新教材北师大版高中数学必修四：基础知识检测(1)及答案解析

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(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试(含答案解析)

一、选择题1．若函数()sin 2f x x =与()2cos g x x =都在区间(),a b 上单调递减，则b a -的最大值是（） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π32．已知实数a ，b 满足0<2a cos 3a b -C ．()2sin sin3a b +<D ．23cos >sin 2b a ⎛⎫-⎪⎝⎭3．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()(),23f f ππ=-2()()23f f ππ=，则ω=（） A ．6 B ．3 C ．2D ．14．我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”，0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字，我们称为黄金分割．“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，华先生认为底与腰之比为黄金分割比51510.61822⎛⎫--≈ ⎪ ⎪⎝⎭的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，在其中一个黄金ABC 中，黄金分割比为BCAC．试根据以上信息，计算sin18︒=（）A 51- B 51- C ．514D 355．若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（） A ．34B ．14C ．32D ．126．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（） A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增 D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减7．对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中正确的说法的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列说法错误的是（） A ．3π是函数()f x 的一个周期 B ．函数()f x 的图象关于,13π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数的一条对称轴为712x π= D ．函数图象向左平移6π个单位后关于y 轴对称 9．675︒用弧度制表示为（） A ．114π B ．134π C ．154π D ．174π 10．函数()13cos313xxf x x -=+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11．设函数()tan 3f x x π=-，()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（） A ．4B ．5C ．12D ．1312．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（）A ．图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是π C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3二、填空题13．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n 个月的月平均最高气温()G n 可近似地用函数()()cos G n A n k ωϕ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，n 和k 是正整数，0>ω，()0,πϕ∈.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度； ②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高； ③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同. 根据已知信息，得到()G n 的表达式是______.14．已知函数()cos (0)f x a x b a =+>的最大值为3，最小值为1，则函数(2)2()([,]3y f x f xx ππ=-∈的值域为_________.15．sin 75=______．16．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5(,0)12π成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3π-，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②函数()3y f x π=-为偶函数；③函数1y =与35()()1212y f x x ππ=-≤≤的图象的所有交点的横坐标之和为7π.其中正确的判断是__________________．（写出所有正确判断的序号）17．已知函数f （x ）＝A sin （3πx +φ），x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜2π．y ＝f （x ）的部分图象，如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ），点R 的坐标为（1，0），∠PRQ ＝23π，则sin ∠PQR ＝_____．18．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，有下列命题： ①函数()y f x =的表达式可以改写为4cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②函数()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ④函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确的序号是______.19．实数x ，y 满足121log sin 303yx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos 24x y +的值为________.20．如图所示为函数()sin 2y A x ωϕ=++，()ϕπ<的图像的一部分，它的解析式为________.三、解答题21．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，02πϕ<<)的部分图象如图所示，其中最高点以及与x 轴的一个交点的坐标分别为,16π⎛⎫⎪⎝⎭，5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）设M ，N 为函数y t =的图象与()f x 的图象的两个交点(点M 在点N 左侧)，且3MN π=，求t 的值.22．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为()g x ，若不等式()0g x m -≤在[]0,6x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.23．下图是函数()()sin()0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象.（1）求ϕ的值及()f x 单调递增区间.（2）若()f x 的图象横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移3π个单位，最后向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在[0,](0)b b >上恰有10个零点，求b 的取值范围.24．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中π0,(0,)2ωϕ>∈．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：（Ⅰ）()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）()f x 在区间[0,]2π的最大值和最小值．条件①：函数()f x 最小正周期为π；条件②：函数()f x 图象关于点π(,0)6-对称；条件③：函数()f x 图象关于π12x =对称． 25．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到()g x 的图象.又()14g θ=求2114sin sin 63ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 26．已知向量a ＝(cosωx －sinωx ，sinωx)，b ＝(－cosωx －sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意求出(),()f x g x 原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得max 3π4b =，min π4a =，相减即可. 【详解】解：由题意函数()sin 2f x x =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数()2cos g x x =在()0,π上单调递减，所以则max 3π4b =，min π4a =，所以b a -的最大值为3πππ442-=. 故选：C.求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.2．D解析：D 【分析】对各个选项一一验证：对于A.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出2ba <，借助于正弦函数的单调性判断；对于B.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b <-，借助于余弦函数的单调性判断；对于C.由0<2a ，故A 错；对于B.有 23ab <-，若232a b π<<-，有()2cos >cos 3a b -，故B 错；对于C. 23a b +<，若232a b π<+<，有()2sin sin 3a b +>，故C 错；对于D. 222333sin cos cos 2222a a a ππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为b <3-2a <3，所以2cos >cos(3)b a - ∵22332a a π+-<-∴()223cos 3cos 2a a π+⎛⎫->-⎪⎝⎭∴()22233cos cos 3cos sin 22a a b a π+⎛⎫⎛⎫>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 对. 故选：D. 【点睛】利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．3．B解析：B由2()()23f f ππ=求出函数的一条对称轴，结合()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()()23f f ππ=-，可得函数的四分之一周期，即可求出ω的值．【详解】解：由2()()23f f ππ=，可知函数()f x 的一条对称轴为2723212x πππ+==，则2x π=离最近对称轴距离为712212πππ-=．又()()23f f ππ=-，则()f x 有对称中心5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，由于()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，则1232T ππ-，所以3T π≥，从而7512124Tππ-=，所以23T π=，因为2T πω=，所以3ω=．故选：B 【点睛】本题考查()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的应用，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力．4．B解析：B 【分析】先由ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，作其底边上的高，再利用sin18sin DAC ︒=∠，结合腰和底之比求其结果即可.【详解】依题意可知，黄金ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，如图，51,2BC AB AC AC -==，36BAC ∠=︒，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 也是三角形的中线和角平分线，故11112sin18sin 224BCDC DAC AC AC ︒=∠===⋅=. 故选：B. 【点睛】本题解题关键在于读懂题意，将问题提取出来，变成简单的几何问题，即突破结果.5．C解析：C 【分析】由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出x ω的取值范围，可得出0,0,32πωπ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，再由函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可得出关于ω的等式，由此可解得实数ω的值. 【详解】0ω>，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,3x πωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由于函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则0,0,32πωπ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以，032πωπ<≤，由于函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，函数()f x 在3x π=处取得最大值，则()232k k N πωππ=+∈，又032πωπ<≤，所以，32πωπ=，解得32ω=. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题通过正弦型函数在区间上的单调性求参数值，解题的就是将函数在区间上的单调性转化为两个区间的包含关系，并且分析出函数()f x 的一个最大值点，进而列出关于ω的等式求解.6．A解析：ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【详解】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误；对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k =时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确；对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误.故选：ABD.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间.7．B解析：B【分析】求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误．【详解】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误；当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误；当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即252,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④正确. 故选：B【点睛】关键点点睛：函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭的递增区间转化为sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间. 8．D解析：D【分析】根据正弦函数性质周期，对称性，图象变换判断各选项．【详解】函数()f x 的最小正周期为π，故3π是函数()f x 的一个周期，A 正确；当3x π=时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故B 正确；当712x π=时，函数()f x 取得最小值，712x π=为对称轴，C 正确；函数图象向左平移6π个单位后函数解析式为sin 2163y x ππ⎡⎤⎛⎫=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，不是偶函数，图象不关于y 轴对称，D 错误．故选：D.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，考查周期的概念，对称轴与对称中心、奇偶性等性质，属于基础题．9．C解析：C【分析】根据弧度制与角度制的关系求解即可.【详解】因为180π︒=弧度，所以156756751804ππ︒=⨯=，故选：C 10．A解析：A【分析】先判断奇偶性，可排除C ，D ，由特殊值()fπ，可排除B ，即可得到答案.【详解】因为()()()1331cos 3cos31331x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++，所以函数()f x 为奇函数，排除C ，D ；又()13cos3013f ππππ-=>+，排除B ，故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11．A解析：A【分析】由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解.【详解】令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象，由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4，故选：A【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.12．C解析：C【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果.【详解】根据图象得到：2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于A ，20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确；对于B ，函数的周期22T ππ==，故B 正确；对于C ，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误；对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确．故选：C ．【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目. 二、填空题13．是正整数且【分析】根据最值列出等式求再根据最高点和最低点对应的月份求周期并求以及利用最高点求【详解】由题意可知解得：解得：当时得：所以的表达式是是正整数且故答案为：是正整数且【点睛】方法点睛：形如一解析：()π5π15cos 1866G n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈ 【分析】根据最值列出等式求,A k ，再根据最高点和最低点对应的月份求周期，并求ω，以及利用最高点求ϕ.【详解】由题意可知()()330A k A k A k -+=⎧⎨+--+=⎩，解得：1518A k =⎧⎨=⎩， 12712πω-=⋅，解得：6π=ω，当7x =时，72,6k k Z πϕπ⨯+=∈，得：726k ϕππ=-+ ()0,ϕπ∈，56ϕπ∴=，所以()G n 的表达式是()515cos 1866G n n ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈. 故答案为：()515cos 1866G n n ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈ 【点睛】方法点睛：形如()sin y A x k ωϕ=++ ()0,0A ω>>，一般根据最值求,A k ，利用最值，零点对应的自变量的距离求周期和ω，以及“五点法”中的一个点求ϕ.14．【分析】根据三角函数性质列方程求出得到进而得到利用换元法即可求出的值域【详解】根据三角函数性质的最大值为最小值为解得则函数则函数令则令由得所以的值域为故答案为：【点睛】关键点睛：解题关键在于求出后利解析：7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据三角函数性质，列方程求出,a b ，得到()cos 2f x x =+，进而得到22cos 2cos 3(2)2()y x f x f x x =-=--，利用换元法，即可求出(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域【详解】根据三角函数性质，()cos (0)f x a x b a =+>的最大值为3a b +=，最小值为1b a -=，解得2,1b a ==，则函数()cos 2f x x =+，则函数(2)2()cos 222cos 4y f x f x x x =-=+--cos22cos 2x x =--22cos 2cos 3x x =--，3x ππ≤≤，令cos t x =，则112t -≤≤，令2()223g t t t =--，由112t -≤≤得，7(),12g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以，(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域为7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：解题关键在于求出()cos 2f x x =+后，利用换元法得出2()223g t t t =--，112t -≤≤，进而求出()g t 的范围，即可求出所求函数的值域，难度属于中档题 15．【解析】试题分析：将非特殊角化为特殊角的和与差是求三角函数值的一个有效方法考点：两角和的正弦解析：【解析】试题分析：232162sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 302︒︒︒︒︒︒︒+=+=+==将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.考点：两角和的正弦 16．②③【分析】根据已知条件确定函数的解析式进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程对称中心及各个交点的特点进一步确定答案【详解】函数（其中）的图象关于点成中心对称且与点相邻的一个最低点为则：所以进一步解解析：②③【分析】根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．【详解】函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2,33π⎛⎫-⎪⎝⎭，，则：2543124T πππ-＝＝，所以T π=：，326f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（）．进一步解得：223A πωπ=＝＝，由于()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称,，所以：5212k k Z πϕπ⋅+∈＝（），解得：5,6k k Z πϕπ-∈＝，由于0ϕπ<<，所以：当1k = 时，6πϕ＝．所以：①当2x π=时，33262f sin πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（）．故错误． ②3232633f x sin x cos x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝．则3y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数，故正确． ③由于：351212x ππ-≤≤，则：0266x ππ≤+≤，所以函数()f x 的图象与1y =有6个交点．根据函数的交点设横坐标为123456x x x x x x 、、、、、，根据函数的图象所有交点的横标和为7π．故正确．故答案为②③【点睛】本题考查的知识要点：正弦型函数的解析式的求法，主要确定A ，ω、φ的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于基础题型．17．【分析】根据周期求出再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出最后由正弦定理求出【详解】过点作延长线的垂线垂足为连接如下图所示则由正弦定理可知则故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应解析：14【分析】根据周期求出32T DQ ==，再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出,PR PQ ，最后由正弦定理求出sin PQR ∠. 【详解】过点Q 作PR 延长线的垂线，垂足为D ，连接PQ ，如下图所示263T ππ==，则32T DQ ==6xRQ RQD π∠=∠=3tan 336DR DQ π∴=⋅=⨯= 223,23,12921PR DP PQ PD PQ ∴===+=+=由正弦定理可知sin sin PQ PR PRQ PQR=∠∠ 则33sin 212sin 21PR PRQ PQR PQ ⋅⋅∠∠===21 【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应用，涉及了正弦定理解三角形，属于中档题. 18．①③【分析】利用诱导公式化简函数判断①正误；求出函数周期判断②；求出函数的对称中心判断③；求出函数的对称轴判断④【详解】解：对于①所以①正确；对于②最小正周期所以②不正确；对于③因为所以为的对称中心解析：①③【分析】利用诱导公式化简函数()f x ,判断①正误；求出函数()f x 周期判断②；求出函数()f x 的对称中心判断③；求出函数()f x 的对称轴判断④.【详解】解：对于①，()4sin 24cos 2323f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos 24cos 2326x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以①正确；对于②，最小正周期222T πππω===，所以②不正确；对于③，因为4sin 4sin 00633f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，故③正确；对于④，()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的对称直线满足2,32x k k Z πππ+=+∈，6x π=-不满足条件，所以④不正确.故答案为：①③.【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查基本概念、基本知识的理解掌握程度，属于基础题. 19．【分析】由实数满足可得从而求出结果【详解】实数xy 满足且故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的关系属于基础题解析：54【分析】由实数满足121log sin 303yx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭可得sin 1,1x y ==-，从而求出结果【详解】实数x ，y 满足121log sin 303y x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，且120sin 1,log sin 0x x <≤∴≥， 121log sin 0,303yx ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭ ∴sin 1,1x y ==-，cos 0x ∴=， 0cos 1421524414x y -=++=+= 故答案为：54【点睛】本题考查函数与方程的关系，属于基础题20．【分析】由两最值点对应横坐标可求周期由波峰波谷可求将代入可求【详解】由图可知即将得即又当时故故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解具体解析式属于中档题解析：33sin 224y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】由两最值点对应横坐标可求周期，由波峰波谷可求,A 将,16π⎛⎫⎪⎝⎭代入可求ϕ【详解】由图可知，522663T ππππ=-=，即43T π=，24332ππωω=⇒=， 3112A -==，将,16π⎛⎫⎪⎝⎭3sin 22y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭得2,42k k Z ππϕπ+=-+∈，即32,4k k Z πϕπ=-+∈，又ϕπ<，当0k =时，34πϕ=-，故33sin 224y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 故答案为：33sin 224y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由三角函数图像求解具体解析式，属于中档题三、解答题21．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）12±. 【分析】（1）由周期求出ω，取点,16π⎛⎫⎪⎝⎭求出ϕ，进而得出()f x 的解析式；（2）设()0,M x t ，0,3N x t π⎛⎫+⎪⎝⎭，解方程005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出0()2k x k π=∈Z ，再由0sin 26t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出t 的值.【详解】解：（1）由题意易知1A =，周期524126T πππω⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+.将最高点,16π⎛⎫⎪⎝⎭代入()sin(2)f x x ϕ=+中可得1sin 3πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得2()32k k ππϕπ+=+∈Z ，即2()6k k πϕπ=+∈Z .又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）设()0,M x t ，0,3N x t π⎛⎫+⎪⎝⎭，则005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以001sin 2cos 222x x ⋅+⋅001sin 2cos 222x x ⎛=⋅-+⋅ ⎝⎭所以0sin 20x =，所以02()x k k π=∈Z ，即0()2k x k π=∈Z 所以1sin 62t k ππ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：由图象求函数()sin y A x ωϕ=+的解析式时，有如下步骤： 1、由最值得出A 的值； 2、由周期结合2T πω=得出ω；3、取点求出ϕ. 22．（1）()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[)2,+∞.【分析】（1）由图象得出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点()1,0的坐标代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，由此可得出函数()f x 的解析式；（2）利用三角函数图象变换求得()2cos 84g x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由已知可得()max m g x ≥，利用余弦函数的基本性质求出函数()g x 在区间[]0,6上的最大值，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的周期为()2518T =⨯-=，所以284ππω==，又因为函数()f x 的图象过点()1,0，则有2cos 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且函数()f x 在1x =附近单调递减，所以()242k k Z ππϕπ+=+∈，所以()24k k Z πϕπ=+∈，又因为0ϕπ<<，所以4πϕ=，所以()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）将函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得函数2cos 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将2cos 84y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4个单位长度，得()()2cos 42cos 8484g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，不等式()0g x m -≤在[]0,6x ∈恒成立，即()max g x m ≤，因为[]0,6x ∈，所以,8442x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当084x ππ-=，即2x =时，()g x 取最大值，最大值为2，即2m ≥.综上可得，实数m s 的取值范围实数[)2,+∞. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或()()cos f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值. 23．（1）23ϕπ=，7[,],1212k k k Z ππππ--∈；（2）59671212b ππ≤<. 【分析】（1）依题意求出函数的周期T ，再根据2Tπω=，求出ω，再根据函数过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ϕ，即可求出函数解析式，再令222+2,232k x k k Z πππππ-≤≤+∈，求出x 的取值范围，即可求出函数的单调区间；（2）根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，令()0g x =即可求出函数的零点，要使()g x 在[0,](0)b b >上恰有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标，小于第11个零点的横坐标即可，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：（1）由图易知22362T πππ=-=，则T π=，22T πω==，所以()()sin 2f x x ϕ=+ 因为函数过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭所以sin 2066f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,6k k Z πϕπ⨯+=∈，又0ϕπ<<，故23ϕπ=，则()2sin(2)3f x x π=+ 令：222+2,232k x k k Z πππππ-≤≤+∈，整理得7,1212k x k k Z ππππ-≤≤-∈，所以()f x 的单调增区间是7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦. （2）若()f x 的图象横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移3π个单位，最后向上平移1个单位，得到函数()2sin 21g x x =+ 令()0g x =，得712x k ππ=+或11()12x k k Z ππ=+∈. 所以在[0,]π上恰好有两个零点，若()g x 在[0,]b 上恰有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标，小于第11个零点的横坐标即可，即b 的范围为：115941212b πππ≥+=.且1111767412121212b ππππππ<++-+= 即59671212b ππ≤< 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.24．答案见解析. 【分析】若选择条件①②，（Ⅰ）根据最小正周期求出ω，根据对称中心求出ϕ，根据正弦函数的单调递增区间可求出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）根据正弦函数的图象可求得结果. 若选择条件①③，（Ⅰ）根据最小正周期求出ω，根据对称轴求出ϕ，根据正弦函数的单调递增区间可求出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）根据正弦函数的图象可求得结果.若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定ω，所以无法确定函数解析式．【详解】若选择条件①②，（Ⅰ）由函数()f x 最小正周期2π=πT ω=，得2ω=.因为()f x 图象关于点π(,0)6-对称，所以πsin[2()]06ϕ⨯-+=，所以3k πϕπ-=，k Z ∈，所以3k πϕπ=+，k Z ∈，又已知π(0,)2ϕ∈，故π3ϕ=．因此π()sin(2)3f x x =+． πππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 由，解得5,1212k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z ．（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以ππ4π2333x ≤+≤．当ππ2=32x +，即π12x =时，()f x 取得最大值1；当π4π2=33x +，即π2x =时，()f x 取得最小值．若选择条件①③，（Ⅰ）由函数()f x 最小正周期2π=πT ω=，得2ω=. 又函数()f x 图象关于π12x =对称，所以有πsin(2)112ϕ⨯+=±，所以62k ππϕπ+=+，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈，又已知π(0,)2ϕ∈，故π3ϕ=．因此π()sin(2)3f x x =+．πππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 由，解得5,1212k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z ．（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以ππ4π2333x ≤+≤．当ππ2=32x +，即π12x =时，()f x 取得最大值1；当π4π2=33x +，即π2x =时，()f x 取得最小值．若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定ω，所以无法确定函数解析式．【点睛】关键点点睛：根据函数性质确定函数解析式是解题关键. 25．（1）()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；（2）1116. 【分析】（1）由顶点及周期可得1A =，2ω=，再由sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得6π=ϕ，从而得解；（2）根据条件得1sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再结合诱导公式和同角三角函数关系可得解. 【详解】（1）由图可知1A =，由311341264T πππ=-=，得2T ππω==，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，因为sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈，则2,6k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ， ()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，（2）由题意，()sin 6g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()14g θ=，得1sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，221143sin sin sin[2()]sin [()]63662πππππθθπθθ⎛⎫⎛⎫-+-=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111sin()cos ()sin()1sin ()1666641616ππππθθθθ=-+++=-++-+=-+-=.【点睛】方法点睛：确定()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的解析式的步骤： (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M mA ，2M mB +=； (2)求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=； (3)求ϕ，常用方法有以下2种方法：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.26．(1)65π；(2)1222⎡⎤---⎣⎦, . 【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式可得：56ω=，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为65π ； (2)化简三角函数的解析式()52sin 236f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，结合函数的定义域可得函数的取值范围是12,22⎡⎤---⎣⎦ .试题(1)因为f(x)＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋2sinωx·cosωx ＋λ＝－cos2ωx ＋sin2ωx ＋λ ＝2sin＋λ.由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin ＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋ (k ∈Z)，即ω＝＋ (k ∈Z)．又ω∈，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝.所以f(x)的最小正周期是. (2)由y ＝f(x)的图象过点，得f ＝0，即λ＝－2sin ＝－2sin ＝－，即λ＝－.故f(x)＝2sin －，由0≤x≤，有－≤x －≤，所以－≤sin≤1，得－1－≤2sin x－－≤2－.故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．。

