西电纠错码课件---第四章 多项式环及循环码
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第四章 循环码
r(x)是与码字中(n-k)个校验元相对应的(n-k-1)次多
项式，可将式(4-5)写成
xn-k m(x)= C(x) + r (x)
等 式 两 边 除 以 生 成 多 项 式 g(x) ， 由 于 g(x) 能 整 除
C(x) ，deg[r (x)] < deg[g(x)] ,因此有
r (x)= xn-k m(x) mod g(x)
g(x)一般就是最轻码， g1(x) 、 g2(x)的重量分别是 ４和２，因此g1(x)优于g2(x)。
13
用上述方法可得循环码，但未必是系统的。若想 得到系统循环码，即码字的前k位原封不动照搬信 息位而后(n-k)位为校验位，具有如下形式
C(x) = xn-k m(x) + r (x)
(4-5)
“所有小于n次的g(x)的倍式都是码多项式” 意味着 m(x)g(x)一定是码字，其中m(x)是GF(2)上小于k次 的任意多项式，以致它与(n-k)次的g(x)相乘后所得 倍式的次数一定小于n次。
6
定理4. 3 (n，k)循环码的生成多项式g(x)一定是(xn-1) 的因式，即一定存在一个多项式h(x)，满足 (xn-1)＝g(x) h(x) 或 g(x)| (xn-1) 反之，如果g(x)是(xn-1)的（n-k）次因式，
110
1101001
111
1110100
码集未变(2个循环环)而映射规则变了。
16
根据定理4.3，应有
xn-1=g(x) h(x)
(4-7)
如果g(x)是循环码的生成多项式，那么h(x)一定 就是循环码的校验多项式。这是因为对于任意 一个码多项式C(x)，必有
C(x)h(x)=0 mod (xn-1)
西安电子科技大学微机原理第4章
2015/7/23
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2）变量属性
段地址（SEG 偏移地址（OFFSET 类型（TYPE）：变量的类型是所定义的每个变量所占据 的字节数。对于DB、DW、DD、DQ、DT定义的变量其 类型分别为 1、2、4、8、10。 长度（LENGTH）：变量定义时，一个变量名所定义的变 量个数。在含有DUP操作符的变量定义中，变量名所定义 的变量个数为定义格式中的重复次数。在其它各种变量定 义中，每个变量名所定义的变量个数均为 1 大小（SIZE）：变量定义语句中，分配给同一变量名的所 有变量的总的字节数；大小（SIZE）=变量类型（TYPE） ×变量长度（LENGTH）。
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2015/7/23
3）举例
DATA1 DB 20H DATA2 DW 0204H， 100H DATA3 DB （-1*3）,（15/3 DATA4 DD 12345H DATA5 DB ′0123′ DATA6 DW ′AB′, ′C′, ′D′ DATA7 DB ? DATA8 DD ? DATA9 DB 5 DUP（00 DATA10 DW 3 DUP（?）
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4.1 8086汇编语言的语句
指令可由汇编程序翻译成机器语言指令，汇编语 言中的指令与机器语言指令基本上是一一对应的， 由CPU执行的语句，称为指令性语句； 伪指令则不汇编成机器语言指令，仅仅在汇编过 程中告诉汇编程序应如何汇编，称为指示性语句； 宏指令是使用者利用上述基本语句自己定义的新 的指令。
A3 DW VALUE-3 ；定义变量A3为变量VALUE前3个字节 A4 DD VALUE ；高位字为变量VALUE所在段的段地址， 低位字为变量VALUE的偏移地址。
4.5 循环码(1)
11
§4.5 循环码(一) 第 二、循环码的特点分析 四 章 2. 循环码中各码多项式的一个统一结构 分析 (1) 设 V 是某 ( n, k ) 循环码集合，共由 2k 个码字组成， 抗 干 这些码字对应的码多项式构成的集合记为 V ( x ) 。 扰 二 (2) 取出集合 V 中的一个码字： 元 (是否存在?) C 0 ( 0 0 0 1 cr 1 c1 c0 ) , 编 码
(左移一位)
则 C1 V , 且其对应的码多项式为：
C1 ( x ) cn 2 x n1 c1 x 2 c0 x cn1 .
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§4.5 循环码(一) 第 二、循环码的特点分析 四 章 1. 循环移位与码多项式之间的关系 定理 对于一个码长为 n 的循环码集合 V ，若 C ( x ) 是 V 中某个 抗 n 干 码字的码多项式，则 x C ( x ) (mod ( x 1)) 仍为集合 V 中 扰 另一个码字的码多项式。 二 n n1 2 元 证明 (2) x C ( x ) cn1 x cn 2 x c1 x c0 x 编 码 c ( x n 1) c x n1 c x 2 c x c
( x 2 x 1) g( x ) x .
p( x ) x 4 x , ( mod g( x ) ) .
