群论第三章‘作业’
群论-第三章 连续转动群 2011.12.7
O
(φ)
1 0 –1
Cz(φ)
9
反演： 反演：
， 由引理1， 由引理 ， ∴ ◆含奇数个反演或镜面反射的操作对应的行列式为 –1。 。 正当操作： 正当操作： 非正当操作： 非正当操作： ； 。
10
引理2 引理2 证明： 证明：
的正交矩阵A对应一个定轴转动。 的正交矩阵 对应一个定轴转动。 对应一个定轴转动
所以 可作为SO(2)群不可约表示的基矢， 群不可约表示的基矢， 可作为 群不可约表示的基矢 的本征函数。 同时也是 和 的本征函数。 对某力学系统，先分析其对称性， 对某力学系统，先分析其对称性，若关于某轴旋转 对称，则角动量守恒， 对称，则角动量守恒，且态函数中必有因子项 。
22
θ
17
群的不可约表示和特征标系： 群的不可约表示和特征标系： 群是Abel群，不可约表示都是 维的。 维的。 群是 群 不可约表示都是1维的
两边对
求导： 求导：
18
（
）
即 而 ∴要求 不可约表示： 不可约表示： 特征标： 特征标：
19
SO(2)群：不同m值对应不同不可约表示，无穷多个。 群 不同 值对应不同不可约表示，无穷多个。 前面 但不能认为 ，这里 ，算符 ≠ 数。 ，
轴对称势场，能量也就具有轴对称性。 轴对称势场，能量也就具有轴对称性。 Cz(φ)：φ是表征群元的一个连续参数。 ： 是表征群元的一个连续参数。 与 ， 类似， 类似，有 =？
ρ(φ) 为φ~ φ+∆φ范围内的群元密度。 范围内的群元密度。 范围内的群元密度
13
若
（无限小的
值）
是一个算符，称为无穷小算符。 是群元算符， 是一个算符，称为无穷小算符。 无穷小算符 是群元算符， 其一阶导数仍然对应一个算符（ 其一阶导数仍然对应一个算符（该算符不一定是无穷 小量，起生成元作用）。 小量，起生成元作用）。 为有限值时， 为有限值时， 可写为 n为正整数 为正整数 当 时，
p144-173讲稿北师大的群论
p144-173讲稿北师大的群论第一篇：p144-173 讲稿北师大的群论第三章完全转动群复习：正当转动矩阵为⎛cosϕ+λ2(1-cosϕ)λμ(1-cosϕ)-νsinϕ2R=μλ(1-cosϕ)+νsinϕcos ϕ+μ(1-cosϕ) ⎝νλ(1-cosϕ)-μsinϕνμ(1-cosϕ)+λsinϕλν(1-cosϕ)+μsin ϕ⎫⎪μν(1-cosϕ)-λsinϕ⎪⎪2cosϕ+ν(1-cosϕ)⎭可以验证满足detR=1，χ(R)=1+2cosϕ用欧拉角表示的正当转动矩阵⎛cosαR(α,β,γ)=sinα0⎝-sinαcosα00⎫⎛cosβ⎪0⎪0 -sinβ1⎪⎭⎝0sin β⎫⎛cosγ⎪10⎪sinγ00cosβ⎪⎭⎝-sinγcosγ00⎫⎪0⎪⎪1⎭⎛cosαcosβcosγ-sinαsinγ=sinαcosβcosγ+cosαsinγcosγsinβ⎝cos αcosβ⎫⎪-sinγsinαcosβ+cosαcosγsinαsinβ⎪⎪sinβsinγcosβ⎭-sinγcosαcosβ-sinαcosγ可以验证 detR(α,β,γ)=1 三维空间中全部的正当转动，构成三维空间中的正当转动群，或称为三维完全转动群。
记作SO(3).三维空间中全部的正当转动与非正当转动，构成一个群，称为三维空间中的正交群，或称为三维转动反演群。