高中数学第3章三角恒等变形基础知识检测北师大版必

【成才之路】2014-2015学年高中数学第3章三角恒等变形基础知识检测北师大版必修4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin2α＝( )A ．－2425B ．－1225C ．1225 D ．2425[答案] A[解析] 此题是给值求值题，考查基本关系式、二倍角公式． ∵sin α＝35，α∈(π2，π)，∴cos α＝－1－352＝－45，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425.2．cos π12cos 7π12的值是( )A ．14B ．－14C ．34D ．－34[答案] B[解析] cos π12cos 7π12＝cos π12cos(π－5π12)＝－cos π12cos 5π12＝－cos π12sin π12＝－12sin π6＝－14.3．若α，β∈(0，π2)，且tan α＝43，tan β＝17，则α－β的值为( )A ．π3B ．π4C ．π6D ．π8[答案] B[解析] tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝43－171＋43×17＝1.又0<α<π2，－π2<－β<0，∴－π2<α－β<π2.∴α－β＝π4.4．函数y ＝cos 2(x －π4)－cos 2(x ＋π4)的值域是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－12，1][答案] C[解析] y ＝cos 2(x －π4)－cos 2(x ＋π4)＝cos 2(x －π4)－sin 2[π2－(x ＋π4)]＝cos 2(x －π4)－sin 2(x －π4)＝cos2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝cos(π2－2x )＝sin2x ，∴函数的值域为[－1,1]．5．若3sin x －3cos x ＝23sin(x －φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝( ) A ．－π6B ．π6C ．5π6D ．－5π6[答案] B[解析] 3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，又φ∈(－π，π)，∴φ＝π6.6．21－sin80°－2＋2cos80°等于( ) A ．－2sin40° B ．2cos40°C ．4cos40°－2sin40°D ．2sin40°－4cos40°[答案] A[解析] 原式＝2|cos40°－sin40°|－2|cos40°|＝－2sin40°. 7．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos2θ等于( ) A ．22B ．12C ．0D ．－1 [答案] C[解析] 本题考查了平面向量的垂直关系及余弦的二倍角公式．由a ⊥b 得，－1＋2cos 2θ＝cos2θ＝0.向量的共线与垂直是两向量位置关系中最重要的，一定区分开它们的异同．8．(2014·浙江理，4)为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图像，可以将函数y ＝2cos3x 的图像( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位[答案] C[解析] 本题考查三角函数图像变换．y ＝sin3x ＋cos3x ＝2sin(3x ＋π4)＝2cos(3x－π4)只需将y ＝2cos3x 向右平移π12个单位，选C. 9．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝322，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝( )A ．15 B ．14 C ．1318 D ．1322[答案] B[解析] tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π41＋tan α＋βtan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝25－3221＋25×322＝14.10．已知f (x )＝cos x ·cos2x ·cos4x ，若f (α)＝18，则角α不可能等于( )A ．π9B ．2π9C ．2π7D ．4π7[答案] B[解析] f (x )＝cos x ·cos2x ·cos4x ＝8sin x ·cos x ·cos2x ·cos4x 8sin x ＝sin8x8sin x ，由f (α)＝18，可得sin8α＝sin α，经验证，α＝2π9时，上式不成立．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．tan π8的值为________．[答案]2－1[解析] tan π8＝1－cos π4sinπ4＝1－2222＝2－1.12．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是________．[答案]π2[解析] 本题考查了倍角公式及三角函数的性质． f (x )＝sin 2(2x －π4)＝1－cos 4x －π22＝－12sin4x ＋12，∴T ＝2π4＝π2.13．已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则|a －b |的最大值为__________． [答案]2[解析] 解法一：∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(1，sin θ)－(1，cos θ)＝(0，sin θ－cos θ)， ∴|a －b |＝sin θ－cos θ2＝1－sin2θ.∴当sin2θ＝－1时，|a －b |max ＝ 2. 解法二：|a －b |2＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b＝1＋sin 2θ＋1＋cos 2θ－2(1＋sin θcos θ)＝1－sin2θ， ∴|a －b |2max ＝2，∴|a －b |max ＝ 2.14．若α，β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于________．[答案] －12[解析] ∵α，β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，∴α－β2＝±π6，α2－β＝－π6. ∴2α－β＝±π3，α－2β＝－π3.α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或2π3(0舍去)． ∴cos(α＋β)＝－12.15．观察下列恒等式： ∵tan 2α－1tan α＝－21－tan 2α2tan α，∴tan α－1tan α＝－2tan2α.① ∴tan2α－1tan2α＝－2tan4α. ② ∴tan4α－1tan4α＝－2tan8α.③由此可知：tan π32＋2tan π16＋4tan π8－1tan π32＝______.[答案] －8[解析] tan π32＋2tan π16＋4tan π8－1tanπ32＝4tan π8＋2tan π16＋(tan π32－1tan π32)＝4tan π8＋2tan π16－2tan π16＝4tan π8－4tan π8＝－8tanπ4＝－8.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x2－sin2x 的最小正周期、最大值和最小值．[解析] ∵f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 2－sin 2x cos 2x2－2sin x cos x＝1－sin 2x cos 2x 21－sin x cos x ＝12(1＋sin x cos x ) ＝14sin2x ＋12， ∴T ＝π，最大值为34，最小值为14.17．(本小题满分12分)已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos2x2cos π4＋xsin x的值． [解析] (1)由sin x 2－2cos x 2＝0，得tan x2＝2，∴tan x ＝2tan x21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos 2x －sin 2x 222cos x －22sin x sin x＝cos x －sin x cos x ＋sin xcos x －sin x sin x＝cos x ＋sin x sin x ＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin2α的值．[解析] (1)由已知，f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos(x ＋π4)．所以最小正周期T ＝2π，值域为[－22，22]． (2)由(1)知，f (α)＝22cos(α＋π4)＝3210，所以cos(α＋π4)＝35.所以sin2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos2(α＋π4)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－1825＝725.19．(本小题满分12分)(2014·烟台高三上学期期末)已知sin(A ＋π4)＝7210，A ∈(π4，π2)． (1)求cos A 的值；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x 的值域．[解析] (1)因为π4<A <π2，且sin(A ＋π4)＝7210，所以π2<A ＋π4<3π4，cos(A ＋π4)＝－210.因为cos A ＝cos[(A ＋π4)－π4]＝cos(A ＋π4)cos π4＋sin(A ＋π4)sin π4＝－210×22＋7210×22＝35，所以cos A ＝35.(2)由(1)可得sin A ＝45.所以f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2(sin x －12)2＋32.因为sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝12时，f (x )取最大值32；当sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3. 所以函数f (x )的值域为[－3，32]．20．(本小题满分13分)(2014·四川理，16)已知函数f (x )＝sin(3x ＋π4)．(1)求f (x )的单调递增区间； (2)若α是第二象限角，f (α3)＝45cos(α＋π4)cos2α，求cos α－sin α的值． [解析] (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为[－π2＋2k π，π2＋2k π]，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为[－π4＋2k π3，π12＋2k π3]，k ∈Z.(2)由已知，有sin(α＋π4)＝45cos(α＋π4)(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45(cos αcos π4－sin αsin π4)(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z.此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 21．(本小题满分14分)设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A . [解析] (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x2＝12－32sin2x . 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝12－32sin C ＝－14，即12－32sin C ＝－14，解得 sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3.又在△ABC 中，cos B ＝13由cos B ＝13求得sin B ＝223.因此 sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.。

数学必修四答案及解析北师大版

数学必修四答案及解析北师大版实用文档附解析）套新北师大版高一必修一期末测试卷（共2) 一综合测试题( 分钟．分．考试时间120(非选择题)两部分．满分150本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷)分共60第Ⅰ卷(选择题在每小题给出的四个选项中，分，分，共60本大题共12个小题，每小题5选择题一、()只有一项是符合题目要求的BxABAxxxx －30}4，则＋30}，＝{(*****．·全国卷Ⅰ理，1)设集合＝＝{|2|∩－)(33)3，B．(－A．(－3，－)*****)(，D．，C．(1)22xx65＋－xfx|＋lg 的定义域( ) ＝4－|·湖北高考2．(2015)函数) ( x3－A．(2,3) B．(2,4]D．(－(3,4]C．(2,3)∪1,3)∪(3,6]fxgx)有相同图像的一组是与3．下列各组函数，在同一直角坐标中，(()( )11 xxxxgf)＝，(( ()＝()A．)22x－9fxgxx－3＝，)(B．(＝) x3＋1 gxxxfx ＝((2log)＝()，)C．2xxgfx ＝((＝)lg10，)D．xyx) 6的零点，必定位于如下哪一个区间＝ln＋2( 4．函数－(2,3) ．．(1,2) BA(4,5)．C．(3,4)Dfxfxfxx的取值范)(2上的单调增函数，若)是定义域在(0，＋∞)－(，则5．已知()围是( )xx1 B1 ．A．xx2．2 D0C．111x1＋xx (的值为，则＝．已知6＋5)22 x实用文档A．5 B．23D．27C．25yxcacaa≠1)0)(，，7．(2014·山东高考)已知函数的图像如＝log(为常数，其中＋图，则下列结论成立的是( )caac1 ．1，1,01 BA．caac101，1,01DC．0．xfxg) ，则－3与( (的定义域均为)＝8．若函数3(R)＝3＋3xgfx 均为偶函数)与)A．((xgfx 为奇函数)为偶函数，)B．((xgfx 均为奇函数)与C．)((xgfx 为偶函数)为奇函数，D．)((***** )( ()．( 9))，(的大小关系为，333 ***-********-***** ()(A．)())() B)(．(***** ()())．C(())D ．(()***** ***-*****xxfxf))|＝．已知函数( )＝log|，则方程(的实根个数是)(( 101 2 22 ．1 BA．2006．3DC．xf 1]上是增函数，则下列关系式中，成立的是)在11．若偶函数((－∞，－( )3fff(2)1))(－A．(－23fff(2)B．(－1)(－) 23fff)－C．(2)(1)(－2实用文档3fff1)(－D．)(2)－( 2那么称这个点如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，12．1GQMNP“好点”的个中，(2(2,1)，，为“好点”，在下面的五个点(2,2)(1,1)，，(1,2)，) 2)数为（1 ．．0 BA3．C．2D)分共90第Ⅱ卷(非选择题) 分，把答案填在题中横线上5分，共20二、填空题(本大题共4个小题，每小题AA，则满足上述条件2,0,1,2}{－∪{－2,0,2}13．若已知∩{－1,0,1}＝{0,1}，且＝A 个．共有的集合________ xxx，＋2，0＋2≤aafxff＝，则)＝())若＝(14．(2014·浙江高考)设函数2(?xx0.，－________.xx内，则的一个近似解时，已经将一根锁定在区间615．用二分法求方程(0,1)＋4＝下一步可断定该根所在的区间为________．xxy________)＝log (－3的单调递减区间是16．函数1 3证明过程或演算步70分，解答应写出文字说明，6个小题，满分三、解答题(本大题共) 骤qxxAUxxpxBx，－5＋＝＋12＝0}，{＝本小题满分17．(10分)设全集，为R＋＝{||0}BAABAB. ∪＝＝{2}，{4}∩(?，求)若(?)∩)分．(本小题满分1218 9.8)＋＋lg25＋lg4＋7(－(1)不用计算器计算：27log11xxxff ＋(．，求＋((－)＝1))如果(2) xxmxxxf1. ＋＋2本小题满分12分)已知函数－()＝－3(19．m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(1)当m 的值．(2)若函数恰有一个零点在原点处，求xxf)，＋∞∈)是定义在R上的奇函数，并且当)(20．本小题满分12分已知函数(0(xf. 2)＝时，(1f 的值；求(1))(log 3xf 求(2)()的解析式．实用文档1fxaxa为常数，其中＝)(2015·上海高考)已知函数(＋)21．(本小题满分12分xafx)的奇偶性，并说明理由；的不同取值，判断函数(1)根据(afx)在[1,2]((2)若上的单调性，并说明理由．∈(1,3)，判断函数afxfxx1.－)≥0时，(本小题满分12分)已知＝(()是定义在R上的奇函数，当22．aa1.0且其中≠ff 的值；((1)求－(2)＋2)23．xf (的解析式；(2)求)xfx ，结果用集合或区间表示．解关于－的不等式－11)4((3)一．选择题D] 1.[答案3xxxxxxxxxBA ．＝{3}，＝{[解析] |＝{|2|}－4＝＋30}{－|130} 23xxABD.．故选＝{3}故|∩ 2C答案]2.[xffxy：条件域应数满(足)的由函数定＝义(可)的表达式知，函析[解] x，|0|≥4－? ?xx≤－4≤fx)的定义域为(2,3)∪.即函数(3,4](，故应选C.，解得xx?6＋－5xx3≠2且0 x?3－3.[答案] Dfxgxfx)中，([0，＋∞)(；选项)的定义域为R，(B)中，[解析] 选项A的定义域为1 xxxxfg，＝(中，)(＝)(的定义域为－∞，－3)∪(－3，＋∞，)(；选项)的定义域为RC2xgxxxgx)D中，(∈(0，＋∞，∈[0，＋∞))(，定义域和对应关系都不同；选项)＝2log，xxD.＝＝＝lg10，故选lg10B答案]4.[xxffxx ，)2＝－6，设0令[解析] (()＝ln＋ff ln30＝＝－40，，(3)∵(1)fff ，(3)0－(2)＝ln220，(2)·又x ．∴∈(2,3)D答案5.[]实用文档xx00?xx22－0，[解析] 由已知得?xxx1－2xD. ，故选∈(1,2)∴B答案6.[]x＋11xxx ＝] ＝＋＋[解析xx11 xx)(－2＋＝2223. 2－＝＝5B. 故选D] 7.[答案本题考查对数函数的图像以及图像的平移．[解析]caD. 11个单位长度．故0由单调性知0，∴选1.又图像向左平移，没有超过B] 8.[答案xfxfxfffxx)(，∴)＝(3＋3，∴－[解析] (()＝3＋3且定义域为R，则(－))＝为偶函数．xgxxggB. ())，∴(－)＝－为奇函数．故选同理得(D答案] 9.[221y ，解析] ∵(＝)为减函数，[ ***-***** . )(∴()33 ***** xy ，，＋∞又∵)＝上为增函数，且在(03 ***** ，(∴())33 .故选()∴()()D. 333 *****.[答案] B1yyx|的图像如图所示，及|log＝)在同一平面直角坐标系中作出函数][解析＝(1 2 2易得B.实用文档D] 11.[答案fffx ∵．(()为偶函数，∴－(2)＝2)[解析]3xf －∞，－1)－－1，且上是增函数，()在(又∵－2 23fff ∴－(2)1)(－)．( 2C 答案] 12.[xy ]解析∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与没有交点，＝[PMN可、一定不是好点．、对数函数不过点(1,2)，∴点点，∴指数函数不过(1,1)，(2,1)1GyQyx在指数函＝)log和对数函数(2验证：点(2,2)是指数函数的交点，点＝，(2) 222xyyC. (log上．故选)上，且在对数函数数＝＝2 二．填空题4答案] 13.[A ＝{0,1}∵，∩{－1,0,1}][解析AA.?∴0,1∈且－1A 2,0,1,2}，{－2,0,2}＝{又∵－∪AA. 1∈∈且至多－2,0,2∴AA.0,1∈∈且至多－2,2故A 个．{0,1，－2,2}，共有4只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，∴满足条件的2]14.[答案此题考查分段函数、复合函数，已知函数值求自变量．[解析]tffat2. 令((＝)＝)，则ttt0. ，∴∵0时，－≤0≠2ttt2.＝2，∴或－＝即0＋2＋2atfaaa 00≤时，无解．＋2＝＋2当＝0时，(0)＝，aaa ＝0时，－0无解．＝0，aaat 2＝－2当时，＝－2，≤0无解＋2＋aaa2.0时－＝＝－2，115.[答案] (，1)2实用文档xxfx 6，(＋)＝4－[解析] 设ff ，，显然(1)0(0)0111f ，)＋40＝()－6×又(() 2221 ．(，1)∴下一步可断定方程的根所在的区间为2) ，＋∞] (316. [答案xxxx 0，∴03或[解析] 先求定义域，∵，－3xxyuu.－是减函数，且又∵3＝log ＝1 3u的增区间．∴所求区间为(3，＋∞)．即求三．解答题ABAB)＝{4}，，∩] ∵(?()∩?＝{2}17.[解析B,A,A,B，根据元素与集合的关系，?44∈∴2∈?2 pp，12＝074＋4＝－＋? 可得，解得qq6.＝＝02－10＋?AxxxBxxx＋6＝0}＝＝{{2,3}|，经检验符合题意．＝{|－－75＋12＝0}＝{3,4}，∴AB＝{2,3,4}∴．∪3 2 ＋lg(25×4)＋(1)原式＝log32＋118.[解析] 313＝＋2＋3＝. 2211fxx＋)＝∵(( －)(2) xx111xxx－)＋4＋4＝＝(＋＋2＝(2)＋－xxxxxxfxxfx5.＋2＋1)＋∴4(＝)＝4＋，∴＋((＋1)＝Δxmx 有两个根，＝0易知(1)函数有两个零点，则对应方程－32＋，－0＋1]19.[解析4mmΔ ，可解得即；＝4＋12(1－)0 344mΔΔm.，可解得＝0，可解得；＝0 334m 时，函数有两个零点；故344mm 时，函数有一个零点；时，函数无零点．＝33mm1.0(2)因为是对应方程的根，有，可解得0－1＝＝实用文档xfxxf ，＝(2())为奇函数，且当∈(0，＋∞)20.[解析] (1)因为时，1fff3)＝－(log(－所以log(log)＝3) 3＝－3.＝－2xx∈(0，＋∞)0)，则－，(2)设任意的∈(－∞，xxxff )＝)＝2，所以2(因为当－∈(0，＋∞)时，(，xxfxff 上的奇函数，则)(－()又因为＝－(，)是定义在Rxxff ＝－2(－，所以)(＝－)xxf )＝－(2即当；∈(－∞，0)时，fff 0，所以，又因为(0)(0)＝－＝(0) x0，2x?0＝0，xf.(＝综上可知，)x02，－fxxxx∈R}，关于原点对称，{| ≠21.[解析] (1)0(，)的定义域为11axxfxa－)，＋(－＝)＝(－xx－afxfx)为奇函数，((－当)＝0时，＝－afafafffx)即不是奇函1)≠－(－1)＝(1)－1，知当，故≠0时，由((1)＝1＋，－(数也不是偶函数．xx≤2，则设1≤ (2)111xxaxxafxfxaxx－－＝－())－)[()＝(＋]，＋－( xxxxxxxxxxxx＜4＜0,2＜，≤由1＋≤2，得＜－4,1＞11xxaa ，)(＜＋－12－，又1＜＜＜3，所以2－1 xx41axxfxfx)＞0－，＞)－0，从而(( 得)(＋xxfxfxafx)在[1,2]()，故当上单调递增．∈(1,3)即(时，) (fx)是奇函数，( 解析23.[] (1)∵ffff(－2)，即＝(2)＋∴＝－(－2)0. (2)xx0，(2)当0时，－axf1.)＝∴(－－xfxffx )＝－)由(()是奇函数，有－(，xxffxaa ＝∵(－)－10)1(＝－(，∴)＋．实用文档xa 01－≥xf.)∴所求的解析式为＝(?xa 0＋－1 x10－不等式等价于(3)?a141－＋－x0－1≥，或?a14－－1 xx01－10≥－?.或即aa50－32? xx11≥?a 或当1时，有xx5log1－1log2＋?注意此时log20，log50，可得此时不等式的解集为(1－log2,1＋log5)．a1时，不等式的解集为R同理可得，当0.a1时，综上所述，当不等式的解集为(1－log2,1＋log5)；a1时，不等式的解集为R当0.。