7
§4.5 循环码(一) 第 一、基本概念 四 章 3. 多项式的模运算(或同余运算) 4 例 设 p( x ) x , g( x ) x 2 x , 求 p( x ) 关于 g( x ) 的模运算。 抗 干 解 方法二 长除法 x2 x 1 扰 二 p( x ) x4 x2 x x4 2 元 g( x ) x x x4 x3 编 码 x x3 x2 x 1 2 . x x x3 x2
循环码
① ②
15
循 环 码
2、校验矩阵 、
令校验多项式： 令校验多项式：h(x) = hkxk + hk-1xk-1 + … + h1x+h0
其反多项式： h*(x) = h0xk + h1xk-1 + … + hk-1x+hk 其反多项式：
循环码的一致校验矩阵的第一行为校验多项式的反多项 式的系数加上n-k-1个零组成，第二行为第一行向右平移 个零组成， 式的系数加上 个零组成 1位。以此类推得到其他各行。此矩阵为r ×n阶的。 位 以此类推得到其他各行。此矩阵为 阶的。 阶的
也就是码字0011101 对应的多项式，这个码字循环移 对应的多项式， 也就是码字 位后刚好可以得到其他码字。 位后刚好可以得到其他码字。 观察各个码多项式的关系
C2(x)=(x+1)C1(x)； C3(x)=x C1(x);…… ；
观察可发现， 观察可发现，其他的码多项式都可以写成g(x)的倍式。 再把信息序列写成多项式的形式，可得： 再把信息序列写成多项式的形式，可得：
首一多项式
2、性质： 、性质：
任一码多项式必是g(x) 的倍式： C(x) = m(x)g(x) 的倍式： ① 任一码多项式必是 任一次数≤ 的多项式m 与 相乘， ② 任一次数 k-1的多项式 (x)与g(x)相乘，必为码式 的多项式 相乘
回答前面三个问题
8
循 环 码
3、循环码的生成矩阵 、
码多项式、生成多项式及信息多项式的关系： 码多项式、生成多项式及信息多项式的关系： Ci(x) =mj(x)g(x) C=mG G为生成矩阵 为生成矩阵 i≠j
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西安电子科技大学信号与系统课件ppt-第4章___连续系统的频域分析(共102张PPT)
n1
1 2
An{[cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
[cos(0t n ) j sin(n0t n )]}
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
1 2
An [cos(0t
n)
j sin(n0t
n )]
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
第4章 连续系统的频域分析
第4章 连续(liánxù)系统的频域分析
4.1 信号的正交分解与傅里叶级数
4.2 信号的频谱
4.3 傅里叶变换的性质
4.4 线性非时变系统的频域分析(fēnxī)
4.5 傅里叶变换计算机模拟举例
《 信号与线性系统》
第一页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
4.1 信号的正交分解(fēnjiě)与傅里叶级数
f (t)sin(2 nf )dt
bn
2 T
2 0
f (t) cos(2 nf )dt
c 2 2 f (t)dt T0
(4―7) (4―8) (4―9)
《 信号与线性系统》
第八页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
根 据 (gēnjù) 三 角 函 数 的 运 算 法 则 , 式 (4―6) 还 可 写 成 式
f (t) 1 F ( )e j td
2
(4―27)
《 信号与线性系统》
第二十六页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
式(4―24)和(4―27)是非常重要的一对式子,重写如
下(rúxià),并称前式为f(t)的傅里叶变换,后式为函数F(ω)的
1 2
An{[cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
[cos(0t n ) j sin(n0t n )]}
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
n)
j sin(n0t
n )]
1 2
An [cos(0t
n)
j sin(n0t
n )]
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
第4章 连续系统的频域分析
第4章 连续(liánxù)系统的频域分析
4.1 信号的正交分解与傅里叶级数
4.2 信号的频谱
4.3 傅里叶变换的性质
4.4 线性非时变系统的频域分析(fēnxī)
4.5 傅里叶变换计算机模拟举例
《 信号与线性系统》
第一页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
4.1 信号的正交分解(fēnjiě)与傅里叶级数
f (t)sin(2 nf )dt
bn
2 T
2 0
f (t) cos(2 nf )dt
c 2 2 f (t)dt T0
(4―7) (4―8) (4―9)
《 信号与线性系统》
第八页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
根 据 (gēnjù) 三 角 函 数 的 运 算 法 则 , 式 (4―6) 还 可 写 成 式
f (t) 1 F ( )e j td
2
(4―27)
《 信号与线性系统》
第二十六页，共一百零二页。
第4章 连续系统的频域分析
式(4―24)和(4―27)是非常重要的一对式子,重写如
下(rúxià),并称前式为f(t)的傅里叶变换,后式为函数F(ω)的
第四章抗干扰二元编码原理及方法3_构造纠错码的基本方法
其中：pe为码元错误率
例：当pe 10-4 时
1 p(7,4) 1 (1 104 )7 C7 104 (1 104 )6
4.2 107
（7，4）汉明码的编码效率：
k 4 57% n 7
三、循环码
属于（n，k）分组码 分线性循环码和非线性循环码两类
x4 x2 x
多项式运算：除法（长除法）
例：C1 ( x ) x 7 x 2 x 1 C2 ( x ) x 3 x 1 求 C1 ( x ) / C2 ( x )
