材料力学-静不定结构
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材料力学(静不定)
引例: 在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠 静力平衡方程无法求得约束反力的例子。“两个和 尚抬水吃，三个和尚没水吃”，恐怕是最早说到超 静定问题的例子了。
静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立 的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部 未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定 结构。 超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独 立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定 全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题.
由位移互等定理：δij＝δji
11 21
12 22
13 23
XX12
12PP
31 32 33 X3 3P
系数矩阵中只有六个独立的系数，且是关于主对角 线的对称矩阵。
先分别计算出系数矩阵及非齐次项的列向量。即可 求出未知量列向量X。
例题 悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。
问题为三次超静定。除掉A 端固支，得到 包含未知反力的静定结构，称为静定基。
利用叠加原理，分别画出外载荷（图b);
支反力X1和X2（图b和图c)单独作用图。
yA
y
P A
X1L3 3EI
X 2L2 2EI
0
A
P A
X1L2 2EI
X2L EI
力法是一种直接求解未知反力的方法。 基本思想:
是以未知约束反力X（反力偶M）为未知数建立 变形方程。
基本原理： 1、对于弹性体，变形量与外力成正比 2、未知力产生的变形量，是单位力产生变形量的X
（M）倍。 3、而单位力产生的变形量可用莫尔积分法求解。
静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立 的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部 未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定 结构。 超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独 立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定 全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题.
由位移互等定理：δij＝δji
11 21
12 22
13 23
XX12
12PP
31 32 33 X3 3P
系数矩阵中只有六个独立的系数，且是关于主对角 线的对称矩阵。
先分别计算出系数矩阵及非齐次项的列向量。即可 求出未知量列向量X。
例题 悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。
问题为三次超静定。除掉A 端固支，得到 包含未知反力的静定结构，称为静定基。
利用叠加原理，分别画出外载荷（图b);
支反力X1和X2（图b和图c)单独作用图。
yA
y
P A
X1L3 3EI
X 2L2 2EI
0
A
P A
X1L2 2EI
X2L EI
力法是一种直接求解未知反力的方法。 基本思想:
是以未知约束反力X（反力偶M）为未知数建立 变形方程。
基本原理： 1、对于弹性体，变形量与外力成正比 2、未知力产生的变形量，是单位力产生变形量的X
（M）倍。 3、而单位力产生的变形量可用莫尔积分法求解。
材料力学简单静不定问题
a
上增加的约束，称为多余约束。相应
的反力称为多余约束力。
F
多余约束并不“多余”，通过增加多
A
CBa
余约束，可提高安全度，减少变形。
a
精品课件
4
2、静不定结构的类型
外力静不定结构
仅在结构外部存在多余约束，即支座反力不能全由静力 平衡方程求出。
q
q
FAx
A
B CD
FAy
FB
FC FD
精品课件
5
2、静不定结构的类型
精品课件
9
m
（基） （相）
X1
P
m
P
X2 X3
精品课件
X1
X1
P
X1
X3
1X02
P X2 X3
X1
P X1
X2 X3
P X1
