训练3：圆周运动知识点总结和习题

圆 运 动

一、基本概念

1.描述圆运动的物理量

（1）线速度: 描述做圆运动的物体运动快慢的物理量；是矢量，向为圆切线向.

①定义式t s v ∆∆=

； ②特殊式T

r 2v π= （2）角速度: 描述物体绕圆心转动快慢的物理量；单位：弧度/秒（rad/s ）

①定义式t ∆θ∆=

ω； ②特殊式T

2π=ω 角速度与线速度的关系是：r v ω= （3）期和频率、转速：描述转动快慢的物理量。

期( T)：是物体沿圆运动一的时间；单位：秒（s ） 频率（f ）：是物体单位时间转过的圈数，也叫转速（n ）。

频率的单位：赫兹（Hz ）; 转速的单位：转/秒（r/s ）或转/分（r/min ）

f

1

T =

n 2f 2T 2π=π=π=ω r fr 2T r 2v ω=π=π=

（4）向心加速度：描述线速度向变化快慢的物理量；向总指向圆心（向始终在变）.

r f 4T

r 4r r v a 22222

2π=π=ω==

（5）向心力：作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的向，不改变线速度的大小，向指向圆心.

注意：向心力是根据力的作用效果命名的.

r f 4m T

r 4m r m r v m m a F 222222π=π=ω===

（6）匀速圆运动：线速度大小恒定

运动学特征：v 、a 大小不变，T 不变，ω不变；但v 、a 向时刻在变，匀速圆运动是变加速运动. 动力学特征：合外力 =向心力，向始终指向圆心，即v F ⊥合

r m r

v m F 22ω==合

（7）非匀速圆运动：线速度大小变化。

合外力与线速度向不垂直，既有切向分量，也有法向分量。切向分量改变线速度大小，法向分量即向心力改变线速度向.

r m r

v m F 22

n ω==

二、基本题型与解题思路

1. 圆运动的运动学问题（常见的有传动装置)：

解题关键：找出与主动轮和从动轮相关联的物理量；明确描述圆运动的运动学参量之间的关系.

（1）共轴传动：T 、ω相同，并且转动向相同．

如图，A 点和B 点在同轴的一个圆盘上，圆盘转动时， 它们的线速度、角速度、期存在以下定量关系：

B A B A T T =ω=ω，，

R

r

v v B A = （2）皮带传动：v 相同，并且转动向相同．

如图，A 点和B 点分别是两个轮子边缘的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑．轮子转动时，它们的线速度、角速度、期存在以下定量关系：

B A v v =，

R r B A =ωω（角速度与齿数成反比），r

R

T T B A = （3）齿轮传动：v 相同，并且转动向相反．

如图，A 点和B 点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合．齿轮转动时，它们的线速度、角

速度、期存在以下定量关系：（式中n1、n2分别表示两齿轮的齿数）

B A v v =，

1212B A n n r r ==ωω（角速度与齿数成反比）2

121B A n n

r r T T ==

【例题】(2009·高考)小明同学在学习了圆

运动的知识后,设计了一个课题,名称为：快速测量 自行车的骑行速度。他的设想是:通过计算脚踏板 转动的角速度,推算自行车的骑行速度。经过骑行， 他得到如下的数据：在时间t 脚踏板转动的圈数 为N ，那么脚踏板转动的角速度ω=_______； 要推算自行车的骑行速度,还需要测量的物理量

有___________________；自行车骑行速度的计算公式v=___________.

同轴传动

皮带传动

齿轮传动

2. 圆运动动力学问题

解决圆运动动力学问题的关键是分析向心力来源，基本原则就是在半径向上应用牛顿第二定律，一般可按以下步骤进行：

① 分析题干给出的条件,选定研究对象. ② 画受研究对象力分析图. ③ 找出研究对象作圆运动的向心力F 向

④ 在半径向上根据牛顿第二定律列程：r /mv F 2=向 （1）水平面的圆运动

① 汽车拐弯与转盘上的物体：静摩擦力提供向心力： r /mv F mg 2=≥μ向 ② 火车拐弯：火车按设计速度转弯情况下，重力与支持力的合力提供向心力。 ③ 圆锥摆： 重力与绳子拉力的合力提供向心力 （2）竖直平面的圆运动

① 汽车过弧形桥

最高（低）点处：重力与桥面的支持力的合力提供向心力。

凸形桥：r /m v N m g 2=-； 凹形桥：r /m v m g N 2

=- ② 绳（或外轨）

最高点：r /mv mg T 2

=+

当gr v =时，T=0，小球恰好过最高点； gr v <时，小球不能到达顶点 最低点：r /mv mg T 2=-

与绳模型类似还有：过山车、飞机在竖直平面翻筋斗、水流星等

③ 杆（或外轨）

【问题】 质量为m 的小球，固定在长为L 轻杆上，随杆一起在竖直面转动，试求在最高点时小球的速度在什么围，杆对小球有向上的支持力? 在什么围，杆对小球有向下的拉力？速度为值时，杆对小球无作用力?

【问题】质量为m 的光滑小球，在半径为R 的圆管滚动，试求小球的速度在什么围，轨道对小球有支持力? 在什么围，外轨道对小球有向下的压力？速度为值时，轨道与小球间无相互作用力?

（3）超重失重现象

超重：物体对支持物的压力（或对悬绳的拉力）大于物体所受重力的现象叫做超重

r /m v m g N 2=-

失重：物体对支持物的压力（或对悬绳的拉力）小于物体所受重力的现象叫做失重。

r /m v N m g 2=-

当N=0时，重力提供向心力，r /m v m g 2

=，物体处于完全失重状态。

航天员在航天器中绕地球做匀速圆运动，只受地球引力作用，引力提供做匀速圆动所需的向心力：r /m v m g 2

=，座舱对航天员的支持力为零，所以航天员处于完全失重状态。

注意：物体无论是处于超重、失重、完全失重状态，物体所受重力不变

3. 圆运动的临界问题分析

物体在竖直面做的圆运动是一种典型的变速圆运动，在变速圆运动中的某些特殊位置上，常存在着最小(或最大)的速度。小于(或大于)这个速度，物体就不能再继续作圆运动了，此速度即为临界速度．在这个位置，物体的受力必满足特定的条件，这就是临界条件．当物体的受力发生变化时，其运动状态随之变化． 该类临界问题中，常伴有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，主要有以下两种模型： （1）轻绳模型：如图所示，均是没有支撑的小球，属于轻绳模型. 此时小球过最高点的速度不能小于某一值v ，刚好过最高点时，由重力 提供向心力，则：R

m v

m g 2= 得gR v =

这是小球做圆运动过最高点的最小速度,常称为临界速度.

（2）轻杆模型：如图所示，轻杆与轨道均可对球提供支撑力，属于轻杆模型， 轻杆模型的临界速度主要是讨论对杆产生拉力还是压力、对轨道产生压