x4 x2 x 1 x3 x 1 x7 x2 x 1 x7 x5 x 4 x5 x 4 x 2 x 1 5 3 2 x x x x4 x3 x 1 x4 x2 x x3 x2 1 4 2 2 x3 x 1 C1 ( x) / C2 ( x) x x x 1...... x x x2 x 若将余式加到被除式，即
例：若接收机收到的汉明码字为：0110111， 1011100，0010110，…，求译码输出 * * * * s1 x2 x3 x4 x5 解：根据校验子 * * * * s2 x1 x3 x4 x6 s x* x* x* x* 1 2 4 7 3 0110111 [S]=[100] x5*错 0110011 0110 1011100 [S]=[110] x3*错 1001100 1001 0010110 [S]=[000] 无错 0010110 0010 得译码输出：0110，1001，0010，…
校验子 s1 s2 s3 无差错 0 0 0 x1 * 0 1 1 x2 * 1 0 1 x3 * 1 1 0 x4 * 1 1 1 x5 * 1 0 0 x6 * 0 1 0 x7 * 0 0 1
西电纠错码-第四章 多项式环及循环码PPT课件
x i v x v 0 x i v 1 x i 1 v n 1 x n i 1
v n i v n i 1 x v n 1 x i 1 v 0 x i v n i 1 x n 1
v n i x n 1 v n i 1 xx n 1 v n 1 x i 1x n 1
因此，码多项式必为g(x)的倍式。
30
国家重点实验室
定理4-4(p147) (n,k)循环码中，有且仅有一个次数为n-k的码多项式
g x 1 g 1 x g 2 x 2 x r
每一个码多项式是g(x)的倍式，且每个次数不大于n-1且为g(x)的倍式 的多项式必为一码多项式。
证明：由于码多项式 vx是g(x)及其倍式的线性组合，即
• 定义 • 循环码的代数性质 • 循环码的生成多项式和校验多项式 • 循环码的生成矩阵和校验矩阵 • 循环码的系统码形式
21
国家重点实验室
一、循环码定义
定义1：设CH是一个[n.k]线性分组码，C1是其中的一个 码字，若C1的左(右)循环移位得到的n维向量也是CH中 的一个码字，则称CH是循环码。
• 循环特性：对任意许用码字C，则L(C)也是许用码字
• 循环码： 一个 (n,k )线性码C，如果每个码字的循环移位 仍是一个码字,称该码为循环码。
3
国家重点实验室
循环码的描述
• 问题：如何构造和描述一个循环码？满足什么样 条件的循环码可以有较好的距离特性？
4
国家重点实验室
多项式的引入
• 如果将码字描述成n阶多项式的形式，A(x)= an-1xn1+an-2xn-2 +an-3xn-3+ … +a2x2+a1,x+a0，则循环算法 就可以描述为L(A(x))=xA(x) mod (xn-1)
v n i v n i 1 x v n 1 x i 1 v 0 x i v n i 1 x n 1
v n i x n 1 v n i 1 xx n 1 v n 1 x i 1x n 1
因此，码多项式必为g(x)的倍式。
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国家重点实验室
定理4-4(p147) (n,k)循环码中，有且仅有一个次数为n-k的码多项式
g x 1 g 1 x g 2 x 2 x r
每一个码多项式是g(x)的倍式，且每个次数不大于n-1且为g(x)的倍式 的多项式必为一码多项式。
证明：由于码多项式 vx是g(x)及其倍式的线性组合，即
• 定义 • 循环码的代数性质 • 循环码的生成多项式和校验多项式 • 循环码的生成矩阵和校验矩阵 • 循环码的系统码形式
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国家重点实验室
一、循环码定义
定义1：设CH是一个[n.k]线性分组码，C1是其中的一个 码字，若C1的左(右)循环移位得到的n维向量也是CH中 的一个码字，则称CH是循环码。
• 循环特性：对任意许用码字C，则L(C)也是许用码字
• 循环码： 一个 (n,k )线性码C，如果每个码字的循环移位 仍是一个码字,称该码为循环码。
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国家重点实验室
循环码的描述
• 问题：如何构造和描述一个循环码？满足什么样 条件的循环码可以有较好的距离特性？
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国家重点实验室
多项式的引入
• 如果将码字描述成n阶多项式的形式，A(x)= an-1xn1+an-2xn-2 +an-3xn-3+ … +a2x2+a1,x+a0，则循环算法 就可以描述为L(A(x))=xA(x) mod (xn-1)
6.3 循环码
⎡ x k −1 g ( x) ⎤ ⎢ k −2 ⎥ ⎢ x g ( x) ⎥ ⎥ G ( x) = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ xg ( x) ⎥ ⎢ g ( x) ⎥ ⎣ ⎦
6
生成矩阵G
• ( n , k ) 循环码的生成矩阵在 g(x) 确定后可以表示 为G
⎡0 0 ... 0 g 0 g1 ... g r −1 g r ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ G=⎢ ⎢ ⎥ g 0 g1 ... g r − 2 g r −1 g r ... 0 ⎥ ⎢0 ⎢ g 0 g1 g 2 ... g r −1 g r 0 ... 0 ⎥ ⎣ ⎦ k ×n ⎡ x k −1 g ( x) ⎤ ⎢ k −2 ⎥ ⎢ x g ( x) ⎥ ⎥ ∼⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ g ( x) ⎥ ⎣ ⎦
R ( x ) C ( x ) + e( x ) e( x ) = = p ( x) + g ( x) g ( x) g ( x)
• 定义伴随多项式为 S(x) = e(x) mod g(x)
11
循环码的检纠错
