线,∠C=90°,EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ,EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证:(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知:如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,E 是AC 上一点,CF ⊥BE 于F 。

求证:EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中,AB=AC ,高AD 与BE 交于H ,EF BC ⊥,垂足为F ,延长AD 到G ,使DG=EF ,M 是AH 的中点。

求证:∠=︒GBM 90GMF EHDCBA5.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)、(3)小题满分各5分)已知:如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =2,AC =4,P 是斜边AB 上的一个动点,PD ⊥AB ,交边AC 于点D (点D 与点A 、C 都不重合),E 是射线DCB上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.(1)求证:AE=2PE;(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.双垂型1、如图,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别是AC、AB上的高求证:(1)△ABD∽△ACE;(2)△ADE∽△ABC;(3)BC=2ED2、如图,已知锐角△ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分别是27和3,DE=62,求:点B到直线AC的距离。

相似三角形知识点归纳(全)精选全文完整版

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可编辑修改精选全文完整版《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数).知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质(1)定义:在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为:ad c b =. ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩,交换内项,交换外项.同时交换内外项 核心内容:bc ad = (2)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =⋅,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 215-=≈0.618AB.即AC BC AB AC ==简记为:12长短==全长 注:①黄金三角形:顶角是360的等腰三角形②黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形 (3)合、分比性质:a c abcd b d b d±±=⇔=.注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立.如:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a 等等.(4)等比性质:如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ .知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中: 由DE ∥BC 可得:ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念(1)定义:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.相似用符号“∽”表示,读作“相似于” .相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数).相似三角形对应角相等,对应边成比例.注:①对应性:即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的.③两个三角形形状一样,但大小不一定一样. ④全等三角形是相似比为1的相似三角形.(2)三角形相似的判定方法1、平行法:(图上)平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1:简述为:两角对应相等,两三角形相似.AA3、判定定理2:简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.SAS4、判定定理3:简述为:三边对应成比例,两三角形相似.SSS5、判定定理4:直角三角形中,“HL ” 全等与相似的比较:三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL )两角对应相等两边对应成比例,且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高,则∽==>AD 2=BD ·DC ,∽==>AB 2=BD ·BC ,∽==>AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质E BD DB C(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例. (2)相似三角形周长的比等于相似比.(3)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.知识点6 相似三角形的几种基本图形:(1) 如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A 型”与“X 型”图)(2) 如图:其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

专题28 相似三角形篇(解析版)

专题28 相似三角形篇(解析版)

专题28 相似三角形考点一:比例1. 比例的性质:①基本性质:两内项之积等于量外项之积。

即若d c b a ::=,则ad bc =。

②合比性质:若d c b a =,则d d c b b a +=+。

③分比性质:若d c b a =,则d d c b b a -=-。

④合分比性质:若d c b a =,则d c d c b a b a -+=-+。

⑤等比性质:若n m d c b a ===...,则n m d c b a n d b m c a ====++++++.........。

2. 比例线段:若四条线段d c b a ,,,,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如d c b a ::=(即ad bc =),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段。

3. 平行线分线段成比例:三条平行线被两条直线所截,所得的对应线段成比例。

即如图:有EFDE BC AB =;DFDE AC AB =;DFEF AC BC =。

推论:①平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。

②如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

③平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

1.(2022•镇江)《九章算术》中记载,战国时期的铜衡杆,其形式既不同于天平衡杆,也异于称杆.衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔,一面刻有贯通上、下的十等分线.用该衡杆称物,可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上,这样,用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体.图为铜衡杆的使用示意图,此时被称物重量是砝码重量的 倍.【分析】根据比例的性质解决此题.【解答】解:由题意得,5m被称物=6m砝码.∴m被称物:m砝码=6:5=1.2.故答案为:1.2.2.(2022•巴中)如图,在平面直角坐标系中,C为△AOB的OA边上一点,AC:OC=1:2,过C作CD ∥OB交AB于点D,C、D两点纵坐标分别为1、3,则B点的纵坐标为( )A.4B.5C.6D.7【分析】根据CD∥OB得出,根据AC:OC=1:2,得出,根据C、D两点纵坐标分别为1、3,得出OB=6,即可得出答案.【解答】解:∵CD∥OB,∴,∵AC:OC=1:2,∴,∵C 、D 两点纵坐标分别为1、3,∴CD =3﹣1=2,∴,解得:OB =6,∴B 点的纵坐标为6,故选:C .3.(2022•临沂)如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,32 DB AD ,若AC =6,则EC =( )A .56B .512C .518D .524【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可.【解答】解:∵DE ∥BC ,∴=,∴,∴,∴EC =.故选:C .4.(2022•丽水)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A ,B ,C 都在横线上.若线段AB =3,则线段BC 的长是( )A .32B .1C .23D .2【分析】过点A 作平行横线的垂线,交点B 所在的平行横线于D ,交点C 所在的平行横线于E ,根据平行线分线段成比例定理列出比例式,计算即可.【解答】解:过点A作平行横线的垂线,交点B所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于E,则=,即=2,解得:BC=,故选:C.5.(2022•襄阳)如图,在△ABC中,D是AC的中点,△ABC的角平分线AE交BD于点F,若BF:FD=3:1,AB+BE=33,则△ABC的周长为 .【分析】如图,过点F作FM于点M,FN⊥AC于点N,过点D作DT∥AE交BC于点T.证明AB =3AD,设AD=CD=a,证明ET=CT,设ET=CT=b,则BE=3b,求出a+b,可得结论.【解答】解:如图,过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥AC于点N,过点D作DT∥AE交BC于点T.∵AE平分∠BAC,FM⊥AB,FN⊥AC,∴FM=FN,∴===3,∴AB=3AD,设AD =DC =a ,则AB =3a ,∵AD =DC ,DT ∥AE ,∴ET =CT ,∴==3,设ET =CT =b ,则BE =3b ,∵AB +BE =3,∴3a +3b =3,∴a +b =,∴△ABC 的周长=AB +AC +BC =5a +5b =5,故答案为:5.6.(2022•哈尔滨)如图,AB ∥CD ,AC ,BD 相交于点E ,AE =1,EC =2,DE =3,则BD 的长为( )A .23B .4C .29D .6【解答】解:∵AB ∥CD ,∴△ABE ∽△CDE ,∴=,即=,∴BE =1.5,∴BD =BE +DE =4.5.故选:C .7.(2022•雅安)如图,在△ABC 中,D ,E 分别是AB 和AC 上的点,DE ∥BC ,若12 BD AD ,那么BCDE =( )A .94B .21C .31D .32【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可.【解答】解:∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,∴=,∵=,∴=,∴==.故选:D .8.(2022•凉山州)如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,若DE ∥BC ,32 BD AD ,DE =6cm ,则BC 的长为( )A .9cmB .12cmC .15cmD .18cm【分析】根据=,得到=,根据DE ∥BC ,得到∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,得到△ADE ∽△ABC ,根据相似三角形对应边成比例即可得出答案.【解答】解:∵=,∴=,∵DE ∥BC ,∴∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,∴△ADE ∽△ABC ,∴=,∴=,∴BC =15(cm ),故选:C .9.(2022•鞍山)如图,AB ∥CD ,AD ,BC 相交于点E ,若AE :DE =1:2,AB =2.5,则CD 的长为 .【分析】由平行线的性质求出∠B =∠C ,∠A =∠D ,其对应角相等得△EAB ∽△EDC ,再由相似三角形的性质求出线段CD 即可.【解答】解:∵AB ∥CD ,∴∠B =∠C ,∠A =∠D ,∴△EAB ∽△EDC ,∴AB :CD =AE :DE =1:2,又∵AB =2.5,∴CD =5.故答案为:5.10.(2022•上海)如图,在△ABC 中,∠A =30°,∠B =90°,D 为AB 中点,E 在线段AC 上,BC DE AB AD ,则AC AE = .【分析】利用平行线截线段成比例解答.【解答】解:∵D 为AB 中点,∴=.当DE ∥BC 时,△ADE ∽△ABC ,则===.当DE 与BC 不平行时,DE =DE ′,=.故答案是:或.11.(2022•宜宾)如图,△ABC 中,点E 、F 分别在边AB 、AC 上,∠1=∠2.若BC =4,AF =2,CF =3,则EF = .【分析】由∠1=∠2,∠A =∠A ,得出△AEF ∽△ABC ,再由相似三角形的性质即可得出EF 的长度.【解答】解:∵∠1=∠2,∠A =∠A ,∴△AEF ∽△ABC ,∴,∵BC =4,AF =2,CF =3,∴,∴EF =,故答案为:.考点二:相似三角形的性质1.相似图形的概念:把形状相同的图形称为相似图形。

