第10章 多元线性回归
多元线性回归模型(总)
目录第一章课程设计的名称、目的、任务及要求 (1)1.1 课程设计的名称 (1)1.2 课程设计的目的 (1)1.3 课程设计的任务 (1)1.4 课程设计的要求 (2)第二章问题分析 (3)2.1 背景资料 (3)2.2 问题重述 (3)2.3 问题分析 (3)第三章假设与符号约定 (5)3.1 模型假设 (5)3.2 模型符号约定 (5)第四章模型的建立与求解 (6)4.1数据分析 (6)4.2模型的建立 (7)4.3模型求解过程 (10)4.3.1问题二的求解过程 (10)4.3.2问题三的求解过程 (10)4.3.3问题四的求解过程 (11)第五章模型结果分析及检验 (14)5.1模型分析及检验 (14)5.2模型评价 (20)结论 (22)参考文献 (23)结束语 (24)第一章 课程设计的名称、目的、任务及要求1.1 课程设计的名称本文研究的课题的名称为：多元线性回归问题。
1.2 课程设计的目的养猪生产的最终目的是为满足消费者对瘦肉的要求，一般瘦肉率越高的猪卖的价格更高一些，而瘦肉率就是指猪含有的瘦肉量，瘦肉在整个中所占的比率。
我们知道猪的瘦肉总产量与许多因素有关，包括猪的眼肌面积、猪的腿瘦肉量及猪的腰瘦肉量。
这三者的多少直接影响猪瘦肉的产量，究竟哪些因素对猪瘦肉的产量影响更大一些，针对上诉问题本文采用多元线性回归方法，分析猪的瘦肉量与哪个因素联系更加密切，且与三个因素之间存在着怎么的线性关系。
1.3 课程设计的任务根据下表1中的某猪场25头育肥猪4个胴体性状的数据资料，试进行瘦肉量y 对眼肌面积（1x ）、腿肉量(2x )、腰肉量(3x )的多元线性回归分析。
1.4 课程设计的要求根据表1的数据完成下面问题的求解：1）画出散点图y 与1x ，y 与2x ，y 与3x 并观察y 与1x ，2x ， 3x 的关系； 2）求y 关于1x ，2x ， 3x 的线性回归方程：0112233ˆˆˆˆˆya a x a x a x =+++ （1） 求出0123,,,a a a a 的值；3）对上述回归模型和回归系数进行检验；4）再分别求y 关于单个变量1x ，2x , 3x 的线性回归方程：10111ˆˆˆy a a x =+ （2） 20222ˆˆˆy a a x =+ （3） 30333ˆˆˆya a x =+ （4） 求出ij a 的值； 分别求y 关于两个变量1x ，2x , 3x 的线性回归方程：10111122ˆˆˆˆy a a x a x =++ (2’) 20222233ˆˆˆˆy a a x a x =++ （3’） 30311333ˆˆˆˆy a a x a x =++ （4’） 求出系数ij a 的值；并说明这六个回归方程对原来问题求解的优劣。
多元线性回归模型的矩阵表示课件
直线计算 Yi的理论值，然后计算回归残差序列，
再结合样本数据进行计算。
25
第四节 统计推断和预测
一、参数估计量的标准化 二、统计推断和检验 三、预测
26
一、参数估计量的标准化
在满足模型假设的情况下，多元线性回归模型 参数的最小二乘估计量是线性无偏估计。
Y1 0 1 X 11 K X K1 1
Yn 0 1 X 1n K X K n
Y1
Y
Yn
X i1
X i
X i n
1
l
1
0
K
1
n
1 X11 X K1
X l, X1,, X K
1 X1n X Kn
Y 0 1 X 1 2 X 2 K X K X
S.E. of regression 0.007246 Akaike info criterion -6.849241
Sum squared resid 0.000683 Schwarz criterion -6.704381
Log likelihood 57.79393 F-statistic
(1)、变量Y和X1,X K 之间存在多元线性随
机函数关系 Y 0 1X1 K X K ；
(2)、Ei 0 对任意 i 都成立；
(3)、Vari 2 ,与 i 无关；
(4)、误差项不相关，当 i j 时，E i j 0
(5)、解释变量都是确定性的而非随机变量， 且解释变量之间不存在线性关系；
bk k
seˆ(bk )
= bk
seˆ(bk )
t / 2(n-K-1)
如果t 统计量数值不满足上述不等式，意味着 可以拒绝原假设，不能认为第k个解释变量是 不重要的，称模型的第k个解释变量通过了显
多元线性回归的计算模型
多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。
1.每个自变量与因变量之间是线性关系。