X2 X3
精品课件
11
静不定次数
1． 外静不定结构 约束反力数-平衡方程数
2 ．内静不定结构 将结构切开一个或n个截面——去掉内部多余约束，使其变 成静定的，则切开截面上内力分量的总数就是静不定次数 内力分量的总数=原内部多余约束数
FN2 l EA
,
B
DlTaDT品,课N件2
3EAalDT,
10
RC
6E
AalDT
5 37 ,
❖第三节 扭转静不定问题
精品课件
38
解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程； 补充方程：由几何方程和物理方程得；
Dl2
FN2l EA
联立静力方程求解得到：
FN15 3F
FN2
6F 5
材料力学第14章(静不定)-06分析
F
A
j2
j1 B
O
F 2
F 2
M (j1 ) Rsinj1
１ A j2
j1
１
O
M (j2 ) Rsinj2
11
2
2 0
M(j1)M(j1)Rdj1
EI
2 R3 EI
2 0
sin2
j1dj1
R3
2 EI
11X1 1F 0
X1
F
[例3] 求解图示超静定结构中拉杆CD的轴力。设刚架ABC的 抗弯刚度为EI，拉杆CD的抗拉刚度为EA。
1
1
X1
F 4
2
F
a
a A
X1
F 4
a
B
1 Fa 4
X1
3qa4 8EI
0
X
1
9qa 16
A
q
X1
9qa 16
q
qa 16
A
X1
9qa 16
B
B
7qa
qa 16
16
qa
16
qa 2
A
X1
9qa 16
16
q
qa 2
B
7qa
qa 16
49qa2 16 512
16
[例5] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。 F
解：①刚架有一个多余约束。
a
a
A
②选取并去除多余约束，代以多
∴变形协调方程
1F 11X1 0 或：11X1 1F 0
——力法正则方程
系数11和Δ1F可由莫尔定理求得 A
(积分或图乘)
F
B
1F
1X1 X1
材料力学 第十四章 静不定问题分析
第十三章
静不定问题分析
思考：计算 BH ，下图相当系统选取是否正确？
M0 3R M0 3R
R A
M0
o
B
对应的单位载荷系统：
R A
o
B
1
Page16
第十三章 例：求B 端反力
q A
l l
静不定问题分析
q A B
FBx
A B 1 B FBy
单位载荷系统 1
相当系统
A B 1
单位载荷系统 2
Page17
F
F
4度内力静不定,加一根二力杆增加一 度静不定
Page 6
第十三章 混合静不定
F
静不定问题分析
F
1（内）＋1（外）＝ 2 度
3（内）＋3（外）＝ 6 度
F
圆环
梁：外3 环：内3 梁环接触：1 3+3+1=7 度
圆环在水平方向有一自由度
Page 7
第十三章
静不定问题分析
混合静不定（梁杆结构）
Page24
第十三章
静不定问题分析
B A R D
例：已知圆环EI，求B、D相对位移d
解：（1）利用对称性，选取相当系统
F
C
F
F
B
B R
F
R A
C
B
A
MA
o
F 2
A
MA
C
MA
MA
F 2
FN A
FN A
A 0
A 0
1 FN A F 2 A C 0
Page25
第十三章 解：（2）利用单位载荷法，计算MB
Page12
第十三章
材料力学第14章(静不定)
a
qa4 8EI
( M1 M1) ( M1 M2) ( M2 M2)
( MF M1)
(MF M2)
⑤代入力法正则方程：
4a3
a3
qa4
3EI
X1 2EI
X2
6EI
0
a3 2EI
X1
a3 3EI
X
2
qa4 8EI
0
X1
1 7
qa
X2
5 28
qa
⑥画弯矩图
A 5qa
28
q
qa
7
B
qa2 qa2 7
1 6
2
B
A
应用叠加法求桁架各杆的内力
( P78)
表14.1
杆件 编号 FNi FNi
1 －F 1
2 －F 1
3
01
401
5 2F 2
6 0 2
FNPi FNi FNi X1
－F/2 －F/2 F/2 F/2
F/ 2 －F/ 2
[题2-43] 求三杆的轴力，各杆的EA相等。 解：
1
2
3
l
a
a
1
A
q
MF图
B
1 2
qa
2
a
a
A
1
B M1图
A
1
M2图
Ba
11
1 EI
1 2
a
2
2 3
a
a
2
a
4a3
3EI
12
1 EI
1 2
a2
a
a3 2EI
22
1 EI
1 2
a2
2 3
a
材料力学 静不定系统
第十三章静不定问题分析§13-1 静不定结构概述1．定义用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统，统称为静不定结构或系统，也称为超静定结构或系统。