(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．如图，一个质点在半径为1的圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向旋转，每2s 转一圈，由该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是（）A ．2sin()3y t ππ=+ B ．2sin()3y t ππ=- C ．2sin()3y t ππ=-D ．2sin()3y t ππ=+2．已知函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ的值为（）A ．56πB ．56π-C ．6π D ．6π-3．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．函数()()12cos 20211f x x x π=++⎡⎤⎣⎦-在区间[]3,5-上所有零点的和等于（） A ．2B ．4C ．6D ．85．函数1sin3y x =-的图像与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的图形的面积是（） A ．23π B ．πC ．43π D ．53π 6．下列结论正确的是（） A ．sin1cos1- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()tan 52tan 47->-D ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．已知函数()tan()0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（）A ．76πB ．56π C ．2πD ．3π 8．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C 9．函数3cos 2cos 2sin cos cos510y x x x ππ=-的递增区间是（） A ．2[,]105k k ππππ-+（k Z ∈） B ．2[,]510k k ππππ-+ （k Z ∈） C ．3[,]510k k ππππ-- （k Z ∈） D ．37[,]2020k k ππππ-+ （k Z ∈） 10．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上是增函数的是（） A ．()22xxf x -=- B ．()23f x x =-C ．()2ln =-f x xD ．()cos3=f x x x11．已知函数()tan()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠<⎪⎝⎭，点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ϕ=（） A ．6π B ．6π-C ．3π D ．3π-12．函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．将函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像先向右平移8π个单位，再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为_________.14．已知函数273(0)()323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()3cos 4g x x x =++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f t a g s +≤成立，则实数a 的取值范围为__________.15．若函数π()sin()cos()3f x x x ωω=++的一个周期是π，则常数ω的一个取值可以为__________.16．已知函数()cos (0)f x a x b a =+>的最大值为3，最小值为1，则函数(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域为_________.17．如图，从气球A 上测得正前方的B ，C 两点的俯角分别为75︒，30，此时气球的高是60m ，则BC 的距离等于__________m .18．已知函数f （x ）＝A sin （3πx +φ），x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜2π．y ＝f （x ）的部分图象，如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ），点R 的坐标为（1，0），∠PRQ ＝23π，则sin ∠PQR ＝_____．19．已知函数()3sin(2)cos(2)(||)2f x x x πϕϕϕ---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区[6π-,5]12π上的最大值为__.20．已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，且(2)3f -=，则(2020)f =________.三、解答题21．已知函数1()sin 22,23f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递减区间；（3）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 22．已知函数()22sin cos 2cos ,x x R f x x x =+∈. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在[]0,π上的单调递减区间；（3）令()18g x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若()2g x a <-对于,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.23．已知函数1()2sin cos 62f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[]0,π上的单调递增区间. 24．把()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得()g x 的图象，已知()g x 图象如图所示（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()2()6h x f x g x π=-+，求()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域． 25．已知函数()2sin 1f x x =-.（1）求函数f (x )的最大值，并求此时x 的值；（2）写出()0f x >的解集. 26．已知712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求3sin sin 3cos ααα-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先根据图象理解t 秒后23POx t ππ∠=+，再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标和该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式. 【详解】由题意可知点P 运动的角速度是22ππ=（弧度/秒）那么点P 运动t 秒后23POx t ππ∠=+，又三角函数的定义可知，点P 的纵坐标是2sin 3t ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，因此该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是2sin 3y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解三角函数的定义，并正确表示点23POx t ππ∠=+，即可表示函数的解析式.2．A解析：A 【分析】根据三角函数的平移变换得到cos(2)y x ϕπ=+-后，再根据诱导公式变为sin(2)2y x πϕ=+-，然后利用图象重合列式可得结果.【详解】函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后,得到cos[2()]cos(2)2y x x πϕϕπ=-+=+-sin(2)2x πϕπ=+-+sin(2)2x πϕ=+-，依题意可得223k ππϕπ-=+()k ∈Z ，所以526k πϕπ=+()k ∈Z 因为πϕπ-≤≤，所以0k =，56πϕ=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛；经过平移变换后，利用诱导公式化为同名函数是解题关键，属于中档题. 3．C解析：C【分析】由图可知，172482g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数图象的平移变化法则可知()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 22424g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 224882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈，解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.4．D解析：D 【分析】由图可得函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，画出函数图象，可得出()f x 在[]3,5-有8个零点，且关于1x =对称，即可求出.【详解】()()112cos 20212cos 11f x x x x x ππ=++=-⎡⎤⎣⎦--，令()0f x =，则12cos 1x x π=-，则函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，可得11y x =-和2cos y x π=的函数图象都关于1x =对称，则交点也关于1x =对称，画出两个函数的图象，观察图象可知，11y x =-和2cos y x π=在[]3,5-有8个交点，即()f x 有8个零点，且关于1x =对称，故所有零点的和为428⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查求函数的零点之和，解题的关键是将题目化为找11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，从而通过函数图象求解.5．C解析：C 【分析】作出函数1sin3y x =-的图像，利用割补法，补成长方形，计算面积即可. 【详解】作出函数1sin3y x =-的图象，如图所示，利用割补法，将23π到π部分的图象与x 轴围成的图形补到图中3π到23π处阴影部分，凑成一个长为3π，宽为2的长方形，后面π到53π，同理；∴1sin3y x =-的图象与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的面积为24233ππ⨯=，故选：C. 【点睛】用“五点法”作()sin y A ωx φ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取0，2π，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 6．D解析：D 【分析】利用正弦函数的单调性可判断AD 选项的正误；利用正切函数的单调性可判断C 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且01122ππ<-<<，则sin1sin 1cos12π⎛⎫>-=⎪⎝⎭，A 选项错误；对于B 选项，因为余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，23233cos cos cos 555πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，1717cos cos cos 444πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 3045πππ<<<，则3cos cos 54ππ<，即2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，当900x -<<时，正切函数tan y x =单调递增，因为9052470-<-<-<，所以，()()tan 52tan 47-<-，C 选项错误；对于D 选项，因为正弦函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，因为021018πππ-<-<-<，所以，sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.7．A解析：A 【分析】先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和. 【详解】因为()f x 的最小正周期为2π，所以22πωπ==，又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,3k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=且此时1k =，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即tan 2cos 21033x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为tan 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 213x π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭时，23x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π=，所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所有解的和为57366πππ+=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭的情况. 8．C解析：C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．9．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换的公式，化简得由函数cos(2)5y x π=+，再根据余弦型函数的性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案. 【详解】由函数3cos 2cos2sin cos cos cos 2cos sin 2sin cos(2)510555y x x x x x x πππππ=-=-=+，令222,5k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，整理得3,510k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈，所以函数的单调递增区间为3[,],510k k k Z ππππ-+-+∈，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．C解析：C 【分析】利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，判断AD 错误，结合常见基本初等函数的单调性判断B 错误，C 正确即可. 【详解】选项A 中，()22xxf x -=-，定义域R ，()()()2222xx x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项D 中，()cos3=f x x x ，定义域R ，()()()cos 3cos3f x x x x x f x -=--=-=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项B 中，()23f x x =-，定义域R ，()()()2233x x f x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数，但二次函数()23f x x =-在在(),0-∞上是减函数，在()0,∞+上是增函数，故不符合题意；选项C 中，()2ln =-f x x ，定义域为(),0-∞()0,+∞，()()2ln 2ln f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数.当()0,x ∈+∞时，()2ln f x x =-是减函数，所以由偶函数图象关于y 轴对称可知，()f x 在(),0-∞上是增函数，故符合题意. 故选：C. 【点睛】方法点睛：定义法判断函数()f x 奇偶性的方法：（1）确定定义域关于原点对称；（2）计算()f x -；（3）判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数；若两者均不成立，则()f x 是非奇非偶函数.11．A解析：A 【分析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T ，然后由T πω=求出ω，然后再代点讨论满足题意的ϕ，即可得出答案. 【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为2T ，得72263T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 则由1T πω==得1ω=，即得1ω=±. 由2πϕ<，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则可得1ω=-， ∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--.由2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32k k Z ππϕ=-∈，因2πϕ<，可得6π=ϕ或3π-，当3πϕ=-时，()tan +3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由+,232k x k k Z πππππ-<<+∈，得5,66k x k k Z ππππ-<<+∈，则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，令1k =，由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⊄，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递减，所以3πϕ=-不满足题意；当6π=ϕ时，()tan 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由,262k x k k Z πππππ-<-<+∈，得2,33k x k k Z ππππ-<<+∈，则函数()f x 的单调减区间为2,,33k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，令1k =，由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪⎝ ⎪⎝⎭⎭，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以6π=ϕ满足题意；综上可得：6π=ϕ满足题意. 故选：A.【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭，. 12．D解析：D 【分析】先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案. 【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ，故选:D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.二、填空题13．【分析】利用函数的图象变换规律即可得到的解析式【详解】函数的图像先向右平移个单位后解析式变为：再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后解析式变为：所以故答案为：【点睛】方法点睛：函数的图像与函数的解析：cos4x -【分析】利用函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象变换规律，即可得到()g x 的解析式．【详解】函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像先向右平移8π个单位后解析式变为：sin 2sin 2co 288s 2y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后解析式变为：()cos 22x y -=⨯，所以()cos 4g x x =-. 故答案为：cos4x -. 【点睛】方法点睛：函数sin ωφf xA xB 的图像与函数sin y x =的图像两者之间可以通过变化A ，ω，φ，B 来相互转化，A 、ω影响图像的形状，φ、B 影响图像与x 轴交点的位置，由A 引起的变换称为振幅变换，由ω引起的变换称为周期变换，它们都是伸缩变换；由φ引起的变换称为相位变换，由B 引起的变换称为上下平移变换，它们都是平移变换.三角函数图像变换的两种方法为先平移后伸缩和先伸缩后平移.14．【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域根据存在性和恒成立问题转化为求出a 的范围【详解】对于函数f （x ）当x≤0时f （x ）单调递增由﹣3≤t≤0可得f （t ）∈﹣43当x ＞0时f （x ）＝﹣x2+2x+3＝解析：(],2-∞【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域，根据存在性和恒成立问题，转化为()()()maxmaxf t ag s +≤求出a 的范围．【详解】对于函数f （x ），当x ≤0时，f （x ）733x =+单调递增，由﹣3≤t ≤0，可得f （t ）∈[﹣4，3]，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，由0＜t ≤3，可得f （t ）∈[0，4]， ∴对任意t ∈[﹣3，3]，f （t ）∈[﹣4，4]，对于函数g （x ）=x +cos x +4＝2sin （x 6π+）+4， ∵s ∈[0，2π]，∴s 6π+∈[6π，23π]， ∴g （s ）∈[5，6]，∴对于s ∈[0，2π]，使得g （s ）∈[5，6]，∵对任意t ∈[﹣3，3]，总存在s ∈[0，2π]，使得f （t ）+a ≤g （s ）成立，故()()()max maxf t ag s +≤∴a +4≤6，解得a ≤2，故答案为：(],2-∞ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．15．2（答案不唯一）【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式然后利用正弦函数的周期求解注意题中已知条件是函数的一个周期是并没有说是最小正周期因此只要函数的最小正周期是除以一个正整数都可满足题意【详解】解析：2（答案不唯一）【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期求解，注意题中已知条件是函数的一个周期是π，并没有说π是最小正周期．因此只要函数的最小正周期是π除以一个正整数，都可满足题意．【详解】1()sin cos cossin sin(1)sin cos 3322f x x x x x x ππωωωωω=+-=-+，令cosϕ=sin ϕ=，且ϕ为锐角，则()sin()f x x ωϕ=+，由2T ππω==，得2ω=，实际上，由2T ππω==得2ω=±，或者2kππω=（k Z ∈且0k ≠），2k ω=（k Z ∈且0k ≠），ω可为任意一个非零点的偶数．故答案为：2．（填任一非0的偶数都可以）．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，求解三角函数周期，一般是把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期性求解．而我们一般说周期通常是求最值正周期，若题中强调某个数是函数的一个周期，则这个周期不一定是最小正周期．16．【分析】根据三角函数性质列方程求出得到进而得到利用换元法即可求出的值域【详解】根据三角函数性质的最大值为最小值为解得则函数则函数令则令由得所以的值域为故答案为：【点睛】关键点睛：解题关键在于求出后利解析：7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据三角函数性质，列方程求出,a b ，得到()cos 2f x x =+，进而得到22cos 2cos 3(2)2()y x f x f x x =-=--，利用换元法，即可求出(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域【详解】根据三角函数性质，()cos (0)f x a x b a =+>的最大值为3a b +=，最小值为1b a -=，解得2,1b a ==，则函数()cos 2f x x =+，则函数(2)2()cos 222cos 4y f x f x x x =-=+--cos22cos 2x x =--22cos 2cos 3x x =--，3x ππ≤≤，令cos t x =，则112t -≤≤，令2()223g t t t =--，由112t -≤≤得，7(),12g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以，(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域为7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：解题关键在于求出()cos 2f x x =+后，利用换元法得出2()223g t t t =--，112t -≤≤，进而求出()g t 的范围，即可求出所求函数的值域，难度属于中档题 17．【分析】由题意画出图形由两角差的正切求出的正切值然后通过求解两个直角三角形得到和的长度作差后可得答案【详解】由图可知在中在中河流的宽度等于故答案为：【点睛】本题给出实际应用问题求河流在两地的宽度着重解析：1)【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15︒的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC 和DB 的长度，作差后可得答案．【详解】由图可知，15DAB ∠=︒ ()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==-+︒︒在Rt ADB 中，60AD =(tan15602120DB AD ∴=⋅︒=⨯=-在Rt ADC 中，60,60DAC AD ∠=︒=tan 60DC AD ∴=⋅︒=()()1201201BC DC DB m ∴=-=-=∴河流的宽度BC 等于)1201m故答案为：1) 【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在,B C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．18．【分析】根据周期求出再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出最后由正弦定理求出【详解】过点作延长线的垂线垂足为连接如下图所示则由正弦定理可知则故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应【分析】根据周期求出32TDQ ==，再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出,PR PQ ，最后由正弦定理求出sin PQR ∠.【详解】过点Q作PR 延长线的垂线，垂足为D ，连接PQ ，如下图所示263T ππ==，则32T DQ == 6xRQ RQD π∠=∠=3tan336DR DQ π∴=⋅=⨯= 223,23,12921PR DP PQ PD PQ ∴===+=+=由正弦定理可知sin sin PQ PRPRQ PQR=∠∠则33sin 212sin 1421PR PRQPQR PQ⋅⋅∠∠===21【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应用，涉及了正弦定理解三角形，属于中档题.19．【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数的奇偶性 3【分析】利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6f x x πϕ=--,再根据图象关于y 轴对称可求得()2cos2f x x =-,再结合余弦函数的图像求出最值即可.【详解】因为函数()()()2cos 2f x x x ϕϕ=---2sin(2)6x πϕ=--的图象关于y 轴对称,所以πππ62k ϕ--=+,即()2ππ,3k k Z ϕ=--∈. 又2πϕ<,则π3ϕ=,即()2sin(2)2cos22f x x x π=-=-.又因为π5π612x -≤≤,所以π5π236x -≤≤,则当5π26x =,即5π12x =时,()f x 取得最大值5π2cos6-=.【点睛】判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如：若()sin y x ωϕ=+为奇函数,则π,Z k k ϕ=∈；若()sin y x ωϕ=+为偶函数,则ππ+,Z 2k k ϕ=∈；若()cos y x ωϕ=+为偶函数,则π,Z k k ϕ=∈；若()cos y x ωϕ=+为奇函数,则ππ+,Z 2k k ϕ=∈. 20．3【分析】由已知可得是函数的一个周期所以再由可求得可得答案【详解】由已知可得则有则是函数的一个周期所以又所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用准确理解周期性的定义是解题的关键属于解析：3 【分析】由已知可得，3是函数()f x 的一个周期，所以(2020)(1)f f =，再由(2)3f -=，可求得()13f =，可得答案. 【详解】由已知可得，3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则有333(3)++()222f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+==-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3是函数()f x 的一个周期，所以(2020)(67331)(1)f f f =⨯+=，又(2)3f -=，所以()()123f f =-=，所以(2020)3f =，故答案为：3. 【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用，准确理解周期性的定义是解题的关键,属于中档题.三、解答题21．（1）π；（2）()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）最小值为32；最大值为94. 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期；（2）解不等式()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，可得出函数()f x 的单调递减区间；（3）由44x ππ-≤≤求出23x π-的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()f x 的最小值和最大值. 【详解】（1）因为1()sin 2223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==；（2）由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈.即函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）因为44x ππ-≤≤，所以52636πππ-≤-≤x ，所以，当232x ππ-=-即12x π=-时，函数()f x 取最小值，()min 13sin 2222f x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭；当236x ππ-=即4x π=时，函数()f x 取最大值，()max 19sin 2264f x π=+=. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.22．（1）T π=；（2）5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）()2+∞. 【分析】（1）化简函数()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由正弦函数的单调性可得答案；（3）化简()2g x x =，根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求得()g x ，再根据题意，得到2a ->，即可求解．【详解】（1）由题意，函数()sin 2cos21214f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，可得其最小正周期是22T ππ==. （2）由3222,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得 5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 又∵[]0,x π∈，∴5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 故单减区间为5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）由()122844g x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1cos 2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()22g x x ⎡=∈-⎢⎣，若()2g x a <-对于,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则()max 2a g x ->所以2a >+，即求实数a 的取值范围()2+∞.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质综合应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．23．（1）π；（2）单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的周期公式求周期；（2）根据正弦函数性质求单调区间，再取对应区间即得结果.【详解】（1）11()2sin sin 22f x x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭1cos21222x x -=+-12cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）令26z x π=-，[]0,x π∈，则11,66z ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为sin y z =，11,66z ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的单调增区间是,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由2662x πππ-≤-≤或3112266x πππ≤-≤，得：03x π≤≤或56x ππ≤≤，所以()f x 在[]0,π内的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数性质，解题关键是要熟练掌握三角函数的性质，考查分析求解能力，属基础题.24．（1）1()cos(2)3f x x π=-；（2）3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由伸缩变换得1()cos()2g x x ωϕ=+，由()g x 的图像的周期为54()263T πππ=-=，解得2ω=，由()g x 图像过点(,1)3π，求得ϕ，进而得到()g x ，()f x 的解析式.（2）易得()22cos ()2cos()166h x x x ππ=----，令cos()6t x π=-，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）由题意1()cos()2g x x ωϕ=+，由()g x 的图像可得：函数()g x 的周期为54()263T πππ=-=，解得2ω=，∴()cos )(g x x ϕ=+，由图知()g x 图像过点(,1)3π，所以cos()13πϕ+=，则23k πϕπ=-+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，取0k =得3πϕ=-，所以()cos()3g x x π=-，从而函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-．（2）()()2()cos(2)2cos()636h x f x g x x x πππ=-+=---， 22cos ()2cos()166x x ππ=----，令cos()6t x π=-，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则22132212()22y t t t =--=--，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当12t =时，y 有最小值32-，此时，1cos()62x π-=，63x ππ-=，即2x π=，当1t =时有最大值1-，此时cos()16x π-=，06x π-=，即6x π=．所以函数()h x 的值域为3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛：求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．25．（1）最大值1，2,2x k k Z ππ=+∈；（2）5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 【分析】（1）当sin 1x =时，函数取最大值得解；（2）根据三角函数的图象解不等式得解集.【详解】（1）当sin 1x =即2,2x k k Z ππ=+∈时，()2111max f x =⨯-=；（2）由题得1sin 2x >，所以不等式的解集为5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 【点睛】关键点睛：解答这类题的关键是熟练掌握三角函数的图象和性质，再灵活利用其解题. 26．（1）3tan 4α=；（2）3sin 3sin 3cos 25ααα=--. 【分析】（1）利用诱导公式可得出12cos sin 25αα=，根据题意可得出关于cos α、sin α的值，求出cos α、sin α的值，利用同角三角函数的商数关系可求得tan α的值；（2）将所求代数式变形为()()3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αααααααα=--+，在分式的分子和分母中同时除以3cos α，利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】（1）712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由诱导公式可得123sin cos cos sin 2522ππαααα⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos sin 0αα∴>>，由已知可得2212cos sin 25cos sin 1cos sin 0αααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩，解得4cos 53sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，sin 3tan cos 4ααα==；（2）()()3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αααααααα=--+()()332223sin tan 325sin sin tan 3tan 131cos cos cos ααααααααα===-⎛⎫-+⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：三角函数求值问题中已知tan α，求关于sin α、cos α的代数式的值时，一般利用弦化切公式后直接代入tan α的值，在关于sin α、cos α的齐次式中，常常利用弦化切的方程转化为含tan α的代数式.。

