信息工程大学 第四章BCH码(RS码)课件
RS码的基础知识 ppt课件
7,11,13,14
最小多项式
X
X 1 X4X1
X 4X 3X 2X 1
X2X1
X4X31
2021/3/26 RS码的基础知识 ppt课件
7
生成多项式 在（n，k）的RS中，存在唯一的n-k次多项式g(x)， 使得每一个码多项式c(x)都是g(x)的倍式.g(x)称为
RS码的生成多项式。
1 1l 2 2l.. .v vl
如果和式为0，则 l 是 (X) 的根，且rn l 是 错误位；否则，rn l 是正确位。
2021/3/26 RS码的基础知识 ppt课件
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4）由错误位置数求得错误值，从而得到错误
图样。
求出 (x)0
RS码错误值（ e ik） 计算公式：
' ( x ) 为(x) 的导数形式
2）BM迭代算法求错误位置多项式
BM迭代算法利用S伴随矩阵得到错误多项式
迭代步骤如下：
a 由初始值
(1)(x)1,D(1)0,d11
(0)(x)1,D(0)0,d0S1
开始迭代
(j)(X)11(j)X2(j)X2
其中:
.... D(j)(j)XD(j)
D( j)是错误位置多项式 ( j)(x)的次数，d j 为第j步和第j+1步的差值
下面介绍钱搜索错误位置数的步骤： 对接收向量
r(X ) r0 r 1 X r2 X 2 . .rn . 1 X n 1
进行逐比特译码。最高位比特被首先译码。为了 译rn 1 ，译码器检验 n1 是否是错误位置数；也就等
价于检验于检验它的倒数是否是(X) 的根。如果是，
则：
1 1 2 2.. .vv0
分组长度： n=q-1
RS编译码
一．RS 码RS 码是有限域GF （p^m ）上，码长为n=p^m-1的本原BCH 码，它是多进制的BCH 码。
RS 码不但可以纠正随机错误、突发错误以及二者的组合，而且可以用来构造其它码类。
在计算机中数据是以二进制的形式存在，所以p 通常取值为2。
RS 码的参数：符号取自GF(2^m)，纠t 个错的RS(n,k)码的定义如下： 符号大小m ．表示符号比特数为m 位。
码块总长度为n 个符号，其中信息长度k 个符号，校验位长度K=n —k 个符号。
RS 码的纠错能力是出码块中的冗余数据校验码的长度K 决定的。
在码块中的错误位置事先并不知道的情况下，RS(n ，k)码可以纠正t=K ／2个错误符号。
显然t 值越大，RS 码的纠错能力越强，但与之相对应的是更复杂的算法，更长的运算时间，更低效的数据传输率。
RS 码既可以纠随机错又可以纠突发错。
但RS 码中采用符号这一特性使得它特别适用于产生突发错的场合。
因为不论一个符号中错了多少位，在RS 解码过程中。
它只会被认为是产生了一个符号错。
一个可以纠t 个符号的RS 码，它至少可以纠一个(t-1)m+1个连续比特组成的突发错，而当随机错恰好都不在同一个符号中时只能纠正t 个比特的随机错。
二．RS 码编码对于GF(2^m)来说，若域中非零元素a 的级是2^m-1，则将a 称为本原域元素。
设符号取自GF(2^m)，纠t 个错的RS(n,k)码,它的最小距离d=2t+1，则由本原域元素a 的2t 个连续根 ,0αm ，α120-+t m 作为g(x)的根来构造生成多项式g(x)=(x+αm 0)(x+α10+m ))(012αm t x +-+通常情况下取通常取m 0 = 0或m 0 = 1只要将信息码多项式m(x)=m m x m x k k 0111+++-- 乘以x k n -次，然后以g(x)为模，求出余式q(x)便可以得到系统码。
