中国海洋大学2015春季学期高数I2期末考试题
中国海洋大学期末历年真题
2006-2 06-07学年第2学期试题名称：概率论与数理统计A共2页第1页
专业年级学号姓名授课教师分数
题目
一
二
三
得分
一．填空题（每小题3分，共21分）
1．设 为随机事件，
则 。
2．总体 则 已知时， 的置信度为95%
区间估计为（，）。
3．若随机变量 的分布密度为
则常数 。
则下列结论中一定正确的是。
； 与 相容；
； 与 互不相容。
2．设 为两个随机事件，且 ， ，
则下列结论中必然成立的是。
； ；
；
授课
教师
命题教师或命题负责人签字
刘宝生
院系负责人签字
年月日
3．若 , 都是分布函数，为使 是分布函数；
应取下列各组中的。
； ；
；
4．设 ，则随着 的增大，概率
的数值。
单调减少；单调增大；保持不变；增减不定。
容量为 的简单随机样本,求出参数 的最大似然估计,
并说明它们是否无偏估计?
（四）（10分）试写出总体 已知时,
参数假设检验 ( 己知)的检验水平为 的检验步骤
5．设随机变量 和 都服从标准正态分布，则
服从正态分布 服从 分布
都服从 分布 服从 分布
6．设随机变量 服从正态分布 ，对给定的 ，
数 ，若 ，则 等于
。
7．随机变量 、 的方差分别为4和1，相关系数为0.5，
则随机变量 的方差为。
46；52；28；34。
三．综合题（共51分）
(一)。（13分）一学生接连参加数学课的两次考试。第一次及格的概率为 ，若第一次及格则第二次及格的概率也为 ；若第一次不及格则第二次及格的概率为 。
(2021年整理)2015年山东春季高考数学试题及详解答案
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机密★启用前山东省2015年普通高校招生(春季)考试数学试题注意事项:1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分,考试时间120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.本次考试允许使用函数型计算器,凡使用计算器的题目，最后结果精确到0。
01。
卷一（选择题，共60分）一、选择题(本大题共20个小题，每小题3分,共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1。
集合{}1,2,3A =,{}1,3B =，则A B 等于（ ） A.{1,2，3} B.｛1,3｝ C 。
｛1，2｝ D 。
{2} 2。
不等式15x -<的解集是（ ）A.（6-，4） B 。
（4-,6) C.(,6)(4,)--+∞∞ D 。
(,4)(6,)--+∞∞3.函数1y x=的定义域是( ）A.{}10x x x -≠且B.{}1x x -C.{}>10x x x -≠且D.{}>1x x -4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切"的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C 。
充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在等比数列{}n a 中，241,3a a ==,则6a 的值是( ） A 。
2015山东春季高考数学试题真题
机密★启用前山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项：1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）1.集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，则A B 等于（ ）A.{1,2,3}B.{1,3}C.{1,2}D.{2} 2.不等式15x -<的解集是（ ） A.(6-,4) B.(4-,6) C.(,6)(4,)--+∞∞ D.(,4)(6,)--+∞∞3.函数1y x=的定义域是（ ） A.{}10x xx -≠且 B.{}1x x - C.{}>10x x x -≠且D.{}>1x x -4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在等比数列{}n a 中，241,3a a ==，则6a 的值是（ ） A.5- B.5 C.9- D.96.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量,OA a OB b ==，则AM 可以表示为（ ）第6题图A.12a b +B.12a b -+C.12a b -D.12a b --7.终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ）A.2,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z B.,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z C.2,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z D.,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z.8.关于函数22y x x =-+，下列叙述错误的是（ ）A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线1x =C.函数的单调递减区间是[1,)-+∞D.函数的图象经过点（2,0）9.某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ） A.10 B.20 C.60 D.10010.如图所示，直线l 的方程是（ ）第10题图330x y -= 3230x y -= 3310x y --= D.310x -=11.对于命题p ,q ,若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，则（ ）A. p ,q 都是真命题B. p ,q 都是假命题C. p ,q 一个是真命题一个是假命题D.无法判断.12.已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，2()2f x x =+，则(1)f -的值是（ ）A.3-B.1-C.1D.3.13.已知点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，点A 的坐标是（4,3），则AP的值是（ ）A.10B.210C.62D.5214.关于x ，y 的方程221x my +=，给出下列命题：①当0m <时，方程表示双曲线； ②当0m =时，方程表示抛物线；③当01m <<时，方程表示椭圆； ④当1m =时，方程表示等轴双曲线； ⑤当1m >时，方程表示椭圆. 其中，真命题的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.515.5(1)x -的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ） A.0 B.1- C.32- D.32 .16.不等式组1030x y x y -+>⎧⎨+-<⎩表示的区域（阴影部分）是（ ）A B CD17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）A.29B.23C.14D.12.18.已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),12121212a b 5π5πππ==则a b 的值等于（ ）A.12C.1D.0 19.已知,αβ表示平面，m ，n 表示直线，下列命题中正确的是（ ）A.若m α⊥，m n ⊥，则n αB.若m α⊂，n β⊂，αβ，则m nC.若αβ，m α⊂，则m βD.若m α⊂，n α⊂，m β，n β，则αβ 20.已知1F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，则双曲线的离心率是（ ）C.2D.3卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.直棱柱的底面是边长为a 的菱形，侧棱长为h ，则直棱柱的侧面积是 .22.在△ABC 中，105A ∠=,45C ∠=,AB =则BC = ..23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2 ，则从第五个号码段中抽取的号码应是 . .24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x y x +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于 . .25.集合,,M N S 都是非空集合，现规定如下运算：{}()()()M N S x x MN NS SM ⊗⊗=∈.且()x MN S ∉.若集合{}{},A x a x b B x c x d =<<=<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，满足：①0,0,0ab cd ef <<<；②a b c d e f -=-=-；③a b c d e f +<+<+.则A B C ⊗⊗= .三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员. .27.（本小题8分）已知函数2sin(2),y x x ϕ=+∈R ，02ϕπ<<.函数的部分图象如图所示.求：（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值； （2）函数的单调递增区间.15SD7 第27题图.28.(本小题8分)已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[2,4]-上的最大值是16.(1)求实数a 的值;(2)若函数22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,求满足不等式log (12)1a t -的实数t 的取值范围.29.(本小题9分)如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2,3SA SD AB ===. (1)求SA 与BC 所成角的余弦值； （2）求证：AB SD ⊥.15SD8 第29题图30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点O ,焦点F 在x 轴的正半轴上，Q 是抛物线上的点，点Q 到焦点F 的距离是1，且到y 轴的距离是38.（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l 经过点M (3，1),与抛物线相交于A ，B 两点，且OA OB ⊥,求直线l 的方程.15SD10 第30题图答案1.【考查内容】集合的交集 【答案】B2.【考查内容】绝对值不等式的解法 【答案】B【解析】1551546x x x -<⇒-<-<⇒-<<. 3.【考查内容】函数的定义域 【答案】A【解析】10x +且0x ≠得该函数的定义域是{}10x xx -≠且.4.【考查内容】充分、必要条件 【答案】C 【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，“直线与圆相切” ⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”.5.【考查内容】等比数列的性质 【答案】D 【解析】2423a q a ==，2649a a q ==. 6. 【考查内容】向量的线性运算 【答案】B【解析】12AM OM OA b a =-=-. 7.【考查内容】终边相同的角的集合 【答案】A【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是2,2x k k ⎧π⎫+π∈⎨⎬⎩⎭Z 8.【考查内容】二次函数的图象和性质【答案】C【解析】222(1)1y x x x =-+=--+，最大值是1，对称轴是直线1x =，单调递减区间是[1,)+∞，（2,0）在函数图象上. 9.【考查内容】组合数的应用 【答案】A【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有35C 10=种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了） 10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程 【答案】D【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率3tan 30k ==，直线l 与x 轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l ：01)y x-=-，即10x -=.11. 【考查内容】逻辑联结词 【答案】C【解析】由p q ∧是假命题可知p ,q 至少有一个假命题，由p q ∨是真命题可知p ,q 至少有一个真命题，∴p ,q 一个是真命题一个是假命题 12.