2023_2024学年新教材高中数学第四单元作业课件北师大版必修第一册

点. D√
多项选择题答案
名师点津名师教方法
解含参数的一元二次不等式时,需对参数进行分类讨论.一般有四种情况: (1)二次项系数不含参数,且二次三项式可分解时,根据两根大小分情况进行讨论. (2)二次项系数不含参数,且二次三项式不能分解时,对Δ的取值分三种情况进行讨论. (3)二次项系数含参数,且二次三项式可分解时,先考虑二次项系数是否为0,当二次项系数不为0时,再对二次项系数的正负情况,结合两根的大小分类进行讨论. (4)二次项系数含参数,且二次三项式不可分解时,先考虑二次项系数是否为0,当二次项系数不为0时,再对二次项系数的正负情况,结合Δ的取值分类进行讨论.
第四单元
单项选择题
1.[2023芜湖一中高一期末]不等式x(x+1)<2的解集是( )
A.{x|-1<x<2} C.{x|x<-1或x>2}
B.{x|-2<x<1} D.{x|x<-2或x>1}
答案
1.B 【解析】由x(x+1)<2,解得-2<x<1,即原不等式的解集为{x|-2<x<1}.故选B.
答案
答案
(3)由题设,x2+2mx-2m+1>2即x2+2mx-2m-1=(x+2m+1)(x-1)>0, 当-(2m+1)>1,即m<-1时,解集为(-∞,1)∪(-2m-1,+∞);(9分) 当-(2m+1)=1,即m=-1时,解集为{x|x≠1};(11分) 当-(2m+1)<1,即m>-1时,解集为(-∞,-2m-1)∪(1,+∞). (12分)
Байду номын сангаас

新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》检测(答案解析)

一、选择题1．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11a b-D ．()20a b c -≥2．若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（） A ．log log a b c c b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，则ac 2>bc 2D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd4．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（） A ．b c b a c a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >5．已知1a >，实数,x y 满足x y a a >，则下列不等式一定成立的是（） A ．11x y x y+>+ B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y >D ．33x y >6．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 7．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 28．若0a b <<，则下列各式一定．．成立的是（） A ．a c b c +>+B ．22a b <C ．ac bc >D ．11a b> 9．若a b >，则下列不等式成立的是（） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >10．给出以下四个命题：（） ①若a>b ，则 11a b<； ②若ac 2>bc 2，则a>b ； ③若a>|b|，则a>b ；④若a>b ，则a 2>b 2.其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③11．若0a b >>，则（）A ．11a b>B ．22log log a b <C ．22a b <D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．a b >B ．33a b >C ．11a b< D ．22a b <二、填空题13．设()23f x x x =-+-，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______.14．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 15．若关于x 的不等式215x a x x -+-≥-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为________．16．若存在实数x ，使得12-++<x x a 成立，则实数a 的取值范围为______. 17．已知不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，则实数a 的取值范围是__________．18．若1a 2-<<，21b -<<，则-a b 的取值范围是．19．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元，购买3支康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是______________ 20．若存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立，则实数c 的取值范围是_____.三、解答题21．已知()211f x x x =-++.（1）画出函数()f x 的图象；（2）求不等式()()1f x f x <-的解集. 22．已知函数()f x x x m =-. （1）若3m =，解不等式()2f x >；（2）若0m >，且()f x 在[]0,2上的最大值为3，求正实数m 的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若,,a b c ∈R ， 2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.24．当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22+px qy 的大小. 25．已知函数()12f x x a x a=-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()222f x m m ≥-+对任意实数x 及a 恒成立，求实数m 的取值范围.26．已知函数()|21|||2g x x x =-+++. （1）解不等式()0g x ≤；（2）若存在实数x ，使得()||g x x a ≥--，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即得解. 【详解】由题意可知，a 、b 、R c ∈，且a b > A ．若1,2a b ==-，满足a b >，则11a b>，故本选项不正确； B ．若1,2a b =-=-，满足,1a b c >=-，则ac bc <，故本选项不正确； C . 若0c,则20c a b=-，故本选项不成立；D ．22,0,()0a b c a b c >≥∴-≥ 故选：D 【点睛】本题考查了利用不等式的性质，判断代数式的大小，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A ：当112a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确；对于B ：当112a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>，所以log log 0b a c c >>，因112a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确；对于C ：当112a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确；对于D ：当112a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.3．B解析：B 【分析】对于A ，C ，D 举反例即可判断，对于B ，根据不等式的性质即可判断．【详解】解：对于A ，例如1a =，0b =，2c =，则不满足，故A 错误，对于B ，若a b >-，则a b -<，则c a c b -<+，成立，故B 正确，对于C ，若0c ，则不成立，故C 错误，对于D ，例如1a =，0b =，2c =-，3D =-，则不满足，故D 错误，故选：B ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，要注意不等式应用条件的判断，属于基础题.4．A解析：A 【分析】由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<， ()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确；对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c abb a+∴<+，B 选项错误；对于C 选项中的不等式，01c b <<<，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误；对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.5．D解析：D 【分析】根据指数函数的单调性，得到x y >，再利用不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【详解】根据指数函数的单调性，由1a >且x y a a >，可得x y >，对于A 中，由111()()(1)x y x y x y x y x y xy xy-+--=--=--，此时不能确定符号，所以不正确；对于B 中，当x 1,y 2==-时，2211x y +<+，此时()()22ln 1ln 1x y +<+，所以不正确；对于C 中，例如：当2,32x y ππ==时，此时sin sin x y <，所以不正确；对于D 中，由33222213()()()[()]024x y x y x xy y x y x y y -=-++=--+>，所以33x y >，所以是正确的．故选D ．【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，以及不等式的性质的应用，其中解答中合理利用特殊值法判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．C解析：C 【分析】主要利用排除法求出结果．【详解】对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立；对于选项D ：当0a b >>时，不成立；故选C ．【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．C解析：C 【解析】【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。

北师大版高中数学必修四详细知识点加例题解析

高中数学北师版必修四全册知识点含例题分析第一章三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360|αββ} 4、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。

半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=．（2）度数与弧度数的换算：π=180 rad ，1 rad '185730.57)180(=≈=π（3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则：弧长公式：r l ||α= ；扇形面积：2||2121r lr S α===5、三角函数:（1）定义:①设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α= v ; u 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=u ; 当α的终边不在y 轴上时，uv 做α的正切，记作tan α, 即tan α=uv . ②设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y，它与原点的距离是()0r OP r ==>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠ （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：第一象限全为正；二正三切四余弦.6()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等．()()2sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()3sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．αsinx y ++ _ _ O x y + + _ _ αcos Oαtan x y++__ O()()4sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()5sin 2sin παα-=-，()cos 2cos παα-=，()tan 2tan παα-=-．口诀：函数名称不变，正负看象限．()6sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，tan cot 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()7sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，tan cot 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，正负看象限．sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域值域： []1,1-当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．值域：[]1,1-当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-．值域：R既无最大值也无最小值周期性sin y x =是周期函数；周期为2,T k k Z π=∈且0k ≠；最小正周期为2π cos y x =是周期函数；周期为2,T k k Z π=∈且0k ≠；最小正周期为2πtan y x =是周期函数；周期为,T k k Z π=∈且0k ≠；最小正周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．8、函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 的相关知识：（1）()sin y x b ωϕ=A ++的图象与x y sin =图像的关系：①振幅变换：x y sin = x A y sin =②周期变换：x y sin =x y ωsin =③相位变换：x y sin =)sin(ϕ+=x y④平移变换：)sin(ϕω+=x A y ()sin x b ωϕ=A ++先平移后伸缩：函数sin y x =的图象整体向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕ个单位，得到函数()sin y x ϕ=+ 的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上（0>b ）或向下（0ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕω图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍图象上每个点的横坐标变为原来的ω1倍，纵坐标不变图象整体向上（）或向下（）个单位，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上（0>b ）或向下（0>++=ωϕωA bx A y 的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．定义域：R值域：[],A b A b -++当22x k πωϕπ+=+()k ∈Z 时，max y A b =+；当22x k πωϕπ+=-()k ∈Z 时，min y A b =-+．周期性：函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 是周期函数；周期为ωπ2=T单调性：x ωϕ+在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是增函数； x ωϕ+在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是减函数．对称性：对称中心为(),0k k πϕω-⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭；对称轴为x ωϕ+()2k k ππ=+∈Z第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量平行的单位向量：||a =．4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

高中数学北师版必修四全册知识点讲解加例题分析

【答案】 B
→→→
→→
9．已知△ ABC 和点 M 满足 MA＋ MB＋ MC＝0.若存在实数 m 使得 AB＋ AC＝
mA→M成立，则 m＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】 ∵M→A＋M→B＋M→C＝0.
∴M 为△ ABC 的重心．
连接 AM 并延长交 BC 于 D，则 D 为 BC 的中点． ∴A→M＝23A→D. 又A→D＝12(A→B＋A→C)， ∴A→M＝13(A→B＋A→C)，即 A→B＋A→C＝3A→M，比较得 m＝3. 【答案】 B 10． (2013 ·山东高考 )函数 y＝ xcos x＋sin x 的图象大致为 ( )
【解析】当 x＝π2时， y＝1＞0，排除 C. π
当 x＝－ 2时， y＝－ 1，排除 B；或利用 y＝xcos x＋sin x 为奇函数，图象关于原点对称，排除 B.
当 x＝π时， y＝－ π＜0，排除 A. 故选 D. 【答案】 D
二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，将答案填在题中的横线上 )
【答案】 C
7．在△ ABC 中，若 sin Acos B<0，则此三角形必是 ( )
A．锐角三角形
B．任意三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
【解析】 ∵sin Acos B<0，A、B 为△ ABC 内角，
∴sin A>0， cos B<0.
因此
π 2<B<π，则△
ABC
为钝角三角形．
【答案】 D
模块学习评价
(时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四