q （x ）= m(x) x k n -modg(x)=q q x q x k n k n 0111+++---- C(x)= m(x) x k n -+ q （x ）例 构造能纠正2个错误，码长为15符号的RS 码n=15，t=2可得m=4，k=11，d=5．因此RS 码为(15，11)码，生成多项式为g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α3)(x+α4) =αααα103263134++++x x x x假设待发送的信息码组为m(x)=x x m x x ααα963102)(++=则编码后的码组多项式为C(x)= m(x) x k n -+ m(x) x k n -modg(x)=ααααα133359103142+++++x x x x x编码的实现：1）首先构造有限域，RS 码的性质和运算法则均定义在Galois 域上，Galois 域是能进行加减乘除运算的有限个元素的封闭集合，它的加减运算符合结合律、交换律和分配律。
RS码简介与编译码算法综述
BM译码算法
——算法基础
BM译码算法
——算法原理
BM译码算法
——迭代的具体实现
j -1 0 1 2 3a 4 5 6 1 1 1+αx 1+α11x 1+α8x+α8x2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 0 1 1 1+α6x 1+α10x 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 0 0 1 1 2 2 2
E(x)
计算S2t
计算βi
PGZ译码算法
——算法总结
PGZ译码算法
——算法总结
BM译码算法
——引入
1965年E.R.Berlekamp提出了由伴随式求σ(x)的 迭代译码算法，极大地加快了求σ(x)的速度， 实现时比较简单，且易于用计算机完成译码， 因而从工程上解决了BCH码的译码问题。1969 年J.L.Massey指出，迭代译码算法与序列的最 短线性移位寄存器的综合之间的关系，并进 行了简化，自此以后把这种算法成为BM迭代 译码算法。
RS码简介
熊竹林
背景知识
RS码是一种BCH码 BCH码是一种循环码 循环码是一种线性分组码 线性分组码是一种信道编码
背景知识
——信道编码
信道的非理想性 传输差错 香农告诉我们要纠错必须增加冗余 信道编码就是一门增加冗余的学问 亡羊补牢：反馈重传 未雨绸缪：前向纠错 线性分组码就是前向纠错码的一种
RS编码
——编码器设计
最小距离为d的本原RS码的生成多项式为 g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)…(x-αd-2) 信息元多项式为 m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk-1xk-1 编码器主要有三种类型： 1.基于乘法形式的编码器 2.基于除法形式的编码器 3.基于校验多项式形式的编码器
RS码简单介绍
RS码简单介绍一内容提要1 RS码的发展及用途. 2 编码原理. 3 背景知识. 4 举例说明 5 解码方法简介. 二关键词GFn伽罗瓦域. LSFR: 线性反馈移位寄存器. Generate polynomial:生成多项式. Primitive polynomial:本原多项式. 本原元a. 三内容. 一i.RS码是Reed-Solomon里德-所罗门码的简称属于前向纠错FEC方式.可归于BCH 码是非二进制的BCH码.当然也是循环码、线性分组码.它特别适合纠突发误码。
使用RS码的目的是通过增加冗余码来提高信道传输的可靠性显然码的利用率下降了。
而在信源编码中是尽可能去掉一些无用的信息以提高码的利用率。
所以从这方面讲信道编码使传输的可靠性与码的利用率成为相对的矛盾统一体。
II.RS码主要用在以下方面①无线通讯. ②移动通讯. ③存储系统CD及DVD等。
④光通讯. ⑤深空通讯二RSnk码也写成RSnk2t是非二进制码.它是由k个m-bits的输入数据流加上由k个m-bits的输入数据流生成的2t个m-bits的校验数据流而产生的n个m-bits数据流。
具有以下的特性①0 k n 2m 2.通常n2m-1. ②2tn-k.t表示纠错的最大能力。