• 根据伴随式的定义，若无错误传输，则 S(x) = 0 ，否 则S(x)≠0，由此可实现循环码的检错。 • 因为g(x)的次数为n－k，e(x)的次数为n－1，所以伴随 式的最高次数为n－k－1，那么S(x)共有n－k项，故有 2n-k种可能的伴随式。若满足2n-k ≥n+1，则循环码具 有纠错能力。
10
循环码的伴随多项式
• 假设发送的码多项式C(x) 和 错误图样多项式e(x) 以及 接收 端接收的码多项式R(x) 分别为
C ( x) = ∑ ci x
i =1
n
n −i
； e( x) = ∑ ei x
i =1
西电信号与系统第四章PPTpart2
例1
t
F j
1 t
O
1
O
f (t )
18
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
4.5傅里叶变换的性质
第四章 傅里叶变换与频域分析
例2
f (t )
1
g (t ) Sa 2
F ( jt )
t
4.5傅里叶变换的性质 Z4.18对称性
第四章 傅里叶变换与频域分析
若 f (t ) F ( j) 则 F ( jt ) 2 f ( ) 证明：
1 f (t ) 2
F ( j ) e
j t
d
式中，令t →ω，ω→t ，可得：
1 f ( ) 2
第四章 傅里叶变换与频域分析
时域微分特性 时域积分特性 频域微分特性 频域积分特性 卷积定理 相关定理
5
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4.5傅里叶变换的性质
第四章 傅里叶变换与频域分析
意义：
傅里叶变换具有唯一性。傅里叶变换变换的性质揭 示了信号的时域特性和频域特性之间的内在联系。讨 论傅里叶变换的性质，目的在于： •了解时频域特性的内在联系； •利用性质求F(jω)； •了解在通信系统领域中的应用。
第四章 傅里叶变换与频域分析
Z4.16线性 Z4.17奇偶性 Z4.18对称性 Z4.19尺度变换特性
4.5傅里叶变换的性质
Z4.20时移特性
Z4.21频移特性 Z4.22卷积定理 Z4.23时域微积分特性 Z4.24频域微积分特性 Z4.25相关定理 Z4.26能量谱
循环码
8.5 循环码循环码是线性分组码中最重要的一个子类码，它的基本特点是编码电路及伴随式解码电路简单易行；循环码代数结构具有很多有用的特性，便于找到有效解码方法。
因此在实际差错控制系统中所使用的线性分组码，几乎都是循环码。
下面将介绍循环码的多项式表示及其性质，同时简介几种重要的循环码，CRC、BCH和R-S 码等。
8.5.1 循环码的描述1. 码多项式及其运算通式表示为：（8-69）于是称与为“同余”式，即[模]（8-70）如：则[模] 即能被整除利用这一运算原理，我们可对一个码字进行移位表示：如：的多项式表示为：使码组向左移2位（循环）则有对应多项式然后以去除得：这一结果表明，以作除法运算（称模）后，即与为同余因此，（模）应注意，利用这种同余式表示，必须加注（模），否则就不明确在什么条件下得到的这一同余关系式。
2.循环码的构成循环码的构成突出特点是只要是该码中的一个许用码组——码字，通过循环位其结果则可包括全部个非全0码字，如上面介绍的（7，3）分组码，从信码位0 0 1构成的码字（0011101）开始逐一向左（或者向右）移一位，可得其余6个码字：（0111010）、（1110100）、（1101001）、（1010011）、（0100111）、（1001110）。
若把这些码字写成码多项式，都具有同一个移位运算模式，并设（0011101）对应的码多项式，于是，有：（模)（8-71）这样，就构成了（7，3）循环码，如表8-4。
从表8-4看出，循环得到的（7，3）码，仍为系统码，信息码组均在表中码字的高位（左方）。
表8-4 （7，3）循环码移位（7，3）码码多项式（模）0 0 0 1 1 1 0 11 0 1 1 1 0 1 02 1 1 1 0 1 0 03 1 1 0 1 0 0 14 1 0 1 0 0 1 15 0 1 0 0 1 1 16 1 0 0 1 1 1 08.5.2 循环码生成多项式与生成矩阵1. 生成多项式由表8-4构成个非全0码字多项式的过程与结果看，我们从开始进行逐一循环，并以模运算，该码字正是信码组中最低位为1，对应码字多项式，在全部非全0码字中，它的最高位阶次也最低，并等于，即最高次项为，随后一系列码字都源于它的移位而形成，因此称其为生成多项式，即（8-72）然后再从的因式分解来进一步分析（8-73）我们可以将三个既约多项式因式任意组合成两个因式，可有（8-74）如：（8-75）（8-76）其中可以组合为二因式中包含最高次为4次的情况有两种，即展开式的第4及第5两组，都可以作为阶次最高为4的即（8-77）（8-78）在展开式中选用了其中一个（组合）因式为后，余下一个因式，则称其为循环码的监督多项式，如式（8-74）生成多项式与相应监督多项式乘积等于多项式。
纠错码课件-循 环 码 (IV)
w(Si (x)) ≤ t
其中w(Si (x))是伴随式 i (x)的重量 是伴随式S 其中 是伴随式 的重量 (R(x), S0(x), R(x)’) (Ri(x)=xiR(x), Si(x)=xiS0(x)) 满足w(Si (x)) ≤t 满足w ≤t Ri (x)’= Ri(x)- Si(x)=xi R(x)’) )’= xn-i Ri (x)’= xn R(x)’= R(x)’(mod xn-1) )’= )’= R( )’(mod
State Key Laboratory of Integrated Services Networks
循 环 码 （IV） ）
内容
一般译码原理 捕错译码 大数逻辑译码 仿真流程及Gaussian噪声的产生 噪声的产生 仿真流程及
一般译码原理
基本思想与线性分组码类似
1、根据接收序列R计算伴随式 、根据接收序列 计算伴随式 计算伴随式S=RHT (n-k维向量 维向量) 维向量 2、根据伴随式S寻找错误图样 、根据伴随式 寻找错误图样 寻找错误图样E 3、根据错误图样E估计码向量 、根据错误图样 估计码向量 估计码向量C’=R-E，进而估计信息 ， 序列（系统码、非系统码） 序列（系统码、非系统码）
基本原理
若错误集中在校验元的n-k位上，即EI(x)=0, 位上， 若错误集中在校验元的 位上 E(x)=EP(x)
S (x ) ≡ E (x ) = E P (x ) mod(g (x ))
此时，伴随式就是错误图样， 此时，伴随式就是错误图样，C’(x)=R(x)-S(x) 可用捕错译码循环码必须满足