记作O(3).§3.2 完全转动群SO(3)的不可约表示函数变换算符PR Pz,θ=e-iηˆθLz（3.2-5）（3.2-18）Pωˆ,θ=e-iηϖˆθω⋅L下面构造SO(3)群的2l+1维的表示：l一定的2l+1个球谐函数Ylm(θ,ϕ)，构成一个2l+1维的完备的表示空间Pωˆ,αYl(θ,ϕ)=mˆ,α)m'm∑Yl(θ,ϕ)D(ωm'm'l 表示的特征标：Pz,αYl(θ,ϕ)=Pl(cosθ)emmim(ϕ-α)=Yl(θ,ϕ)em-imα得到第m列的表示矩阵元D(z,α)m'm=el-imαδm'm（3.2-28）表示矩阵为⎛e-i(-l)α0 MlD(z,α)=0 M0 0⎝0e-i[-(l-1)]αΛΛO000M001O eΛ-i(l-1)α00⎫⎪0⎪⎪M⎪0⎪⎪M⎪0⎪⎪-ilα⎪e⎭则第l个表示中，转角为α类的特征标为lsin(l+e-imα122)αχ(α)=l∑=sinm=-lα特征标表（示意）α0601212010-11180Λl=01l=13l=25l=37M1Λ局限性：只有奇数维的不可约表示。
群论第3章
NH3
CO，NO，HCN
C3v
C∞v
③ Cnh 群 属于Cnh点群的分子中具有一个Cn轴和一个垂直于Cn轴的σh 对称元素：Cn和σh 因σhCn=Sn，故（n-1）个旋转必产生（n-1）个象转 实际上 Cnh群是Cn群和Cs群的直积，阶次为2n 。
Cnh Cn Cs E, Cn1 , Cn 2 ,..., Cn n1 E, h = E, Cn1 , Cn 2 ,..., Cn n1 , h , hCn1 Sn , hCn 2 ,..., hCn n1
第三章. 分子对称性与分子点群
3.1 分子对称性
利用对称性原理和概念探讨分子的结构和性质，是人们认 识分子的重要途径，是了解分子结构和性质的重要方法。 ① 能简明地表达分子的构型 Ni(CN)42-离子具有D4h点群的对称性，用D4h这个符号就可以 准确地表达 9 个原子在同一平面上， Ni 原子在中心位置， 周围4个-CN完全等同，Ni-C-N都是直线型，互为90°角。 ② 简化分子构型的测定工作
3.分子的对称操作和对称元素：
分子是有限物体，在进行对称操作时，分子中至少有一 点不动------点操作 只有四种类型的对称操作和对称元素 a. 旋转操作------旋转轴（Cn）
b. 反映操作------镜面（ σ ）
c. 反演操作------ 对称心（i） d. 象轴（旋转反映）操作------象转轴（反轴）Sn 右手坐标系：讨论对称操作时，常将分子定位在右手坐 标轴系上，分子的重心处在坐标原点，主轴与Z轴重合。 主轴：分子中轴次最高的轴。
Cnh 待 定 分 子 是 否 直 线 型 N Y i Td
例：有两个分子群 D2 { E，C2(x)，C2(y)，C2(z) }
群论课件
可约性的判定
2 2 2 2
16
第四节 群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标 为D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)= Daa ( R)
a 1 n
式中，R表示G的任一元 Daa是对角元，n是表示空间的维数。 特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用， 第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
8
第二节 舒尔（Schur）引理
1.舒尔引理一 D是群G的一个表示，若存在一个矩阵A，与D中所 有矩阵都对易，即 D(R)A=AD(R) R∈G 则有： (1)若D是不可约的，A必为常数矩阵 A=λ E 式中,λ为标量，E为单位矩阵 (2)若A不是常数矩阵，则D必为可约表示。若A为厄 米矩阵，则约化矩阵就是使A对角化的矩阵。 注：厄米矩阵—矩阵与其共轭矩阵相等 R+=R
21
3.不等价不可约表示的符号
(1)Mulliken符号
符号 A、A1、A2 B（B1，B2，…）
E，T
表示含义 适用情况 +1（对称）、恒等表示、 一维 其他表示 -1（反对称）、其他表 示
二维、三维
脚标加 g，u
有中心反演
(2)Bethe符号
1，2，3， ...