③最小码距d02t1 在分组码中最小码距d0检错纠错的关系a.检e个错d0e1 b.纠正t个错d02t1. 如在数字电视数据流的信道编码中采用了204188.由上我们知道n204k188.2tn-k16.即信息位是188个字节校验位是16个字节。
共204个字节。
它的纠错能力是8个字节。
也就是说不论一个字节中发生一位误码或者全部八位误码它都可以纠错。
当然如果错误超过t8就不能纠错了。
这时只能发现错误最大能发现2t16个错误. 三RSnk码是一种多进制线性分组码.构成RSnk码是常用以下的方式Cx rxIxRx Rx rxIxmodGx GxX1Xa??x1rar2t. 其中a 是本原元。
BCH码和RS码-1
Cx以 , , , 为根 C 0, j 1,2,2t
2 4 2t j
12
C x Cn1xn1 Cn2 xn2
C1x C0
C Cn1 n1 Cn2 n2
C 2 Cn 1 2 C
t
6Rx Cx E x
以上方法为逐步求解法，例题
18
4求 x 的根. 5求Ex
已知 x 1 1 x 2 x 2 t x t
5.4.2 BCH码的迭代译码法
S x S1 x S 2 x 2 Si x i
t j t k
Yk X
k 1
1 Yk X
k 1
t
j t 1 k
2 Yk X
k 1
t
j t 2 k
t Yk X kj 0
k 1
t
S j Yk X kj , j 1,2, 2t
k 1
S jt 1S jt 1 2 S jt 2 t S j 0 17
g x LCM m1 x, m3 x,m2t 1 x
上的最小多项式的次数 r m
4
所以g(x)的次数 n k mt
BCH码的距离限
BCH码的最小距离由g(x)的根决定；
定理5.1.1：本原BCH码的最小距离
dmin d (d 1是g x 相邻根的个数)
已知 mx mk 1xk 1 mk 2 xk 2 m1x m0
n k x m x 1.
提高m(x)的次数
2. rx x nk mx
modg x 运算求rx
《信息论与编码全部》课件
信息论与编码全部PPT课件
汇报人：PPT
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 03 信息度量与熵
02 信息论与编码的基 本概念
04 信源编码
05 信道编码
06 加密与解密技术
07 信息安全与认证技 术
添加章节标题
信息论与编码的基本概 念
信息论的发展历程
1948年，香农提出信 息论，奠定了信息论
提高安全性
优点：安全性 高，速度快，
易于实现
应用：广泛应 用于电子商务、 网络通信等领
域
发展趋势：随 着技术的发展， 混合加密技术 将更加成熟和
完善
信息安全与认证技术
数字签名技术
数字签名：一种用于验证信息来源和完整性的技术 数字签名算法：RSA、DSA、ECDSA等 数字证书：用于存储数字签名和公钥的文件 数字签名的应用：电子邮件、电子商务、网络银行等
汇报人：PPT
熵越小，表示信息量越小，不确 定性越小
熵是概率分布的函数，与概率分 布有关
信源编码
定义：无损信源编码是指在编码过 程中不丢失任何信息，保持原始信 息的完整性。
无损信源编码
应用：无损信源编码广泛应用于音 频、视频、图像等媒体数据的压缩 和传输。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
特点：无损信源编码可以保证解码 后的信息与原始信息完全一致，但 编码和解码过程通常比较复杂。
古典密码学：公元前400年，古希腊人使用替换密码 近代密码学：19世纪，维吉尼亚密码和Playfair密码出现 现代密码学：20世纪，公钥密码体制和数字签名技术出现 当代密码学：21世纪，量子密码学和后量子密码学成为研究热点
bch码二进制对称信道误码率
BCH码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem码）是一种广泛应用于数据传输和存储中的纠错码。
它采用了线性二元码的理论，并在信道传输中能够对于错误进行有效的修正。