2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。
3.误差项ε服从正态分布。
4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。
5.误差项ε之间相互独立。
为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。
最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。
具体步骤如下：1.收集数据。
需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。
2.建立模型。
根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。
3.估计回归系数。
利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
4.假设检验。
对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。
5. 模型评价。
使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。
6.模型应用与预测。
通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。
多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。
这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。
在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。
总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。
回归分析(5)概要
(1) 新引进的自变量只能依赖于 原始变量，而不能与未知参数有关。 若模型 1 中的 b 未知，则模型 1 不能线 性化。 可线性化的非线性回归模型称为 本质线性回归模型，不可线性化的非 线性回归模型称为本质非线性回归模 型。
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(2) 非线性化模型能否线性化不 仅与回归函数的形式有关，而且与误 差项的形式也有关。 例如，模型 3 的误差项为乘性误 差项，可以线性化，而模型 4 的误差 项为加性误差项，不可以线性化。 在对非线性回归模型进行线性化 时，总是假定误差项满足可线性化条
34
具体回归方程为 y 62.349 0.840 x1
5.685 x2 其标准化形式为 0.164 x2
2 0.037 x1
y 62.349 0.164 x1
2 0.785 x1
2018/10/29
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例10.3 用均匀设计法研究从烤烟 中提取粗蛋白的实验条件。目标变量 y 是提取的蛋白质尝试，三个实验因 子分别为：提取液pH值x1，提取时间 x2的，提取温度x1。 采用U7(73)均匀设计表, 试验安排 与结果如下表：
, xp x
p
原模型化为多元线性回归模型
5
y 0 1 x1
pxp
对模型3，可先两边取对数，得 ln y ln a bx 然后再令
y ln y, 0 ln a, 1 b 原模型化为线性回归模型 y 0 1 x
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由于本例中最好的实验条件是 x1 13.1, x2 48.0, x3 60 根据前述分析，影响蛋白提取浓度的 最主要因素是提取时间，提取时间应 在48h以上；提取液pH值是第二重要 因素， pH 值应比 13.10 再低些；提取 温度应该控制在60º C以上。
第10章路径分析
两个非饱和模型中将路径较多的称为模型1，路径较少的 称为模型2，模型2嵌套在模型1中。将模型1作为基准模型 ，模型2作为检验模型。
设模型 1中包含p个方程，它们的决定系 数分别为：
2 Rc21 , Rc22 ,...,Rcp , 那么，该模型能够解释 的方差为： 2 Rc2 1 1 Rc21 1 Rc22 1 Rcp ,