2．静定、静不定结构（系统）无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部支承反力与内力都可由静力平衡条件求得，此系统称为静定结构或系统。
静定结构除了变形外，没有可运动的自由度（图12-1（a、b））如解除简支梁的右端铰支座，或解除悬臂梁固端对转动约束，使之成为铰支座，则此时的梁变成了图12.1（c）的可动机构，是几何可变系不能承受横向载荷。
在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系，称为多余约束，并因而产生多余约束反力，则这样的有多余约束的系统，仅利用静力平衡条件无法求得其反力和内力，称为静不定（或超静定）系统，如图12-2。
外静不定：静不定结构的外部支座反力不能全由静力平衡方程求出的情况，常称为外静不定结构（图12-2b，d）内静不定：静不定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况称为内静不定结构（图12-2a，c）。
对于内、外静不定兼而有之的结构，有时称为混合静不定结构。
3．静不定次数的确定1）根据结构约束性质可确定内、外约束力总数，内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为静不定结构的静不定次数。
2）外静不定的判断：根据结构与受力性质，确定其是空间或是平面承载结构，即可确定全部约束的个数。
根据作用力的类型，可确定独立平衡方程数，二者之差为静不定次数。
如图12-3（b），外载荷为平面力系，则为三次外静不定静，而图12-3（c）为空间力系，则为六次外静不定。
3）内静不定次数确定桁架：直杆用铰相连接，载荷只作用于结点，杆只受拉压力的杆系，其基本几何不变系由三杆组成（图12-4a）。
图12-4（b）仍由基本不变系扩展而成，仍是静定系，而（c）由于在基本系中增加了一约束杆，因而为一次超静定。
刚架：杆以刚结点相连接，各杆可以承受拉、压、弯曲和扭转，这样的杆系为刚架（图12-5）。
材料力学 简单静不定问题
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（IT3SM）/ I切TIL 开一处刚性联结，有3个内力分量N、Q、 M，相当于去掉3个 多余约束。
平面问题，多一个闭合框架，就多一3次静不定
M
P
P
N
Q
（4）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆，相当于去掉1个 多余约束。
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ITSM / ITIL
1、静定和静不定结构
F
A
Ba
a
若结构的全部约束反力和内力都可由 静力平衡方程求得，称为静定结构。
F
若结构的约束反力与内力不能仅仅
A
CBa
根据静力平衡方程求出，称为静不
a
定结构或超静定结构。
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补充方程 (3)
FN1 FN3 FN2
E1 A1
E3 A3
aa
、联立方程(1)、(2)、(3)可得:
A
F
x
FN1
FN 2
E1A1F cos2 a 2E1A1 cos3 a E3 A3
; FN3
2E1 A1
E3 A3F
cos3 a
E3 A3
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ITSM / ITIL
1、静定和静不定结构-多余约束
静不定结构ppt课件
2l 1 E2 A2
2E1 A1
q a E1 A1
N2
l 1 E1 A1
2 E2 A2
18
19
求解AB梁的约束反力
P
A
B
解： 一次静不定问题
X1
相当系统
变形条件
AX AP 0
θAP
AP
Pl 2 16 EI
（
）
X1 Pl 0 3 16
X1
θAX
AX
X1l （
3EI
）
X1
3 16
1------------------
力法正则方程 24
* 第一个下标表示位移发生的地点和方向 第二个下标表示位移发生的原因（哪个 力引起的）
* X1—— 多余未知力。可以是外约束力，也 可是内约束力（广义的。可以是 力，可以是力偶）
* 1—— 原静不定结构上，X1作用处沿X1方向 的实际位移(广义：线位移、角位移、绝对位移、 相对位移）
X1 1 4． 、 11 1P 代入正则方程，求解。
5PAl 3
X1 16 Al 3 3Ia
34
5．
N BD
X1
16
5PAl 3 Al 3 3Ia
（拉力）
l M1
N1
MP
NP
Pl 2
X1
P
