初中数学奥林匹克
初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解
初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解初中数学奥林匹克竞赛是挑战数学天赋和才能的绝佳场所。
这种竞赛是为那些对数字和逻辑有天赋和兴趣的人所设计的。
无论是追求数学事业，还是成为一名数学家，初中数学奥林匹克竞赛都是一个巨大的机会，可以开阔思维和向高级数学的道路迈进。
本文所述的四套初中数学奥林匹克竞赛题带有详细解析，可供所有有兴趣的人参考学习。
第一套试题：平方和试题：假设我们有两个正整数 a 和 b。
如果我们写一个等式 a²+ b² = 130, 请问这个方程有多少对正整数解？解析：通过对题目的分析，我们发现 a 和 b 都是小于等于 11 的正整数，因为如果是大于 11，它们的平方数之和会大于 130。
我们可以用双重循环解决这个问题：```ans = 0for a in range(1, 12):for b in range(1, 12):if a * a + b * b == 130:ans += 1print(ans)```第二套试题：比率试题：如果 3 个大苹果的重量等于 4 个小苹果的重量，又知道3 个小苹果重量等于 2 个中等苹果的重量，那么问：如果要将 20 个中等苹果与其中 $x$ 个大苹果混合，让它们的重量相等，求出$x$ 的值。
解析：我们可以用比率法解决这个题目。
首先，根据第一个给出的条件，我们有：```3a = 4b```其中，$a$ 是大苹果的重量，$b$ 是小苹果的重量。
然后，根据第二个条件，我们可以得到：```3b = 2c```其中，$c$ 是中等苹果的重量。
现在我们只需要将 $a$ 和$c$ 的比率相等，即：```a / c = 20x / (20 - x)```通过简单的代数运算，我们可以得到：```60x = 80(20 - x)x = 16```因此，我们需要加入 $16$ 个大苹果。
第三套试题：平均值试题：32 个正整数的平均值为20，当其中一个数字被改变后，平均数变为 19.875。
初中数学奥林匹克竞赛题包括答案.docx
初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题 1 分，共 10 分）1．如果 a，b 都代表有理数，并且a＋b=0 ，那么 ( ) A．a，b 都是 0B．a，b 之一是 0C．a，b 互为相反数D． a，b 互为倒数答案： C解析：令 a=2 ， b= － 2，满足 2+( － 2)=0 ，由此 a、b 互为相反数。
2．下面的说法中正确的是( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案： D3都是单项式．两个单项式33A。
两个单项式解析： x2， x x ， x2之和为 x +x 2是多项式，排除x2， 2x2之和为3x2是单项式，排除 B。
两个多项式x3+x2 与 x3－x2之和为2x3 是个单项式，排除 C，因此选 D。
3．下面说法中不正确的是( )A.有最小的自然数B．没有最小的正有理数Word资料C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案： C解析：最大的负整数是-1 ，故 C 错误。
4．如果 a，b 代表有理数，并且a＋b 的值大于 a－ b 的值，那么( ) A．a，b 同号B．a，b 异号C．a＞0D． b＞ 0答案： D5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2 个B．3 个C．4 个D．无数个答案： C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0 在）的整数只有－3，－ 2，－1 ，0 共 4 个．选 C。
6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
Word资料这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0 个B．1 个C．2 个D． 3 个答案： B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故 C 错误。
7．a 代表有理数，那么， a 和－ a 的大小关系是( )A．a 大于－ aB．a 小于－ aC．a 大于－ a 或 a 小于－ aD． a 不一定大于－ a答案： D解析：令 a=0 ，马上可以排除A、 B、 C，应选 D。
2023年初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全配版四边形的趣味问题
第十章四边形旳趣味问题第一节四边形旳分类与鉴定【知识点拨】1.四边形旳性质: 四边形旳内角和等于3600。
2、四边形旳旳分类: （1）对边平行；（2）对边不平行。
本节研究是对边不平行旳四边形。
没用措施是转化为三角形进行研究。
【赛题精选】例2.如图: 求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F旳度数。
（1999年重庆市竞赛题）【阐明】探索存在型问题是指在一定条件下, 判断与否存在某个结论。
解答此类问题, 先假设结论存在, 从假设出发, 根据题设条件及有关性质进行推理论证, 若推出矛盾, 则不定假设, 若推出合理旳成果, 则阐明假设对旳。
这种措施叫“假设法”。
【阐明】对于四边形, 作对角是常用旳辅助线！【针对训练】第二节平行四边形旳问题【知识点拨】1.平行四边形性质: 对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。
2.矩形性质: 矩形除具有平行四边形旳性质外, 还具有对角线相等、四个角是直角。
3、菱形性质：除具有平行四边形旳性质外, 尚有四条边相等、对角线互相垂直、且每一条对角线平分一组对角。
4、平行四边形问题旳处理措施:（1）转化为三角形问题来处理；（2）常用平行四边形旳性质来处理。
【赛题精选】例2.凸四边形ABCD中, AB∥CD, 且AB＋BC＝CD＋AD求证: ABCD是平行四边形。
（1990年芜湖市竞赛题）例3.平面上有三个正△ABD.△ACE、△BCF, 两两共有一种顶点。
求证: CD与EF互相平分。