量划分为自变量和因变量，而是分为 外生变量(exogenous variable)和内生 变量(endogenous variable)。路径分 析的主要功能是将自变量对因变量的 毛作用（简单相关系数或简单回归系 数）分解为直接作用和各种形式的间 接作用，使整个模型中变量的因果关 系更为具体，因果关系的机制更清楚。
探索性：事先没有明确的理论假设，而是完全依赖统计 得到较高拟合度的模型。
验证性：事先已有理论依据及假设设置的模型，检验经 过修正的模型与原假设模型是否不同。
路径模型的识别
模型的识别
模型中所有变量间的相关系数都可以用路径系数函数的 形式来表示，那么所有变量间的路径系数是否能够完全 以相关系数来表示，就是模型的识别问题。
相关原因模型
z1 e1
e1 z1 p31 p21 z2 e2 p32 z3 e3 r 1 12
z 2 p21 z1 e2 z3 p31 z1 p32 z 2 e3 1 z1 p21 z1 e2 n n z1 z1 p z1e2 p 0 p 21 21 21 n n 1 1 r13 z1 z3 z1 p31 z1 p32 z 2 e3 n n z1 z1 z1 z 2 z1e3 p31 p32 n n n 1 p31 r12 p32 0 p31 p21 p32
生物统计学：第10章 多元线性回归分析及一元非线性回归分析
H0 : 1 2 k 0 H A : 至少有一个i 0
拒绝H0意味着至少有一个自变量对因变量是有影 响的。
检验的程序与一元的情况基本相同，即用方差
胸围X2 186.0 186.0 193.0 193.0 172.0 188.0 187.0 175.0 175.0 185.0
体重Y 462.0 496.0 458.0 463.0 388.0 485.0 455.0 392.0 398.0 437.0
序号 体长X1 胸围X2 体重Y 11 138.0 172.0 378.0 12 142.5 192.0 446.0 13 141.5 180.0 396.0 14 149.0 183.0 426.0 15 154.2 193.0 506.0 16 152.0 187.0 457.0 17 158.0 190.0 506.0 18 146.8 189.0 455.0 19 147.3 183.0 478.0 20 151.3 191.0 454.0
R r Y•1,2,,k
yp yˆ p
,
p 1,2,, n
对复相关系数的显著性检验，相当于对整个回 归的方差分析。在做过方差分析之后，就不必再检 验复相关系数的显著性，也可以不做方差分析。
例10.1的RY·1，2为：
RY •1,2
24327 .8 0.9088 29457 .2
从附表（相关系数检验表）中查出，当独立
表示。同样在多元回归问题中，可以用复相关系数表 示。对于一个多元回归问题，Y与X1，X2，… ，Xk 的线性关系密切程度，可以用多元回归平方和与总平 方和的比来表示。因此复相关系数由下式给出，
计量经济学-综合练习题：多元线性回归模型
第二部分：多元线性回归模型一、内容提要本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。
主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。
只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。
本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。
与一元回归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并讨论了F检验与拟合优度检验的内在联系。
本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。
这里需要注意各回归参数的具体经济含义。
本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。
参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。
检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。
参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。
它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然χ分布为检验统计原理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的2量的分布特征。
