2013年八年级数学下册 3.3 分式的加减法(2)导学案(无答案) 北师大版

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北师大版八年级数学下册3.3.2分式的加减法(二)教案

第三章分式总课时：10课时执笔人：使用人：备课时间：第四周上课时间：第六周第5课时：3、3分式的加减法（2）教学目标知识与技能：（1）异分母分式加减法的法则（2）分式的通分（3）经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养教学学习中转化未知问题为已知问题的能力。

（4）进一步通过实例发展学生的符号感。

过程与方法：与上节课类似，通过一些问题的引入与提出，启发学生在已有的知识经验基础上，通过合作交流找到合适的途径，采用的是启发，探索相结合办法。

情感态度与价值观：（1）在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的快乐。

（2）提高学生“用数学”意识。

教学重点：异分母分式加减法教学难点：正确找到最简公分母进行通分和计算教学过程第一环节提出问题（5分钟，教师引导学生进行通分，寻找公分母）做一做1、=-a a 1422、=+ba 113、=+-+bc c b ab b a 4、=+b a a b 23多数同学都能准确，迅速地完成上述四个例题。

但还有一些同学犯了上节课时小明的相同错误。

例第三题acab c b c ab abc ab c b abc c ab abc ab c ab c b abc bc c b ab b a 222222222-=--+=+-+=+-+还有abcab bc ac abc ac ab bc ac abc ac ab abc bc ac bc c b ab b a -+=+-+=+-+=+-+2这就要求在讲述复杂异分母相加减时，需设计一个过渡。

那就是让学生熟悉一下通分的规则。

第二环节通分练习（5分钟，学生独立完成，全班交流）例题通分（1）;41,3,22xy y x x y （2）,5y x -2)(3x y -；（3）;31,31-+x x （4）21,412--a a在做习题之前，由同学们合作交流，总结一下如何通分。

有同学说，通分时，应先确定各个分式的分母的公分母，先确定公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数，再取各分母所有字母因式的最高次幂的积。

八年级数学下册第五章分式与分式方程3分式的加减法教案(新版)北师大版

3 分式的加减法第1课时一、教学目标1.知识与技能（1）同分母的分式的加减法的运算法则及其应用；（2）简单的异分母的分式相加减的运算．2.过程与方法（1）经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感；（2）会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力．3.情感态度及价值观（1）从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识；（2）结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气．二、教学重点、难点重点：（1）同分母的分式加减法；（2）简单的异分母的分式加减法．难点：当分式的分子是多项式时的分式的减法．三、教具准备课件.四、教学过程（一）创设现实情境，提出问题［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节课我们先来看下面的问题：问题1：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条是平路，第二条有1 km的上坡路，2 km的下坡路．小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h，在平路上的骑车速度为2v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h，那么（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间？（2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？问题2：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？［师］问题1，根据题意可得如图3-1的线段图.图3-1（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（v 1+v32）h ．（2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为v23h ．但要求出小丽走哪条路花费的时间少．就需要比较（v 1+v 32）与v23的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出．［生1］如果要比较（v 1+v 32）与v 23的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母．［生2］比较两个数的大小，我们可以用作差法．例如有两个数a ，b ．如果a －b ＞0，则a ＞b ；如果a －b =0，则a =b ；如果a －b ＜0，则a ＜b ．［师］这位同学想的方法很好，显然（v 1+v 32）和v23中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做．［生3］如果用作差的方法，例如（v 1+v 32）－v 23，如何判断它大于零，等于零，小于零呢？［师］我们不妨观察（v 1+v 32）－v23中的每一项都是分式，这是什么样的运算呢？［生］分式的加减法．［师］很好！这正是我们这节课要学习的内容——分式的加减法（板书课题）. 我们再来看一下问题2．［师］问题2中这个人用电脑录入3000字的文稿需a33000小时，利用分式的基本性质化简，即为a1000小时；用手抄3000字文稿则需用a 3000小时，因此这个人录入3000字的文稿比手抄少用（a 3000－a1000）小时．［生］a 3000，a 1000是分式，a 3000－a1000是分式的加减法．［师］但和问题1中加减法比较一下，你会发现什么？［生］问题1中的是异分母的分式相加减，而问题2是同分母的加减法．［师］很好！我们按研究问题的一般思路，从简单的学起即先学习同分母的加减法．（二）讲授新课1．同分母的加减法［师］我们接着看下面的问题：想一想：（1）同分母的分数如何加减？你能举例说明吗？（2）你认为分母相同的分式应该如何加减？做一做：（1）a 1+a2=____________．（2）22-x x －24-x =____________．（3）12++x x －11+-x x +13+-x x =____________．［生］同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减.我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减．［师］谁能试着上台板演“做一做”中的三个小题．［生1］解：（1）a 1+a 2=a 21+=a3；［生2］解：（2）22-x x －24-x =242--x x ；［生3］解：12++x x －11+-x x +13+-x x =1312+-+--+x x x x =12+-x x ．［师］我们一块来讲评一下这三位同学的运算过程．［生4］第（1）小题是正确的．第（2）小题没有把结果化简．应该为原式=242--x x =2)2)(2(--+x x x =x +2．［师］这位同学很仔细．我们学习分式乘除法时就强调运算结果必须是最简的，如果分子、分母中有公因式，一定要把它约去，使分式最简．［生5］第（3）小题，我认为有错误．同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，我觉得（x +1）分母不变，做得对，但三个分式的分子x +2、x －1、x －3相加减应为（x +2）－（x －1）+（x －3）．［师］的确如此，我们知道列代数式时，（x －1）÷（x +1）要写成分式的形式即11+-x x ，因此分数线既有除号的作用，还有括号的作用，即分子、分母应该是一个整体．［生3］老师，是我做错了．第（3）题应为：（3）12++x x －11+-x x +13+-x x =1)3()1()2(+++--+x x x x =1312+-++-+x x x x =1+x x .［师］发现问题，及时改正是一种很好的学习习惯，努力发扬，你一定会取得更大进步．通过前面做一做，想一想，我们可以得出同分母的分式相加减的法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用式子表示是：c a ±c b =cb a ±（其中a 、b 既可以是数，也可以是整式，c 是含有字母的非零的整式）．前面“问题2”现在可以完成了吧！大胆地试一试．［生］a 3000－a 1000=a10003000-=a 2000，所以这个人录入3000字文稿比手抄少用a 2000个小时．2．简单的异分母的分式相加减［生］问题1还没有解决呢？［师］是的，如果分式的分母不同，那么该如何加减呢？同学们不妨凭借自己的数学经验，合作交流，找到一个可行的方法．想一想（1）异分母的分数如何加减？（2）你认为异分母的分式应该如何加减？比如a 3+a41应如何计算．［生］异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法.［生］我认为分式有很多地方和分数相类似，异分母的分式加减是否也可以通过像分数那样通分，将异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法．［师］同学们的想法很好！我这儿就有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减．小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题．小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同：小明：a 3+a 41=a a a 443⋅⋅+a a a ⋅4=2412a a +24a a =2413a a =a413．小亮：a 3+a 41=443⋅⨯a +a 41=a 412+a 41=a 413．你对这两种做法有何评论？与同伴交流．［生1］我觉得这两种做法都有一个共同的目标：把异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法．但我觉得小亮的方法更简单．就像分数运算：61+41．如果61+41=464⨯+646⨯=244+246=2410=125，这样计算就比较麻烦；如果找6和4的最小公倍数12，算起来就很方便，即61+41=262⨯+343⨯=122+123=125．［生2］我认为也是这样，根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．但通分时为了简便，也应该像分数的通分一样，找各个分母的最小公倍数．［师］同学们分析得很有道理，为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的公分母．例如a 3+a 41，a 和4a 的最简公分母是4a ．下面我们再来看几个例子．［例］计算：（1）a 3+a a 515-；（2）12-x +x x --11.［生3］老师，我们组还是联系异分母的分数相加减的方法，利用分数的性质，先通分，转化成同分母的就可以完成．［生4］我们组也是用了将异分母的分式相加减转化成同分母相加减的分式运算．（1）中一个分母是a ，另一个分母是5a ，利用分式的基本性质，只需将第一个分式a 3化成a 553⨯=a515即可．解：（1）a 3+a a 515-=a 515+aa 515- =aa 5)15(15-+=a a 5=51；［生5］我们组也已完成了第（2）题．两个分式相加，一个分式的分母是x －1，另一个分式的分母是1－x ，我们注意到了1－x =－（x －1），所以要把x x --11化成分母为x －1的分式，利用分式的基本性质，得x x --11=)1()1()1()1(-⨯--⨯-x x =11--x x ．所以第（2）题的解法如下：（2）12-x +x x --11=12-x +11--x x =1)1(2--+x x =13--x x .［师］同学们能凭借自己的数学经验，将新出现的数学难题处理的有条有理，很了不起．［生］问题1可以计算出结果啦．（1）小丽当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为v 1+v 32=v 33+v 32=v 323+=v35（h ）．（2）小丽走第一条路所用的时间为v23h ．作差可知v 35－v 23=v 610－v 69=v 61＞0．所以小丽走第一条路花费的时间少，少用v61h ．（三）即时练习1．计算：（1）xb 3－x b ；（2）a 1+a 21；（3）b a a -－a b a -. 2．计算：m n n m -+2+n m n -－m n n -2．（四）课堂小结［师］这节课我们学习了分式的加减法，同学们课堂上思维非常活跃，想必收获一定很大．［生］我觉得我这节课最大的收获是：“做一做”中犯的错误，在今后做此类题的过程中，一定不会犯同样的错误．［生］我的收获是学会用转化的思想将异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加减法．（五）教学反思第2课时一、教学目标1.知识与技能（1）异分母的分式加减法的法则；（2）分式的通分．2.过程与方法（1）经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学习中转化未知问题为已知问题的能力；（2）进一步通过实例发展学生的符号感．3.情感态度及价值观在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的快乐；提高学生“用数学”意识．二、教学重点、难点重点：（1）掌握异分母的分式加减运算．（2）理解通分的意义．难点：（1）化异分母分式为同分母分式的过程．（2）符号法则、去括号法则的应用．三、教具准备课件.四、教学过程（一）创设问题情境，类比异分母分数的加减法引入新课［师］大家知道，对于异分母的分数相加减必须利用分数的基本性质，化成同分母的分数相加减，然后才能运算．上一节课，我们讨论较简单的异分母的分式加减法．下面我们再来看几个异分母的加减法．做一做：尝试完成下列各题：（1）24a －a 1=____________；（2）a 1+b1=____________；（3）ab b a +－bcc b +=____________；（4）a b 3+b a 2=____________．［生］我们已学过分式的一些知识，如分式的概念，分式的约分以及分式的乘除法等．这些知识，都是在与分数类比中得到的．我想异分母的分式的加减法也可类比分数的加减法，应先把异分母的分式加减法转化为同分母的分式的加减法．［师］你的想法很好．在分数的加减法中，我们把异分母的分数化成同分母分数的过程叫做通分．［生］老师，我知道啦，在分式的加减法中，把异分母的分式化成同分母分式的过程也叫做通分．“做一做”中的几个异分母的分式加减法就需要先通分．（二）讲授新课［师］下面可尝试用分式的基本性质，将“做一做”中的异分母分式的加减法通分化成同分母的分式加减法，计算并化简．［生］解：（1）24a －a 1=24a －a a a ⨯⨯1=24a －2aa =24a a -；（2）a 1+b 1=b a b ⨯⨯1+b a a ⨯⨯1=ab b +ab a =abb a +；（3）ab b a +－bcc b +=c ab c b a ⋅+)(－bc a c b a ⋅+)( =abc bc ac +－abc ac ab +=abc ac ab bc ac )()(+-+ =abc ac ab bc ac --+=abc a c b )(-=ac a c -；（4）a b 3+b a 2=b a b b 232⋅⋅+b a a a 233⋅⋅=ab b 622+aba 632=ab a b 63222+ （让同学们分组讨论交流完成，教师可巡视发现问题并解决问题）．［师］把异分母的分式加减法，通过通分，每个分式都化成同分母的加减法．你是怎样通分，把异分母的分式化成同分母的？同学们可根据“做一做”的每个步骤，总结你是怎样通分的？（小组讨论完成）［生］我认为通分的关键是几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母同乘什么样的“适当整式”，才能化成同分母．［生］确定公分母的方法：系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数，再取各分母所有因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母．［师］同学们概括得很好．下面我们来看一个例题：［例1］通分：（1）x y 2，23y x ，xy 41；（2）y x -5，2)(3x y -；（3）31+x ，31-x ；（4）412-a ，21-a分析：通分时，应先确定各个分式的分母的公分母：先确定公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数；再取各分母所有因式的最高次幂的积．学生独立解答，教师巡视、指导.［师］我们再来看一个例题：［例2］计算：（1）31-x －31+x ；（2）412-a －21-a ；（3）用两种方法计算：（23-x x －2+x x ）·x x 42-．（可由学生板演，学生之间互查互纠）．［例3］甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？（2）谁的购货方式更合算？［师生共析］由于两次购买饲料的单价有所变化，可设第一次购买的饲料的单价为m 元/千克，第二次购买的饲料的单价为n 元/千克，甲、乙所购买饲料的平均单价应为两次饲料的总价除以两次所买饲料的总质量．在第（2）题中，比较甲、乙所购饲料的平均单价，谁的平均单价低谁的购货方式就更合算，可以用作差法比较平均单价．（三）课堂练习计算：（1）11-a －212a -；（2）9122-m +m -32；（3）a +2－a -24．（四）课堂小结这节课我们学习了异分母的分式加减法，使我们提高了分式运算的能力．（五）教学反思。