X1
N1 1 X1 X1
P
法2 1． 相当系统
2． 正则方程：11X1 1P 0
3．
求：q充分大时，杆的内力N1、N2
q
1 a
2
1
a
16
变形协调条件的建立
17
解：
q
a
a
N1
《静不定结构》课件
梁的截面性质
梁的截面性质对其承受弯曲力和剪切力的能力至关重要。了解梁的截面性质对设计和分析静 不定梁非常重要。
内力和应力计算
1
截面受弯矩时的应力
2
静不定梁在受弯矩作用下会发生应力
分布。了解截面受弯矩时的应力对梁
的设计和分析非常重要。
3
截面受拉和受压时的应力
在计算静不定结构的内力和应力时， 需要考虑梁的截面受拉和受压时的应 力分布。
截面受剪力时的应力
剪力是静不定结构中的常见力。了解 截面受剪力时的应力分布有助于分析 和设计静不定结构。
静不定梁的分析方法
静最大值三种方法
静不定梁的分析可以使用三种 常见的方法：弯矩法、剪力法 和位移法。
数值分析方法
数值分析方法可以应用于解决 更复杂的静不定结构问题。它 运用数学模型和计算方法，提 供准确的结果。
静力学平衡定理
静力学平衡定理是分析静不定结构的基础。它要 求结构的总受力和总弯矩为零，以保持结构的平 衡。
应力分析
法向应力和切向应力
法向应力和切向应力是静不定结构中的重要概念。它们描述了物体内部受力的方向和大小。
支反力和弯矩方程
支反力和弯矩方程是通过应力分析来计算静不定结构中的支撑力和弯曲力矩的工具。
总结与展望
1 总结
通过本课程，你学习了静不定结构的基本概念、力学原理和应力分析方法。
2 展望
静不定结构是一个复杂而有趣的领域，还有许多进一步的研究和应用。希望你可以继续 探索并深入了解这个领域。
3 悬臂梁上的集中力和分布力
在悬臂梁上施加集中力和分布力会对梁产生不同的弯曲和剪力，通过实例分析可以更好 地理解这些力的影响。
静不定结构设计与应用
设计流程
梁的截面性质对其承受弯曲力和剪切力的能力至关重要。了解梁的截面性质对设计和分析静 不定梁非常重要。
内力和应力计算
1
截面受弯矩时的应力
2
静不定梁在受弯矩作用下会发生应力
分布。了解截面受弯矩时的应力对梁
的设计和分析非常重要。
3
截面受拉和受压时的应力
在计算静不定结构的内力和应力时， 需要考虑梁的截面受拉和受压时的应 力分布。
截面受剪力时的应力
剪力是静不定结构中的常见力。了解 截面受剪力时的应力分布有助于分析 和设计静不定结构。
静不定梁的分析方法
静最大值三种方法
静不定梁的分析可以使用三种 常见的方法：弯矩法、剪力法 和位移法。
数值分析方法
数值分析方法可以应用于解决 更复杂的静不定结构问题。它 运用数学模型和计算方法，提 供准确的结果。
静力学平衡定理
静力学平衡定理是分析静不定结构的基础。它要 求结构的总受力和总弯矩为零，以保持结构的平 衡。
应力分析
法向应力和切向应力
法向应力和切向应力是静不定结构中的重要概念。它们描述了物体内部受力的方向和大小。
支反力和弯矩方程
支反力和弯矩方程是通过应力分析来计算静不定结构中的支撑力和弯曲力矩的工具。
总结与展望
1 总结
通过本课程，你学习了静不定结构的基本概念、力学原理和应力分析方法。
2 展望
静不定结构是一个复杂而有趣的领域，还有许多进一步的研究和应用。希望你可以继续 探索并深入了解这个领域。
3 悬臂梁上的集中力和分布力
在悬臂梁上施加集中力和分布力会对梁产生不同的弯曲和剪力，通过实例分析可以更好 地理解这些力的影响。
静不定结构设计与应用
设计流程
材料力学11-第十一章静不定结构
第十一章静不定结构目录第十一章静不定结构 (3)§11.1 静不定结构概述 (3)一、基本构件 (3)二、静不定结构 (3)§11.2 用力法解静不定结构 (4)一、只有一个多余约束的情况 (4)二、有多个多余约束情况 (5)§11.3 对称及反对称性质的利用 (7)§11.4 连续梁及三弯矩方程 (8)第十一章 静不定结构§11.1 静不定结构概述一、 基本构件1. 桁架：直杆通过铰节点连接，何载作用在节点上，每一杆件只承受拉伸或压缩。
2. 刚架：直杆通过刚节点连接，每一杆件可以承受拉伸、压缩、弯曲和扭转。
3. 连续梁：连续跨过若干支座的梁。
二、 静不定结构1. 静不定结构：支座反力不能完全由静力平衡方程求出的结构。
分外力静不定结构和内力静不定结构。
2. 几何（运动）不变结构：结构只存在由变形所引起的位移。
3. 多余约束：结构中超过使体系保持几何不变结构的最少约束的约束。
桁架（内力静不定结构）刚架1（内力静不定结构）连续梁（外力静不定结构）维持结构几何不几何可变多余约束多余约束用4. 静不定次数的判断：去掉多余约束使原结构变成静定结构，去掉多余约束的个数为静不定的次数。
多余约束RR解除一个活动铰，相当于解除一个约束；解除一连杆，相当于解除一个约束；解除单铰，相当解除两个约束5. 基本静定系：解除静不定结构的某些约束后得到的静定结构。