2022_2023学年新教材高中数学课时作业四全集与补集及综合应用北师大版必修第一册

课时作业(四) 全集与补集及综合应用[练基础]1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S＝{1,3,5}，T＝{3,6,7}，则(∁U S)∩T＝( ) A．{2,4,7,8} B．{6,7,8}C．{1,3,5,6} D．{6,7}2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}．那么集合{2,7,8}是( )A．A∪B B．A∩BC．(∁U A)∩(∁U B) D．(∁U A)∪(∁U B)3．设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≤－3或x≥1} B．{x|x<－1或x≥3}C．{x|x≤3} D．{x|x≤－3}4．[多选题]设集合P＝{1,2,3}，Q＝{x|2≤x≤3}，则下列结论中正确的是( ) A．P⊆Q B．P∩Q＝PC．(P∩Q)⊆P D．(∁R Q)∩P≠∅5．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1,3}，A∩(∁U B)＝{2,4}，则B＝________.6．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3或x>4}，则ab＝________.[提能力]7．[多选题]设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}，则下列选项中，满足A∩B＝∅的实数a的取值范围可以是( )A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|a≥8}8．已知集合A＝{x|x2＋mx＋1＝0}，若A∩R≠∅，则实数m的取值范围为________．9．设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(∁I M)∩N；(2)记集合A＝(∁I M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．[战疑难]10．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－a－1}，B＝{x|x>a＋2}，C＝{x|x<0或x≥4}都是U的子集．若∁U(A∪B)⊆C，问这样的实数a是否存在？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．课时作业(四) 全集与补集及综合应用1．解析：∁US＝{2,4,6,7,8}，∴(∁US)∩T＝{6,7}．答案：D2．解析：A∪B＝{1,3,4,5,6}，排除A；A∩B＝{3}，排除B；(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{2,7,8}，符合题意．答案：C3．解析：B＝{x|x≥－1}，∴A∪B＝{x|x>－3}，∴∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．答案：D4．解析：集合P中1∉Q，故A错误；P∩Q＝{2,3}，故B错误，C正确；∁RQ＝{x|x<2或x>3}，(∁RQ)∩P＝{1}≠∅，故D正确．答案：CD5．解析：∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由∁U(A∪B)＝{1,3}，得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}，由A∩(∁UB)＝{2,4}知，{2,4}⊆A，{2,4}⊆∁UB，∴B＝{5,6,7,8,9}．答案：{5,6,7,8,9}6．解析：因为A ∪(∁UA)＝R ，A ∩(∁UA)＝∅，所以a ＝3，b ＝4，所以ab ＝12.答案：127．解析：A ＝{x|a －1<x<a ＋1，x ∈R}，B ＝{x|1<x<5}．又A ∩B ＝∅，所以a ＋1≤1或a －1≥5即a ≤0或a ≥6.答案：CD8．解析：∵A ＝{x|x2＋mx ＋1＝0}，∴集合A 表示方程x2＋mx ＋1＝0的解集，假设A ∩R ＝∅，则方程x2＋mx ＋1＝0无实数解，∴Δ＝m －4<0，∴m<4，又m ≥0，∴0≤m<4，∵A ∩R ≠∅，m ≥0，∴m ≥4.答案：[4，＋∞)9．解析：(1)∵M ＝{x|(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x|x2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∴∁IM ＝{x|x ∈R 且x ≠－3}，∴(∁IM)∩N ＝{2}．(2)由题意得A ＝(∁IM)∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}．①当B ＝∅时，a －1>5－a ，得a>3；②当B ＝{2}时，解得a ＝3.综上所述，实数a 的取值范围为{a|a ≥3}．10．解析：①若∁U(A ∪B)＝∅，则A ∪B ＝R.因此a ＋2≤－a －1，即a ≤－32，符合题意．②若∁U(A ∪B)≠∅，则a ＋2>－a －1，a>－32，又A ∪B ＝{x|x ≤－a －1或x>a ＋2}所以∁U(A ∪B)＝{x|－a －1<x ≤a ＋2}又∁U(A ∪B)⊆C所以a ＋2<0或－a －1≥4解得a<－2或a ≤－5，即a<－2，又a>－32，故此时a 不存在．综上，存在这样的实数a ，且a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a ≤－32.。

精品北师大版高中数学必修四：第一章综合测试题(含答案)

北师大版数学精品教学资料阶段性测试题一(第一章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．(2014·山东济南一中高一月考)下列角与－750°角终边不同的是( ) A ．330° B ．－30° C ．680° D ．－1 110°[答案] C[解析] －750°＝－2×360°＋(－30°)， 330°＝360°＋(－30°)， 680°＝2×360°＋(－40°)，－1 110°＝－3×360°＋(－30)°，故680°角与－750°角终边不同.2．(2014·山东德州高一期末测试)sin(－116π)＝( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32 [答案] B[解析] sin(－11π6)＝－sin 11π6＝－sin(2π－π6)＝sin π6＝12.3．(2014·浙江嘉兴一中高一月考)下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 13π4<tan 13π5B ．sin π5>cos(－π7)C ．sin(π－1)<sin1°D ．cos 7π5<cos(－2π5)[答案] D[解析] tan 13π4＝tan(3π＋π4)＝tan π4＝1，tan 13π5＝tan(2π＋3π5)＝tan 3π5<0，∴tan 13π4>tan 13π5，排除A ；cos(－π7)＝cos π7，∵π5＋π7<π2，∴π5<π2－π7， ∴sin π5<sin(π2－π7)＝cos π7，排除B ；sin(π－1)＝sin1>sin1°，排除C ；cos 7π5＝cos(π＋2π5)＝－cos 2π5<0，cos(－2π5)＝cos 2π5>0，故选D.4．若α是钝角，则θ＝k π＋α，k ∈Z 是( ) A ．第二象限角B ．第三象限角C ．第二象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角[答案] D[解析] ∵α是钝角，∴π2<α<π，∵θ＝k π＋α(k ∈Z )，∴令k ＝0，则θ＝α是第二象限角，令k ＝1，则θ＝π＋α是第四象限角，故选D. 5．下列命题中不正确的个数是( ) ①终边不同的角的同名三角函数值不等； ②若sin α>0，则α是第一、二象限角；③若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y 2.A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] π4和3π4终边不同，但正弦值相等，所以①错．sin π2＝1，但π2不是一、二象限角，是轴线角所以②错，对于③由定义cos α＝x x 2＋y2，所以③错，故选D.6．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则|tan α|tan α＋sin α1－cos 2α的值等于( )A ．2或－2B ．－2或0C ．2或－2D ．0或2[答案] B[解析] 由题意知α终边可在第二或第四象限．当α终边在第二象限时，tan α<0，sin α>0， ∴原式＝－1＋1＝0.当α终边在第四象限时，tan α<0，sin α<0， ∴原式＝－1＋(－1)＝－2.7．(2014·河南洛阳市八中高一月考)为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x的图象( )A ．向左平移5π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] A[解析] y ＝sin(x ＋5π6)＝sin[π2＋(x ＋π3)]＝cos(x ＋π3)，故选A.8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] A[解析] 由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，知f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0，∴8π3＋φ＝k π＋π2.(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )．|φ|的最小值为π6.9．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)函数y ＝cos(x －π2)在下面某个区间上是减函数，这个区间为( )A ．[0，π]B ．[－π2，π2]C ．[π2，π]D ．[0，π4][答案] C[解析] y ＝cos(x －π2)＝cos(π2－x )＝sin x ，故选C.10．函数y ＝|sin(13x －π4)|的最小正周期为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π [答案] A[解析] ∵y ＝sin(13x －π4)的周期T ＝6π，∴y ＝|sin(13x －π4)|的周期为T ＝3π.11．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [答案] B[解析] ∵f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cosπx －1，∴周期T ＝2ππ＝2，又f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cos x －1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．12．如果函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋32＋a 在区间[－π3，5π6]的最小值为3，则a 的值为( )A ．3＋12B ．32C ．2＋32D ．3－12[答案] A[解析] ∵－π3≤x ≤5π6，∴0≤x ＋π3≤7π6，∴－12≤sin(x ＋π3)≤1，∴f (x )的最小值为－12＋32＋a ，∴－12＋32＋a ＝3，∴a ＝3＋12.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2014·江西九江外国语高一月考)点P (－1,2)在角α的终边上，则tan αcos 2α＝________. [答案] －10[解析] 由三角函数的定义知，sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，∴tan α＝－2.∴tan αcos 2α＝－215＝－10. 14．cos π3－tan 5π4＋34tan 2⎝⎛⎭⎫－π6＋sin 11π6＋cos 27π6＋sin 7π2＝________. [答案] －1[解析] 原式＝cos π3－tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋34tan 2π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫π＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π2 ＝cos π3－tan π4＋34tan 2π6－sin π6＋cos 2π6－sin π2＝12－1＋34×13－12＋34－1＝－1. 15．函数y ＝cos x 的单调递减区间是________． [答案] ⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) [解析] 由cos x ≥0得，－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )，要求y ＝cos x 的单调递减区间，即求y ＝cos x 在定义域范围内的单调递减区间．故所求函数的单调递减区间为[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )．16．若函数y ＝f (x )同时具有性质： ①是周期函数且最小正周期为π； ②在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数； ③对任意x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x .则函数y ＝f (x )的解析式可以是________．(只需写出满足条件的函数y ＝f (x )的一个解析式即可)[答案] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析] 由①知ω＝2.由③知x ＝π3为对称轴，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(答案不惟一)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .[解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，作出集合N 和集合M ，然后求M ∩N .首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 解法二：如图所示，由单位圆中的三角函数线知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 由此可得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 18．(本小题满分12分)是否存在实数m ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1成立，且x 是第二象限角？若存在，请求出实数m ；若不存在，试说明理由．[解析] 假设存在m ∈R ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1，∵x 是第二象限角，∴sin x >0，cos x <0，∴0<m <1.由sin 2x ＋cos 2x ＝1(1－m )2＋m 2(m －1)2＝1，解得m ＝0，这时sin x ＝1，cos x ＝0，x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，不是第二象限角，故m 不存在．19．(本小题满分12分)已知sin α、cos α是关于x 的方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根，求1sin α＋1cos α的值． [解析] ∵sin α、cos α是方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根， ∴sin α＋cos α＝－3m4，sin αcos α＝2m ＋18.∴(－3m 4)2－2×2m ＋18＝1，整理得 9m 2－8m －20＝0，即(9m ＋10)(m －2)＝0. ∴m ＝－109或m ＝2.又sin α、cos α为实根，∴Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0.即9m 2－16m －8≥0，∴m ＝2不合题意，舍去．故m ＝－109.∴1sin α＋1cos α＝sin α＋cos αsin αcos α＝－3m42m ＋18＝－6m 2m ＋1＝－6×(－109)2×(－109)＋1＝－6011.20．(本小题满分12分)如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的一段图象，已知A >0，ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求函数f (x )的解析式．[解析] 由图知A ＝2，T ＝8，ω＝2πT ＝π4.当x ＝7时，有0＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4·7＋φ， ∴φ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π－7π4，k ∈Z . 又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝2cos(2x －π4)，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)∵f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为单调递增函数，在区间[π8，π2]上为单调递减函数，且f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝－1，故函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时，x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝m 在(0，π)内有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围． [解析] (1)观察图象，得A ＝2，T ＝(11π12－π6)×43＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数图象经过点(π6，2)，∴2sin(2×π6＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin(2x ＋π6)与g (x )＝m 在(0，π)内的交点个数情况，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin(2x ＋π6)和y ＝m (m ∈R )的图象如图所示．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.。

北师大版高中数学必修四：第一、二章综合测试题(含答案)

阶段性测试题三(第一、二章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．下列各式中，不能化简为AD →的是( ) A ．(AB →＋CD →)＋BC →B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →) C ．MB →＋AD →－BM → D ．OC →－OA →＋CD →[答案] C[解析] A 中，(AB →＋CD →)＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →； B 中，(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋MB →＋BM →＝AD →. C 中，MB →＋AD →－BM →＝MB →＋AD →＋MB →＝2MB →＋AD →； D 中，OC →－OA →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，故选C. 2．设a 、b 、c 是非零向量，下列命题正确的是( ) A ．(a·b )·c ＝a·(b·c )B ．|a －b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2C ．若|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与b 的夹角为60°D ．若|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与b 的夹角为60° [答案] D[解析] 对于A ，数量积的运算不满足结合律，A 错；对于B ，|a －b|2＝|a|2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2|a||b |·cos<a ，b>＋|b |2，B 错，对于C 、D ，由三角形法则知|a |＝|b |＝|a －b |组成的三角形为正三角形，则<a ，b >＝60°，∴D 正确．3．(2014·山东曲阜师范附属中学高一模块测试)已知一个扇形的半径为1，弧长为4，则该扇形的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 扇形的面积S ＝12lR ＝12×4×1＝2.4．(2014·湖北长阳一中高一月考)下列说法正确的是( ) A ．第三象限的角比第二象限的角大B ．若sin α＝12，则α＝π6C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 [答案] D[解析] －120°是第三象限角，120°是第二象限角，而－120°<120，排除A ；若sin α＝12，则α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π(k ∈Z )，排除B ；当三角的内角等于90°时，它既不是第一象限，也不是第二象限，排除C ，故选D.5．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A ．23B ．43C ．－3D ．0[答案] D[解析] CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →， ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23AC →，又AC →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，故选D.6．在△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →－MC →等于( )A ．0B ．4MD →C ．4MF →D ．4ME →[答案] C [解析] 如图，由已知得，MA →＋MB →＝2MF →，又∵M 为△ABC 的重心， ∴|MC |＝2|MF |，∴－MC →＝CM →＝2MF →， ∴MA →＋MB →－MC →＝4MF →.7．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 内，且满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是( )A ．(12，－13)B ．(14，12)C ．(－23，－13)D ．(－34，25)[答案] C[解析] 向量OP →用基底OA →、OB →表示具有惟一性，结合图形知x <0，y <0，故选C. 8．(2014·江西九江外国语高一月考)已知sin(α＋75°)＝12，则cos(α－15°)＝( )A ．32B ．－32 C ．12D ．－12[答案] C[解析] ∵cos(15°－α)＝sin(α＋75°)＝12，∴cos(α－15°)＝cos(15°－α)＝12.9．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零点之间的距离是( ) A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．2π[答案] B[解析] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的图象相邻的两个零点之间的距离为半个周期，又T ＝2π32＝4π3，∴T 2＝2π3.10．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3的一个对称中心为( ) A ．⎝⎛⎭⎫π6，0 B ．⎝⎛⎭⎫π3，0 C ．⎝⎛⎭⎫5π18，0 D ．⎝⎛⎭⎫π2，0[答案] C[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3，令3x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π3＋5π18(k ∈Z )．当k ＝0时，x ＝5π18，故选C.11．已知向量OA →＝(4,6)，OB →＝(3,5)，且OC →⊥OA →，AC →∥OB →，则向量OC →等于( ) A ．(－37，27)B ．(－27，421)C ．(37，－27)D ．(27，－421)[答案] D[解析] 设OC →＝(x ，y )，则AC →＝OC →－OA →＝(x －4，y －6)．∵OC →⊥OA →，AC →∥OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝0x －43＝y －65，解得⎩⎨⎧x ＝27y ＝－421.∴OC →＝(27，－421)．12．△ABC 为等边三角形，且边长为2，点M 满足BM →＝2AM →，则CM →·CA →＝( ) A ．6 B ．3 C ．15 D ．12[答案] A [解析] 如图，∵BM →＝2AM →，∴AB ＝AM ＝2，又∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，即∠CAM ＝120°.又AM ＝AC ，∴∠AMC ＝∠ACM ＝30°，∴∠BCM ＝90°. ∴CM ＝BM 2－BC 2＝16－4＝2 3. ∴CM →·CA →＝|CM →|·|CA →|cos30°＝23×2×32＝6.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知sin α、cos α是方程2x 2－x －m ＝0的两根，则m ＝________. [答案] 34[解析] 由题意，得⎩⎨⎧sin α＋cos α＝12sin αcos α＝－m2，解得m ＝34，又m ＝34时满足方程2x 2－x －m ＝0有两根．14．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________． [答案] (1)(31010，1010) (2)－255[解析] (1)2a ＋b ＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，∴与2a ＋b 同向的单位向量为(31010，1010)．(2)cos 〈a ，b －3a 〉＝a ·(b －3a )|a |·|b －3a |＝(1，0)·(－2，1)5＝－255.15．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )的图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．[答案]33[解析] 由题意，得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π6，即a sin0＋cos0＝a sin π3＋cos π3，∴32a ＝12，∴a ＝33. 16．设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________. [答案]5[解析] 本题考查了向量垂直，坐标运算、数量积等．由m ⊥b 知m ·b ＝0，即2x －y ＝0①，又由m 为单位向量，所以|m |＝1，即x 2＋y 2＝1 ②，由①②联立解得⎩⎨⎧x ＝55y ＝255或⎩⎨⎧x ＝－55y ＝－255，所以|x ＋2y |＝ 5.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2014·安徽合肥市撮镇中学高一月考) (1)已知A (1,2)、B (3,5)、C (9,14)，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)已知|a |＝2，|b |＝3，(a －2b )·(2a ＋b )＝－1，求a 与b 的夹角． [解析] (1)AB →＝(2,3)，AC →＝(8,12)， ∴AC →＝4AB →， ∴AC →与AB →共线．又∵AC →与AB →有公共点A ， ∴A 、B 、C 三点共线. (2)设a 与b 的夹角为θ，则(a －2b )·(2a ＋b )＝2a 2－3a ·b －2b 2＝2×4－3×2×3×cos θ－2×9＝－10－18cos θ＝－1，∴cos θ＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.18．(本小题满分12分)已知两个非零向量a 、b 满足(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求a 与b 的夹角的余弦值．[解析] 由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )·(2a －b )＝0，(a －2b )·(2a ＋b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a ·b －b 2＝0，①2a 2－3a ·b －2b 2＝0.② 由①×3＋②得a 2＝58b 2，∴|a |2＝58|b |2，即|a |＝58|b |.③由①得a ·b ＝b 2－2a 2＝|b |2－2×58|b |2＝－14b 2，④由③④可得cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－14|b |258|b |·|b |＝－1010.∴a 、b 的夹角的余弦值为－1010. 19．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．[解析] (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2.故函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1.(2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，即sin(α－π6)＝12，∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.20．(本小题满分12分)已知a ＝3i －4j ，a ＋b ＝4i －3j ， (1)求向量a 、b 的夹角；(2)对非零向量p 、q ，如果存在不为零的常数α、β使αp ＋βq ＝0，那么称向量p 、q 是线性相关的，否则称向量p 、q 是线性无关的．向量a 、b 是线性相关还是线性无关的？为什么？[解析] (1)b ＝(a ＋b )－a ＝i ＋j ，设a 与b 夹角为θ，根据两向量夹角公式： cos θ＝a ·b |a ||b |＝3－452＝－210.故夹角θ＝π－arccos210. (2)设常数α，β使得αa ＋βb ＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 3α＋β＝0－4α＋β＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧α＝0β＝0，所以不存在非零常数α，β，使得αa ＋βb ＝0成立．故a 和b 线性无关．21．(本小题满分12分)如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|≤π2)的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，3和⎝⎛⎭⎫11π12，－3，求该函数的解析式．[解析] 由题意知A ＝3，设最小正周期为T ，则T 2＝11π12－5π12＝π2， ∴T ＝π，又T ＝2πω，∴ω＝2.∴函数解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)． ∵点⎝⎛⎭⎫5π12，3在图象上， ∴3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1. ∴5π6＋φ＝2k π＋π2， ∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .∵|φ|≤π2，∴φ＝－π3.∴函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，其中ω>0.(1)若f (x ＋θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值； (2)若f (x )在(0，π3]上是增函数，求ω的最大值．[解析] (1)由函数解析式f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，ω>0整理可得f (x ＋θ)＝23sin[3ω(x ＋θ)＋π3]＝23sin(3ωx ＋3ωθ＋π3)，由f (x ＋θ)的周期为2π，根据周期公式2π＝2π3ω，且ω>0，得ω＝13，∴f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)， ∵f (x ＋θ)为偶函数，定义域x ∈R 关于原点对称，令g (x )＝f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)，∴g (－x )＝g (x )，23sin(x ＋θ＋π3)＝23sin(－x ＋θ＋π3)，∴x ＋θ＋π3＝π－(－x ＋θ＋π3)＋2k π，k ∈Z ，∴θ＝k π＋π6，k ∈Z .∴ω＝13，θ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)∵ω>0，∴2k π－π2≤3ωx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴2k π3ω－15π18ω≤x ≤π18ω＋2k π3ω，k ∈Z ，若f (x )在(0，π3]上是增函数，∴(0，π3]为函数f (x )的增区间的子区间，∴π18ω≥π3，∴ω≤16，∴ωmax ＝16.。