新北师大版八年级下册数学《分式的加减法(2)》教案

第五章分式与分式方程3．分式的加减法（二）一、学生起点分析学生知识技能基础：学生在上节课已经学习过同分母的分式相加减及分母互为相反式分式的加减运算。

在第四章又学习了因式分解，在本章的前面几节课中，回忆了分数的基本性质，学习了分式的基本性质、分式的约分及分式的乘除等。

对这节课异分母分式相加减内容的学习都有了充分的铺垫。

学生活动经验基础：从学习字母表示数开始，学生就经历过许多从实际问题建模的思想，用代数式去解决实际问题的经验。

同时在以前的学习中，学生也经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的活动的经验和合作与交流的能力。

二、教学任务分析分式的加减法是代数变形的基础之一，在学习完同分母分式的加减法法则后必将谈到异分母分式的加减法，教科书安排了两节课的教学，就是不让难度突然加大，而是循序渐进的去接受，允许学生经过一定时间的学习达到《标准》要求的目标，应把教学重点放在落实和理解上。

本节内容不多，教学时对异分母分式加减法法则的探索过程上，要使学生充分活动起来，在观察、类比、猜想、尝试等一系列思维活动中，发现法则、理解法则、应用法则。

本节课的教学目标为：1、会找最简公分母，能进行分式的通分；2、理解并掌握异分母分式加减法的法则；3、经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。

4、培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识。

三、教学过程设计本节课设计了7个教学环节：问题引入——学习新知——运用新知——小试牛刀——分式加减应用——拓展提高——课堂小结。

第一环节问题引入活动内容问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？问题2：异分母分数又是如何进行加减？问题3：那么=+aa 413你是怎么做的？活动目的：通过回忆同分母分式的加减法法则、异分母分数的加减法运算，来引出本节课的内容，同时又对问题3点明了类比的思想方法，使进入新知识的学习顺理成章。