其中，BCH码的二进制对称信道误码率作为其性能评估指标之一，对于理解其纠错能力具有非常重要的意义。
BCH码是一种具有良好纠错性能的码字，它可有效修正信道传输中出现的误码。
二进制对称信道误码率是在二元信号在传输过程中受到干扰导致码字发生错误的概率。
BCH码的二进制对称信道误码率旨在评估在二进制信号传输过程中，BCH码的纠错性能能否有效地对抗误码带来的干扰。
通过对BCH码的二进制对称信道误码率进行深入的研究和分析，可以更好地了解BCH码在实际应用中的性能特点和限制条件。
BCH码的二进制对称信道误码率受到多种因素的影响，如码长、符号位数、生成多项式等。
下面将分别就这些方面进行详细的分析：1. 码长：BCH码的码长是指在信道传输中所使用的BCH码的位数。
码长越长，BCH码对于误码的纠正能力就越强。
在实际应用中如何选择合适的码长对于提高BCH码的纠错性能至关重要。
2. 符号位数：BCH码的符号位数即为每个码字中包含的比特位数。
符号位数的选择不仅影响着BCH码的存储和传输效率，还会直接影响其对于误码的纠正能力。
一般来说，增加符号位数可以提高BCH码的纠错性能，但同时也会增加编解码的复杂度。
3. 生成多项式：BCH码的生成多项式是决定BCH码性能的关键因素之一。
通过选择合适的生成多项式，可以使BCH码在二进制对称信道传输中获得更好的纠错效果。
通常情况下，生成多项式的次数越高，BCH码的纠错能力就越强。
对于BCH码的二进制对称信道误码率的研究，不仅可以从理论层面上对其性能进行分析，还可以通过模拟实验和实际应用的数据统计来验证其性能表现。
在实际应用中，可以通过测量BCH码在不同信道条件下的误码率，以及通过分析误码模式和纠错效果等数据来评估BCH码的纠错能力和适用性。
BCH码(百度百科)
/view/2207324.htm（百度百科）BCH码科技名词定义中文名称：BCH码英文名称：BCH code定义：一种用于纠错，特别适用于随机差错校正的循环检验码。
由R. C. Bose、D. K.Chaudhuri和A. Hocquenghem共同提出。
所属学科：通信科技（一级学科）；通信原理与基本技术（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布BCH码是一类重要的纠错码，它把信源待发的信息序列按固定的κ位一组划分成消息组,再将每一消息组独立变换成长为n(n＞κ)的二进制数字组,称为码字。
如果消息组的数目为M(显然M≤2),由此所获得的M个码字的全体便称为码长为n、信息数目为M的分组码,记为n，M。
把消息组变换成码字的过程称为编码，其逆过程称为译码。
目录编辑本段分组码就其构成方式可分为线性分组码与非线性分组码。
线性分组码是指[n,M]分组码中的M个码字之间具有一定的线性约束关系,即这些码字总体构成了n维线性空间的一个κ维子空间。
称此κ维子空间为(n，κ)线性分组码，n为码长，κ为信息位。
此处M＝2。
非线性分组码[n，M]是指M个码字之间不存在线性约束关系的分组码。
d为M 个码字之间的最小距离。
非线性分组码常记为[n，M，d]。
非线性分组码的优点是：对于给定的最小距离d,可以获得最大可能的码字数目。
非线性分组码的编码和译码因码类不同而异。
虽然预料非线性分组码会比线性分组码具有更好的特性，但在理论上和实用上尚缺乏深入研究（见非线性码）。
编辑本段线性分组码的编码和译码用V n表示GF(2)域的n维线性空间，Vκ是V n的κ维子空间，表示一个(n，κ)线性分组码。
E i=（vi1，vi2…,v in）是代表Vκ的一组基底(i=1，2，…，κ)。
以这组基底构成的矩阵称为该(n,κ)线性码的生成矩阵。
对于给定的消息组m＝(m1，m2，…，mκ)，按生成矩阵G，m被编为mG＝m1E1＋m2E2＋…＋mκEκ这就是线性分组码的编码规则。
第四章 BCH码3
BCH码译码的一般原理
s1 n 1 s 2( n 1) 2 ... ... 2t ( n 1) s2 t
n2 2( n2)
...
... 2
... ... ...