c6 s3 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 c5 = s2 = HC T = 0 M s 1 0 0 0 1 0 1 1 c 0 s0
西安电子科技大学纠错码课件1.纠错码基本概念
国家重点实验室
纠错码的本质
利用冗余降低差错概率，即在信息序列之后按照一定的规则 添加一定长度的保护比特(校验比特或监督比特)
国家重点实验室
汉明距离和重量
汉明距离：两个n重x、y之间，对应位取值不同的个数，称为
它们之间的汉明距离，用d(x，y)表示。
例如，若x:(10101)，y： (01111)，则d(x，y)＝3 。
国家重点实验室
数字通信系统模型（2）
信源编码器：将信源发出的消息如语言、 图像、文字等转换成为 二进制(也可转换成为多进制)形式的信息序列。 信源编码器的设计目标： （1）以最低的比特率表示信源的输出消息； （2）信源的输出可由信息序列{m}准确的重现。
国家重点实验室
数字通信系统模型（3）
信道编码器：将信息序列{m}变换成离散的编码序列{C}，称之为 码字。 本课程的主要内容之一，就是设计和实现信道编码器，以抵抗传输 或存储码字所面临的噪声环境的影响。
国家重点实验室
HEC
发送端发送的码不仅能够被检测出错误，而且还具有一定的纠
错能力。
接收端收到码序列以后，首先检验错误情况，如果在纠错码的
纠错能力以内，则自动进行纠错。如果错误很多，超过了码的
纠错能力， 但能检测出来，则接收端通过反馈信道，要求发 端重新传送有错的消息。 一定程度上避免了FEC方式要求用复杂的译码设备和ARQ方 式信息连贯性差的缺点，并能达到较低的误码率， 因此在实 际中的应用越来越广。
汉明重量：n重x中非零码元的个数，称为它的汉明重量， 简称
重量，用w(x)表示。
例如，若x： (10101)，则w(x)＝3。若y： (01111)，则w(y)
＝4，等等。
国家重点实验室
纠错码课件---第四章 多项式环及循环码
码字，若C1的左(右)循环移位得到的n维向量也是CH中
的一个码字，则称CH是循环码。 定义2：设 Vn,k Vn 是n维空间的一个k维子空间， 若对任一 恒有
v1 a n2 , a n1 , , a0 , a n1 Vn,k
v a n1 , a n2 , , a0 Vn,k
小于n-1的多项式。 因此，循环码的每个码字对应一个次数小于等于n-1的多项式。 并且，码字与多项式之间是一一对应的。
二、循环码的代数性质
假设有两个码多项式
vx v0 v1 x vn1 x n1
vi x vni vni 1 x vn1 xi 1 v0 xi vni 1 x n1 则有
a a 1 a 1 a e
则称G构成一个群。若加法，恒等元用0表示， 若为乘法，恒等元称为单位元
环(Ring)的定义(p30)
• 非空集合R中，若定义了两种代数运算加和 乘，且满足： 1) 集合R在加法运算下构成阿贝尔群 2) 乘法有封闭性 3) 乘法结合律成立，且加和乘之间有分配 律
即
g x g x
因此，g(x)是唯一的。
二、循环码的代数性质
定理4.2 令 gx g0 g1x xr 为循环码C中最低次数的非零
码多项式，则常数项g0一定等于1。 证明：假设 g 0 0
则
g x g1 x g 2 x 2 x r x g1 g 2 x x r 1
0,1, , m 1
a b a b, a b a b
群(Group)的定义(p26)
设G是一个非空集合，并在G内定义了一种 代数运算 “ 。”，若满足：
1) 封闭性。对任意 a , b G ，恒有 a b G 2) 结合律。对任意a, b, c G，恒有 a b c a b c 3) G中存在一恒等元e,对任意 a G ，使 a e e a a 4) 对任意 a G ，存在a的逆元 a 1 G ，使
纠错码PPT
da min d, dmin(1Ci), i1,2,L,2k
min d, dmin(Ci), i1,2,L,2k
mind, n-dmax(C)
9
增余删信(Expurgated)码
基本原理
➢ 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
➢ 删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 阵有n列，k-1行，即得到一个[n, k-1, de]码
线性码是同距离分布码
2k
n
pud pj Aipei(1pe)ni
j1 i1
若码字等概发送
n
pud Ai pei (1pe)ni i1
平均不可检 错误概率
p u d2 (n k)(1 (1 p e)k)
20
译码错误与译码失败概率
teD译码器正确译码的概率
pwc it0nipei(1pe)ni
➢ 共有6种方法
3
扩展(Expanded)码
基本原理：对[n, k, d]线性分组码中的每一个码字，
增加一个校验元 ，c 0满足： c n - 1 c n -2 L c 0 c 0 0
c0 称为全校验位
➢ 若d为偶数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d]
➢ 若d为奇数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d+1]
13
修正的线性码
改变线性码参数n, k, n-k的任意两个 ➢ Shorten: 删除信息符号 nkfixed,k n ➢ lengthen: 增加信息符号 nkfixed,k n ➢ Puncture: 删除校验符号 kfixed,nk n ➢ Expand :增加校验符号 kfixed,nk n ➢ Expurgate: 删除码字，增加校验符号 nfixed,k nk ➢ Augment: 增加码字，删除校验符号 nfixed,k nk
min d, dmin(Ci), i1,2,L,2k
mind, n-dmax(C)
9
增余删信(Expurgated)码
基本原理
➢ 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
➢ 删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 阵有n列，k-1行，即得到一个[n, k-1, de]码
线性码是同距离分布码
2k
n
pud pj Aipei(1pe)ni
j1 i1
若码字等概发送
n
pud Ai pei (1pe)ni i1
平均不可检 错误概率