数学初二下北师大版3.3分式的加减法(二)导学案

数学初二下北师大版3.3分式的加减法（二）导学案“1：3”课堂评价式教学模式导学案年级：八年级学科：数学主设计人：王宜军备课组成员：王宜军冯贵峰张居宾甘宝华§3.3.分式的加减法〔二〕【一】导学目标：〔一〕教学知识点：1.异分母的分式加减法的法那么.2.分式的通分.〔二〕能力训练要求：1.经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学习中转化未知问题为问题的能力.2.进一步通过实例进展学生的符号感.〔三〕情感与价值观要求：1.在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的欢乐.2.提高学生“用数学”意识.【二】导学重点：1.掌握异分母的分式加减运算.2.理解通分的意义.【三】导学难点：1.化异分母分式为同分母分式的过程.2.符号法那么、去括号法那么的应用.【四】导学方法：启发、探究相结合【五】导学设计：〔一〕温故：补充练习计算：〔1〕9122-m +m -32;〔2〕a +2－a -24.〔3〕11-a －212a- 〔四〕拓展：【一】请你填一填〔1〕异分母分式相加减，先________变为________分式，然后再加减. 〔2〕分式xy 2,y x +3,y x -4的最简公分母是________. 〔3〕计算：222321xyz z xy yz x +-=_____________.〔4〕计算：)11(1xx x x -+-=_____________ 〔5〕.假如x ＜y ＜0，那么x x ||+xy xy ||化简结果为____________. .【二】判断题〔1〕a b a b a a b a a b a --+=--+=0〔〕〔2〕11)1(1)1(1)1()1(1)1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x 〔〕〔3〕)(2121212222y x y x +=+〔〕〔4〕222b a c b a c b a c +=-++〔〕【三】认真选一选〔1〕假如x ＞y ＞0,那么x y x y -++11的值是〔〕 A.零 B.正数C.负数 D.整数〔2〕甲、乙两人分别从相距8千米的两地同时动身，假设同向而行，那么t 1小时后，快者追上慢者；假设相向而行，那么t 2小时后，两人相遇，那么快者速度是慢者速度的〔〕A.211t t t +B.121t t t +C.2121t t t t +-D.2121t t t t -+ 【四】请你来运算1.化简〔1〕〔21222---+x x x x 〕÷x 2〔2〕13112-+-+x x x ·341222+++-x x x x 〔3〕))((1))((1))((1b c a c c a b c b b c a b a a --++--++--+2.化简求值当x =21时，求1121122-+-++-x x x x x 的值. 【五】解答题1.计算： (3)232323194322---+--+x x x xx (4)(x +1－13-x )÷222-+x x 2.化简求值： (2+1111+--a a )÷(a －21a a -)其中a =2. 3.b a b a +-=+411，求b a a b +的值 . 六、活动与探究：假设)1)(1(3-+-x x x =1+x A +1-x B ，求A 、B 的值.。

数学北师大版八年级下册《分式的加减法(二)》导学案

《分式的加减法（二）》导学案学习目标：1、探索分式运算法则，进一步培养代数化归意识，发展合情推理能力。

2、掌握异分母分式加减法法则，会进行异分母分式加减法运算，理解其算理，进一步发展运算能力。

3、能解决一些与异分母分式加减有关的简单实际问题，体会分式的模型作用。

学习重点：会进行异分母分式的加减法运算，能解决简单的实际问题。

学习难点：能将异分母分式转化成同分母分式并熟练的进行异分母分式的运算。

一、自学感悟：1．根据，的分式可以化为的分式，这一过程叫做通分.2．异分母分式通分时，通常取（）作为它们的共同分母.3．异分母分式相加减，先化为，然后再按进行计算.二、自我检测：1．241a a -= ；11a b+= . 2．分式35,3,x a bx c ax b -的最简公分母是（） A.5abx B.15ab 5x C.15abx D.15ab 3x3．化简11123x x x ++等于（） A ．12x B ．32x C ．116x D ．56x4．计算：23124ab a +=________．三、展示点拨：1: 计算315(1)5a a a -+ ()11233x x --+ ()221342a a a ---2:小刚家和小丽家到学校的路程都是3km ，其中小丽走的是平路，骑车速度是2v /km h .小刚需要走1 km 的上坡路、2km 的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v /km h ，在下坡路上的骑车速度为3v /km h .那么（1）小刚从家到学校需要多长时间？（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？四、训练拓展：1．若222222m xy y x y x y x y x y--=+--+，则m =________． 2．计算22b a b a b-++得（） A ．22a b b a b -++ B ．a b + C ．22a b a b++ D ．a b - 3．已知3a b +=，1ab =，则a b b a+的值等于________． 4．计算（1）32b a a b + （2）21211a a---5．用两种方法计算：x x x x x x 42232-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--6．计算：211x x x ---．。

数学131《分式的加减法》教案(北师大版八年级下)

