金融数学第-章练习题详解

金融数学第一章练习题详解

第 1 章 利息度量

1.1 现在投资$600，以单利计息，2 年后可以获得$150 的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在 3 年后的累积值。

65.2847%)5.121(2000%

5.1215026003=+=⇒=∙i i

1.2 在第 1 月末支付 314 元的现值与第 18 月末支付 271 元的现值之和，等于在第 T 月末支付 1004 元的现值。年实际利率为 5% 。求 T 。

58

.1411205.1ln /562352.0ln 562352.0ln 05.1ln 12

562352.01004/)05.127105.1314(05.105.1%)51()1(271314100412/1812/112/12

/1812/112/=⨯-==-=⨯+⨯==+=+=+=------T T i v v v v T t

t t t T 两边取对数，其中

1.3 在零时刻，投资者 A 在其账户存入 X ，按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入 2X ，按利率 i （单利）来计息。 假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求 i 。

094588

.02)12(2)2

1(2

)21()21()21())2

1()21((2

12:))21()21((:215/11515151615161516=⨯-==+∙+=+-+==+-+=⨯⨯+-+i i i i i i i Xi i i X Xi i X B i i X A i A 两边取对数

，的半年实际利率为

1.4 一项投资以 δ 的利息力累积，27.72 年后将翻番。金额为 1 的投资以每两年复利一次的名义利率 δ 累积 n 年，累积值将成为 7.04。求 n 。

()

80

2)05.1ln /04.7(ln 04

.7)21025

.072.27/2ln 2

)1()(1ln 2/5.072.27=⨯==+=====+=+=n i e e i t a i n t

t δδ

δδδδ（

1.5 如果年名义贴现率为 6%，每四年贴现一次，试确定$100 在两年末的累积值。 71.114%)641(10024/1=⨯-⨯-

1.6 如果 )(m i = 0.1844144 ， )(m d

= 0.1802608 ，试确定 m 。 81802608

.01844144.01802608.01844144.01111111111112

=-⨯=-∙=∙=-=∙--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+-m m m m m

m m m m

m m m m m m m m m m m m m d i d i m m

d i d i m d i m d i m d m i m d m i d m d m i i

1.7 基金 A 以每月复利一次的名义利率 12 %累积。基金 B 以t δ= t / 6 的利息力累积。在零时刻，分别存入 1 到两个基金中。请问何时两个基金的金额将相等。

()43

.101.1ln 14412/01.1ln 1212/%121212

/6/1220=⨯===⎰=+t t t e e t dt t t t 两边取对数，

1.8 基金 A 以 t δ= a+bt 的利息力累积。基金 B 以t δ= g+ht 的利息力累积。基金 A 与基金 B 在零时刻和 n 时刻相等。已知 a > g > 0 ， h > b > 0 。求n 。

h

b a g n hn gn bn an n b n a b a e e t b e e t a ht gt dt ht g bt at dt bt a t t --=⇒+=+⇒===⎰==⎰=++++)(22

121)

()(),0()0()()(2

2)

21()()2

1()(2020

1.9 在零时刻将

100

支付利息。从 t = 2 开始，利息按照 t

t +=

11δ的利息力支付。在 t = 5 时，存款的累积值为 260。求δ。 ()()

1290

.0)2100/(26014260)4/1(100260)4/1(1008/1-)3ln 6(ln 24-1124-52=⨯-⨯==⨯-=⎰⨯--⨯+⨯δδδδe e

dt t 现率

指前两年内的年名义贴

1.10 在基金 A 中，资金 1 的累积函数为 t+1，t>0；在基金 B 中，资金 1 的累积函数为1+t 2 。请问在何时，两笔资金的利息力相等。 41.012012121112,11222

=-=⇒=-+⇒+=+⇒=+=+=t t t t

t t t t t B A B A δδδδ令 1.11 已知利息力为t t +=

12δ。第三年末支付 300 元的现值与在第六年末支付 600 元的现值之和，等于第二年末支付 200 元的现值与在第五年末支付 X 元的现值。求 X 。82

.315))51/(())21(200-)61(600)31(300()

5()2(200)6(600)3(300)1()()1()(22-2211112

12)1ln(212

0=++⨯+⨯++⨯=⇒⨯+⨯=⨯+⨯+=⇒+==⎰=---------++X a X a a a t t a t e e t a t dt t t

1.12 已知利息力为100

3

t t =δ。请求)3(1-a 。 8167.0)3(2025.0400/81)03(400/110014

303

====⎰=---⨯---e e e e a dt t

1.13 资金 A 以 10%的单利累积，资金 B 以 5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资金的利息力相等。

51.011.0-205.0105.01.011.005.0105.0)05.01()(05.01)%51()(:1.011

.01.01)%101()(:11=⇒+=⇒-=+⇒=-=

⇒-=⇒-=-=+=⇒+=+=--t t t t

t t t t a t t t a B t

t t t a A B A B A δδδδ令