非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。
二、典型例题分析例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为36.0.+=-10+094medufedu.0sibsedu210131.0R2=0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。
第10章事物间的因果关系回归分析
多元回归常使用调整的确定 系数R2 ：此时说明x1和x2两 个自变量能共同解释90.7% 的因变量的变化。
对回归模型的显著性检验
如果p值小于0.05，说明至少 一个自变量的回归系数不为0， 所建立的回归模型有统计意 义。
回归系数
自变量 的回归 系数
标准化回归系数 表明年轻人人数 对销售收入的影 响更大。
女
本科新生（参照类） 其他高年级本科生
xusex=1,else=0
xugrade1=1,else=0
grade=3
grade=4
硕士研究生
博士研究生
xugrade2=1,else=0
xugrade3=1,else=0
用recode命令建立新的虚拟变量。
转换后，增加了4个虚拟变量
以参加社团活动的时间为因变量，以新建的四个虚拟变量为自 变量，迚行回归分析。设想的回归方程为： time=b0+b1· xusex+b2 · xugrade1+b3 · xugrade2+b4 · xugrade3
第10章
10.1 回归分析概述 10.2 一元线性回归 10.3 多元线性回归
10.4 引入虚拟变量迚行回归
3
为确定变量之间的联系，用一些变量的变化说明另一个变 量的变化，幵迚一步对另一个变量的取值迚行预测，这就 是回归分析。
y b0 b x1 b2 x2 bk xk e 1
25
以上所列回归分析，其因变量和自变量都为定距变量戒定 比变量，即数量型的变量；
而在社会科学的研究中，会大量地涉及到名义型的变量即 定类变量。如性别、职业、学历等； 对于定类变量，可以引入虚拟变量来迚行回归分析。
《计量经济学》思考与练习参考答案 孙敬水主编
一元线性回归模型
7.D
8.D
9.B 22.C
10.C 23.B
11.B 24.B
12.D 25.B
13.B 26.C
14.D 27.A
16.A
20.D
21.A
28.B 29.C 30.D
二、多项选择题
1.ACD 2.ABCDE 3.ABC 4.BE 5.AC 6.CDE 7.ABCDE 8.BCDE 9.ABCDE 10.ABDE
素后，消费函数为：
Ct = a0 + b0Yt + ∑ bi Dit + ut
i =1
6
或者： Ct = a0 + b0Yt +
∑ bi Dit + ∑ ai DitYt + ut
i =1 i =1
6
6
14．设某饮料需求 Y 依赖于收入 X 的变化外，还受： （1） “地区” （农村、城市）因素影 响其截距水平； （2） “季节” （春、夏、秋、冬）因素影响其截距和斜率。试分析确定该种饮 料需求的线性回归模型。
三、简答题、分析与计算题
1．什么是虚拟变量？它在模型中有什么作用？ 参考答案：(1)反映定性（或属性）因素变化，取值为 0 和 1 的人工变量称为虚拟变量。 (2)在模型中引入虚拟变量，主要是为了将定性因素或属性因素对因变量的影响数量化。 ①可以描述和测量定性因素的影响；②能够正确反映经济变量之间的相互关系，提高模型的 精度；③便于处理异常数据。 2．引入虚拟解释变量的两种基本方式是什么？它们各适用于什么情况？ 参考答案：引入虚拟变量基本方式：加法方式与乘法方式。前者主要适用于定性因素对 截距项产生影响的情况，后者主要适用于定性因素对斜率项产生影响的情况。此外还可以用 二者组合的方式引入，这时，可以测定定性因素对截距项和斜率项同时产生影响的情况。
第十章双变量回归与相关
(9-3) (9-4)
式中 lXY 为 X 与 Y 的离均差积和:
l
XY
(X
X
)(Y
Y
)
XY
(
X
)( n
Y
)
(9 5)
除了图中所示两变量呈直线关系外，一 般还假定每个 X 对应Y 的总体为正态分布， 各个正态分布的总体方差相等且各次观测 相互独立。这样，公式（9-1）中的 Yˆ 实际上 是 X 所对应 Y 的总体均数 Y|X 的一个样本估 计值，称为回归方程的预测值（predicted value）, 而 a 、 b 分别为 和 的样本估计。
(Y Y ) 2 (Yˆ Y ) 2 (Y Yˆ ) 2
数理统计可证明：
å (Yˆ - Y )(Y - Yˆ ) = 0