2t ( n 2) ... 2t
10/13/2018 信道编码 15
4.5 BCH码的译码
系数矩阵M exe
BCH码译码的一般原理
s e-1 se s se e 1 s 2e-1 s 2e-2
... s1 ... s 2 e是未知的，可先假设e=t ①计算系数矩阵Mexe的行列式值|Mexe| ②如果|Mexe|=0，方程组降阶(e=e-1)并转第① 步；如果|Mexe|≠0，则解方程组求得错误位置 多项式的系数σ1,σ2,…,σe (e为实际错误个 数)
10/13/2018 信道编码 14
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理
因此求解错误位置的问题转化成为解线性方程组的问题。 se 1 se1 2 ...... s1 e se1 s s ...... s s e1 1 e 2 2 e e2
3) C~(x)=R(x)+E(x)
10/13/2018 信道编码 7
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理
1)、计算伴随式：ST=HET=HRT
s1 s 2( n 1) 2 ( n 2 ) 2 ... ... ... 2t ( n 1) 2 t ( n 2 ) s 2t
我们的目的是求解e个错误位置x1,x2,…,xe 但直接求解该高次方程组是极其困难的
《信息论与编码》PPT第四章
L
L
2）误差准则：
→ → e( f , g ) p ε 即P g f (uL ) ≠ uL p ε差准则： E [e ( f , g )] p ε 即E P g f (u ) ≠ u p ε ，
四、 密码 它是研究信息与通信系统在传输最安全的指标下， 系统中的信源和信宿，在什么样条件下能实现统计匹 配，即最优的加、解密密码存在； 反之，又在什么样条件下不能实现统计匹配，即 最优的加、解密密码不存在。
定理： 设掌握密钥的信宿V，它对应的系统传送的互信息 R=I（U，V，）不掌握密钥的信宿V’，它对应的系统传 送的互信息R’=I（U，V’），信源的信息熵为H（U）。 则：掌握密钥的信宿V，通过最优化的加、解密码 V （f2,g2），使得R=I（U，V）=H（U）。 反之，对不掌握密钥的信宿V’，几乎找不到最优化密钥 （f2,g2’）=（f2,g2），即R’=I（U，V’）→0. ——1949年，香农给出的密码学基本定理。 * 概率分布分析： P (ϕ ) = P (u L ).P (cm | sm ).P ( sm | cm ) ′ ′
定理：若系统要求达到的实际传输速率为R，无失真 信源的可用信息熵为H（U），则若R＞H（U）时， 最有效的信源编、译码 ( f1 , g1 ) 存在，反之R＜ H（U）则不存在。——香农编码第一定理。 从另一角度来理解定理——用系统的概率分布函数
′ 由无失真准则，则 即 P ( sm | uL ) = P (vL | sm ) → → 所以 P(ϕ ) = p(uL ) f .g = p(uL ) 即系统与信源匹配。
•系统优化其物理实质： 就是要研究系统在某种优化指标下，上述两类 参数在满足什么条件时对应的编、译码存在； 又在什么条件下，对应的编、译码不存在。
BCH码的编码与仿真
（地方学生）................................................................................................................... 错误！未定义书签。
