巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题

巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题

湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中李敬峰谷兴武

学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，可以根据学生的实际情况，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。它有以下几种形式：

①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质）

②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．

③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.

因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．

为了便于记忆，笔者简言之：两线合一，必等腰。

本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。

一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：

证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。

求证：△ABC是等腰三角形。

分析：AD就是BC边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。具体证明过程略。

证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。

求证：△ABC是等腰三角形。

分析：利用ASA的方法来证明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形。具体证明过程略。

证明③：已知:如图2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的中线。

求证：△ABC是等腰三角形。

方法一：

分析：要证△ABC是等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行，那就换种思路，经验告诉我们，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”（即通过延长三角形的中线使之加倍，以便构造出全等三角形来解决问题的方法），即延长AD到E点，使DE=AD，由此问题就解决了。

证明：如图2，延长AD到E点，使DE=AD，连接BE

在△ADC和△EDB中

AD = DE

∠ADC=∠EDB

CD=BD

∴△ADC≌△EDB

∴AC=BE, ∠CAD=∠BED

∵AD是∠BAC的角平分线

∴∠BAD=∠CAD

∴∠BED=∠BAD

∴AB=BE

又∵AC=BE

∴AB=AC

∴△ABC是等腰三角形。

方法二：

分析：上面的“倍长中线法”稍微有点麻烦，经验告诉我们，遇到角的平分线，我们可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线，从而构造出了高，再利用面积公式开辟出新思维。具体做法是：如图2，

过点D作DF⊥AB，DE⊥AC垂足分别为F、E。又因AD是∠BAC的角平分线，所以DF= DE。因为BD=DC，利用“等底同高的三角形面积相等”的原理，所以=，再根据“等

积三角形高相等则底也相等”，因为===，又因DF= DE，所以AB=AC，可见“面积法”给解题带来了简便，这种方法也正是被人们易忽视的。

当然，学生在作出角的平分线上一点到角的两边的距离时，很容易形成思维定势，证明两组直角三角形分别全等，从而证明∠B=∠C，所以AB=AC，此法明显较麻烦些，但是思路要给予肯定。

需要提醒读者的是：以上我们证明了“三线合一”的逆定理的正确性，但是这种逆命题不能作为定理来用，掌握了它和它的证明过程，其目的是为我们解题增加一种重要思路和方法。

二、利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线，构建且证明等腰三角形来解决问题

1、逆命题①的应用（即线段垂直平分线的性质的应用）

例1 人教版八（上）第十二章章节复习题中的第5题：如图4，D、E分别是AB、AC 的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB。

经笔者验证，学生一拿到题目就找全等三角形或构建全等三角形，所以连接AO（图略），证明△AOC≌△AOB或者三组直角三角形分别全等，其中还要用到线段的垂直平分线的性质，证明OA=OB=OC，方法相当地麻烦。

分析：题目没有直接给出“CD、BE分别是AB、AC的垂直平分线”这样的语句，所以学生最初拿到这个题目，很难把分立的垂直和平分两个条件联系在一起。如果学生有“两线合一，必等腰”的思维，很容易想到CD、BE分别可以是以AB、AC为底边的等腰三角形底边上的高和中线，即“两线合一”，因此添加辅助线，构造等腰三角形。

简单证明：连结BC，∵CD⊥AB，AD=BD

∴AC=BC （注：利用线段垂直平分线的性质）

同理可得：AB=BC

∴AC=AB

由于逆命题①的应用与线段垂直平分线的性质相一致，所以笔者在此就不过多的举例。

2、逆命题②的应用

例2 已知：如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。

求证：∠2=∠1+∠B

分析：由“AD平分∠BAC，CD⊥AD”可以想到AD可以是同一个等腰三角形底边上的高和底边所对角的平分线，即“两线合一”，因此添加辅助线，构造等腰三角形。

简单证明：延长CD交AB于点E，由题目提供的条件，可证△AED≌△ACD，∠2=∠AEC，又∠AEC=∠1+∠B，所以结论得证。

例 3 在学习等腰三角形知识时，会遇到这个典型题目：如图6，在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，且CD⊥BE交BE的延长线于点D，

求证：CD=BE

分析：由已知条件可知：BD满足了逆命题②的“两线合一”，所以延长CD和BA，交于点F，补全等腰三角形。

简单证明：由所添辅助线可证△BFD≌△BCD，可知△BCF是等腰三角形

∴ CD=DF=CF

再证△ABE≌△ACF

∴ BE=CF

∴ CD=BE

可见，学会“两线合一，必等腰”的思维，对满足“三线合一”性质的逆命题的条件，添加适当的辅助线来构造等腰三角形，为我们解决相关问题开辟了新思维。

笔者认为，三个逆命题中以逆命题②在几何证明的应用中尤为突出。

例4 逆命题②还可以与中位线综合应用：

已知：如图7，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点C作AD的垂线，交AD 的延长线于点E，F为BC的中点，连结EF。