第13章答案

第13章 静电场中的导体和电解质

一、选择题

1(D)，2(A)，3(C)，4(B)，5(C)

二、填空题

(1). σ (x ，y ，z )/ε 0，与导体表面垂直朝外(σ > 0) 或 与导体表面垂直朝里(σ < 0). (2). σ ，σ / ( ε 0ε r )； (3).

R

q 04επ ；

(4). P ，－P ，0； (5). εr ， εr

三、计算题

1．如图所示，一半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带电荷Q ，在球壳空腔内距球心r 处放一点电荷为q ， 设无限远处为电势零点，试求：（1）球壳内外表面上的电荷． （2）球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势。 （3）球心O 点处的总电势。

解：点电荷q 在内壳上感应出负电荷-q ，不论电荷如何分布，距离球心都为a ．外壳上就有电荷q+Q ，距离球为b ．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加。 （1）球壳内表面上的电荷为-q ；外表面上的电荷为q+Q 。 （2）球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势：a

q U o 04πε-

=

（3）球心O 点处的总电势：000111444o q q Q q U r a b

πεπεπε-+=++

2. 如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R 1，外筒半径为R 2 (R 2＜2 R 1)，其间充有相对介电常量分别为εr 1和εr 2＝εr 1 / 2的两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R ．若两种介质的击穿电场强度相同，问：

(1) 当电压升高时，哪层介质先击穿？

(2) 该电容器能承受多高的电压？

解：(1) 设内、外筒单位长度带电荷为＋λ和－λ．两筒间电位移的大小为 D ＝λ / (2πr ) 在两层介质中的场强大小分别为

E 1 = λ / (2πε0 εr 1r )， E 2 = λ / (2πε0 εr 2r )

在两层介质中的场强最大处是各层介质的内表面处，即

E 1M = λ / (2πε0 εr 1R 1)， E 2M = λ / (2πε0 εr 2R ) 可得 E 1M / E 2M = εr 2R / (εr 1R 1) = R / (2R 1)

已知 R 1＜2 R 1， 可见 E 1M ＜E 2M ，因此外层介质先击穿． (2) 当内筒上电量达到λM ，使E 2M ＝E M 时，即被击穿，

λM = 2πε0 εr 2RE M 此时．两筒间电压(即最高电压)为：

r r r r U R R r M R

R r M d 2d 22

1

201012⎰⎰

+=επελεπελ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=R R R R RE r r M r 22112ln 1

ln 1εεε

3. 一个圆柱形电容器，内圆柱半径为R 1，外圆柱半径为R 2，长为L (L >>R 2－R 1)，两圆筒间充有两层相对介电常量分别为εr 1和εr 2的各向同性均匀电介质，其界面半径为R ，如图所示．设内、外圆筒单位长度上带电荷(即电荷线密度)分别为Q 和－Q ，求： (1) 电容器的电容．

解：(1) 根据有介质时的高斯定理可得两筒之间的电位移的大小为D = λ / (2πr ) 介质中的场强大小分别为

E = D / (ε0εr ) = λ / (2πε0εr r )

两筒间电势差

⎰

⋅=

b

a

r E U d

a b

r ln 20εελπ=

电容 ()a

b L U Q C r /ln 20εεπ==

(2) 电场能量 C Q W 22

=

4. 如图所示，一平板电容器，极板面积为S ，两极板之间距离为d ，其间填有两层厚度相同的各向同性均匀电介质，其介电常量分别为ε1和ε2．当电容器带电荷±Q 时，在维持电荷不变下，将其中介电常量为ε1的介质板抽出，试求外力所作的功．

解：可将上下两部分看作两个单独的电容器串联，两电容分别为

d S C 112ε= ，d S

C 222ε=

串联后的等效电容为 ()

21212εεεε+=d S

C

a

b L Q r ln 402επε=

带电荷±Q 时，电容器的电场能量为 ()S d Q C Q W 21212242εεεε+== 将ε1的介质板抽去后，电容器的能量为 ()S d Q W 202024εεεε+='

外力作功等于电势能增加，即 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-'=∆=102114εεS d Q W W W A 5.

如图所示，将两极板间距离为d 的平行板电容器垂直地插入到密度为r 、相对介电常量

为er 的液体电介质中．如维持两极板之间的电势差U 不变，试求液体上升的高度h ．

解：设极板宽度为L ，液体未上升时的电容为

液体上升到h 高度时的电容为

在U 不变下，液体上升后极板上增加的电荷为

电源作功

液体上升后增加的电能

液体上升后增加的重力势能 因 A = W 1+W 2，可解出

C 0 = ε0HL / d

()d hL d L h H C r εεε00+-=()011C H h r ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-+=ε()d

hLU U C CU Q

r /100-=-=∆εε()d hLU QU A r

/12

0-==∆εε()d

hL d

L h H C r

εεε00+-=20212121U C CU W -=∆()d hLU r /12

120-=εε2

221

gdh L W ρ=∆()2

201gd U h r ρεε-=