（1990年芜湖市竞赛题）例4.在Rt△ABC中, ∠ACB＝900, CD⊥AB于D, AE平分∠BAC, 交CD于K, 交BC 于E、, F是BE上一点, 且BF＝CE。
求证: FK∥AB。
（大连市第八届“育英杯”竞赛题）例6.矩形ABCD中, AB＝20cm, BC＝10cm, 若在AC.AB上各取一点M、N, 使BM＋MN旳值最小, 求这个最小值。
（1998年北京市竞赛题）例7、设P为等腰三角形ABC斜边AB上任意一点, PE⊥AC于点E, PF⊥BC于点F, PG⊥EF于G, 延长GP并在其延长线上取一点D, 使得PD＝PC。
数学奥林匹克初中训练题(6套)
数学奥林匹克初中训练题(1)第 一 试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.已知33333a b c abc a b c++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为:(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)-( )3.在ΔABC 中,211a b c=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么:(A)22S CP (B)22S CP = (C)22S CP (D)不确定 ( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有:(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过分钟,货车追上了客车.2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .第 二 试一.(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.二.(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边BC 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5.(1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为25S .求BD 长.(2) 若,AC 且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的距离.三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论.数学奥林匹克初中训练题(2)第一试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔,练习本,圆珠笔各1件,共需:(A)1.2元 (B)1.05元 (C)0.95元 (D)0.9元( )2.三角形的三边,,a b c 都是整数,且满足7abc bc ca ab a b c ++++++=,则此三角形的面积等于:(A)2 (B)4 (C)4 (D)2( )3.如图1,ΔABC 为正三角形,PM ⊥AB,PN ⊥AC.设四边形AMPN, ΔABC 的周长分别是,m n ,则有: (A)1325m n (B)2334m n (C)80%83%m n (D)78%79%mn( )4.满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ,使y x取最大值,此最大值为:(A)3+4+5+ (D)5( )5.设p .其中,,,a b c d 是正实数,且满足1a b c d +++=.则p 满足: (A)p ＞5(B)p ＜5 (C)p ＜2 (D)p ＜3( )6.如图2,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,OM ⊥CD,N为OM 的中点.则:ABN BCN S S 等于:(A)9:5 (B)7:4 (C)5:3 (D)3:2二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.若实数,x y 满足(1x y =,则x y += .2.如图3,CD 为直角ΔABC 斜边AB 上的高,DE ⊥AC.设ΔADE,ΔCDB,ΔABC 的周长分别是12,,p p p .当12p p p + 取最大值时,∠A= .3.若函数2543kx y kx kx +=++中自变量的取值范围是一切实数,则实数k 的取值范围是 .4.如图4所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= .第 二 试一.(共20分)n 是一个三位数,b 是一个一位数,且22,1a a b b ab ++都是整数,求a b +的最大值与最小值.二.(共25分)如图5,在ΔABC 中,∠A=60O ,O,I,H 分别是它的外心,内心,垂心.试比较ΔABC 的外接圆与ΔIOH 的外接圆的大小,证明你的论断.三.(共25分)求方程组33333x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的所有整数解.参考答案一.1.(B)数学奥林匹克初中训练题(四)第 一 试三. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.在11,,0.2002,7223πn 是大于3的整数)这5个数中,分数的个数为: (A)2 (B)3 (C)4 (D)5( )2.如图1,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD上,点E 在AB 的延长线上,Rt ΔCEF 的面积为200,则BE 的长为:(A)10 (B)11 (C)12 (D)15( )3.已知,,a b c 均为整数,且满足2223a b c +++＜32ab b c ++.则以,a b c b +-为根的一元二次方程是:(A)2320x x -+= (B)2280x x +-=(C)2450x x --= (D)2230x x --=( )4.如图2,在Rt ΔABC 中,AF 是高,∠BAC=90O ,且BD=DC=FC=1,则AC 为:( )5.若222a b c a b c k c b a+++===,则k 的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)非上述答案( )6.