【考查内容】奇函数的性质 【答案】A【解析】2(1)(1)(12)3f f -=-=-+=-13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模 【答案】D【解析】∵点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，∴2131log 2,()93m m -=-==，∴P 点坐标为(9,2)-，(5,5),52AP AP =-=.14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念【答案】B【解析】当0m <时，方程表示双曲线；当0m =时，方程表示两条垂直于x 轴的直线；当01m <<时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当1m =时，方程表示圆；当1m >时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆.①③⑤正确. 15.【考查内容】二项式定理【答案】D【解析】所有项的二项式系数之和为012345555555C C C C C C 32+++++=16【考查内容】不等式组表示的区域 【答案】C【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：0010-+>，0030+-<，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C 选项中所示. 17.【考查内容】古典概率 【答案】D【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为224⨯=，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为2142= 18.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算 【答案】A 【解析】1sincos cos sin sin 1212121262a b πππππ=+== 19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系【答案】C【解析】A. 若m α⊥，m n ⊥，则n α或n 在α内；B. 若m α⊂，n β⊂，αβ，则m n 或m 与n 异面；D. 若m α⊂，n α⊂，m β，n β，且m 、n 相交才能判定αβ；根据两平面平行的性质可知C 正确. 20.【考查内容】双曲线的简单几何性质 【答案】A【解析】1F 的坐标为(,0)c -，设P 点坐标为0(,)c y -，22022()1y c a b--=，解得20b y a=，由1PF a =可得2b a a =，则a b=，该双曲线为等轴双曲线，离心21. 【考查内容】直棱柱的侧面积 【答案】4ah22.【考查内容】正弦定理 【解析】由正弦定理可知，sin sin AB BCC A =,sin sin1056sin AB A BC C ===23.【考查内容】系统抽样【答案】42【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是241042+⨯= 24.【考查内容】椭圆的简单几何性质【答案】【解析】圆22670x y x +--=的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即3,4c a ==，b == 25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集 【答案】{}x c xe bx d <<或【解析】∵a b c d +<+，∴a c d b -<-；∵a b c d -=-，∴a c b d -=-；∴b d d b -<-，b d <；同理可得d f <，∴b d f <<.由①③可得0a c e b d f <<<<<<.则{}A B x c x b =<<，{}B C x e x d =<<，{}CA x e x b =<<.ABC ⊗⊗={}x c xe bx d <<或.26. 【考查内容】等差数列的实际应用【解】由题意知各排人数构成等差数列{}n a ，设第一排人数是1a ，则公差3d =，前5项和5120S =,因为1(1)2n n n S na d -=+，所以154120532a ⨯=+⨯，解得118a =.答：第一排应安排18名演员【考查内容】正弦型函数的图象和性质 【解】（1）函数的最小正周期22T π==π,因为函数的图象过点（0,1），所以2sin 1ϕ=，即1sin 2ϕ=，又因为02ϕπ<<，所以6ϕπ=. (2)因为函数sin y x =的单调递增区间是[2,2],22k k k ππ-+π+π∈Z . 所以222262k x k πππ-+π++π，解得36k xk ππ-+π+π， 所以函数的单调递增区间是[,],36k k k ππ-+π+π∈Z【考查内容】指数函数的单调性【解】（1）当01a <<时，函数()f x 在区间[2,4]-上是减函数， 所以当2x =-时，函数()f x 取得最大值16，即216a -=，所以14a =. 当1a >时，函数()f x 在区间[2,4]-上是增函数，所以当4x =时，函数()f x 取得最大值16，即416a =，所以2a =. （2）因为22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,即2320x x a -+>恒成立.所以方程2320x x a -+=的判别式0∆<，即2(3)420a --⨯<，解得98a >，又因为14a =或2a =，所以2a =.代入不等式得2log (12)1t -，即0122t<-，解得1122t -<，所以实数t 的取值范围是11[,)22-. 【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质【解】（1）因为AD BC ,所以SAD ∠即为SA 与BC 所成的角，在△SAD 中，2SA SD ==， 又在正方形ABCD 中3AD AB ==,所以222222232cos 2223SA AD SD SAD SA AD +-+-∠==⨯⨯34=,所以SA 与BC 所成角的余弦值是34.(2)因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD平面ABCD AD =,在正方形ABCD 中，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面SAD ,又因为SD ⊂平面SAD ,所以AB SD ⊥.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系 【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为22y px =，因为点Q 到焦点F 的距离是1，所以点Q 到准线的距离是1，又因为点Q 到y 轴的距离是38，所以3128p =-，解得54p =， 所以抛物线方程是252y x =. （2）假设直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3x =，与252y x =联立，可解得交点A 、B的坐标分别为，易得32OA OB =，可知直线OA 与直线OB 不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则方程为1(3)y k x -=-，整理得31y kx k =-+，设1122(,),(,),A x y B x y 联立直线l 与抛物线的方程得23152y kx k y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩①② , 消去y ，并整理得22225(62)96102k x k k x k k --++-+=，于是2122961k k x x k -+=. 由①式变形得31y k x k +-=，代入②式并整理得2251550ky y k --+=， 于是121552k y y k-+=，又因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即12120x x y y +=， 2296115502k k k k k -+-++=，解得13k =或2k =. 当13k =时，直线l 的方程是13y x =，不满足OA OB ⊥，舍去. 当2k =时，直线l 的方程是12(3)y x -=-，即250x y --=，所以直线l 的方程是250x y --=.。
2015山东春季高考数学试题真题
机密★启用前山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项：1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）1.集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，则A B 等于（ ）A.{1,2,3}B.{1,3}C.{1,2}D.{2} 2.不等式15x -<的解集是（ ） A.(6-,4) B.(4-,6) C.(,6)(4,)--+∞∞ D.(,4)(6,)--+∞∞3.函数1y x=的定义域是（ ） A.{}10x xx -≠且 B.{}1x x - C.{}>10x x x -≠且D.{}>1x x -4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在等比数列{}n a 中，241,3a a ==，则6a 的值是（ ） A.5- B.5 C.9- D.96.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量,OA a OB b ==，则AM 可以表示为（ ）第6题图A.12a b +B.12a b -+C.12a b -D.12a b --7.终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ）A.2,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z B.,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z C.2,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z D.,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z.8.关于函数22y x x =-+，下列叙述错误的是（ ）A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线1x =C.函数的单调递减区间是[1,)-+∞D.函数的图象经过点（2,0）9.某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ） A.10 B.20 C.60 D.10010.如图所示，直线l 的方程是（ ）第10题图330x y -= 3230x y -= 3310x y --= D.310x -=11.对于命题p ,q ,若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，则（ ）A. p ,q 都是真命题B. p ,q 都是假命题C. p ,q 一个是真命题一个是假命题D.无法判断.12.已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，2()2f x x =+，则(1)f -的值是（ ）A.3-B.1-C.1D.3.13.已知点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，点A 的坐标是（4,3），则AP的值是（ ）A.10B.210C.62D.5214.关于x ，y 的方程221x my +=，给出下列命题：①当0m <时，方程表示双曲线； ②当0m =时，方程表示抛物线；③当01m <<时，方程表示椭圆； ④当1m =时，方程表示等轴双曲线； ⑤当1m >时，方程表示椭圆. 其中，真命题的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.515.5(1)x -的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ） A.0 B.1- C.32- D.32 .16.不等式组1030x y x y -+>⎧⎨+-<⎩表示的区域（阴影部分）是（ ）A B CD17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）A.29B.23C.14D.12.18.已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),12121212a b 5π5πππ==则a b 的值等于（ ）A.12C.1D.0 19.已知,αβ表示平面，m ，n 表示直线，下列命题中正确的是（ ）A.若m α⊥，m n ⊥，则n αB.若m α⊂，n β⊂，αβ，则m nC.若αβ，m α⊂，则m βD.若m α⊂，n α⊂，m β，n β，则αβ 20.已知1F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，则双曲线的离心率是（ ）C.2D.3卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.直棱柱的底面是边长为a 的菱形，侧棱长为h ，则直棱柱的侧面积是 .22.在△ABC 中，105A ∠=,45C ∠=,AB =则BC = ..23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2 ，则从第五个号码段中抽取的号码应是 . .24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x y x +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于 . .25.