上式用符号表示为
SS总 SS回 SS残
（9-6）
式中
SS总 即 (Y Y)2 ， 为 Y 的 离 均 差 平 方
和，表示未考虑 X 与Y 的回归关系时Y 的 总变异。
离 Y Yˆ 。
➢ 求解a、b实际上就是“合理 地”找到一条能最好地代表
数据点分布趋势的直线。
最小二乘法(least sum of squares)原则：即保证各实 测点至直线的纵向距离的 平方和最小。
（X，Y）
b lXY lXX
( X X )(Y Y ) (X X )2
a Y bX
5．列出回归方程（回归直线绘制见图 9-1）
Yˆ 1.6617 0.1392X
此直线必然通过点( , )X且与Y 纵坐标轴相交于 截距 a 。如果散点图没有过坐标系原点，可在 自变量实测范围内远端取易于读数的 X 值代入 回归方程得到一个点的坐标，连接此点与点 ( , )也可X绘Y出回归直线。
第10章：定量预测5-因果关系分析法
ˆ Y t 1
=Yt（1+A%+B%+C%+D%+· · · · · · · · · · · · · · ）
• 表示t+1期预测对象的预测值；表示t期预测对象的 实际值；A%表示预测对象受第一个因素影响的程 度；B%表示预测对象受第二个因素影响的程度； 以此类推。例如：见下页
• 例1: 已知某空调制造公司2006年销售中央 空调750套。市场调研人员通过对历史统计 资料的研究估计出，未来各因素影响销售 量的程度为：商品质量的提高和价格的降 低可使销量增加30%；国家经济政策的变 动（如紧缩）可能使销量减少10%；由于 规格不全而失去部分顾客，可能使未来销 量减少5%；居民收入的增加可能使未来销 量增加20%；同类产品的竞争可能使销量 减少8%，预测2007年企业空调的销售量？
• 4 变量遗漏问题 当回归结果与经济理论不一致时，重要变量 的遗漏可能是最主要的原因。 比如：有一个大学生进行需求预测，根据收 集到的历史资料进行回归后得到的预测方程为： Q=7.8+3.42P，价格系数为正值，并在统计上显 著。对这样的一个结果，我们认为不合常理，一 个解释是：价格一直上涨，但收入和人口数也增 加，价格和收入、人口呈现正相关，所以3.42反 映收入和人口增加而导致需求的增加。因此，为 了分别找出这些影响，全面合理的解释因变量的 变化，就需要在回归方程中增加新的变量。
解决方法：对自变量之间是否存在高度相关 进行检验，从方程中取消一个高度相关的 自变量。 多重共线性举例说明： SPSS的多重共线性诊断功能 Collinearty Diagnostics 数据10-2
• 我们曾经收集1985-2005年粮食产量（因变量）、 耕地面积、劳动人口等9个变量的数据，分别进 行一元回归。可决系数R2结果如下表（一般认为 可决系数大于0.7效果较好，否则效果较差。）
多元相关与回归分析
固定资产投资额的回归系数为负号(-0.029193) ，与预期的不一致
参数的最小二乘估计
求解各回归参数的标准方程如下
使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 。即
参数的最小二乘法
参数的最小二乘法 (例题分析)
【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，为弄清楚不良贷款形成的原因，抽取了该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据。试建立不良贷款y与贷款余额x1、累计应收贷款x2、贷款项目个数x3和固定资产投资额x4的线性回归方程，并解释各回归系数的含义
01
在样本容量一定的条件下，不断向模型中增加自变量，即使新增的变量与Y不相关，模型的R2也可能上升，至少不会下降。
在实际应用中，研究人员更欢迎简单的模型，这样的模型更简单和易于解释。如果根据R2来选择模型，显然会倾向于复杂的模型。
更常用的指标是“修正后的Ra2”。
修正的判定系数
修正多重判定系数 (adjusted multiple coefficient of determination) 用样本量n和自变量的个数k去修正R2得到 计算公式为 避免增加自变量而高估 R2 意义与 R2类似 数值小于R2
先对因变量拟合包括所有k个自变量的回归模型。然后考察p(p<k)个去掉一个自变量的模型(这些模型中每一个都有的k-1个自变量)，使模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来并从模型中剔除
01
统计学——多元线性回归分析
回 归 分 析 —多元线性回归