22
4.可约表示的约化（特征标的应用）
19
证明：
(i ( X (i )* ( R) X ( j ) ( R) Duu)* ( R) Daaj ) ( R) R R u a (i ( Duu)* ( R)Daaj ) ( R) ua R
群论-3群的表示理论
则 Â称为线性算符。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
2 矩阵表示 算符的矩阵形式 用矩阵形式表示算符，则需引进坐标系 令e1, e2, …,en为空间Vn上的一组正交归一基矢
Â对任一基矢ej的作用可以写成n个基矢的线性组合：
Aˆ e j Aijei
D'(a) D'(b) = (S -1D(a)S) (S -1D(b)S) = S -1D(a)D(b)S = S -1D(ab)S
= D'(ab) 可见D'也满足同态关系，因此它确实是群G的一个表示。
3 幺正表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
若群G的一个矩阵表示中，所有的矩阵都是幺正矩阵，那么 这个表示就称为群G的一个幺正表示
3 / 2 1/ 2
2 等价表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
矩阵的相似变换： M' = S -1MS
等价表示：两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示 记作D(G) ~ D'(G) 。
相似变换实际上可认为是坐标系的变换（基矢变换）
——故可认为一切等价表示都是相同的表示。
通过相似变换，可由一个矩阵表示得到无穷多个等价的表示 假定D'是由矩阵S决定的相似变换D，则
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
§3.1 线性算符及其矩阵表示
线性代数的准备知识
群的表示理论是群论处理物理问题的基本数学方法 表示理论：用线性变换表示抽象代数
1 线性空间与线性变换
线性空间：V是一个非空集合，F是一个数域 V上定义了加法， z = x+y ，V对加法成Abel群； F与V的元素之间定义了数乘， y = kx ，
群论作业
9. 对S4, 验证Sylow定理的正确性.证明：Sylow定理设G是有限群，则：（i）G至少有一个Sylow p子群；（ii）G的任意两个Sylow p子群在G中共轭；（iii）G的任意p子群均含在某一Sylow p子群中；（iv）G的Sylow p子群的个数n p≡1﹙mod p﹚.利用S4验证Sylow定理的正确性，如下：G＝S4＝﹛﹙1﹚，﹙12﹚，﹙13﹚，﹙14﹚，﹙23﹚，﹙24﹚，﹙34﹚，﹙123﹚，﹙132﹚，﹙124﹚，﹙142﹚，﹙134﹚，﹙143﹚，﹙234﹚，﹙243﹚，﹙12﹚﹙34﹚，﹙13﹚﹙24﹚，﹙14﹚﹙23﹚，﹙1234﹚，﹙1243﹚，﹙1324﹚，﹙1342﹚，﹙1423﹚，﹙1432﹚﹜﹙i﹚︱G︱＝24＝23×3∴G有Sylow2子群和Sylow3子群Sylow2子群的阶＝23＝8∴Sylow2子群中只可能有1阶元、2阶元和4阶元﹙结论1﹚首先，Sylow2子群中肯定有单位元﹙1﹚，若Sylow2子群中有形如“﹙12﹚”的元，则最多只能有两个。
否则会出现三阶元，与结论1矛盾。
那么，即使﹙12﹚﹙34﹚，﹙13﹚﹙24﹚，﹙14﹚﹙23﹚都在Sylow2子群中，Sylow2子群中的元至多只有六个。
由此可判断Sylow2子群中一定有四阶元。
不妨设﹙1324﹚在Sylow2子群中，则﹙1324﹚2＝﹙12﹚﹙34﹚，﹙1324﹚3＝﹙1423﹚，﹙1324﹚4＝﹙1﹚也在Sylow2子群中。