设0,0,26x y x y ≥≥+=,则224363u x xy y x y =++--的最大值是: (A)272(B)18 (C)20 (D)不存在四. 填空题.(每小题7分,共28分)1.方程222111013x x x x++=+的实数根是 . 2.如图3,矩形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 上的点,且2,3,4A B E C E F A D F S S S ===,则AEF S = .3.已知二次函数2(1)y x a x b =+++(,a b 为常数).当3x =时,3;y =当x 为任意实数时,都有y x ≥.则抛物线的顶点到原点的距离为 .4.如图4,半径为2cm ,圆心角为90O 的扇形OAB 的AB 上有一运动的点P.从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H.设ΔOPH 的内心为I,当点P 在AB 上从点A 运动到点B 时,内心I 所经过的路径长为 .第 二 试一.(20分)在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形;将单位正方形的各边n 等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连结起来,如图5所示.若小正方形的面积恰为13281,求n 的值. 二.(25分)一条笔直的公路l 穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km 的地方有一居民点B,A,B 之间的距离为90km .一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60/km h ,在草地上行驶的最快速度是30/km h .问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?最短时间是多少?三.(25分)从1，2，3，……，3919中任取2001个数。
数学奥林匹克初中训练题(含答案)
数学奥林匹克初中训练题第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz =( ).(A)3／4 (B)5／6 (C)7／12 (D)13／182.设二次函数f (x )=ax 2+ax +1的图像开口向下，且满足f (f (1))=f (3).则2a 的值为( ).(A)－3 (B)－5 (C)－7 (D)－93.方程|xy |+|x +y |=1的整数解的组数为( ).(A)2 (B)4 (C)6 (D)84.a 、b 是方程x 2+(m －5)x +7=0的两个根.则(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=( ).(A)365 (B)245 (C)210 (D)1755.如图，Rt △ABC 的斜边BC =4，∠ABC =30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( )(A)2332+π (B) 33265-π (C) 365-π (D) 332-π 6.从1，2，…，13中取出k 个不同的数，使这k 个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k 的最大值为( ).(A)5 (B)6 (C)7 (D)8二、填空题(每小题7分，共28分)1.若整系数一元二次方程x 2+(a +3)x +2a +3=0有一正根x 1和一负根x 2，且|x 1|<|x 2|，则a = .2.当x =2329-时，代数式x 4+5x 3－3x 2－8x +9的值是 . 3.给定两组数，A 组为:1，2，…，100;B 组为:12，22，…，1002.对于A 组中的数x ，若有B组中的数y ，使x +y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”.那么，A 组中这样的关联数有个.4.已知△ABC 的三边长分别为AB =2576a 2+，BC =62514a a 2++，AC =62514a -a 2+，其中a >7.则△ABC 的面积为 .第二试一、(20分)解方程:(12x +5)2(6x －1)(x +1)=255.二、(25分)如图，四边形ABCD 中，∠ACB =∠ADB =90°，自对角线AC 、BD 的交点N 作NM ⊥AB 于点M ，线段AC 、MD 交于点E ，BD 、MC 交于点F ，P 是线段EF 上的任意一点.证明:点P 到线段CD 的距离等于点P 到线段MC 、MD 的距离之和.三、(25分)矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原矩形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上(包括原矩形的四个顶点)，其余10个点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝(两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示).试求该矩形台板所碎裂成的各种类型(指三角形、四边形、五边形等)的块数.说明:若凸多边形的周界上有n个点，就将其看成n边形,例如,图中的多边形ABCDE要看成五边形.数学奥林匹克初中训练题1参考答案第一试1.A .两边平方得3+2 +3+6=x +y +z +2xy +2yz +2xz . 根据有理数x 、y 、z 的对称性,可考虑方程组x +y +z =3,2xy = 2,2yz =3,2xz = 6.解得x =1,y =1／2,z =3／2.此时,xyz =3/4.2.B .注意到f (1)=2a +1,f (3)=12a +1,f (f (1))=a (2a +1)2+a (2a +1)+1.由f (f (1))=f (3),得 (2a +1)2+(2a +1)=12.所以,2a +1=3或－4.因a <0,故2a =－5.3.C .因x 、y 为整数,则|xy |、|x +y |为非负整数.于是,|xy |、|x +y |中一个为0,一个为1.分情形考虑得6组解.4.D .