1 REG过程
•常用的统计关键词有 ：
P（PRIDICTED） 预测值
R（RESIDUAL） 残差
L95M
期望值的95%下限
U95M
期望值的95%上限
L95
个体预测值的95%下限
U95
个体预测值的95%上限
STDP
期望值的标准误
本章目录 10
回 归 分 析 —多元线性回归
2 线性回归 2.4 自变量的选择
选择
自变 量的
因此（I）式可写成如下矩阵形式：
准则
y Xβ e
（II）
选择 自变 量进
E(e ) 0
Cov(e ) I n 2
入回
归模 型的
此为多元线性回归方程。
方法
全模型
本章目录 30
回 归 分 析 —多元线性回归
2 线性回归 2.4 自变量的选择
选择 自变 量的 准则
SSE剩余 y'y βˆ' X' y
TSS总 SS回归 SSE剩余
R 2 SS回归 TSS总
复决定系数
本章目录 20
回 归 分 析 —多元线性回归
2 线性回归 2.3 回归方程的假设检验—回归系数的检验
回归方程显著性检验是从总体上对自变量与因变量 之间是否存在线性关系进行了考察，若检验的结果是 拒绝原假设，则接受其对立假设，也就是说至少存在 某个变量的回归系数不为零，因此还需对每个变量的 回归系数进行逐个检验，即对某个固定的 i,(i 1,2,...,p) 检验： H0i : i 0
其中X i
x ji
， S 2i
1 n
(x ji xi )2
第10章 回归分析
7
解： 依题意，实验次数n＝5，y～x为一元线性关系y=a+bx。根据最小二乘 法原理，有：
i 1 2 3 4 5
xi 2 4 5 8 9 28
yi 2.01 2.98 3.50 5.02 5.07 18.58
x i2 4 16 25 64 81 190
yi2 4.04 8.88 12.25 25.20 25.70 76.07
xiyi 4.02 11.92 17.50 40.16 45.63 119.23
解得a＝1.155，b＝0.4573。 因此关系式为：y＝1.155+0.4573x。
如果用简化算法，则有：
故关系式为：y=1.155+0.4573x，即两种计算方法结果是一致的。 可见，根据实验数据建立回归方程，可采用最小二乘法，基本步骤为： ① 根据实验数据画出散点图； ② 确定经验公式的函数类型； ③ 通过最小二乘法得到正规方程组； ④ 求解正规方程组，得到回归方程的表达式。 其实①②两点正是第9章建立数学模型的过程，所以建立数学模型是回 归分析的前提。
13
[例10-2] 试用相关系数检验法对例10-l中得到的经验公式进行显著性检验 （α＝0.05）。 解：
当α＝0.05，n＝5时，查得相关系数临界值 r0.05，3＝0.8783。所以r＞r, f， 所得的经验公式有意义。
14
应当指出的是，相关系数r有一个明显的缺点：即它接近于1的程度与实 验数据组数n有关。当n较小时，｜r｜容易接近于1；当n较大时，｜r｜ 容易偏小。特别是当n＝2时，因两点确定一条直线，｜r｜总等于1。所 以，只有当实验次数n较多时，才能得出真正有实际意义的回归方程。
2
回归分析的主要内容: 确定回归方程，检验回归方程的可信性 10.2 一元线性回归分析 10.2.1 一元线性回归方程的建立 一元线性回归分析又称直线拟合，是处理两个变量x和y之间关系的方法。 所谓一元是指只有一个自变量x，因变量y在某种程度上是随x变化的。 设有一组实验数据，实验值为 (xi, yi) (i=1，2，…，n)。若x，y符合线性关 系，或已知经验公式为直线形式，就可拟合为直线方程，即：
第10章相关分析及回归分析
第八章相关与回归分析一、本章重点1.相关系数的概念及相关系数的种类。
事物之间的依存关系，能够分为函数关系和相关关系。
相关关系又有单向因果关系和互为因果关系；单相关和复相关；线性相关和非线性相关；不相关、不完全相关和完全相关；正相关和负相关等类型。
2.相关分析，着重掌握如何画相关表、相关图，如何测定相关系数、测定系数和进行相关系数的推断。
相关表和相关图是变量间相关关系的生动表示，对于未分组资料和分组资料计算相关系数的方式是不同的，一元线性回归中相关系数和测定系数有着紧密的关系,取得样本相关系数后还要对整体相关系数进行科学推断。
3.回归分析，着重掌握一元回归的大体原理方式，一元回归是线性回归的基础，多元线性回归和非线性回归都是以此为基础的。
用最小平方式估量回归参数，回归参数的性质和显著性査验，随机项方差的估量，回归方程的显菁性査验, 利用回归方程进行预测是回归分析的主要内容。
4.应用相关与回归分析应注意的问题。