此时Sylow2子群中有4个元﹙1﹚、﹙12﹚﹙34﹚、﹙1324﹚、﹙1423﹚若﹙12﹚在Sylow2子群中，则﹙12﹚﹙12﹚﹙34﹚＝﹙34﹚，﹙12﹚﹙1324﹚＝﹙14﹚﹙23﹚，﹙12﹚﹙1423﹚＝﹙13﹚﹙24﹚也在Sylow2子群中若﹙13﹚在Sylow2子群中，则﹙13﹚﹙12﹚﹙34﹚＝﹙1432﹚，﹙13﹚﹙1324﹚＝﹙124﹚也在Sylow2子群中，与结论1矛盾若﹙14﹚在Sylow2子群中，则﹙14﹚﹙12﹚﹙34﹚＝﹙1342﹚，﹙14﹚﹙1324﹚＝﹙243﹚也在Sylow2子群中，与结论1矛盾综上可得Sylow2子群H1＝﹛﹙1﹚，﹙12﹚﹙34﹚，﹙13﹚﹙24﹚，﹙14﹚﹙23﹚，﹙12﹚，﹙34﹚，﹙1324﹚，﹙1423﹚﹜；同理可得：H2＝﹛﹙1﹚，﹙12﹚﹙34﹚，﹙13﹚﹙24﹚，﹙14﹚﹙23﹚，﹙13﹚，﹙24﹚，﹙1234﹚，﹙1432﹚﹜；H3＝﹛﹙1﹚，﹙12﹚﹙34﹚，﹙13﹚﹙24﹚，﹙14﹚﹙23﹚，﹙14﹚，﹙23﹚，﹙1243﹚，﹙1342﹚﹜；∴Sylow2子群有H1、 H2和H3Sylow3子群的阶＝3∴Sylow3子群中只有1阶元和3阶元首先，Sylow3子群中肯定有单位元﹙1﹚。
群论 第3章 转动群
相对于基点 C 的位移可以写成
定义映射
���⃗���������������(������) = ���⃗���������(������) − ���⃗���������(������) = ���⃗���������(���⃗���) − ���⃗���������(���⃗���)
���⃗���������(���⃗���) ≝ ���⃗���������(���⃗��� + ���⃗���) − ���⃗���������(���⃗���) 则
n1n2
n1n3
n1n2 n22 1 n2n3
n1n3
n2n3 。
n32 1
三维矩阵的恒等式
M3 trMM2 1 trM2 tr M2 M det M 1 0 ， 2
trX n
0
，
t
rX
2 n
2 ， det
Xn
0 ，给出
R* exp{T *} R ，
det R exp{trT} 1。 又 R 是幺正矩阵，可以用幺正相似变换对角化，
R Qdiag{1, ei , ei }Q1 ，
其中 Q 是幺正矩阵； R 的本征值模 1，又由于 R 是实矩阵，其本征值有一对互相复共轭，
另一个为 1。现在
2
转动的夏莱（Chasles）定理。 夏莱定理：刚体最一般位移可以分解为绕基点的转动和随基点的平移。
2． 角位移参数
三维欧氏空间 矢量内积 保内积不变的线性变换 三维实正交群O(3) ≝ {������|���̃��������� = ������3×3, ������������������ ∈ ������} 三维实特殊正交群SO(3) ≝ {������ ∈ O(3)| det ������ = 1}，O(3) ≡ SO(3) ⊗ {1, −1} 自由度为 3。
群论基础-第3章 特征标理论(2)
可知
Di Dj = k Cijk Dk --------------------- (8)
由(4)式
Di = i I
--------------------- (4)
得
i j I I = k Cijk k I
[ 提问: I I = ? ]
i j = k Cijk k
[ 提问: I I = I ]
由第二步的证明结果可知, Ci Cj 必然只包含完整的类
即
Ci Cj = k Cijk Ck
因此, (1)式得证
2, 证明 (2) 式: 令 Di p 为 Ci 中诸群元第 p 个不可约表示 Dp ( np 维)
矩阵的矩阵和 ( 不是直和 ), Di p 亦为 np 维.