由ab =7,a 2+ma +7=5a ,b 2+mb +7=5b ,所以,(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=25ab =175.5.C .记两圆公共部分的面积为S .如图,易知S =S 扇形EAD +S 扇形F AD －S 四边形AEDF =5π／6－3 .6.B .将这13个数按照相邻两数的差为5或8排列于一个圆周上(如图5).若取出的数多于6个,则必有2个数在圆周上相邻.另一方面,可以取出适合条件的6个数(任取圆周上不相邻的6个数即可),因此,k 的最大值为6.二、1.－2.因方程的两根不等,故Δ>0,即(a +3)2>4(2a +3).解得a >3或a <－1.又由题设条件知,方程的两根和与积皆负,即－(a +3)<0,2a +3<0.从而,a >－3,a <－3/2,即－3<a <－3/2.而a 为整数,则a =－2. 2. 32297-. x =2329-是方程x 2+3x －5=0的根, 3.73.记x +y =a 2,y =b 2,则1≤b <a ≤100.而x=a2－b2=(a+b)(a－b)≤100,因a+b、a－b同奇偶,故a+b≥(a－b)+2.(1)若a－b=1,则a+b为奇数,且3≤a+b≤99.于是,a+b可取3,5,7,…,99,共49个值,这时,相应的x 也可取这49个值.(2)若a－b=2,则a+b为偶数,且4≤a+b≤50.于是,a+b可取4,6,8,…,50,共24个值,这时,相应的x 可取8,12,16,…,100这24个值.其他情况下所得的x值均属于以上情形.若a－b=奇数,则a+b=奇数.而x=a2－b2≥a+b≥3,归入(1).若a－b=偶数,则a+b=偶数.而x=(a－b)(a+b)为4的倍数,且a－b≥2,a+b≥4,故x≥8,归入(2).因此,这种x共有49+24=73个.4.168.注意到AB2=(2a)2+482,BC2=(a+7)2+242,AC2=(a－7)2+242.如图,以AB为斜边,向△ABC一侧作直角△ABD,使BD=2a,AD=48,∠ADB=90°.在BD上取点E,使BE=a+7,ED=a－7,又取AD的中点F,作矩形EDFC1.因BC21=BE2+EC21=(a+7)2+242=BC2,AC21=C1F2+AF2=(a－7)2+242=AC2,故点C与点C1重合.而S△ABD=48a,S△CBD=24a,S△ACD=24(a－7),则S△ABC=S△ABD－S△CBD－S△ACD=168.第二试一、将原方程变形得(12x+5)2(12x－2)(12x+12)=660.令12x+5=t,则t2(t－7)(t+7)=660,即t4－49t2=660.解得t2=60或t2=－11(舍去).由此得t=±2 15,即有12x+5=±215.因此,原方程的根为x1,2=121525-.二、如图,易知A、B、C、D四点共圆,B、C、N、M四点共圆,因此,∠ACD=∠ABD=∠MCN.故AC平分∠DCM.同理,BD平分∠CDM.如图,设PH⊥MC于点H,PG⊥MD于点G,PT⊥CD于点T;过点P作XY∥MC,交MD于点X,交AC于点Y;过点Y作YZ∥CD,交MD于点Z,交PT于点R;再作YH1⊥MC于点H1,YT1⊥CD 于点T1.由平行线及角平分线的性质得PH=YH1=YT1=RT.为证PT=PG+PH,只须证PR=PG.由平行线的比例性质得EP／EF=EY／EC=EZ／ED.因此,ZP∥DF.由于△XYZ与△MCD的对应边分别平行,且DF平分∠MDC,故ZP是∠XZY的平分线.从而,PR=PG.因此,所证结论成立.三、设全部碎片中,共有三角形a3个,四边形a4个,……,k边形a k个(a3,a4,…,a k为非负整数).记这些多边形的内角和为S角,于是,S角=a3×π+a4×2π+…+a k(k－2)π.另一方面,矩形内部有10个结点,对于每个点,围绕它的多边形顶角和为2π,10个内结点共获得10×2π弧度;矩形边界上(不含4个顶点)共有16个结点,在每个这种结点处,各多边形的顶角在此汇合成一个平角,16个这种结点共获得16π弧度;而原矩形的4个顶点处,共获得多边形碎片的2π弧度.因此,S角=20π+16π+2π=38π.于是,a3+2a4+…+(k－2)a k=38.①记这些多边形的边数和为S边.由于每个n边形有n条边,则S边=3a3+4a4+…+ka k.另一方面,在矩形内部的45条粘缝,每条都是两个多边形的公共边,故都计算了两次;矩形周界上的20条线段各被计算了一次,因此,S边=2×45+20=110.于是,3a3+4a4+…+ka k=110.②②－①得2(a3+a4+…+a k)=72.故a3+a4+…+a k=36.③①－③得a4+2a5+3a6+…+(k－3)a k=2.因所有a i∈N,故a6=a7=…=a k=0,a4+2a5=2.所以,或者a4=2,a5=0;或者a4=0,a5=1.综上,本题的解共有两种情况,即全部碎片共36块,其中,或含有34个三角形,2个四边形;或含有35个三角形，1个五边形.。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)加试参考答案与评分标准(A卷)(2)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12． 又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ． 若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分 另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求． 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分 同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA． 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。
初中奥林匹克数学竞赛试题
初中奥林匹克数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 若实数a，b满足 a + 2 +(b - 4)² = 0，则a + b的值为（）。
A. - 2B. 2C. 6D. - 6答案：B。