p u d2 (n k)(1 (1 p e)k)
20
译码错误与译码失败概率
teD译码器正确译码的概率
pwc it0nipei(1pe)ni
➢ 共有6种方法
3
扩展(Expanded)码
基本原理：对[n, k, d]线性分组码中的每一个码字，
增加一个校验元 ，c 0满足： c n - 1 c n -2 L c 0 c 0 0
c0 称为全校验位
➢ 若d为偶数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d]
➢ 若d为奇数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d+1]
13
修正的线性码
改变线性码参数n, k, n-k的任意两个 ➢ Shorten: 删除信息符号 nkfixed,k n ➢ lengthen: 增加信息符号 nkfixed,k n ➢ Puncture: 删除校验符号 kfixed,nk n ➢ Expand :增加校验符号 kfixed,nk n ➢ Expurgate: 删除码字，增加校验符号 nfixed,k nk ➢ Augment: 增加码字，删除校验符号 nfixed,k nk
循环码
可见，一致校验矩阵的第一行是码的校验多项式 的系数 的反序排列，而第二、三、四行分别是第一行的移位，由 此得到用校验多项式的系数来构成的一致校验矩阵：
H (7,3)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
6.3.3 系统循环码
1 0 G 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 (1) 0 (2) 0 (3) 1 (4)
对矩阵G的行进行运算，将第⑴、⑶、⑷行相加后 作为第1行，第⑵、⑷行相加后作为第2行，得：
1 0 G0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 (1) (3) (4) 1 (2) (4) 0 1
个码字的每一次循环移位仍然是C中的一个码字， 则称C为循环码。也即，如果C=(cncn-1…c2c1)是循 环码C的一个码字，那么C=(cn-1cn-2…c1cn) 等也都是 C的码字时，则所有这些具有循环特性的码字的全 体便构成了循环码C。
表6.3.1 循环码的例子
信息码元 000 001 010 011 100 101 110 111
0 0 0 h0 0 0 h0 h1 0 h0 h1 h2 h0 h1 h2 h3 h1 h2 h3 0 h2 h3 0 0
0 0 h3 g4 0 g3 0 0 g2 0 g1 g 0
n k
9
8
x 4 x3 x 2
对
在接收端，CRC校验实际上就是做除法运算：如果传输过 程无差错，则 r ( x) g ( x被整除，余式为“0”；如果余式不为 能 ) “0”，则说明一定有差错。 1 例6.3.8 假设 m( x) x x x ，即信息码字为 1 (1011001)， g ( x) x x ，求CRC校验码。由题得：
纠错码课件6
k 级编码器
h(x)C(x)的乘积中，xn-1, xn-2,… xk次的系数为零 的乘积中， 的乘积中
xn-1的系数
h0 cn-1 +h1 cn-1-1 + …+hk cn-1-k=0
xn-2的系数
h0 cn-2 +h1 cn-2-1 + …+hk cn-2-k=0
xn-3的系数
h0 cn-3 +h1 cn-3-1 + …+hk cn-3-k=0
因此，循环码的系统码电路是信息多项式 因此，循环码的系统码电路是信息多项式m(x)乘xn-k,除g(x) 乘 除 的实现电路
n-k级乘法电路（系统码形式） 级乘法电路（系统码形式） 级乘法电路
门1 -g0 -g1 -g2
-gn-k-2 -gn-k-1
gn-k-1
门2
输入m(x)
m0,m1,…mk-1
k 级编码器
门 输入信息 cn-k
-hk-1 b1
-hk-2 cn-k-1
-h2 cn-2
-h1 cn-1
-h0
循环码k级编码电路 循环码 级编码电路
Example
GF(2)上，x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) ， 上 g(x)=x3+x+1， h(x)= x4+x2+x+1。试画一个 ， 。试画一个[7,4] 循环码的k级系统码形式的编码电路 级系统码形式的编码电路。 循环码的 级系统码形式的编码电路。
xk的系数
h0 ck +h1 ck-1 + …+hk c0=0
k 级编码器
纠错码环与域的基本概念讲课文档
所以 Ha=aH
例如， 全体整数在加法下构成群， 其中整数m的一 切倍数所构成的一个子群M， 就是正规子群。
第三十一页，共117页。
定理 若H为群G的正规子群， 则H的全体陪集必构 成群。
证明 首先， 定义陪集之间的乘法运算。 设a=aH， b=bH是H的两个陪集， 我们规定： 以ab为代表的元的 陪集ab =(ab)H定义为陪集aH与bH之积， 即ab =ab 。 为 表明这一规定的合理性， 我们必须证明， 如此规定的 陪集(ab)H并不因从陪集aH与bH中所选取代表元的不同 而改变， 即它仅与陪集aH与bH自身有关， 而与所选的 代表元是什么无关。
第二十九页，共117页。
证明 若H是G的正规子群， 则由定义可知： H=He=H(aa-1)=Ha(a-1)=aHa-1
立即得到 aha-1∈H h∈H
反之， 若a-1ha∈H， 现证明H是正规子群。
第三十页，共117页。
因为对每一个h∈H， 都有a-1 ha∈H， 因此 a-1 Ha=H
两边左乘a， 便得 aa-1 Ha=aH
式中， h=h3h2∈H。 这表明a1b1∈abH， 故 (a1b1)H=abH
第三十四页，共117页。
定义 设H是群G的正规子群 ， 于是把H的全体陪集 所构成的群称为G关于H的商群， 记为G／H。
因此模m的剩余类群也可写成Z／M， 可知模m的剩 余类群与商群Z／M同构。
第三十五页，共117页。
第十四页，共117页。
二、 陪集 若G中有子群H， 则可用H把G划分成等价类， 如下所示： 设群G的元素是： g1， g2， g3， g4， …； 子群H的元素是： h1， h2， h3， …；
第十五页，共117页。
h1=e
例如， 全体整数在加法下构成群， 其中整数m的一 切倍数所构成的一个子群M， 就是正规子群。
第三十一页，共117页。
