第九章 欧式空间(第三讲)

（8）
（σ（ α+β ），σ（α+β））=（α+β ，α+β） （9）
（9）式即 （σ(α),σ(α)）+2（σ(α),σ(β)）+（σ(β),σ(β)）= (α,α)+2（ α+β） + (β, β). 利用（7），（8）可得
（σ(α),σ(β)）= (α, β). 可见为正交变换.
例3.1 欧氏空间R2上的旋转变换σ是正交变换. 证明 设变换σ是将向量绕原点按逆时针方向旋转θ角， 容易证明σ为一个线性变换.对于R2的标准正交基
( ), ( ) ( Ax) Ax x A Ax x x ( , ),
T T T T
即知‖σ（α）‖=‖α‖. 4) => 1)对于V中任意向量α, β,由于σ保持心理长度,便有
（σ(α),σ(α)）=(α,α),
（σ(β),σ(β)）=(β, β),
(7)
1 其中 P 0
1 1 -1 . 求出 P 1 0 1 , 便可算出线性变换 1
σ在标准正交基β1，β2下的矩阵为
1 C P BP 0
1
1 1 1 0
2 1 1 0
1 1 1 0
0 . 1
( i ,
j
)
ij ,
i,j=1,2, ·,n, · · i,j=1,2, ·,n, · ·
由σ为正交变换，便知
(
i
), ( j ) ( i , j ) ij ,
故σ（ε1）, σ（ε2）, ·, σ（εn）也是V的标准正交基. · · 2）=>3）设ε1，ε2，· · ·，ε n是V的标准正交基.并设
从几何直观的角度看，旋转变换σ只改变向量的方向， 并不改变向量的长度，因此σ是正交变换. 定义3.2 设σ是欧氏空间V的一个线性变换.如果对于V 中任意向量α, β ，总有 （σ(α), β)= (α, σ(β)），
则称σ为一个对称变换.
定理3.2 n维欧氏空间V的线性变换σ是对称变换的充 分必要条件为: σ在标准正交基的矩阵是对称矩阵. 证明 设ε1，ε2，·，ε n是V的标准正交基,线性变换在 · · 该基下的矩阵为 A ( aij ) nn . 必要性.据设有
1 1 Q AQ
2

. n
令
(1 ,2 ,,n ) ( 1 , 2 ,, n )Q,
由定理2.4知η 1，η2，· ，ηn为标准正交基.再由第八章定 · · 理2.4可知σ在基η 1，η2，· ，ηn下的矩阵恰是对角矩阵∧. · · 定理的证明过程提示了与对角矩阵相应的标准正交基 的求法.主要的工作是求正交矩阵Q ，以它为相似因子的 正交变换把实对称矩阵A化为对角矩阵.这是在第五章中早 已熟知的方法.
作业：标准化作业第9章作业.
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机动
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结束
﹡§3 正交变换与对称变换
本节讨论欧氏空间中两个特殊的线性变换—正交变换 与对称变换. 定义3.1 设σ是欧氏空间V的线性变换.如果对于V中任 意向量α, β都有
（σ（α），σ（β）=（α, β），
则称σ为一个正交变换.
（6）
满足（6）的线性变换σ称为是保持内积的.于是可以说， 正交变换是欧氏空间中保持内积的线性变换. 定理3.1 设σ是n维欧氏空间V的线性变换，则以下各 说法互为充分必要条件：
( ), ( Ax) y x ( Ay) , ( ) ,
T T
因此σ为对称变换. 定理3.3 若σ是n维欧氏空间V的对称变换，则必有V的 标准正交基，使σ在该基下的矩阵为对角矩阵. 证明 任取V的一个标准正交基ε1，ε2，·，ε n ，设σ在 · · 该基下的矩阵为A ，由定理3.2知A为实对称矩阵，于是存 在正交矩阵Q，使
例3.2 设2维欧氏空间V的基α1，α2的度量矩阵为
1 A 1 1 , 2
V的线性变换σ在基α1，α2下的矩阵为
1 B 0 2 , 1Biblioteka Baidu
试判明σ是不是正交变换？是不是对称变换？ 解 先用Schmidt方法将α1，α2正交化，得 β1= α1
2
( 2 , 1 ) ( 1 , 1 )
(
i
),
j

