43角动量角动量守恒定律

3
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
二 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的 =常量时，刚体
做匀变速转动．
与二维平面圆周 运动情况相同
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02 2a(x x0 )
2
2 0
m2 v20
质两点式的相动加量得定理： I
t2 t1
F
dt
mv2
mv1
质点f12系的f2动1 量定理：
m三1 :I、t动t12 ttF12量1F1守 f恒F122定ddtt律(
m1v1 m1 v1
m2 v2 ) ( m1 m1 v10
v10
m2
v20
)
ft12(2
t1
n
dt Fmi 1v10)md1tv10
沿顺时针方向转动
d < 0
下，其转动方向可以用角 速度的正负来表示。
方向: 右手螺旋法则
1
物理学
第五版
4-3
右手螺旋法则：右手拇指伸
直，其余四指弯曲，弯曲方
向与刚体转动方向一致，拇
指所指方向即为角速度
方向
角动量
角动量守恒定律
对于绕定轴运动的刚体， 角速度 用右手螺旋法则
判断的方向与用正负判断 的方向相同
环置于竖直平面内. 一质量为 m
的小球穿在圆环上, 并可在圆环
上滑动. 小球开始时静止于圆环
上的点 A (该点在通过环心 O 的
水平面上)，然后从 A点开始下
滑．设小球与圆环间的摩擦力略
去不计．求小球滑到点 B 时对环
心 O 的角动量和 角速度． 解 小球受力 P 、FN作用, FN的
力矩为零，重力矩垂直纸面向里
M mgRsin( ) mgRcos
2
由质点的角动量定理
mgR c os
dL
dt
角动量守恒定律
17
物理学
第五版
mgRcos dL
dt
4-3 角动量 角动量守恒定律
考虑到 d dt, L mRv mR 2
得
பைடு நூலகம்
dt mR 2 d θ
L
代入上式得 LdL m2 gR3 cos θ dθ
由题设条件积分上式
点击图片播放
L J
为常量
miri2
22
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
23
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
例4 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处自由下落到
跷板的一端A，并把跷板另一端的演员N弹了起来．问演员
演员N以 u 起跳，达到的高度：
h u 2 l 2 2 ( 3m )2 h
2g 8g m 6m
25
R22 )
10 7
物理学
第五版
4-3 角动量
四 平行轴定理
质量为m的刚体，如果对其 质心轴的转动惯量为JC，则对任 一与该轴平行，相距为d的转轴 的转动惯量
角动量守恒定律
d
C mO
JO JC md 2
圆盘对P 轴的转动惯量
JP
1 2
mR 2
mR2
R Om
P
11
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
积分
积分
刚体
求导
求导
(t)
(t)
(t)
积分
积分
, ,, M
是矢量，但在定轴转动情况下，可以 作为代数量处理，仅有正负之分！
6
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
一 力矩
（1）定义： 用来描述力对
刚体的转动作用．
F 对 转轴 z的力矩 M rF
M Frsin Fd
z
M
r
Od
F <
质量为m的质点以速度 v 在空间
zL
v
r 运动，某时对 O 的位矢为 ，质
rm
点对O的角动量
L
r
p
r
mv
大小 L rmvsin
xo
y
L
v
L 的方向符合右手法则
r
角动量单位：kg·m2·s-1 质点以作半径为r的圆周运动， 相对圆心
L mr mr 2
L
o
p
m r
14
物理学
第五版
L LdL m2 gR3
cos d
0
0
L mR2
L mR 3 2 (2g sin )1 2
( 2g sin )1 2
R
18
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的角动量
z
L
miri2 ( miri2 )
i
i
L J
2 M刚 i体定dd轴Lti 转动ddt的(m角ir动i2量)定理
O ri
vi
mi
质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
对定轴转的刚体
d ( dt
mi ri 2 )
M
i
in
0
d(J)
dt
， 合外力矩
M
M d( J )
dt
Mi ex dL
dt
19
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从t1到t2内，角速度
M从 1变d(为J)2， 积dL分可得： dt dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩 J2 J1
刚体的角动量定理： 刚体绕定轴转动时，刚体的冲量矩等 于角动量的增量
非刚体定轴转动的角动量定理
了解
t2
t1
Mdt
J 22
J11
20
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
物理学
第五版 复习4_1 4_2
4-3 角动量 角动量守恒定律
一 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0
z
ω
r P’(t+dt)
.. O d P(t)
角位移 (t t) (t)
x
角速度矢量 lim d
t t 0
dt
沿逆时针方向转动 d > 0 在刚体绕定轴转动的情况
t2
t1
M
dt
L2
L1
J2
J1
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J =常量
角动量守恒定理： 如果物体所受的合外力矩等于零，或者 不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变。
讨论
若 J 不变，不变；
➢ 守恒条件 M 0 若 J 变， 也变，但 L J 不变.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
牛顿第二定律
F
4-3 dp
角d(动mv量)
dt dt
质点L 角r动量p 定理d的p 推导F，dL ？
角动量守恒定律
M
dL
dt
dL
d
dt
(r p)
r
dt dp
dr
p
dt dt
dt dt
d
r
v ,
v
p
v
mv
0
dt
dL
r
dp
r
F
dL
M
dt dt
dt
15
物理学
第五版
质点的合外力矩
i 1
in i 1
动合m量外i v守力i 恒为 定零iin1律时m：，i当系vi统系0 的统所总受动
) d两 t 式n 相m加i vi得 恒；矢量 i量n 将mi保vi持0 不变。
f i1 f
i 1
13
物理学
4-3 角动量 角动量守恒定律
第五版
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
1 质点的角动量
mr
M J
转动惯量
M mr 2
J mjrj2 J r2dm j
V r 2dV
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与 刚体的转动惯量成反比.