相似三角形经典题型

相似三角形经典题型

相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中,∠A = 50°,AB = 3cm,AC = 4cm,∠A'= 50°,A'B'= 6cm,A'C' = 8cm。

判断这两个三角形是否相似。

解析根据相似三角形的判定定理:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。

在△ABC和△A'B'C'中,(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2),(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2),且∠A = ∠A' = 50°。

所以△ABC∽△A'B'C'。

2. 题目如图,在四边形ABCD中,∠B = ∠ACD,AB = 6,BC = 4,AC = 5,CD=(7)/(2),求AD的长。

解析因为∠B = ∠ACD,且(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),(AC)/(AD)未知。

又因为(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),不满足三边对应成比例。

但是由∠B = ∠ACD,(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),可以尝试证明△ABC和△ACD相似。

因为∠B = ∠ACD,(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的,应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7),(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5),(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。

中考相似三角形解题技巧

中考相似三角形解题技巧

中考相似三角形解题技巧
嘿,同学们!中考里的相似三角形可是个大怪兽啊,但别怕,今天我就来给你们讲讲打败它的解题技巧!
比如说有这样一道题:已知在三角形 ABC 中,DE 平行 BC,AD=2,BD=3,AE=4,那我们怎么求 EC 的长呢?这时候相似三角形的技巧就派上用场啦!
咱先想想,相似三角形不就像是一对双胞胎嘛,它们有很多相似的地方!当看到平行的条件时,我们就得敏感起来啦!就像看到好吃的会流口水一样。

然后呢,我们根据相似三角形的对应边成比例来解题呀。

在这个例子里,我们可以得出 AD 与 AB 的比等于 AE 与 AC 的比呀,通过计算就能求出 EC
的值啦,是不是很神奇呀!
还有啊,如果看到两个三角形形状很像,那可别犹豫,赶紧找找它们的对应边和对应角。

就好像找宝藏一样,仔细去找那些关键的线索。

再比如有两个三角形,它们的角度都一样,那肯定就是相似啦!哎呀,这多明显呀!这时候我们就能愉快地运用相似的性质去解题咯。

总之呢,掌握了这些技巧,中考里的相似三角形就不再是难题啦!同学们加油呀!相信你们都能搞定它!。

相似三角形题型讲解解析

相似三角形题型讲解解析

相似三角形题型讲解相似三角形是初中几何的重要内容,包括相似三角形的性质、判定定理及其应用,是中考必考内容,以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型,所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要,本讲就如何判定三角形相似,以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。

一、如何证明三角形相似例1、如图:点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ,则△AGD ∽ ∽ 。

分析:关键在找“角相等”,除已知条件中已明确给出的以外,还应结合具体的图形,利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。

本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2,所以△AGD ∽△EGC 。

再∠1=∠2(对顶角),由AB ∥DG 可得∠4=∠G ,所以△EGC ∽△EAB 。

评注:(1)证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。

(2)找到两个三角形中有两对角对应相等,便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。

例2、已知△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,BD 是角平分线, 求证:△ABC ∽△BCD分析:证明相似三角形应先找相等的角,显然∠C 是公共角,而另一组相等的角则可以通过计算来求得。

借助于计算也是一种常用的方法。

证明:∵∠A=36°,△ABC 是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=72° 又BD 平分∠ABC ,则∠DBC=36°在△ABC 和△BCD 中,∠C 为公共角,∠A=∠DBC=36° ∴△ABC∽△BCD例3:已知,如图,D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ,以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD 求证:△DBE∽△ABCA B C DEF G 1234ABCD分析:由已知条件∠ABD=∠CBE,∠DBC公用。

所以∠DBE=∠ABC,要证的△DBE和△ABC,有一对角相等,要证两个三角形相似,或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边对应成比例。

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

相似三角形基本知识 知识点一:放缩与相似1.图形的放大或缩小,称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。

注意:⑴相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的. ⑷若两个图形形状与大小都相同,这时是相似图形的一种特例——全等形.3.相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等,对应边的长度成比例。

注意:当两个相似的多边形是全等形时,他们的对应边的长度的比值是1.知识点二:比例线段有关概念及性质(1)有关概念1、比:选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ,那么就说这两条线段的比是a :b =m :n (或n m b a =)2、比的前项,比的后项:两条线段的比a :b 中。

a 叫做比的前项,b 叫做比的后项。

说明:求两条线段的比时,对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例:两个比相等的式子叫做比例,如d c b a =4、比例外项:在比例d c b a =(或a :b =c :d )中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项:在比例d c b a =(或a :b =c :d )中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项:在比例d c b a =(或a :b =c :d )中,d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等,即比例为a b b a =(或a:b =b:c 时,我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8.比例线段:对于四条线段a 、b 、c 、d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即dc b a =(或a :b=c :d ),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。

(注意:在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位)(2)比例性质1.基本性质: bc ad d c b a =⇔= (两外项的积等于两内项积)2.反比性质: c d a b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项):4.合比性质:d d c b b a d c b a ±=±⇒=(分子加(减)分母,分母不变).注意:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间 发生同样和差变化比例仍成立.如:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a . 5.等比性质:(分子分母分别相加,比值不变.)如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ,那么b a n f d b m e c a =++++++++ . 注意:(1)此性质的证明运用了“设k 法” ,这种方法是有关比例计算,变形中一种常用方法.(2)应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立.知识点三:黄金分割1)定义:在线段AB 上,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC ),如果ACBC AB AC =,即AC 2=AB×BC,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比。