6. 静不定结构的基本解法：力法和位移法。
§11.2 用力法解静不定结构一、只有一个多余约束的情况 如图所示结构，求其约束反力解：1. 将约束解除得到基本静定系B1XF R2F R22. 何载单独作用在B 点产生的位移()a l EIPa P －3621-=∆3. 沿约束反力方向单位何载1单独作用在B 点产生的位移EIl 311＝δ4. 协变条件 1111X P ∆+∆∆＝ ，即 01111=∆P X ＋δ解之得： ()a l lPa X -=32321二、有多个多余约束情况 如图所示结构，求其约束反力将B 端约束解除：变形协变条件⎪⎭⎪⎬⎫=∆+++=∆+++=∆+++000333323213123232221211313212111P P P X X X X X X X X X δδδδδδδδδ对于n 次静不定结构⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∆+⋯⋯++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∆+⋯⋯++=∆+⋯⋯++00022112222212111212111nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 上述求图示刚架中杆DE 中点C 点的水平位移。
第12章(静不定结构)
FR1
FR2
FRn
求解全部未知量
静力平衡方程
例：图示静不定结构，梁的EI为常数。试用卡氏定理求支座B的 约束力。
解：⑴ 选取静定基
解除支座B的活动铰约束，用相应约束力FB代替，得原结构的相 当系统。
求支座约束力
MC 0 :
解得： FA FB
FB l
1 2
ql 2
1 2
ql 2
ΔCy
M ( x)M ( x)dx
l
EI
a 0
FCy x1 EI
x1dx1
a 0
FCya
FCx x2 EI
1 2
qx22
adx2
a3 3EI
FCy
1 EI
(a 3 FCy
FCx
qa4 6
)
⑶ 根据位移条件求多余约束力
1 a3
a3
qa 4
ΔCx
( EI 2
FCy
Mi ( x)
Δ1
MM1dx 0 EI
Δn
MMn dx 0 EI
静力平衡方程
Δi
MMi dx EI
求解全部未知量
例：图示刚架，各杆的EI相等。试求支座C的约束力。
解：⑴ 选取静定基，求各杆的实际内力与虚拟内力 去掉支座C的约束，代以相应的约束力FCx、FCy，得原刚架的 相当系统
Ei Ai
2 1)a EA (2FN4 F )
多余约束力对应的变形位移，即4杆切口的相对位移
Δ
FNi FNili 2( Ei Ai
2 1)a EA (2FN4 F )
材料力学14章-3静不定结构中对称与反对称性质
材料力学14章-3静不定结 构中对称与反对称性质
在材料力学的14章-3中，我们将探讨静不定结构中的对称与反对称性质。了 解这些性质对于理解结构的力学行为至关重要。
对称性与反对称性
对称性和反对称性是结构力学中重要的概念。它们可以帮助我们分析和预测 结构的行为，并提供简化问题的方法。
静Hale Waihona Puke 定结构介绍静不定结构是指需要使用静力学和弹性力学的原理进行分析的结构。它们在工程中非常常见，需要特殊的技巧 来解决。
对称性的定义和特点
对称性是指一个结构在某种变换下保持不变的特性。它可以简化结构分析， 并揭示结构的关键特点和行为。
反对称性的定义和特点
反对称性是指一个结构在特定条件下会发生变化的特性。它可以帮助我们理 解结构的变形和应力分布。
对称性与反对称性在结构中的应用
对称性和反对称性在结构设计和分析中具有广泛的应用。它们能够帮助我们优化结构设计、降低成本，并提高 结构的可靠性和稳定性。
对称性与反对称性的优劣比较
对称性和反对称性各自具有优劣势，根据结构的具体需求和约束条件，选择适合的性质可以使结构更加高效和 可靠。
结论和要点
通过研究材料力学14章-3中的对称与反对称性质，我们可以更好地理解和分析静不定结构的行为。这些概念在 结构设计和分析中起着重要的作用。
在材料力学的14章-3中，我们将探讨静不定结构中的对称与反对称性质。了 解这些性质对于理解结构的力学行为至关重要。
对称性与反对称性
对称性和反对称性是结构力学中重要的概念。它们可以帮助我们分析和预测 结构的行为，并提供简化问题的方法。
静Hale Waihona Puke 定结构介绍静不定结构是指需要使用静力学和弹性力学的原理进行分析的结构。它们在工程中非常常见，需要特殊的技巧 来解决。
对称性的定义和特点
对称性是指一个结构在某种变换下保持不变的特性。它可以简化结构分析， 并揭示结构的关键特点和行为。