第四课时●课题§3.3.1 分式的加减法（一）●教学目标（一）教学知识点1.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用.2.简单的异分母的分式相加减的运算.（二）能力训练要求1.经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感.2.会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力.（三）情感与价值观要求1.从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识.2.结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气.●教学重点1.同分母的分式加减法.2.简单的异分母的分式加减法.●教学难点当分式的分子是多项式时的分式的减法.●教学方法启发与探究相结合●教具准备投影片四张：第一张：提出问题，（记作§3.3.1 A）;第二张：想一想，做一做，（记作§3.3.1 B）；第三张：想一想，（记作§3.3.1 C）;第四张：议一议，（记作§3.3.1 D）;第五张：例1，记作（§3.3.1 E）；第六张：补充练习，（记作§3.3.1 F）.●教学过程Ⅰ.创设现实情境，提出问题［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节课我们先来看下面的问题：（出示投影片 §3.3.1 A ）问题一：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km ，其中第一条是平路，第二条有1 km 的上坡路、2 km 的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2 v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间? （2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？问题二：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a 字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？［生］问题一，根据题意可得下列线段图：（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（v 1+v32）h . （2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为v23h .但要求出小丽走哪条路花费的时间少.就需要比较（v 1+v 32）与v23的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出. ［生］如果要比较（v 1+v 32）与v23的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母.［生］比较两个数的大小，我们可以用作差法.例如有两个数a ,b . 如果a －b ＞0，则a ＞b ; 如果a －b =0,则a =b ；如果a －b ＜0,则a ＜b .［师］这位同学想得方法很好，显然（v 1+v 32）和v23中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做.［生］如果用作差的方法，例如（v 1+v 32）－v23，如何判断它大于零，等于零，小于零呢？［师］我们不妨观察（v 1+v 32）－v23中的每一项都是分式，这是什么样的运算呢？［生］分式的加减法.［师］很好！这正是我们这节课要学习的内容——分式的加减法（板书课题）我们再来看一下问题二.［生］问题二中这个人用电脑录入3000字的文稿需a 33000小时，利用分式的基本性质化简，即为a1000小时；用手抄3000字文稿则需用a 3000小时，因此这个人录入3000字的文稿比手抄少用（a 3000－a1000）小时.［生］a 3000,a 1000是分式，a 3000－a1000是分式的加减法. ［师］但和问题一中加减法比较一下，你会发现什么？［生］问题一中的是异分母的分式相加减，而问题二是同分母的加减法.［师］很好！我们按研究问题的一般思路，从简单的学起即先学习同分母的加减法. Ⅱ.讲授新课 1.同分母的加减法［师］我们接着看下面的问题（出示投影片§3.3.1 B ）想一想（1）同分母的分数如何加减？你能举例说明吗？（2）你认为分母相同的分式应该如何加减？做一做（1）a 1+a2=____________. （2）22-x x －24-x =____________.（3）12++x x －11+-x x +13+-x x =____________. ［生］同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减，例如134+133－1317=131734-+=－1310. 我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减. ［师］谁能试着到黑板上板演“做一做”中的三个小题. ［生1］解：（1）a 1+a 2=a 21+=a3; ［生2］解：（2）22-x x －24-x =242--x x ;［生3］解：12++x x －11+-x x +13+-x x =1312+-+--+x x x x=12+-x x . ［师］我们一块来讲评一下上面三位同学的运算过程.［生］第（1）小题是正确的.第（2）小题没有把结果化简.应该为原式=242--x x =2)2)(2(--+x x x =x +2.［师］这位同学很仔细.我们学习分式乘除法时就强调运算结果必须是最简的，如果分子、分母中有公因式，一定要把它约去，使分式最简.［生］第（3）小题，我认为也有错误.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，我觉得（x +1）分母不变，做得对，但三个分式的分子x +2、x －1、x －3相加减应为（x +2）－（x －1）+（x －3）.［师］的确如此，我们知道列代数式时，（x －1）÷（x +1）要写成分式的形式即11+-x x ，因此分数线既有除号的作用，还有括号的作用，即分子、分母应该是一个整体.［生］老师，是我做错了.第（3）题应为：（3）12++x x －11+-x x +13+-x x =1)3()1()2(+++--+x x x x=1312+-++-+x x x x=1+x x ［师］发现问题，及时改正是一种很好的学习习惯，努力发扬，你一定会取得更大进步. 通过前面做一做，想一想，我们可以得出同分母的分式相加减的法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示是：c a ±c b =cb a ±（其中a 、b 既可以是数，也可以是整式，c 是含有字母的非零的整式）. 前面问题二现在可以完成了吧！大胆地试一试. ［生］a 3000－a 1000=a 10003000-=a 2000，所以这个人录入3000字文稿比手抄少用a2000个小时. 2.简单的异分母的分式相加减［生］问题一还没有解决呢？［师］是的，如果分式的分母不同，那么该如何加减呢？同学们不妨凭借自己的数学经验，合作交流，找到一个可行的方法.出示投影片（§3.3.1 C ）想一想（1）异分母的分数如何加减？（2）你认为异分母的分式应该如何加减？比如a 3+a41应如何计算. ［生］异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法［生］我认为分式有很多地方和分数相类似，异分母的分式加减是否也可以通过像分数那样通分，将异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法.［师］同学们的想法很好！我这儿就有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减.（出示投影片 §3.3.1 D ）小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题.小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同：小明：a 3+a 41=a a a 443⋅⋅+a a a ⋅4 =2412a a +24a a =2413a a =a413. 小亮：a 3+a 41=443⋅⨯a +a 41=a 412+a 41=a413. 你对这两种做法有何评论？与同伴交流.［生］我觉得这两种做法都有一个共同的目标：把异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法.但我觉得小亮的方法更简单.就像分数运算：61+41.如果61+41=464⨯+646⨯=244+246=2410=125，这样计算就比较麻烦；如果找6和4的最小公倍数12，算起来就很方便，即61+41=262⨯+343⨯=122+123=125.［生］我认为也是这样，根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.但通分时为了简便，也应该像分数的通分一样，找各个分母的最小公倍数.［师］同学们分析得很有道理，为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的公分母.例如a 3+a41，a 和4a 的最简公分母是4a .下面我们再来看几个例子. 出示投影片（§3.3.1 E ）［例1］计算：（1）a 3+a a 515-;（2）12-x +xx --11 ［生］老师，我们组还是联系异分母的分数相加减的方法，利用分数的性质，先通分，转化成同分母的就可以完成.［生］我们组也是用了将异分母的分式相加减转化成同分母相加减的分式运算.［例1］中的第（1）题，一个分母是a ,另一个分母是5a ，利用分式的基本性质，只需将第一个分式a3化成a 553⨯=a515即可. 解：（1）a 3+a a 515-=a 515+aa 515-=a a 5)15(15-+=a a 5=51;［生］我们组也已完成了第（2）题.两个分式相加，一个分式的分母是x －1,另一个分式的分母是1－x ，我们注意到了1－x =－（x －1），所以要把xx --11化成分母为x －1的分式，利用分式的基本性质，得x x --11=)1()1()1()1(-⨯--⨯-x x =11--x x.所以第（2）题的解法如下：（2）12-x +x x --11=12-x +11--x x =1)1(2--+x x =13--x x［师］同学们能凭借自己的数学经验，将新出现的数学难题处理的有条有理，很了不起. ［生］问题一可以出来结果啦.（1）小丽当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为v 1+v 32=v 33+v 32=v 323+=v35h. （2）小丽走第一条路所用的时间为v23h. 作差可知v 35－v 23=v 610－v 69=v 61＞0.所以小丽走第一条路花费的时间少，少用v61h. Ⅲ.应用、升华 1.随堂练习第1题计算：（1）x b 3－x b ; （2）a 1+a 21;（3）b a a -－ab a-解：（1）x b 3－x b =x b b -3=x b2;（2）a 1+a 21=a 22+a 21=a 212+=a 23;（3）b a a -－a b a -=b a a -－b a a--=b a a a ---)(=ba a -2.2.补充练习（出示投影片§3.3.1 F ）计算：m n n m -+2+n m n -－m n n-2.解：m n n m -+2+m n n --－m n n -2=mn n n n m ---+2)(2=m n n m --=mn m n ---)(=－1 Ⅵ.课时小结［师］这节课我们学习了分式的加减法，同学们课堂上思维非常活跃，想必收获一定很大.［生］我觉得我这节课最大的收获是：“做一做”中犯的错误，在今后做此类题的过程中，一定不会犯同样的错误.［生］我的收获是学会用转化的思想将异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加减法. …… Ⅴ.课后作业习题3.4第1、2、3题. Ⅵ.活动与探究已知x +y 1=z +x 1=1,求y +z1的值. ［过程］已知条件实际上是一个方程组，我们可以取其中两个方程x +y 1=1,z +x1=1，由这两个方程把y 、z 都用x 表示后，再求代数式的值.［结果］由x +y 1=1,得y =x-11, 由z +x 1=1,得z =x x 1-. 所以y +z 1=x -11+1-x x =11--x +1-x x =11--x x =1.●板书设计§3.3.1 分式的加减法（一）分数的加减法分式的加减法同分母分母不变，分子相加减分母不变，分子相加减. 异分母转化为同分母转化为同分母做一做：（学生板演）（1）a 1+a2（2）22-x x －24-x（3）12++x x －11+-x x +12+-x x ［例1］计算：（1）a 3+a a 515- （2）12-x +xx --11注意：1°分数线的括号作用，突出分子是整体. 2°计算结果要化成最简形式.。

北师八年级下册数学教案设计3.3.2分式加减法(二)