8
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
➢ J 的计算方法
❖ 质量离散分布
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
N可弹起多高? 解：设跷板是匀质的，长度为l，质量为 m’，跷板可绕中部
支撑点C 在竖直平面内转动，演员的质量均为m．假定演员
M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．
解 碰撞前M落在 A点的速度
2 02 2 a(x x0 )
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间，M、N 与翘板作为一个系统具 有相同的线速度
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
12
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
一、m1冲: t量t12 F1
I
f12
dtt2
m1v1
F dt
m1v1力0 的时间积累
二m、2动: t量t12 F定2 理f21
t1
dt
m2 v2
2 (
0)
4
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
三 角量与线量的关系
ω d
dt
dω dt
d 2
d2t
v rωet
an
a r
e t v
at
at r
an rω2
a
ret
rω2en
5
物理学
第五版
复习
4-3 角动量 角动量守恒定律
运动学两个模型
质点
r(t) 求导 v(t) 求导 a(t)
u r l
2
N
C
B
l
M
h A
l/2
24
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
vM (2gh)1 2
u r l
2
L点
mr
mr2
M、N和跷板组成的系统，角动量守恒
L刚 J
mvM
l 2
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
解得
mvMl ml 2 12
2 ml 2
6m(2gh)1 2 2 (m 6m)l
4-3 角动量
M
dL
dt
角动量守恒定律
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点对 该点 O 的角动量随时间的变化率.
2 质点的角动量定理
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
M
dt
t1
3 质点的角动量守恒定律
M 0 , L 恒矢量
16
物理学
第五版
4-3 角动量
例1 一半径为 R 的光滑圆
z
z
>0 <0
2
物理学
第五版
4-3 角动量
角加速度：由刚体角速度变化 所引起
角加速度
lim
d
t dt
对于绕定轴转动的刚体，角加速度
的方向同样也可以用正负来表示。
角动量守恒定律
z 角速度变化
ω
r P’(t+dt)
.. O d P(t)
x
> 0
>0
刚体做加速运动
< 0 < 0 刚体做减速运动
P*
刚体定轴转 d: 力臂
动，过轴心 的力，其力
矩 M 为零
（2）刚体内所用力与反作用力互相抵 消，即刚体内合内力矩为零
（3）合力矩=合外力矩
M Me 7
物理学
二 第五版 转动定律
4-3 角动量 角动量守恒定律
定轴转动
（1）刚体上的一个质点m绕定
定律
轴转动
（2）刚体转动定律
M rF sinθ
F sin θ Ft mat
❖ 质量连续分布
J m jrj2 r2dm j
V r2dV
dm：质量元
dV ：体积元
9
物理学
第五版
细棒
细棒 薄圆环 圆柱体
球体
4-3 角动量 角动量守恒定律
L
J 1 mL2
m
3
L m
J 1 mL2
圆筒
12
R
m J mR2
R m
Rm
J 1 mR2 2
J 2 mR2 5
J
1 2
m(R12
➢ 在冲击等问题中 M in >> M ex L 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
21
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
许多现象都可以用角动
量守恒定律来说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
t2
t1
Mdt
L2
L1
J2 J1 M rF 0