相似三角形中考考点归纳与典型例题

相似三角形中考考点归纳与典型例题

相似三角形中考考点归纳与典型例题相似三角形是初中数学中常出现的重要概念,它是几何学中研究两个三角形之间形状关系的一个重要内容。

掌握相似三角形的性质和应用是解决几何问题的基础。

相似三角形的重要性质:1. 定义:如果两个三角形的对应角相等,对应边成比例,则它们是相似三角形。

记作ΔABC ~ ΔDEF。

其中A、B、C是ΔABC的顶点,D、E、F是ΔDEF的顶点。

2. 判定定理:(1) AA相似定理:如果两个三角形的两个对应角相等,则它们是相似的。

(2) AAA相似定理:如果两个三角形的三个对应角相等,则它们是相似的。

3. 边比例关系:相似三角形的对应边成比例。

即对于ΔABC ~ΔDEF,有AB/DE = BC/EF = AC/DF。

4. 高比例关系:相似三角形的高线成比例。

即对于ΔABC ~ΔDEF,有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF。

5. 相似三角形的性质:(1) 对应角相等,即∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F。

(2) 对应边成比例,即AB/DE = BC/EF = AC/DF。

(3) 相似三角形的顶角相等,边比例相等,它们的面积比例也相等。

(4) 相似三角形的高线间成比例。

相似三角形的典型例题:例题1:如图,在直角三角形ABC中,∠B = 90°,BM是AC的中线,求比值AB/BC。

解:由与直角三角形的垂直关系可知∠A = ∠CBM,∠C = ∠ABM。

所以∠ABC ~ ∠CBM。

根据相似三角形的性质可得AB/BC = CB/BM = 2/1,即AB/BC = 2。

例题2:如图,上底AE = 4cm,下底BC = 8cm,连结CD,且CD = AE,点F是AE的中点,连接BF,求比值∠AFB/∠ACD。

解:由AE = CD可得∠A = ∠C。

又由BF = FE可得∠B = ∠AFE。

所以∠AFB ~ ∠ACD。

根据相似三角形的性质可得∠AFB/∠ACD = AB/AD= BC/CD = 2。

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解相似三角形基本知识放缩与相似图形的放大或缩小称为图形的放缩运动。

当两个图形形状相同时,我们称它们为相似图形,或者简称相似性。

需要注意的是,相似图形强调形状相同,与它们的位置、颜色、大小等因素无关。

相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形相似的情况。

我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。

当两个图形形状和大小都相同时,这时是相似图形的一种特例——全等形。

相似多边形的性质如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等,对应边的长度成比例。

需要注意的是,当两个相似的多边形是全等形时,它们的对应边的长度比值为1.比例线段有关概念及性质比例线段的概念比指同一单位下两条线段的长度比较,若两线段的长度分别为m和n,则它们的比为a:b=m:n(或bn)。

比的前项为a,后项为b。

比例指两个比相等的式子,如比例线段的性质对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即比例线段的基本性质是两外项的积等于两内项积,即acbd=adbc。

比例线段还有反比性质、更比性质、合比性质等。

其中,反比性质指如果注意:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样的和差变化比例仍成立。

例如:$\frac{b-ad-c}{ac}=\frac{bd}{a-b+c-d}=\frac{a+bc+d}{ac}$。

5.等比性质:若$\frac{a+c+e+\cdots+m}{a\cdot c\cdote\cdots m}=\frac{b+d+f+\cdots+n}{b\cdot d\cdot f\cdots n}$,其中$b+d+f+\cdots+n\neq 0$,则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}$。

注意:(1)此性质的证明运用了“设$k$法”,这种方法是比例计算和变形中一种常用方法。

相似三角形常见题型解法归纳

相似三角形常见题型解法归纳

A字形,A’形,8字形,蝴蝶形,双垂直,旋转形双垂直结论:射影定理:①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD2=AD•BD⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD•AB⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD•AB结论:⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD结论:面积法得AB•CD=AC•BC→比例式证明等积式(比例式)策略1、直接法:找同一三角形两条边变化:等号同侧两边同一三角形三点定形法2、间接法:⑴3种代换①等线段代换;②等比代换;③等积代换;⑵创造条件①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比相似终极策略:遇等积,化比例,同侧三点找相似;四共线,无等边,射影平行用等比;四共线,有等边,必有一条可转换;两共线,上下比,过端平行条件边。

彼相似,我角等,两边成比边代换。

(3)等比代换:若dcba,,,是四条线段,欲证dcba=,可先证得feba=(fe,是两条线段)然后证dcfe=,这里把fe叫做中间比。

①∠ABC=∠ADE.求证:AB·AE=AC·AD②△ABC中,AB=AC,△DEF是等边三角形,求证:BD•CN=BM•CE.③等边三角形ABC中,P为BC上任一点,AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。

求证:BP•PC=BM•CNC1 / 42 / 4F ED AB C☞有射影,或平行,等比传递我看行斜边上面作高线,比例中项一大片①在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D ,E 为AC 的中点,求证:AB •AF=AC •DF②ABCD③梯形ABCD 中,AD//BC ,作BE//CD,求证:OC 2=OA.OE☞四共线,看条件,其中一条可转换;Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。

(完整)相似三角形常见题型解法归纳,推荐文档

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A 字形,A’形,8字形,蝴蝶形,双垂直,旋转形双垂直结论:射影定理:角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD 2=AD•BD ⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC →AC 2=AD•AB ⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC →BC 2=BD•AB结论:⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD结论:面积法得AB•CD=AC•BC→比例式 证明等积式(比例式)策略1、直接法:找同一三角形两条边变化:等号同侧两边同一三角形 三点定形法2、间接法: ⑴3种代换 ①等线段代换; ②等比代换; ③等积代换; ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略:遇等积,化比例,同侧三点找相似; 四共线,无等边,射影平行用等比; 四共线,有等边,必有一条可转换; 两共线,上下比,过端平行条件边。

彼相似,我角等,两边成比边代换。

(3)等比代换:若是四条线段,欲证,可先证得(是两条线段)然d c b a ,,,dc b a =fe b a =fe ,后证,这里把叫做中间比。

dc f e =fe ①∠ABC =∠ADE .求证:AB ·AE =AC ·AD②△ABC 中,AB=AC ,△DEF 是等边三角形,求证:BD•CN=BM•CE .③等边三角形ABC 中,P 为BC 上任一点,AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。

求证:BP •PC=BM•CN☞有射影,或平行,等比传递我看行斜边上面作高线,比例中项一大片①在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于D ,E 为AC 的中点,求证:AB•AF=AC•DF②ABCD③梯形ABCD 中,AD//BC ,作BE//CD,求证:OC 2=OA.OE☞四共线,看条件,其中一条可转换;①Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。

相似三角形如何求解题技巧

相似三角形如何求解题技巧

相似三角形如何求解题技巧相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等,对应边成比例。

在求解相似三角形的题目时,可以运用以下几个技巧:1. 角的对应关系:相似三角形中,对应角是相等的。

可以通过已知的角度信息,推导出其他角度的大小关系,从而进一步求解问题。

2. 边的比例关系:相似三角形中,对应边是成比例的。

可以利用已知的边的长度信息,求解其他边的长度关系。

3. 高度的比例关系:当两个三角形相似时,它们的高度与底边的比例也是相等的。

这个性质可以用来求解两个相似三角形的高度。

4. 三角形面积的比例关系:相似三角形的面积比也等于边的比例的平方。

这个性质可以应用于求解两个相似三角形的面积比。

下面我们将通过例题来说明这些技巧的应用。

例题1:在三角形ABC中,角A=30°,角C=90°,并且AC=6 cm,BC=8 cm。

如果三角形DEF与三角形ABC 相似,且EF=10 cm,求DE的长度。

解析:根据已知条件,我们可以推导出角B的大小:角B = 180° - 30° - 90° = 60°。

由于三角形ABC与三角形DEF相似,所以对应边是成比例的。

因此,我们可以列出比例关系:AC/DE = BC/EF代入已知条件,得到:6/DE = 8/10解此方程,可得:DE = (6 x 10) / 8 = 7.5 cm分析:通过利用相似三角形的边的比例关系,我们可以求解出DE的长度。