北师大版高中数学必修四：基础知识检测(1)及答案解析

第一章基础知识检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是( ) A ．终边相同的角一定相等 B ．第一象限的角都是锐角 C ．锐角都是第一象限角 D ．小于90°的角都是锐角[答案] C[解析] 终边相同的角相差k ·360°(k ∈Z )，故A 不正确；锐角0°<α<90°，而第一象限角是指终边在第一象限的角，其中有正角、负角，包括锐角，故B 不正确；而C 正确，小于90°的角的包括锐角、负角和零角，故D 不正确．2．(tan x ＋1tan x)cos 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D ．1tan x[答案] D[解析] (tan x ＋1tan x )cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos xsin x )cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.3．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32[答案] B[解析] 由cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝cos A ＝12. 4．已知角α是第二象限角，且|cos α2|＝－cos α2，则角α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[答案] C[解析] 由α是第二象限角知，α2是第一或第三象限角．又∵|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2是第三象限角． 5．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 是( ) A ．[－π，0]上的增函数 B ．⎣⎡⎦⎤－34π，π4上的增函数 C ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的增函数 D ．⎣⎡⎦⎤π4，54π上的增函数[答案] B[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，∴当函数图像向右平移π4后得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤－34π，π4上是增函数．6．已知函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图像与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值为( )A ．3B ．32C ．23D ．13[答案] A[解析] 函数y ＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2，它与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离恰好为一个周期，由2πω＝2π3，得ω＝3.故应选A.7．(2014·安徽理，6)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f (23π6)＝( )A ．12B ．32 C ．0 D ．－12[答案] A[解析] 本题考查递归运算，诱导公式． f (236π)＝f (176π)＋sin 176π＝f (116π)＋sin 116π＋sin 176π＝f (56π)＋sin 56π＋sin 116π＋sin 176π＝0＋12－12＋12＝12.8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称[答案] A[解析] T ＝π⇒ω＝2⇒f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝0. ∴f (x )关于⎝⎛⎭⎫π3，0对称，故选A.9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图像，只要将y ＝f (x )的图像( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[答案] A[解析] 本小题主要考查简单的三角函数的性质和图像． ∵T ＝π，∴2π＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 又∵sin(2x ＋π4)错误!sin 错误!＝sin(2x ＋π2)＝cos2x∴ y ＝f (x )图像左移π8个单位即得g (x )＝cos2x 的图像．故选A.10．已知将函数y ＝sin(x －π3)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移π3个单位，所得函数图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝5π3C ．x ＝4π3D ．x ＝π[答案] C[解析] 由已知得y ＝sin(x －π3)→y ＝sin(12x －π3)→y ＝sin[12(x ＋π3)－π3]＝sin(12x －π6)．令12x －π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋4π3(k ∈Z )，即函数的对称轴方程为x ＝2k π＋4π3(k ∈Z )．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．y ＝sin x －|sin x |的值域是________． [答案] [－2,0][解析] 去掉绝对值符号，将函数化简再求值域． y ＝sin x －|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，sin x ≥0，2sin x ，sin x <0. 作出函数图像如图所示．12．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所对的扇形面积是________． [答案] 18[解析] ∵l ＝αR ，∴R ＝lα＝6.根据扇形面积公式有S 扇＝12lR ＝12×6×6＝18.13．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为2π，且当x ∈[0，π]时f (x )＝sin x ，则f (53π)＝________.[答案]32[解析] 由题意可知f (53π)＝f (53π－2π)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.14．函数y ＝sin(π6－2x )的单调递减区间是________．[答案] [－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )[解析] y ＝sin(π6－2x )＝－sin(2x －π6)．－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )．解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π(k ∈Z )．15．下列命题中，正确命题的序号是________． ①函数y ＝sin|x |不是周期函数． ②函数y ＝tan x 在定义域内是增函数． ③函数y ＝⎪⎪⎪⎪cos 2x ＋12的周期是π2. ④y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π2是偶函数． [答案] ①④[解析] ②中y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数，③中y ＝⎪⎪⎪⎪cos2x ＋12的周期为π.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设tan(α＋8π7)＝a ，求sin (15π7＋α)＋3cos (α－13π7)sin (20π7－α)－cos (α＋22π7)的值．[解析] 原式＝sin (π＋8π7＋α)＋3cos (α＋8π7－3π)sin (4π－8π7－α)－cos (α＋8π7＋2π)＝－sin (8π7＋α)－3cos (α＋8π7)－sin (8π7＋α)－cos (α＋8π7)＝tan (8π7＋α)＋3tan (8π7＋α)＋1＝a ＋3a ＋1.17．(本小题满分12分)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，当x ∈⎣⎡⎭⎫－π3，53π时函数的最大值与最小值．[解析] 当x ∈⎣⎡⎭⎫－π3，53π时，12x －π6∈⎣⎡⎭⎫－π3，23π，令t ＝12x －π6， ∵y ＝2sin t 在⎣⎡⎭⎫－π3，23π上的单调性为在⎣⎡⎦⎤－π3，π2上增，在⎣⎡⎭⎫π2，23π上减． ∴当12x －π6＝－π3即x ＝－π3时，函数取最小值，y min ＝2sin(－π3)＝－3，当12x －π6＝π2即x ＝43π时，函数取最大值，y max ＝2. 18．(本小题满分12分)已知|x |≤π6，求函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1的最小值．[分析] 利用换元法转化为求二次函数的最值问题． [解析] 令t ＝sin x ，∵|x |≤π6，∴－12≤sin x ≤12.则y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54(－12≤t ≤12)．∴当t ＝－12时，即x ＝－π6时，f (x )有最小值，且最小值为－(－12－12)2＋54＝14.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a (a 为实常数)．且当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π12时，f (x )的最大值与最小值之和为3.(1)求实数a 的值；(2)说明函数y ＝f (x )的图像经过怎样的变换可以得到函数y ＝sin x 的图像？ [解析] (1)依题意有f (x )＝2sin(2x ＋π3)＋a ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π12⇒2x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6⇒2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， ∴12≤sin(2x ＋π3)≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧f (x )max ＝2＋a f (x )min＝1＋a ，∴2a ＋3＝3⇒a ＝0. (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π3)．将函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像先向右平移π6个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后把所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的12倍(横坐标不变)，便得到函数y ＝sin x 的图像．20．(本小题满分13分)如图，它表示电流I ＝A sin(ωt ＋φ)在一个周期内的图像．(1)试根据图像写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)在任意一段1100秒的时间内，电流I 有可能既取得最大值|A |，又取得最小值－A 吗？[解析] (1)观察图像，A ＝3， ∵T ＝2(120－150)＝350，∴ω＝2πT ＝100π3.由ω·150＋φ＝π可解得φ＝π3.∴I ＝3sin(100π3t ＋π3)．(2)∵T ＝350>1100，∴不可能在任意一段1100秒的时间间隔内，I 既取得最大值|A |，又取得最小值－|A |. 21．(本小题满分14分)已知f (x )＝sin x2|cos x |. (1)判断f (x )的奇偶性；(2)画出f (x )在[－π，π]上的简图；(3)求f (x )的最小正周期及在[－π，π]上的单调区间． [解析] (1)∵cos x ≠0，∴x ≠k π＋π2(k ∈Z )．∴函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，且f (－x )＝sin (－x )2|cos (－x )|＝－sin x 2|cos x |＝－f (x )，∴此函数为奇函数． (2)f (x )＝sin x 2|cos x |＝⎩⎨⎧22tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2，－22tan x ⎝⎛⎭⎫－π≤x <－π2或π2<x ≤π，图像如图所示，π2，π2，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫－π，－π2，⎝⎛⎦⎤π2，π.(3)T＝2π，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－。

2020-2021学年北师大版高中数学必修四全册考点综合测试1及答案解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修四本册综合测试一本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若点A(x ，y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx 的值为( )A ． 3B ．－ 3C ．33D ．－33[答案] B[解析] 由三角函数的定义知yx ＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－ 3.2．(2014·陕西文，2)函数f(x)＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B[解析] T ＝2π2＝π，选B.y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos(ωx ＋φ)，ω>0，A>0的最小正周期为2πω.3．已知四边形ABCD 的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12C ．(3,2)D ．(1,3)[答案] A[解析] 本题主要考查平面向量的坐标运算． BC →＝(3＋1,1＋2)＝(4,3)， 2AD →＝2(x ，y －2)＝(2x,2y －4) ∵BC →＝2AD →，∴⎩⎨⎧4＝2x3＝2y －4，解得⎩⎨⎧x ＝2y ＝72，故选A.4．函数f(x)＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图像的对称轴问题．函数f(x)＝sin(x －π4)的图像的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z.当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.要清楚函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0)的对称轴，其本质是sin(ωx ＋φ)＝±1时解出的． 5．设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b|等于( ) A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 [答案] C[解析] |a ＋b|2＝(a ＋b)2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a|2＋2|a||b|cos60°＋|b|2＝16＋2×4×3×12＋9＝37，|a ＋b|＝37，故选C.6．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，3π2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3[答案] D[解析] 当α∈[0，π2)时，由sin α>3cos α，得sin αcos α＝tan α>3，解得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2；当α∈[π2，π]时，cos α≤0，显然原式成立；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2时，易得tan α<3，解得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3；当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π2，2π时，sin α<0，cos α≥0，原式不成立，综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3.7．设函数f(x)＝cos ωx(ω>0)，将y ＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值为( )A ．13B ．3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意得：π3为函数f(x)＝cos ωx 的最小正周期的正整数倍，∴π3＝k ·2πω(k ∈N ＋)， ∴ω＝6k(k ∈N ＋)，∴ω的最小值为6.8．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →的值为( )A ．32B ． 3C ．3D ．2 3 [答案] C[解析] 如图所示，取BC 边中点M ，由2OA →＋AB →＋AC →＝0，可得2AO →＝AB →＋AC →＝2AM →，则点M 与点O 重合．又由|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝|AB →|＝1，可得|AC|＝|BC|·sin60°＝2×32＝3，则CA →·CB →＝|CA →||CB →|·cosC ＝|CA →|2＝3.9．函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)cos(ωx ＋φ)(ω>0)，以2为最小正周期，且能在x ＝2时取得最大值，则φ的一个值是( )A ．74πB ．－54πC ．－34πD ．π2[答案] C[解析] f(x)＝12sin(2ωx ＋2φ) T ＝2π2ω＝2∴ω＝π2，∴f(x)＝12sin(πx ＋2φ)，当x ＝2时，πx ＋2φ＝2π＋2φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－3π4，k ∈Z.10．已知f(x)＝sin(x ＋π2)，g(x)＝cos(x －π2)，则下列结论中不正确的是( )A ．函数y ＝f(x)g(x)的最小正周期为πB ．函数y ＝f(x)g(x)的最大值为12C ．函数y ＝f(x)g(x)的图像关于点(π4，0)成中心对称D ．将函数f(x)的图像向右平移π2个单位后得到函数g(x)的图像[答案] C[解析] f(x)＝cosx ，g(x)＝sinx ， y ＝f(x)g(x)＝cosxsinx ＝12sin2x ，∴最小正周期T ＝π，最大值为12，∴选项A ，B 正确．当x ＝π4时，y ＝12sin(2×π4)＝12≠0，∴y ＝f(x)g(x)的图像不关于点(π4，0)对称，选项C 错误．将f(x)的图像向右平移π2个单位后得y ＝cos(x －π2)，即g(x)的图像，选项D 正确．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知α为直线x ＋3y ＝0的倾斜角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．[答案]12[解析] 因为直线x ＋3y ＝0的斜率为－13，所以tan α＝－13，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan α·tan π4＝－13＋11＋13＝12.12．(2014·重庆文，12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a ·b ＝________.[答案] 10[解析] 此题考查向量数量积的运算． ∵a ＝(－2，－6)，∴|a|＝4＋36＝210， ∴a ·b ＝210×10×cos60°＝10.13.下图是y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π2)的图像，则其解析式为________．[答案] y ＝3sin(2x ＋π3)[解析] 由图知T ＝11π6＋π6＝2π，∴ω＝1且A ＝2.由图像过(－π6，0)，得1×(－π6)＋φ＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π6.∴y ＝2sin(x ＋π6)．14．已知cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°，则cos2α＝__________.[答案] －725[解析] 由cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，90°<α－β<180°，270°<α＋β<360°，所以sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)·sin(α＋β)＝－45×45－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－725.15．设f(x)＝cosxcos (30°－x )，则f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝________.[答案]5932[解析] f(x)＋f(60°－x) ＝cosx cos (30°－x )＋cos (60°－x )cos (x －30°)＝cosx ＋cos (60°－x )cos (30°－x )＝3sin (60°＋x )cos (30°－x )＝3，∴f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝[f(1°)＋f(59°)]＋[f(2°)＋f(58°)]＋…＋[f(29°)＋f(31°)]＋f(30°)＝5932.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知π6<α<2π3，sin(α－π3)＝m ，求tan(4π3－α)的值．[解析] ∵π6<α<2π3，∴－π6<α－π3<π3.∴cos(α－π3)＝1－m 2.∴tan(α－π3)＝sin (α－π3)cos (α－π3)＝m1－m2. ∴tan(4π3－α)＝tan[π－(α－π3)]＝－tan(α－π3)＝－m1－m2. 17．(本小题满分12分)OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在OC →上是否存在点M ，使MA →⊥MB →？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， ∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)． ∴45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴OM →＝(2,1)或OM →＝(225，115)．∴存在M(2,1)或M(225，115)满足题意．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos 4x －2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ).(1)求f(－11π12)的值；(2)当x ∈[0，π4)时，求g(x)＝12f(x)＋sin2x 的最大值和最小值．[解析] (1)f(x)＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22xsin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22x sin (π2＋2x )＝2cos 22x cos2x ＝2cos2x ，∴f(－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g(x)＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g max (x)＝2，当x ＝0时，g min (x)＝1.19．(本小题满分12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b|；②|4a －2b|. (2)当k 为何值时，(a ＋2b)⊥(ka －b)? [解析] 由已知可得a ·b ＝4×8×(－12)＝－16.(1)①|a ＋b|2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a ＋b|＝4 3.②|4a －2b|2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64 ＝3×162，所以|4a －2b|＝16 3. (2)若(a ＋2b)⊥(ka －b)，则 (a ＋2b)·(ka －b)＝0，所以ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0， 16k －16(2k －1)－2×64＝0，故k ＝－7.20．(本小题满分13分)(2014·重庆理，17)已知函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f(α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．[解析] (1)因f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2，又因f(x)的图像关于直线x ＝π3对称，所以 2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f(α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34.所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2. 所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14·32＋154·12 ＝3＋158. 21．(本小题满分14分)设函数f(x)＝a ·(b ＋c)，其中向量a ＝(sinx ，－cosx)，b ＝(sinx ，－3cosx)，c ＝(－cosx ，sinx)，x ∈R.(1)求函数f(x)的单调减区间；(2)函数y ＝f(x)的图像可由函数y ＝sinx 的图像经过怎样变化得出？&知识就是力量&(3)若不等式|f(x)－m|<2在x ∈[π8，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)由题意得f(x)＝a ·(b ＋c)＝(sinx ，－cosx)·(sinx －cosx ，sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x＝2＋2sin(2x ＋3π4)．由2k π＋π2≤2x ＋3π4≤2k π＋3π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)．故f(x)的单调减区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z)． (2)先将y ＝sinx 的图像上所有点向左平移3π4个单位，再将所得的图像上所有点横坐标压缩到原来的12，然后再将所得的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，最后将所得图像上所有点向上平移2个单位即可得y ＝f(x)的图像．(3)∵|f(x)－m|<2在x ∈[π8，π2]上恒成立， ∴f(x)－2<m<f(x)＋2，∴m>[f(x)]max －2且m<[f(x)]min ＋2，即m>0且m<4－2，∴0<m<4－ 2.。