相关与回归分析都有它们的应用范围，必需明白在什么情形下能用，什么情形下不能用。
相关分析和回归分析必需以定性分析为前提，不然可能会闹岀笑话，在进行预测时选取的样本要尽可能分散，以减少预测误差，在进行预测时只有在现有条件不变的情形下才能进行，若是条件发生了转变，原来的方程也就失去了效用。
二、难点释疑本章难点在于计算公式多，不容易记忆，所以更要注重计算的练习。
为了辜握大体计算的内容,最少应认真理解书上的例题，做完本指导书上的全数计算题。
初学者可能会感到本章公式多且复杂，难于记忆，其实只要抓住Lxx、Lxy. Lyy 这三个记号，记住它们的展开式，几个主要的公式就不难记忆了。
若是能自己把这些公式推证一下，弄清其关系，那就更易记住了。
三、练习题（一）填空题1事物之间的依存关系，按照其彼此依存和制约的程度不同，能够分为（）和（）两种。
2.相关关系按相关关系的情形可分为（）和（）;按自变量的多少分（）和（）；按相关的表现形式分（）和（）；按相关关系的紧密程度分（）、（）和（）；按相关关系的方向分（）。
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第10章
1．在多元线性回归分析中，t 检验是用来检验（ ）。
A ．总体线性关系的显著性
B ．各回归系数的显著性
C ．样本线性关系的显著性
D ．H 0：β1＝β2＝…＝βk ＝0，
2．在多元线性回归模型中，若自变量x i 对因变量y 的影响不显著，那么它的回归系数βi 的取值（ ）。
A ．可能接近0
B ．可能为1
C ．可能小于0
D ．可能大于1
3．在多元线性回归方程01122i k k y x x x ββββ=++++中，回归系数k β表示
（ ）。
A ．自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的平均变动量为k β
B ．其他变量不变的条件下，自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的平均变动量为k β
C ．其他变量不变的条件下，自变量x i 变动一个单位时，因变量y 的总变动总量为k β
D ．因变量y 变动一个单位时，自变量x i 的变动总量为k β
4．在多元回归分析中，通常需要计算调整的多重判定系数R 2，这样可以避免R 2的值（ ）。
A ．由于模型中自变量个数的增加而越来越接近1
B ．由于模型中自变量个数的增加而越来越接近0
C ．由于模型中样本量的增加而越来越接近1
D ．由于模型中样本量的增加而越来越接近0
5．在多元线性回归分析中，如果F 检验表明线性关系显著，则意味着（ ）。
A ．在多个自变量中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系显著
B ．所有的自变量与因变量之间的线性关系都显著
C ．在多个自变量变中至少有一个自变量与因变量之间的线性关系不显著
D ．所有的自变量与因变量之间的线性关系都不显著
6．在多元线性回归分析中， 如果t 检验表明回归系数βi 不显著，则意味着（ ）。
A ．整个回归方程的线性关系不显著
B ．整个回归方程的线性关系显著
C ．自变量x i 与因变量之间的线性关系不显著
D ．自变量x i 与因变量之间的线性关系显著
7．在多元线性回归分析中，多重共线性是指模型中（ ）。
A ．两个或两个以上的自变量彼此相关
B ．两个或两个以上的自变量彼此无关
C．因变量与一个自变量相关
D．因变量与两个或两个以上的自变量相关
8．在多元线性回归分析中，如果F检验表明回归方程的线性关系显著，则（）。
A．表明每个自变量与因变量的关系都显著
B．表明至少有一个自变量与因变量的线性关系显著
C．意味着每个自变量与因变量的关系都不显著
D．意味着至少有一个自变量与因变量的关系不显著
9．如果回归模型中存在多重共线性，则（）。
A．整个回归模型线性关系不显著
B．肯定有一个回归系数通不过显著性检验
C．肯定导致某个回归系数的符号与预期相反
D．可能导致某些回归系数通不过显著性检验
10．如果某个回归系数的正负号与预期相反，则表明（）。
A．所建立的回归模型是错误的
B．该自变量与因变量之间的线性关系不显著
C．模型中可能存在多重共线性
D．模型中肯定不存在多重共线性
11．虚拟自变量的回归是指在回归模型中含有（）。
A．分类自变量B．数值型自变量
C．分类因变量D．数值型因变量
12．在多元线性回归分析中，利用逐步回归法可以（）。
A．避免回归模型的线性关系不显著
B．避免所建立的回归模型存在多重共线性
C．提高回归方程的估计精度
D．使预测更加可靠。