例题2:在三角形ABC中,角A=30°,角B=60°,如图所示。

如果三角形DEF与三角形ABC相似,且面积比为16:25,求DE的长度。

解析:根据已知条件,我们可以推导出角C的大小:角C = 180° - 30° - 60° = 90°。

我们知道相似三角形的面积比等于边的比例的平方,所以我们可以得到:面积比 = (DE/AB)^2代入已知条件,得到:16/25 = (DE/AB)^2由于已知角A和角B的大小,我们可以利用正弦定理求解出AB的长度:AB/sinC = AC/sinBAB/sin90° = AC/sin60°AB = AC x sin90°/sin60°代入已知条件,得到:AB = 6 x 1/√3 = 2√3 cm解方程,可得:(DE/2√3)^2 = 16/25解得DE ≈ 2.65 cm分析:通过利用相似三角形的面积比和三角形的正弦定理,我们可以求解出DE的长度。

初中数学知识归纳相似三角形的判定定理与实例

初中数学知识归纳相似三角形的判定定理与实例

初中数学知识归纳相似三角形的判定定理与实例初中数学知识归纳:相似三角形的判定定理与实例相似三角形是初中数学中重要的概念之一,它涉及到判定与应用两个方面。

本文将对相似三角形的判定定理进行归纳总结,并通过实例加深理解。

一、相似三角形的判定定理1. 三边比例法:如果两个三角形的各边对应边的比相等,即a/b = c/d = e/f,则这两个三角形相似。

例如,如图1所示的三角形ABC和DEF,已知AB/DE = BC/EF = AC/DF = 2/3,就可以判定它们为相似三角形。

[示意图1]2. 三角形内角对应定理:如果两个三角形对应的内角相等,即∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F,则这两个三角形相似。