集合,,M N S 都是非空集合，现规定如下运算：{}()()()M N S x x MN NS SM ⊗⊗=∈.且()x MN S ∉.若集合{}{},A x a x b B x c x d =<<=<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，满足：①0,0,0ab cd ef <<<；②a b c d e f -=-=-；③a b c d e f +<+<+.则A B C ⊗⊗= .三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员. .27.（本小题8分）已知函数2sin(2),y x x ϕ=+∈R ，02ϕπ<<.函数的部分图象如图所示.求：（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值； （2）函数的单调递增区间.15SD7 第27题图.28.(本小题8分)已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[2,4]-上的最大值是16.(1)求实数a 的值;(2)若函数22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,求满足不等式log (12)1a t -的实数t 的取值范围.29.(本小题9分)如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2,3SA SD AB ===. (1)求SA 与BC 所成角的余弦值； （2）求证：AB SD ⊥.15SD8 第29题图30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点O ,焦点F 在x 轴的正半轴上，Q 是抛物线上的点，点Q 到焦点F 的距离是1，且到y 轴的距离是38.（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l 经过点M (3，1),与抛物线相交于A ，B 两点，且OA OB ⊥,求直线l 的方程.15SD10 第30题图答案1.【考查内容】集合的交集 【答案】B2.【考查内容】绝对值不等式的解法 【答案】B【解析】1551546x x x -<⇒-<-<⇒-<<. 3.【考查内容】函数的定义域 【答案】A【解析】10x +且0x ≠得该函数的定义域是{}10x xx -≠且.4.【考查内容】充分、必要条件 【答案】C 【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，“直线与圆相切” ⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”.5.【考查内容】等比数列的性质 【答案】D 【解析】2423a q a ==，2649a a q ==. 6. 【考查内容】向量的线性运算 【答案】B【解析】12AM OM OA b a =-=-. 7.【考查内容】终边相同的角的集合 【答案】A【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是2,2x k k ⎧π⎫+π∈⎨⎬⎩⎭Z 8.【考查内容】二次函数的图象和性质【答案】C【解析】222(1)1y x x x =-+=--+，最大值是1，对称轴是直线1x =，单调递减区间是[1,)+∞，（2,0）在函数图象上. 9.【考查内容】组合数的应用 【答案】A【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有35C 10=种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了） 10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程 【答案】D【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率3tan 30k ==，直线l 与x 轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l ：01)y x-=-，即10x -=.11. 【考查内容】逻辑联结词 【答案】C【解析】由p q ∧是假命题可知p ,q 至少有一个假命题，由p q ∨是真命题可知p ,q 至少有一个真命题，∴p ,q 一个是真命题一个是假命题 12.【考查内容】奇函数的性质 【答案】A【解析】2(1)(1)(12)3f f -=-=-+=-13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模 【答案】D【解析】∵点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，∴2131log 2,()93m m -=-==，∴P 点坐标为(9,2)-，(5,5),52AP AP =-=.14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念【答案】B【解析】当0m <时，方程表示双曲线；当0m =时，方程表示两条垂直于x 轴的直线；当01m <<时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当1m =时，方程表示圆；当1m >时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆.①③⑤正确. 15.【考查内容】二项式定理【答案】D【解析】所有项的二项式系数之和为012345555555C C C C C C 32+++++=16【考查内容】不等式组表示的区域 【答案】C【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：0010-+>，0030+-<，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C 选项中所示. 17.【考查内容】古典概率 【答案】D【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为224⨯=，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为2142= 18.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算 【答案】A 【解析】1sincos cos sin sin 1212121262a b πππππ=+== 19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系【答案】C【解析】A. 若m α⊥，m n ⊥，则n α或n 在α内；B. 若m α⊂，n β⊂，αβ，则m n 或m 与n 异面；D. 若m α⊂，n α⊂，m β，n β，且m 、n 相交才能判定αβ；根据两平面平行的性质可知C 正确. 20.【考查内容】双曲线的简单几何性质 【答案】A【解析】1F 的坐标为(,0)c -，设P 点坐标为0(,)c y -，22022()1y c a b--=，解得20b y a=，由1PF a =可得2b a a =，则a b=，该双曲线为等轴双曲线，离心21. 【考查内容】直棱柱的侧面积 【答案】4ah22.【考查内容】正弦定理 【解析】由正弦定理可知，sin sin AB BCC A =,sin sin1056sin AB A BC C ===23.【考查内容】系统抽样【答案】42【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是241042+⨯= 24.【考查内容】椭圆的简单几何性质【答案】【解析】圆22670x y x +--=的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即3,4c a ==，b == 25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集 【答案】{}x c xe bx d <<或【解析】∵a b c d +<+，∴a c d b -<-；∵a b c d -=-，∴a c b d -=-；∴b d d b -<-，b d <；同理可得d f <，∴b d f <<.由①③可得0a c e b d f <<<<<<.则{}A B x c x b =<<，{}B C x e x d =<<，{}CA x e x b =<<.ABC ⊗⊗={}x c xe bx d <<或.26. 【考查内容】等差数列的实际应用【解】由题意知各排人数构成等差数列{}n a ，设第一排人数是1a ，则公差3d =，前5项和5120S =,因为1(1)2n n n S na d -=+，所以154120532a ⨯=+⨯，解得118a =.答：第一排应安排18名演员【考查内容】正弦型函数的图象和性质 【解】（1）函数的最小正周期22T π==π,因为函数的图象过点（0,1），所以2sin 1ϕ=，即1sin 2ϕ=，又因为02ϕπ<<，所以6ϕπ=. (2)因为函数sin y x =的单调递增区间是[2,2],22k k k ππ-+π+π∈Z . 所以222262k x k πππ-+π++π，解得36k xk ππ-+π+π， 所以函数的单调递增区间是[,],36k k k ππ-+π+π∈Z【考查内容】指数函数的单调性【解】（1）当01a <<时，函数()f x 在区间[2,4]-上是减函数， 所以当2x =-时，函数()f x 取得最大值16，即216a -=，所以14a =. 当1a >时，函数()f x 在区间[2,4]-上是增函数，所以当4x =时，函数()f x 取得最大值16，即416a =，所以2a =. （2）因为22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,即2320x x a -+>恒成立.所以方程2320x x a -+=的判别式0∆<，即2(3)420a --⨯<，解得98a >，又因为14a =或2a =，所以2a =.代入不等式得2log (12)1t -，即0122t<-，解得1122t -<，所以实数t 的取值范围是11[,)22-. 【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质【解】（1）因为AD BC ,所以SAD ∠即为SA 与BC 所成的角，在△SAD 中，2SA SD ==， 又在正方形ABCD 中3AD AB ==,所以222222232cos 2223SA AD SD SAD SA AD +-+-∠==⨯⨯34=,所以SA 与BC 所成角的余弦值是34.(2)因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD平面ABCD AD =,在正方形ABCD 中，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面SAD ,又因为SD ⊂平面SAD ,所以AB SD ⊥.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系 【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为22y px =，因为点Q 到焦点F 的距离是1，所以点Q 到准线的距离是1，又因为点Q 到y 轴的距离是38，所以3128p =-，解得54p =， 所以抛物线方程是252y x =. （2）假设直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3x =，与252y x =联立，2015山东春季高考数学试题真题可解得交点A 、B的坐标分别为，易得32OA OB =，可知直线OA 与直线OB 不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则方程为1(3)y k x -=-，整理得31y kx k =-+，设1122(,),(,),A x y B x y 联立直线l 与抛物线的方程得23152y kx k y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩①② , 消去y ，并整理得22225(62)96102k x k k x k k --++-+=，于是2122961k k x x k -+=. 由①式变形得31y k x k +-=，代入②式并整理得2251550ky y k --+=， 于是121552k y y k-+=，又因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即12120x x y y +=， 2296115502k k k k k -+-++=，解得13k =或2k =. 当13k =时，直线l 的方程是13y x =，不满足OA OB ⊥，舍去. 当2k =时，直线l 的方程是12(3)y x -=-，即250x y --=，所以直线l 的方程是250x y --=.。
2015山东数学春考真题(不含答案)