论文摘要. (3)第一章绪论 (5)1.1 课题背景 (5)1.1.1 信道编码的发展背景 (5)1.1.2 信道编码的发展历程 (5)1.1.3 BCH码的特点 (6)1.1.4 论文的主要工作 (6)第二章 BCH编码 (8)2.1 BCH码 (8)2.1.1 BCH码相关代数知识 (8)2.1.2 BCH码的基本原理、定义，纠错能力 (9)2.1.3 BCH码的编码 (10)2.1.4 BCH码的译码 (10)2.1.5 BCH码中彼得森译码算法 (11)第三章 BCH码仿真 (13)3.1 MATLAB简介 (13)3.1.1 matlab功能介绍和simulink功能介绍 (13)3.2 BCH码的仿真 (14)3.2.1 仿真实现的思想方法 (14)3.2.2 仿真实现的功能说明 (14)3.2.3 程序源代码与界面图 (14)3.2.4 实验结果与分析 (21)小结与展望 (23)致谢感言 (24)参考文献 (25)附录 (26)论文摘要论文的主要内容是介绍了信道编码中的BCH码（BCH码的定义、编码、译码、解码）。
BCH码是一类重要的循环码，能纠正多个错误，通过调用已建立的BFSK+信道编码（取BCH 码）在加性高斯白噪声信道下的仿真模型，利用Matlab编程分析BFSK在加性高斯白噪声信道的误码率性能；先用Simulink建立BFSK+信道编码（取BCH码）在加性高斯白噪声信道下的仿真模型，设置好每个模块的参数，编写好主程序实现BFSK的输入，在程序运行过程中间调用BFSK仿真模型，画出没加信道编码的误码率曲线和通过BCH编码的误码率曲线；分析随着信噪比的增加误码率曲线的走势。
BCH码
2.6.1. BCH 码BCH 码是循环码的一个重要子类，它具有纠多个错误的能力，BCH 码有严密的代数理论，是目前研究最透彻的一类码。
它的生成多项式与最小码距之间有密切的关系，人们可以根据所要求的纠错能力t 很容易构造出BCH 码，它们的译码器也容易实现，是线性分组码中应用最普遍的一类码。
一、 本原循环码（一） 、本原码特点1、码长为12-m，m 为整数。
2、它的生成多项式由若干m 阶或以m 的因子为最高阶的多项式相乘构成。
要判断),12(k m -循环码是否存在，只需判断k m --12阶生成多项式是否能由 112+-m D 的因式构成。
代数理论告诉我们，每个m 阶既约多项式一定能除尽112+-m D。
例如，m=5，共有6个5阶既约多项式： 125++D D 、12345++++D D D D 、1245++++D D D D 、135++D D 、 1235++++D D D D 、1345++++D D D D（二） 、BCH 码的生成多项式若循环码的生成多项式具有如下形式：[])(),...,(),()(1231D m D m D m LCM D g t -=，这里t 为纠错个数，)(D m i 为最小多项式，LCM 表示取最小公倍式，则由此生成的循环码称为BCH 码，其最小码距≥2t+1，能纠t 个错误。
BCH 的码长为12-m 或12-m的因子。
本原BCH 码：码长为12-m 的BCH 码。
非本原BCH 码：码长为12-m 因子的BCH 码。
对于纠t 个错误的本原BCH 码，其生成多项式为 )()...()()(1231D m D m D m D g t -=。
纠正单个错误的本原BCH 码就是循环汉明码。
（三）、BCH 码设计举例1、GOLAY CODE（23，12）码是一个特殊的非本原BCH 码，称为戈雷码，它的最小码距7，能纠正3个错误，其生成多项式为1)(567911++++++=D D D D D D D g 。
第四章 BCH码-4
4.5 BCH码的译码 Berlekamp迭代译码算法 Berlekamp迭代译码算法
[迭代步骤]： 迭代步骤] 如果j=2t j=2t迭代结束， ③、如果j=2t-1，迭代结束， σ(x)=σ(2t)(x) 否则： j=j+1，计算： 否则：令j=j+1，计算： dj=sj+1+sjσ1(j)+…+sj+1-D(j)σD(j)(j) +sj+1重复② 直到结束迭代。 重复②、③直到结束迭代。
方程1可求得σ 方程2可求得σ 方程1可求得σ1，方程2可求得σ2,…, 方程t可求 , 方程t 得σt，于是得到σ(x)。 于是得到σ(x)。 σ(x) 如果恰好有t个错误， σ(x)满足后 个校验方程， 满足后t 如果恰好有t个错误，则σ(x)满足后t个校验方程， σ(x)即为错误位置多项式 即为错误位置多项式。 σ(x)即为错误位置多项式。
信道编码
2011-11-6