高中数学必修4(北师版)第一章1.2(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

描述：例题：高中数学必修4(北师版)知识点总结含同步练习题及答案第一章三角函数 1.2 角的概念的推广一、知识清单任意角的概念二、知识讲解1.任意角的概念任意角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如图，一条射线的端点是，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线称为角的始边，射线称为角的终边．角的分类正角（positive angle）按逆时针方向旋转形成的角．负角（negative angle）按顺时针方向旋转形成的角．零角（zero angle）如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．象限角与轴线角在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角（quadrant angle）．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这样的角为轴线角．终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可以构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．O OA OB αOA OB x ααS ={β| β=α+k ⋅,k ∈Z }360∘αα在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是；②钝角一定大于锐角；③射线绕端点按逆时针旋转一周所成的角是；④小于的角都是锐角．其中错误说法的序号为______（错误说法的序号都写上）．解： ①③④①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转，因而转过的角为，所以不正确．②钝角的取值范围为，锐角的取值范围为，因此钝角一定60∘OA O 0∘90∘60∘−60∘α<α<90∘180∘θ<θ<0∘90∘高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案

北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案第一章章末分层突破[自我校对]①弧度制②负角③零角④y＝cos x⑤y＝tan x三角函数的定义及三角函数函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)点P 从点(2,0)出发，沿圆x 2＋y 2＝4逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为；(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为．【精彩点拨】 (1)先求∠POQ ，再利用三角函数定义求出Q 点坐标；(2)先列出三角函数的不等式组，再利用三角函数线求解．【规范解答】 (1)设∠POQ ＝θ，则θ＝π32＝π6，设Q (x ，y )，根据三角函数的定义，有x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，即Q 点的坐标为(3，1)．(2)要使函数有意义，必须有 ⎩⎨⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z )，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤x <5π6＋2k π(k ∈Z )．故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )．【答案】 (1)(3，1) (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )[再练一题]1．求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域．【解】函数f (x )有意义，则⎩⎨⎧ －sin x ≥0，tan x －1≥0，即⎩⎨⎧sin x ≤0，tan x ≥1. 如图所示，结合三角函数线知⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π≤x ≤2k π＋2π(k ∈Z )，k π＋π4≤x <k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π＋5π4≤x <2k π＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π4，2k π＋3π2(k ∈Z )．用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k 的奇偶．已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan (α＋5π)tan (－α－π)sin (α－3π)，(1)化简f (α)；(2)若α＝－25π3，求f (α)的值．【精彩点拨】直接应用诱导公式求解．【规范解答】 (1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·sin (π＋α)＝cos α·sin α·sin αcos α－sin αcos α·sin α＝－cos α.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3 ＝－cos π3＝－12. [再练一题]2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝14，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ).【解】因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝14，所以cos θ＝－14.所以cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ)＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝cos θcos θ(cos θ＋1)－cos θcos θ(cos θ－1)＝1cos θ＋1－1cos θ－1＝1－14＋1－1－14－1＝3215.考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．如图1-1是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋kA >0，ω>0，φ<π2的一段图像．图1-1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的．【精彩点拨】 (1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ. (2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．【规范解答】 (1)由图像知，A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图像．[再练一题]3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式，并说明怎样变换f (x )的图像能得到g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像．【解】因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3，又当x ＝π6时函数f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.因为0<φ<π，故φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将f (x )的图像向右移π6个单位，即得g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像．奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)，应引起重视．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时，x 的取值集合．【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解． (2)先求x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值． (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】 (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， ∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1. (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )． ∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π(k ∈Z )． ∴当f (x )取最大值时， x的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z . [再练一题]4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，(x ∈R ) (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，34π上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴T ＝2πω＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.(2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，3π4上是减函数，∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝ 2.F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－ π4＝－2cos π4＝－1. 故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .【精彩点拨】本题主要考查已知三角函数值范围求角，可以根据正弦函数图像和余弦函数图像，作出集合M 和N ，然后求M ∩N ，或利用单位圆中三角函数线确定集合M ，N .【规范解答】法一：首先作出正弦函数与余弦函数的图像以及直线y ＝12，如图：结合图像得集合M ，N 分别为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π，得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π. 法二：作出单位圆的正弦线和余弦线．如图：由单位圆三角函数线知：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π，得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π. [再练一题]5．(1)求满足不等式cos x <－12的角x 的集合； (2)求y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域．【解】 (1)作出函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图像，如图所示：由于cos 2π3＝cos 4π3＝－12，故当2π3<x <4π3时，cos x <－12.由于y ＝cos x 的周期为2π，∴适合cos x <－12的角x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . (2)作出y ＝sin x 的简图，如图所示：由图像可知，当－π3≤x ≤2π3时，－32≤sin x ≤1， ∴－3≤2sin x ≤2，因此函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域为[－3，2].1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【解析】由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B.【答案】 B2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图1-2所示，则f (x )的单调递减区间为( )图1-2A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【解析】由图像知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.【答案】 D3．如图1-3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1-3A ．5B ．6C ．8D ．10【解析】根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 【答案】 C4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调的条件．故选B.【答案】 B5．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．)的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.第二章章末分层突破[自我校对]①单位向量②坐标表示③数乘向量④坐标⑤夹角公式1.2．向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．3．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．4．题型主要有证明三点共线、两直线平行、线段相等、求点或向量的坐标等．已知△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB 分成2∶1的一个分点，DC 和OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b (如图2-1)，图2-1(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →；(1)若OE→＝λOA →，求实数λ的值. 【精彩点拨】 (1)根据平行四边形法则求解．(2)结合三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理求解．【规范解答】 (1)∵A 为BC 的中点， ∴OA→＝12(OB →＋OC →)， ∴OC→＝2OA →－OB →＝2a －b ， DC→＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b . (2)若OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa －(2a －b ) ＝(λ－2)a ＋b .∵CE→与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →，即(λ－2)a ＋b ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋53b ，∴(λ＋2m －2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－53m b ＝0.∵a ，b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.[再练一题]1．(1)若a ，b 是不共线的两个向量，且a 与b 的起点相同，则实数t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上？(2)已知A (－1,1)，B (1,5)，C (x ，－5)，D (4,7)，AB →与CD →共线，求x 的值．【解】 (1)由题易知，存在唯一实数λ.使得 a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13(a ＋b )＝23λa －13λb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧23λ＝1，－13λ＝－t .∴t ＝12，即当t ＝12时，三向量共线． (2)AB→＝(2,4)，CD →＝(4－x,12)． ∵AB →∥CD →，∴2×12＝4(4－x )， ∴x ＝－2.向量的夹角、垂直及长度问1.求夹角问题求向量a ，b 夹角θ的步骤：(1)求|a |，|b |，a·b ；(2)求cos θ＝a·b|a||b|(夹角公式)；(3)结合θ的范围[0，π]确定θ的大小．因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 2．垂直问题这类问题主要考查向量垂直的条件：若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．向量的模 (1)|a |2＝a 2，|a |＝a 2.(2)若a ＝(x ，y )，则a 2＝x 2＋y 2， |a |＝x 2＋y 2.(1)已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝.(2)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为． (3)若|a |＝1，|b |＝2，(2a －b )⊥b ，求a 与b 的夹角．【精彩点拨】 (1)利用模与数量积进行转化求解． (2)结合已知条件利用向量的夹角公式计算． (3)利用垂直关系结合数量积运算求解．【规范解答】 (1)因为|a ＋b |＝13，所以|a ＋b |2＝13，即(a ＋b )2＝13，|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝13.又因为a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，所以9＋2×3×|b |·cos 120°＋|b |2＝13，|b |2－3|b |－4＝0，解得|b |＝4或|b |＝－1(舍)．(2)设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.【答案】 (1)4 (2)π3(3)由(2a －b )⊥b ，则(2a －b )·b ＝0，即2a ·b －b 2＝0，所以2|a ||b |cos θ－|b |2＝0，即2×2cos θ－2＝0，所以cos θ＝22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. [再练一题]2．已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为23π，b·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.【解】 ∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4. ∵a ⊥c ，∴a·c ＝0.∵b·c ＝|b ||c |cos 23π＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a·c ＋n b·c ， ∴16＝n ×(－4)，因此n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ，得0＝8m －4a·b .①在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a·b ＝12. ② 由①②，得m ＝±6， ∴a·b ＝±26， ∴cos θ＝±2622·2＝±32.∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π6或56π.1.运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程． 3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．已知e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，今有动点P 从P 0(－1,2)开始，沿着与向量e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e 1＋e 2|；另一动点Q 从Q 0(－2，－1)开始，沿着与向量3e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e 1＋2e 2|，设P ，Q 在t ＝0 s 时分别在P 0，Q 0处，问当PQ →⊥P 0Q 0→时，所需的时间为多少？【精彩点拨】求出t s 后P ，Q 两点的坐标，结合数量积运算建立方程求解．【规范解答】 e 1＋e 2＝(1,1)，|e 1＋e 2|＝2，其单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22；3e 1＋2e 2＝(3,2)，|3e 1＋2e 2|＝13，其单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫313，213，如图．依题意，|P 0P →|＝2t ，|Q 0Q →|＝13t ， ∴P 0P →＝|P 0P →|⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22＝(t ，t )， Q 0Q →＝|Q 0Q →|⎝ ⎛⎭⎪⎫313，213＝(3t,2t )．由P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)，得P (t －1，t ＋2)，Q (3t －2,2t －1)， ∴P 0Q 0→＝(－1，－3)，PQ →＝(2t －1，t －3)．由于PQ →⊥P 0Q 0→，∴P 0Q 0→·PQ →＝0，即2t －1＋3t －9＝0，解得t ＝2，即当PQ →⊥P 0Q 0→时，所需时间为2 s. [再练一题]3.如图2-2，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC ．图2-2【证明】如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设A (0,2)，C (2,0)，则D (1,0)，AC →＝(2，－2)．设AF→＝λAC →，则BF→＝BA →＋AF →＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)．又因为DA→＝(－1,2)，由题设BF →⊥DA →，所以BF →·DA→＝0，所以－2λ＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝23，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，所以DF→＝BF →－BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 又因为DC→＝(1,0)，所以cos ∠ADB ＝DA →·DB →|DA →||DB →|＝55，cos ∠FDC ＝DF →·DC →|DF →||DC →|＝55.又因为∠ADB ，∠FDC ∈(0，π)，所以∠ADB ＝∠FDC ．待定系数法在向量中的应1.的某种形式，则可引入一些尚待确定的系数(参数)来表示该结果，通过变形比较，建立含有参数(待定字母)的方程(组)进行求解．2．待定系数法在向量中有着广泛的应用，如两向量平行，垂直或平面向量基本定理等就是这种形式的体现．如图2-3，在△ABC 中，M 是BC 的中点，N 在AC 上且AN ＝2NC ，AM 与BN 交于点P ，求AP ∶PM 的值．图2-3【精彩点拨】本题主要考查三角形法则、平面向量共线基本定理，适当选取基底表示出AP→，PM →，因为点A ，P ，M 共线，若有AP →＝λPM →，则λ为AP ∶PM 的值．【规范解答】设BM →＝e 1，CN →＝e 2，∴AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 共线且B ，P ，N 共线，∴AP →＝λAM →＝－λ(e 1＋3e 2)，BP →＝μBN →＝μ(2e 1＋e 2)． ∵BA →＝BP →＋P A →＝BC →＋CA →， ∴μ(2e 1＋e 2)＋λ(e 1＋3e 2)＝2e 1＋3e 2， ∴⎩⎨⎧2μ＋λ＝2，μ＋3λ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35，∴AP→＝45AM →，∴AP ∶PM ＝4∶1. [再练一题]4．设平面内给定的三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值．【解】 ∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(4n －m,2m ＋n )， ∴⎩⎨⎧4n －m ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.1．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【解析】根据a·b ＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a|－|b||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立．根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．【答案】 B2．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC→【解析】在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.【答案】 D3．已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC→的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19D ．21【解析】 ∵AB→⊥AC →，故可以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系(略)，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t ，C (t,0)，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t 1t ＋4(t ，0)t ＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1).PB →·PC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13. 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13. 【答案】 A4．如图2-4，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE→的值是．图2-4【解析】由题意，得BF →·CF →＝(BD →＋DF →)·(CD →＋DF →)＝(BD →＋DF →)·(－BD →＋DF →)＝DF →2－BD →2 ＝|DF→|2－|BD →|2＝－1， ①BA →·CA →＝(BD →＋DA →)·(CD →＋DA →) ＝(BD →＋3DF →)·(－BD →＋3DF →) ＝9DF→2－BD →2 ＝9|DF→|2－|BD →|2＝4. ② 由①②得|DF→|2＝58，|BD →|2＝138.∴BE →·CE →＝(BD →＋DE →)·(CD →＋DE →)＝(BD →＋2DF →)·(－BD →＋2DF →)＝4DF →2－BD →2 ＝4|DF→|2－|BD →|2＝4×58－138＝78. 【答案】 78第三章章末分层突破[自我校对]①sin2α＋cos2α＝1②sin αcos α＝tan α③Cα＋β④S2α⑤T2α1．给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用．2．给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用．由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点．3．给值求角：这类问题的解法规律是根据已知条件，求出该角的某种三角函数值，并根据条件判断出所求角的范围，然后确定角的大小，其难点在于有时不但要看角的三角函数值的符号，还要看其大小，以缩小角的范围．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．【精彩点拨】因为2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，由已知条件3sin β＝sin(2α＋β)，即可求得tan(α＋β)．【规范解答】 ∵3sin β＝sin(2α＋β)， ∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. 又4tan α2＝1－tan 2α2， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12，∴tan(α＋β)＝2tan α＝1. 又∵0<α<π4，0<β<π4， ∴α＋β＝π4. [再练一题]1．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin 2x 和cos x －sin x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．【解】 (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得1＋sin 2x ＝125，所以sin 2x ＝－2425.因为－π2<x <0，所以cos x >sin x ，所以cos x －sin x ＝1－2sin x cos x ＝75. (2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－sin x cos x＝2sin x (cos x ＋sin x )cos x －sin x cos x＝sin 2x cos x ＋sin x cos x －sin x＝－2425×17＝－24175.公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段．以实现三角函数式的化简．化简： (1)2sin 130°＋sin 100°(1＋3tan 370°)1＋cos 10°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .【精彩点拨】 (1)把“切化弦”然后逆用和差公式及二倍角公式求解． (2)利用同角三角函数关系及两角和与差的正切公式化简．【规范解答】 (1)原式＝2sin 50°＋sin 80°(1＋3tan 10°)2·cos 5°＝2sin 50°＋sin 80°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2sin 40°2cos 5°＝2(sin 50°＋cos 50°)2cos 5°＝22sin (50°＋45°)2cos 5°＝2.(2)原式＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝tan π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 1＋tan π4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4－x ＝－tan x .[再练一题]2．化简sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2αcos 2β.【解】原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1) ＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2α(1－cos 2β)＋cos 2β－12 ＝sin 2αsin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.构上的差异，这些差异有以下几个方面：①角的差异；②三角函数名称的差异；③三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法．三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明．不附条件的三角恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等变形等．附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件，或通过变形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明．求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x2.【精彩点拨】等式两边涉及到的角有4x,2x ，x ，x 2等角，故可将左边4x,2x ，x 化为x2的形式．【规范解答】左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x 2cos 2 x 2＝2sin 2x ·cos 22x ·cos x 2cos 22x ·2cos 2x ·2cos 2x 2＝sin 2x2cos x ·2cos 2x 2＝2sin x ·cos x2cos x ·2cos 2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sin x2cos x 2＝tan x2＝右边． ∴等式成立． [再练一题]3．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【证明】原式等价于1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ，即1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝tan 2θ，而上式左边＝1＋2sin 2θ·cos 2θ－ 1－2sin 22θ 1＋2sin 2θ·cos2θ＋ 2cos 22θ－1 ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ cos 2θ＋sin 2θ2cos 2θ sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＝右边，所以原式得证.三角函数与平面向量的综合应求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4.(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．【精彩点拨】本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量的模及两角和与差的三角函数．(1)按向量数量积与向量加法运算结合三角函数知识求解、化简；(2)化简f (x )，并参照x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，求出最大值和最小值．【规范解答】 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0，即|a ＋b |＝2cos x .(2)∵f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－32，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1.∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值为－1. [再练一题]4．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3A cos x ，A 2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．【解】 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图像．因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6].关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归思想是三角恒等变形应用最广泛，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变形的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．已知向量a ＝(2sin x ，cos x )，b ＝(3cos x ，2cos x )，定义函数f (x )＝a·b －1. (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)画出函数g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12的图像，由图像写出g (x )的对称轴和对称中心．【精彩点拨】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函数图像和性质，化简函数式为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后求解．【规范解答】 f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)T ＝2π2＝π.(2)2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2⇔k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．(3)列表及图像如下：从图像可以看出，此函数有一个对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0，无对称轴．[再练一题]5．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．【解】 (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，所以cos β＝45，因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sinβ＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.1．若tan α＝13，tan(α＋β )＝12，则tan β＝( ) A ．17B ．16 C ．57 D.56【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17. 【答案】 A2．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π【解析】法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.故选B. 【答案】 B3．函数f (x )＝1－3sin 2x 的最小正周期为．【解析】因为2sin 2x ＝1－cos 2x ，所以f (x )＝1－32(1－cos 2x )＝－12＋32cos 2x ，所以函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.【答案】 π4．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是．【解析】由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 【答案】－15．函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移个单位长度得到．【解析】因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像．【答案】 2π3。