机密★启用前山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项：1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）1.集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，则A B 等于（ ）A.{1,2,3}B.{1,3}C.{1,2}D.{2}2.不等式15x -<的解集是（ ）A.(6-,4)B.(4-,6)C.(,6)(4,)--+ ∞∞ D.(,4)(6,)--+ ∞∞3.函数1y x=的定义域是（ ） A.{}10x x x -≠且… B.{}1x x -… C.{}>10x x x -≠且 D.{}>1x x -4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在等比数列{}n a 中，241,3a a ==，则6a 的值是（ ）A.5-B.5C.9-D.96.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量,OA a OB b == ，则AM 可以表示为（ ） A.12a b +B.12a b -+C.12a b -D.12a b --7.终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ） A.2,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z B.,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z C.2,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z D.,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z8.关于函数22y x x =-+，下列叙述错误的是（ ）A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线1x =C.函数的单调递减区间是[1,)-+∞D.函数的图象经过点（2,0）9.某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ）A.10B.20C.60D.10010.如图所示，直线l 的方程是（ ）A.330x y--= B.3230x y --=310y --= D.10x -= 11.对于命题p ,q ,若p q ∧是假命题，p q ∨A. p ,q 都是真命题 B. p ,q 都是假命题 C. p ,q 一个是真命题一个是假命题 D.无法判断12.已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，2()2f x x =+，则(1)f -的值是（ ）A.3-B.1-C.1D.313.已知点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，点A 的坐标是（4,3），则AP的值是（ ）14.关于x ，y 的方程221x my +=，给出下列命题：①当0m <时，方程表示双曲线； ②当0m =时，方程表示抛物线；③当01m <<时，方程表示椭圆； ④当1m =时，方程表示等轴双曲线；⑤当1m >时，方程表示椭圆.其中，真命题的个数是（ ）A.2B.3C.4D.515.5(1)x -的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）A.0B.1-C.32-D.3216.不等式组1030x y x y -+>⎧⎨+-<⎩表示的区域（阴影部分）是（ ）A B C D17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ） A.29 B.23 C.14 D.1218.已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),12121212a b 5π5πππ== 则a b 的值等于（ ）A.1219.已知,αβ表示平面，m ，n 表示直线，下列命题中正确的是（ ）A.若m α⊥，m n ⊥，则n αPB.若m α⊂，n β⊂，αβP ，则m n PC.若αβP ，m α⊂，则m βPD.若m α⊂，n α⊂，m βP ，n βP ，则αβP (P 为平行)20.已知1F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，则双曲线的离心率是（ ）卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.直棱柱的底面是边长为a 的菱形，侧棱长为h ，则直棱柱的侧面积是.22.在△ABC 中，105A ∠= ,45C ∠= ,AB =则BC =.23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2 ，则从第五个号码段中抽取的号码应是.24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x y x +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于.25.集合,,M N S 都是非空集合，现规定如下运算：{}()()()M N S x x M N N S S M ⊗⊗=∈ .且()x M N S ∉ . 若集合{}{},A x a x b B x c x d =<<=<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，满足：①0,0,0ab cd ef <<<；②a b c d e f -=-=-；③a b c d e f +<+<+.则A B C ⊗⊗=.三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员.27.（本小题8分）已知函数2sin(2),y x x ϕ=+∈R ，02ϕπ<<.函数的部分图象如图所示.求： （1）函数的最小正周期T 及ϕ的值； （2）函数的单调递增区间.28.(本小题8分)已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[2,4]-上的最大值是16.(1)求实数a 的值;(2)若函数22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,求满足不等式log (12)1a t -…的实数t 的取值范围.29.(本小题9分)如图所示，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD，2,3===.SA SD AB(1)求SA与BC所成角的余弦值；（2）求证：AB SD⊥.30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离是1，且到y轴的距离是3.8（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l经过点M(3，1),与抛物线相交于A，B两点，且OA OB⊥,求直线l的方程.第30题图。
2015山东省春季高考数学试题word版含答案
山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题一、选择题1、集合A =｛1，2，3｝，B =｛1，3｝,则A ∩B 等于（ ） A ｛1，2，3｝ B ｛1，3｝ C ｛1，2｝ D ｛2｝2、不等式51-x <的解集是（ ）A （-6,4）B （-4,6）C （-∞,-6）∪（4，+∞）D （-∞,-4）∪（6，+∞）3、函数xx y 11++=的定义域是（ ）A {}0且1|≠-≥x x xB {}1|-≥x xC {}0且1|≠->x x xD {}1|->x x 4、“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要 5、在等比数列｛a n ｝中，a 2=1, a 4=3,则a 6的值是（ ） A -5 B 5 C -9 D 96、如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量→OA = →a ，→OB = →b ，则→AM 可以表示为A →a + 12→bB -→a + 12→b C →a -12→b D -→a - 12→b7、终边在Y 轴的正半轴的角的集合是（ ）A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=z k k x x ,22|ππB ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=z k k x x ,2|ππC ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-=z k k x x ,22|ππD ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-=z k k x x ,2|ππO AB8、关于函数x x y 22+-=，下列叙述错误的是（ ）A 函数的最大值是1B 函数图像的对称轴是直线x=1C 函数的单调递减区间是［－１， +∞）D 函数的图像经过（２，０）9、某值日小组共有5名学生，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种类是（ ）A 10B 20C 60D 10010、如图所示，直线l 的方程是（ ）A 033=--y xB 0323=--y xC 0133=--y xD 013=--y x11、对于命题p,q ，若p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，则A p,q 都是真命题B p,q 都是假命题C p,q 一个是真命题一个是假命题D 无法判断12、已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，2)(2+=x x f ,则f(-1)的值是（ ） A －３ B －１ C １ D ３13、已知点P （m,-2）在函数x y 31log =的图像上，点A 的坐标是（4，3），则|→AP |的值是（ ）A 10B 102C 26D 25 14、关于x,y 的方程122=+my x ，给出下列命题：①当m<0时，方程表示双曲线；②当m=0时，方程表示抛物线；③当0<m<1时，方程表示椭圆；④当m=1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m>1时，方程表示椭圆；其中，真命题的个数是A 2B 3C 4D 515、5）-1（x 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）A 0B -1C -32D 3216、不等式组01y -x 03-y x {>+<+表示的区域（阴影部分）是（ ）yx17、甲乙丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）A 29B 23C 14D 12 18、已知向量→a =（cos 5π12，sin 5π12）, →b =（cos π12，sin π12），则→a ●→b 的值等于（） A 12 B 32 C 1 D 0 19、已知α，β表示平面，m,n 表示直线，下列命题中正确的是（ ）A 若,,n m m ⊥⊥α 则α//nB 若βαβα//,,⊂⊂n m 则n m //C 若αβα⊂m ,// 则β//mD 若βαα//,,m n m ⊂⊂ 则βα//20、已知F 1是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点P 在双曲线上，直线PF 1与x 轴垂直，且|PF 1|=a,则双曲线的离心率是（ ）A 2B 3C 2D 3二、填空题：21、直棱柱的底面是边长为a 的菱形，侧棱长为h ，则直棱柱的侧面积是 22、在△ABC 中，∠A=1050，∠C=450，AB=2 2，则BC=23、计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2，则从第五个号码段中抽出的号码应是24、已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆07622=--+x y x 的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于 25、集合Ｍ，Ｓ，Ｎ都是非空集合，现规定如下运算：Ｍ⊕Ｓ⊕Ｎ＝{x|x )}s N M (且),()()(⋂⋂∉⋂⋂⋂∈x M S S N N M Y Y 若集合A=b}x a |{x <<,B=d}x c |{x <<,C=f}x e |{x <<,其中a ，b ，c ，d ，e ，f 满足：①ab<0,cd<0,ef<0②a-b=c-d=e-f ；③ a+b<c+d<e+f ；则A ⊕B ⊕C= 三、解答题：26、某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每一排比前一排多3名，求第一排应该安排多少名演员。
中国海洋大学2012-2013学年期末考试试题及参考答案
中国海洋大学2012-2013学年期末考试试题及参考答案2012-2013学年第 2 学期试题名称：数据结构专业年级：计算机学号姓名授课教师名分数一、解答下列各题（40 分，每小题 8 分）1.画出广义表L=(a,(( ),b),(((e)))) 的存储结构图，并利用取表头和取表尾的操作分离出原子e。
2．对下图所示有向图，利用Dijkstra算法求出从顶点A到其它各顶点的最短路径及距离。
B 10 E23015A 4 D 10154C 10 F3. 已知一棵3阶B-树如图一所示。
图一①画出插入（18）后的3阶B-树；②画出在插入（18）后的3阶B-树中删除（78）后的3阶B-树。
4. 给出一组关键字（12，2，16，30，8，28，4，10，20，6，18），按从小到大顺序，写出对其进行希尔排序（排序的间隔增量为5、2、1）的排序过程。
5. 从空树开始，按下列插入顺序：DEC、FEB、NOV、OCT、JUL、SEP、AUG、APR、MAR、MAY、JUN、JAN，给出最终所得到的二叉平衡树。
二、判断题：正确的打√，错误的打×（每题1分，共15分）1．在具有头结点的链式存储结构中，头指针指向链表中的第一个数据结点。