9
4.5 BCH码的译码
Berlekamp迭代译码算法 Berlekamp迭代译码算法
在实际问题中，错误个数e是未知的，如果e<t， 在实际问题中，错误个数e是未知的，如果e<t， e<t 牛顿公式仍有解，但解不唯一， 牛顿公式仍有解，但解不唯一，无法确定哪个解 是错误位置多项式σ(x)的系数。 σ(x)的系数 是错误位置多项式σ(x)的系数。 解决问题的思路] [解决问题的思路]：
2011-11-6 信道编码 16
4.5 BCH码的译码 Berlekamp迭代译码算法 Berlekamp迭代译码算法
迭代算法译码举例： 迭代算法译码举例： (15,5,7)二元BCH码以 二元BCH码以α, 为根， (15,5,7)二元BCH码以α, α3, α5为根， 接收矢量R(x)=x 接收矢量R(x)=x10+x5+x3 ，求估值码字 C~(x)。这里α是p(x)=x4+x+1的根。 (x)。这里α +x+1的根。 的根 首先计算伴随式： 首先计算伴随式： s
12-BCH码-4
其中：i<j, di≠0, 且i-D(i)最大
Berlekamp迭代译码算法
j
其 次 ， 求 错 误 位 置 多 项 式
σ (x) 1 1
(j)
D(j) j-D(j) 0 0 -1 0
dj 1 s1= α
14
-1 0
—— 迭 代 算 法
1
2 3
1+ α
14
x
1
0
0
4
5 6
信道编码
2018/6/11
5
(j+1)(x)=σ(j)(x)+d d -1x(j-i)σ(i)(x) σ j i BCH码的译码
其中：i<j, di≠0, 且i-D(i)最大
Berlekamp迭代译码算法
j
其 次 ， 求 错 误 位 Βιβλιοθήκη 多 项 式σ (x) 1 1
(j)
D(j) j-D(j) 0 0 -1 0
dj 1 s1= α
其中：i<j, di≠0, 且i-D(i)最大
Berlekamp迭代译码算法
j
其 次 ， 求 错 误 位 置 多 项 式
σ (x) 1 1
(j)
D(j) j-D(j) 0 0 -1 0
dj 1 s1= α
14
-1 0
—— 迭 代 算 法
1
2 3
1+ α
1+ α
14
14
x
x
1
1
0
1
0
α
8
4
5 6
信道编码
2018/6/11 信道编码 10
5 BCH码的译码
Berlekamp迭代译码算法
信息论与编码第四讲
例4：集合G = {1,2 … q-1}在模q乘（q是素数）运算下构成 一个乘群（G，）。
7
1.3 环
环，包含集合R和两种代数运算，且满足下列条件的代 数系统： （a）按第一种运算（不妨称为加法）构成交换群； （b）第二种运算（不妨称为乘法）满足以下条件： ➢ 封闭性； ➢ 结合律； ➢ 单位元； （c）与加法间满足分配律： 对于a,b,c R，a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc。 交换环：
加法群：满足加法和逆运算的群。 乘法群：满足乘法和逆运算的群。 交换群：满足交换律的群。 子群：一个非空集合S G，S满足群G的全部条件
，则S称为子群。
4
无限群：包含无数个元素的群。 有限群：包含有限个元素的群。有限群元素的个 数称为该群的阶。 循环群： 某一元素a（生成元a）的一切乘幂a0, a1, a2,…的全 体组成一个群，称为循环群，写作G ={ a0, a1, a2, …}, 其中a0= e是单位元。 若序列a0= e，a1, a2, …中没有两个元素是相等的， 称之为无限循环群。
(4-27)
④ 由关系式C(x)=m(x)g(x) 求BCH码字。
30
对于二元BCH码，无需列出全部2t个连续幂次的根，
而只要列出其中一半（奇数幂次的根）就可以了。这
是因为任何一个偶数ie 可写成一个小于它的奇数io 与2 的l次幂的乘积：
ie =io2l , io<ie
(4-28)
5
若上述序列中有两个相等的元素a i= a j, (ij)， 可推出G 的元素必以n为周期重复，即an = a0=e , 这 样的循环群称为有限循环群。