例如,如图2所示的三角形ABC和DEF,已知∠A = ∠D = 60°,∠B = ∠E = 70°,∠C = ∠F = 50°,就可以判定它们为相似三角形。

[示意图2]3. AA相似判定法:如果两个三角形的两个对应角相等,则这两个三角形相似。

例如,如图3所示的三角形ABC和DEF,已知∠A = ∠D,∠C =∠F,就可以判定它们为相似三角形。

[示意图3]4. SSS相似判定法:如果两个三角形的对应边成比例,则这两个三角形相似。

例如,如图4所示的三角形ABC和DEF,已知AB/DE = BC/EF = AC/DF = 2/3,就可以判定它们为相似三角形。

[示意图4]二、相似三角形的实例与应用1. 高度定理:在一个直角三角形中,高与斜边的关系是恒定的。

根据这个定理,我们可以利用相似三角形来求解一些直角三角形的问题。

例如,如图5所示的直角三角形ABC中,已知AB = 3 cm, BC = 4 cm,求AC的长度。

[示意图5]解法:由于三角形ABC是直角三角形,根据高度定理可知,∆ABC与∆ACD相似。

由此可以得到以下等式:AB/AC = BC/AD。

将已知数据代入可得3/AC = 4/AD,整理得AC = 3/4 * AD。

相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳一、比例的性质:二、成比例线段的概念: 1.比例的项:在比例式::a b c d =(即a cb d =)中,a ,d 称为比例外项,b ,c 称为比例内项.特别地,在比例式::a b b c =(即a bb c=)中,b 称为a ,c 的比例中项,满足b ac 2=.2.成比例线段:四条线段a ,b ,c ,d 中,如果a 和b 的比等于c 和d 的比,即a cb d=,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段.3.黄金分割:如图,若线段AB 上一点C ,把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC BC >),且使AC 是AB 和BC 的比例中项(即AC AB BC 2=⋅),则称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫线段AB 的黄金分割点,其中.AC AB AB ≈0618,BC AB =.AB ≈0382,AC 与AB 的比叫做黄金比.(注意:对于线段AB 而言,黄金分割点有两个.)三、平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理A两条直线被三条平行线所截,所得的对应线段成比例,简称为平行线分线段成比例定理.如图:如果123////l l l ,则AB DE BC EF =,AB DE AC DF =,BC EFAC DF=.AD BE CF1l 2l 3lA D BE CF 1l 2l 3l【小结】若将所截出的小线段位置靠上的(如AB )称为上,位置靠下的称为下,两条线段合成的线段称为全,则可以形象的表示为=上上下下,=上上全全,=下下全全.2.平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线,截其它两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图:如果EF//BC ,则AE AF EB FC =,AE AF AB AC =,BE CFAB AC=. ABC E FFEC BA平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若AE AF EB FC =或AE AF AB AC =或BE CF AB AC=,则有EF//BC . 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立,反例:任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边,这三条直线满足分线段成比例,但是它们并不平行.【小结】推论也简称“A ”和“8”,逆定理的证明可以通过同一法,做'//EF BC 交AC 于'F 点,再证明'F 与F 重合即可.四、相似三角形的定义、性质和判定 1.相似图形①定义:对应角相等,对应边成比例的图形叫做相似图形.对应边的比例叫做相似比.相似图形是形状相同,大小不一定相同.相似图形间的互相变换称为相似变换.②性质:两个相似图形的对应角相等,对应边成比例.2.相似三角形的定义3.相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等. 如图,∽△△ABC A B C ''',则有 A A '∠=∠,B B C C ''∠=∠∠=∠,.②相似三角形的对应边成比例. 如图,∽△△ABC A B C ''',则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''(k 为相似比). ③相似三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,都等于相似比.如图,△ABC ∽△A B C ''',AM AH 、和AD 是△ABC 中BC 边上的中线、高线和角平分线,A M ''、A H ''和A D ''是△ABC '''中B C ''边上的中线、高线和角平分线,则有AB BC AC AM AH ADk A B B C A C A M A H A D ======''''''''''''④相似三角形周长的比等于相似比. 如图,△ABC ∽△A B C ''',则有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++. ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方. 如图,△ABC ∽△A B C ''',则有 △△ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H 2'''1⋅⋅2==⋅=1''''''''⋅⋅24.相似三角形的判定判定定理判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. 简称为两角对应相等,两个三角形相似. 如图,如果'A A ∠=∠,'B B ∠=∠,则△∽△ABC A B C '''.判定定理2:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似.简称为三边对应成比例,两个三角形相似.如图,如果AB BC ACA B B C A C =='''''',则 △∽△ABC A B C '''.判定定理3:如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似. 简称为两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.如图,如果AB ACA B A C ='''','A A ∠=∠,则△∽△ABC A B C '''.五、“A ”字和“8”字模型六、与内接矩形的有关的相似问题如图,已知四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形,E 、F 在BC 边上,D 、G 分别在AB 、AC 边上,则有:△∽△ADG ABC ,DG ANBC AM=. 特别地,当BAC ∠=90︒时,有△∽△∽△∽△ADG EBD FGC ABC .NM GFE DCB AGFEDCBA七、“A ”字和“8”字模型的构造“A ”字和“8”字模型的构造常常作平行线,常见的作平行线的方法:G EDCAGFEDCBA G FE DC B ADEFCBAGA HDFBECAGDF BEC八、斜“8”模型九、斜“A”模型十、射影定理十一、三平行模型十一二、三垂直模型十三、角平分线定理十四、线束模型题型一 比例的性质和成比例线段的概念例题1 (1)已知::::x y z =135,则x y zx y z+3--3+的值是_______.(2)若x y z 234==.则x y z x y-+3=3-_______. (3)若a b c 2=3=4,且abc ≠0,则a bc b+-2的值是_______. 解析(1)设x k =,y k =3,z k =5.∴x y z k k k x y z k k k +3-+9-55==--3+-9-53;(2)113;(3)-2 巩固1: (1)如果:2:3x y =,则下列各式不成立的是( ) A .53x y y += B .13y x y -= C .123x y = D .1314x y +=+ (2)已知:23a c e b d f ===,求值:①a cb d++;②2323a c e b d f -+-+. (3)已知b c a c a b a b c a b c +-+-+-==,求()()()a b b c a c abc+++的值. 解析:(1)A 为合比性质,B 为分比性质,C 显然正确,D 错误,由于11x y ≠,不能用等比定理.故答案为D .(2)由等比性质直接可以得到23a c b d +=+;232233a c eb d f -+=-+. (3)当0a bc ++≠时,()()()b c a c a b a b c b c a c a b a b c a b c a b c+-+-+-+-++-++-====1++ 于是:2,2,2b c a a c b a b c +=+=+=,()()()a b b c a c abc+++=8.当0a b c ++=时,()()()()()()a b b c a c c a b abc abc+++-⋅-⋅-==-1.本题答案为1-或8.题型二 平行线分线段成比例定理 例题2(1)如图2-1,已知∥∥l l l 123,用面积法证明:AB DEBC EF=. (2)如图2-2,∥∥AD BE CF ,若AB =4,AC =10,DE =5,则DF =______. (3)如图2-3,∥∥l l l 123,AB =3,BC =5,DF =12,则_______DE =,______EF =.A D BECF l 12l 3lAD B ECFA DBECF l 12l l 3图2-1 图2-2 图2-3(1)如图所示,连接AE ,BD ,BF ,CE .△△ABECBES AB BC S =∴. ∥AD BE ∵,∥BE CF ,△△ABE DEB S S =∴,△△CBE FEB S S =.△△△△ABE EDB CBE EFB S S AB DEBC S S EF===∴. (2)252; (3)92,152. 巩固2: (1)如图2-1,直线∥∥l l l 123,已知.cm AG =06,.cm BG =12,.cm CD =15,CH =_____.(2)如图2-2,在△ABC 中,D 、E 分别为AB 、AC 边上的点,若AD BD 2=3,AE =3,则AC =______(3)如图2-3,AB ∥DE ,AE 与DB 交于C ,AC =3,BD =3,CD =2,则CE =______A CH GDBl 1l 2l 3B ADEABC图2-1 图2-2 图2-3解析:(1)0.5cm ;(2)152;(3)6 题型三 相似三角形的定义、性质和判定 例题3如图,直角梯形ABCD 中,∠ADC =90︒,∥AD BC ,点E 在BC 上,点F 在AC上,∠∠DFC AEB =.(1)求证:△∽△ADF CAE .(2)当AD =8,DC =6,点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时,求直角梯形ABCD 的面积.解析:(1)∵∥AD BC ,∴∠∠DAF ACE =,∵∠∠DFC AEB =,∴DFA AEC ∠=∠,∴△∽△ADF CAE(2)∵AD =8,DC =6,∴AC =10,又∵F 是AC 的中点,∴AF =5 ∵△∽△ADF CAE ,∴AD AF CA CE =,∴CE 85=10,∴CE 25=4,∵E 是BC 的中点, ∴BC 25=2,∴直角梯形ABCD 的面积125123⎛⎫=⨯+8⨯6= ⎪222⎝⎭A D BECF l 12l 3l F EDCBA巩固3: (1)下列所给条件中,可以判断△ABC 与△DEF 相似的是( ) A .90A ∠=︒,90F ∠=︒,5AC =,13BC =,10DF =,26EF = B .85C ∠=︒,85E ∠=︒,AC DEBC DF=C .1AB =, 1.5AC =,2BC =,8EF =,10DE =,16FD = D .46A ∠=︒,80B ∠=︒,45E ∠=︒,80F ∠=︒(2)如图1,在△ABC 中,点D 是BC 边上的中点,且AD AC =,DE BC ⊥,交BA 于点E ,EC 与AD 相交于点F .