（）2．在单链表中，要访问某个节点，只要知道该结点的指针即可：因此，单链表是一种随机存取结构。
（）3．顺序存储结构属于静态结构，链式结构属于动态结构。
（）4．广义表是线性表的推广，是一类线性数据结构。
（）5．线性表可以看成是广义表的特例，如果广义表中的每个元素都是原子，则广义表便成为线性表。
（）6．广义表中原子个数即为广义表的长度。
（）7．用树的前序遍历和中序遍历可以导出树的后序遍历。
（）8．哈夫曼树是带权路径长度最短的树，路径上权值较大的结点离根较近。
（）9．二叉树中不存在度大于2的结点，当某个结点只有一棵子树时，无所谓左、右子树之分。
（）10．若连通图上各边权值均不相同，则该图的最小生成树是唯一的。
2015山东春季高考数学试题真题
机密★启用前山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项：1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）1.集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，则A B 等于（ ）A.{1,2,3}B.{1,3}C.{1,2}D.{2} 2.不等式15x -<的解集是（ ） A.(6-,4) B.(4-,6) C.(,6)(4,)--+∞∞ D.(,4)(6,)--+∞∞3.函数1y x=的定义域是（ ） A.{}10x xx -≠且 B.{}1x x - C.{}>10x x x -≠且D.{}>1x x -4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在等比数列{}n a 中，241,3a a ==，则6a 的值是（ ） A.5- B.5 C.9- D.96.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量,OA a OB b ==，则AM 可以表示为（ ）第6题图A.12a b +B.12a b -+C.12a b -D.12a b --7.终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ）A.2,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z B.,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z C.2,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z D.,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z.8.关于函数22y x x =-+，下列叙述错误的是（ ）A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线1x =C.函数的单调递减区间是[1,)-+∞D.函数的图象经过点（2,0）9.某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ） A.10 B.20 C.60 D.10010.如图所示，直线l 的方程是（ ）第10题图330x y -3230x y -= 3310x y --= D.310x -=11.对于命题p ,q ,若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，则（ ） A. p ,q 都是真命题 B. p ,q 都是假命题 C. p ,q 一个是真命题一个是假命题D.无法判断.12.已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，2()2f x x =+，则(1)f -的值是（ ）A.3-B.1-C.1D.3.13.已知点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，点A 的坐标是（4,3），则AP的值是（ ）A.10B.210C.62D.5214.关于x ，y 的方程221x my +=，给出下列命题：①当0m <时，方程表示双曲线； ②当0m =时，方程表示抛物线；③当01m <<时，方程表示椭圆； ④当1m =时，方程表示等轴双曲线； ⑤当1m >时，方程表示椭圆. 其中，真命题的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.515.5(1)x -的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ） A.0 B.1- C.32- D.32 .16.不等式组1030x y x y -+>⎧⎨+-<⎩表示的区域（阴影部分）是（ ）A B C D17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）A.29B.23C.14D.12.18.已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),12121212a b 5π5πππ==则a b 的值等于（ ）A.1219.已知,αβ表示平面，m ，n 表示直线，下列命题中正确的是（ ）A.若m α⊥，m n ⊥，则n αB.若m α⊂，n β⊂，αβ，则m nC.若αβ，m α⊂，则m βD.若m α⊂，n α⊂，m β，n β，则αβ 20.已知1F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，则双曲线的离心率是（ ）C.2D.3卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.直棱柱的底面是边长为a 的菱形，侧棱长为h ，则直棱柱的侧面积是 .22.在△ABC 中，105A ∠=,45C ∠=,AB =则BC = ..23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2 ，则从第五个号码段中抽取的号码应是 . .24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x y x +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于 . .25.集合,,M N S 都是非空集合，现规定如下运算：{}()()()M N S x x MN NS SM ⊗⊗=∈.且()x MN S ∉.若集合{}{},A x a x b B x c x d =<<=<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，满足：①0,0,0ab cd ef <<<；②a b c d e f -=-=-；③a b c d e f +<+<+.则A B C ⊗⊗= .三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员. .27.（本小题8分）已知函数2sin(2),y x x ϕ=+∈R ，02ϕπ<<.函数的部分图象如图所示.求：（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值； （2）函数的单调递增区间.15SD7 第27题图.28.(本小题8分)已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[2,4]-上的最大值是16.(1)求实数a 的值;(2)若函数22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,求满足不等式log (12)1a t -的实数t 的取值范围.29.(本小题9分)如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2,3SA SD AB ===. (1)求SA 与BC 所成角的余弦值； （2）求证：AB SD ⊥.15SD8 第29题图30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点O ,焦点F 在x 轴的正半轴上，Q 是抛物线上的点，点Q 到焦点F 的距离是1，且到y 轴的距离是38.（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l 经过点M (3，1),与抛物线相交于A ，B 两点，且OA OB ⊥,求直线l 的方程.15SD10 第30题图答案1.【考查内容】集合的交集 【答案】B2.【考查内容】绝对值不等式的解法 【答案】B【解析】1551546x x x -<⇒-<-<⇒-<<. 3.【考查内容】函数的定义域 【答案】A【解析】10x +且0x ≠得该函数的定义域是{}10x xx -≠且.4.【考查内容】充分、必要条件 【答案】C 【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，“直线与圆相切” ⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”.5.【考查内容】等比数列的性质 【答案】D 【解析】2423a q a ==，2649a a q ==. 6. 【考查内容】向量的线性运算 【答案】B【解析】12AM OM OA b a =-=-. 7.【考查内容】终边相同的角的集合 【答案】A【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是2,2x k k ⎧π⎫+π∈⎨⎬⎩⎭Z 8.【考查内容】二次函数的图象和性质 【答案】C【解析】222(1)1y x x x =-+=--+，最大值是1，对称轴是直线1x =，单调递减区间是[1,)+∞，（2,0）在函数图象上. 9.【考查内容】组合数的应用 【答案】A【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有35C 10=种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了） 10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程 【答案】D【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率3tan 30k ==，直线l 与x轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l ：01)y x -=-，即10x -=.11. 【考查内容】逻辑联结词 【答案】C 【解析】由p q ∧是假命题可知p ,q 至少有一个假命题，由p q ∨是真命题可知p ,q 至少有一个真命题，∴p ,q 一个是真命题一个是假命题 12.【考查内容】奇函数的性质 【答案】A【解析】2(1)(1)(12)3f f -=-=-+=-13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模 【答案】D【解析】∵点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，∴2131log 2,()93m m -=-==，∴P 点坐标为(9,2)-，(5,5),52AP AP =-=.14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念【答案】B【解析】当0m <时，方程表示双曲线；当0m =时，方程表示两条垂直于x 轴的直线；当01m <<时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当1m =时，方程表示圆；当1m >时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆.①③⑤正确. 15.【考查内容】二项式定理 【答案】D【解析】所有项的二项式系数之和为012345555555C C C C C C 32+++++=16【考查内容】不等式组表示的区域 【答案】C【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：0010-+>，0030+-<，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C 选项中所示. 17.【考查内容】古典概率 【答案】D【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为224⨯=，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为2142= 18.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算 【答案】A 【解析】1sincos cos sin sin 1212121262a b πππππ=+== 19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系【答案】C【解析】A. 若m α⊥，m n ⊥，则n α或n 在α内；B. 若m α⊂，n β⊂，αβ，则m n 或m 与n 异面；D. 若m α⊂，n α⊂，m β，n β，且m 、n 相交才能判定αβ；根据两平面平行的性质可知C 正确.20.【考查内容】双曲线的简单几何性质 【答案】A【解析】1F 的坐标为(,0)c -，设P 点坐标为0(,)c y -，22022()1y c a b--=，解得20b y a=，由1PF a =可得2b a a =，则a b =，该双曲线为等轴双曲线，离心21. 【考查内容】直棱柱的侧面积 【答案】4ah22.