北师八年级下册数学教案设计分式的加减法(二)第五课时4●课题5分式的加减法〔二〕●教学目标6〔一〕教学知识点7 1.异分母的分式加减法的法那么.8 2.分式的通分.9〔二〕能力训练要求101.经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学11习中转化未知问题为问题的能力.122.进一步通过实例开展学生的符号感.13〔三〕情感与价值观要求141.在学生已有数学经验的根底上，探求新知，从而获得成功的快乐.152.提高学生“用数学〞意识.16●教学重点171.掌握异分母的分式加减运算.182.理解通分的意义.19●教学难点201.化异分母分式为同分母分式的过程.212.符号法那么、去括号法那么的应用.22●教学方法23启发、探索相结合24●教具准备25投影片五张26第一张：做一做，〔记作§A〕27第二张：例1,〔记作§B〕28第三张：例2，〔记作§C〕29第四张：例3，〔记作§D〕30第五张：补充练习，〔记作§E〕31●教学过程32.创设问题情境，类比异分母分数的加减法引入新课33［师］大家知道，对于异分母的分数相加减必须利用分数的根本性质，化成同分母的34分数相加减，然后才能运算.35 上一节课，我们讨论较简单的异分母的分式加减法.下面我们再来看几个异分母的加减法.〔出示投影片§A〕36 做一做37 尝试完成以下各题：1（ 1〕a2－a =____________；（ 2〕1+1=____________;a b〔3〕ab－bc =____________;ab bc〔4〕b+ a=____________. 3a 2b. ［生］我们已学过分式的一些知识，如分式的概念，分式的约分以及分式的乘除法等这些知识，都是在与分数类比中得到的 .我想异分母的分式的加减法也可类比分数的加减法，应先把异分母的分式加减法转化为同分母的分式的加减法 .［师］你的想法很好.在分数的加减法中，我们把异分母的分数化成同分母分数的过程1/6叫做通分.［生］老师，我知道啦，在分式的加减法中，把异分母的分式化成同分母分式的过程也叫做通分.“做一做〞中的几个异分母的分式加减法就需要先通分 .Ⅱ.讲授新课［师］下面可尝试用分式的根本性质，将“做一做〞中的异分母分式的加减法通分化成同分母的分式加减法，计算并化简 .［生］解：〔 1〕4－1= 4－1a= 4 －a4 aa 2aa 2aaa 2a 2=2;a〔2〕1+1=1b +a 1=b +aaba b a b ab ab=b=;ab〔3〕ab －bc =(a b)c －a(b c)ab bc abc abc= a cbc －abac abcabc(ac bc) (abac) =abcacbc abac =abcb(c a)=abcc a=ac4〕b +a =b2b +a3a =2b 2+3a 23a 2b 3a2b3a2b6ab6ab2b 2 3a 2=6ab.〔让同学们分组讨论交流完成，教师可巡视发现问题并解决问题〕［师］把异分母的分式加减法，通过通分，每个分式都化成同分母的加减法.你是怎样通分，把异分母的分式化成同分母的？同学们可根据“做一做〞的每个步骤，总结你是怎样通分的？〔小组讨论完成〕［生］我认为通分的关键是几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母同乘以什么样的“适当整式〞，才能化成同分母.［生］确定公分母的方法：系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数，再取各分母所有因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母 .［师］同学们概括得很好.下面我们来看一个例题〔出示投影片§ B 〕［例1］通分：〔1〕y,x2,1；2x3y 4xy〔2〕53xy ,(yx)2;2/6〔3〕1,1x ;3x 3 1 4〕a 24,a2 分析:通分时，应先确定各个分式的分母的公分母：先确定公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数；再取各分母所有因式的最高次幂的积 .解：〔1〕三个分母的公分母为 12xy 2，那么yy 62=6y 3 2;=6y 22x 2x 12xyx =x 4x=4x 2 2 3y 22;3y 4x 12xy1 = 13y = 3y4xy12xy 24xy3y 〔2〕因为〔y －x 〕2=〔x －y 〕2，所以两个分母的公分母为〔x －y 〕2.55(x y)5(xy)==2;xy(xy)(xy)(xy) 3 3(yx)2=(xy)2.〔3〕两个分母的公分母为〔 x+3〕〔x －3〕=x 2－9.1x3x 3==;x3(x3)(x3)x 2 91 x 3x 3=(x3)(x3) =.x3 x 2 9 〔4〕因为a 2－4=〔a+2〕〔a －2〕,所以两个分母的公分母为a 2－4.1=1 ;a 244 a 21=a2= a 2.a2(a2)(a2)a 24［师］我们再来看一个例题〔出示投影片§C 〕［例2］计算：〔1〕x 1 － x 1 ;3 3〔2〕1 － 1 ;a 2 a 24〔3〕用两种方法计算：〔3x－x〕·x 2 42 xx .x2〔可由学生板演，学生之间互查互纠〕.解：〔1〕1 － 1 = x3 －x3 x3(x3)(x3)x3(x3)(x3)(x 3)(x 3) =6=x292 9x〔2〕1 － 1a 2 a 243/6北师八年级下册数学教案设计分式的加减法(二)1 (a 2)= (a 2)(a2) a 1 =(a 2)(a 2)a 1=－(a 2)(a 2) 〔3〕方法一：〔按运算顺序，先计算括号里的算式〕〔 3x － x 〕· x 242 2xx x〕·x2=〔3x(x 2) － x(x 2) 4(x2)(x2)(x2)(x2) x(3x 2 6x) (x 2 2x) · (x 2)(x2)=(x2)(x2)x2x 2 8x=x =2x+8.方法二：〔利用乘法分配律〕.〔 3x － x 〕· x 242 2xx x=3x(x2)(x2)－x(x2)(x2)(x 2) x(x2) x=3〔x+2〕－〔x －2〕=3x+6－x+2=2x+8.出示投影片〔§D 〕［例 3］甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购置两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购置1000千克，乙每次用去800元，而不管购置多少饲料.〔1〕甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？〔2〕谁的购货方式更合算？［师生共析］由于两次购置饲料的单价有所变化，可设第一次购置的饲料的单价为 m 元/千克，第二次购置的饲料的单价为n 元/千克，甲、乙所购置饲料的平均单价应为两次饲料的总价除以两次所买饲料的总质量.在第〔2〕题中，比较甲、乙所购饲料的平均单价，谁的平均单价低谁的购货方式就更合算，可以用作差法比较平均单价 .解：〔1〕设两次购置的饲料单价分别为 m 元/千克和 n 元/千克〔m,n 是正数，且 m ≠n 〕甲两次购置饲料的平均单价为1000m 1000n=mn〔元/千克〕1000 22乙两次购置饲料的平均单价为800 22mn〔元/千克〕800 800=m nm n （ 2〕甲、乙两种饲料的平均单价的差是m n －2mn 2mn4/6北师八年级下册数学教案设计分式的加减法(二)=(m m)2 －4mn2(m n) 2(m n)= m 2 2mn n 2 4mn2(m n)=(m n)22(m n)由于m 、n 是正数，因为m ≠n 时，(mn)2也是正数，即m n －2mn＞0，因此2(m n)2 mn乙的购置方式更合算.Ⅲ.课堂练习1.随堂练习第1题第〔2〕小题：〔2〕a 1 － 1 21 a 2解：原式=1 －2a 1 a21=a 1－2(a 1)(a1)a 21= a 1－a 221a 21a 1 ( 2) a 3a 21=a 21 2.补充练习〔出示投影片§ E 〕计算：〔1〕12+2 ;mm 293〔2〕a+2－4.2 a解：〔 1〕1229+mm 23 =1223)(m+(m 3)(m3) =122(m 3)3)(m+3)(m 3) (m 3) (m 12 2(m 3)=3)(m 3)(m6 2m=3)(m3)(m2(m3)=3)(m3)(m=－2.m34 =a2－4〔2〕a+2－2 2a 1a5/6北师八年级下册数学教案设计分式的加减法(二)=(2 a)(2a)－ 4a2 a 2 4a 2 4a 2 ( 1)=2 a=(1)(2a) a 2=2 .课时小结这节课我们学习了异分母的分式加减法，使我们提高了分式运算的能力 .Ⅴ.课后作业习题第1、2、3、4题Ⅵ.活动与探究假设 x3 = A +B，求A 、B 的值.(x1)(x1)x 1 x1［过程］此题把一个真分式化成两个局局部式之和的形式，这里A 和B 都是待定系数，待定系数可根据对应项的系数来求解.［结果］右式通分，得x3A(x 1) B(x1)(x=(x.1)(x1)1)(x1)因为左右恒等且分母相同，故分子应恒等，即 x －3≡A 〔x －1〕+B 〔x+1〕所以x －3=〔A+B 〕x+〔－A+B 〕A B 1对应系数比较，得A B 3 A 2解得（ B1（所以A=2，B=－1 （ ●板书设计（ §分式的加减法〔二〕（异分母的分式相加减（ (根据分式的根本性质)—通分（同分母的分式相加减（ 2.［例1］通分1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔略〕［例2］计算〔1〕 1－1;x 3x 3〔2〕1－12 42a a〔3〕〔 3x－ x〕·x 24.x2x 2x［例3］〔略〕6/6。

八年级数学下册《分式的加减》导学案(2) 北师大版

八年级数学下册《分式的加减》导学案（2）北师大版（二）自学导读学习目标1、熟练掌握异分母分式的加减法;2、明确分式混合运算的顺序;3、熟练地进行分式的混合运算、重点：熟练地进行分式的混合运算、难点：熟练地进行分式的混合运算、读书思考1、回顾异分母分数的加减法：异分母分数相加减,先 ,化为分数,然后按照的加减法则进行计算、2、认真阅读P82-83的内容，回答:异分母分式的加减法则是什么?探究1:计算分析:本题中的两个分式的分母都是多项式,它们的分母分别是 ,能分解因式的是 ,将它分解因式为 ;选取它们的公分母是 ;两个分式通分后分别为、请你写出完整的计算过程解:思考:当相加减的分式的分母为多项式时,要先 ,再确定 ,进行通分,然后按照同分母分式的加减法则进行计算、探究2:甲乙两名采购员同去一家饲料公司两次购买饲料,两次饲料的价格分别为m元/千克和n元/千克（m、n为正数，m≠n），两名采购员的购买方式不同，其中甲每次买1000千克，乙每次用去元。