Di p = R Dp ( R )
( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, E = 1 = 1 ) 4 3 2 = 2 + 2 3 2 3 2 - 3 - 1 = 0 3 = - 1/2 或 + 1
[ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ]
[ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ]
*
为求2 , 再取
从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *
D3 E 3C2 2C3
3
D1 1 1
1
D2 1 a
b
D3 2 c
d
(3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数
正交性定理: C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij ( 行间正交 ) 完全性定理: j ( h m / h ) i* ( Cm ) i ( Cn ) = mn ( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2 的 a 和 b, 有
群论(1)第三章
2
3.3 SO(3)群的欧拉角表示
绕n轴转动w角也可通过下述步骤实现
1. 绕z轴转动alpha角 R(ez; ®)~r = ~r 0; 0 · ® < 2¼
2. 绕y’轴转动beta角 R(e0y; ¯)~r 0 = ~r 00; 0 · ¯ · ¼
3. 绕z’’轴转动gamma角 R(e0z0; °)~r 00 = ~r 000; 0 · ° < 2¼
y
¡ sin μ
0
cos μ
Á
x
三维转动群的基础表示
R(n^; w) = S(μ; Á)R(ez; w)S¡1(μ; Á)
0
=
B@
n2x(1 ¡ cos w) + cos w nxny(1 ¡ cos w) + nz sin w
nxny(1 ¡ cos w) ¡ nz sin w n2y(1 ¡ cos w) + cos w
¡i 2
(a2
¡
a¤2
+
b2
¡
b¤2)
1 2
(a2
+
a¤2
+
b2
+
b¤2)
i(a¤b ¡ ab¤)
nxnz(1 ¡ cos w) ¡ ny sin w nynz(1 ¡ cos w) + nx sin w
1 nxnz(1 ¡ cos w) + ny sin w nynz(1 ¡ cos w) ¡ nx sin w CA
n2z(1 ¡ cos w) + cos w
nx = sin μ cos Á; ny = sin μ sin Á; nz = cos μ
二维幺模幺正矩阵
群论第三章C
C
B
F
0
0
0
0
0
1
B
D E 1 0 0 0 0 0 C
C F
A B
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
00
D F
EA
F B
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
10
E A
F
B D
C A
0 0
0 1
0 0
1 0
0 0
0 B 0 C
C E 1 0 0 0 0 0 D F D 0 0 0 0 1 0 F
则
DR
S21DRS2
x11 0
0 x21
D
1 R
0
D
0
2R
x1 0
0 x2
D11
0
D12
D21
0
D22
证明：设完全约化后，分解为：
a1个不可约表示矩阵D(1)(R)，其特征标为 (1)(R)
a2个不可约表示矩阵D(2)(R) ，其特征标为 (2)(R)
……………
aC个不可约表示矩阵D(c)(R) ，其特征标为 (c)(R) c
D2(R)
0
D(
R)
D 3 ( R)
0
DS (R)
而且，若不计及D1R, D2R,的次序，则这种分解形
式是唯一的。
若
DR
S11D RS1
D 1 R
0
0
D 2 R
而
x11D1 R x1
D 11 R
0
0
D 12 R
x21D2 R x2
群论基础-第3章 特征标理论(1)
D ( R ) = i D i ( R ) ai ( i = 1 ------ r ) ------ (3) *
(3) 例: D3 群表示的特征标和约化 ( D5 和 D6 前面给出过) 5
类 群元
D4
4
D5
5
D6
6
┌1 0 0┐
┌1 0 0┐
┌1 0 ┐
C1 E ∣ 0 1 0∣ 3 ∣0 1 0∣ 3 ∣
R Dr i * ( R ) D j ( R ) = ij r h / nj (1) 取对角元, 即 = , = [ 思考题: 为什么? ]
则有
R D i * ( R ) D j ( R ) = ij h / nj
