高等数学第一册知识点答疑[1]
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《高等数学》期末辅导答疑
一、（第一章）函数及其图形 1.3 函数、函数的概念，
{以后常常默记（想象）一个中间变量u}
例1-1设
)2( )( , 2)2(2-=+=+x x x f x x x f 则
解：x x x f 2)2(2
+=+
()()()[])2( )( , 2222-=-++=+=x x x f x x x x 所以 例1-2设x x f 2sin )(cos =1)0(,1)(2
=-=f x x f 则
二、(第二章)极限与连续
1. 极限的概念（极限的思想）
2.极限的精确定义不作要求。 ①
↔处的极限”“在点0x 0
0 x x x x 趋（向）于读作记作→，可以理解为：
”几乎是点“的附近”在点“00x x x x ↔
所差无几”与点“0x x ↔。注意0x x ≠
②↔处的右极限”“在点
0x 00+→x x 记作，可以理解为：
000 x x x x x x >↔，但”几乎是点“的右侧附近”在点“ 00, x x x x >↔但所差无几”与点“。注意0x x ≠
③↔处的左极限”“在点
0x 00-→x x 记作，可以理解为：
000 x x x x x x <↔，但”几乎是点“的左侧附近”在点“
00, x x x x <↔但所差无几”与点“。注意0x x ≠
④其它：∞→n ， ∞→x ， +∞→x ， ，-∞→x 等。
3. 画出下列极限的图解： ①A x f x x =→)(lim 0
，A x f x f x x =-=-→)0()(lim 00
0，A x f x f x x =+=+→)0()(lim 00
0，
②
B x f f x ==∞∞
→)(lim )(
B x f f x ==+∞+∞
→)(lim )(，B x f f x ==-∞-∞
→)(lim )(
B y =⇒直线为曲线)(x f y =的水平渐近线
③
±∞=±→)(lim 0
0x f x x 0x x =⇒直线为曲线)(x f y =的铅直（竖直）渐近线
定理：是处极限存在的充要条件在点函数0)(x x f
即等处的左右极限存在且相在点函数,)(0x x f
A x f x x =→)(lim 0
⇔A x f x f x x =-=-→)0()(lim 00 0
且A x f x f x x =+=+→)0()(lim 00
5. 利用（基本初等）函数的图形，写出函数的极限 例如：
0lim =-∞
→x x e ，0lim 2
=-∞
→x x e 2
a r c t a n l i m π
=
+∞
→x x
6、 无穷小与无穷大的概念
无穷小量是极限为零的函数（变量） 无穷大量是指绝对值无限增大的变量
±∞=±→)(lim 0
0x f x x 0x x =⇒直线为曲线)(x f y =的铅直（竖直）渐近线
定理：若
)(x f 为无穷小 0)(≠x f 则
)
(1
x f 为无穷大 若
)(x f 为无穷大 则
)
(1
x f 为无穷小 即：无穷小量与无穷大量的关系：互为倒数（分母不为零） 7.无穷小的比较；0lim 0lim ==βα
设
①⇔的高阶无穷小是较比αβ ()0lim
0=⇔=α
β
αβ ②⇔
是等价无穷小与 βα1lim
~=⇔β
αβα 例题：) 2 ( 1 1 1 2=-→a )(x a )-(x x 则等价，与时，当
解：,12
1 11 lim 1 1 lim 121==-+=-→→a
)(x a ))(x (x-)(x a )-(x x x 由得,2=a
8、极限的计算：
（1） ?lim 110110=++++++--∞→m m m n n n x b x b x b a x a x a ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧><∞==n
m n m n
m b a 当当当00
例15
2
135422lim
22=+-+-∞→x x x x x （均可使用罗比达法则） 例2.） (152lim 2x ∞=+-∞→x x
x ， 9
513942522=+-+-∞→x x x x lim
x
（2）两个重要极限
①
()e x x
x =+→10
1lim 或
e x x
x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞
→11l i m 例1
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→n n n n n
n n n 3331lim 31lim 33
331lim ---∞→=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+e n n
n
例2 计算
1
6x 5373lim +∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛++x x x 解：1
6x 16x 5321lim 5373lim +∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝
⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x x ()4165
32
253x 5321lim e x x x x =⎪⎭⎫
⎝
⎛++=+⋅+⋅+∞→