求证:△∽△ABC FCD .(3)如图2,△ABC 为等腰直角三角形,BD CE BC 21⋅=2,求证:△∽△ACE DBA .AEF DADB CE图1 图2解析:(1)D ; (2)AD AC =∵,FDC ACB ∠=∠∴;DE ∵垂直平分BC ,EB EC =∴, ∴ABC FCD ∠=∠,△∽△ABC FCD ∴.(3)由等腰直角三角形得到BC =条件变为BD CE AB AB AC 2221⋅=⋅2==2,条件变为比例形式:BD BAAC CE=,由于DBA ACE ∠=180︒-45︒=∠,∴△∽△ACE DBA .题型四 “A ”字和“8”字模型例题4 (1)如图4-1,已知□ABCD 中,过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ,若BE =5,EF =2,则FG 的长为____________.(2)如图4-2,已知在□ABCD 中,M 、N 为AB 的三等分点,DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点,则AP:PQ:QC =____________.G BAF DC EC AD M N PQ图4-1 图4-2解析:(1)∵四边形ABCD 为平行四边形,∴//AD BC ∴△∽△AEF CEB ,△∽△GFD GBC ,∴AF EF CB EB 2==5,∴DF AD AF CB CB -3==5∴FG DF BG CB 3==5,即FG FG 3=+75.得.FG =105. (2)由DC ∥AB ,得AP AM PC AB 1==3,AP AC 1=4,同理AQ AC 2=5,PQ AC 2=51-4AC =AC 320,QC =AC 35,故1::::::4AP PQ QC 33==5312205.巩固4: (1)如图4-1,在ABC △中,M 、E 把AC 边三等分,MN//EF//BC ,MN 、EF 把ABC △分成三部分,则自上而下部分的面积比为 .(2)如图4-2,AB 、CD 、EF 都与BD 垂直,垂足分别是B 、D 、F ,且1AB =,3CD =,则:EF CD 的值为__________.(3)如图4-3,已知在平行四边形ABCD 中,M 为AB 的中点,DM ,DB 分别交AC 于P ,Q 两点,则::AP PQ QC =___________.NM FE C BAAB CEF DA CBQPD图4-1 图4-2 图4-3解析:(1)1:3:5;(2)14;(3)AQ CQ AC 1==2∵,又AP AM PC CD 1==2,AP AC 1=3∴ PQ AC AC 111⎛⎫=1--= ⎪236⎝⎭∴,::::AP PQ QC =213∴.题型五 与内接矩形有关的相似问题 例题5(1)如图5-1,△ABC 中,正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上,另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上,BC =15,BC 边上的高AD =10,求正方形EFGH S .(2)如图5-2,已知△ABC 中,四边形DEGF 为正方形,D ,E 在线段AC ,BC 上,F ,G 在AB 上,如果ADF CDE S S ∆∆==1,BEG S ∆=3,求△ABC 的面积.HAB C D E FGACDEGB图5-1 图5-2解析:(1)设正方形EFGH 的边长为x ,AD 、HG 的交点为M , 则有AM HG AD BC =,即x x10-=1015,解得,x =6,故EFGH S 2=6=36正方形(2)设正方形边长为x ,则AF x 2=,CI x 2=,BG x6=. 由△∽△CDE CAB ,得CI DE CH AB =,∴xxx x x x2=28++,解得x =2, ∴AB =6,CH =3,∴ABC S AB CH ∆1=⋅=92巩固5: 如图,已知ABC △中,AC =3,BC =4,C ∠=90︒,四边形DEGF 为正方形,其中D 、E 在边AC 、BC 上,F 、G 在AB 上,求正方形的边长.GF EDC B A H IDC EGF ABGFED CBA H MACDEG BIHHPED CB A解析:法一:由勾股定理可求得AB =5,由AB CH AC BC ⋅=⋅可得.CH =24. 由CDE CAB △∽△可得DE CI AB CH =,设正方形的边长为x ,则..x x 24-=524,解得x 60=37. 法二:设CE k =4,则DE k =5,∴GE k =5,BE k 25=3. ∴CE BE +=4,即k k 254+=43,解得k 12=37,∴DE k 60=5=37.题型六 “A 字和“8”字模型的构造 例题6如图,ABC △中,D 为BC 边的中点,延长AD 至E ,延长AB 交CE 的延长线于P .若AD DE =2,求证:3AP AB =.解析:如图,过点D 作PC 的平行线,交AB 于点H . ∵HD PC ∥,AH ADAD DE AH PH PH DE=2⇒==2⇒=2, HD PC ∥,BH BDBD CD BH PH PH CD=⇒==1⇒=, ∴AP AH PH PH =+=3,AH BH AB PH BH =+=2=2, ∴AB BH PH ==,∴AP PH AB =3=3. 还可用如下辅助线来证此题:A BCD EKPABCDEK P PKED CBA巩固6: 如图,已知线段AB ∥CD ,AD 与BC 相交于点K ,E 是线段AD 上一动点. (1)若BK KC 5=2,求CDAB的值; (2)连接BE ,若BE 平分∠ABC ,则当AE AD 1=2时,猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当AE AD n1=()n >2,而其余条件不变时,线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论,不必证明.解析:(1)∵BK KC 5=2,∴CK BK 2=5,又∵CD ∥AB ,∴KCD KBA △∽△,∴CD CK AB BK 2==5(2)当BE 平分ABC ∠,AE AD 1=2时,AB BC CD =+;证明:取BD 的中点为F ,连接EF 交BC 于G 点,由中位线定理,得EF//AB//CD ,∴G 为BC 的中点,GEB EBA ∠=∠,又∵EBA GBE ∠=∠,∴GEB GBE ∠=∠,∴EG BG BC 1==2,ABDECC DEKBA而GF CD 1=2,EF AB 1=2,EF EG GF =+,即:AB BC CD 111=+222;AB BC CD ∴=+;当AE AD n1=(n >2)时,(1)BC CD n AB +=-. 题型七 斜“A ”和斜“8”模型 例题7如图,在ABC △中,AD BC ⊥于D ,CE AB ⊥于E ,ABC △的面积是BDE △面积的4倍,6AC =,求DE 的长.解析:∵AD BC ⊥,CE AB ⊥,ABD CBE ∠=∠, ∴ABD CBE △∽△, ∴BE BCBD AB =,∵EBD CBA ∠=∠,∴BED BCA △∽△,∴11322DEDE AC AC===⇒==.巩固7: (1)如图,ABC △是等边三角形,点D ,E 分别在BC ,AC 上,且BD CE =,AD 与BE 相交于点F .求证:①BD AD DF 2=⋅;②AF AD AE AC ⋅=⋅;③BF BE BD BC ⋅=⋅. (2)如图,四边形ABCD 是菱形,AF AD ⊥交BD 于E ,交BC 于F .求证:AD DE DB 21=⋅2.FECDBAA DEF C解析:(1)∵等边ABC △,∴AB BC =,ABC ACB BAC ∠=∠=∠=60︒ ∵BD CE = ∴ABD BCE △≌△.∴BAD CBE ∠=∠,∴BFD BAD ABE CBE ABE ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴ABD BFD △∽△ ∴BD DFAD BD=,∴BD AD DF 2=⋅. ②证明AFE ACD △∽△即可. ③证明BFD BCE △∽△即可.(2)方法一:取DE 中点M ,连接AM , ∵AF AD ⊥,M 为DE 中点∴MA MD DE 1==2,∴∠1=∠2,又∵AB AC =,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴DAM DBA △∽△,∴DA DM DB 2=⋅,∴AD DE DB 21=⋅2. 方法二:取BD 中点N ,连接AN .由等腰三角形的性质可知:AN BD ⊥, 又∵EAD ∠=90︒,∴AND EAD △∽△,∴AD DN DE 2=⋅, 又∵DN BD 1=2,∴AD DE BD 21=⋅2. 总结:考查斜“A ”和斜“8”常见结论,看到比例乘积想到斜“A ”和斜“8”,也要会找ADEF CM123ED CAB巩固8: 在等边ABC △中,点D 为AC 上一点,连结BD ,直线l 与AB ,BD ,BC 分别相交于点E 、P 、F ,且BPF ∠=60︒.(1)如图8-1,写出图中所有与BPF △相似的三角形,并选择其中一对给予证明. (2)若直线l 向右平移到图8-2、图8-3的位置时(其它条件不变),(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出来(不证明),若不成立,请说明理由.(3)探究:如图8-1,当BD 满足什么条件时(其它条件不变),PF PE 1=2?请写出探究结果,并说明理由.(说明:结论中不得含有未标识的字母)图3图2图1lP FEDCB AFP EDC BAlFPEDCBA 图3图2l P F E D CB A l FPEDC BA图3lPFED CB A 图8-1 图8-2 图8-3 解析:(1)BPF EBF △∽△与BPF BCD △∽△,以BPF EBF △∽△为例,证明如下: ∵BPF EBF ∠=∠=60,BFP BFE ∠=∠,∴BPF EBF △∽△. (2)均成立,均为BPF EBF △∽△,BPF BCD △∽△.(3)BD 平分ABC ∠时,PF PE 1=2.证明:∵BD 平分ABC ∠,∴ABP PBF ∠=∠=30∵BPF ∠=60,∴BFP ∠=90,∴PF PB 1=2,又BEF ABP ∠=60-30=30=∠,∴BP EP =,∴PF PE 1=2.题型八 射影定理 例题8如图,已知AD 、CF 是ABC △的两条高,EF AC ⊥与E ,交CB 延长线于G ,交AD 于H ,求证:EF EH EG 2=⋅.解析:∵CF AB ⊥,EF AC ⊥,∴EF AE CE 2=⋅, 又由AD BC ⊥可知,AEH CEG ∠=∠=90︒,EAH EGC ∠=∠,∴AEH GEC △∽△,∴EH EAEC EG=, ∴EH EG EA EC ⋅=⋅,∴EF EH EG 2=⋅.巩固9: (1)如图9-1,在ABC △中,CD AB ⊥于D ,DE AC ⊥于E ,DF BC ⊥于F .求证:CEF CBA △∽△.(2)如图9-2,在Rt ABC △中,AD 是斜边BC 上的高,DE AC ⊥于E ,DF AB ⊥于F ,求证:AB FB FD AC EC ED44⋅=⋅. GHFED CB ACAEFDBBAEDC F图9-1 图9-2解析:(1)分别在ADC △与CDB △中由射影定理得到:2CD CE CA =⋅,2CD CF CB =⋅, CE CA CF CB ⋅=⋅∴,即CE CFCB CA=,ECF BCA ∠=∠∵,ECF BCA ∴△∽△. (2)由射影定理可以依次得到422422AB BD BC BF ABAC DC BC EC AC⋅⋅==⋅⋅, 于是仅需证明AB FDAC ED=, 由于BDA ADC △∽△,DF DE 、分别是AB 与AC 上的高,所以有AB DFAC DE=,得证. 题型九 三垂直模型 例题9如图,M 为线段AB 的中点,AE 与BD 交于点C ,DME A B α∠=∠=∠=,且DM交AC 于F ,ME 交BC 于G . (1)求证:AMF BGM △∽△.