i
, ( j ) ,
i, j 1, 2,, n,
所以A为对称矩阵.
充分性.若A为对称矩阵，即AT= A，对于V中任意向量α, β，设它们在基ε1，ε2，·，εn下的坐标分别为x,y ，则σ(α)， · · σ(β)在基ε1，ε2，·，εn下的坐标分别为Ax, Ay .于是 · ·
C是正交矩阵又是对称矩阵，则σ既是正交变换又是对称变 换.
k(α+β)=k α +k β, k∈R3, α0, β∈V中. C F上R V1 + V2 V1∩ V2 A n维α1，α2 ，· αs α1，α2 ，· αr s＞t · · · · r εN ε1，ε2 ，· · ·，ε n Schmidt P V1⊥V2 ε1，ε2，·，ε n dim(V)ηe1 Ei （i=1,2, ·,n） · · · · E11，E12，E21，E22 R[x]3 k1，k2 ，·，k s · · （ x1 ， x 2， x 3）T ε’1，ε’2 ，ε’3 A B ε’1，ε’2 ，· · ·，ε’ n （ x1′， x 2′，·， x n′）T α1，α2 ，α3 （x1,x2,x3）T · · kστα′ σ（V） γ R[x]n σ（α1），σ（α2），· · ·，σ（αs） σ –1 σ（εi）（i=1，2，·，n ） (σ（ε1）, σ（ε2）, ·, σ（ε n）) · · · · A =（aij）αi τ[f(x)]=f ′ (x) k E k * C ρ ε3 ξχ σ [f(x)] η 1，η2，· ，ηn ，P ε1，ε2，ε3，ε4 η1，η2， η3，η4 λ0 · · σ（α ） σ（β1） λ1 λ2 Vλ1 Vλ2 γ Rn α1，α2 ，· αn g(x) h(x) · · [a1,b1] l1，l2，·ln k1，k2 ，·，k m || kα ||=| k | || α || eα · · · · 0≤θ≤π α⊥β x,y ε1，ε2，ε3 P1，P2，·，Pn ∧ Q · ·
σ（ε1，ε2，·，ε n）= （ε1，ε2，·，ε n） A， · · · ·
即
（σ（ε1）, σ（ε2）,·, σ（εn））=（ε1，ε2，·，ε n） A. · · · ·
由2）已知σ（ε1）, σ（ε2）, ·, σ（εn）也是V的标准正交基. · · 按定理2.4， A必是正交矩阵. 3） => 4)设ε1，ε2，· · ·，ε n是V的标准正交基, α是V中 向量,它在基ε1，ε2，· · ·，ε n下的坐标为x,再设σ在基ε1， ε2，· · ·，ε n下的矩阵为A.于是σ(α)在基ε1，ε2，· · ·，ε n下 的坐标为Ax.又因A为正交矩阵,便有
ε1=（1，0）T ，
有
ε2=（0，1）T ，
( 1 ) cos 1 sin 2 , ( 2 ) sin 1 cos 2 ,
于是σ在ε1 ，ε2下的矩阵为
cos A sin sin . cos
A为正交矩阵，故σ为正交矩阵.
1 2 1 2 1 2 .
由（β1，β1）=（α1，α1）=1知β1是单位向量.又由
1 ( 2 , 2 ) ( 1,1) A 1 1
知β2也是单位向量.于是β1，β2为V的一个标准正交基.且有 （β1，β2）=（α1，α2）P，
1） σ是正交变换； 2） σ把标准正交基化为标准正交基，即若ε1，ε2，·， · · εn是V的标准正交基，则σ（ε1）, σ（ε2）, ·, σ（εn）必是 · · 的标准正交基； 3） σ在标准正交基下的矩阵是正交矩阵； 4） σ保持向量长度，即对V中任一向量α ，总有‖σ （α）‖=‖α‖. 证明 采用循环证法. 1） => 2）设ε1，ε2 ，· · ·，εn是V的标准正交基，则
( i ) a1i 1 a ji j ani n , ( j ) a1 j 1 aij i anj n ,
于是
a ji ( ( i ), j ),
aij ( i , ( j )).
由σ为对称变换知