反对称性的定义和特点
反对称性是指一个结构在特定条件下会发生变化的特性。它可以帮助我们理 解结构的变形和应力分布。
对称性与反对称性在结构中的应用
对称性和反对称性在结构设计和分析中具有广泛的应用。它们能够帮助我们优化结构设计、降低成本，并提高 结构的可靠性和稳定性。
对称性与反对称性的优劣比较
对称性和反对称性各自具有优劣势，根据结构的具体需求和约束条件，选择适合的性质可以使结构更加高效和 可靠。
结论和要点
通过研究材料力学14章-3中的对称与反对称性质，我们可以更好地理解和分析静不定结构的行为。这些概念在 结构设计和分析中起着重要的作用。
材料力学 (陪浙大 刘鸿文 第五版)14 静不定结构 完整版
材料力学
q
B A l A
第十四章 q
静不定结构
B
X1
q
B A x B
A
x
2
（3） 用莫尔定理求Δ1F
M ( x)
Δ1 F
P14
1
M ( x) x
qx 2
0 ( EI
1
l
qx 2
2
) xdx
ql
4
8 EI
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
材料力学
q
B A l A
l
x B
C D
1/l
l/2 x
1/l
A
1 1/l （1）求11 BC: AC:
P28
1 1/l
M ( x) 1 l x M ( x) 1 x l M ( x ) 1
M ( x ) 1
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
材料力学
l x B l/2 C D l/2 l/2
第十四章
l
第十四章
Fx 2 x l dx
静不定结构
0 2
0
l/ 2
Fl 2
1dx
0
l/ 2
Fx 1dx ]
பைடு நூலகம்
13 Fl
24 EI
11
4l 3 EI
代入 解得
11 X 1 Δ1 F 0
X1 13 32
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
Fl
P31
材料力学
P10
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
材料力学
第十四章
静不定结构
例题1 如图所示,梁EI为常数,试求支座反力. q
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2
2a 3
Fa2 2
a
5Fa3 6EI
X1
1P
11
F 2
F
B a
C a
F
X1 X1 B a
C a
6
例3：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F。 F
F
试求：刚架多余约束反力。
F 1
a
A
A
11
1 EI
a2 8
2 3
a 2
a3 4
7a3 24EI
a a
A
B
F
F
X1 X1
a
a
A
B
Δ1F
1 EI
支座A、B的约束反力.
1
1 2
Fa2 8
2
Fa2 4
1
a2 2
11
1 EI
a2 2
2a 3
a3 3EI
Δ1F
Fa2 4EI
a 2
Fa3 8EI
X1
1F
11
Fa3
8EI a3
3F 8
3EI
16
例11：图示刚架 EI为常量，画 F
F
出刚架的弯矩图。
a
a
解：
A
B
X1
a/2
1
F
F
11
7a3 24EI
a/2
Δ1F
Fa3 4EI
A
6F
Fa
X1 7 17
3_F__a
3_F__a
F
7
7
_6_F 7
M图
4_F__a
4_F__a
7
7
18
例12：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。
q
B
C
a a
A
D a
19
11
1 EI
a2 2
2a 3
a2
a
4a3 3EI
Δ1F
1 EI
qa3 2
a
qa4 2EI
由11X1 Δ1F 0 得
X1
3qa 8
FBx 0, FAx 0,
FBy
3qa 8
FAy
11qa 8
,
M
A
qa2 8
逆时针
20
例13：已知刚架的弯曲刚度为EI。 q0
试求支座B处的反力。
C
解：
11
1 EI
a x12 dx1
0
a 0
a2
dx2
4a3 3EI
a A
q
a/2 C a/2 a
A
B
14
解： q
q
X1
1
a/2 C
qa 2/8
a
qa 2/8
A
a
11
1 EI
a2 2
2a 3
a3 3EI
Δ1F
1 EI
a2 2
qa2 8
qa4 16EI
由力法正则方程11X1 Δ1F 0得
X1
3qa 16
15
例10：平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的约束力及
a aa
1 F