定理 若H为群G的正规子群， 则H的全体陪集必构 成群。
证明 首先， 定义陪集之间的乘法运算。 设a=aH， b=bH是H的两个陪集， 我们规定： 以ab为代表的元的 陪集ab =(ab)H定义为陪集aH与bH之积， 即ab =ab 。 为 表明这一规定的合理性， 我们必须证明， 如此规定的 陪集(ab)H并不因从陪集aH与bH中所选取代表元的不同 而改变， 即它仅与陪集aH与bH自身有关， 而与所选的 代表元是什么无关。
第二十九页，共117页。
证明 若H是G的正规子群， 则由定义可知： H=He=H(aa-1)=Ha(a-1)=aHa-1
立即得到 aha-1∈H h∈H
反之， 若a-1ha∈H， 现证明H是正规子群。
第三十页，共117页。
因为对每一个h∈H， 都有a-1 ha∈H， 因此 a-1 Ha=H
两边左乘a， 便得 aa-1 Ha=aH
式中， h=h3h2∈H。 这表明a1b1∈abH， 故 (a1b1)H=abH
第三十四页，共117页。
定义 设H是群G的正规子群 ， 于是把H的全体陪集 所构成的群称为G关于H的商群， 记为G／H。
因此模m的剩余类群也可写成Z／M， 可知模m的剩 余类群与商群Z／M同构。
第三十五页，共117页。
第十四页，共117页。
二、 陪集 若G中有子群H， 则可用H把G划分成等价类， 如下所示： 设群G的元素是： g1， g2， g3， g4， …； 子群H的元素是： h1， h2， h3， …；
第十五页，共117页。
h1=e
(完整word版)循环码(word文档良心出品)
2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。
循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。
(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。
(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。
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Examples
0,1, x, x 1
1、GF(2)上的多项式 f(x)=x2+1的剩余类全体为：
2、GF(2)上的多项式 f(x)=x2+x+1的剩余类全体为：
0,1, x, x 1
对所定义的加法和乘法运算，前者构成剩余类环，后者构成域
结论：若n次首一多项式f(x)在域Fp上既约，则f(x)的剩余类环构成 一个有pn个元素的有限域
剩余类(Residue)：给定正整数m，可将全体整数按 余数相同进行分类，可获得m个剩余类，分别用
0, 1 , , m 1
a b a b, a b a b
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群(Group)的定义(p26)
设G是一个非空集合，并在G内定义了一种 代数运算 “ 。”，若满足：
v a n1 , a n2 , , a0 Vn,k
则称Vn,k为循环子空间或循环码
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循环码码字与多项式之间的关系
V x vn 1 x n 1 vn 2 x n 2 v0
将码字 v vn 1 , vn 2 , , v0 看成如下多项式的系数:
• 定义：以一个Fp上的多项式f(x)=fnxn+ fn-1xn-1+…+ f1x+f0 为模的剩余类全体构成一个多项式剩余类环 Fp上的所有次数小于n-1的多项式构成n次多项式的剩余类 全体
剩余类之间的加法和乘法运算规则
ax bx ax bx
a x b x a x b x
g x g 0 g1 x x r
为循环码中次数最低的一个非零多项式。假设该多项式不唯 一，即存在另一个次数为r的多项式
g x g 0 g1 x x r
由于循环码是线性码，因此
g x g x g 0 g 0 g1 g1 x g r 1 g r 1 x r 1
1) 封闭性。对任意 a, b G ，恒有 a b G 2) 结合律。对任意a, b, c G，恒有 a b c a b c 3) G中存在一恒等元e,对任意 a G，使 a e e a a 4) 对任意 a G，存在a的逆元 a 1 G ，使
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子环、理想和主理想(P101
子环：若环R中的子集S，在环R中的定义的代数运算也构 成环，则称S为R的子环。 理想：S是R的一个子环，若S中的元素由某几个元素及
其所有可能的倍数构成，则S是一个理想
主理想：若理想中的元素由一个元素的所有倍数及其线 性组合生成，则称这个理想为主理想。
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第一节 多项式与多项式环
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要求掌握的内容
• 多项式剩余类环 • 循环群
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一、复习几个概念
• • • •
同余、剩余类 群 环 域
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同余和剩余类(p23)
同余：若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的 余数，则称a、b关于模m同余，记为
a b(modm)
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两个结论
• 多项式环Fp[x]的一切理想均是主理想
• 多项式剩余类环Fp[x]/f(x)中的每一个理想 都是主理想。
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第2节 循环码的描述
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要求掌握的内容
• • • • •
定义 循环码的代数性质 循环码的生成多项式和校验多项式 循环码的生成矩阵和校验矩阵 循环码的系统码形式
n r 1
组合，因此它一定是一个码多项式。