解析：因为绝对值是非负的，一个数的平方也是非负的，要使 a + 2 +(b - 4)² = 0，那么a+2 = 0且b - 4 = 0，解得a=-2，b = 4，所以a + b=2。
2. 把多项式x² - 4x+4分解因式，结果正确的是（）。
A. (x - 2)²B. (x+2)²C. (x - 4)²D. (x+4)²答案：A。
解析：x²- 4x + 4符合完全平方公式a²- 2ab+b²=(a - b)²的形式，这里a=x，b = 2，所以分解因式结果为(x - 2)²。
3. 已知一元二次方程x² - 3x - 2 = 0的两个实数根为x1，x2，则(x1 - 1)(x2 - 1)的值是（）。
A. - 4B. - 2C. 0D. 2答案：C。
解析：根据韦达定理，对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（a≠0），x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
在方程x² - 3x - 2 = 0中，a = 1，b=-3，c = - 2，所以x1+x2 = 3，x1x2=-2。
(x1 - 1)(x2 - 1)=x1x2-(x1+x2)+1=-2 - 3+1 = 0。
4. 一个三角形的三个内角之比为1:2:3，则这个三角形是（）。
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：B。
解析：设三个内角分别为x，2x，3x，因为三角形内角和为180°，所以x+2x+3x = 180°，解得x = 30°，那么三个角分别为30°，60°，90°，所以是直角三角形。
国际中学生数学竞赛含金量排行榜
国际中学生数学竞赛含金量排行榜
国际中学生数学竞赛的含金量因赛事的权威性、参赛选手水平、奖项设置等因素而有所不同。
以下是部分国际中学生数学竞赛及简要介绍：
1. 国际数学奥林匹克（IMO）：这是最具权威性的国际中学生数学竞赛之一，每年有来自世界各地的参赛选手。
IMO的奖项分为金牌、银牌和铜牌，其
中金牌是最高荣誉。
获奖者将获得世界范围内的认可和奖励，对于未来的学术和职业发展具有重要意义。
2. 亚洲太平洋数学奥林匹克（APMO）：这是亚太地区最高水平的数学竞赛，每年有来自多个国家和地区的代表队参赛。
APMO的奖项分为金、银、铜
牌和优秀奖，其中金牌是最高荣誉。
获奖者将获得国际范围内的认可和奖励，对于未来的学术和职业发展具有重要意义。
3. 英国数学奥林匹克（BMO）：这是英国最高水平的数学竞赛，每年有来
自全国各地的参赛选手。
BMO的奖项分为金、银、铜牌和优秀奖，其中金
牌是最高荣誉。
获奖者将获得英国范围内的认可和奖励，对于未来的学术和职业发展具有重要意义。
4. 罗马尼亚数学奥林匹克（RMO）：这是罗马尼亚最高水平的数学竞赛，
每年有来自全国各地的参赛选手。
RMO的奖项分为金、银、铜牌和优秀奖，其中金牌是最高荣誉。
获奖者将获得国际范围内的认可和奖励，对于未来的学术和职业发展具有重要意义。
总的来说，这些国际中学生数学竞赛都具有较高的含金量，获奖者将获得国际范围内的认可和奖励，对于未来的学术和职业发展具有重要意义。
中学生数学奥林匹克竞赛流程与意义
中学生数学奥林匹克竞赛流程与意义摘要：一、中学生数学奥林匹克竞赛简介二、竞赛流程概述1.初赛2.复赛3.决赛4.国际竞赛选拔三、竞赛意义及收获1.提升数学素养2.培养解决问题的能力3.增强逻辑思维和分析能力4.丰富个人简历，为升学助力5.结识志同道合的朋友正文：在中学生的学习生活中，数学奥林匹克竞赛是一项具有广泛影响和崇高荣誉的赛事。
它旨在选拔具有优秀数学素养和潜力的青少年，激发学生对数学的兴趣和热情，提高整体数学水平。
本文将对中学生数学奥林匹克竞赛的流程与意义进行详细解析。
首先，让我们了解一下中学生数学奥林匹克竞赛的基本情况。
该竞赛分为初赛、复赛、决赛和国际竞赛选拔四个阶段。
初赛通常在学校或地区范围内进行，选拔出优秀选手晋级复赛。
复赛则在全省或全国范围内展开，选拔出晋级决赛的选手。
决赛是最高水平的较量，参赛选手需要经过激烈的角逐，脱颖而出。
在国际竞赛选拔阶段，我国将选拔出代表选手参加国际数学奥林匹克竞赛，与世界各国精英一较高下。
接下来，我们来详细了解一下竞赛流程。
初赛阶段，参赛选手需要在规定时间内完成一套涵盖初中和高中学段的数学试题。
试题注重考察选手的数学基础知识和基本技能，以及分析问题和解决问题的能力。
复赛阶段，试题难度有所提高，更加注重考察选手的数学素养和创新能力。
决赛阶段的试题则更具挑战性，要求选手具备较高的数学水平和综合素质。
在国际竞赛选拔阶段，参赛选手需要克服文化差异和语言障碍，与全球顶尖选手一较高下。
那么，参加数学奥林匹克竞赛有哪些意义和收获呢？首先，竞赛有助于提升选手的数学素养。
在备战过程中，参赛选手需要系统地学习和掌握数学知识，这无疑将极大提高他们的数学水平。
其次，竞赛可以培养选手解决问题的能力。
试题往往注重考察选手的应变能力和思维敏捷度，这对选手在实际生活和学术研究中遇到问题时，具有极大的帮助。
此外，竞赛还能增强选手的逻辑思维和分析能力，为今后的学术发展奠定坚实基础。
此外，数学奥林匹克竞赛还具有丰富个人简历的作用。
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛题目
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛题目1. 题目一设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且满足$f(a)=-1$，$f(b)=3$。
证明：对于任意实数$k$，在区间$[a,b]$上至少存在一点$c$，使得$f(c)-f(a)=k(c-a)$。
2. 题目二已知正整数$n>1$，且$n$与$n+1$互质。
定义数列$\{a_k\}$满足$a_1=n$，$a_2=n+1$，且对于$k\geq 1$有\[a_{k+2}=\frac{a_{k+1}+a_k}{\text{gcd}(a_{k+1},a_k)}.\]证明：数列$\{a_k\}$中不存在连续的三个不等于1的整数。
3. 题目三平面上有$2023$个点，任意三点不共线。
现将这些点两两连接，得到若干条线段。
试证明：存在至少$10$条线段，它们共点于同一点上。
4. 题目四设$a,b$为正整数，且满足$(a+1)^{b+1}-(a-1)^{b+1}=2023$。
求$(a,b)$的所有可能的整数解。