(2)连接FG ,如果45α=︒,42AB =,3AF =,求FG 的长.解析:(1)由题意得,DME A B α∠=∠=∠=, ∴180AMF BMG α∠+∠=︒-,180AMF AFM α∠+∠=︒-,∴BMG AFM ∠=∠, 又E A B α∠=∠=∠=,∴△AMF ∽△BGM .(2)∵AMF BGM △∽△,∴AM AF BG BM =∴,∵M 为AB 的中点,∴12AM BM AB ==∴, ∵42AB =,3AF =,∴83BG =∴, ∵45α=︒∵,∴90ACB ∠=︒∴,4AC BC ==,∴1CF AC AF =-=∴,43CG BC BG =-=, ∴2253FG CF CG =+=.巩固10: (1)如图10-1,矩形ABCD 中,由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置,则矩形ABCD 的周长为____________.(2)如图10-2,在直角坐标系中,矩形ABCO 的边OA 在x 轴上,边OC 在y 轴上,点B 的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC 翻折,使得B 点落在D 点的位置,且AD 交y 轴于点E ,则D 点坐标为___________.GFE DCB AByD E OAxC图10-1 图10-2EDCG FBM A解析:(1)ABE ECF FDG △∽△∽△,2AB AEFD FG==, ∴2AB DF =,∴2AB CF =,1AB AE BEEC EF CF===, ∴AB CE =,BE CF =,∴2CE CF =, 又∵4EF =,∴CE =,CF =BC,AB , ∴矩形ABCD的周长为(2)过D 点做DF x ⊥轴于F 点,BC 与FD 的延长线交于G 点 则CGD DFA △∽△,∴13CG GD CD DF AF AD ===, 设CG x =,则3DF x =,1AF x =+,33GD x =-, 由于3AF GD =,列得方程:()1333x x +=-, 解得45x =,故45CG =,125DF =,求得D 点坐标为41255⎛⎫- ⎪⎝⎭,.巩固11: 如图11-1,ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形,90BAC EDF ∠=∠=︒,DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合.将DEF △绕点E 旋转到如图11-2,线段DE 与线段AB 相交于点P ,线段EF 与线段CA 的延长线相交于点Q . (1)求证:BPE CEQ △∽△.(2)已知BP a =,92CQ a =,求P 、Q 两点间的距离(用含a 的代数式表示).B DFA PQECBDFAP Q图11-1 图11-2解析:(1)∵ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形,∴45B C DEF ∠=∠=∠=︒, ∴135BEP CEQ ∠+∠=︒,135CQE CEQ ∠+∠=︒,∴BEP CQE ∠=∠, 又∵45B C ∠=∠=︒,∴BPE CEQ △∽△. (2)连接PQ ,∵BPE CEQ △∽△,∴BP BECE CQ=, ∵BP a =,92CQ a =,BE CE =,∴BE CE ==,∴BC =,∴3AB AC a ==,∴32AQ a =,2PAa =,在Rt APQ △中,52PQ a =.题型十 三平行模型例题10 已知:如图,在梯形ABCD 中,AB//CD ,M 是AB 的中点,分别连接AC 、BD 、MD 、MC ,且AC 与MD 交于点E ,DB 与MC 交于F . (1)求证:EF//CD ;(2)若AB a =,CD b =,求EF 的长.DFAPQFEMDCBA解析:(1)∵AB CD ∥,∴ME AM ED CD =,MF BMFC CD=, ∵AM BM =,∴AM BM CD CD =(中间过渡量),∴ME MF EF CD ED FC=⇒∥. (2)∵AM EF CD ∥∥,∴111EF AM CD =+,∴2abEF a b=+. 巩固12: 如图所示,在ABC △中,120BAC ∠=︒,AD 平分BAC ∠交BC 于点D .求证:111AD AB AC=+.ABDABCEF解析:分别过B 、C 两点做AD 的平行线,分别交CA 、BA 的延长线于E 、F 两点. 由于EB//AD//FC ,有111AD BE FC=+;由于60EBA BAD ∠=∠=︒,18060EAB BAC ∠=︒-∠=︒所以EAB △为正三角形,同理FAC △亦为正三角形.BE AB =∴,FC AC =.故111AD AB AC=+. 题型十一角平分线定理例题11 在ABC △中,B ∠的平分线交AC 于D ,C ∠的平分线交AB 于E ,且BE CD =.求证:AB AC =.解析:由角平分线定理得到AB AD BC DC =,AC AEBC BE=, ∵BE CD =∵,∴AD DC BE AE AB BC BC AC===∴ 即AD AEAB AC=,∴AD AC CD =-∴,AE AB BE =- ∴()()AC AC CD AB AB CD -=-,整理得到()()0AC AB AC AB CD -+-= 明显0AC AB CD +-≠,故AC AB =.巩固13: (1)如图13-1,在ABC △中,C ∠=90︒,CA =3,CB =4,且CD 是C ∠的平分线.则AD 的长为__________.(2)如图13-2,I 是ABC △内角平分线的交点,AI 交对应边于D 点,求证:AI AB ACID BC+=.CADBIAD B C图13-1 图13-2解析:(1)由角平分线定理34AD ACDB BC ==,由于5AB ==,31577AD AB ==∴ B AED(2)由角平分线定理得到AI AB AC ID BD CD ==,由等比性质得到:AI AB AC AB AC ID BD CD BC++==+. 巩固14: 若AP PB =,2APB ACB ∠=∠,AC 与PB 相交于点D ,且4PB =,3PD =.求AD DC ⋅的值.P DCBAEA BCDP解析:过P 点做APB ∠的角平分线PE ,交AD 于E 点.∵EPD APE C ∠=∠=∠∵,且PDE CDB ∠=∠,∴PDE CDB ∴△∽△,∴3ED DC PD DB ⋅=⋅=∴, 又由于PE 是角平分线,∴PA AE PD ED =∴,∵4PA PB ==∵,∴43AE ED =∴,∴73AD ED =∴, 773AD DC ED DC ⋅=⋅=∴. 题型十二 线束模型例题12 如图,M 、N 为ABC △边BC 上的两点,且满足BM MN NC ==,一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .求证:3EF DE =. 法一:如下左图,过D 作DG BC ∥交AC 于G ,交AM 、AN 于P 、Q , 由线束定理可知DP PQ QG ==,∵DF AC ∥,∴DE DP AG PG 1==2,DF DQ AG QG ==2, ∴DE DF 1=4,∴EF DE =3.过E 点或F 点作BC 的平行线也可得到类似的证法. 法二:如下右图,过M 作PQ DF ∥,交AB 于P , 交AF 延长线于Q ,则有AC DF PQ ∥∥, ∴PM BM AC BC 1==3,QM MNAC NC==1, ∴PM QM 1=3,由线束定理可知DE PM EF QM 1==3, 即EF DE =3.过B 点或N 点作DF 的平行线也可得到类似的证法.QPABCMN DEFQP GABCMNDEF巩固15: (1)如图15-1,AB ∥CD ,AD 与BC 交于点P ,过P 点的直线与AB 、CD 分别交于E ,F .求证:AE DFBE CF=. FED NMCBA(2)如图15-2,AB ∥CD ,AD 与BC 交于点P ,连接CA 、DB 并延长相交于O ,连接OP 并延长交CD 于M ,求证:点M 为CD 的中点.(3)如图15-3,在图15-2中,若点G 从D 点向左移动(不与C 点重合),AG 与BC 交于点P ,连OP 并延长交CD 于M ,直接写出MC 、MG 、MD 之间的关系式.AC FDE B POABCM D POAB CM D P G图15-1 图15-2 图15-3解析:(1)证明:如图1,∵AB //CD ,AD 与BC 交于点P , ∴AEP DFP △∽△,BFP CFP △∽△, ∴AE EP DF FP =,BE EP CF FP =,∴AE BE DF CF =,∴AE DFBE CF=; (2)证明:如图2,设OM 交AB 于点N .∵AB //CD ,∴AON COM △∽△,BON DOM △∽△,AOB COD △∽△, ∴OA AN OC CM =,OB BN OD DM =,OA OB OC OD =,∴AN BNCM DM=①, ∵ANP DMP △∽△,BNP CMP △∽△,APB DPC △∽△, ∴AN AP DM DP =,DN BP CM CP =,AP BP DP CP =,∴AN BNDM CM=②, ①÷②,DM CMCM DM=,∴CM =DM ,即点M 为CD 的中点; (3)解:MC 2=MG •MD ,理由如下:如图3,设OM 交AB 于点N . ∵AB //CD ,∴MCP NBP △∽△,NAP MGP △∽△,∴MC MP NB NP =①,NA NPMG MP=②, ①×②,得MC NA MP NP NB MG NP MP ⨯=⨯=1,∴MC NB MG NA=. ∵AON COM △∽△,BON DOM △∽△,∴NA ON MC OM =,NB ONMD OM=, ∴NA NB MC MD =,∴MD NB MC NA =,∴MC MDMG MC=,∴MC MG MD 2=⋅. 题型十三相似综合例题13 如图,点A 的坐标为(2,2),点C 是线段OA 上的一个动点(不与O 、A 两点重合),过点C 作CDx 轴,垂足为D ,以CD 为边在右侧作正方形CDEF .连接AF 并延长交x轴的正半轴于点B ,连接OF .若以B 、E 、F 为顶点的三角形与OFE △相似,则点B 的坐标是 .解析:要使BEF △与OFE △相似, ∵FEO FEB ∠=∠=90︒ ∴只要OE EF EB EF =或OE EF EF EB =,即BE t =2或EB t 1=2. ② 当BE t =2时,BO t =4, ∴t t t 2=42-,∴t =0(舍去)或t 3=2,∴(,)B 60. ②当EB t 1=2时,(i )当B 在E 的左侧时,OB OE EB t 3=-=2,∴tt t23=2-2,∴t=0(舍去)或t2=3,∴(,)B10.(ii)当B在E的右侧时,OB OE EB t5=+=2,∴ttt25=2-2,∴t=0(舍去)或t6=5,∴(,)B30.巩固16:如图,Rt ABC△中,ACB∠=90︒,CD AB⊥于D,过点D作DE BC⊥,BDE△边DE上的中线BF延长线交AC于点G.(1)求证:AD BD CE CB⋅=⋅;(2)若AG FG=,求:BF GF;(3)在(2)的条件下,若BC=62BD的长度.AFECDGAFECDG P解析:(1)证明:∵CD AB⊥,∴BCD△是直角三角形.∵DE BC⊥,∴CD CE CB2=⋅.∵ABC△是直角三角形,CD AB⊥,∴CD AD BD2=⋅,∴AD BD CE CB⋅=⋅;(2)解:过G作GP DF⊥交DF于P,连结DG,∵AC BC⊥,DE BC⊥,GF DE⊥,∴四边形CEPG是矩形,∴CG EP=在Rt ADC△中,∵G是边AC中点,∴AG DG CG==.又∵AG FG=,∴DG FG=,∴GFD△是等腰三角形.∴GP是FD的中线,DP FP=,即FP DF EF1=1=22.∵CG EP=,FP EF=12,∴::PF CG=13,∴::PF FG=13.∵PFG EFB CGB△△△∽∽,∴::::CG BG EF BF PF GF===13,∴::FG BG=13,::BF GF=21;(3)解:∵BC=62:::CE BE GF BF==12,∴CE=22,BE=42∵::EF BF=13,设EF x=,则BF x=3,∴()x x222+2=9,解得x=2,∴BF=6,GF=3,AC=6,∴()AB AC BC2222+6+6263BD=43。