求甲乙所购饮料的平均价格是多少？（要想求出平均价格，应先知道哪些量）归纳小结异分母分式的加减法法则是什么? 练习巩固1、下列计算正确的是 ( )A B C D2、计算通过本节课的学习,我们知道了:1、异分母分式的加减法则;2、各分母的系数都是整数时通常取它们的系数的作为最简化分母的系数;凡是在各个分母中出现的字母(或式子)取其指数最大值作为最简化分母的一个因式;当分母是多项式时,应先 ,再确定最简公分母、课后巩固达标测试1、计算的结果正确的是 ( )A 0 B C D2、的最简公分母是 ;3、 ,则m= ;4、化简的结果是；5、计算：6、甲乙两港分别位于长江的上下游，相距skm一艘游轮往返其间，如果游轮在静水中的速度是akm/h,水流速度是bkm/h，求该游轮往返两港一趟所需的时间？这节课你学会了什么？还有什么疑问？。

北师大版八下数学3.3分式的加减

八年级下学期数学学科导学稿集体备课个人空间一、课题：3.3.2 分式的加减法（二）二、学习目标1.分式的基本性质.2.利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形.3.了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法.4.使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式.三、教学过程〔温故知新〕（1）同分母分式的加减法法则是什么(2)做一做（1）22a b a b a b --- （2）m n m n m n n m m n ++----（3）24a －a 1 （4）a 1＋b 1〔导学释疑〕异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减法，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算例２计算（１）1133x x --+；（２）22142a a a ---〔巩固提升〕随堂练习1、计算：（1）32b a a b + （2）21211a a+-- 2、用两种方法计算：234()22x x x x x x---+〔检查反馈〕1.分式434y x a+，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2.若ab=2,a+b=-1,则b a 11+ 的值为 ;3.计算=-+ab b a 6543322 ;4.化简分式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x xy y x y x xy y x 44的结果是 5.化简2142122+⋅--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a a a a ;反思栏。

八年级数学下册 3.3分式的加减(二)导学案(无答案) 北师大版

§3.3. 分式的加减法（二）一、导学目标：（一）教学知识点：1.异分母的分式加减法的法则.2.分式的通分.（二）能力训练要求：1.经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学习中转化未知问题为已知问题的能力.2.进一步通过实例发展学生的符号感.（三）情感与价值观要求：1.在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的快乐.2.提高学生“用数学”意识.二、导学重点：1.掌握异分母的分式加减运算. 2.理解通分的意义.三、导学难点：1.化异分母分式为同分母分式的过程. 2.符号法则、去括号法则的应用.四、导学方法：启发、探索相结合五、导学设计：（一）温故：补充练习计算：（1）9122-m +m -32; （2）a +2－a -24. （3）11-a －212a-（四）拓展：一、请你填一填（1）异分母分式相加减，先________变为________分式，然后再加减. （2）分式xy 2,y x +3,yx -4的最简公分母是________.（3）计算：222321xyz z xy yz x +-=_____________.（4）计算：)11(1xx x x -+-=_____________ （5）.如果x ＜y ＜0，那么xx ||+xy xy ||化简结果为____________. .二、判断题（1）a b a b a a b a a b a --+=--+=0（）（2）11)1(1)1(1)1()1(1)1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x （）（3）)(2121212222y x y x +=+（）（4）222b a c b a c b a c +=-++（）三、认真选一选（1）如果x ＞y ＞0,那么x y x y -++11的值是（） A.零 B.正数 C.负数 D.整数（2）甲、乙两人分别从相距8千米的两地同时出发，若同向而行，则t 1小时后，快者追上慢者；若相向而行，则t 2小时后，两人相遇，那么快者速度是慢者速度的（）A.211t t t +B.121t t t +C.2121t t t t +-D.2121t t t t -+ 四、请你来运算1.化简（1）（21222---+x x x x ）÷x 2 （2）13112-+-+x x x ·341222+++-x x x x（3）))((1))((1))((1b c a c ca b c b bc a b a a --++--++--+2.化简求值当x =21时，求1121122-+-++-x x x x x 的值.五、解答题1.计算： (3)232323194322---+--+x x x x x(4)(x +1－13-x )÷222-+x x2.化简求值： (2+1111+--a a )÷(a －21a a-)其中a =2.3.已知b a b a +-=+411，求b aa b+的值. 六、活动与探究：若)1)(1(3-+-x x x =1+x A +1-x B ，求A 、B 的值.。

【教育资料】北师大版八年级下册第五章第三节 3.3 分式的加减法(三) 导学案(无答案)学习专用

复习引入
我学习我快乐
计算： (1) 2 1 ；
x 1 (3) m n m2 .
m n m n m2 n2
(20 1 a 3 a2 a a2 1
算中一些问题作；再一次的重申，如
分子添括号啊，结果约分等。
活动目的：通过这三题及时检验学生掌握的情况，同时巩固例题提到的
活动内容
分式、异分母分式 4、会运用分式建立数学模型，从而解决实际问题，增强学生用数学的例
5
(1) y 1 ； xy x xy x
的加减法运算法则，来加深学生对
意思。
(3) a 1 a 1 . a 3 a2 9 a 3
所学知识的认识，重难点预设
也为这节课铺下重点：能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值；理论基础。同时又
例 6 已知 x 2 ，求 x y y2 的值.
y
x y x y x2 y2
与同伴交流你有几种解法？做一做
根据规划设计，某工程队准备修建一条长 1 120 m 的盲道．由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加 10 m，从而缩短了工期. 假设原计划每天修建盲道 x m，那么（1）原计划修建这条盲道需要多少天？实际修建这条盲道用了多少天？（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
教育资源
导学案
年级：八学科：数学课题：3.3 分式的加减法（三）主备人：审核人：
审核时间：
课型：
学生姓名：
班级：
小组：
编号：
授课人：
学习目标
合作探究
团结就是力量
活动目的：
1、会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加