5. 题目五将正整数$n$表示为两个不同素数的乘积，即$n=pq$，其中$p$和$q$均为素数，且$p < q$。
设$S=(p+1)^2+q^2$。
求满足条件的$n$的所有可能取值，并给出满足条件的所有$n$对应的$S$的最大值。
6. 题目六已知三角形$ABC$的三个内角$A,B,C$满足$\cos A+\cos B+\cos C = 2$。
证明：三角形$ABC$为等边三角形。
7. 题目七设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且满足$f(0)=0$，$f(1)=1$。
证明：对于任意$\epsilon > 0$，存在有理数$m/n$，其中$m$为自然数，$n$为正整数，且$\left| \frac{m}{n} - f\left(\frac{m}{n}\right) \right| < \epsilon$。
8. 题目八已知正整数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=2023$。
中学数学国家级奖项
中学数学国家级奖项主要有以下几个：
1. 中国数学奥林匹克（CMO）：中国数学奥林匹克是由中国数学会主办的一项全国性数学竞赛，它的前身是1956年开始举办的全国中学生数学竞赛。
中国数学奥林匹克是选拔中学生数学竞赛国家队的最重要的赛事。
2. 全国中学生数学联赛（NMTO）：全国中学生数学联赛是由中国数学会主办的一项全国性数学竞赛，它的前身是1980年开始举办的全国中学生数学竞赛。
3. 全国青少年数学竞赛（NOI）：全国青少年数学竞赛是由中国计算机学会主办的一项全国性数学竞赛，它的前身是1985年开始举办的全国青少年计算机竞赛。
4. 全国中学生数学竞赛（ZPMC）：全国中学生数学竞赛是由中国数学会主办的一项全国性数学竞赛，它的前身是1990年开始举办的全国中学生数学竞赛。
这些竞赛都是中学数学领域的顶级赛事，对提高中学生的数学素养和选拔数学人才都有重要作用。
初中数学奥林匹克竞赛题word版含答案
初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。
2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x²，x3都是单项式．两个单项式x3，x²之和为x3+x²是多项式，排除A。
两个单项式x²，2x2之和为3x2是单项式，排除B。
两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。
3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。
4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。
6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。
7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。
8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。
初中奥林匹克数学竞赛
初中奥林匹克数学竞赛初中奥林匹克数学竞赛是我国中小学生数学竞赛中的重要赛事之一，以其高难度、高深度、高素质的题目而著称于世。
在这场竞赛中，不但可以展示自己的数学水平，还可以增强自己的数学思维能力。
在这里，我将分步骤对初中奥数竞赛做一个简单的介绍。
1. 竞赛背景初中奥林匹克数学竞赛是我国中小学数学教育的一种特殊形式，它要求参赛者具有较高的数学素养和较强的数学思维能力，是一种很好的促进学生数学学习的形式，同时也是培养学生创新思维、团队合作精神、挑战自我的一种有益方式。
2. 竞赛内容初中奥林匹克数学竞赛包括初一、初二、初三三个年级的奥数竞赛，每个年级各有一场竞赛。
竞赛题目以高难度、高深度、高素质为特点，涉及数学中的各个领域，如代数、几何、数论、概率等，题目的难度逐年递增，考察重点逐渐从应用题转向基础概念和定理的应用。
3. 竞赛形式初中奥林匹克数学竞赛分为初赛和决赛两个阶段。
初赛是在学校内组织的，根据学生的实际情况，可以采用笔试、口试或者现场答题等不同的方式进行。
决赛则是在全国范围内组织的，最终获奖者可以获得国家级、省级或市级的奖项。
4. 竞赛优势初中奥林匹克数学竞赛具有以下几个优势：（1）提高学生自主学习的能力；（2）培养学生的逻辑思维能力和数学思维能力；（3）增强学生的自信心和竞争意识；（4）激发学生科学探究和创新精神；（5）开拓学生数学思考和应用的视野。
总之，初中奥林匹克数学竞赛作为一种新型的学科竞赛形式，已经深入到了广大中小学生的课堂和生活中，成为提高学生数学素养、发掘学生数学潜能的重要途径之一，希望更多的学生能够参与到初中奥林匹克数学竞赛中，展现自己的风采，创造出更加卓越的成绩。
初一数学奥林匹克竞赛题(含答案)
4．已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为
求a2＋b2＋c2的值．
5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．
6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％)
所以AD∥BC．①又因为AB⊥BC，②
由①，②AB⊥AD．
4．依题意有
所以a2+b2+c2=34．
5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即 ｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，
所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．
因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以
所以有
6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则
8．从1到500的自然数中，有多少个数出现1或5？
9．从19，20，21，…，98这80个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种？
解答：
