第五章 特殊平行四边形难题 综合训练(含答案)

G E B 图1 A D F C G E B 图2 A D F C G E B 图3
25、如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，
于E，
，交AG于F．求证：
．
D C
B A E F G
参考答案
1、D 2、 3、5或9 4、20 5、 6、C 7、A 8、B 9、C 10、 11、（1）证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB = AD，∠1 =∠2又∵AN = AN∴△ABN ≌ △ADN
∴∠3=∠4，从而CM=CN，易求AC=6
，∴CM=CN=AC－AN=6
－6，
故x = 12－CM=12－（6
－6）=18－6
综上所述：当x = 6或12 或18－6
时，△ADN是等腰三角形 12、（1）因为ABCD是正方形，所以BC=CD。又因为ECGF是正方形， 所以EC=CG。
所以三角形BCE和三角形DCG全等（HL）。所以BE=DG（全等三 角形的对应边相等）
边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形 A1B1C1D1各边中 点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可 得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…….则四边形A2B2C2D2的周 长是 ；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是 . 5、如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB
）． (1）求
两点的坐标； (2）用含
的代数式表示 的面积 ；
(3）以 为对角线作矩形 ，记 和 重合部分的面积为 ，
①当 时，试探究 与 之间的函数关系式；
②在直线
的运动过程中，当
为何值时，
为
面积的
？ O M A P N y l m x B O M A P N y l m x B E P F 图22
且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形的边长为
.
第1题
第2题
第3题
第4题
3、如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的 距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这
些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是 平方单位．
4、如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°.顺次连结菱形 ABCD各
(2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形此时，∠CAD=45°． 下面分三种情形：
Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．此时，点M恰好与点B重 合，得x=6；
Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．此时，点M恰好与点C重 合，得x=12；
Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2，由AD∥BC，得∠1=∠4，又 ∠2=∠3， C M B N A D 1 2 3 4
，∴
．又∵四边形
是菱形， ∴
∴
． 法三：∵四边形
是平行四边形，∴
， ∴
∴
，∴
是等边三角形． 又∵
，四边形
是菱形，∴ ，∴ ∴ ，∵ ，
∴ ． 15、（1） ．
其证明如下：∵ 是 的平分线， ．∵ ，∴ ．
∴ ．∴
．同理可证 ．∴ ．
(2）四边形 不可能是菱形，若 为菱形，则 ，而由（1）可知 ，在平面内过同一点 不可能有两条直线同垂直于一条直线．
在
的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？ (3）在（2）的情况下，当点
运动到什么位置时，四边形
是菱形？并说明理由．
A G C D B F E 图（a） A D C B F
E G 图（b）
15、如图， 中，点 是边 上一个动点，过 作直线 ，设 交 的平分线于点 ，交
的外角平分线于点
． (1）探究：线段
请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ． 14、 是等边三角形，点 是射线 上的一个动点（点 不与点 重合）， 是以 为边的等边三角形，过点 作 的平行线，分别交射线 于点 ，连接 ．
(1）如图（a）所示，当点
在线段
上时． ①求证：
；②探究四边形
是怎样特殊的四边形？并说明理由； (2）如图（b）所示，当点
是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
9、如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点0作射线
OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点
P．则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方
形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF=0A；
23、如图15，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边 三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边 形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边 BC的中点．
，且EF交正方形外角
的平行线CF于点F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连
说出旋转过程；若不存在，请说明理由． E F G D A B C
13、请阅读，完成证明和填空． A A A B B B C C C D D O O O M
M M N N N E 图13-1 图13-2 图13-3 …
数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究 发现的结果，内容如下：
于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB
的长为 .