2019版北师大版高中数学必修四：综合能力检测(1)及答案解析

2019版数学精品资料（北师大版）第一章综合能力检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·全国大纲文，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝()A ．45B ．35C ．－35D ．－45[答案] D[解析]由条件知：x ＝－4，y ＝3，则r ＝5，∴cos α＝x r ＝－45.要熟练掌握三角函数的定义．2．集合M ＝{x|x ＝sin n π3，n ∈Z }，N ＝{x|x ＝cos n π2，n ∈Z }，则M ∩N 等于()A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{0}D ．?[答案] C[解析]∵M ＝{x|x ＝sin n π3，n ∈Z }＝{－32，0，32}，N ＝{－1,0,1}，∴M ∩N ＝{0}，应选 C.3．(2014·辽宁理，9)若点A(x ，y)是600°角终边上异于原点的一点，则yx的值是()A ．33B ．－33C ．3D ．－3[答案] C[解析]由三角函数定义知，yx＝tan600°，而tan600°＝tan240°＝tan60°＝3，∴yx ＝ 3.4．下列说法中错误的是()。

2019届北师大版高中数学必修四：基础知识检测(2)及答案解析

2019届北师大版数学精品资料第二章基础知识检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)为基底表示c ＝(3，－2)为( ) A ．c ＝4a ＋b B ．c ＝a ＋4b C ．c ＝4b D ．c ＝a －4b[答案] B[解析] 令c ＝x a ＋y b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，即c ＝a ＋4b .2．下列说法正确的是( ) A ．两个单位向量的数量积为1 B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c C ．AB →＝OA →－OB →D ．若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b [答案] D[解析] A 中两向量的夹角不确定；B 中若a ⊥b ，a ⊥c ，b 与c 反方向则不成立；C 中应为AB →＝OB →－OA →；D 中b ⊥c ⇒b ·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a ·b ＋c ·b ＝a ·b .3．设向量a 与b 的夹角为θ，a ＝(2,1)，a ＋2b ＝(4,5)，则cos θ＝( ) A ．1010B ．31010C ．35D ．45[答案] D[解析] 由已知条件知b ＝12[(4,5)－a ]＝(1,2)，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝45×5＝45.4．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，m )，若a 与a ＋2b 垂直，则m 的值为( )2C ．－12D ．－1[答案] D[解析] ∵a ＋2b ＝(1,3)＋2(－2，m ) ＝(－3,3＋2m )， ∵a 与a ＋2b 垂直．∴1×(－3)＋3(3＋2m )＝0，∴m ＝－1.5．(2013·辽宁理，3)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)[答案] A[解析] 因为AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，所以与向量AB →同向的单位向量为AB →|AB →|＝(3，－4)5＝(35，－45)，选A. 6．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则( ) A ．a ⊥e B ．a ⊥(a －e ) C ．e ⊥(a －e ) D ．(a ＋e )⊥(a －e ) [答案] C[解析] 由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1， ∴t 2－2a ·e ·t ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立，即Δ＝4(a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立． ∴(a ·e －1)2≤0恒成立，而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0.即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．7．已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．22[答案] C[解析] 由(a －c )·(b －c )＝0得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝0，即c 2＝(a ＋b )c ，故|c |·|c |≤|a ＋b |·|c |，即|c |≤|a ＋b |＝2，故选C.8．(2014·四川理，7)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] D[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式． c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)， a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.由两向量的夹角相等可得a ·c |a |＝b ·c|b |，即为5m ＋85＝8m ＋2020，解得m ＝2.9．点O 在△ABC 所在平面上，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( ) A ．三条中线交点 B ．三条高线交点 C ．三条边的中垂线交点 D ．三条角分线交点 [答案] B[解析] 由OA →·OB →＝OB →·OC →，得 OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →；同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →. ∴点O 是三条高线的交点．10．已知向量a ＝(2cos θ，－2sin θ)，θ∈(π2，π)，b ＝(0,1)则向量a 与b 的夹角是( )A ．3π2－θB ．π2＋θC ．θ－π2D ．θ[答案] A[解析] 本题可以用向量的坐标运算和向量数量积的概念求解．即 cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝－2sin θ2·1＝－sin θ，∵0<〈a ，b 〉<π，∴cos 〈a ，b 〉＝cos(32π－θ)，∴〈a ，b 〉＝32π－θ.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知平面向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则实数k ＝________.[答案] 11或－2[解析] AB →＝(4－k ，－7)，AC →＝(10－k ，k －12)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， ∴k 2－9k －22＝0，∴k ＝11或k ＝－2.12．(2014·北京理，10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.[答案]5[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的运算．由λa ＋b ＝0，有b ＝－λa ，于是|b |＝|λ|·|a |，由b ＝(2,1)，可得|b |＝5，又|a |＝1，故|λ|＝ 5.13．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则点D 的坐标为________．[答案] (0，－2)[解析] 设D (m ，n )，则AB →＝(8,8)，DC →＝(8－m,6－n )，AD →＝(m ＋2，n )，BC →＝(2，－2)，又AB ∥DC ，AD ∥BC ，则AB →∥DC →，AD →∥BC →，则⎩⎪⎨⎪⎧8(6－n )－8(8－m )＝0，－2(m ＋2)－2n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－2.14．已知向量a ＝(6,2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．[答案] 2x －3y －9＝0[解析] 设B (x ，y )为直线l 上任意一点，则l 的方向向量为AB →＝(x －3，y ＋1)．又a ＋2b ＝(－2,3)，由题意知(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，展开化简得2x －3y －9＝0.15.如图所示，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.[答案] 1＋32 32[解析] ∵AD →＝xAB →＋yAC →，又AD →＝AB →＋BD →， ∴AB →＋BD →＝xAB →＋yAC →，∴BD →＝(x －1)AB →＋yAC →. 又AC →⊥AB →，∴BD →·AB →＝(x －1)|AB →|2. 设|AB →|＝1，则由题意|DE →|＝|BC →|＝ 2.又∠BED ＝60°，∴|BD →|＝62.显然BD →与AB →的夹角为45°，∴由BD →·AB →＝(x －1)|AB →|2，得62×1×cos45°＝(x －1)×12，∴x ＝1＋32.BD →与AC →的夹角易知为45°，则BD →·AC →＝y |AC →|2，得62×1×cos45°＝y ×12，∴y ＝32.综上，x ＝1＋32，y ＝32. 三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°. 求：(1)(2a －b )·(a ＋3b )；(2)|a －b |.[解析] a ·b ＝|a ||b |cos120°＝2×3×(－12)＝－3.(1)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2 ＝8－15－27＝－34. (2)|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4＋6＋9＝19.17．(本小题满分12分)如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值．[解析] 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图，则由已知条件，可得OD →＝(1，12)，OE →＝(12，1)．故cos ∠DOE ＝OD →·OE→|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.18．(本小题满分12分)已知a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .[解析] 设向量b ＝(x ，y )，则OA →＝a －b ＝(－12－x ，32－y )，OB →＝a ＋b ＝(－12＋x ，32＋y )，由题意可知，OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|，从而有⎩⎨⎧(－12－x )(－12＋x )＋(32－y )(32＋y )＝0，(－12－x )2＋(32－y )2＝(－12＋x )2＋(32＋y )2，解之得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－12.所以b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)．19．(本小题满分12分)如图所示，△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →相交于P ，用向量a ，b 表示OP →.[分析] 先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参数的值．[解析] OP →＝OM →＋MP →＝ON →＋NP →.设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m (b －13a )＝13(1－m )a ＋m b ，OP →＝ON→＋nNA →＝12b ＋n (a －12b )＝12(1－n )b ＋n a .∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧ 13(1－m )＝n 12(1－n )＝m⇒⎩⎨⎧n ＝15，m ＝25.∴OP →＝15a ＋25b .20．(本小题满分13分)如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2BA ，∠ABC ＝60°，作AE ⊥BD 交BC 于E ，求BE EC .[解析] 解法一：设BA →＝a ，BC →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则a·b ＝|a ||b |cos60°＝1，BD →＝a ＋b . 设BE →＝λBC →＝λb ，则AE →＝BE →－BA →＝λb －a ，由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0，即(λb －a )(a ＋b )＝0，得λ＝25，所以BE EC ＝2535＝解法二：以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B (0,0)，C (2,0)，A ⎝⎛⎭⎫12，32，D ⎝⎛⎭⎫52，32.又设E (m,0)，则BD →＝⎝⎛⎭⎫52，32，AE →＝⎝⎛⎭⎫m －12，－32，由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0，即52⎝⎛⎭⎫m －12－32×32＝0，得m ＝45，所以BE EC ＝4565＝21．(本小题满分14分)已知平面向量a ＝(32，－12)， b ＝(12，32)．(1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－k )b ，y ＝－s a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数关系s ＝f (t )；(3)若s ＝f (t )在[1，＋∞)上是增函数，试求k 的取值范围． [解析] (1)由题知|a |＝|b |＝1，且a·b ＝32×12－12×32＝0，所以a ⊥b . (2)由于x ⊥y ，则x·y ＝0，从而－s |a |2＋(t ＋sk －st 2)·a·b ＋t (t 2－k )|b |2＝0，故s ＝f (t )＝t 3－kt .(3)设t 1>t 2≥1，则f (t 1)－f (t 2)＝t 31－kt 1－(t 32－kt 2)＝(t 1－t 2)(t 21＋t 1t 2＋t 22－k )．因为s ＝f (t )在[1，＋∞)上是增函数．所以t 21＋t 1t 2＋t 22－k >0，即k <t 21＋t 1t 2＋t 22在[1，＋∞)上恒成立．又t 21＋t 1t 2＋t 22>3，所以只需k ≤3即可．。

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（新教材）北师大版精品数学资料第一章基础知识检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是( ) A ．终边相同的角一定相等 B ．第一象限的角都是锐角 C ．锐角都是第一象限角 D ．小于90°的角都是锐角[答案] C[解析] 终边相同的角相差k ·360°(k ∈Z )，故A 不正确；锐角0°<α<90°，而第一象限角是指终边在第一象限的角，其中有正角、负角，包括锐角，故B 不正确；而C 正确，小于90°的角的包括锐角、负角和零角，故D 不正确．2．(tan x ＋1tan x)cos 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D ．1tan x[答案] D[解析] (tan x ＋1tan x )cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos xsin x )cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.3．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32[答案] B[解析] 由cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝cos A ＝12. 4．已知角α是第二象限角，且|cos α2|＝－cos α2，则角α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[答案] C[解析] 由α是第二象限角知，α2是第一或第三象限角．又∵|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2是第三象限角． 5．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 是( ) A ．[－π，0]上的增函数 B ．⎣⎡⎦⎤－34π，π4上的增函数 C ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的增函数 D ．⎣⎡⎦⎤π4，54π上的增函数 [答案] B[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，∴当函数图像向右平移π4后得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤－34π，π4上是增函数．6．已知函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图像与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值为( )A ．3B ．32C ．23D ．13[答案] A[解析] 函数y ＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2，它与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离恰好为一个周期，由2πω＝2π3，得ω＝3.故应选A.7．(2014·安徽理，6)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f (23π6)＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12[答案] A[解析] 本题考查递归运算，诱导公式． f (236π)＝f (176π)＋sin 176π ＝f (116π)＋sin 116π＋sin 176π＝f (56π)＋sin 56π＋sin 116π＋sin 176π＝0＋12－12＋12＝12.8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称[答案] A[解析] T ＝π⇒ω＝2⇒f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝0. ∴f (x )关于⎝⎛⎭⎫π3，0对称，故选A.9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图像，只要将y ＝f (x )的图像( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[答案] A[解析] 本小题主要考查简单的三角函数的性质和图像． ∵T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 又∵sin(2x ＋π4)错误!sin 错误!＝sin(2x ＋π2)＝cos2x∴ y ＝f (x )图像左移π8个单位即得g (x )＝cos2x 的图像．故选A.10．已知将函数y ＝sin(x －π3)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移π3个单位，所得函数图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝5π3C ．x ＝4π3D ．x ＝π[答案] C[解析] 由已知得y ＝sin(x －π3)→y ＝sin(12x －π3)→y ＝sin[12(x ＋π3)－π3]＝sin(12x －π6)．令12x －π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋4π3(k ∈Z )，即函数的对称轴方程为x ＝2k π＋4π3(k ∈Z )．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．y ＝sin x －|sin x |的值域是________． [答案] [－2,0][解析] 去掉绝对值符号，将函数化简再求值域． y ＝sin x －|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，sin x ≥0，2sin x ，sin x <0.作出函数图像如图所示．12．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所对的扇形面积是________． [答案] 18[解析] ∵l ＝αR ，∴R ＝lα＝6.根据扇形面积公式有S 扇＝12lR ＝12×6×6＝18.13．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为2π，且当x ∈[0，π]时f (x )＝sin x ，则f (53π)＝________.[答案]32[解析] 由题意可知f (53π)＝f (53π－2π)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.14．函数y ＝sin(π6－2x )的单调递减区间是________．[答案] [－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )[解析] y ＝sin(π6－2x )＝－sin(2x －π6)．－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )．解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π(k ∈Z )．15．下列命题中，正确命题的序号是________． ①函数y ＝sin|x |不是周期函数． ②函数y ＝tan x 在定义域内是增函数． ③函数y ＝⎪⎪⎪⎪cos 2x ＋12的周期是π2. ④y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π2是偶函数． [答案] ①④[解析] ②中y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数，③中y ＝⎪⎪⎪⎪cos2x ＋12的周期为π.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设tan(α＋8π7)＝a ，求sin (15π7＋α)＋3cos (α－13π7)sin (20π7－α)－cos (α＋22π7)的值．[解析] 原式＝sin (π＋8π7＋α)＋3cos (α＋8π7－3π)sin (4π－8π7－α)－cos (α＋8π7＋2π)＝－sin (8π7＋α)－3cos (α＋8π7)－sin (8π7＋α)－cos (α＋8π7)＝tan (8π7＋α)＋3tan (8π7＋α)＋1＝a ＋3a ＋1.17．(本小题满分12分)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，当x ∈⎣⎡⎭⎫－π3，53π时函数的最大值与最小值．[解析] 当x ∈⎣⎡⎭⎫－π3，53π时， 12x －π6∈⎣⎡⎭⎫－π3，23π，令t ＝12x －π6， ∵y ＝2sin t 在⎣⎡⎭⎫－π3，23π上的单调性为在⎣⎡⎦⎤－π3，π2上增，在⎣⎡⎭⎫π2，23π上减． ∴当12x －π6＝－π3即x ＝－π3时，函数取最小值，y min ＝2sin(－π3)＝－3，当12x －π6＝π2即x ＝43π时，函数取最大值，y max ＝2. 18．(本小题满分12分)已知|x |≤π6，求函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1的最小值．[分析] 利用换元法转化为求二次函数的最值问题． [解析] 令t ＝sin x ，∵|x |≤π6，∴－12≤sin x ≤12.则y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54(－12≤t ≤12)．∴当t ＝－12时，即x ＝－π6时，f (x )有最小值，且最小值为－(－12－12)2＋54＝14.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a (a 为实常数)．且当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π12时，f (x )的最大值与最小值之和为3.(1)求实数a 的值；(2)说明函数y ＝f (x )的图像经过怎样的变换可以得到函数y ＝sin x 的图像？ [解析] (1)依题意有f (x )＝2sin(2x ＋π3)＋a ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π12⇒2x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6⇒2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， ∴12≤sin(2x ＋π3)≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧f (x )max ＝2＋a f (x )min ＝1＋a ，∴2a ＋3＝3⇒a ＝0. (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π3)．将函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像先向右平移π6个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后把所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的12倍(横坐标不变)，便得到函数y ＝sin x 的图像．20．(本小题满分13分)如图，它表示电流I ＝A sin(ωt ＋φ)在一个周期内的图像．(1)试根据图像写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)在任意一段1100秒的时间内，电流I 有可能既取得最大值|A |，又取得最小值－A 吗？[解析] (1)观察图像，A ＝3， ∵T ＝2(120－150)＝350，∴ω＝2πT ＝100π3.由ω·150＋φ＝π可解得φ＝π3.∴I ＝3sin(100π3t ＋π3)．(2)∵T ＝350>1100，∴不可能在任意一段1100秒的时间间隔内，I 既取得最大值|A |，又取得最小值－|A |.21．(本小题满分14分)已知f (x )＝sin x2|cos x |. (1)判断f (x )的奇偶性；(2)画出f (x )在[－π，π]上的简图；(3)求f (x )的最小正周期及在[－π，π]上的单调区间． [解析] (1)∵cos x ≠0，∴x ≠k π＋π2(k ∈Z )．∴函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，且f (－x )＝sin (－x )2|cos (－x )|＝－sin x 2|cos x |＝－f (x )，∴此函数为奇函数． (2)f (x )＝sin x2|cos x |＝⎩⎨⎧22tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2，－22tan x ⎝⎛⎭⎫－π≤x <－π2或π2<x ≤π，图像如图所示，(3)T ＝2π，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫－π，－π2，⎝⎛⎦⎤π2，π.。