1．由对称性，不妨设b≤a，则ac＋bd≤ac＋ad=a(c＋d)＜ab．
2．设乙种商品原单价为x元，则甲种商品的原单价为1.5x元．设甲商品降价y％，则乙商品提价2y％．依题意有1.5x(1-y％)+x(1＋2y％)=(1.5x＋x)(1＋2％)，
8．百位上数字只是1的数有100，101，…，199共100个数；十位上数字是1或5的(其百位上不为1)有2×3×10=60(个)．个位上出现1或5的(其百位和十位上都不是1或5)有2×3×8=48(个)．再加上500这个数，所以，满足题意的数共有
中学生数学奥林匹克竞赛征文
中学生数学奥林匹克竞赛征文第一章数学奥林匹克竞赛概述 (3)1.1 竞赛背景与意义 (3)1.1.1 背景 (3)1.1.2 意义 (3)1.1.3 竞赛规则 (3)1.1.4 竞赛要求 (3)第二章数学基础知识 (4)1.1.5 代数概念 (4)1.1.6 代数运算 (4)1.1.7 代数性质 (4)1.1.8 几何概念 (4)1.1.9 几何运算 (5)1.1.10 几何性质 (5)1.1.11 组合概念 (5)1.1.12 组合运算 (5)1.1.13 组合性质 (5)第三章数列与函数 (5)1.1.14 等差数列 (6)1.1.15 等比数列 (6)1.1.16 函数的基本概念 (7)1.1.17 函数的性质 (7)1.1.18 函数的应用 (7)1.1.19 幂函数 (7)1.1.20 三角函数 (8)1.1.21 反三角函数 (8)第四章方程与不等式 (8)第五章几何问题 (10)1.1.22 平面几何的基本概念与性质 (10)1.1.23 平面几何中的经典问题 (10)1.1.24 平面几何问题的解题方法 (11)1.1.25 空间几何的基本概念与性质 (11)1.1.26 空间几何中的经典问题 (11)1.1.27 空间几何问题的解题方法 (11)1.1.28 几何变换的基本概念与性质 (11)1.1.29 几何变换中的经典问题 (12)1.1.30 几何变换问题的解题方法 (12)第六章组合数学问题 (12)1.1.31 排列问题 (12)1.1.32 组合问题 (12)1.1.33 抽屉原理 (13)1.1.34 极端原理 (13)1.1.35 图的基本概念 (13)1.1.36 图的基本性质 (13)1.1.37 图论问题的研究方法 (14)第七章数论问题 (14)1.1.38 整数的定义与分类 (14)1.1.39 整数的运算性质 (14)1.1.40 整数的因子与倍数 (14)1.1.41 整数的分解 (14)1.1.42 同余的定义 (15)1.1.43 同余的性质 (15)1.1.44 模运算 (15)1.1.45 同余方程 (15)1.1.46 原根的定义 (15)1.1.47 原根的性质 (15)1.1.48 指数的性质 (15)1.1.49 原根与指数的应用 (15)第八章数学思维方法 (15)1.1.50 类比思维在数学中的应用 (16)1.1.51 归纳思维在数学中的应用 (16)1.1.52 构造思维在数学中的应用 (16)1.1.53 反证思维在数学中的应用 (16)1.1.54 转化思维在数学中的应用 (16)1.1.55 化归思维在数学中的应用 (16)第九章历届竞赛真题解析 (17)1.1.56 题目回顾 (17)1.1.57 解题分析 (17)1.1.58 几何题解析 (17)1.1.59 代数题解析 (18)1.1.60 审题技巧 (18)1.1.61 解题思路 (18)1.1.62 解题技巧 (18)第十章数学奥林匹克竞赛备考策略 (18)1.1.63 明确竞赛大纲要求 (19)1.1.64 系统学习基础知识 (19)1.1.65 拓展知识领域 (19)1.1.66 注重知识整合 (19)1.1.67 审题技巧 (19)1.1.68 解题方法 (19)1.1.69 解题策略 (19)1.1.70 考前准备 (19)1.1.71 心理调适 (20)第一章数学奥林匹克竞赛概述1.1 竞赛背景与意义1.1.1 背景数学奥林匹克竞赛（Mathematical Olympiad）起源于20世纪初的东欧国家，旨在选拔和培养具有数学天赋的学生，提高青少年的数学素养和创新能力。
数学奥林匹克竞赛试卷初中
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，能被3整除的是（）A. 2B. 7C. 12D. 252. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，那么这个三角形的周长是（）A. 20cmB. 22cmC. 24cmD. 26cm3. 已知函数y=2x+1，若x=3，则y的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 在下列各组数中，有最大公约数4的是（）A. 16，24B. 12，18C. 20，28D. 15，215. 一个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，那么它的体积是（）A. 60cm³B. 72cm³C. 80cm³D. 90cm³6. 已知x²-5x+6=0，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点的对称点是（）A. （-2，-3）B. （2，-3）C. （-2，3）D. （2，3）8. 下列各图中，是轴对称图形的是（）A.B.C.D.9. 下列各数中，有最小公倍数120的是（）A. 24，40B. 30，48C. 36，50D. 42，6010. 已知a²+b²=c²，则下列结论正确的是（）A. a、b、c都是正数B. a、b、c都是负数C. a、b、c都是整数D. a、b、c都是正整数二、填空题（每题5分，共50分）11. 若a+b=5，ab=6，则a²+b²的值为______。
12. 0.5+0.2+0.1+…+0.05+0.01+0.005+…+0.0005+0.0001的和为______。
13. 一个数的平方根是±2，那么这个数是______。
14. 下列各数中，是质数的是______。
15. 一个圆的半径增加了50%，那么这个圆的面积增加了______。
16. 若一个等边三角形的边长为a，那么它的周长是______。
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若36m-5n =l， 则5n =(6m-1)(6m+1).