【考查内容】正弦定理【解析】由正弦定理可知，sin sin AB BCC A =,sin sin1056sin AB A BC C ===23.【考查内容】系统抽样【答案】42【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是241042+⨯= 24.【考查内容】椭圆的简单几何性质 【答案】【解析】圆22670x y x +--=的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即3,4c a ==，b == 25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集 【答案】{}x c xe bx d <<或【解析】∵a b c d +<+，∴a c d b -<-；∵a b c d -=-，∴a c b d -=-；∴b d d b -<-，b d <；同理可得d f <，∴b d f <<.由①③可得0a c e b d f <<<<<<.则{}A B x c x b =<<，{}B C x e x d =<<，{}CA x e x b =<<.ABC ⊗⊗={}x c xe bx d <<或.26. 【考查内容】等差数列的实际应用【解】由题意知各排人数构成等差数列{}n a ，设第一排人数是1a ，则公差3d =，前5项和5120S =,因为1(1)2n n n S na d -=+，所以154120532a ⨯=+⨯，解得118a =.答：第一排应安排18名演员【考查内容】正弦型函数的图象和性质 【解】（1）函数的最小正周期22T π==π,因为函数的图象过点（0,1），所以2sin 1ϕ=，即1sin 2ϕ=，又因为02ϕπ<<，所以6ϕπ=. (2)因为函数sin y x =的单调递增区间是[2,2],22k k k ππ-+π+π∈Z . 所以222262k x k πππ-+π++π，解得36k xk ππ-+π+π， 所以函数的单调递增区间是[,],36k k k ππ-+π+π∈Z【考查内容】指数函数的单调性【解】（1）当01a <<时，函数()f x 在区间[2,4]-上是减函数， 所以当2x =-时，函数()f x 取得最大值16，即216a -=，所以14a =. 当1a >时，函数()f x 在区间[2,4]-上是增函数，所以当4x =时，函数()f x 取得最大值16，即416a =，所以2a =. （2）因为22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,即2320x x a -+>恒成立.所以方程2320x x a -+=的判别式0∆<，即2(3)420a --⨯<，解得98a >，又因为14a =或2a =，所以2a =.代入不等式得2log (12)1t -，即0122t<-，解得1122t -<，所以实数t 的取值范围是11[,)22-. 【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质 【解】（1）因为AD BC ,所以SAD ∠即为SA 与BC 所成的角，在△SAD中，2SA SD ==，又在正方形ABCD 中3AD AB ==,所以222222232cos 2223SA AD SD SAD SA AD +-+-∠==⨯⨯34=,所以SA 与BC 所成角的余弦值是34.(2)因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD 平面ABCD AD =,在正方形ABCD 中，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面SAD ,又因为SD ⊂平面SAD ,所以AB SD ⊥.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为22y px =，因为点Q 到焦点F 的距离是1，所以点Q 到准线的距离是1，又因为点Q 到y 轴的距离是38，所以3128p =-，解得54p =， 所以抛物线方程是252y x =. （2）假设直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3x =，与252y x =联立，可解得交点A 、B 的坐标分别为，易得32OA OB =，可知直线OA 与直线OB 不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则方程为1(3)y k x -=-，整理得31y kx k =-+，设1122(,),(,),A x y B x y 联立直线l 与抛物线的方程得23152y kx k y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩①② , 消去y ，并整理得22225(62)96102k x k k x k k --++-+=，于是2122961k k x x k -+=. 由①式变形得31y k x k+-=，代入②式并整理得2251550ky y k --+=，于是121552k y y k-+=，又因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即12120x x y y +=， 2296115502k k k k k -+-++=，解得13k =或2k =. 当13k =时，直线l 的方程是13y x =，不满足OA OB ⊥，舍去. 当2k =时，直线l 的方程是12(3)y x -=-，即250x y --=，所以直线l 的方程是250x y --=.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
2015年山东省春季高考数学试题及答案(清晰版)
（A）{1，2，3}（B）{1，3}（C）{1，2}（D）{2}
2．不等式|x－1|＜5的解集是
（A）(－6，4)（B）（－4，6）
（C）(－∞,－6)∪(4,＋∞)（D）(－∞,－4 )∪（6，＋∞)
25．集合M，N，S都是非空集合，现规定如下运算：
M⊙N⊙S＝{x|x(M∩N)∪(N∩S)∪(S∩M)，且xM∩N∩S}．
若集合A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d}，C＝{x|e＜x＜f}，其中实数a，b，c，d，e，f满足：
（1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b－a＝d－c＝f－e；（3）b＋a＜d＋c＜f＋e．
其中，真命题的个数是
（A）2（B）3（C）4（D）5
15．(1－x)5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）
（A）0（B）－1（C）－32（D）32
16．不等式组表示的区域（阴影部分）是（）
17．甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中
任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（）
3．函数y＝+的定义域为（）
（A）{x|x≥－1且x≠0}（B）{x|x≥－1}
（C）{x|x＞－1且x≠0}（D）{x|x＞－1}
4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
5．在等比数列{an}中，a2＝1，a4＝3，则a6等于（）
计算A⊙B⊙C＝_____________________________________．
三、解答题（本大题共5个小题，共40分，请在答题卡相应的题号处写出解答过程）
中国海洋大学高数Ⅱ-22013春期末A卷
＋---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第1页 共2页 ＋中国海洋大学全日制本科课程期末考试试卷_2013_年 春 季学期 考试科目： 高等数学2-2 学院： 数学科学学院 试卷类型： A 卷 命题人: 《高等数学》课程组 审核人：________考试说明：本课程为闭卷考试，共_2__页，总计100分．题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分得分一、填空题 (共10 题，每题3分，共 30 分)1. 已知22ln y x z +=，则=∂∂+∂∂2222yzx z ____________．2. 已知),(v u F 有连续偏导数，且方程0),(=++z y z x F 确定隐函数),(y x z z =， 则dz _____________．3. 交换积分次序：∫∫22),(xxdy y x f dx =_____________．4. 函数221),(y x y x f −−=在点)1,1(处的梯度=gradf _________ ．5. 微分方程xyx y dx dy 2+=满足初时条件1)1(=y 的特解为_________ ． 6．曲线t z t y t x ===,,23与平面533=+−z y x 平行的切线为 _______________ ． 7．函数333y x xy z −−=的极大值为___________． 8．设D ：122≤+y x ,二重积分=I dxdy y x D∫∫+2)(=___________．9. 幂级数∑∞=+02n nn x 的和函数=)(x S _________ ．10. 将函数x x f arctan )(=展成麦克劳林级数为____________．学号: 姓名: 专业年级: 授课教师： 考场教室号: 座号:----------------装---------------- -------------订--- ------------------------线------------------------＋---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第2页 共2页 ＋ 二、完成下列各题(共6题，每题8 分，共48 分)1． 已知),,(v u f 有二阶连续偏导数，且),(22xy y x f z +=，求yx z∂∂∂2．2． 求椭球面1235222222=++z y x 在点32,33,35(处的切平面与三个坐标平面所围四面体的体积．3． 求微分方程x e y y y −=−′−′′32的通解．4． 设半球体Ω：2222R z y x ≤++（0≥z ）,计算三重积分=I dv z yz xe z ∫∫∫Ω++)(2． 5． 设L ：1)1(22=+−y x ,计算第一类曲线积分 =I ds y x L)(22∫+．6. 设Σ是椭球面14222=++z y x 取外侧，计算第二类曲面积分=I ∫∫Σ++++22244zy x zdxdyydzdx xdydz ．三、计算题与证明题 (第1题12分 ,第2题10分,共22 分)1. 空间中，某质点在变力},,{xy zx yz F =→的作用下由坐标原点运动到椭球面1222222=++c z b y a x 位于第一卦限点),,(000z y x 处．试求 1) 力→F 所作的功；2）当000,,z y x 取何值时功最大，并求出这个最大值．2. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x y x y x f ， 证明：函数),(y x f 在)0,0(处偏导数存在但不可微．。
2015年_全国II卷数学(原卷+答案)
【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.
2.渐近线方程为 x y 0 的双曲线的离心率是（ ）
2
A. 2
B. 1
C. 2
D. 2
【答案】C 【解析】
【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得 a b 1 ，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基
础知识、基本计算能力的考查.
【详解】因为双曲线的渐近线为 x y 0 ，所以 a=b=1，则 c a2 b2 2 ，双曲线的
数 a 的最大值是____.
17．已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个 i (i 1, 2, 3, 4, 5, 6) 取遍 1时， uuur uuur uuur uuur uuur uuur
| 1 AB 2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD | 的最小值是________，最大值是
x, 2a
求 a 的取值范围.
注：e=2.71828…为自然对数的底数.
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学
参考公式：
若事件 A, B 互斥，则 P( A B) P( A) P(B) 若事件 A, B 相互独立，则
P( AB) P( A)P(B) 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,则
x y 0
A． 1
B．1
C．10
D．12
4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原
理，利用该原理可以得到柱体体积公式 V 柱体=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的
高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是
A．158
B．162
C．182
D．32
5．若 a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的
中国海洋大学 概率论与数理统计 2015春及答案
c , f (x ,y )
1.求常数 c
0，
0 x 1, 其它。
2x y 2 .