数学北师大八年级下册《分式的加减法》教案

《分式的加减法》教案课时安排说明本节内容一共安排了三课时.第一节课阐述同分母的分式加减法的运算法则及分母互为相反式的分式加减法运算.第二节课则阐述异分母分式的通分、加减法的运算法则及简单的应用，第三节课则提升到分母有公因式的分式加减法、分式与整式的加减运算、分式的求值及应用.这样安排，给学生一个简单到复杂的认识过程，有了第一节的铺垫，使学生对分式加减法的掌握并不觉得难，且本节对于第三章分式的学习有着至关重要的作用，是后面根据实际生活问题列出分式方程，并求出正确答案的基本功，教学时必须踏踏实实.一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，在初一学习了整式的加减，在上一章学习了因式分解，本章又学习了分式及其乘除，都为这一节课的学习做好了铺垫.由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的要害.学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历过许多类比和猜测的活动，如实数的加减运算类比整式的合并同类项；由n10在0>n时的值的情况去猜测0<n时的情况，由正整数相乘去发现规律猜测与负整数的乘法等，这些活动经验都为本节学习有很好的启迪.二、教学任务分析同分母分式的加减法是最简单的，也是学习异分母的分式加减的基础，所以作为起始节也是工具节内容，它就要求教学时务必使学生理解它并且能够灵活运用，对分母互为相反式的分式加减，能明白改变运算符号的实质.因此，本节课的教学目标定位为：1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则.2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算.3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想.三、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：情景引入——同分母加减——练习巩固——拓展提高——课堂小结——布置作业第一环节情景引入活动内容做一做：=+3231 =-7271 =+8381=-125127 猜一猜=+a a 21 =-x x 12 =+bb 2523 =-y y 3437活动目的：通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性.从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容.活动的注意事项：通过人人都可以入手的做一做，让学生回答，可以使学生很快进入状态又不觉得困难.而后两个运算后要约分，学生极有可能报出没有约分的答案.因此，类比时注意引导学生，正确猜想，约分是分数的必要步骤哦，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫.运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为：a c b a c a b ±=±第二环节同分母加减活动内容学习了同分母分式加减法的法则，是否会用还得先讲再练：例1(1)ab b a ab b a -++； (2)2422---x x x ； (3)n m n m n m n m ++-+-42； (4)131112+-++--++x x x x x x . 活动目的：教学生如何运用法则进行运算，通过这4道例题，让学生学会加减法运算并注意运算时可能出现的问题. 活动的注意事项：在进行运算时若分子是多项式的，分子要先带括号，再去括号后合并同类项；运算结果也类比分数加减法的结果，要化成最简形式，即约去分子与分母的所有公因式——化简.第三环节练习巩固活动内容练一练 (1)x m n x m -+-1； (2) ba b ab b a a ++++222； (3)y x y x y x y x -+---2722；活动目的:通过3道题的演练巩固，让学生对同分母分式的加减法有更好的认识与掌握.活动的注意事项：通过学生的解答情况，对法则做进一步的讲解，力图让学生理解并掌握同分母分式的加减法法则. 第四环节拓展提高活动内容例2 计算 (1)y x y y x x -+-； (2)a a a a ----12112.练一练(1)a b b b a a 222-+-； (2)x x x --+-1112 (3)mn n n m n m n n m ---+-+22 活动目的：这是一组分母互为相反式的分式加减的题目，实则是简单的异分母分式的加减法，有了例题的讲解，又有练一练的巩固，应该能够掌握，第三小题有意增加难度，在于学生能力的提高.解答时只要将后一分母前的运算符号变为相反，即可按同分母分式的加减法法则进行运算.旨在初现异分母分式加减的运算，实则化成同分母的分式，这要求学生能够熟练掌握，.为下节课一般的异分母加减做好准备.活动的注意事项：通过例题来理解分母互为相反式的分式加减运算，改变运算符号实质等同于乘以-1，也就是后面要讲的通分，学生刚接触肯定是略有难度，应精心讲解，耐心指导学生完成练一练.第五环节课堂小结活动内容：1、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减.分母不变，把分子相加减.2、学会用转化的思想将分母互为相反式的分式加减运算转化成同分母分式的加减法.3、分子是多项式时，一定记得添括号后再进行加减运算.4、类比方法很多时候是对的哦，学会用这种方法去分析和解决问题.活动目的：结合本节课的学习，同学生一起总结主要内容喝关键点，从而使学生对所学内容能更好的理解并掌握，激发学生学好数学的积极性.活动的注意事项：留有时间小结，同时学生自发老师补充，对3要特别提出，它对运算的正确性至关重要.第六环节布置作业1、P 118-119 随堂练习和习题5.42、提升训练(选做)(1)n m m n m n m n n m -+----99695 (2)y x y x y x y x y x y x 442+--++--+- 四、教学反思1、不能脱离教材：教材为我们提供了最基本有效的教学素材，我们应该充分挖掘这些素材，把他们转化成本节课的实质内容，并能湿透教学目标，让学生通过对这些素材的把握，做到举一反三，灵活运用.2、因势利导，由浅入深：鼓励学生通过与分数类比，抛出分式加减运算法则后，应该先讲用再让用，顺水推舟给出例2，演练结合，讲纠互补，注意对关键点的引导.3、课后多虑：作为运算，那还是应该多练，扎实基本功，毕竟课堂时间有限.《3 分式的加减法》教案第1课时教学目标（一）教学知识点1．同分母的分式的加减法的运算法则及其应用．2．简单的异分母的分式相加减的运算．（二）能力训练要求1．经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感．2．会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力．（三）情感与价值观要求1．从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识．2．结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气．教学重难点教学重点：1．同分母的分式加减法．2．简单的异分母的分式加减法．教学难点：当分式的分子是多项式时的分式的减法．教学过程Ⅰ．创设现实情境，提出问题［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节课我们先来看下面的问题：问题一：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3km，其中第一条是平路，第二条有1km的上坡路，2km的下坡路．小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在平路上的骑车速度为2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h，那么（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间？（2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？问题二：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a 字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？［生］问题一，根据题意可得下列线段图：（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（v 1+v 32）h ．（2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为v 23h ．但要求出小丽走哪条路花费的时间少．就需要比较（v 1+v 32）与v23的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出．［生］如果要比较（v 1+v 32）与v 23的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母．［生］比较两个数的大小，我们可以用作差法．例如有两个数a ，b ．如果a －b ＞0，则a ＞b ；如果a －b =0，则a =b ；如果a －b ＜0，则a ＜b ．［师］这位同学想得方法很好，显然（v 1+v 32）和v23中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做．［生］如果用作差的方法，例如（v 1+v 32）－v23，如何判断它大于零，等于零，小于零呢？［师］我们不妨观察（v 1+v 32）－v 23中的每一项都是分式，这是什么样的运算呢？［生］分式的加减法．［师］很好！这正是我们这节课要学习的内容——分式的加减法（板书课题）我们再来看一下问题二．［生］问题二中这个人用电脑录入3000字的文稿需a 33000小时，利用分式的基本性质化简，即为a1000小时；用手抄3000字文稿则需用a 3000小时，因此这个人录入3000字的文稿比手抄少用（a 3000－a1000）小时．［生］a 3000，a 1000是分式，a 3000－a 1000是分式的加减法．［师］但和问题一中加减法比较一下，你会发现什么？［生］问题一中的是异分母的分式相加减，而问题二是同分母的加减法．［师］很好！我们按研究问题的一般思路，从简单的学起即先学习同分母的加减法． Ⅱ．讲授新课1．同分母的加减法［师］我们接着看下面的问题：想一想：（1）同分母的分数如何加减？你能举例说明吗？（2）你认为分母相同的分式应该如何加减？做一做：（1）a 1+a2=____________．（2）22-x x －24-x =____________．（3）12++x x －11+-x x +13+-x x =____________．［生］同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减，例如：134+133－1317=131734-+=－1310．我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减．［师］谁能试着到黑板上板演“做一做”中的三个小题．［生1］解：（1）a 1+a 2=a 21+=a3；［生2］解：（2）22-x x －24-x =242--x x ；［生3］解：12++x x －11+-x x +13+-x x =1312+-+--+x x x x=12+-x x ．［师］我们一块来讲评一下上面三位同学的运算过程．［生］第（1）小题是正确的．第（2）小题没有把结果化简．应该为原式=242--x x =2)2)(2(--+x x x =x +2．［师］这位同学很仔细．我们学习分式乘除法时就强调运算结果必须是最简的，如果分子、分母中有公因式，一定要把它约去，使分式最简．［生］第（3）小题，我认为也有错误．同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，我觉得（x +1）分母不变，做得对，但三个分式的分子x +2、x －1、x －3相加减应为（x +2）－（x －1）+（x －3）．