(2) 对 求和
[ 思考题: 是何目的? ]
1
D3 1 1 1 -1 -1
D4 1 1 -1
1 -1
D5 2 -2 0
0
0
________________________________________________________
D6 6 2 2
2
0
*
(五) 不可约表示特征标完全性定理
14
一, 关系式 [ 对照(4)’式 C hC i * (C) j (C) = ij h --- (4)’ ] i ( h m / h ) i * ( Cm ) i ( Cn ) = mn ------------------- (8)
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•1•2 + 3•(-1)•0 + 2•1•(-1) = 2 – 2 = 0 若令 i = j = 3, 则有
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•2•2 + 3•0•0 + 2•(-1)•(-1) = 4 + 2 = 6 *
群论第三章B
x + D (1) R −1 = D (2 ) R −1 x +
( )
( )
x + D (1) (R ) = D (2 ) (R )x +
左乘x得：
xx + D (1) (R ) = xD (2 ) (R )x +
∵ D(1)(R)x = xD(2) (R) ，上式为： + D (1) (R ) = D (1) (R )xx + (∀R ∈ G ) xx 据Schur引理1，xx+必为常数矩阵：
∴ 得： D' (R )d = dD' (R )
设对角矩阵d有p个对角矩阵元相等，其他n-p个对角元互不相等， 作
d11 相等 d 22 ⋱ d ' = xdx −1 = d pp d p +1 p +1 ⋱ 0 d nn 0
§3.3 关于有限群表示的基本定理
3.3.1 么正化定理
定义： 定义：若一个群G的表示矩阵都是么正矩阵，则这个表示称为G 的么正表示。 定理1： 定理 ：群的任何一个表示都可以经过适当的相似变换，而变为 与原表示等价的么正表示。 证：对于给定的表示D(G)，要找出相似变换x，使得：
D (R ) = x −1 D(R )x
(
+1 −1
)
= H ，定理得证。
∴以后的所有表示均看成么正表示。
定理2：若群G{A1, A2, …Ak, … Ah}有两组等价的么正表示： D(1)(A1), D(1)(A2), … D(1)(Ak), … D(1)(Ah) D(2)(A1), D(2)(A2), … D(2)(Ak), … D(2)(Ah) 且有矩阵M (或CM，C为常数) 使得 MD(1)(Ak)M-1= D(2)(Ak)(∀Ak ∈G) 则D(1)(G)和D(2)(G)之间相似变换可以借助于一个么正矩阵 来实现。 （证明时用定理：与矩阵元各不相同的对角矩阵可对易的矩 阵必为对角矩阵）
群论 第三章
e2′
e3′ )
=
gCk
(α
)g −1(e1′
e2′
e3′ )
=
gCk
(α )(e1
e2
e3 )
( )[ ] [ ] ( ) = g e1 e2 e3 Cij = e1′ e′2 e3′ Cij 。 (2)
比较上述(1)(2)两式可见，Ck
(α
)
在
o
−
xyz
下的矩阵与
C k1
(α1
)
在
o
−
x′y′z′
1. o − xyz 为右手系，坐标向量为 e1 ， e2 ， e3 。
2. 点操作保持原点不动，镜面与转轴通过原点，原点即反演中心。
3. Ck (α )，σ k ， Sk (α )中的 k 为单位矢。
§ 2 旋转群 SO(3)
设 T 是一个保持原点不动的点操作，即 T e j = e ′j = t1 j e1 + t2 j e2 + t3 j e3 ( j = 1 ,2 ,3)，写成
所以 det M (T ) = ±1 。
定理 1 每一个点操作对应于一个行列式为 + 1 或 − 1的正交矩阵。
例如单位操作 E 、反演操作 I 分别对应于行列式为 + 1 和 − 1的正交矩阵：
M
(E
)
=
1 0
0 1
0 0 ，
0 0 1
M
(I
)
=
−1 0
0 −1
0 0 ，
0
0 1
更一般结论：
引理 2 每一个旋转对应于一个行列式为 + 1 的正交矩阵。
群论第一章‘作业’
1． G 是实数对(a,b ),a ≠0的集合，在G 上定义乘法(a,b )⋅(c,d )=(ac,ad +b )。
证明G 是群。
2． 证明所有的2维转动 (cos θsin θ−sin θcos θ),θ∈,0,2π) 构成群。
3． 证明：上三角矩阵 (1α01),α∈R 在矩阵乘法下构成群。
4． 在偶数阶群G 中，方程g 2=1总有偶数个解。
5． 设G 是一个半群。
如果i) G 中含有左单位元e ，即,∀g ∈G,ea =a ,ii) G 中每个元素a 都有左逆a −1，使得a −1a =e ，试证G 是群。