2. 求出 X 、 Y 的边际分布密度
3. 说明 X 、 Y 是否独立，为什么？ 4.求 P {X Y 1}
（三） （10 分）总体 X 服从[ , 2 ]上的均匀分布（参数 2)）
2
X
ˆ 所以 的 矩估计 1 2X 2
.似然函数 L ( )=
f(x i , ) ( 2 )
i 1
n
1
n
minx 1 ,x 2 ,x n
其它
0
ˆ minx 1 , x 2 , , x n 时 L ( )达到最大值
（二）解
（1）
p( x, y)dxdy 1
c 1
（2） X 的边际分布密度 p 1(x )
p(x ,y ) dy
2 - 2x 0
1 x 0 其它
Y 的边际分布密度
p 2(y )
y p(x ,y ) dx 2 0
X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本。
1． 求参数 的矩估计。 2. 求参数 的极大似然估计。
＋
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（四） （8 分）随机变量 X 的密度函数为 f ( x )
2e - 2 x 0，
x 0 ， x 0
F(x )为 X 的分布函数 试求Y F（X )的概率密度函数和数学期望。
2 y 0 其它
（3）
p ( x, y ) p1 ( x) p 2 ( y ) 所以 X 、 Y 不独立，
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试山东理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015山东,理1)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案:C解析:A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2<x<4},结合数轴,知A∩B={x|2<x<3}.2.(2015山东,理2)若复数z满足z=i,其中i为虚数单位,则z=()A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答案:A解析:∵z1−i=i,∴z=i(1-i)=i-i2=1+i.∴z=1-i.3.(2015山东,理3)要得到函数y=sin4x−π的图象,只需将函数y=sin 4x的图象()A.向左平移π个单位B.向右平移π个单位C.向左平移π个单位D.向右平移π3个单位答案:B解析:∵y=sin4x−π3=sin4 x−π12,∴只需将函数y=sin 4x的图象向右平移π12个单位即可.4.(2015山东,理4)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则BD·CD=()A.-32a2 B.-34a2 C.34a2 D.32a2答案:D解析:如图设BA=a,BC=b.则BD·CD=(BA+BC)·BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos 60°=a2+1a2=3a2.5.(2015山东,理5)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)答案:A解析:当x≤1时,不等式可化为(1-x)-(5-x)<2,即-4<2,满足题意;当1<x<5时,不等式可化为(x-1)-(5-x)<2,即2x-6<2,解得1<x<4; 当x≥5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,不成立.故原不等式的解集为(-∞,4).6.(2015山东,理6)已知x,y满足约束条件x−y≥0,x+y≤2,y≥0.若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3答案:B解析:由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y,即y=-ax+z.设直线l0:ax+y=0.当-a≥1,即a≤-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,z max=0+0=0,不合题意;当0≤-a<1,即-1<a≤0时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,z max=a+1=4,∴a=3(舍去);当-1<-a<0时,即0<a<1时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,z max=2a+1=4,∴a=3(舍去);当-a≤-1,即a≥1时,l0过A(2,0)时,z取得最大值,z max=2a+0=4,∴a=2.综上,a=2符合题意.7.(2015山东,理7)在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D.2π答案:C解析:由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V圆柱=π×12×2=2π,V圆锥=13×π×12×1=π3.∴V几何体=V圆柱-V圆锥=2π-π=5π.8.(2015山东,理8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案:B解析:由正态分布N(0,32)可知,ξ落在(3,6)内的概率为P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)−P(μ−σ<ξ<μ+σ)=95.44%−68.26%2=13.59%.9.(2015山东,理9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或-35B.-32或-23C.-5或-4D.-4或-3答案:D解析:如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.∴圆心到直线的距离d=1+k=1,解得k=-4或k=-3.10.(2015山东,理10)设函数f (x )= 3x −1,x <1,2x ,x ≥1.则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是( )A. 23,1 B.[0,1]C. 2,+∞ D.[1,+∞)答案:C解析:当a=2时,f (2)=4,f (f (2))=f (4)=24,显然f (f (2))=2f (2),故排除A,B .当a=2时,f 2 =3×2-1=1,f f 2 =f (1)=21=2. 显然f f 2 =2f 23 .故排除D . 综上,选C .第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(2015山东,理11)观察下列各式: C 10=40; C 30+C 31=41; C 50+C 51+C 52=42; C 70+C 71+C 72+C 73=43; ……照此规律,当n ∈N *时,C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C 2n−1n−1= . 答案:4n-1解析:观察各式有如下规律:等号左侧第n 个式子有n 项,且上标分别为0,1,2,…,n-1,第n 行每项的下标均为2n-1.等号右侧指数规律为0,1,2,…,n-1.所以第n 个式子为C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C 2n−1n−1=4n-1. 12.(2015山东,理12)若“∀x ∈ 0,π4,tan x ≤m ”是真命题,则实数m 的最小值为 . 答案:1解析:由题意知m ≥(tan x )max .∵x ∈ 0,π,∴tan x ∈[0,1], ∴m ≥1.故m 的最小值为1.13.(2015山东,理13)执行下边的程序框图,输出的T 的值为 .答案:11解析:初始n=1,T=1.又 10x n d x=1n +1x n+1|01=1n +1, ∵n=1<3,∴T=1+1=3,n=1+1=2; ∵n=2<3,∴T=32+12+1=116,n=2+1=3; ∵n=3,不满足“n<3”,执行“否”,∴输出T=11.14.(2015山东,理14)已知函数f (x )=a x +b (a>0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= . 答案:-3解析:f (x )=a x +b 是单调函数,当a>1时,f (x )是增函数,∴ a −1+b =−1,a 0+b =0,无解.当0<a<1时,f (x )是减函数,∴ a −1+b =0,a 0+b =−1,∴ a =12,b =−2. 综上,a+b=1+(-2)=-3.15.(2015山东,理15)平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C 2:x 2=2py (p>0)交于点O ,A ,B.若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为 .答案:3解析:双曲线的渐近线为y=±ba x.由y =ba x ,x 2=2py ,得A 2bp a ,2b 2p a 2.由 y =−b a x ,x 2=2py ,得B −2bp a ,2b 2p a2 .∵F 0,p为△OAB 的垂心,∴k AF ·k OB =-1.即2b 2p a 2−p 22bpa−0· −b a =-1,解得b 2a2=54,∴c 2a 2=94,即可得e=32.三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)(2015山东,理16)设f (x )=sin x cos x-cos 2 x +π4. (1)求f (x )的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若f A 2=0,a=1,求△ABC 面积的最大值.解:(1)由题意知f (x )=sin2x −1+cos 2x +π2 =sin2x −1−sin2x =sin 2x-1.由-π2+2k π≤2x ≤π2+2k π,k ∈Z ,可得-π4+k π≤x ≤π4+k π,k ∈Z ; 由π+2k π≤2x ≤3π+2k π,k ∈Z ,可得π+k π≤x ≤3π+k π,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是 −π+kπ,π+kπ (k ∈Z );单调递减区间是 π+kπ,3π+kπ (k ∈Z ).(2)由f A 2 =sin A-12=0,得sin A=12,由题意知A 为锐角,所以cos A= 32.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 可得1+ 3bc=b 2+c 2≥2bc ,即bc ≤2+ 3,且当b=c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2+ 34. 所以△ABC 面积的最大值为2+ 3. 17.(本小题满分12分)(2015山东,理17)如图,在三棱台DEF-ABC 中,AB=2DE ,G ,H 分别为AC ,BC 的中点.(1)求证:BD ∥平面FGH ;(2)若CF ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,CF=DE ,∠BAC=45°,求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.(1)证法一:连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OH∥BD,又OH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形.可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)解法一:设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=1AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DG∥FC.又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,G是AC中点,所以AB=BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1).可得H2,2,0,F(0,2,1),故GH=2,2,0,GF=(0,.设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则由n·GH=0,n·GF=0,可得x+y=0,2y+z=0.可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,2).因为GB是平面ACFD的一个法向量,GB=(2,0,0),所以cos<GB,n>=GB·n|GB|·|n|=222=12.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.解法二:作HM⊥AC于点M,作MN⊥GF于点N,连接NH.由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC,又FC∩AC=C,所以HM⊥平面ACFD.因此GF⊥NH,所以∠MNH即为所求的角.在△BGC中,MH∥BG,MH=1BG=2,由△GNM ∽△GCF ,可得MN FC=GMGF,从而MN= 66.由HM ⊥平面ACFD ,MN ⊂平面ACFD ,得HM ⊥MN ,因此tan ∠MNH=HM = 3,所以∠MNH=60°.