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A 字形,A ’形,8字形,蝴蝶形,双垂直,旋转形
双垂直结论:射影定理:①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD •BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD •AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD •AB
结论:⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD
结论:面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略
1、直接法:找同一三角形两条边变化:等号同侧两边同一三角形 三点定形法
2、间接法: ⑴3种代换 ①等线段代换; ②等比代换; ③等积代换; ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件
相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略:
遇等积,化比例,同侧三点找相似; 四共线,无等边,射影平行用等比; 四共线,有等边,必有一条可转换; 两共线,上下比,过端平行条件边。

彼相似,我角等,两边成比边代换。

(3)等比代换:若d c b a ,,,是四条线段,欲证
d
c b a =,可先证得
f
e b a =(f
e ,是两条线段)然
后证
d
c f e =,这里把
f
e 叫做中间比。

①∠ABC =∠ADE .求证:AB ·AE =AC ·AD
②△ABC 中,AB=AC ,△DEF 是等边三角形,求证:BD•CN=BM•CE .
③等边三角形ABC 中,P 为BC 上任一点,AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。

求证:BP •PC=BM •CN
☞有射影,或平行,等比传递我看行斜边上面作高线,比例中项一大片
①在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D ,E 为AC 的中点,
求证:AB •AF=AC •DF
D
C
A

ABCD
③梯形ABCD 中,AD//BC ,作BE//CD,求证:
OC 2=OA.OE
☞四共线,看条件,其中一条


换;
Rt △ABC 中四边形DEFG 为正方形。

求证:EF 2=BE •FC
②△ABC 中,AB=AC ,AD 是BC 边上的中线,CF ∥BA , 求
证:BP 2=PE·PF 。

③AD 是△ABC 的角平分线,EF 垂直平分AD ,交BC 的延长
线于E ,交AB 于F. 求证: DE 2=BE ·CE.
☞两共线,上下比,过端平行条件边。

①AD 是△ABC 的角平分线.求证:AB:AC=BD:CD. ②在△ABC 中,AB=AC , 求证:DF:FE=BD:CE. ③在△ABC 中,AB >AC ,D 为AB 上一点,E 为AC 上
一点,
AD=AE ,直线DE 和BC 的延长线交于点P ,求证:BP:CP=BD:CE.
④在△ABC 中,BF 交AD 于E.
(1)若AE:ED=2:3,BD:DC=3:2,求AF:FC ; (2)若AF:FC=2:7,BD:DC=4:3,求AE:ED.
(3)BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC ⑤在△ABC 中,D 、E 分别为BC 的三等分点,AC 边上的中
线BM 交
AD 于P ,交AE 于Q ,若BM=10cm ,试求BP 、PQ 、QM 的长.
⑥△ABC 中,AC=BC ,F 为底边AB 上的一点,(m 、 n >0),取CF 的中点D ,
连结AD 并延长交BC 于E.(1)
的值.(2)如果BE=2EC ,那么CF 所在直线与边AB 有
怎样的位置关系?证明你的结论;(3)E 点能否为BC 中点?如果能,求出相应的的值;如果不能,证明你的结论。

☞彼相似,我条件,创造边角再相似
F
B
A C
D E
3
21E D
A
B
C
12
F
E
D B
C
A
P
D A B
C
E E A
B
C
D
F
①AE 2=AD ·AB ,且∠ABE =∠BCE ,试说明△EBC ∽△DEB ②已知ABD ∆∽ACE ∆,求证:ABC ∆∽ADE ∆.
③D 为△ABC 内一点,连接BD 、AD ,以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ,∠BCE=∠BAD ,求证:△DBE ∽△ABC 。

④D 、E 分别在△ABC 的AC 、AB 边上,且AE •AB=AD •AC ,BD 、CE 交于点O. 求证:△BOE ∽△COD.。

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