6． 令G 是半群。
如果对任意a,b ∈G ，方程xa =b 和方程ay =b 在G 内有解，则G 是群。
7． 设A,B 是群G 的两个子群。
试证：AB ≤G 当且仅当 AB =BA 。
8． 如果R 是群G 对于子群A 的右陪集代表元系，则R −1是群G 对于A 的左陪集代表元系。
9． 群G 的指数为2 的子群一定是G 的正规子群。
10． 证明群G 的中心C(G)是正规子群。
11． G 是实数对(a,b ),a ≠0的集合，在G 上定义乘法(a,b )⋅(c,d )=(ac,ad +b )。
试证K =*(1,b )|b ∈R +是G 的正规子群，且G K ⁄≅R ∗。
这里R 是实数集合，R ∗是非零实数的乘法群。
12． 证明正实数乘法群和实数加法群同构。
13． N ⊲G 。
证明映射π:G →G N ⁄,π(g )=gN =g̅是同态映射，并求同态核ker π。
14． 试求群SU (3)={U|U †U =1,det U =1;U jk ∈C,j,k =1,2,3.}的中心。
15． 设f:G →H 是群同态。
证明：如果g ∈G 是有限阶元素，则f (g )的阶整除g 的阶。
16． 如图，正四面体有哪些对称轴？写出正四面体对称群T 中的所有元素，并按图中的顶点编号给出其置换表示。
17． 给出正三角形对称群D 3对于其3阶子群的左诱导表示。
群论第3章
3.1 群的矩阵表示 1 定义 设 G ( E, A, B, C , , ) 为 g 阶群，而
T (T ( E),T ( A),T ( B),T (C ), , )
为一组阶数相同的非奇异方阵，且满足： 若 AB C 则 T ( A)T ( B) T (C ) 且方矩阵组与群同态，即对 G 的每一个元 A ，对应着 方矩阵群的一个矩阵 T ( A), 则称矩阵组 T 是群 G 的一个 矩阵表示。
(3) 镜面反映 ( 镜面通过 e3 轴, 且与 e1, e3 平面成 角 ) 基矢的变换: e1’ = e1 = cos2 e1 + sin2 e2 + 0 e3 e2’ = e2 = sin2 e1 - cos2 e2 + 0 e3 e3 ’ = e1 = 0 e1 + 0 e 2 + 1 e3 则 ┌ e1 ’ ┐ ┌ e1 ┐ ┌ cos2 sin2 0 ┐ ┌ e1 ┐ ∣ e2’ ∣=D’( )∣e2 ∣=∣ sin2 -cos2 0 ∣∣ e2 ∣ └ e3 ’ ┘ └ e3 ┘ └ 0 0 1┘ └ e3 ┘ 因此有 ┌ cos2 sin2 0 ┐ D ( ) = D’ ( ) = ∣ sin2 -cos2 0∣ └ 0 0 1┘
例：H2O分子对称操作群的表示矩阵.
(1) 基矢的选取 (基矢不同, 表矢矩阵也不同)
v’ C2 v
(2) 群元: E , C2 , v , v
(3) 表示矩阵
1 0 0 D( E ) D( E ) 0 1 0 0 0 1
1 0 0 D( C 2 ) D ( C 2 ) 0 1 0 0 0 1
群论第三章A
另：
0 1 1 ⋱ 0 1 1 1 0 1 1 ⋱ 0 1 1 −1 0 1 1 ⋱ 0 1 1 −1 0 1 1 ⋱ 0 1 1 −1 0 1 1 ⋱ 0 1 1 1 0 1 1 ⋱ 0 1 1 1
G6 E A B C
E E A B C F
A A E F D B
B B D E F A C
C C F E B A
D D B A F E
F F C A B E D
C3v:
D C
E , σ , σC32 , σC3 , C32 , C3
此四个群同构，它们的二维表示为G6， D F 三维表示为d3 。
D C
tr ( xD( A)x −1 ) = tr ( x −1 xD( A)) = tr ( D ( A))
3.1.3 可约表示，不可约表示 可约表示， （reducible and irreducible)
设G{E, A, B, …}有两组表示：{D(1)(E), D(1)(A), D(1)(B), …} {D(2)(E), D(2)(A), D(2)(B), …} 则超矩阵（块状对角矩阵）
(1) 单位元素的矩阵表示必为单位矩阵 证：∵ EA=AE=A ∴ D(E)D(A)=D(A)D(E)=D(A) D(E)必是单位矩阵
(2)
D(A ) = [D( A)]
−1
−1
∵ D( A)D A−1 = D AA−1 = D(E ) = I
( )
(
)
D( A)[ D( A)]−1 = I
∴ D A−1 = [D ( A)]
S3： 1 2 3, 1 2 3, 1 2 3, 1 2 3 2 1 3 3 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 , 3 1 2 , 2 3 1