• 2.求适合等式x1+x2+x3＋…+x2009=x1x2x3…x2009的正整数解。
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分析：这2009个正整数的和正好与它们的积相等， • 要确定每一个正整数的值， • 我们从2个，3个，4个……直到发现规律为止!
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解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2 x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4 x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5 x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6 的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6 ………… 由此猜想结论是： 适合等式x1+x2+x3＋…+x2009=x1x2x3…x2009 的正整数解为x1=x2=x3＝……=x2007=1,x 2008=2,x2009=2009.
P1 P2 (a2,b2)
P b2 ) 令P6(a6,b2) 6 (4 a2 ，
同样可以求得,点P10的坐标为(
）
4 a6 , b2 )
即P10( 4 2 a2 , b2)….
由于2010=4×502+2,所以点P2010的坐标为（2010,-2）
• 4.已知a2(b+c)=b2(a+c)=2010.且a≠b． • 则c2(a+b)= ? • 解:已知a2(b+c)=b2(a+c)=2010 • 故 a2(b+c)-b2(a+c) • =(a-b)(ab+bc+ca)=0. • 而 a ≠b ， • 所以ab+bc+ca=0． • 故c2(a+b)-b2(a+c) • =(c-b)(ab+bc+ca)=0． • 从而c2(a+b)= b2(a+c)= 2010
• 拓展 已知：100个自然数a1,a2,a3……a100满足等式 • (n-2)an-(n-1)an-1+1=0 (2≤n≤100)并且a100=199. • 求：a1＋a2＋a3＋……＋a100
(n 2)a n 1 分析： an-1= n 1
a99=
用同样方法求得
(100 2)a100 1 =197 99
初中数学奥林匹克 夏令营辅导讲座
谈谈竞赛数学的解题策略
解题离不开数学思想和方法 解题的成功依赖于合适的方法 最好的方法来源于正确的解题策略
学数学的最好方法是做数学
数学思想方法是数学的灵魂
• 数学题千变万化、层出不穷，其实当我们 着手去解题时，都会有一定的方向、一定的道 路，而给我们引领方向、带领道路的正是数学 思想.
a98= 195 a97=193, a96=191, ……a1=1
∴a1＋a2＋a3＋……＋a100＝1＋3＋5＋……• • •
3.在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为 A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1), y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得点P1, 点P1绕点B旋转180°得点P2, 点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4 ,,… 重复操作依次得到点P1,P2,…, 则点P2010的坐标是 ? P D O A P1
数学家波利亚说过:“完善的思想方法犹如北 极星,许多人通过它而找到正确的道路.”
第一 部 分 数学基本方法的应用
• 1.若5=( )2-( )2 ,7=( )2-( )2 ,9=( )2-( )2 ,11=( )2-( )2 • 从以上填空中,你发现了什么规律？请用等式表现出来. • 解：5=32-22 • 7=42-32 • 9=52-42 • 11=62-52 • …… • (2n+1)=(n+1)2 -n2
7.设m,n均为正整数.求使得36m-5n的绝对值最小的那个数． 分析： 当m、n均为正整数时 ,36m的个位为6 ,5n的个位为5
因此，N=|36m-5n|的个位数为l或9．
取m=l，n=2，则N=11．
N=|36m-5n|
故只需再证明N不能取到1和9, 则N的最小值为11． 若36m-5n =±9， 则9|5n，这不可能
• 5.求能表示为 n2+4n(n∈N+)的形式,且与10000的差的绝对 值最小的正整数 • 解 :由于n2+4n • =(n+2)2-4! • 且当a<b时,a2+4a<b2+4b, • 于是,所求的正整数要么是1002-4=9996, • 要么是1012-4=10197． • 因为9996与10000的差的绝对值最小， • 所以，所求的正整数为9996．
6. 将 正 整 数 1,2,3, …,10 分 成 A,B 两 组 , 其 中 A 组 ： al,a2,…,am;B 组 :bl,b2,…,bn. 现从 A,B 两组中各取出一个数， 把取出的两个数相乘，则所有不同的两个数乘积的和的 最大值为 ? • 分析：由条件可得，所有不同的两个数乘积的和为 • S= (al+a2+…+am)( bl+b2+…+bn). • 记x= al+a2+…+am,y= bl+b2+…+bn. • 则x+y=1+2+3+…+10=55. 1 1 2 2 2 2 [( x y ) ( x y ) ] (55 1 ) 756 • S=xy= 4 4 • 当且仅当∣x-y∣=1时,上式取等号。 • 令ai=i(i=1,2, …,7),b1=8,b2=9,b3=10, • 则x=28,y=27因此，等号成立。 • 则所有不同的两个数乘积的和的最大值为756
C
B
P2
• 分析： 由已知可以得到, • 点P1,P2的坐标分别为(2,0),(2,-2). • 记P2(a2,b2)，其中a2=2,b2=-2．
• 根据对称关系，依次可以求得：
P 2－b2 ) 3 (4 a2，－
P 2 b2 ) 5 (a2 ，
P4 (2 a2 ， 4 b2 )