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.18.(本小题满分12分)(2015山东,理18)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n =3n +3. (1)求{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足a n b n =log 3a n ,求{b n }的前n 项和T n . 解:(1)因为2S n =3n +3,所以2a 1=3+3,故a 1=3, 当n>1时,2S n-1=3n-1+3,此时2a n =2S n -2S n-1=3n -3n-1=2×3n-1,即a n =3n-1,所以a n = 3,n =1,3n−1,n >1.(2)因为a n b n =log 3a n ,所以b 1=13,当n>1时,b n =31-n log 33n-1=(n-1)·31-n . 所以T 1=b 1=1;当n>1时,T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =13+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n ), 所以3T n =1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n ),两式相减,得2T n =2+(30+3-1+3-2+…+32-n )-(n-1)×31-n =2+1−31−n 1−3−1-(n-1)×31-n =13−6n +3n, 所以T n =13−6n +3n.经检验,n=1时也适合. 综上可得T n =1312−6n +34×3n. 19.(本小题满分12分)(2015山东,理19)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX.解:(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为C 93=84,随机变量X 的取值为:0,-1,1,因此P (X=0)=C 83C 93=23,P (X=-1)=C 42C 93=114,P (X=1)=1-114−23=1142. 所以X 的分布列为则EX=0×23+(-1)×114+1×1142=421. 20.(本小题满分13分)(2015山东,理20)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 22+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为3,左、右焦点分别是F 1,F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程; (2)设椭圆E :x 24a 2+y 24b2=1,P为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A ,B 两点,射线PO 交椭圆E于点Q.①求|OQ ||OP |的值;②求△ABQ 面积的最大值. 解:(1)由题意知2a=4,则a=2.又c =3,a 2-c 2=b 2,可得b=1,所以椭圆C 的方程为x 2+y 2=1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 2+y 2=1. ①设P (x 0,y 0),|OQ |=λ,由题意知Q (-λx 0,-λy 0).因为x 02+y 02=1,又(−λx 0)2+(−λy 0)2=1, 即λ24 x 024+y 02 =1,所以λ=2,即|OQ ||OP |=2. ②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y=kx+m 代入椭圆E 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0, 由Δ>0,可得m 2<4+16k 2. ①则有x 1+x 2=-8km 1+4k2,x 1x 2=4m 2−161+4k2.所以|x 1-x 2|=4 16k 2+4−m 21+4k2.因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m ), 所以△OAB 的面积S=12|m||x 1-x 2|=2 16k 2+4−m 2|m |1+4k2=2 (16k 2+4−m 2)m 21+4k2=2 4−m 1+4k2m 1+4k2.设m 21+4k2=t.将y=kx+m 代入椭圆C 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2. ②由①②可知0<t ≤1,因此S=2 (4−t )t =22+4t . 故S ≤2 ,当且仅当t=1,即m 2=1+4k 2时取得最大值2 3. 由①知,△ABQ 面积为3S ,所以△ABQ 面积的最大值为6 3.21.(本小题满分14分)(2015山东,理21)设函数f (x )=ln(x+1)+a (x 2-x ),其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数,并说明理由; (2)若∀x>0,f (x )≥0成立,求a 的取值范围. 解:(1)由题意知函数f (x )的定义域为(-1,+∞),f'(x )=1+a (2x-1)=2ax 2+ax−a +1. 令g (x )=2ax 2+ax-a+1,x ∈(-1,+∞).当a=0时,g (x )=1,此时f'(x )>0,函数f (x )在(-1,+∞)单调递增,无极值点; 当a>0时,Δ=a 2-8a (1-a )=a (9a-8).①当0<a ≤8时,Δ≤0,g (x )≥0,f'(x )≥0,函数f (x )在(-1,+∞)单调递增,无极值点;②当a>89时,Δ>0,设方程2ax 2+ax-a+1=0的两根为x 1,x 2(x 1<x 2), 因为x 1+x 2=-1,所以x 1<-1,x 2>-1. 由g (-1)=1>0,可得-1<x 1<-1.所以当x ∈(-1,x 1)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当x ∈(x 1,x 2)时,g (x )<0,f'(x )<0,函数f (x )单调递减, 当x ∈(x 2,+∞)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增. 因此函数有两个极值点. 当a<0时,Δ>0,由g (-1)=1>0,可得x 1<-1.当x ∈(-1,x 2)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增; 当x ∈(x 2,+∞)时,g (x )<0,f'(x )<0,函数f (x )单调递减; 所以函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,函数f (x )有一个极值点; 当0≤a ≤8时,函数f (x )无极值点; 当a>89时,函数f (x )有两个极值点. (2)由(1)知,①当0≤a ≤8时,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增, 因为f (0)=0,所以x ∈(0,+∞)时,f (x )>0,符合题意;②当8<a ≤1时,由g (0)≥0,得x 2≤0,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.又f (0)=0,所以x ∈(0,+∞)时,f (x )>0,符合题意; ③当a>1时,由g (0)<0,可得x 2>0. 所以x ∈(0,x 2)时,函数f (x )单调递减;因为f (0)=0,所以x ∈(0,x 2)时,f (x )<0,不合题意; ④当a<0时,设h (x )=x-ln(x+1). 因为x ∈(0,+∞)时,h'(x )=1-1=x>0, 所以h (x )在(0,+∞)上单调递增. 因此当x ∈(0,+∞)时,h (x )>h (0)=0, 即ln(x+1)<x.可得f (x )<x+a (x 2-x )=ax 2+(1-a )x , 当x>1-1a时,ax 2+(1-a )x<0, 此时f (x )<0,不合题意.综上所述,a 的取值范围是[0,1].。
中国海洋大学 2011学年 春季学期 期末考试试卷
一、单选题（每题2分，共20分）1．在C语言中，变量所分配的内存空间大小______。
A）均为一个字节 B）由用户定义 C）由变量的类型决定 D）是任意的2．若a是数值类型，则逻辑表达式(a==1)||(a!=1)的值是______。
A）1 B）0 C）2 D）不知道a的值，不能确定3．下列运算符中优先级最高的是______。
A）!= B）%= C）-> D) ++4．下面的for语句________。
f o r(x=0,y=10;(y>0)&&(x<4);x++,y--);A）循环执行4次 B）循环执行3次 C）是无限循环 D）循环次数不定5．以下选项中与i f(a==1)a=b;e l s e a++;语句功能不同的switch语句是______。
A）s w i t c h(a)B）s w i t c h(a==1){c a s e1:a=b;b r e a k;{c a s e0:a=b;b r e a k;D e f a u l t:a++;｝c a s e1:a++;}C）s w i t c h(a)D）s w i t c h(a==1){d e f a u l t:a++;b r e a k;{c a s e1:a=b;b r e a k;c a s e1:a=b;}c a s e0:a++;}6．下面程序的输出结果是_______。
v o i d m a i n(){i n t a=10,b=20,c=30;i f(a>b)a=b;b=c;c=a;p r i n t f("%d,%d,%d\n",a,b,c);}A）10,20,30 B）10,30,20 C) 10,30,10 D) 30,20,107．有定义：c h a r*p[20]; 则p是______。
A）指针数组名 B）指针变量名 C）字符变量名 D）函数名8．以下程序运行时输出结果是_______。
山东春季高考数学试题及详解答案
山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项:１.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．２.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题卡上）1．若集合A ＝{1，2，3}，B ＝{1，3}，则 A ∩B 等于（ ） （A ）{1，2，3} （B ）{1，3} （C ） {1，2} （D ）{2} 2．|x －1|＜5的解集是（ ）（A ）(－6，4) （B ）（－4，6）（C ） (－∞, －6)∪(4, ＋∞) （D ）(－∞, －4 )∪（6，＋∞)3．函数y ＝x +1 +1x的定义域为（ ）（A ）{x | x ≥－1且x ≠0} （B ）{x |x ≥－1} （C ）{x x ＞－1且x ≠0} （D ）{x |x ＞－1} 4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．在等比数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝3，则a 6等于（ ） （A ）-5 （B ）5 （C ）-9 （D ）9 6.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量→OA ＝→a ，→OB ＝→b ，则→AM 可以表示为（ ）（A ）→a + 12→b （B ） －→a + 12→b（C ）→a － 12→b （D ）－→a － 12→b 7．终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ） （A ）{x |x ＝?2＋2k ?，k ?Z } （B ）{x |x ＝?2＋k ?}（C ）{x |x ＝－?2＋2k ?，k ?Z } （D ）{x |x ＝－?2＋k ?，k ?Z }8．关于函数y ＝－x 2+2x ，下列叙述错误的是（ ）（A ）函数的最大值是1 （B ）函数图象的对称轴是直线x =1 （C ）函数的单调递减区间是[－1，＋∞) （D ）函数图象过点（2，0）9．某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ）（A ）10 （B ）20 （C ）60 （D ）100 10．如图所示，直线l 的方程是（ ）BOMA（A ）3x －y －3＝0 （B ）3x －2y －3＝0 （C ）3x －3y －1＝0 （D ）x －3y －1＝011．对于命题p ，q ，若p ∧q 为假命题”，且p ∨q 为真命题，则（ ） （A ）p ，q 都是真命题 （B ）p ，q 都是假命题 （C ）p ，q 一个是真命题一个是假命题 （D ）无法判断12．已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2＋2，则f (－1)的值是（ ）（A ）－3 （B ）－1 （C ）1 （D ）3 13．已知点P （m ，－2）在函数y ＝log 13x 的图象上，点A 的坐标是（4，3），则︱→AP ︱的值是（ ）（A ）10 （B ）210 （C ）6 2 （D ）5 2 14．关于x ,y 的方程x 2+m y 2＝1，给出下列命题：①当m ＜0时，方程表示双曲线；②当m ＝0时，方程表示抛物线；③当0＜m ＜1时，方程表示椭圆；④当m ＝1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m ＞1时，方程表示椭圆。