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（2）证明群元和无穷小算符之间的关系为 gˆ( ,a,b) expiapˆ x bpˆb exp iJˆ 。
10．
三维空间的 N
T j1 j2jN
阶张T量j1 j2 按jN转动R群(的)直j1 j1积 R表(示) j变2 j2换，R()
jN
j ,m,m
m1 ,m2
,m3
D j1 m1m1
(
,
,
)D j2 m2 m2
(
,
,
)D j3 m3 m3
(
,
,
)
j1 m1
j2 m2
j3 m3
j1 m1
j2 m2
j3 m3
13． 设 2 j 1个向量{ jm | m j, j 1, , j.}在空间转动下满足
xy''
g(
, a, b)
x y
求群上的不变积分。
csoins
sin cos
x y
ab
5． 作 SE(2) 群在函数空间的表示，
（1)证明低于 n 次的多项式全体构成群表示的不变子空间。
（2）幂次≤1 的多项式（x y ）构成 3 维线性空间，求群相应的三维线性表示。
trJ j JM J j JM 0 ；
M
tr(J
jJk )
J(J
1)(2J 3
1)
jk
；
tr(J
jJk Jl )
i
J(J
1)(2J 6
1)
jkl
；
1
tr(J
jJkJlJm)
1 30
J(J
1)(2J
1)
(2J
2
2J
1)(
jk lm
是它们的共同本征矢，
J 2 jmb j( j 1) jmb ，
J z jmb m jmb ， B jmb b jmb 。
证明算符 1 j2m2 j1, m1, j2 ,m2 | jm b1 j2m2b2 是 SO(3)群的 j 秩不可约张量。
m1 ,m2
此表示是否可约？是否存在等价的酉表示？
6． 三维转动可用 Euler 角参数(������, ������, ������)表示为R(������, ������, ������)。求������, ������, ������对应的无穷小算符。
7． 求 2 维转动群 SO(2)的所有不等价不可约表示。
2
jm kl
)
2( J
1)(J
2)
jl km
……
（提示：SO(3)群的基本迷向张量为 jk 和 jkl ）
12． 证明 D-函数的恒等式：
D j1 m1m1
(
,
,
)D j2 m2 m2
(
,
,
)
j1m1 j2m2 | jm j1m1 j2m2 | jm Dmjm (, , )
10
是自旋为
1/2
的粒子
sz
为
1/2，-1/2
的本征矢。
Ylm
是轨道角
动量本征态。写出总角动量为
j ，z -轴投影为 m ，轨道角动量为 l
j
1
/
2
的态
l
jm j1/
2
。
当空间绕
x
-轴转
角时，
jm l j1/
2
如何改变？
17． （选做）利用同位旋对称性讨论 散射振幅之间的关系。
15．
（选做）求约化矩阵元
n, l J n, l
，
3,1 r
2,1
，
2,1 p 3,1
，
其中 nlm
是氢原子的本征态，
r
nlm
nlm
(r )
；
J
是角动量算符，
r
是位矢算符，
p
是动量算符。球谐函数和径向波函数的性质可到数学手册或量子力学课本中寻找。
16．
（选做）设 10,
T
, Ia
ab0
T b
和 Ib
ab0
T
，并给出它们之间
b ab0
的对易关系。
9．
李群
SE(2)在函数空间的表示为
gˆ(, a, b)
f
(
x)
f (T 1(, a, b)x) ,
其中T ( , a, b) 定义见上题。
（1）求参数 ， a ， b 对应的无穷小算符 Jˆ ， pˆ x ， pˆ y ，并给出对易关系。
jN
T j1 j2jN
。
证明（1）如果张量 T 的某两个指标对称， T 的这两个指标仍然对称。
（2）如果张量 T 的某两个指标反对称， T 的这两个指标仍然反对称。
（3） 如果张量 T 关于某两个指标无迹， T 关于这两个指标也无迹。
11． 转动群的不可约表示生成元记为 J j ，证明
���̂���(���⃗���)|������������〉 = ∑ ������������������′������(���⃗���)|������������′〉
证明
jm
是
Jˆ
2
和
Jˆ
z
������′
的共同本征矢，并求出本征值。
14．
（选做）设
J
2,Jz,B
是一组力学量完全集，
jmb
8． 李群 SE(2) 的一个三维忠实表示为
x'
x cos
y' T ( , a,b) y sin
1
1 0
sin cos
0
a x b y ， 1 1
求无穷小生成元 I
1． 验证 SO(3)群生成元的对易关系：
[ X j , X k ] jkl X l ，
2．
证明
u(
)(
r)u()1
[
J
j
,J
k
]
(R( )r ) 。
i
jkl
Jl
。
3．
证明
u( )u(
)u(
)
1
u(R() )
。
4． 两维实欧氏空间的转动和平移构成欧几里得群 SE(2) ，