［师］的确如此，我们知道列代数式时，（x －1）÷（x +1）要写成分式的形式即11+-x x ，因此分数线既有除号的作用，还有括号的作用，即分子、分母应该是一个整体．［生］老师，是我做错了．第（3）题应为：（3）12++x x －11+-x x +13+-x x =1)3()1()2(+++--+x x x x =1312+-++-+x x x x =1+x x ［师］发现问题，及时改正是一种很好的学习习惯，努力发扬，你一定会取得更大进步．通过前面做一做，想一想，我们可以得出同分母的分式相加减的法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示是：c a ±c b =cb a ±（其中a 、b 既可以是数，也可以是整式，c 是含有字母的非零的整式）．前面“问题二”现在可以完成了吧！大胆地试一试．［生］a 3000－a 1000=a10003000-=a 2000，所以这个人录入3000字文稿比手抄少用a 2000个小时．2．简单的异分母的分式相加减［生］问题一还没有解决呢？［师］是的，如果分式的分母不同，那么该如何加减呢？同学们不妨凭借自己的数学经验，合作交流，找到一个可行的方法．想一想（1）异分母的分数如何加减？（2）你认为异分母的分式应该如何加减？比如a 3+a41应如何计算．［生］异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法［生］我认为分式有很多地方和分数相类似，异分母的分式加减是否也可以通过像分数那样通分，将异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法．［师］同学们的想法很好！我这儿就有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减．小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题．小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同：小明：a 3+a 41=a a a 443⋅⋅+aa a ⋅4 =2412a a +24a a =2413a a =a413．小亮：a 3+a 41=443⋅⨯a +a41 =a 412+a 41=a 413．你对这两种做法有何评论？与同伴交流．［生］我觉得这两种做法都有一个共同的目标：把异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法．但我觉得小亮的方法更简单．就像分数运算：61+41．如果61+41=464⨯+646⨯=244+246=2410=125，这样计算就比较麻烦；如果找6和4的最小公倍数12，算起来就很方便，即61+41=262⨯+343⨯=122+123=125．［生］我认为也是这样，根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．但通分时为了简便，也应该像分数的通分一样，找各个分母的最小公倍数．［师］同学们分析得很有道理，为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的公分母．例如a 3+a 41，a 和4a 的最简公分母是4a ．下面我们再来看几个例子．［例］计算：（1）a3+a a 515-；（2）12-x +x x --11 ［生］老师，我们组还是联系异分母的分数相加减的方法，利用分数的性质，先通分，转化成同分母的就可以完成．［生］我们组也是用了将异分母的分式相加减转化成同分母相加减的分式运算．［例］中的第（1）题，一个分母是a ，另一个分母是5a ，利用分式的基本性质，只需将第一个分式a 3化成a 553⨯=a515即可．解：（1）a 3+a a 515-=a 515+aa 515- =a a 5)15(15-+=a a 5=51；［生］我们组也已完成了第（2）题．两个分式相加，一个分式的分母是x －1，另一个分式的分母是1－x ，我们注意到了1－x =－（x －1），所以要把xx --11化成分母为x －1的分式，利用分式的基本性质，得x x --11=)1()1()1()1(-⨯--⨯-x x =11--x x ．所以第（2）题的解法如下：（2）12-x +x x --11=12-x +11--x x =1)1(2--+x x =13--x x ［师］同学们能凭借自己的数学经验，将新出现的数学难题处理的有条有理，很了不起．［生］问题一可以出来结果啦．（1）小丽当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为v 1+v 32=v 33+v 32=v 323+=v 35h ．（2）小丽走第一条路所用的时间为v 23h ．作差可知v 35－v 23=v 610－v 69=v 61＞0．所以小丽走第一条路花费的时间少，少用v 61h ． Ⅲ．应用、升华1．计算：（1）xb 3－x b ；（2）a 1+a 21；（3）b a a -－a b a - 2．计算：m n n m -+2+n m n -－m n n -2． Ⅳ．课时小结［师］这节课我们学习了分式的加减法，同学们课堂上思维非常活跃，想必收获一定很大．［生］我觉得我这节课最大的收获是：“做一做”中犯的错误，在今后做此类题的过程中，一定不会犯同样的错误．［生］我的收获是学会用转化的思想将异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加减法． Ⅴ．活动与探究已知x +y 1=z +x 1=1，求y +z1的值．第2课时教学目标（一）教学知识点1．异分母的分式加减法的法则．2．分式的通分．（二）能力训练要求1．经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学习中转化未知问题为已知问题的能力．2．进一步通过实例发展学生的符号感．（三）情感与价值观要求1．在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的快乐．2．提高学生“用数学”意识．教学重难点教学重点1．掌握异分母的分式加减运算．2．理解通分的意义．教学难点1．化异分母分式为同分母分式的过程．2．符号法则、去括号法则的应用．教学过程Ⅰ．创设问题情境，类比异分母分数的加减法引入新课［师］大家知道，对于异分母的分数相加减必须利用分数的基本性质，化成同分母的分数相加减，然后才能运算．上一节课，我们讨论较简单的异分母的分式加减法．下面我们再来看几个异分母的加减法．做一做：尝试完成下列各题：（1）24a －a 1=____________；（2）a 1+b1=____________；（3）ab b a +－bcc b +=____________；（4）a b 3+b a 2=____________．［生］我们已学过分式的一些知识，如分式的概念，分式的约分以及分式的乘除法等．这些知识，都是在与分数类比中得到的．我想异分母的分式的加减法也可类比分数的加减法，应先把异分母的分式加减法转化为同分母的分式的加减法．［师］你的想法很好．在分数的加减法中，我们把异分母的分数化成同分母分数的过程叫做通分．［生］老师，我知道啦，在分式的加减法中，把异分母的分式化成同分母分式的过程也叫做通分．“做一做”中的几个异分母的分式加减法就需要先通分．Ⅱ．讲授新课［师］下面可尝试用分式的基本性质，将“做一做”中的异分母分式的加减法通分化成同分母的分式加减法，计算并化简．［生］解：（1）24a －a 1=24a －a a a ⨯⨯1=24a －2a a =24a a -；（2）a 1+b 1=b a b ⨯⨯1+b a a ⨯⨯1=ab b +ab a =ab b a +；（3）ab b a +－bcc b +=c ab c b a ⋅+)(－bc a c b a ⋅+)( =abc bc ac +－abc ac ab +=abc ac ab bc ac )()(+-+ =abc ac ab bc ac --+=abc a c b )(-=ac a c - （4）a b 3+b a 2=b a b b 232⋅⋅+b a a a 233⋅⋅=ab b 622+aba 632=ab a b 63222+ （让同学们分组讨论交流完成，教师可巡视发现问题并解决问题）．［师］把异分母的分式加减法，通过通分，每个分式都化成同分母的加减法．你是怎样通分，把异分母的分式化成同分母的？同学们可根据“做一做”的每个步骤，总结你是怎样通分的？（小组讨论完成）［生］我认为通分的关键是几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母同乘以什么样的“适当整式”，才能化成同分母．［生］确定公分母的方法：系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数，再取各分母所有因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母．［师］同学们概括得很好．下面我们来看一个例题：［例1］通分：（1）x y 2，23y x ，xy 41；（2）y x -5，2)(3x y -；（3）31+x ，31-x ；（4）412-a ，21-a 分析：通分时，应先确定各个分式的分母的公分母：先确定公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数；再取各分母所有因式的最高次幂的积．［师］我们再来看一个例题：［例2］计算：（1）31-x －31+x ；（2）412-a －21-a ；（3）用两种方法计算：（23-x x －2+x x ）·x x 42-．（可由学生板演，学生之间互查互纠）．［例3］甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？（2）谁的购货方式更合算？［师生共析］由于两次购买饲料的单价有所变化，可设第一次购买的饲料的单价为m 元/千克，第二次购买的饲料的单价为n 元/千克，甲、乙所购买饲料的平均单价应为两次饲料的总价除以两次所买饲料的总质量．在第（2）题中，比较甲、乙所购饲料的平均单价，谁的平均单价低谁的购货方式就更合算，可以用作差法比较平均单价．Ⅲ．课堂练习1．随堂练习11-a －212a- 2．补充练习计算：（1）9122-m +m-32；（2）a +2－a -24． Ⅳ．课时小结这节课我们学习了异分母的分式加减法，使我们提高了分式运算的能力．Ⅴ．活动与探究若)1)(1(3-+-x x x =1+x A +1-x B ，求A 、B 的值．。

山东省滕州市洪绪中学八年级数学《3.3分式的加减法(2)》导学案(无答案) 北师大版

课题：3.3分式的加减法（2）
【温故】做一做： 1、=-a a 142 2、=+b
a 11 3、=+-+bc c
b ab b a 4、=+b
a a
b 23
【互助】
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

通分
1、（1）;41,3,22xy y x x y （2）,5y x -2)
(3x y -；
（3）;31,31-+x x （4）2
1,412--a a
计算：
2、;3131+--x x
3、;2
1412---a a
4、用两种方法计算：x
x x x x x 4)223(2-∙+--
应用：根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长1120m 的盲道. 由于采用新的
施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m ，从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道x m ，那么（1）原计划修建这条盲道需要多少天？实际修建这条盲道用了多少天？
（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
【达标】
1、计算：（1）912
2-m +m -32
; （2）a +2－a -24
.
（3）11-a －212a -
2.化简求值： (2+11
11
+--a a )÷(a －21a a
-)其中a =2.
3、若)1)(1(3-+-x x x =1+x A +1-x B ，求A 、B 的值.
【评价】
规范：成绩：。