Fa
9
例5：已知结构的弯曲刚度为EI， 试求对称轴上A截面的内力。
解：11
2a EI
,
Δ1F
Fa2 4EI
A
由 11 X1 1F 0 得
X1
Fa 8
a
FSA 0
1
FNA
F 2
,
MA
Fa 8
A X1 F/2
a Fa
a
a
F 1
Fa/2 1
F/210
例6：已知刚架的弯曲刚度为EI。 试求截面A处弯矩。
ΔiF表示X i作用点沿着X i方向由于实际载荷单独
作用所产生的位移
2
设
X X
i j
1引起的弯矩为 M i 1引起的弯矩为 M
j
实际载荷引起的弯矩为 M F
则
ij
l
MiM j dx, EI
ΔiF
l
Mi M F dx EI
对于静不定桁架:
i j
n k 1
FNi,k FN j,k lk Ek Ak
a
a
q
解： 11
2a EI
,
Δ1F
qa3 EI
q
由 11 X1 1F 0 得
a q A
a
M
A
X1
1 2
qa2
q
q
另解：
q
FS
2qa ,
MA
qa2 2
X1 A qa
FS
1F1 S
例7: 1/4圆形曲杆ACB如图。半径为R，曲杆抗弯刚度为
EI。求:A、B处的反力矩（只考虑杆件的弯曲变形）。
解： 一、 分析 B点为多余约束，解除多余约束以反力代替，形成基 本静定系
X1
1F
11
F 22
F
C
B
A
FC A
B
X
1
FC
B
φ
A
C A
B
1
φ
12
例8、求图示结构 C
的约束反力
EI
EA
a
A EI l
B
P 解：1）判断静不定种类及次数
约束反力一次静不定
2）解除B点约束，建立静定基
3）对静定基进行受力分析，建立相当系统 4）研究AB梁的B点与BC杆的B点的竖直相 对线位移，建立正则方程
使用莫尔积分，在任一横截面上，
M FRcos（j/4） j[/4，/2]
M R sinj
j[0，/2]
11
s
M2 ds
EI
1 EI
2 R sinj 2 Rdj R3
0
4EI
MM 1
1P
s
ds E I EI
2
4
FR
sin
j
4
R
sin
j
Rdj
FR3 8 2EI
Δ1F
1 EI
a 0
q0 x13 6a
x1
d x1
a 0
q0a 6
2
a
dx2
q0
q0a4 5EI
由 11 X1 1F 0 得
FBy
X1
3 20
q0a
()
a x2
B
x1 X1
21
例14 等截面半圆形杆受力如图所示，EI为常数，略去剪力、轴力对变形影 响，求A，B固定端处的支座反力和C处垂直位移
1 1P 11.X1 0
1 N
1
P
Pl
M
l
M
X1
1P
1 . (1.l.Pl. EI 2
2 .l ) 3
Pl 3 3EI
11
1 EI
.(1 .l.l. 2
2.l) 3
1 .(a.1.1) EA
l3 3EI
a EA
X1
P
13
例9：平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的
约束力及支座A、B的约束反力。
习题课
1
力法及正则方程
力法的正则方程:
11 X1 12 X 2 1n X n Δ1F Δ1
21
X1
22
X2
2n X n Δ2F
Δ2
n1 X1 n2 X 2 nn X n ΔnF Δn
i j表示X i作用点沿着X i方向由于X j 1单独
作用时所产生的位移
,
ΔiF
n k 1
FNi,k FNF,k lk Ek Ak
3
例1：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F后，支座C有一 下陷量Δ，试求刚架C处的反力。
a/2 F a/2
B
C
Δ a
A
4
解：
a/2 F a/2
F
a
B
C
Δ
Fa/2
X1
1
a
Fa/2
a
A
11
a3 EI
1 2
2 3
1
4a3 3EI
Δ1F
Fa3 EI
1 8
5 6
1 2
29Fa3 48EI
由 11X1 Δ1F Δ 得
29F 3EIΔ
X1
64
4 a3 5
例2：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F。 A
试求：刚架多余约束反力。
F
A
B
A
X1 X1 B
D
a
a
FD
C
D
C
a
a
A
F
F
11
2 EI
a2 2
2a 3
a3
5a3 3EI
D
Δ1F
1 EI
Fa2
Fa2 2
a
2
Fa3 4EI
X1
1P
11
6F 7
7
例4：已知刚架的弯曲刚度为EI，试求刚架内最大弯矩
及其作用位置。
a Fa
A
B
C
a
E
D
a
8
解：
11
2a3 EI
,
Δ1F
Fa3 3EI
由 11 X1 1F 0
得
X1
F 6
()
M max
5Fa 6
作用于固定端A
a Fa
A
B
C
a
E
D
a
a
X1