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证明：假设 v x 是循环码中的码多项式，我们可得到
vx ax g x bx
因此有
由于 ax g x 和 v x 都是码多项式，因此b(x)必为码多项式。 若 b x 0 ，则b(x)必为次数小于g(x)的非零码多项式，与g(x) 为次数最低码多项式相矛盾，因此b(x)=0。 因此，码多项式必为g(x)的倍式。
2
r
xg x , x 2 g x , , x n r 1 g x ，它们 的次数分别为 r 1 r 2, , n 1 ，且是g(x)的循环移 ,
考虑多项式 位。 因此，由循环码的定义，它们一定是循环码的码多项式，且它们
的线性组合也一定是一个码多项式，即
v x 0 g x 1 xg x n r 1 x
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第四章 多项式环与循环码
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一种特殊的线性分组码
• 循环算子L：对n重码字A=(an-1, an-2, an-3, … , a2, a1, a0)，有 B = L(A) = (bn-1, bn-2, bn-3, … , b2, b1, b0) = (an-2, an-3, … , a2, a1, a0, an-1)
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二、多项式剩余类环(P103)
• 有关多项式的几个概念 • 多项式的加法和乘法 • 多项式剩余类环的定义
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有关多项式的几个概念
• 多项式 f(x)=fnxn+ fn-1xn-1+…+ f1x+f0
其中 f i F p i=0,1,…n，该多项式称为域Fp上的多项式
• 多项式次数 degf(x) 系数不为零的x的最高次数称为多项式f(x)的次数 • 首一多项式 最高次数的系数为1的多项式
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一、循环码定义
定义1：设CH是一个[n.k]线性分组码，C1是其中的一个
码字，若C1的左(右)循环移位得到的n维向量也是CH中
的一个码字，则称CH是循环码。 定义2：设 V n, k V n 是n维空间的一个k维子空间， 若对任一 恒有
v1 a n2 , a n1 , , a0 , a n1 Vn,k
假设有两个码多项式
v i x vn i vn i 1 x vn 1 x i 1 v0 x i vn i 1 x n 1
则有
v i x x i v x mod x n 1
x i vx v0 x i v1 x i 1 vn 1 x n i 1 vn i vn i 1 x vn 1 x i 1 v0 x i vn i 1 x n 1
上式表明，如果将g(x)循环左移一位，可以得到一个次数
低于r的非零码多项式 g1 g 2 x x r 1
这与之前假设g(x)是次数最低的非零码多项式相矛盾。 因此，必有 g 0 1
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由定理4.2可知，次数最低的非零码多项式具有如下形式
g x 1 g1 x g 2 x x
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有关多项式的几个概念
• 既约多项式
设f(x)是次数大于零的多项式，若除常数和常数与 本身的乘积以外，再不能被域Fp上的其他多项式整 除，则称f(x)为域Fp上的既约多项式 多项式的因式分解问题、根的问题
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多项式的加法和乘法
f i Fp
g i Fp
f(x)=fnxn+ fn-1xn-1+…+ f1x+f0 g(x)=gnxn+ gn-1xn-1+…+ g1x+g0
若对所有i, fi=gi, 则f(x)=g(x) 多项式加法
f(x)+g(x)=(fn + gn)xn+ (fn-1 + gn-1)xn-1+…+ (f1 + g1)x+(f0 + g0) 多项式乘法
结论：按上述定义的加法和乘法运算，Fp[x]构成一个具有单位 元、无零因子的可换环
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多项式剩余类环
是一个次数比r更低的码多项式。
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二、循环码的代数性质
定理4.1 循环码C中次数最低的非零码多项式是唯一的。 证明：若 g x g x 0
则 g x g x 0 是一个次数比r更低的非零码多项式。
这与假设相矛盾，因此必有
g x g x 0
bx vx ax g x bx
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定理4-4(p147) (n,k)循环码中，有且仅有一个次数为n-k的码多项式
g x 1 g1 x g 2 x 2 x r
每一个码多项式是g(x)的倍式，且每个次数不大于n-1且为g(x)的倍式 的多项式必为一码多项式。 证明：由于码多项式 v x 是g(x)及其倍式的线性组合，即
0 若 vn 1 ，则V(x)为n-1次多项式，若vn-1=0。则V(x)为次数
小于n-1的多项式。 因此，循环码的每个码字对应一个次数小于等于n-1的多项式。 并且，码字与多项式之间是一一对应的。 Nhomakorabea家重点实验室
二、循环码的代数性质
v x v0 v1 x vn 1 x n 1
vx a0 a1 x an r 1 x
n r 1
g x
a0 g x a1 xg x anr 1 x g x v x 是码多项式 g x , xg x , x n r 1 g x 的线性 由于
是一个码多项式，其中
n r 1
g x
i 0 or 1
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定理4-3 设 g x 1 g1 x g 2 x 2 x r 是(n,k)循环码的最低次数
非零码多项式，次数小于或等于n-1的多项式为码多项式，当且仅