6、如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点
E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（ ）
A．2
B．3
C．
D．
第5题
第6题
第7题
第8题
7、如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，
（2）存在。以点C为旋转中心逆时针旋转90度 13、（1）证明：∵
是正三角形，∴
， 在
和
中，
∴
． ∴
．又∵
，∴
，∴
． 注：学生可以有其它正确的等价证明． (2）在正方形中，
． (3）在正五边形中，
． (4）以上所求的角恰好等于正
边形的内角
14、（1）①证明：∵
和
都是等边三角形， ∴
． 又∵
，
，∴
， ∴
与
的数量关系并加以证明； (2）当点
在边
上运动时，四边形
会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由； (3）当点
运动到何处，且
满足什么条件时，四边形
是正方形？ A F N D C B M E O
16、如图，已知直线 与直线 相交于点 分别交 轴于 两点．矩形 的顶点 分别在直线 上，顶点 都在 轴上，且点
∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位
置，则点B′的坐标为（ ）
A、（） B、（） C、（） D、（）
8、如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将
△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下
列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③S△FGC=9/10．其中正确的
(3）当点 运动到 中点时， ， ，则四边形 为 ，要使
为正方形，必须使 ．
∵ ，∴ ，∴ 是以 为直角的直角三角形，
∴当点 为 中点且 是以 为直角的直角三角形时，四边形 是正方形． 16、（1）解：由 得 点坐标为
由
得 点坐标为 ∴
由 解得 ∴ 点的坐标为
∴ (2）解：∵点 在 上且 ∴ 点坐标为
． ②法一：由①得
，∴ ．又∵ ，
∴ ，∴ ．又∵ ，∴四边形 是平行四边形．
法二：证出 ，得 ．由①得 ．
得 ．∴四边形
是平行四边形． (2）①②都成立． (3）当
（ 或 或 或 或 ）时，四边形 是菱形．
理由：法一：由①得 ，∴ 分又∵ ，∴ ．
由②得四边形 是平行四边形，∴四边形
是菱形． 法二：由①得
第五章 特殊平行四边形难题综合训练
1、正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在
线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长
为4，则△DEK的面积为（ ）
A．10
Hale Waihona Puke Baidu
B．12
C．14
D．16
2、如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并
（4）AE2+CF2=20P•OB．正确的结论有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
10、如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板
如图放置，则矩形ABCD的周长为 .
11、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运
动，连接DM交AC于点N．
(1)如图11－1，当点M在AB边上时，连接BN．求证：
与点
重合． A D B E O C F x y y （G）
(1）求
的面积； (2）求矩形
的边
与
的长；
17、在 中， 将 绕点 顺时针旋转角
得 交 于点 ， 分别交 于 两点．
(1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段
与
有怎样的数量关系？并证明你的结论； (2）如图2，当
时，试判断四边形
的形状，并说明理由
接ME，则AM=EC，易证
，所以
． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边
BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍 然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不 正确，请说明理由；
(2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一 点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确 吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A D F C
A D B E C F A D B E C F
18、在菱形 中，对角线 与 相交于点 ， ．过点 作 交 的延长线于点 ． (1）求 的周长； (2）点 为线段
上的点，连接
并延长交
于点
．求证：
． A Q D E B P C O
19、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上 的动点（不包括端点），作∠AEF = 90，使EF交矩形的外角平分线BF 于点F，设C（m，n）． (1）若m = n时，如图，求证：EF = AE； (2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存 在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．
；
(2)如图11－2，若∠ABC
=
90°，记点M运动所经过的路程
为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．
C M B N A D （图11-2） C B
M A N D （图11-1）
12、如图所示，正方形 的边 在正方形 的边 上，连接 ． (1）求证：
． (2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，
；再以
、
为邻边作第3个平行四边形
……依次类推． (1）求矩形
的面积； (2）求第1个平行四边形
、第2个平行四边形
和第6个平行四边形的面积． A1 A2 B2 C2 C1 B1 O1 D A B C O
22、如图（22），直线 的解析式为 ，它与 轴、 轴分别相交于 两点．平行于直线 的直线 从原点 出发，沿 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与 轴、 轴分别相交于 两点，设运动时间为 秒（
(1）如图13-1，正三角形
中，在
边上分别取点
，使
，连接
，发现
，且
．请证明：
．
(2）如图13-2，正方形 中，在 边上分别取点 ，使 ，连接 ，那么
，且 度．
(3）如图13-3，正五边形 中，在 边上分别取点 ，使 ，连接 ，那么
，且 度．
(4）在正 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．
x O E B A y C F x O E B A y C F x O E
B A y C F
20、如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用 这四块图形恰
能拼成一个矩形（非正方形）． (1）画出拼成的矩形的简图； (2）求
的值．
21、如图所示，在矩形 中， ，两条对角线相交于点 ．以 、 为邻边作第1个平行四边形 ；对角线相交于点 ；再以 、 为邻边作第2个平行四边形 ，对角线相交于点
又∵点 在
上且 ∴ 点坐标为
∴ 17、（1）
证明：（证法一） 由旋转可知， ∴ ∴ 又 ∴ 即 (证法二） 由旋转可知， 而
∴
∴
∴
即
(2）四边形
是菱形.
证明：
同理
∴四边形
是平行四边形. 又
∴四边形
是菱形. 18、（1）因为四边形
为菱形，所以
，故四边形